1. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
CRISTIAN LEONARDO MEJÍA JIMÉNEZ
WILLIAN ANDRES MORENO FRANCO
GLORIA CLEMENCIA SALAZAR
JENNY CAROLINA LANDINO
GRUPO: 100411_398
CALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
NOVIEMBRE 2020
2. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS A :CRISTIAN LEONARDO MEJÍA
JIMÉNEZ
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas
a. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
y 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
; 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Igualamos las funciones
𝑥 −
1
2
= 2𝑥2
−
7
2
Igualamos a 0
𝑥 − 2𝑥2
−
7
2
+
1
2
= 0
Operamos
−2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 0
Multiplicamos x2
−4𝑥2
+ 𝑥(2) − 6 = 0
Dividimos entre 2
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
2
= 0
𝑥 −
3
2
= 0; 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =
3
2
; 𝑥 = −1
3. 𝐴 = ∫ [𝑥 −
1
2
− (2𝑥2
−
7
2
)]𝑑𝑥
3
2
−1
𝑨 =
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟒
= 𝟓.𝟐𝟏
2. Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución
a. Determine el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de 𝑦 =
𝑥2
− 6𝑥 alrededor del eje 𝑥 en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 6. Representar en Geogebra la región a
rotar y anexar un pantallazo del solido de revolución generado
𝑉 = ∫ 𝜋 𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Se gráfica en Geogebra
5. 𝑽 = 𝝅
𝟏𝟐𝟗𝟔
𝟓
= 𝟖𝟏𝟒,𝟑𝟎𝟎𝟖
Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias
En un estudio económico la función demanda y oferta es como aparecen: 𝐷(𝑥) =
(𝑥 + 3)2
𝑦 𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4 calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio.
𝐷(𝑥) = (𝑥 + 3)2
𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
Operamos
(𝑥 + 3)2
= 𝑥2
+ 𝑥 + 4
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
Igualamos a 0
𝑥2
+ 𝑥2
+ 6𝑥 − 𝑥 + 9 − 4 = 0
5𝑥 − 5 = 0
𝑥 =
5
5
𝑥 = 𝟏 La nombramos “q”
Reemplazamos en la formula
𝐷(𝑥) = (1 + 3)2
𝐷(𝑥) = 42
𝐷(𝑥) = 𝟏𝟔 La nombramos “p”
𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
𝑆(𝑥) = 12
+ 1 + 4
𝑆(𝑥) = 𝟔
Formula del excedente del producto
𝐸𝑃 = 𝑝. 𝑞 − ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑞
0
𝐸𝑃 = (16)(1)− ∫ 6 𝑑𝑥
1
0
6. 𝐸𝑃 = 16 − ∫ 6 𝑑𝑥
1
0
𝐸𝑃 = 16 − 6 = 10
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
La función de Costo Marginal de fabricar un producto es 𝐶𝑀=12𝑥2
−50𝑥, donde 𝑥 representa
el número de unidades fabricadas. Si se conoce que el costo total es de $150.000 cuando se
fabrican 15 unidades.
