Este documento presenta conceptos básicos sobre números complejos, incluyendo: 1) La unidad imaginaria i cumple que i2 = -1; 2) Se pueden realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con números complejos representados en la forma a + bi; 3) Existen diferentes formas de representar números complejos, incluyendo coordenadas rectangulares y polares.

1. 𝑥2 = −1
Númeroscomplejos
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎, 𝑏𝜖ℝ 𝑖 − 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎
Igualdadde númeroscomplejos
−𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑐 𝑏 = 𝑑
−( 𝑎 + 𝑏𝑖) + ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 + 𝑐) + (( 𝑑 + 𝑏) 𝑖)
−( 𝑎 + 𝑏𝑖) + ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + ( 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
𝑖2 = (0 + 𝑖)(0 + 𝑖) = (0 ∙ 0 − 1 ∙ 1) + (0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = −1
𝑖2 = −1
Realizarlassiguientesoperacionesyescribircadaresultadoenlaforma(a+bi)
a) (2+3i)+(5-i)=7+2i
b) (4-i)-(1+2i)=3-3i
c) (3-2i)(4+3i)=12+9i-8i+6=18+i
d)
3 + 2𝑖
5 + 2𝑖
∙
5 + 2𝑖
5 + 2𝑖
∙
5 − 2𝑖
5 − 2𝑖
=
15 − 6𝑖 + 10𝑖 + 4
25 + 4
=
15 + 4𝑖 − 4(−1)
25 − (4)(−1)
=
15 + 4𝑖 + 4
25 + 4
=
19 + 4𝑖
29
=
19
29
+
4
29
𝑖
a) (3+2i)+(6-4i)=9-2i
b) (3-5i)-(1-3i)=2-2i
c) (2-4i)(3+2i)=6+6i-12i+8=6-6i+8=14-8i
d)
2 + 4𝑖
3 + 2𝑖
;
2 + 4𝑖
3 + 2𝑖
∙
3 − 2𝑖
3 − 2𝑖
=
6 − 4𝑖 + 12𝑖 − 8𝑖2
9 − 4𝑖2 =
6 − 8𝑖 + 8
9 + 4
=
14 − 8𝑖
15
=
14
15
−
8
15
𝑖
a) (3 − 2𝑖)2 − 6(3 − 2𝑖) + 13 = 9 − 12𝑖 + 𝑖2 − 18 + 12𝑖 + 13 = 22 − 4 − 1 = 0
b)
2 − 3𝑖
2𝑖
;
2 − 3𝑖
2𝑖
∙
𝑖
𝑖
=
2𝑖 + 3
−2
= −𝑖 −
3
2
= −
3
2
− 𝑖
a) (3 + 2𝑖)2 − 6(3 + 2𝑖) + 13 = 9 + 12𝑖 − 4 − 18 − 12𝑖 + 13 = 5 − 18 + 13 = 0
b)

2. 4 − 𝑖
3𝑖
;
4 − 𝑖
3𝑖
∙
𝑖
𝑖
=
4𝑖 − 𝑖2
−3
=
4𝑖 + 1
−3
= −
4
3
𝑖 −
1
3
= −
1
3
−
4
3
𝑖
Escribirenla forma a+bi
a) √−4 = 0 + 2𝑖 = 2𝑖
b) 4 − √−5 = 4 + √5𝑖
c)
−3−√−5
2
= −
3
2
−
√5
2
𝑖
d)
1
1 − √−9
=
1
1 − 3𝑖
=
1
1 − 3𝑖
∙
1 + 3𝑖
1 + 3𝑖
=
1 + 3𝑖
1 − 9𝑖2 =
1 + 3𝑖
1 − 9(−1)
=
1 + 3𝑖
1 + 9
=
1
10
+
3
10
𝑖
a) √−16 = 4𝑖
b) 5 + √7 = 5 + √7𝑖
c)
−5 − √−2
2
= −
5
2
−
√2
2
𝑖
d)
1
3 − √−4
=
1
3 − 2𝑖
∙
3 + 2𝑖
3 + 2𝑖
=
3 + 2𝑖
9 + 4
=
3 + 2𝑖
13
=
3
13
+
2
13
𝑖
1) (2 − √−4) + (5 − √−9) = (2 − 2𝑖) + (5 − 3𝑖) = 7 − 5𝑖
2) (3 − √−4 )(−2 + √−49) = (3 − 2𝑖)(2 − 7𝑖) = −6 + 21𝑖 + 4𝑖 − 14𝑖2 = −6 + 25𝑖 + 14 =
8 + 25𝑖
Evalúese
𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑥 = 1 − 𝑖
(1 − 𝑖)2 − 2(1 − 𝑖) + 2 = 1 − 2𝑖 − 𝑖2 − 2 + 2𝑖 = 2 − 2 = 0
Para que valoresreales“x”y“y” se tendráque (2x-1)+(3y+2)i=5-4i
(2x-1)+(3y+2)i=5-4i
2x-1=5 3y+2=-4
2x=6 3y=-6
x=3 y=-2
Coordenadaspolares
(4,45°)
(4,-315°)

