Mate 1 bgu_modulo_1

Primer curso BGU
Comentemos: ¿qué entendemos por álgebra?
Módulo pedagógico 1
de Matemática
El origen de los números
Los números que utilizamos a diario son 0 (cero), 1,
2, 3, 4, 5, etc. Se los conoce como números arábigos
porque los árabes fueron quienes los hicieron popu-
lares, aunque su uso se remonta a la época de los co-
merciantes fenicios. Ellos los utilizaban para contar
y realizar sus transacciones financieras.
Antes de la aparición de estos números, se usaban
los números romanos tales como I, II, III, IV, V, etc.
Estos fueron utilizados por los países europeos has-
ta el año 500 d. C.
Los números arábigos llevan sus nombres: uno, dos,
tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y cero por
el número de ángulos que formaban los primeros
números escritos, como se muestra en la imagen.
1
Bloque curricular: Álgebra y funciones
Números reales
y expresiones algebraicas
8
Producción
de un párrafo
argumentativo
6 Geometría
7
Educación para
la ciudadanía
10 9
Propiedades y
operaciones con
números reales
1
Productos notables
y factorización 2
Potenciación
y radicación 4
Descomposición
en Factores 3
Simplificación
de expresiones
algebraicas
5
Interculturalidad Rigurosidad académica
Números
reales
abstractos
M
atem
ática
M
atem
ática
EstudiosSociales
Lengua
y
Literatura
Valores
1 ángulo 2 ángulos 3 ángulos 4 ángulos 5 ángulos
0 ángulo
Cero
ángulos
9 ángulos8 ángulos7 ángulos6 ángulos
Mineduc
Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación

2
Propiedades y operaciones con números reales
¿Podemos contar todos los números reales?
Números reales (R)
Irracionales
(I)
Racionales
(Q)
Enteros
(Z)
Naturales
(Z)
El conjunto de los números reales (R) está compuesto por la unión del conjun-
to de números racionales (Q) con el conjunto de los números irracionales (I).
Es un conjunto infinito.
Representar los números por letras se llama álgebra. Estas letras pueden
tomar cualquier valor, y sus propiedades son las mismas de los números
racionales.
Propiedades de la suma
Propiedades de la multiplicación
Escribo el nombre de la propiedad a la que hacen referencia las siguientes
expresiones:
1. 5b + (–5b) = 0 ____________________
2.
1
2
a 5c( )= 5c
1
2
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ____________________
3. ( ) ( )⋅ = ⋅ ⋅d b f d b f6 3 6 6 3 62 2
____________________
4. –43m + 0 = –43m ____________________
5. n(–3b + 8c) = –3nb + 8nc ____________________
6. m b m c m b c2 5 2 3 2 5 32 2 2 2
( )+ = + ____________________
7. –4d(7b + 2c2
) = –28db – 8dc2
____________________
8. (4a2
b2
–7c2
) + 10mn = (4a2
b2
+ 10mn) – 7c2
____________________
9. z x x z4 43 25 25 3
( )= ____________________
a = a idéntico
Si a = b entonces b = a recíproco
Si a = b y b = c entonces a = c transitiva
Si a = b y c = d entonces a + c = b + d Ley uniforme
a + b = b + a Ley conmutativa
(a + b) + c = a + (b + c) Ley asociativa
a + 0 = 0 + a = a Ley de la identidad
a + (–a) = (–a) + a = 0 Inverso aditivo
Si a = b y c = d entonces a.c = b.d Ley uniforme
a.b = b.a Ley conmutativa
(ab)c = a(bc) Ley asociativa
a.1 = 1.a = a Ley de la identidad
a = a = 1 Inverso
a(b + c) = ab + ac Ley distributiva
1
a
1
a