- Obtener el valor de la constante
𝐶𝑀 = 12𝑥2
− 50𝑥
𝑥 = 15
𝐶𝑇 = 150.000
Operamos
𝐶 = ∫ (12𝑥2
− 50𝑥)𝑑𝑥
15
0
𝐶 = ∫ (12𝑥2)𝑑𝑥 − ∫ (50𝑥)𝑑𝑥
15
0
15
0
Resolvemos las integrales
∫ (12𝑥2)𝑑𝑥 = 13.500
15
0
∫ (50𝑥)𝑑𝑥 = 5.625
15
0
𝐶 = 13.500 − 5625
𝑪 = 𝟕.𝟖𝟕𝟓
7. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS B : WILLIAN ANDRES MORENO FRANCO
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Determinar el área de la región limitada por las curvas 𝑓(𝑥) = −3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥3
− 12𝑥
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Solución:
Hallemos primero los puntos de corte igualando las funciones:
−3𝑥 = 𝑥3
− 12𝑥
𝑥3
− 9𝑥 = 0
𝑥(𝑥2
− 9) = 0
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 0
Luego
𝑥 = 0
𝑥 = −3
𝑥 = 3
𝐴1 = ∫ [𝑥3
− 12𝑥 + 3𝑥]
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥3
− 9𝑥]
0
−3
𝑑𝑥 = (
𝑥4
4
−
9𝑥2
2
)
0
−3
= − (
(−3)4
4
−
9(−3)2
2
) = 20.25
𝐴2 = ∫ [−3𝑥 − 𝑥3
+ 12𝑥]
3
0
𝑑𝑥 = ∫ [−𝑥3
+ 9𝑥]
3
0
𝑑𝑥 = (−
𝑥4
4
+
9𝑥2
2
)
3
0
= (−
(3)4
4
+
9(3)2
2
) = 20.25
Por tanto, el área total es 𝐴1 + 𝐴2 = 20.25 + 20.25 = 40.5
8. Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.
Sea R la región limitada por 𝑔(𝑥) = √10 − 𝑥, ℎ(𝑥) = √9𝑥 y la recta 𝑦 = 0.
Determine el volumen del sólido cuando R se hace girar alrededor del eje 𝑦. Representar en
GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑦)2
− 𝑟(𝑦)2
]
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
Hallamos los puntos de corte entre las dos funciones:
√10 − 𝑥 = √9𝑥
10 − 𝑥 = 9𝑥
10 = 9𝑥 + 𝑥
10 = 10𝑥
1 = 𝑥
ℎ(1) = √9(1) = 3
Luego el punto de intersección es (1,3), luego bajo el método 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑦)2
−
𝑏
𝑎
𝑟(𝑦)2
]𝑑𝑦, se integrará de 𝑎 = 0, 𝑏 = 3 sobre el eje 𝑦. Luego 𝑅(𝑦) = 10 − 𝑦2
y 𝑟(𝑥) =
𝑦
9
2
, luego la integral queda de la siguiente manera:
𝑉 = ∫ 𝜋 [(10 − 𝑦2)2
− (
𝑦
9
2
)
2
]
3
0
𝑑𝑦
= ∫ 𝜋 [𝑦4
− 20𝑦2
+ 100 −
𝑦
81
4
]
3
0
𝑑𝑦
= 𝜋 [
𝑦5
5
−
20
3
∗ 𝑦3
−
1
81
∗
𝑦5
5
+ 100 ∗ 𝑦]
3
0
= 𝜋 [
35
5
−
20
3
∗ 33
−
1
81
∗
35
5
+ 100 ∗ (3)] = 168𝜋 ≈ 527.79
Luego el volumen es aproximadamente 527.79 𝑢3
9. Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Si una fuerza de 45 kg alarga un resorte 9 cm.
Determine el trabajo que se requiere para alargar el resorte 6 cm más.
Como 𝐹 = 𝑘𝑥 y 𝑥 = 0.09 𝑚 cuando 𝐹 = 45 𝑘𝑔entonces 𝑘 =
45
0.09
= 500
El trabajo requerido para alargar 6 𝑐𝑚 más (es decir 15 𝑐𝑚 ) está dado por:
10. 𝑊 = ∫ 500𝑥
0.15
0.09
𝑑𝑥
𝑊 = (250𝑥2
)
0.15
0.09
𝑊 = 250(0.152
− 0.092) = 3.6 𝑘𝑔𝑚
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
Un móvil se mueve sobre una línea recta y parte del punto 𝑥 =
3
2
con una velocidad de 6
𝑚
𝑠
y aceleración variable según (4𝑡 −
2
3
)
𝑚
𝑠2
- ¿Cuál es su posición cuando 𝑡 = 3 𝑠?
