El documento presenta información sobre integración múltiple. Explica que las integrales iteradas involucran realizar procesos de integración simple sucesivamente considerando las diferenciales dx y dy. También describe cómo calcular el área de una región plana limitada por funciones mediante integración doble, y cómo el orden de integración puede afectar el cálculo. Además, muestra ejemplos numéricos de cómo resolver este tipo de integrales.

1. Instituto Tecnológico de Saltillo
UNIDAD 5
“Integración múltiple”
Cálculo Vectorial
Maestra: MC. Araceli Elizabeth
Rodríguez Contreras
Equipo #5
Fernanda Nava Charles 14050210
Alexis Yaber García 14051210
Osvaldo Orta Salomón 14051234
Horacio Torres Navarro 14050210
Eduardo Marines de la Cruz 12050811
Adolfo López Rivera 15030504
20 de noviembre de 2015
1

2. 2
1.- Integrales Iteradas ………………………………………………………………………………………………………. 3
2.- Área de un región
plana ............................................................................................................ 8
3.- Comparación de
órdenes de integración
distintos
………………………………………………………………………………………………………. 25
4.- Integración doble y
su cálculo ……………………………………………………………………………………………………... 29
5.- Volumen de una
región acotada por 2
superficies
………………………………………………………………………………………………………. 32

3. Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos
de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las
integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de
integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la
diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.
3

4. Siendo R la región limitada por las curvas y=
3
2
x, y=
1
2
𝑥2 y las rectas x=
1
2
, x = 2
𝑅
𝑑𝐴= 𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1
2
2
1
2
𝑥2
3
2
𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
A= 1
2
2 3
2
𝑥 −
1
2
𝑥2 𝑑𝑥
A =
3
2
1
2
2
𝑥 𝑑𝑥-
1
2
1
2
2
𝑥2 𝑑𝑥 =
3
2
𝑥2
2
2
1
2
-
1
2
𝑥3
3
2
1
2
=
3
2
1
2
2 2
−
1
2
1
2
2
−
1
2
1
3
2 3
−
1
3
1
2
3
A=
3
2
1
2
4 −
1
2
1
4
−
1
2
1
3
8 −
1
3
1
8
=
3
2
4

5. 𝑦 =
1
2
𝑥2
𝑦 =
3
2
x
x=
1
2
𝑥 𝑥 = 3
5

6. 0
1
𝑥
1+𝑥
2𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥.
0
1
𝑥
1+𝑥
2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
0
1
2𝑥
𝑦
2
2 1 + 𝑥
𝑥
𝑑𝑥
=
0
1
𝑥 𝑦 2
1 + 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
0
1
𝑥 1 + 𝑥 2 − x 𝑥 2 𝑑𝑥
=
0
1
𝑥 1 + 2𝑥 + 𝑥2 − 𝑥( 𝑥) 𝑑𝑥
=
0
1
𝑥 + 2𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
0
1
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑑𝑥
=
𝑥
2
2
+
𝑥
3
3
+
𝑥
4
4 1
0
=
1
2
+
1
3
+
1
4
− 0 =
13
12
6

7. 𝑥 = 1
𝑥 = 0
𝑦 = 1 + 𝑥
𝑦 = 𝑥
7

8. -CUANDO SUS LIMITES SON CONSTANTES.
- CASO 1 (VERTICALMENTE SIMPLE)
- CASO 2 (HORIZONTALMENTE SIMPLE)
8

9. Cuando nos encontramos con una función donde los cuatro limites son constantes, se
trabajara de la siguiente manera:
Ya estos son constantes, la región de integración es rectangular. Como se muestra en la grafica.
x
d - c
b - a
y
ba
c
d
Área= 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑑𝑦𝑑𝑥 = (𝑑 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎)
La región puede ser simple
verticalmente u horizontalmente
ya que podemos usar cualquier
orden de integración.
9

10. 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑐
𝑑
𝑑𝑦 = y = d – c
d – c 𝑎
𝑏
𝑑𝑥 = 𝑑 − 𝑐𝑥 = [𝑑 − 𝑐 − [𝑏 − 𝑎
d
c
b
a
10

11. 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 =
𝑐
𝑑
𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑐
𝑑
𝑦 𝑑𝑦 =
𝑥𝑦2
2
=
𝑥𝑑2
2
−
𝑥𝑐2
2
𝑎
𝑏 𝑥𝑑2
2
−
𝑥𝑐2
2
=
𝑑2
2
𝑥 −
𝑐2
2
𝑥 =
𝑥𝑑2
2
𝑥2
2
−
𝑥𝑐2
2
𝑥2
2
=
𝑑2 𝑥2
4
−
𝑐2 𝑥2
4
=
[
𝑑2 𝑏2
4
−
𝑐2 𝑏2
4
]-[
𝑑2 𝑎2
4
−
𝑐2 𝑑2
4
]
d
c
a
b
11

12. Una región plana como la que se muestra en la siguiente figura, puede ser representada
como:
Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:
12

13. Entonces tal como se había mencionado, una integral doble sobre la región
plana R tiene la forma:
𝑅
.
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴d
Esta integral doble puede ser integrada de dos maneras:
13

14. 𝑥=𝑎
𝑥=𝑏
𝑦=𝑔(𝑥)
𝑦=𝑓(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
14

15. 𝑦=𝑐
𝑦=𝑑
𝑥=𝑔(𝑦)
𝑥=𝑓(𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
15

16. Calcular 𝑥𝑑 𝐴 donde R es la región limitada por y=2x, y= 𝑥2
0
2
𝑥2
2𝑥
𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
16

17. 0
2
𝑥2
2𝑥
𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑥2
2𝑥
𝑥𝑑𝑦 = x 𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥 2𝑥 − 𝑥( 𝑥2
) = 2𝑥2
− 𝑥3
0
2
2𝑥2 − 𝑥3dx =
2
3
𝑥3 −
1
4
𝑥4 =
[
2(2)3
3
− (
(2)4
4
) ] - [ 0 ] =
16
3
− 4 =
4
3
2x
𝑥2
2
0
17

18. 0
1
0
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥 + 1
2
0
1
𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
18

19. 0
1
0
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥 +
1
2
0
1
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
0
𝑦
𝑑𝑦 = 𝑦 = x – 0 = x = 0
1
𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
=
(1)2
2
− 0 =
1
2
0
1
𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦 =
1
𝑥
− 0 =
1
𝑥
= 1
2 1
𝑥
dx = lnx =
ln 2 – ln1 = ln 2 =
1
2
+ 𝑙𝑛2
x
0
0
1
1
𝑥
0
2
1
19

20. 0
4
𝑦
2
𝑦
𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦
20

21. 0
4
𝑦
2
𝑦
𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
2
𝑦
𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
2
= [
( 𝑦)2
2
− (
𝑦
2
2
)2
] =
𝑦
2
−
𝑦2
4
2
1
=
𝑦
2
−
𝑦2
8
0
4 𝑦
2
−
𝑦2
8
𝑑𝑦 =
1
2 0
4
𝑦 −
1
8 0
4
𝑦2
𝑑𝑦 =
1
2
𝑦2
2
−
1
8
𝑦3
3
=
𝑦2
4
−
𝑦3
24
=
(4)2
4
−
(4)3
24
- 0 =
16
4
−
64
24
= 4 −
8
3
=
4
3
𝑦
𝑦
2
4
0
21

22. 0
1
𝑌
3
𝑌
12𝑋2
𝑒 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
22

23. 0
1
𝑌
3
𝑌
12𝑋2 𝑒 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑦
3 𝑦
12𝑥2 𝑒 𝑦2
𝑑𝑥 = 12𝑒 𝑦2
𝑥2 𝑑𝑥 =
12
3
𝑒 𝑦2
𝑥3 =
[4𝑒 𝑦2
(3
𝑦)3
]-[4 𝑒 𝑦2
(𝑦3
)] = 4 𝑒 𝑦2
y - 4𝑦3
𝑒 𝑦2
dy
Nota: realizaremos cambio de variable para poder solucionar la ecuación.
y
3
𝑦
23

24. Sustituir 𝑦2
= 𝑡 𝑦 𝑑𝑦 =
𝑑𝑡
2𝑦
4𝑦𝑒 𝑦2
- 4𝑦3 𝑒 𝑡(
𝑑𝑡
2𝑦
)
-2 𝑡𝑒 𝑡
𝑑𝑡 = Realizar integral por partes, donde
4𝑦 𝑒 𝑡(
𝑑𝑡
2𝑦
) u=t, du=dt, dv = 𝑒 𝑡dt, v=𝑒 𝑡
2 𝑒 𝑡dt -2[t𝑒 𝑡- 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ]
2 𝑒 𝑡
𝑑𝑡 -2(t𝑒 𝑡
-𝑒 𝑡
)
2𝑒 𝑡
2𝑒 𝑡 -2(t𝑒 𝑡-𝑒 𝑡) = 2𝑒1 − 2𝑒0-2(1𝑒1 − 𝑒1) + 2 𝑜𝑒0 = 2𝑒 − 2 − 2𝑒 + 2𝑒 − 2 = 2𝑒 − 4
1
o
1
o
24

25. A la vista de los límites de
integración propuestos, vemos
que:
y² ≤ x ≤ 4 (Límites interiores)
De modo que la región o área a
integrar está acotada a la
izquierda por la parábola x = y² y
a la derecha por la recta x = 4
Además, como:
0 ≤ y ≤ 2 (Límites exteriores)
25

26. La región anterior esta acotada por abajo por el eje x, como se mostró en la
figura anterior. Y el valor de esa integral es el siguiente:
0
2
𝑦2
4
𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0
2
4 − 𝑦² 𝑑𝑦 = 4𝑦 −
𝑦3
3
2
0
=
16
3
Para cambiar el orden de integración a 𝑑𝑦 𝑑𝑥, colocamos un rectángulo vertical
en la región, como se puede observar en la siguiente figura. Así vemos que las
cotas constantes 0 ≤ x ≤ 4 sirven como límites de integración. Despejando y en la
ecuación x = y ², podemos concluir que los límites interiores son 0 ≤ y ≤ √x. Por lo
tanto el área de la misma región se puede representar por
0
4
0
√𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
26

27. 0
4
0
√𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0
4
𝑦 √𝑥
0
𝑑𝑥
= 0
4
𝑥 𝑑𝑥
=
2
3
𝑥
3
2
4
0
=
𝟏𝟔
𝟑
Con el cálculo de esta integral,
comprobamos que da el mismo
valor que la integral dada
originalmente.
27

28. 0
1
−√𝑦
√𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
X = −√y X = √y
𝑥2
= 𝑦 𝑥2
= −𝑦
Cambio de orden
A = −1
1
𝑥2
1
𝑑𝑦 𝑑𝑥

29. La integral doble es integrar funciones de dos variables f(x,y) para lo cual se emplearan las
mismas técnicas que se utilizaron en la evaluación de las integrales simples. Sin embargo como
se incluyen dos variables, se debe integrar f(x,y) manteniendo una variable fija e integrando
respecto a la otra.
(a) Área bajo una curva y (b) Volumen debajo de una superficie.
29

30. 30

31. 31

32. Ejemplo 1
0
4
0
2
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Paso 1
0
4
0
2
𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 dx
0
4
𝑥𝑦 +
𝑦2
2
2
0
dx
Paso 2
0
4
𝑥 2 +
22
2
dx = 0
4
2𝑥 + 2𝑑𝑥
32

33. Paso 3
2
𝑥2
2
+2x
4
0
42
+2(4)
Resultado
V=24 𝑢3
33

34. Ejemplo 2
0
3
0
5
𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥
Paso 1
0
3
0
5
𝑥𝑦 𝑑𝑦 dx
0
3
𝑥
𝑦2
2
5
0
dx
Paso 2
0
3
𝑥
52
2
dx = 0
3
12.5𝑥 𝑑𝑥
34

35. Paso 3
12.5
𝑥2
2
3
0
12.5
32
2
Resultado
V = 56.25 𝑢3
35