Este documento presenta cuatro tipos de ejercicios resueltos relacionados con aplicaciones de las integrales. El primer tipo involucra calcular áreas bajo curvas. El segundo tipo calcula volúmenes de sólidos de revolución. El tercer tipo presenta aplicaciones de las integrales en ciencias. Y el cuarto tipo muestra aplicaciones generales de las integrales. Para cada tipo se explica un ejercicio específico resuelto con detalles matemáticos.

1. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
CRISTIAN LEONARDO MEJÍA JIMÉNEZ
WILLIAN ANDRES MORENO FRANCO
GLORIA CLEMENCIA SALAZAR
JENNY CAROLINA LANDINO
GRUPO: 100411_398
CALCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
NOVIEMBRE 2020

2. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS A :CRISTIAN LEONARDO MEJÍA
JIMÉNEZ
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas
a. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
y 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑥 −
1
2
; 𝑔(𝑥) = 2𝑥2
−
7
2
Igualamos las funciones
𝑥 −
1
2
= 2𝑥2
−
7
2
Igualamos a 0
𝑥 − 2𝑥2
−
7
2
+
1
2
= 0
Operamos
−2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 0
Multiplicamos x2
−4𝑥2
+ 𝑥(2) − 6 = 0
Dividimos entre 2
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)
2
= 0
𝑥 −
3
2
= 0; 𝑥 + 1 = 0
𝑥 =
3
2
; 𝑥 = −1

3. 𝐴 = ∫ [𝑥 −
1
2
− (2𝑥2
−
7
2
)]𝑑𝑥
3
2
−1
𝑨 =
𝟏𝟐𝟓
𝟐𝟒
= 𝟓.𝟐𝟏
2. Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución
a. Determine el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de 𝑦 =
𝑥2
− 6𝑥 alrededor del eje 𝑥 en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 6. Representar en Geogebra la región a
rotar y anexar un pantallazo del solido de revolución generado
𝑉 = ∫ 𝜋 𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Se gráfica en Geogebra

4. Resolvemos
𝑉 = ∫ 𝜋 𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥2
− 6𝑥)𝑑𝑥
6
0
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥4
− 12𝑥3
6
0
+ 36𝑥2
𝑑𝑥
Aplicamos la regla de la suma
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑥4
𝑑𝑥 − ∫ 12𝑥3
𝑑𝑥 + ∫ 36 𝑥2
𝑑𝑥
6
0
6
0
6
0
Resolvemos cada integral
∫ 𝑥4
𝑑𝑥 =
7776
5
6
0
∫ 12𝑥3
𝑑𝑥 = 3888
6
0
∫ 36𝑥2
= 2592
6
0
𝑉 = 𝜋(
7776
5
− 3888 + 2592

5. 𝑽 = 𝝅
𝟏𝟐𝟗𝟔
𝟓
= 𝟖𝟏𝟒,𝟑𝟎𝟎𝟖
Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias
En un estudio económico la función demanda y oferta es como aparecen: 𝐷(𝑥) =
(𝑥 + 3)2
𝑦 𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4 calcular el excedente del productor en el punto de equilibrio.
𝐷(𝑥) = (𝑥 + 3)2
𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
Operamos
(𝑥 + 3)2
= 𝑥2
+ 𝑥 + 4
𝑥2
+ 6𝑥 + 9 = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
Igualamos a 0
𝑥2
+ 𝑥2
+ 6𝑥 − 𝑥 + 9 − 4 = 0
5𝑥 − 5 = 0
𝑥 =
5
5
𝑥 = 𝟏 La nombramos “q”
Reemplazamos en la formula
𝐷(𝑥) = (1 + 3)2
𝐷(𝑥) = 42
𝐷(𝑥) = 𝟏𝟔 La nombramos “p”
𝑆(𝑥) = 𝑥2
+ 𝑥 + 4
𝑆(𝑥) = 12
+ 1 + 4
𝑆(𝑥) = 𝟔
Formula del excedente del producto
𝐸𝑃 = 𝑝. 𝑞 − ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥
𝑞
0
𝐸𝑃 = (16)(1)− ∫ 6 𝑑𝑥
1
0