Hallamos la función velocidad a partir de la función aceleración:
𝑣(𝑡) = ∫ (4𝑡 −
2
3
)𝑑𝑡 = 2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 𝐶
𝑣(0) = 2 ∗ (0)2
−
2
3
0 + 𝐶 = 6
𝐶 = 6
𝑣(𝑡) = 2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 6
11. Luego hallamos la función posición a partir de la función velocidad:
𝑥(𝑡) = ∫ (2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 6) 𝑑𝑡 =
2
3
𝑡3
−
1
3
𝑡2
+ 6𝑡 + 𝐶
𝑥(0) =
2
3
03
−
1
3
02
+ 6(0) + 𝐶 =
3
2
𝐶 =
3
2
𝑥(𝑡) =
2
3
𝑡3
−
1
3
𝑡2
+ 6𝑡 +
3
2
Por último, hallamos la posición en el tiempo 𝑡 = 3 𝑠
𝑥(3) =
2
3
33
−
1
3
32
+ 6 ∗ 3 +
3
2
=
69
2
Luego la posición del móvil cuando 𝑡 = 3 𝑠 es
69
2
𝑚.
12. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS C : JENNY CAROLINA LANDINO
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Determinar el área de la región limitada por las curvas
𝑓(𝑦) = 2 + 4𝑦 y 𝑔(𝑦) = 2𝑦 ^2 + 4𝑦 − 30
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. Nótese que 𝑥
= 𝑓(𝑦) o 𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝑓(𝑦) = 2 + 4𝑦
𝑔(𝑦) = 2𝑦2
+ 4𝑦 − 30
Hallamos los puntos de intersección
𝑓(𝑦) = 𝑔(𝑦)
Igualamos
2 + 4𝑦 = 2𝑦2
+ 4𝑦 − 30
−2𝑦2
+ 4𝑦 + 2 = 4𝑦 − 30
−2𝑦2
+ 2 = −30
−2𝑦2
= −32
𝑦2
= 16
𝑦 = ±√16
𝒚 = 𝟒 𝒚 = −𝟒
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
Reemplazamos
13. 𝑨 = ∫ [(𝟐 + 𝟒𝒚) − (𝟐𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚 − 𝟑𝟎)]𝒅𝒚
𝟒
−𝟒
𝑨 = ∫ [−2𝑦2
+ 32)]𝑑𝑦
4
−4
∫ [−2𝑦2]𝑑𝑦
4
−4
+ ∫ [32 ]𝑑𝑦
4
−4
= −
256
3
+ 256
=
𝟓𝟏𝟐
𝟑
≈ 𝟏𝟕𝟎.𝟔𝟔𝟕
Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.
c. Encontrar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar
alrededor del eje 𝑥 la región encerrada entre las curvas 𝑦=𝑥−𝑥2 y 𝑦=0.
𝑽 = 𝝅∫ [𝒇(𝒙)]𝟐
𝒅𝒙
𝒃
𝒂
15. Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Dada la función marginal 𝑅′(𝑥)=750𝑥−3𝑥2, con 𝑅(0)=0
- Determine el ingreso total para la venta de 100 unidades
𝑅′(x) = 750x − 3𝑥2
𝑅 = (0)
𝑅′(x)
𝑑𝑥
= 750𝑥 − 3𝑥2
∫ 𝑅′(x) = ∫750x − 3𝑥2
𝑑𝑥
𝑅′(x) =
750𝑥2
2
−
3𝑥3
3
+ 𝐶
𝑅(𝑥) = 350𝑥2
− 𝑥3
+ 𝑐
𝑅(0) = 350 ∗ 02
− 03
+ 𝐶
𝑅(0) = 0
Luego C=0
𝑅(𝑥) = 350𝑥2
− 𝑥3
𝑅(100) = 350(100)2
− (100)3
𝑹(𝟏𝟎𝟎) = 𝟐. 𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
Se sabe que la función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta de
coordenadas es 𝑠(𝑡)=3𝑡2−6𝑡, donde s se mide en metros y t en segundos.
- ¿Qué distancia se ha recorrido en el intervalo de tiempo [0, 14]?
21. Tipo de ejercicios 3 –Ejercicio D. Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
d. Dada la expresión (𝑦+2)2=3𝑥3 .
- Determine su longitud de 𝑥=0 a 𝑥=4
(𝑦 + 2)2
= 3𝑥3
𝑦 + 2 = √3𝑥3
𝑦 = √3𝑥3 − 2
𝑦−1
=
1
2√3𝑥3
. 9𝑥2
𝑦−1
=
9𝑥2
2√3𝑥3
𝐿 = ∫ √1 + [
9𝑥2
2√3𝑥3
]
2
𝑑𝑥
4
0
𝐿 = ∫ √1 +
81𝑥4
4(3𝑥3)
4
0
𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √1 +
27𝑥
4
4
0
𝑑𝑥
𝑢 = 1 +
27𝑥
4
𝑑𝑢 =
27
4
𝑑𝑥
𝐿 =
4
27
∫ √𝑢
4
0
𝑑𝑢
𝐿 =
4
27
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢
4
0
𝐿 =
4
27
[
𝑢
3
2
3
2
]
0
4
22. 𝐿 =
8
81
[𝑢
3
2]
0
4
𝐿 =
8
81
[(1 +
3
4
𝑥)
3
2
]
0
4
𝐿 =
8
81
{[(1+
27
4
(4))
3
2
− [(1 +
27
4
(0))]
3
2
]}
𝐿 =
8
81
{(28)
3
2 − 1}
𝑳 = 𝟏𝟒,𝟓𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔
Tipo de ejercicios 4 –Ejercicio D. Aplicaciones de las integrales en general
d. Una varilla de longitud 35 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al
cuadrado de su distancia a uno de los extremos.
- Si la densidad en el extremo más pesado es de 4900 g/cm, halle su masa total y el centro
de masa.
Densidad lineal 𝛿1(𝑥)=𝑅𝑥2 𝑚=∫𝛿1(𝑥)𝑑𝑥𝐿0
El centro de masa está dado por: 𝑥̅=∫𝑥.𝛿1(𝑥)𝑑𝑥𝐿0∫𝛿1(𝑥)𝑑𝑥
𝛿1(𝑥) = 𝑅𝑥2
𝑚 = ∫ 𝛿1(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
𝑥 = 35
4900 = 𝑅(35)2
4900 = 1225𝑅
4900
1225
= 𝑅
4 = 𝑅
23. 𝛿1(𝑥) = 4𝑥2
Centro de Masa
𝑥̅ =
∫ 4𝑥3
𝑑𝑥
35
0
∫ 4𝑥2𝑑𝑥
35
0
=
[𝑥4]0
35
[
4
3
𝑥3]
0
35
=
105
4
𝑐𝑚 = 26,25
Masa Total
𝑀𝑡 = ∫ 4𝑥2
𝑑𝑥
35
0
𝑀𝑡 = [
4
3
𝑥3
]
0
35
𝑀𝑡 = [
4
3
(35)3
]
𝑴𝒕 = 𝟓𝟕𝟏𝟔𝟔,𝟕 𝒌𝒈
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS.
Nombre Estudiante Ejercicios
sustentados
Link video explicativo
Willian Andrés Moreno Franco 2 https://youtu.be/7S3pabl0o
UQ
Cristian Leonardo Mejía Jiménez 1 https://drive.google.com/file
/d/1x14NuQoH09poGVCQ
d_FtqIBH6jeEnsv7/view?us
p=sharing
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JIMÉNEZ
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas
a. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
y 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
; 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Igualamos las funciones
𝑥 −
1
2
= 2𝑥2
−
7
2
Igualamos a 0
𝑥 − 2𝑥2
−
7
2
+
1
2
= 0
Operamos
−2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 0
Multiplicamos x2
−4𝑥2
+ 𝑥(2) − 6 = 0
Dividimos entre 2
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
2
= 0
𝑥 −
3
2
= 0; 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =
3
2
; 𝑥 = −1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)