Mario hereda un terreno esquinero de 441 m2
. Él desea construir un tecnicentro
devehículos.Paraesto,destina225m2
paraeláreadetallery36m2
paraoficinas
y recepción, y lo que queda, para estacionamientos de entrega y recepción. Para
ello,trazalasdivisionesrespectivasenunbosquejo,comoseindicaenlaFigura1.
a. ¿Cuáles son las medidas de cada lado en cada división?
b. ¿Cuánto es el área de cada estacionamiento?
c. ¿Qué operación matemática se aplica?
Solución
225m2
+ 2(90)m2
+ 36m2
= 441m2
(15m)2
+ 2(15m x 6m) + (6m)2
= 441m2
Para calcular las medidas de cada lado, en cada división, se colocan las me-
didas predestinadas en cada sector y el restante se divide en partes iguales,
destinadas para los parqueaderos, tal como se indica en la Figura 2.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Calcular el área del cuadrado.
A = (x + y)(x + y)
A = x2
+ xy + xy + y2
= x2
+ 2xy + y2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual
al cuadrado del primer término, más el doble
producto del primer término por el segundo, más
el cuadrado del segundo término.
Ejemplo
(z + u)2
= (z)2
+ 2(z)(u) + (u)2
= z2
+ 2zu + u2
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Calcular el área del cuadrado.
A = (z – 2)(z – 2) = z2
– 2z – 2z + 4
A = z2
– 4z + 4
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es
igual al cuadrado del primer término menos el do-
ble producto del primer término por el segundo,
más el segundo término elevado al cuadrado.
Ejemplo
(y – 1)2
= y2
– 2(y)(1) + (1)2
= y2
– 2y + 1
¿En qué se pueden utlizar los productos notables?
Tras conocer las operaciones de adición y multiplicación en álgebra, al igual
quesuspropiedades,severáelcasodelosproductosnotables.Estossoncasos
especiales de multiplicar en álgebra, y se hace como en el siguiente ejemplo.
Parqueaderos
de entrega
Taller
90 m2
15 m
15 m
36 m2
6 m
6 m
6m6m15m15m
90 m2
225 m2
Parqueaderos
derecepción
Oficinas y
recepción
x + y
z – 2
Geometría
Figura 1
Figura 2
Productos notables
Para multiplicar monomios
o polinomios se debe aplicar
la propiedad distributiva,
multiplicando los coeficientes
entre sí, y las partes literales,
aplicando las propiedades
de la potenciación de bases
iguales.
Recordemos
3
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2

4
3. Producto de la suma por la diferencia
de dos expresiones algebraicas
Calculo el área de la región sombreada.
A = (A3 + A4) + (A1)
A = a(a – b) + b(a – b) A = (a – b)(a + b)
A = a2
– ab + ab – b2
A = a2
– ab + ab – b2
A = a2
– b2
El producto de la suma de dos expresiones algebraicas
por su diferencia es igual al cuadrado del primer térmi-
no, menos el cuadrado del segundo término.
Ejemplo
(x + y)(x – y) = x2
– y2
(2b + 2c)(2b – 2c) = 4b2
– 4c2
4. Cuadrado de un trinomio
Calculo el área total del siguiente cuadrado.
A = a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc
El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los
cuadrados de cada uno de sus términos, más la suma
del doble producto de cada término por cada uno de los
términos consecutivos.
Ejemplo
(x + y + z)2
= x2
+ y2
+ z2
+ 2xy + 2xz + 2yz
(3p – 2q + r)2
= 9p2
+ 4q2
+ r2
– 12pq + 6pr – 4qr
5. Cubo de un binomio
Calculo el volumen de un cubo.
V = L × L × L = L3
V = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)3
V = {(a + b)(a + b)} (a + b)
V = (a2
+ 2ab + b2
) (a + b)
V = a2
(a + b) + 2ab(a + b) + b2
(a + b)
V = a3
+ a2
b + 2a2
b + 2ab2
+ ab2
+ b3
V = a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo
de la primera cantidad, más el triple producto del cua-
drado del primer término por el segundo, más el triple
producto del primer término por el cuadrado del se-
gundo término, más el cubo del segundo término.
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Cuando el segundo término se encuentra precedido de
un signo negativo, lo único que cambiará en el resulta-
do son los signos, que irán de forma alternada.
Ejemplo
(m + n)3
= m3
+ 3m2
n + 3mn2
+ n3
A1
A3
A2 b
bb
a-b
a+b
a–ba–b
a
aa
A4
A4
A4
a2
b2
c2
ab
ab
ac
ac
bc
bc
a
a
b
c
b c
a+b
a+ b
a+ b
a
b
b
b
b
a
a
a
a
a b
b
(a + b)(a – b) = a2
– b2
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3