6. 𝐸𝑃 = 16 − ∫ 6 𝑑𝑥
1
0
𝐸𝑃 = 16 − 6 = 10
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
La función de Costo Marginal de fabricar un producto es 𝐶𝑀=12𝑥2
−50𝑥, donde 𝑥 representa
el número de unidades fabricadas. Si se conoce que el costo total es de $150.000 cuando se
fabrican 15 unidades.
- Obtener el valor de la constante
𝐶𝑀 = 12𝑥2
− 50𝑥
𝑥 = 15
𝐶𝑇 = 150.000
Operamos
𝐶 = ∫ (12𝑥2
− 50𝑥)𝑑𝑥
15
0
𝐶 = ∫ (12𝑥2)𝑑𝑥 − ∫ (50𝑥)𝑑𝑥
15
0
15
0
Resolvemos las integrales
∫ (12𝑥2)𝑑𝑥 = 13.500
15
0
∫ (50𝑥)𝑑𝑥 = 5.625
15
0
𝐶 = 13.500 − 5625
𝑪 = 𝟕.𝟖𝟕𝟓

7. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS B : WILLIAN ANDRES MORENO FRANCO
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Determinar el área de la región limitada por las curvas 𝑓(𝑥) = −3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑥3
− 12𝑥
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
Solución:
Hallemos primero los puntos de corte igualando las funciones:
−3𝑥 = 𝑥3
− 12𝑥
𝑥3
− 9𝑥 = 0
𝑥(𝑥2
− 9) = 0
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) = 0
Luego
𝑥 = 0
𝑥 = −3
𝑥 = 3
𝐴1 = ∫ [𝑥3
− 12𝑥 + 3𝑥]
0
−3
𝑑𝑥 = ∫ [𝑥3
− 9𝑥]
0
−3
𝑑𝑥 = (
𝑥4
4
−
9𝑥2
2
)
0
−3
= − (
(−3)4
4
−
9(−3)2
2
) = 20.25
𝐴2 = ∫ [−3𝑥 − 𝑥3
+ 12𝑥]
3
0
𝑑𝑥 = ∫ [−𝑥3
+ 9𝑥]
3
0
𝑑𝑥 = (−
𝑥4
4
+
9𝑥2
2
)
3
0
= (−
(3)4
4
+
9(3)2
2
) = 20.25
Por tanto, el área total es 𝐴1 + 𝐴2 = 20.25 + 20.25 = 40.5

8. Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.
Sea R la región limitada por 𝑔(𝑥) = √10 − 𝑥, ℎ(𝑥) = √9𝑥 y la recta 𝑦 = 0.
Determine el volumen del sólido cuando R se hace girar alrededor del eje 𝑦. Representar en
GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑦)2
− 𝑟(𝑦)2
]
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
Hallamos los puntos de corte entre las dos funciones:
√10 − 𝑥 = √9𝑥
10 − 𝑥 = 9𝑥
10 = 9𝑥 + 𝑥
10 = 10𝑥
1 = 𝑥
ℎ(1) = √9(1) = 3
Luego el punto de intersección es (1,3), luego bajo el método 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑦)2
−
𝑏
𝑎
𝑟(𝑦)2
]𝑑𝑦, se integrará de 𝑎 = 0, 𝑏 = 3 sobre el eje 𝑦. Luego 𝑅(𝑦) = 10 − 𝑦2
y 𝑟(𝑥) =
𝑦
9
2
, luego la integral queda de la siguiente manera:
𝑉 = ∫ 𝜋 [(10 − 𝑦2)2
− (
𝑦
9
2
)
2
]
3
0
𝑑𝑦
= ∫ 𝜋 [𝑦4
− 20𝑦2
+ 100 −
𝑦
81
4
]
3
0
𝑑𝑦
= 𝜋 [
𝑦5
5
−
20
3
∗ 𝑦3
−
1
81
∗
𝑦5
5
+ 100 ∗ 𝑦]
3
0
= 𝜋 [
35
5
−
20
3
∗ 33
−
1
81
∗
35
5
+ 100 ∗ (3)] = 168𝜋 ≈ 527.79
Luego el volumen es aproximadamente 527.79 𝑢3

9. Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Si una fuerza de 45 kg alarga un resorte 9 cm.
Determine el trabajo que se requiere para alargar el resorte 6 cm más.
Como 𝐹 = 𝑘𝑥 y 𝑥 = 0.09 𝑚 cuando 𝐹 = 45 𝑘𝑔entonces 𝑘 =
45
0.09
= 500
El trabajo requerido para alargar 6 𝑐𝑚 más (es decir 15 𝑐𝑚 ) está dado por:

10. 𝑊 = ∫ 500𝑥
0.15
0.09
𝑑𝑥
𝑊 = (250𝑥2
)
0.15
0.09
𝑊 = 250(0.152
− 0.092) = 3.6 𝑘𝑔𝑚
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
Un móvil se mueve sobre una línea recta y parte del punto 𝑥 =
3
2
con una velocidad de 6
𝑚
𝑠
y aceleración variable según (4𝑡 −
2
3
)
𝑚
𝑠2
- ¿Cuál es su posición cuando 𝑡 = 3 𝑠?
Hallamos la función velocidad a partir de la función aceleración:
𝑣(𝑡) = ∫ (4𝑡 −
2
3
)𝑑𝑡 = 2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 𝐶
𝑣(0) = 2 ∗ (0)2
−
2
3
0 + 𝐶 = 6
𝐶 = 6
𝑣(𝑡) = 2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 6

11. Luego hallamos la función posición a partir de la función velocidad:
𝑥(𝑡) = ∫ (2𝑡2
−
2
3
𝑡 + 6) 𝑑𝑡 =
2
3
𝑡3
−
1
3
𝑡2
+ 6𝑡 + 𝐶
𝑥(0) =
2
3
03
−
1
3
02
+ 6(0) + 𝐶 =
3
2
𝐶 =
3
2
𝑥(𝑡) =
2
3
𝑡3
−
1
3
𝑡2
+ 6𝑡 +
3
2
Por último, hallamos la posición en el tiempo 𝑡 = 3 𝑠
𝑥(3) =
2
3
33
−
1
3
32
+ 6 ∗ 3 +
3
2
=
69
2
Luego la posición del móvil cuando 𝑡 = 3 𝑠 es
69
2
𝑚.

12. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS C : JENNY CAROLINA LANDINO
Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Determinar el área de la región limitada por las curvas
𝑓(𝑦) = 2 + 4𝑦 y 𝑔(𝑦) = 2𝑦 ^2 + 4𝑦 − 30
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra. Nótese que 𝑥
= 𝑓(𝑦) o 𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
𝑓(𝑦) = 2 + 4𝑦
𝑔(𝑦) = 2𝑦2
+ 4𝑦 − 30
Hallamos los puntos de intersección
𝑓(𝑦) = 𝑔(𝑦)
Igualamos
2 + 4𝑦 = 2𝑦2
+ 4𝑦 − 30
−2𝑦2
+ 4𝑦 + 2 = 4𝑦 − 30
−2𝑦2
+ 2 = −30
−2𝑦2
= −32
𝑦2
= 16
𝑦 = ±√16
𝒚 = 𝟒 𝒚 = −𝟒
𝑨 = ∫ [𝒇(𝒚) − 𝒈(𝒚)]𝒅𝒚
𝒅
𝒄
Reemplazamos