3. (-4,-135°)
(5,30°)
(5,-330°)
(-5,210°)
(-5,150°)
sin 30° =
1
2
= cos60°
cos30° =
√3
2
= sin 60°
tan30° =
1
√3
= cot60°
sin 45° =
1
√2
∙
√2
√2
=
√2
2
= cos45°
tan 45° = 1 = cot45°
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
Transformara coordenadasrectangulares
a) A(4,𝜋 4⁄ )
b) B(-2,5 6⁄ ∙ 𝜋)
c) C(-6,−𝜋 4⁄ )
a)
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = 4 cos45° = 4 ∙
1
√2
=
4
√2
∙
√2
√2
=
4√2
2
= 2√2
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 = 4 sin 45° = 4 ∙
√2
2
= 2√2

4. 𝐴(2√2,2√2)
b) 𝐵(−2,5
6⁄ 𝜋)
𝑥 = −2 cos150° = −2(−
√3
2
) = √3
𝑦 = −2sin 150° = −2 sin 150° = −2(
1
2
) = −1
𝐵(√3,−1)
c)
𝑥 = −6 (
√2
2
) = −3√2
𝑦 = −6sin −45° = −6 (−
√2
2
) = 3√2
𝐶(−3√2,3√2)
a) A(2,60°)
𝑥 = 2cos60° = 2 (
1
2
) = 1
𝑦 = 2 sin 60° = 2(
√3
2
) = √3
(1, √3)
b) B(-8,210°)
𝑥 = −8 cos210° = −8(−
√3
2
) = 4√3
𝑦 = −8 sin 210° = −8(−
1
2
) = 4
(4√3,4)
c) (-6,-30°)
𝑥 = −6cos(−30°) = −6(
√3
2
) = −3√3
𝑦 = −6sin(−30°) = −6 (−
1
2
) = 3
𝐶(−3√3,3)

5. Transformara laforma Polar 𝐴(−√3,1)
𝑟 ≥ 0 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(−√3)
2
+ 12
= √3 + 1 = 2
𝜃 = 150°
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
tan 𝜃 =
1
−√3
𝜃 = arctan(1/−√3) = 30°
Transforma(1, −√3)a la formaPolarr≥ 0 y−90° ≤ 0 ≤ 90°
𝑟 = √(−√3)
2
+ 12 = 2
(2,−60°)
Númeroscomplejosenlaformarectangulary polar
𝑎 + 𝑏𝑖
(𝑎, 𝑏)
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑥 = 𝑟cos 𝜃
𝑦 = 𝑟sin 𝜃
𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑦 𝑟sin 𝜃 𝑖
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

6. cos 𝜃 = cos( 𝜃 + 2𝜋𝑘)
sin 𝜃 = sin( 𝜃 + 2𝜋𝑘)
𝑧 = 𝑟[cos( 𝜃 + 2𝜋𝑘) + 𝑖 sin( 𝜃 + 2𝜋𝑘)] = 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜃 + 2𝜋𝑘)
Escribirenla forma polar,empleandoel ángulo() máspequeñocomoargumentode z
a) z=1+i
b) z=−√3 + 𝑖
c) z=-5i
𝑧 = √2 𝑐𝑖𝑠 45°
𝑧 = 2 𝑐𝑖𝑠 150°
𝑧 = 5 𝑐𝑖𝑠 270°
𝑧 = √2 𝑐𝑖𝑠 135°
𝑧 = 2𝑐𝑖𝑠 300°
𝑧 = 6 𝑐𝑖𝑠 180°
a) z=2 cis
𝜋
6
b) z=5 𝑐𝑖𝑠 𝜋/2
c) z=3 cis300°
a)
𝑧 = 2[cos30° + 𝑖sin 30°]
= 2 (
√3
2
+ 𝑖
1
2
) = √3 + 𝑖
b)
𝑧 = 5[cos90° + 𝑖sin 90°]
5[0 + 𝑖] = 0 + 5𝑖

7. c)
𝑧 = 3 [
1
2
+ 𝑖 (−
√3
2
)]
𝑧 =
3
2
−
3√3
2
𝑖
a) z=3 cis2𝜋/3
𝑧 = 3[cos120° + 𝑖sin 120°]
𝑧 = 3 [−
1
2
+ 𝑖
√3
2
] = −
3
2
+
3√3
2
𝑖
b) z=2 cis 210°
𝑧 = 2[cos210° + 𝑖sin 210°]
𝑧 = 2 [−
√3
2
+ 𝑖
−1
2
] = −√3 − 𝑖
c) z=√2 𝑐𝑖𝑠
7𝜋
4
𝑧 = √2[cos3150° + 𝑖sin 3150°]
𝑧 = √2 [
1
√2
+ 𝑖
−√2
2
]
𝑧 = 1 − 𝑖
Multiplicaciónydivisiónenformapolar
𝑧1 𝑧2 = ( 𝑟1 𝑐𝑖𝑠 𝜃1)( 𝑟2 𝑐𝑖𝑠𝜃2) = 𝑟1 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 ( 𝜃1 + 𝜃2)
𝑧1
𝑧2
=
𝑟1 𝑐𝑖𝑠𝜃1
𝑟2 𝑐𝑖𝑠𝜃2
=
𝑟1
𝑟2
𝑐𝑖𝑠( 𝜃2 − 𝜃1)
1)
𝑧1 = 8 𝑐𝑖𝑠 30°
𝑧2 = 2 𝑐𝑖𝑠 45°
a) 𝑧1 𝑧2 = (8(2)) 𝑐𝑖𝑠(30° + 45°) = 16 𝑐𝑖𝑠 75°
b) 𝑧1 𝑧2⁄ =
(8)
2⁄ 𝑐𝑖𝑠(30° − 45°) = 4 𝑐𝑖𝑠 (−15°)
Encontrar
𝑧 = [
1
2
+ 𝑖 (
√3
2
)]
2