5
6. Propiedad distributiva en el producto
de dos binomios
Calculo el área del siguiente cuadrilátero.
A = (x + a)(x + b)
A = x2
+ ax + bx + ab
A = x2
+ x(a + b) + ab
El producto de dos binomios se obtiene multiplicando
cada término del primer binomio por cada término del
segundo binomio y luego simplificando los términos
congruentes.
(x + a)(x + b) = x2
+ x(a + b) + ab
Ejemplo
(x + 3)(x + 2) = x2
+ 2x + 3x + 6
(x + 3)(x + 2) = x2
+ x(3 + 2) + (3.2) = x2
+ 5x + 6
1 Resuelvo los siguientes ejercicios aplicando las re-
glas de productos notables.
a. (d + e)2
b. (6p – 2r)2
c. 2x − 2y( )
2
d.
3
2
f + 2d
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
e.
3
2
f − 2d
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
f.
1
3
u −
1
2
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
g. (3a + 2b + c)2
h. (x – 2y2
+ 3z3
)2
i. 5t + 125u + 5v( )
2
j. (m + n)(m – n)
k. (5x + y)(5x – y)
l. (y – 2z)(y + 3z)
m. (2y + 4)(2y + 3)
n. (2f + 5)(2f – 7)
o. (4 – 4p + p2
) (4 + 4p + p2
)
p. (xy + z2
)3
q. (um
– vn
)3
r. (2a2
+ 2b2
)3
2 Completo los términos que faltan en el desarrollo
de los siguientes binomios.
a. 3y + 5z( )
2
= _______ + 2 15yz + _______
b. (4pq + 3rs)2
= 16p2
q2
+ _______ 9r2
s2
c.
2
3
bn
+
9
4
cm⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
=
4
9
b2n
+ _______ + _______
d. (x3
– y2
)2
= _______ – 2x3
y2
+ _______
e. 3 a – 2 2( )
2
= _______ – 12 2a + _______
f. (3z2
– 2v)2
= _______ – _______ + 4v2
3 En una escuela de la provincia de Cotopaxi se tie-
ne un área de 324 m2
, la cual será distribuida de
la siguiente forma: 100 m2
para construir un aula
para niños y niñas de educación inicial, 64 m2
para
áreas infantiles y el resto para áreas verdes, como
se indica en la figura.
a. ¿Cuáles son las medidas de cada lado
del terreno?
b. ¿Cuánto es el área de cada espacio verde?
c. Demuestro aplicando productos notables.
Practiquemos
¿Cuál es la diferencia entre un producto de números reales y un producto notable?
x2
x
x a
b bx ab
ax
Áreas verdes
Aula
Áreasverdes
Áreas
infantiles

6
¿Qué entendemos por factor?
Ejemplo 3 × 2 × 4 = 24
En este caso, los números 3, 2 y 4 son factores de 24.
Esto quiere decir que factorizar una expresión algebraica consiste en trans-
formarla en una multiplicación de varios términos. Entre los principales
casos de factorización están los siguientes.
Descomposición en factores
Casos de factoreo Polinomio Descomposición en factores
Factor común nx + ny + nz n(x + y + z)
Factor común por
agrupación de términos
ap + aq + bp + bq (ap + aq) + (bp + bq)
a(p + q) + b(p + q)
(p + q)(a + b)
Diferencia de cuadrados a2
– b2
(a + b)(a – b)
Suma y diferencia de cubos a3
+ b3
a3
– b3
(a + b)(a2
– ab + b2
)
(a – b)(a2
+ ab + b2
)
Expresiones de la forma xn
± yn
xn
± yn
(x + y)(xn–1
y0
– xn–2
y1
+ … x0
yn–1
)
(x - y)(xn–1
y0
+ xn–2
y1
+ … x0
yn–1
)
Trinomio cuadrado a2
+ 2ab + b2
a2
– 2ab + b2
(a + b)2
(a – b)2
Trinomio cuadrado
por adición y sustracción
a4
+ a2
b2
+ b4
a4
+ a2
b2
+ b4
+ a2
b2
– a2
b2
(a4
+ 2a2
b2
+ b4
) – a2
b2
(a2
+ b2
)2
– a2
b2
[(a2
+ b2
) + ab][(a2
+ b2
) – ab]
(a2
+ b2
+ ab)(a2
+ b2
– ab)
Trinomios de la forma
x2n
+ bxn
+ c
x2n
+ bxn
+ c (xn
+ p)(xn
+ q)
Donde: p + q = b y pq = c
Trinomios de la forma
ax2n
+ bxn
+ c
ax2n
+ bxn
+ c (axn
+ p)(xn
+ q)
Donde: p + aq = b y pq = c
Método de evaluación axn
+ bxn–1
+ … cx + d
2x3
– x2
– 4x + 3
2 – 1 – 4 + 3 +1
+2 + 1 – 3
2 + 1 – 3 0
Los coeficientes 2; 1 y –3
forman el polinomio cociente: 2x2
+ x – 3
Quedando: (x – 1) (2x2
+ x – 3)
Factorando: (2x2
+ x – 3) = (2x + 3)(x – 1)
Así, la factorización máxima de: 2x3
– x2
– 4x + 3
es: (x – 1)(2x + 3)(x – 1) = (x – 1)2
(2x + 3)
Cuando se realiza una multiplicación, los términos que forman el pro-
ducto se llaman factores.

