El documento trata sobre la programación cuadrática, que minimiza funciones cuadráticas sujetas a restricciones lineales. Explica cómo reconocer ecuaciones de circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas. Luego presenta ejemplos resueltos de problemas de programación cuadrática que involucran minimizar o maximizar funciones cuadráticas sujetas a restricciones.

1. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA
INVESTIGACIÓN OPERATIVA II
MATERIA
UNIDAD 2
TEMA:
FUNCIÒN CUADRATICA
JESSICA PEREZ
SEXTO SEMESTRE A
PERIODO ACADÉMICO
Abril – julio 2015

2. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
2
PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA
Ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática; esta incluye variables
cuadráticas o el producto de 2 variables.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
 La pendiente de una recta.- esta representa el grado de inclinación
de una recta.
𝑚 =
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
𝑚 = tan ∝= 𝑦1
 La distancia entre dos puntos.-
𝑑2
= (𝑥2− 𝑥1)2
+ (𝑦2− 𝑦1)2
 La distancia de un punto a la recta
𝑑 = |
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
√𝑎2 + 𝑏2
CÓMO RECONOCER UNA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA, LA HIPÉRBOLE,
ELIPSE Y PARÁBOLA
Ecuación de la Circunferencia
Esta se reconoce porque tiene dos variables elevadas al cuadrado con un
mismo coeficiente; se representa por: (𝑋1 − ℎ)^2
+ ( 𝑋2 − 𝑘)^2
EJEMPLO 1:
𝑿 𝟐
+ 𝟑𝑿 + 𝒀 𝟐
− 𝟓𝒀 = 𝟑
(𝑥2
+ 3𝑥 +
9
4
) + (𝑦2
− 5𝑦 +
25
4
) = 3 +
9
4
+
25
4
(𝑥 +
3
2
)
2
+ (𝑦 −
5
2
)
2
=
23
2
Centro 𝐶 = (−
3
2
;
5
2
)

3. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
3
Radio 𝑅 = (
23√2
2
)
EJEMPLO 2:
𝟐𝑿 𝟐
+ 𝟐𝒀 𝟐
= 𝟕
𝑋2
+ 𝑌2
= 3.5
𝐶 = (0;0)
𝑅 = √3.5
𝑅 = 1.87
Ecuación de la elipse
A diferencia de la ecuación que representa una circunferencia, en la elipse
los coeficientes de los cuadrados son diferentes.
Las curvas que más se utilizan en I.O. son la circunferencia y la elipse.
Ecuación de la hipérbole
Cuando la ecuación tiene signo negativo representa una hipérbole.
Ecuación de la parábola
EJEMPLO 1:
2𝑥2 + 3𝑦2 = 8
2𝑥2
8
+
3𝑦2
8
=
8
8
√
𝑥2
4
+ √
𝑦2
8
3
= 1
𝑥 = ±2
𝑦 = ±1.6
EJEMPLO 2:
5𝑥2 + 7𝑦2 = 11
5𝑥2
11
+
7𝑦2
11
=
11
11
√
𝑥2
11
5
+ √
𝑦2
11
7
= 1
𝑥 = ±1.5
𝑦 = ±1,3
EJEMPLO 2

4. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
4
Se da cuando tengo una variable cuadrática y una lineal.
Ejemplo:
2𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑦 = 7
𝑦 = 7 − 2𝑥2
− 3𝑥
Ahora, para saber hacia dónde se abre la parábola, debo asignar valores
a x y a y:
Programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento que
minimiza una función cuadrática de n variables sujetas a m restricciones
lineales de igualdad o desigualdad.
EJERCICIO 1
Minimizar 𝒛 = ( 𝒙 𝟏 − 𝟐) 𝟐
+ ( 𝒙 𝟐 − 𝟐) 𝟐
s.a 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 3
8𝑥1 + 5𝑥2 ≥ 10
𝑥 𝑖 ≥ 0
Resolución:
1.- En este caso puedo determinar las coordenadas del centro de la
circunferencia:
𝑪 = (𝟐; 𝟐)
2.- Resuelvo las restricciones y gráfico:
x Y
-3 -2
-2 5
-1 8
0 7
1 2
2 -7
3 -20
GRÁFICO PARÁBOLA

5. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
5
𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟑
X1 X2
0 3/2
3 0
(3;1.5)
0≤3 Verdadero
𝟖𝒙 𝟏 + 𝟓𝒙 𝟐 = 𝟏𝟎
X1 X2
0 2
5/4 0
(1.25;2)
0≥10 Falso
3.- Calculo la pendiente (m) de la recta cuyo punto esté más cercano al
origen, despejando en la ecuación de la recta que está alejada.
𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑥2 =
−𝑥1 + 3
2
𝑥2 = −
1
2
𝑥1 +
3
2
𝑚1 = −
1
2
𝒎 𝟏 ∗ 𝒎 𝟐 = −𝟏
−
1
2
∗ 𝑚2 = −1
𝑚2 = 2
4.- Reemplazo en la ecuación de la recta,la pendiente(de la rectacercana
al origen) hallada y los puntos centro de la ecuación (de circunferencia)
dada.

6. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
6
𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙 𝟏)
𝑦 − 2 = 2(𝑥 − 2)
𝑥2 − 2 = 2( 𝑥1 − 2)
𝑥2 − 2 = 2𝑥1 − 4
−2𝑥1 + 𝑥2 = −2
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
5.- Despejo por eliminación:
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
(-2) 𝑥1 + 2𝑥2 = 3
2𝑥1 − 𝑥2 = 2
−2𝑥1 − 4𝑥2 = −6
−5𝑥2 = −4
𝒙 𝟐 = 𝟒/𝟓
2𝑥1 −
4
5
= 2
𝑥1 =
2 +
4
5
2
𝒙 𝟏 =
𝟕
𝟓
Los puntos resaltados se dibujan en el plano y representan el punto que
minimiza la función. La circunferencia debe tocar en este punto.
Para graficar la circunferencia, calculo la distancia desde el punto centro
a la recta (basado en la nueva ecuación para la recta más cercana al
origen) y obtengo el valor de mi radio.
𝑑 = |
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
√𝑎2+𝑏2 𝑑 = |
2(2)+(−1)(2)+2
√22 +22 𝑑 = |
4
√8
𝑑 = |1.41
6.- Reemplazar en Z
𝑧 = (
7
5
− 2)
2
+ (
4
5
− 2)
2
𝑧 = 1.8
EJECICIO 2
Minimizar 𝒁 = −𝟔𝒙 𝟏 − 𝟏𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 𝟏
𝟐
− 𝟒𝒙 𝟐
𝟐
s.a 𝑥2 + 𝑥3 = 20

7. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
7
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 = 23
𝑥1 ≥ 0
Resolución:
𝒙 𝟑 = 0
𝒙 𝟒 = 0
𝒙 𝟐 = 20
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟒 = 𝟐𝟑
𝒙 𝟏 + 20 + 0 = 23
𝒙 𝟏 = 3
𝑍 = −6(3)− 13(20)− 3(20) − 4(3)2
− 4(202)
𝑍 = 1974
EJERCICIO 3
Minimizar 𝒁 = ( 𝒙 𝟏 − 𝟔) 𝟐
+ ( 𝒙 𝟐 − 𝟖) 𝟐
S.a. 𝑥1 ≤ 7
𝑥2 ≤ 5
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 12
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 9
𝑥 𝑖 ≥ 0
Desarrollo
𝒙 𝟏 = 7
𝒙 𝟐 = 5 𝒙 𝟏 + 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟏𝟐
X1 X2
0 6
12 0
(12; 6)
0≤12 Verdadero
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = 𝟗
X1 X2
0 9
9 0
(9;9)
0≤9 Verdadero

8. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
8
𝑑 = |
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
√𝑎2+𝑏2 𝑑 = |
1(6)++2(8)(2)−12
√12 +22 𝑑 = |
10
√5
𝑑 = |4.47
(𝑋1 − ℎ)2
+ ( 𝑋2 − 𝑘)2
= 𝑅
(𝑋1 − 6)2
+ ( 𝑋2 − 8)2
= (
10
√5
)
2
Despejo 𝑋1 de 𝑥1 + 2𝑥2 = 12
𝑥1 = −2𝑥2 + 12 .- Reemplazo en la ecuación de la circunferencia:
(−2𝑥2 + 12 − 6)2
+ ( 𝑋2 − 8)2
= 20
(6 − 2𝑥2)2
+ ( 𝑋2 − 8)2
= 20
36 − 4𝑥2 + 4𝑥2 + 𝑥2 − 16𝑥2 + 64 − 20 = 0
5𝑥2
2
− 20𝑥2 + 80 = 0
5𝑥2
2
− 20𝑥2 + 80 = 0
5
𝑥2
2
− 4𝑥2 + 16 = 0
(𝑥2 − 4)^2 = 0 𝑥2 = 4 𝑥1 = 12 − 8 𝑥1 = 4
EJERCICIO 5
MAXIMIZAR 𝑍 = ( 𝑋 − 3)2
+ ( 𝑌 − 1)2
S.a. 2𝑋 + 𝑌 ≤ 2
𝑋 + 3𝑌 ≤ 3
𝑌 ≤ 4
C= (3,1)
2𝑋 + 𝑌 ≤ 2
X Y
0 2
1 0

9. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
9
(1,2) Verdadero
𝑋 + 3𝑌 ≤ 3
X Y
0 1
3 0
(3,1) Verdadero
Y=4 Verdadero
𝑑 = |
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
√𝑎2+𝑏2 𝑑 = |
2(3)+1(1)−2
√4+1
𝑑 = |
5
√5
𝑑 = |2.24
( 𝑋 − 3)2
+ ( 𝑌 − 1)2
= (
5
√5
)
2
2𝑋 + 𝑌 = 2
𝑌 = 2 − 2𝑋
( 𝑋 − 3)2
+ (2 − 2𝑋 − 1)2
= 5
𝑋2
− 6𝑋 + 9 + (1 − 2𝑋)2
= 5
𝑋2
− 6𝑋 + 9 + 1 − 4𝑋 + 4𝑋2
− 5 = 0
5𝑋2
− 10𝑋 + 5 = 0
5
𝑋2
− 2𝑋 + 1 = 0
( 𝑋 − 1)^2 =0
𝑿 = 𝟏
𝑌 = 2 − 2(1) 𝒀 = 𝟎
EJERCICIO 6
MINIMIZAR 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟑 Representa la ecuación de una
parábola
Para hallar el vértice en X 𝑉𝑋 =
−𝑏
2𝑎
𝑉𝑋 =
−2
2(1)
𝑉𝑋 = −1
Para hallar el vértice en Y 𝑉𝑌 = (−1)2
+ (2)(−1)− 3

10. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
10
𝑉𝑌 = −4
Vértice de la parábola (-1,-4)
Puntos de corte para f(x) o y; x=0
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑓( 𝑥) = 02
+ 2(0) − 3
𝑓( 𝑥) = −3 Punto de corte (0,-3)
Punto de corte para x; f(x)=0
𝑜 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 3
𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 0
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥1 = −3
𝑥2 = 1
ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO
 Este método se aplica para obtener soluciones enteras.
𝑥 ≤ ⟦ 𝑎⟧ 𝑥 ≥ ⟦ 𝑎⟧ + 1

11. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
11
⟦−3,5⟧ = −4
⟦−3,8⟧ = −4
⟦−3,2⟧ = −4
⟦2,5⟧ = 2
⟦2,8⟧ = 2
⟦2,1⟧ = 2
La parte entera es el número que no excede al número dado.
 En esta técnica al maximizar encontramos el menor valor, y
 Al minimizar encontramos el mayor valor.
ALGORITMO DE BRANCH AND BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTAMIENTO)
Es un algoritmo diseñado para la resolución de modelos de programación
entera, sin embargo, es muy frecuente que la naturaleza del problema nos
indique que las variables son enteras o binarias. Su operatoria consiste en
resolver este como si fuese un modelo de programación lineal y luego
generar cotas en caso que al menos una variable de decisión adopte un
valor fraccionario. El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o
restricciones adicionales) que favorecen la obtención de valores enteros
para las variables de decisión.
En este contexto resolver el modelo lineal asociado a un modelo de
programación entera se conoce frecuentemente como resolver la
relajación continua del modelo entero.
EJERCICIO 1:
MAIMIZAR 𝒁 = 𝟑𝑿 𝟏 + 𝟒𝑿 𝟐
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
DESARROLLO
- 0 +

12. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
12
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
X y
0 6
3 0
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9
x y
0 3
9/2 0
C= (3, 3/2)
Resolver las ecuaciones por eliminación:
(-1) 2𝑋1 + 𝑋2 = 6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
- 2𝑋1 − 𝑋2 = −6
2𝑋1 + 3𝑋2 = 9
2𝑋2 = 3
𝑋2 =
3
2
𝑋2 = 1,5 𝑍 = 3𝑋1 + 4𝑋2 𝑍 = 12,75
Solución óptima o problema relajado
𝑍 = 12
𝑋1 = 0
𝑋2 = 3
𝑍 = 10
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2
𝑍 = 12,2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2,3
𝐼𝑛𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑍 = 10
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1
𝑍 = 12,5
𝑋1 = 1,5
𝑋2 = 2
𝑍 = 12,8
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1,7
𝑍 = 9
𝑋1 = 3
𝑋2 = 0
𝒁 = 𝟏𝟐,𝟕𝟓
𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓
𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟐
X1≤2 X1≥3
X2≤1 X2≥2
X1≤1 X1≥2
X2≤2 X2≥3

13. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
13
SOLUCIÓN ENTERA Z=12; X1=0 X2=3
Cotas:
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤
2,5
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 3
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≤ 1
𝑋2 = 1
𝑋1 = 2
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋2 = 2
𝑋1 = 1,5
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 2,3
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 = 1
𝑋2 = 2,3
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7
𝑋1 ≤ 2
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1,7
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤
0 𝑋2 = 0
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1
𝑋1 ≥ 3
𝑋1 = 3
𝑋2 = 0
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋2 ≤ 1,7
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≥ 2
𝑋1 = 2
𝑋2 = 1
INFACTIBLE
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 1,5
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 2
𝑋2 = 2
𝑋1 = 1
2𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤
1,5
2𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 9 𝑋1 ≤ 0
𝑋1 ≤ 2
𝑋2 ≥ 2
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 3
𝑋2 = 3
𝑋1 = 0

14. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
14
EJERCICIO 2
MINIMIZAR 𝒁 = −𝟓𝑿 𝟏 − 𝟖𝑿 𝟐
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
𝑋𝑖 ≥ 0; 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6
𝑋1 = 6
𝑋2 = 6
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
X Y
0 5
9 0
−5𝑋1 − 5𝑋2 ≤ −30
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45
4𝑋2 ≤ 15
𝑋2 ≤ 3,75
𝑋1 + 3,75 ≤ 6
𝑋1 ≤ 2,25
𝑍 = −41,25
𝑍 = −39
𝑋1 = 3
𝑋2 = 3
𝑍 = −41
𝑋1 = 1,8
𝑋2 = 4
𝒁 = 𝟒𝟏,𝟐𝟓
𝑿 𝟏 = 𝟐, 𝟐𝟓
𝑿 𝟐 = 𝟑, 𝟕𝟓
𝑍 = −40,2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4,4
𝑁𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑍 = −37
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4
𝑍 = −40
𝑋1 = 0
𝑋2 = 5
X2≤3 X2≥4
X1≤1 X1≥2
X1≤1
X2≤4
X2≥5

15. INVESTIGACIÒN OPERATIVA II
15
SOLUCIÓN 𝑍 = −40 𝑋1 = 0 𝑋2 = 5
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 3
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 3,6
𝑋2 ≤ 3
𝑋1 ≤ 3
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋1 ≤ 2
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋1 ≤ 1,8
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≥ 1,8
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 5
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 4,4
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 = 1
𝑋2 ≤ 4,4
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 4
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 3,89
𝑋2 ≥ 4
𝑋1 ≥ 2
𝑋1 = 1
𝑋2 = 4
No Factible
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 2
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 1,8
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≤ 4
𝑋2 = 4
𝑋1 ≤ 1
𝑋1 + 𝑋2 ≤ 6 𝑋2 ≤ 1
5𝑋1 + 9𝑋2 ≤ 45 𝑋2 ≤ 0
𝑋1 ≤ 1
𝑋2 ≥ 5
𝑋2 = 5
𝑋1 = 0