8. En la formaa+bi conviértase primeroalaformapolar yluegoelevaral cuadrado
𝑟2 = 𝑦2 + 𝑥2
𝑟2 =
1
4
+
3
4
= 1
tan 𝜃 =
𝑦
𝑥
=
√3
2
1
2
tan 𝜃 =
√3
1
𝑧 = 1[cos60° + 𝑖sin 60°]
𝑧 = 1 𝑐𝑖𝑠 60°
𝑧𝑧 = 1 𝑐𝑖𝑠 120°
𝑧 = 1[cos120° + 𝑖sin 120°]
𝑧 = 1 [−
1
2
+
√3𝑖
2
] = −
1
2
+
√3
2
𝑖
Teoremade Demoive
( 𝑥 + 𝑦𝑖)2 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)2 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)( 𝑟 𝑠𝑖𝑠 𝜃) = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠2𝜃
( 𝑥 + 𝑦𝑖)3 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)3 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)2( 𝑟 𝑠𝑒𝑠 𝜃) = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠 2𝜃( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃) = 𝑟3 𝑐𝑖𝑠 3𝜃
( 𝑥 + 𝑦𝑖)4 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)4 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)3( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃) = ( 𝑟3 𝑐𝑖𝑠 3𝜃)( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃) = 𝑟4 𝑐𝑖𝑠4𝜃
( 𝑥 + 𝑦𝑖) 𝑛 = 𝑟 𝑛 𝑐𝑖𝑠 𝑛𝜃; 𝑛𝜀ℕ
Usar el teoremade de Movie para encontraren (1 + 𝑖)10 escribirlarespuestaenlaformax+yi
(1 + 𝑖)10 = (√2 𝑐𝑖𝑠 45°)
10
= (2
1
2 𝑐𝑖𝑠 45°)
10
25 𝑐𝑖𝑠 450° = 32 𝑐𝑖𝑠 90°
= 32[cos90° + 𝑖 sin 90°]
= 32𝑖
(1 + √3𝑖)
5
(1 + √3𝑖)
5
= (2 𝑐𝑖𝑠 60°)5 = 32 𝑐𝑖𝑠 300° = 32[cos300° + 𝑖 sin 300°]

9. 32[
1
2
+ 𝑖
−√3
2
] = 16 − 16√3𝑖
2 𝑐𝑖𝑠 60°
Extracciónde raíces de númeroscomplejos
𝑧 = ( 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃)
1
𝑛 = 𝑟
1
𝑛 𝑐𝑖𝑠
1
𝑛
( 𝜃 + 2𝜋𝑘)
𝑘 = 0,1,2, …, 𝑛 − 1
Encontrar las6 raíces distintasde 𝑧 = (−1 + √3𝑖) y grafíquese
𝑧 = 2 𝑐𝑖𝑠 120°
𝑧 = (2 𝑐𝑖𝑠 120°)
1
6 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120 + 360°𝑘)
𝜔1 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 20°
𝜔2 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120° + 360 ∙ 1) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 20°
𝜔3 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120° + 360°(2)) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 140°
𝜔4 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120° + 360°(3)) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 200°
𝜔5 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120° + 360°(4)) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 260°
𝜔6 = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠
1
6
(120° + 360°(5)) = 2
1
6 𝑐𝑖𝑠 320°
z=1+i raíces 5°
√2 𝑐𝑖𝑠 45° = (2
1
2)
1
5
( 𝑐𝑖𝑠 45°)
1
5 = 2
1
10( 𝑐𝑖𝑠 45)
1
5
𝜔1 = 2
1
10 𝑐𝑖𝑠 9°
𝜔2 = 2
1
10 𝑐𝑖𝑠 81°
𝜔3 = 2
1
10 𝑐𝑖𝑠 153°
𝜔4 = 2
1
10 𝑐𝑖𝑠 225°
𝜔5 = 2
1
10 𝑐𝑖𝑠 297°
Usando el teoremade DeMoive evaluarlaexpresiónexpresarrespuestaenformax+yi

10. (√3+ 𝑖)
4
(−1 + 𝑖√3)
6 =
(2 𝑐𝑖𝑠 300°)4
(2 𝑐𝑖𝑠 120°)6 =
24 𝑐𝑖𝑠 4(30°)
26 𝑐𝑖𝑠 6(120°)
=
16 𝑐𝑖𝑠120°
64 𝑐𝑖𝑠720°
=
1
4
𝑐𝑖𝑠(−600°)
=
1
4
[cos−600° + 𝑖 sin −600°]
=
1
4
[cos120° + 𝑖sin 120°] =
1
4
[−
1
2
+ 𝑖
√3
2
]
= −
1
8
+
√3
8
𝑖
−√3 + 𝑖
(1 + 𝑖√3)
5 =
2 𝑐𝑖𝑠 150°
(2 𝑐𝑖𝑠 60°)5 =
2 𝑐𝑖𝑠 150°
32 𝑐𝑖𝑠 300°
=
1
16
𝑐𝑖𝑠(−150°)
1
16
[cos(−150°) + 𝑖 sin(−150°)]
1
16
[−
√3
2
+
−1
2
𝑖] = −
√3
32
−
1
32
𝑖
PolinomiosoTeoremade Ecuaciones
ax+b=0
ax2
+bx+c=0
𝑥 = −
𝑏
𝑎
𝑃( 𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑃( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3
( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1
P(1)=0
P(3)=0
Se dice que r esun 0 de la funciónP,oun 0 de polinomioP(x) ounasoluciónoraíz de la ecuación
P(x)=0,si P(x)=0lasinterseccionesx de lagráfica y=P(x) sonlos0’srealesde P(x) yP y las
solucionesrealesoraícesde laecuaciónP(x)=0
Propiedadesde laDivisión
2
9 24
6

11. 24
9
= 2 +
6
9
24 = 2 ∙ 9 + 6
Algoritmosde ladivisión
Si a, b son enterosconb>0, entoncesexistenenterosúnicosq,r,talesque a=bq+r, donde r
0 ≤ 𝑟 < 𝑏
Determinarcociente yresiduocuando4126 se divide en23.Encontrar la forma específicaa=bq+r
179
23 4126
182
161
216
207
09
4126 = (179)(23) + 9
𝑥4 − 16
𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑥2 − 3𝑥 + 8
𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 16
−𝑥4 − 3𝑥3 − 𝑥2
−3𝑥3 − 𝑥2 + 0𝑥
+3𝑥3 + 9𝑥2 + 3
0 + 8𝑥2 + 3𝑥 − 16
−8𝑥2 − 24𝑥 − 8
−21𝑥 − 24
𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟
𝑥4 − 16 = ( 𝑥2 + 3𝑥 + 1)( 𝑥2 − 3𝑥 + 8) + (−21𝑥 − 24)
Algoritmode ladivisión
Si f(x) yg(x) sonpolinomiosysi g(x)≠0entoncesexistenpolinomiosúnicosq(x),r(x) talesque
f(x)=g(x)q(x)+r(x),donder(x)=0el gradoe r(x) esmenorque el grado de g(x)
f(x)=g(x)q(x)+r(x)
f(x)=(x-r)q(x)+r(x)
f(x)=(x-r)q(x)+d
f(r)=(r-r)q(r)+d

12. f(r)=d
f(x)=(x-r)q(x)+f(r)
Teoremadel Residuo
Cuandose divide el polinomiof(x) entre el polinomior(x),enel residuode ladivisiónse obtiene
el valorde ladivisiónevaluadaenr
Verificarel teoremade residuo 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 5
𝑓(2) = 23 − 3(2)2 + 2 + 5 = 8 − 3(4) + 2 + 5 = 8 − 12 + 2 + 5 = 3
𝑥2 − 𝑥 − 1
𝑥 − 2 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 5
−𝑥3 + 2𝑥2
− 𝑥2 + 𝑥
+ 𝑥2 − 2𝑥
−𝑥 + 5
+𝑥 − 2
3 = 𝑃(2)
𝑓( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑟) 𝑞( 𝑥) + 𝑟( 𝑥)
Teoremadel factor
Si r es un 0 del polinomiof(x),entoncesx-resunfactor de f(x) yrecíprocamente si x-resun factor
de f(x) entoncesesun0 de f(x),mostrarque r-2 es unfactor del polinomio 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 +
3𝑥 + 2
𝑥2 − 2𝑥 − 1
𝑥 − 2 𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 + 2
−𝑥3 + 2𝑥2
−2𝑥2 + 3𝑥
+2𝑥2 − 4𝑥
−1𝑥 + 2
𝑥 − 2
0
Cuálessonloscerosdel polinomiof(x)=3(x-5)(x+2)(x-3)
r=5, r=-2, r=+3
Divisiónsintética
Dividendo
-2 2 3 0 -1 -5
-4 +2 -4 +10
2 -1 +2 -5 +5
Cociente Residuo

13. 2𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 5
𝑥 + 2 2𝑥4 + 3𝑥3 + 0𝑥2 − 𝑥 − 5
2𝑥4 + 4𝑥3
−𝑥3 + 0𝑥2
−𝑥3 − 2𝑥2
2𝑥2 − 𝑥
2𝑥2 + 4𝑥
−5𝑥 − 5
−5𝑥 − 10
5
a) (4𝑥5 − 30𝑥3 − 50𝑥 − 2) ÷ (𝑥 + 3)
b) (3𝑥4 − 11𝑥3 − 18𝑥 + 8) ÷ (𝑥 − 4)
c) (2𝑥3 − 3𝑥 + 1) ÷ (𝑥 − 2)
a)
4 0 -30 -0 -50 -2 -3
-12 +36 -18 54 -12
4 -12 +6 -18 4 -14
4𝑥4 − 12𝑥3 + 6𝑥2 − 18𝑥 − 14 𝑟( 𝑥) = 14
b)
3 -11 0 -18 8 4
12 4 16 -8
3 1 4 -2 0
𝑥3 + 𝑥2 + 4𝑥 − 2 𝑟( 𝑥) = 0
c)
2 0 -3 1 +2
4 8 10
2 4 5 11
𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑟( 𝑥) = 11
Si 𝑓( 𝑥) = 4𝑥4 + 10𝑥3 + 19𝑥 + 5, encuentraP(-3)∙ 𝑎
Teoremade residuoydivisiónsintética
Evaluacióndirecta
𝑃(−3) = 4(−3)4 + 10(−3)3 + 19(−3) + 5
𝑃(−3) = +2

14. 4 10 0 19 5 -3
+2 +6 -18 -3
4 -2 6 1 2
Ceroscomplejode Polinomioconcoeficiente real
z=x+yi
𝑧̅ = 𝑥 − 𝑦𝑖
Teoremasi 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 y si 𝑎𝜖ℝ entonces
a) 𝑧1 + 𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅
b) 𝑧1 ∙ 𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧1̅ ∙ 𝑧2̅
c) 𝑎̅ = 𝑎
a) 𝑧1 + 𝑧2 = ( 𝑥1 + 𝑦1 𝑖) + ( 𝑥2 + 𝑦2 𝑖) = ( 𝑥1 + 𝑥2)+ ( 𝑦1 + 𝑦2)𝑖̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ( 𝑥1 + 𝑥2) − ( 𝑦1 − 𝑦2)𝑖 =
( 𝑥1 − 𝑦1 𝑖) + ( 𝑥2 − 𝑦2 𝑖) ∴ 𝑧1 + 𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑧1̅ + 𝑧2̅
b)
𝑧1 𝑧2 = ( 𝑥1 + 𝑦1 𝑖)( 𝑥2 + 𝑦2 𝑖)
= 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦1 𝑖 − 𝑦1 𝑦2
𝑧1 𝑧2̅̅̅̅̅̅ = ( 𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2) + ( 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1)𝑖̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= ( 𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2) − ( 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2)𝑖
= 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 𝑖2 − 𝑥1 𝑦2 𝑖 − 𝑥2 𝑦1 𝑖
= 𝑥1( 𝑥2 − 𝑦2 𝑖) + 𝑦1 𝑖( 𝑦2 𝑖 − 𝑥2)
= 𝑥1( 𝑥2 − 𝑦2 𝑖) − 𝑦1 𝑖( 𝑥2 − 𝑦2 𝑖)
= ( 𝑥1 − 𝑦1 𝑖)( 𝑥2 − 𝑦2 𝑖)
𝑧1 𝑧2̅̅̅̅̅̅ = 𝑧1̅ ∙ 𝑧2̅
𝑎̅ = 𝑎 + 0𝑖
𝑎̅ = 𝑎 − 0𝑖
𝑎̅ = 𝑎
Teoremadel 0 complejo
Si 𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 esun polinomioconcoeficientesrealesysi
P(r)=0,donde r es unnúmerocomplejoentoncesP(r)=0 𝑃( 𝑟̅) = 0

15. Es decir los0’s complejosde unpolinomioconcoeficientesrealessi existen,se presentapor
paresconjugados.
𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑟 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑟 𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 = 0
𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑟 𝑛̅̅̅̅̅̅̅ + 𝑎 𝑛−1 𝑟 𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ ⋯+ 𝑎1 𝑟 + 𝑎0 = 0̅
𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛̅̅̅𝑟 𝑛 + 𝑎̅ 𝑛−1 𝑟 𝑛̅−1̅̅̅̅
+ ⋯+ 𝑎1̅̅̅𝑟̅ + 𝑎0̅̅̅ = 0
𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑟 𝑛̅ + 𝑎 𝑛−1 𝑟 𝑛−1̅̅̅̅̅̅
+ ⋯+ 𝑎1 𝑟̅ + 𝑎0 = 0
Ejemplo
𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10
𝑥 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4(1)(10)
2(1)
=
6 ± √36 − 40
2
=
6 ± √−4
2
𝑥 =
6 ± 2𝑖
2
𝑥1 = 3 + 𝑖 𝑥2 = 3 − 𝑖
TeoremaFundamental
Todo polinomioP(x) de grado 𝑛 ≥ 1 concoeficientesrealesocomplejostieneal menosun0 real o
complejo.
Teoremade losn ceros
Todo polinomioP(x) de grado 𝑛 ≥ 1 concoeficientesrealesocomplejosse puede expresarcomo
el productode n factorespor tanto tiene nceros
Por ejemplo:
𝑃( 𝑥) = 4( 𝑥 − 5)3( 𝑥 + 1)2( 𝑥 + 𝑖)( 𝑥 − 𝑖)
𝑟 = 5; 𝑟 = −1
Si -2 esun cerodoble de 𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 + 4𝑥 + 20 escribase P(x) comounproductode
factoresde primergrado
r=-2(doble)
𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥2 + 4𝑥 + 20
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)2 𝑄( 𝑥)
𝑄( 𝑥) =
𝑃( 𝑥)
( 𝑥 + 2)2 =
𝑥4 − 7𝑥2 + 4𝑥 + 20
𝑥2 + 4𝑥 + 4
= 𝑥2 + 4𝑥 + 5

16. 𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑥2 + 4𝑥 + 4 𝑥4 + 0𝑥3 − 7𝑥2 + 4𝑥 + 20
−𝑥4 − 4𝑥3 − 4𝑥2
−4𝑥3 − 112 + 4𝑥
+4𝑥3 + 16𝑥2 + 16𝑥
5𝑥2 + 20𝑥 + 20
− 5𝑥2 − 20𝑥 − 20
0
𝑥 =
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(5)
2(1)
=
4 ± √−4
2
𝑥 =
4 ± 2𝑖
2
∴ 𝑥1 =
4 + 2𝑖
2
𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑥2 =
4 − 2𝑖
2
𝑥2 = 2 − 𝑖
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)2[ 𝑥− (2 + 𝑖)][ 𝑥 − (2 − 𝑖)]
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 2 − 𝑖)( 𝑥 − 2 + 𝑖)
r=3(doble)
𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 12𝑥3 − 55𝑥2 − 1114𝑥 + 80
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 3)2
SeaP(x) unPolinomiode tercergradoconcoeficientesreales.Unae las siguientespreposiciones
esfalsa.Indíquese cual.
a) P(x) Tiene unceroreal
b) P(x) tiene 3ceros
c) P(x) puede tener2 cerosrealesyuno comocomplejo
SeaP(x) unPolinomiode cuartogradocon coeficientesrealesunade lassiguientespreposiciones
esfalsa,indíquese cual
a) P(x) tiene 4ceros
b) P(x) al menos2 cerosreales
c) Si se sabe que P(x) tiene 3raíces o cerosrealesentoncesel 4cero debe serreal
Encuéntrese otros2 cerosde P(x) apartir de cero dado
𝑃( 𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 + 10
3 − 𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜
𝑃( 𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 + 10
𝑥1 = 3 − 𝑖
𝑥2 = 3 + 𝑖
𝑃( 𝑥) = [ 𝑥 − (3 − 𝑖)][ 𝑥 − (3 + 𝑖)] 𝑄( 𝑥)

17. = [ 𝑥 − 3 + 𝑖][ 𝑥 − 3 − 𝑖]
= 𝑥2 − 3𝑥 − 𝑥𝑖 − 3𝑥 + 9 + 3𝑖 + 𝑖𝑥 − 3𝑖 − 𝑖2
= 𝑥2 − 6𝑥 + 10
𝑥 + 1
𝑥2 − 6𝑥 + 10 𝑥3 − 5𝑥2 + 4𝑥 + 10
−𝑥3 + 6𝑥2 − 10𝑥
+𝑥2 − 6𝑥 + 10
−𝑥2 + 6𝑥 − 10
0
Las solucionese laec. 𝑥3 − 1 = 0 son lasraíces cúbicas de una
a) ¿Cuántasraíces cúbicasde l existen(3)
b) Uno esobviamente raízcubicade 1 encuéntrese todas
𝑥 = √1
3
𝑥1 = 1, 𝑥2 = 1, 𝑥3 = 1
𝑥2 + 𝑥 − 1
𝑥 − 1 𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 + 0
−𝑥3 + 𝑥2
𝑥2 + 0𝑥
−𝑥2 − 1𝑥
+ 𝑥 + 0
− 𝑥 + 0
0
−1 + 3𝑖
2
1 + 3𝑖
2
( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑥 =
−1 ± √1 − 4
2
=
−1 ± √3
2
𝑥1 =
−1 + √3𝑖
2
𝑥2 =
−1 − √3𝑖
2
Si P es unafunciónPolinomial de grado“n”con n impar,entonces,cual esel númeromáximode
vecesenla gráficaque y=P(x) puede cruzarel eje X,cuál esel númeromínimode veces
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 → 𝑛
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 → 1
Teoremadel “0” complejo

18. Dado 𝑃( 𝑥) = 𝑥2 + 2𝑖𝑥 − 5 con un 0, igual a 2-i demuestre que dosmási no esun cero de P(x)
¿Este contradice el teoremade cerocomplejo?
(2-i)
𝑥2 + 2𝑖𝑥 − 5
(2 − 𝑖)(2 + 𝑖) = 4 + 2𝑖 − 2𝑖 + 𝑖2
(2 − 𝑖)2 + 2(𝑖(2) − 5)
4 − 2𝑖 + 𝑖2 + 2𝑖(2 + 𝑖) − 5 =
4 − 2𝑖2 + 𝑖 + 4𝑖 + 2𝑖2 − 5
(2 + 𝑖)2 + 2𝑖(2 + 𝑖) − 5
4 + 4𝑖 + 𝑖2 + 4𝑖 + 4𝑖2 − 5 = 8𝑖 − 1 − 5 = 6𝑖 − 6
(2 − 𝑖)2 + 2𝑖(2 − 𝑖) − 5
4 − 4𝑖 + 𝑖2 + 4𝑖2 − 2𝑖2 − 5 = 4
Aislamientode 0’sreales
Seael polinomio 𝑃( 𝑥) = 2𝑥5 − 7𝑥4 + 3𝑥2 + 6𝑥 − 5
𝑃(−𝑥) = 2(−𝑥)5 − 7(−𝑥)4 + 3(−𝑥)2 + 6(−𝑥) − 5
𝑃(−𝑥) = −2𝑥5 − 7𝑥4 + 3𝑥2 − 6𝑥 − 5
Teoremade la Reglade Descartes
Si P(x) esun Polinomioconcoeficientesrealesentonces
1) El númerode 0 realespositivosde P(x) esigual al númerode variaciónde signooigual aeste
númeromenosunenteropar
2) El númerode 0 realesnegativode P(x)esigual al númerode variaciónde signosde P(-x)oes
igual a este número(-) unenteropar
Ej. Determinarel tipoposible de cerosrealesonegativosdel polinomio 𝑃( 𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 −
5
𝑃( 𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 − 5
𝑃(−𝑥) = 3𝑥4 + 3𝑥3 + 3𝑥 − 5
3 cerospositivosouncero positivo
1 ceronegativosoningúnceronegativo
1 3 1 3 1
- 2 2 0 0
C

19. T 4 4 4 4
1 3 3 1 1
- 1 0 1 0
C 1 1 2 3
T 4 4 4 4
+ 3 1
- 1 1
0 0 1
𝑃( 𝑥) = 4𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 + 𝑥 − 5 𝑦 𝑄( 𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 5
3 o 1 (+)
𝑃(−𝑥) = −4𝑥5 + 2𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥 − 5
3 o 1 (-)
T 5 5 5
+ 3 3 1
- 2 0 2
C 0 2 2
0 (+)
𝑃(−𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 + 5
1 (-)
+ 3
+ 0
- 1
C 2
Cotas de 0’s reales
Cota superiore los0’s
Es cualquiernúmeroque esigual omayoral cero más grande del polinomio.
Cota inferior
Es cualquiernúmeroque esmenoroigual al 0 más pequeñodel polinomio
Teorema

20. Supóngase que P(x) esunpolinomioconcoeficientesrealescuyo coeficiente principal espositivo
si supóngase efectuadaladivisiónsintética
𝑃( 𝑥)
𝑥−1
1) Si r mayor que 0 y si todoslosnúmerosdel coeficienteenel procesoladivisiónsonpositivoso0
entoncesres uncota superiorde los0’sde P(x)
2) Si r menorque 0 y si losnúmerosdel coeficiente enel procesode ladivisiónsonalternamente +
o – entoncesresuna cota inferiorde los0’s de P(x)
Ejemplo:Determinarcotas sup.E inf.De loscerosdel polinomio 𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 8𝑥 − 7
𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 + 5𝑥2 − 8𝑥 − 7
2 5 -8 -7
1 2 7 -1 -8
C.S→-2 2 9 10 13
-1 2 3 -11 4
-2 2 1 -10 13
-3 2 -1 -3 8
C.I→-4 2 -3 4 -23
2𝑥3 + 5𝑥2 − 8𝑥 − 7 = ( 𝑥 − 2)(2𝑥3 + 9𝑥2 + 10𝑥) + 13
El 𝑃( 𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 8
1 -4 -5 8
1 1 -3 -8 0
2 1 -2 -9 -10
3 1 0
4 1 -1
C.S 5 1 1
-1 1 -1 -1 10
-2 1 -1 9 -10
Cambiosde signoenP(x)
𝑃( 𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6
x P(x)
-3 -24
-2 0
-1 8
0 6
1 0
2 -4
3 0
Teoremade localización

21. Si P(x) esun polinomioconcoef.Realesysi P(a) yP(b) sonde signosopuestos,entoncesexistenal
menosun0 real entre a y b.
Mostrar que existe al menosunceroreal de 𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 − 6𝑥2 + 6𝑥 + 9 entre unoy dos
1 -2 -6 6 9
1 1 -1 -7 -1 -8; P(1)=-8
2 1 0 -6 -6 -3; P(2)=-3
Pruébese que lagráficade 𝑃( 𝑥) = 𝑥5 + 3𝑥3 + 𝑥 cruza el eje x una solavezsingráficar
P(0)=0
Probar que lagráfica 𝑃( 𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥2 + 7 no cruza el eje x.Nose grafique ay=P(x)
P(0)=7
Localizaciónde cerosracionales
𝑃( 𝑥) = 6𝑥2 − 13𝑥 − 5
6𝑥2 − 13𝑥 − 5 = 0
(6𝑥)2 − 13(6𝑥) − 30 = 0
(6𝑥 − 15)(6𝑥 + 2) = 0
6𝑥 − 15 = 0
6𝑥 = 15
𝑥 =
15
6
=
5
2
6𝑥 + 2 = 0
6𝑥 = −2
𝑥 = −
2
6
= −
1
3
Teoremadel 0 racional
Si el númeroracional b/c,en losteoremasmenores,esun0 del polinomio 𝑃( 𝑥) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 +
𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 con coeficientesenteros,entoncesbdebe serunfactorde a0 (el
términoconstante) yc debe serunfactor de a0 (el términoprincipal)
Listar todosloscerosracionalesde 𝑃( 𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥3 + 𝑥 − 9 valoresposiblesde
b:±1, ±3, ±9
c: ±1, ±2
Posiblescerosracionales
±1, ±3, ±9, ±
1
2
,±
3
2
, ±
9
2

22. Encontrar todoslosceros racionalesde 𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 4
1. Listar losposiblescerosracionales
b: ±1, ±2, ±4
c: ±1, ±2
2. Identificartiposposiblesde ceros
𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 4 2 o 0 cerosposibles
𝑃(−𝑥) = −2𝑥3 − 𝑥2 + 8𝑥 + 4 un cero negativo
(T) Total 3 3
(+) Positivo 2 0
(-) Negativo 1 1
(C) Complejo 0 2
3. Probar losposiblescerosracionalesdel paso1
2 -1 -8 4
1 2 1 -7 -3
2 2 3 -2 0
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 − 2)(2𝑥2 + 3𝑥 − 2)
𝑄( 𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 − 2
2𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0
(2𝑥)2 + 3(2𝑥) − 4 = 0
(2𝑥 + 4)(2𝑥 − 1) = 0
2𝑥 + 4 = 0
𝑥 = −2
2𝑥 − 1 = 0
𝑥 =
1
2
𝑥1 = −2
𝑥2 =
1
2
𝑥3 = 2
Encontrar todoslosceros racionalespara 𝑃( 𝑥) = 3𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 − 6
a:±1, ±2, ±3, ±6
b: ±1, ±2
𝑃( 𝑥) = 3𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥 − 6 1 cero(+)
𝑃(−𝑥) = −3𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 6 2 o 0 ceros(-)
Total 3 3
+ 1 1
- 2 0
C 0 2
𝑎
𝑏⁄ = ±1,±
1
3
, ±2,±
2
3
, ±6,±3

23. 3 10 1 -6
CS +1 3 13 14 8
-1 3 7 -6 0
( 𝑥 + 1)(3𝑥2 + 7𝑥 − 6)
( 𝑥 + 1)(3𝑥2 + 9𝑥 − 2𝑥 − 6)
( 𝑥 + 1)(3𝑥( 𝑥 + 3) − 2( 𝑥 + 3))
( 𝑥 + 1)(3𝑥 − 2)( 𝑥 + 3)
−3, −1,
2
3
𝑥1 = −1
𝑥2 =
2
3
𝑥3 = −3
Encontrar todoslosceros para 𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 − 8𝑥 + 6
b: ±1, ±2, ±3, ±6
c: ±1, ±2
±1, ±2,±3, ±6,±
1
2
, ±
3
2
𝑃( 𝑥) = −2𝑥2 − 5𝑥2 + 8𝑥 + 0
+ 2 0
- 1 1
c 0 2
2 -5 -8 6
1 2 -3 -11 -5
2 2 -1 -10 -14
3 2 1 -5 -9
CS→4 2 3 4 22; cero irracional entre x=3y x=4
-1 2 -7 -1 7; ceroentre x=-1 y x=1
0 2 -5 -8 6; ceroentre x=0 y x=1
½ -4 -4 -10 1 ceroirracional entre x=0 y x=1
C.I -2 2 -9 10 -14; ceroentre x=-1 y x=-2
-3/2 2 -8 4 0
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 +
3
2
) (2𝑥2 − 8𝑥 + 4)

24. 𝑃( 𝑥) = 2( 𝑥 +
3
2
)( 𝑥2 − 4𝑥 + 2)
𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0
+4 ± √16 − 4(1)(2)
2(−4)
=
4 ± √16 − 8
−8
=
4 ± √8
−8
=
4 ± 2√2
8
𝑥1 =
4 + √2
8
𝑥2 =
4 − √2
8
Encontrar tooslos cerosde 𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥2 + 6𝑥 + 5
a:±1, ±5
b: ±1, ±2
𝑎
𝑏⁄ = ±5, ±
5
2
,±
1
2
, ±1
𝑃( 𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥2 + 6𝑥 + 5 2 o 0 (+)
𝑃( 𝑥) = −2𝑥3 − 7𝑥2 − 6𝑥 + 5 1
T 3 3
+ 2 0
- 1 1
C 0 2
2 -7 6 5
1 2 -5 1 5
CS 4 2 1 10 45 raíz irracional entre 3 y 4
CI -1 2 -9 15 -10
-1/2 2 -8 10 0
2 ( 𝑥 +
1
2
) ( 𝑥2 − 4𝑥 + 5)
𝑥 =
−4 ± √16 − 4(5)(1)
2(1)
=
2 + 4𝑖
2
𝑥1 =
4 + 2𝑖
2
= 2 + 𝑖
𝑥2 = 2 − 𝑖
Encontrar todoslosceros irracionales 𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 17𝑥2 − 17𝑥 + 6
b:±1, ±2, ±3, ±6
c: ±1

25. 𝑏
𝑐
= ±1,±2,±3, ±6
𝑃( 𝑥) = 𝑥4 − 7𝑥3 + 17𝑥2 − 17𝑥 + 6 4,2 o 0 (+)
𝑃(−𝑥) = 𝑥4 + 7𝑥3 + 17𝑥2 + 17𝑥 + 6 Nohay ceros (-)
4 4 4
+ 4 2 0
- 0 0 0
c 0 2 4
1 -7 +17 -17 6
1 1 -6 11 -6 0
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 − 1)( 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6)
𝑄( 𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6
b: 1, 2, 3, 6
c: 1
1 -6 11 -6
1 1 -5 6 0
𝑄( 𝑥) = ( 𝑥 − 1)( 𝑥2 − 5𝑥 + 6)
𝑅( 𝑥) = ( 𝑥2 − 5𝑥 + 6)
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 2) = 0
𝑥 = 3 𝑥 = 2
Encontrar todoslosceros racionalesde 𝑃( 𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 + 23𝑥2 + 28𝑥 + 12
b= ±1
c= ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12
𝑏
𝑐
= ±1, ±2,±3, ±4,±6,±12
𝑃( 𝑥) = 𝑥4 + 8𝑥3 + 23𝑥2 + 28𝑥 + 12 0(+)
𝑃(−𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥3 + 23𝑥2 − 28𝑥 + 12 4, 2 o 0 (-)
1 8 23 28 12
-1 1 7 16 12 0

26. 𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 1)( 𝑥3 + 7𝑥2 + 16𝑥 + 12)
𝑄( 𝑥) = 𝑥3 + 7𝑥2 + 16𝑥 + 12
𝑏
𝑐
= −1,−2, −3,−4, −12
1 7 16 12
-1 1 6 10 2
-2 1 5 6 0
𝑃( 𝑥) = ( 𝑥 + 2)( 𝑥2 + 5𝑥 + 6)
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 3) = 0
𝑥1 = −2
𝑥2 = −3
𝑥3 = −2
𝑥4 = −1