7
1
25
19
60
1
36
Problemas propuestos
1 Descomponemos en factores.
a. x3
+ x2
y
b. b2
– 2b
c. 12x4
y3
z2
– 18x3
y4
z3
+ 60x2
yz3
d. rst + rs2
t
e. 5u2
v – 10uv2
+ u2
v2
f. 4x2
– 2xy + 2bx – by
g. ay – by + az – bz
h. 3uv – 3uw + 3u – v + w – 1
i. 8b – 2c – 2cd4
+ 8bd4
2 Factorizar. Trinomios cuadrados.
a. 16y2
+ 8yz + z2
b. a2
– 10ab + 25b2
c. x2
– 2x + 1
d. (c + d)2
+ 8(c + d) + 4
e. 9x2
y4
+ z6
+ xy2
z3
3 Factorizar. Diferencia de cuadrados.
a. 900 – 16z2
b. 144x4
– 81y2
c. 1 – cos2
x
d. n4
– 49
e. (2x)2
– 4
4 Suma y diferencia de cubos.
a. s3
– t3
b. 27y6
– 8z3
c. 1 + 125b6
c3
d. 8(x + y)3
– 27(x + 2y)3
e. z3n
– y3n
5 Suma o diferencia de potencias impares iguales.
a. a5
+ b5
b. x7
– y7
c. 32m5
+ 243n5
d. t5m
– r5m
e. 1 + 32w5n
6 Trinomio cuadrado perfecto por adición
y sustracción.
a. b4
+ b2
+1
b. y4
+ 4
c. 36m4
+ 59m2
n2
+ 81n4
d. z8
– z4
p2
+ p4
e. r2
– s2
– 2r – t2
+ 1 – 2st
7 Trinomios de la forma ax2
+ bx + c y x2
+ bx + c.
a. a2
+ 9a + 20
b. x2
+15x + 54
c. f2
– 9f – 972
d. y2n
– 13yn
+ 42
e. 12x2
– 7x – 12
f. 9m2
+ 6m – 8
8 Factorización por el método de evaluación.
a. y3
+ y2
– y + 2
b. m3
– 8m2
+ 16m – 5
c. y3
– 3y2
+ 4
d. 4x4
+ 9x3
+ 3x2
– 5x – 3
e. 3z4
+ z3
+ 9z2
– 3z
9 Adriana e Isabella son dos hermanas, que tienen
un terreno cuadrado de área 121 m2
y otro de 81
m2
, respectivamente. Ellas desean saber si al restar
el área de los dos terrenos pueden comprobar grá-
fica y analíticamente la diferencia de cuadrados.
Les ayudamos con su comprobación.
10 Cristina mide el largo y el ancho de su habitación
rectangular y calcula su área. El valor que obtiene
es 6x2
+ xy – 2y2
, donde x representa los pasos
que da mientras y representa las cuartas. Determi-
na cuántos pasos y cuántas cuartas mide el largo
de su habitación.
9
36
susse_nFreepik
121 m2
81 m2

8
¿Qué es una expresión algebraica?
Potenciación y radicación de expresiones algebraicas
Potenciación
Para resolver ejercicios de potenciación con expresiones algebraicas, se debe
tomar en cuenta algunas reglas y propiedades que simplifican el cálculo.
Leyes de los exponentes
Si x, y son números reales y m, n son números naturales, entonces:
Radicación
Para solucionar ejercicios y problemas de radicación con expresiones alge-
braicas se debe tomar en cuenta algunas reglas y propiedades que simpli-
fican los procesos.
Propiedades de las raíces
Potencia de exponente cero x0
= 1
Potencia de exponente entero negativo x
x
1n
n
=−
Multiplicación de potencias de igual base xm
∙xn
= xm+n
División de potencias de igual base
x
x
x
m
n
m n
= −
con x ≠ 0 y m>n
Potencia de una potencia (xm
)n
= amn
Multiplicación de potencias de igual exponente xn
∙ yn
= (xy)n
División de potencias de igual exponente con y ≠ 0
Cancelación: igual índice, igual potencia x xn
n
( ) =
Multiplicación de raíces con igual índice xy x yn n n=
División de raíces con igual índice
x
y
x
y
n
n
n
=
Potencia de una raíz x xn
m
mn
( ) =
Factor raíz como factor subradical x y x yn nn
=
Raíz de raíz x xm nmn
=
Raíz a potencia x xmn
m
n
=
Raíz de índice entero negativo x
x
1n n=−
Cambio de índice x xmn mpnp
=
xn
yn
=
x
y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
Resuelvo utilizando las leyes
de los exponentes.
1. ( )( )=x y x y x y z3 z 6 182 3 3 2 5 3 3
2.
( )
( )
= = =
−x
x
x
x
x
x
4
2
16
2
16
8
2
8 2
4 3
16
3 12
16 12
4
a. Hallo la raíz cuadrada de
9x2
y4
.
= = ±x y x y xy9 9 32 4
2
2
4
2 2
b. Hallo el valor de ab a b2 353
.
=
=
ab a b a b a b
a b
. 2 353 5 5 2 353
7 815
Para obtener la raíz cuadrada de una expresión algebraica multiplicativa se
extrae la raíz del coeficiente y se divide el exponente de cada letra entre el
índice de la raíz. Ver Ejemplos Radicación literal a).
Para las potencias de bases
negativas
El resultado de toda cantidad
negativa elevada a una
potencia par es positivo.
Ejemplo: (–2)4
= 16
El resultado de toda potencia
impar de una cantidad negativa
es negativo.
Ejemplo: (–2)5
= –32
Las raíces impares de una
cantidad tienen el mismo signo
de la cantidad subradical.
Las raíces pares de una cantidad
positiva tienen doble signo.
Recordemos
Recordemos
Ejemplos
Ejemplos

9
Al simplificar expresiones algebraicas, ¿puede quedar cero en el denominador?
Simplificación de expresiones algebraicas
1. Expreso en forma de una
sola potencia.
a.
y
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
3
⋅
y
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
b.
4
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
3
⋅
4
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
4
⋅
4
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
c. 2 + 3⎡
⎣
⎤
⎦
2
( )
2
3
÷ 2 + 3⎡
⎣
⎤
⎦
−
1
3
2. Verifico las siguientes
igualdades.
a. b
b
( )
( )
− − =
− −
−
5
1
5
2
3
2
3
b. −2+ 2 5( )
3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−1
= −2+ 2 5( )
5
3
c. x x x=
−
⋅

3
4
1
4

3
4
1
4
3. Calculo aplicando las pro-
piedades de la potencia-
ción.
a.
π
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
5
4
b. 1+ 2( )
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
5
4
÷ 1+ 2( )
−
3
2
Máximo Común Divisor (MCD) y mínimo común
múltiplo (MCM) de expresiones algebraicas
MCD de monomios y polinomios
Regla general
Se descompone cada uno de los polinomios dados en sus factores primos.
El MCD es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo 1
Hallo el MCD de 36a2
b4
, 48a3
b3
c, 60a4
b3
m
36a2
b4
= 22
. 32
. a2
b4
48a3
b3
c = 24
. 3 . a3
b3
c
60a4
b3
m = 22
. 3 . 5 . a4
b3
m
MCD = 22
. 3 . a2
b3
= 12a2
b3
El MCD de polinomios se obtiene factorando los polinomios dados.
Ejemplo 2
Hallo el MCD de 4a2
+ 4ab y 2a4
– 2a2
b2
Paso 1: Se factorizan las expresiones dadas:
4a2
+ 4ab = 4a(a + b) Factor común
2a4
– 2a2
b2
= 2a2
(a2
– b2
) Factor común
= 2a2
(a + b)(a – b) Diferencia de cuadrados
Paso 2: Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas.
Factor común de 4a y 2a2
es 2a
Factor común de (a + b) y (a + b)(a – b) es (a + b)
Por lo tanto, el MCD de 4a2
+ 4ab y 2a4
– 2a2
b2
es igual a 2a(a + b)
Mcm de monomios y polinomios
Reglas
Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos. El mcm
(mínimo común múltiplo) es el producto de los factores primos, comunes
y no comunes, con su mayor exponente.
El MCD (máximo común denominador) de dos o más expresiones
algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y
de mayor grado que esté contenida exactamente en cada una de ellas.
Al factorizar es necesario
aplicar las reglas para la
descomposición de factores
o factorización, según el caso
que corresponda.
Recordemos

10
Los factores que se repiten en dos o más expresiones se toman solo una vez.
Pero sí se toman en cuenta las veces que se repiten en la misma expresión.
Ejemplo 1
Hallo el MCM de 6; (3x – 3)
Descomponiendo las expresiones:
6 = 2(3)
(3x – 3) = 3(x – 1)
El MCM es igual a 2(3)(x – 1) = 6(x – 1)
Ejemplo 2
Hallo el MCM de 14a2
; 7x – 21
Descomponiendo las expresiones:
14a2
= 2(7a2
)
7x – 21 = 7(x – 3)
El MCM es 2 . 7a2
(x – 3) = 14a2
(x – 3)
Simplificación de expresiones algebraicas
Al igual que las fracciones aritméticas, se dice que una fracción algebraica
está simplificada cuando el numerador y el denominador no tienen más fac-
tor común que la unidad.
Por lo anterior, se debe factorizar tanto el numerador como el denominador
y luego se cancelan los factores comunes.
Ejemplo
Simplifico la expresión algebraica:
+x8 16
8
.
( )+
=
+
= +
x x
x
8 16
8
8 2
8
2
Transformar raíces en potencias
Simplificación de radicales
Cuando los factores de la cantidad subradical y el índice tienen un divisor
común.
Procedimiento:
1. Se factoriza la cantidad subradical para dejar los factores con exponente.
2. Se dividen los factores subradicales entre el índice de la raíz, convirtién-
dolos en potencias con exponente fraccionario.
3. Se simplifican las potencias resultantes, convirtiéndolas en raíces con
un índice común.
Observo el siguiente video
para recordar algunas
frases comunes de lenguaje
algebraico.
https://www.youtube.com/
watch?v=9MG3bGmlyVA
Valor: Rigurosidad académica
Para simplificar expresiones
algebraicas, en primer lugar
se deben factorizar las
expresiones algebraicas, luego
se encuentra el mcm y el MCD
y, finalmente, se eliminan los
factores iguales.
Freepik

11
Practiquemos
Ejemplo
Simplifico: a4 24
Factoreo la cantidad subradical: a a4 224 2 24
=
Divido los exponentes de los factores subradicales entre el índice:
a a a2 2 22 24
2
4

2
4

1
2

1
2

= =
Simplifico las potencias resultantes:
a a a2 2 2
1
2

1
2

= =
1 Hallo el valor de
x
x
( )
( )
5
3
6 3
2 2
= =
−
x
x
x x125
9
125
9
125
9
18
4
18 4 14
2 Hallo el valor de (2a3
b2
)4
24
a12
b8
= 16a12
b8
3 Hallo el valor de xy x y4 23 2 23

=x y xy8 23 33
4 Hallo el valor de a b c16 5 4 3
a b c ac4 2 2
5 Hallo el MCD de (x2
– x) y (x3
– x2
)
x2
– x = x(x – 1)
x3
– x2
= x2
(x – 1)
x(x – 1)
6 Hallo el MCD de 12a2
2b3
y 4a3
b2
– 8a2
2b3
12a2
2b3
= 23
a2
b2
(3b)
4a3
b2
– 8a2
2b3
= 22
a2
b2
(a – 2b)
MCD = 4a2
b2
7 Hallo el mcm de x2
; x3
+ x2
– 2x; x2
+ 4x + 4
x2
= x2
x3
+ x2
– 2x = x(x2
+ x – 2) = x(x + 2)(x – 1)
x2
+ 4x + 4 = (x + 2)2
mcm = x2
(x + 2)2
(x – 1)
8 Hallo el mcm de 9a2
; 18b3
; 27a4
b + 81a3
b2
9a2
= 32
a2
18b3
= 2(32
b3
)
27a4
b + 81a3
b2
= 27a3
b(a + 3b) = 33
a3
b(a + 3b)
mcm = 2 . 33
a3
b3
(a + 3b) = 54a3
b3
(a + 3b)
9 Simplifico
−
+ +
+
− −
x
x x
x
x x
25
7 10
.
4 8
2 15
2
2 2

( )( )
( )( )
( )
( )( )
+ −
+ +
+
− +
x x
x x
x
x x
5 5
5 2
.
4 2
5 3

( )+x
4
3
10 Simplifico
x
x
x
x x
x
x−
+
+ +
÷
−
−9
.
2 6
1

1
3
3
2 2

( )
( )
( )
( )( )
( )− + +
+ −
+
+ +
÷
−
−
=
x x x
x x
x
x x
x
x
1 1
3 3
.
2 3
1

3
1
2
2
2
11 Simplifico a b9 2 26

= = = =a b a b a b a b ab3 3 3 3 32 2 26
2
6
2
6
2
6
1
3
1
3
1
3 3 3 3 3
12 Simplifico x y27 3 615
x y x y x y x y xy= = = =3 3 3 3 33 3 615
3
15
3
15
6
15
1
5
1
5
2
5 5 5 25 25
Mineduc
1 Una tienda recibe 43
de cajas de dulces. En cada
caja hay 23
paquetes con 4 dulces cada uno.
¿Cuántos dulces se recibió en total?
Si cada dulce se vende en 20 centavos, ¿cuánto di-
nero se obtendrá por la venta de todos los dulces?
2 José compra 23
paquetes de flores por el día de
San Valentín. Cada paquete tiene 52
flores.
Si cada flor cuesta 25 centavos. ¿Cuánto dinero
pagó José en total?
Razonemos

12
1 Hallamos el MCD.
a. 3m3
+ 15m2
, am2
+ 5am
b. a2
– b2
, a2
– 2ab + b2
c. 3m2
+ 3m – 60, 6m2
– 18m – 24
2 Hallamos el mcm.
a. 5x2
, 10xy, 15xy2
b. 2x2
, 6xy, 3x2
– 6xy
c. x2
+ 2x, x3
– 2x2
, x2
– 4
3 Reducimos a su más simple expresión.
a.
x y
x y z
4
6
2 5
3 4
b.
m
m mn−
2
4 4
2
2
c.
x x
x x
+ +
+ +
3 19 20
6 17 12
2
2
4 Simplificamos.
a.
x y
x y z
x y z
y z
⋅
4
6
3
2
2 5
3 4
4 2
4
b.
− −
+ +
÷
−
+
x x
x x
x
x x
8 10 3
6 13 6
4 9
3 2
2
2
2
2
c.
+
−
⋅
−
+
⋅
− −
+
a
a
a
a
a a
a a
1
1
3 3
2 2
22
2
5 Hallamos el MCD.
a. 3x3
+ 15x2
, bx2
+ 5bx
b. p2
– q2
, p2
– 2pq + q2
c. 3x2
+ 3x – 60, 6x2
– 18x – 24
d. 4a2
+ 4ab + b2
, 2a2
– 2ab + ab – b2
e. 9x2
– 1, 9x2
– 6x + 1
f. x2
– 4, x3
– 8
g. m3
+ n3
, 3am + 3an
h. 30ax2
– 15x3
, 20axy2
– 10x2
y2
6 Hallamos el mcm.
a. 5m2
, 10mn, 15mn2
b. 2p2
, 6pq, 3p2
– 6pq
c. 7x4
, 14xy, 49xy4
d. m2
+ 3m, m3
– 3m2
, m2
– 9
e. 8n2
– 10n – 3, 20n2
+ 13n + 2, 10n2
– 11n – 6
f. a2
b – ab2
, a4
b2
– a2
b4
, a(ab – b2
)2
, b(a2
+ ab)2
g. m3
– 27n3
, m2
– 9n2
, m2
– 6mn + 9n2
,
m2
+ 6mn + 9n2
h. x3
+ y3
, (x + y)3
7 Reducimos a su más simple expresión.
a.
x y
x y z
8
6
3 6
3 4
b.
−
m
m mn
4
4 42
c.
− +m mn n
m n
6 9
– 9
2 2
2 2
d.
a
a a a
+
− + −
1
1
3
4 3
e.
a ab b
a b
− +
−
4 4
8
2 2
3 3
f.
x y
x y( )
+
+
3 3
3
g. m n
m n
( )−
−
2
2 2
h. a x
a x
( )−
−
3
3 3
8 Simplificamos.
a. a
b
b
a
⋅
2
3
6
4
2 2
b. ⋅ ⋅
x y
a
a
m
m
x5
10
3
92 3
2 3
c.
+ −
+ +
⋅
−x x
x x
x
x x
2 3 5
2 11 15
9
2 – 2
2
2
2
2
d.
+
−
⋅
−
+
⋅
+ −
+
a
a
a
a
a a
a a
2 1
2 1
6 3
4 2
22
2
e.
a
a a
a
a
a
a
a a
a
−
+
⋅
+
−
⋅
−
+
⋅
+
+
81
2 10
11
36
2 12
2 18
5
2 22
2
2 2
3 2
¿Aplico las leyes de productos notables en la vida diaria? ¿En qué situación?
¿Para qué sirve la simplificación de expresiones algebraicas?
Problemas propuestos
Freepik

13
Mineduc
Lengua y literatura
Etnomatemática en Ecuador
La etnomatemática sirve para rescatar los aspectos de la cultura de un pue-
blo y usarlos en la matemática.
Desde mucho antes de la llegada de los españoles al continente, existie-
ron muchos recursos de cálculo como parte de la cultura de los pueblos
americanos. Entre ellos están la taptana, la yupana, el ábaco andino y el
nepohualtzintzin.
Muchos de estos instrumentos de cálculo han desaparecido con el paso del
tiempo, pero con su redescubrimiento se ha logrado descifrar su utilidad y
ahora se sabe que servían para realizar todo tipo de operaciones matemáticas.
En el Ecuador se han rescatado estos instrumentos de los Cañaris y otras
culturas indígenas del país, que han aportado al fortalecimiento de la edu-
cación intercultural bilingüe. Por ejemplo, se encontró una piedra que ser-
vía para el cálculo (taptana), la cual tiene nueve filas para indicar los núme-
ros del 1 al 9 y el número de columnas que sean necesarias para representar
el valor de los números siguiendo las potencias de 10.
Con el reconocimiento de la etnomatemática se ha comprobado que nues-
tros ancestros ya contaban con instrumentos y sistemas de cálculo diferen-
tes a los impuestos por la cultura oriental, y que cumplían con las caracte-
rísticas y necesidades de aquella época.
Producción de un párrafo argumentativo
Escribo un párrafo sobre la importancia del álgebra en la vida diaria
y cito dos fuentes.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Estudios Sociales
Educación para la ciudadanía
En este video se puede
conocer más sobre las
aplicaciones del factoreo:
https://youtu.be/57ls4jhdX-c
Valor: Interculturalidad

14
Actividades evaluativas
Nivel de logro 1 - Comprensión
Actividad individual
Elijo el factor que hace válida la igualdad.
(3p – 2q) _______ = (9p2
– 12pq + 4q2
)
a. (3p + 2q)
b. (3p – 2q)
c. (p – pq + q)
d. (p + pq + q)
Completo los términos que faltan en el desa-
rrollo de los siguientes productos.
a.
2
3
r + 3s
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
=
4
9
r2
+ +9s2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
b. (w + 5)(w – 3) = w2
+ _______
c. (2m2
+3y3
)3
= 8m6
+ _______ + 54 m2
y6
+ ___
Factorizo las siguientes expresiones y selec-
ciono la respuesta correcta.
1. 8t3
+ 36t2
+ 54t + 27
a. (2t – 3) (4t2
+ 6t + 9)
b. (4t2
+ 12t + 9)
c. (2t – 3)3
d. (2t – 3)(2t + 3)(2t – 3)
2. y3
– 2y2
– 4y + 8
a. 4(y + 2)(y + 1)
b. (y + 2)(y – 2)2
c. (y + 2)2
(y – 2)
d. (y + 2)(y – 2)
3. x2
– 3x – 18
a. (x + 6)(x – 6)
b. (x + 6)(x – 3)
c. (x + 3)(x – 6)
d. (x - 3)(x - 6)
4. 64 – 4y4
a. (8 + 2y2
)(8 – 2y2
)
b. (8 – 2y2
)2
c. (8 – 2y2
)(8 – 2y2
)
d. (8 + 2y2
)(8 + 2y2
)
El área de un terreno está dado por la expre-
sión y2
– z – yz – 1. Determino sus dimensio-
nes para cercarlo.
a. (y + 1)(y – 1 – z)
b. (y – 1)(y + 1 – y)
c. (y + 1)(y + 1 + y)
d. (y + 1)(–y – 1 – y)
Resuelvo aplicando las propiedades de la po-
tenciación y la radicación.
π
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
5
4
a+ 2( )
−
1
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
5
4
! a+ 2( )
−
3
2
Simplifico.
⋅
x y
x y z
x y z
y z
4
6
3
2
2 5
3 4
4 2
4
1
2
3
4
5
6
A = y2
– z – yz – 1
_____

Módulo pedagógico
15
Números reales y expresiones algebraicas
Nivel de logro 2 - Resolución de problemas
Actividad individual
Al construir una tarjeta electrónica para ela-
borar un circuito, se diseñan distintos mode-
los, con la finalidad de elegir el más adecuado
de acuerdo al tamaño del prototipo. Calculo
el área en función de las variables a, b, x, y.
Hayquerecordarqueelcálculodeláreaserealiza
multiplicando la medida del largo por el ancho.
En el gráfico se observa un refrigerador y se
proporciona el área de su base y su altura.
Calculo el volumen que se obtendrá en fun-
ción de las variables.
Hay que recordar que el volumen es el pro-
ducto entre el área de la base y la altura.
7 8
9
Calculo el área limitada en rojo del aparta-
mento (de forma cuadrada):
a. