Es el avance de calculo III de la universidad autonoma gabriel rene moreno de la asigantura de calculo III, con le ing Rivera, donde se aboradn todos los temas respectos a la materia
7. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
56
lim
∆𝑧2→ 0
(
∆𝑤2
∆𝑧2
∗
∆𝑧1
∆𝑤1
) ≅ 1
∆𝑤2
∆𝑧2
∗
∆𝑧1
∆𝑤1
≅ 1 ⟹
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
≅
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
Para que se cumpla la igualdad, las partes reales tienen que ser iguales y sus partes
imaginarias iguales, es decir:
ℝ (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ ℝ (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Partes reales iguales
∏𝑚𝑔 (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ ∏𝑚𝑔 (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Partes imaginarias iguales
|
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
| ≅ |
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
| Distancias iguales
𝑎𝑛𝑔 (
∆𝒘𝟐
∆𝒘𝟏
) ≅ 𝑎𝑛𝑔 (
∆𝒛𝟐
∆𝒛𝟏
) Ángulos iguales
Si 𝑓(𝑧) es una función continua en R, derivable y si la derivada es diferente de cero, entonces
las partes infinitesimales del plano z que se transforma sobre el plano w, son de la misma
forma. En otras palabras, si 𝑓′(𝑧) existe en R y 𝑓′(𝑧) ≠ 0, entonces la transformación preserva
ángulos, una transformación de este tipo se llama transformación conforme.
Ej. 1.- Transformar la región R del plano z al plano w, bajo la transformación de la función.
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
PLANO Z
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (𝑥 + 𝑦 𝑖)2
= 𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2
𝑢 + 𝑣 𝑖 = (𝑥2
− 𝑦2) + (2𝑥𝑦) 𝑖
𝒖 = 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐 (1)
Y
X
R
2 4
2
4
A
B
C(4;4)
D
10. APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
59
Conociendo los puntos de la región R del plano Z, podemos determinar los puntos del
plano W, es decir A’, B’, C’ y D’.
𝐴(2,2) ⟹ 𝐴′(0,8)
𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 2 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 4 = 0 𝑣 = 4𝑥 = 8
𝐵(4,2) ⟹ 𝐵′(12,16)
𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 2 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 4 = 12 𝑣 = 4𝑥 = 16
𝐶(4,4) ⟹ 𝐶′(0,32)
𝑥 = 4 ∧ 𝑦 = 4 ⟹ 𝑢 = 𝑥2
− 16 = 0 𝑣 = 8𝑥 = 32
𝐷(2,4) ⟹ 𝐷′(−12,16)
𝑥 = 2 ∧ 𝑦 = 4 ⟹ 𝑢 = 4 − 𝑦2
= −12 𝑣 = 4𝑦 = 16
PLANO W
v
u
- 16
32
-32
CD
BC
16
11. APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
60
PLANO W
Ej. 2.- Transformar la región R del plano z al plano w, bajo la transformación de la
función. 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑧2
v
u
- 16
32
-32
CD
BC
16
- 4
8
- 8
v=0 u=16
u=0 v=±32
v=0 u= -16
u=0 v=±32
R' AB
DA
12 12
v=0 u= - 4
u=0 v= ± 8
v=0 u= 4
u=0 v= ± 8
4
A'
B'
C'(0;32)
D'
1 3 5
1
2
3
4
5
-1
-3
-1
A
A
B(3;2)
C(1
;4)
D
Y
X
PLANOZ
A
B
B
C
C
D
D
A
14. APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
63
𝑦 =
2−𝑢−1
2
𝑦 =
1−𝑢
2
….. (5)
(4) y (5) en (2)
𝑣 = 2𝑥𝑦 (2)
𝑣 = 2 (
1+𝑢
2
) (
1−𝑢
2
)
2𝑣 = (1 − 𝑢)(1 + 𝑢)
2𝑣 = 12
− 𝑢2
𝑢2
= −2𝑣 + 12
𝑢2
= −2 (𝑣 −
1
2
)
Ecuación de una parábola
Para representar gráficamente
𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 =
1
2
𝑣 = 0 ⇒ 𝑢 = ±1
8
-1
5
1
2,5
25
-25 1
-1
1
/2
-1
/2
A'(1
;0)
B'(5;1
2)
C'(-15;8)
D'(-3;-4)
R'
-3
-4
v
u
PLANOW
AB
BC
CD
DA
1
2
5
-9/2
15. APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
64
Ecuación de una recta que pasa por 2 puntos
𝑃1(𝑥1; 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2; 𝑦2) 𝑃2(𝑥2; 𝑦2)
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
=
𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
𝑃1(𝑥1; 𝑦1)
16. APUNTES DE CALCULO III MAT-214 ANGEL RIVERA
65
PLANO W
3 2
8
-1 6 -1 2 -4 4 1 6
-8
-3 2
A'(0,8)
B'(12,16)
C'(0,32)
D'(-12,16)
R'
U
V