13. 𝑨 = ∫ [(𝟐 + 𝟒𝒚) − (𝟐𝒚𝟐
+ 𝟒𝒚 − 𝟑𝟎)]𝒅𝒚
𝟒
−𝟒
𝑨 = ∫ [−2𝑦2
+ 32)]𝑑𝑦
4
−4
∫ [−2𝑦2]𝑑𝑦
4
−4
+ ∫ [32 ]𝑑𝑦
4
−4
= −
256
3
+ 256
=
𝟓𝟏𝟐
𝟑
≈ 𝟏𝟕𝟎.𝟔𝟔𝟕
Tipo de ejercicios 2 – Sólidos de revolución.
c. Encontrar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar
alrededor del eje 𝑥 la región encerrada entre las curvas 𝑦=𝑥−𝑥2 y 𝑦=0.
𝑽 = 𝝅∫ [𝒇(𝒙)]𝟐
𝒅𝒙
𝒃
𝒂

14. 𝑦 = 𝑥 − 𝑥2
𝑦 = 0
𝑽 = 𝝅 ∫ [𝒙 − 𝒙𝟐]𝟐
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝑽 = 𝝅 ∫ 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝟑
+ 𝒙𝟒
𝒅𝒙
𝟏
𝟎
𝑽 = 𝝅 [
𝒙𝟓
𝟓
−
𝒙𝟒
𝟐
+
𝒙𝟑
𝟑
)]
𝟎
𝟏
𝑽 = 𝝅 [
𝟏𝟓
𝟓
−
𝟏𝟒
𝟐
+
𝟏𝟑
𝟑
] − 𝟎
𝑽 = 𝝅 ∗
𝟏
𝟑𝟎
𝑽 = 𝟎.𝟏

15. Tipo de ejercicios 3 –Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
Dada la función marginal 𝑅′(𝑥)=750𝑥−3𝑥2, con 𝑅(0)=0
- Determine el ingreso total para la venta de 100 unidades
𝑅′(x) = 750x − 3𝑥2
𝑅 = (0)
𝑅′(x)
𝑑𝑥
= 750𝑥 − 3𝑥2
∫ 𝑅′(x) = ∫750x − 3𝑥2
𝑑𝑥
𝑅′(x) =
750𝑥2
2
−
3𝑥3
3
+ 𝐶
𝑅(𝑥) = 350𝑥2
− 𝑥3
+ 𝑐
𝑅(0) = 350 ∗ 02
− 03
+ 𝐶
𝑅(0) = 0
Luego C=0
𝑅(𝑥) = 350𝑥2
− 𝑥3
𝑅(100) = 350(100)2
− (100)3
𝑹(𝟏𝟎𝟎) = 𝟐. 𝟓𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
Tipo de ejercicios 4 –Aplicaciones de las integrales en general.
Se sabe que la función de posición de un objeto que se mueve sobre una recta de
coordenadas es 𝑠(𝑡)=3𝑡2−6𝑡, donde s se mide en metros y t en segundos.
- ¿Qué distancia se ha recorrido en el intervalo de tiempo [0, 14]?

16. 𝑠(𝑡) = 3𝑡2
− 6𝑡
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 6𝑡 − 6
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 6𝑡 − 6
𝑑𝑠 = (6𝑡 − 6)𝑑𝑡
∫𝑑𝑠 = ∫ (6𝑡 − 6)𝑑𝑡
14
0
𝑠 = ∫ (6𝑡 − 6)𝑑𝑡
14
0
𝑠 = ∫ (6𝑡 − 6)𝑑𝑡
14
0
= 𝑠 = ∫ |6𝑡 − 6|𝑑𝑡 + ∫ |6𝑡 − 6|𝑑𝑡
14
1
1
0
𝑠 = ∫ −(6𝑡 − 6)𝑑𝑡 +
1
0
∫ (6𝑡 − 6)𝑑𝑡
14
1
𝑠 = −3𝑡2
+ 6𝑡)0
1
+ 3𝑡2
− 6𝑡)1
14
𝑠 = −3(1)2
+ 6(1) + 3(14)2
− 6(14) − [3(1)2
− 6(1)]
𝑠 = 3 + 504 − (−3)
𝒔 = 𝟓𝟏𝟎 𝒎

17. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS C : GLORIA CLEMENCIA SALAZAR
Tipo de ejercicios 1 – Ejercicio D. Análisis de gráficas.
Calcular el área de la región comprendida entre las curvas 𝑓(𝑥)=4𝑥3−9𝑥2−21𝑥+43 y
𝑔(𝑥)=3𝑥2−5𝑥−5
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.
𝐀 = ∫ [𝒇(𝒙)− 𝒈(𝒙)]
𝒃
𝒂
𝒅𝒙
𝑓(𝑥) = 4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43 𝑔(𝑥) = 3𝑥2
− 5𝑥 − 5
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43 = 3𝑥2
− 5𝑥 − 5
4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43 − 3𝑥2
+ 5𝑥 + 5 = 0
4𝑥3
− 12𝑥2
− 16𝑥 + 48 = 0
(4𝑥3
− 12𝑥2
) − (16𝑥 − 48) = 0
4𝑥2
(𝑥 − 3) − 16(𝑥 − 3) = 0
(4𝑥2
− 16)(𝑥 − 3) = 0
(2𝑥 − 4)(2𝑥 + 4)(𝑥 − 3) = 0
2𝑥 − 4 = 0 2𝑥 + 4 = 0 𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = 4 2𝑥 = −4 𝑥 = 3
𝑥 =
4
2
𝑥 = −
4
2
𝑥 = 3
𝑥 = 2 𝑥 = −2

18. A = ∫ [ 4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43 − ( 3𝑥2
− 5𝑥 − 5) ]
2
−2
4𝑥
+ ∫ ⌈3𝑥2
− 5𝑥 − 5 − (4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43)⌉
3
2
A = ∫ [ 4𝑥3
− 9𝑥2
− 21𝑥 + 43 − 3𝑥2
+ 5𝑥 + 5 ]
2
−2
4𝑥
+ ∫ ⌈3𝑥2
− 5𝑥 − 5 − 4𝑥3
+ 9𝑥2
+ 21𝑥 − 43)⌉
3
2
A = ∫ [ 4𝑥3
− 12𝑥2
− 16𝑥 + 48 ]
2
−2
4𝑥 + ∫ ⌈−4𝑥3
+ 12𝑥2
+ 16𝑥 − 48⌉𝑑𝑥
3
2
A = [ 𝑥4
− 4𝑥3
− 8𝑥2
+ 48𝑥 ]−2
2
+ [− 𝑥4
+ 4𝑥3
+ 8𝑥2
− 48𝑥 ]2
3
A = [ 24
− 4(2)3
− 8(2)2
+ 48(2)− (−24
− 4(−2)3
− 8(−2)2
+ 48(−2) ]
+ ⌈−34
+ 4(33) + 8(3)2
− 48(3)− (−24
+ 4(2)3
+ 8(2)2
− 48(2)⌉
𝐴 = [16 − 32 − 32 + 96 − (16 + 32 − 32 − 96)]
+ [−81+ 108 + 72 − 144 − (−16 + 32 + 32 − 96)]
𝐴 = [128]+ [3]
𝐴 = 131 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠

19. Tipo de ejercicios 2 – Ejercicio D. Sólidos de revolución
Determinar el volumen del solido en revolución que se genera al hacer girar alrededor del
eje 𝑦 la región encerrada entre las curvas 𝑥=√5𝑦 , 𝑥=0, 𝑦=−1 y 𝑦=1.
𝑥 = √5y 𝑥2
= 5𝑦
𝑥2
5
= 𝑦
𝑣 = ∫ 𝜋[𝑅(𝑥) − 𝑟(𝑥)2]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝜋 [(
𝑥2
5
)
2
− (0)2
]
1
−1
𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝜋 [
𝑥4
25
]
1
−1
𝑑𝑥
𝑣 =
𝜋
25
∫ 𝑥4
𝑑𝑥
1
−1

20. 𝑣 =
𝜋
25
⌈
𝑥5
5
⌉
−1
1
𝑣 =
1
25
𝜋 [
1
5
+
1
5
]
𝑣 =
1
25
𝜋 [
2
5
]
𝑣 =
2
125
𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠

21. Tipo de ejercicios 3 –Ejercicio D. Aplicaciones de las integrales en las ciencias.
d. Dada la expresión (𝑦+2)2=3𝑥3 .
- Determine su longitud de 𝑥=0 a 𝑥=4
(𝑦 + 2)2
= 3𝑥3
𝑦 + 2 = √3𝑥3
𝑦 = √3𝑥3 − 2
𝑦−1
=
1
2√3𝑥3
. 9𝑥2
𝑦−1
=
9𝑥2
2√3𝑥3
𝐿 = ∫ √1 + [
9𝑥2
2√3𝑥3
]
2
𝑑𝑥
4
0
𝐿 = ∫ √1 +
81𝑥4
4(3𝑥3)
4
0
𝑑𝑥
𝐿 = ∫ √1 +
27𝑥
4
4
0
𝑑𝑥
𝑢 = 1 +
27𝑥
4
𝑑𝑢 =
27
4
𝑑𝑥
𝐿 =
4
27
∫ √𝑢
4
0
𝑑𝑢
𝐿 =
4
27
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢
4
0
𝐿 =
4
27
[
𝑢
3
2
3
2
]
0
4

22. 𝐿 =
8
81
[𝑢
3
2]
0
4
𝐿 =
8
81
[(1 +
3
4
𝑥)
3
2
]
0
4
𝐿 =
8
81
{[(1+
27
4
(4))
3
2
− [(1 +
27
4
(0))]
3
2
]}
𝐿 =
8
81
{(28)
3
2 − 1}
𝑳 = 𝟏𝟒,𝟓𝟑 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒆𝒔
Tipo de ejercicios 4 –Ejercicio D. Aplicaciones de las integrales en general
d. Una varilla de longitud 35 cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al
cuadrado de su distancia a uno de los extremos.
- Si la densidad en el extremo más pesado es de 4900 g/cm, halle su masa total y el centro
de masa.
Densidad lineal 𝛿1(𝑥)=𝑅𝑥2 𝑚=∫𝛿1(𝑥)𝑑𝑥𝐿0
El centro de masa está dado por: 𝑥̅=∫𝑥.𝛿1(𝑥)𝑑𝑥𝐿0∫𝛿1(𝑥)𝑑𝑥
𝛿1(𝑥) = 𝑅𝑥2
𝑚 = ∫ 𝛿1(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
0
𝑥 = 35
4900 = 𝑅(35)2
4900 = 1225𝑅
4900
1225
= 𝑅
4 = 𝑅

23. 𝛿1(𝑥) = 4𝑥2
Centro de Masa
𝑥̅ =
∫ 4𝑥3
𝑑𝑥
35
0
∫ 4𝑥2𝑑𝑥
35
0
=
[𝑥4]0
35
[
4
3
𝑥3]
0
35
=
105
4
𝑐𝑚 = 26,25
Masa Total
𝑀𝑡 = ∫ 4𝑥2
𝑑𝑥
35
0
𝑀𝑡 = [
4
3
𝑥3
]
0
35
𝑀𝑡 = [
4
3
(35)3
]
𝑴𝒕 = 𝟓𝟕𝟏𝟔𝟔,𝟕 𝒌𝒈
TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS.
Nombre Estudiante Ejercicios
sustentados
Link video explicativo
Willian Andrés Moreno Franco 2 https://youtu.be/7S3pabl0o
UQ
Cristian Leonardo Mejía Jiménez 1 https://drive.google.com/file
/d/1x14NuQoH09poGVCQ
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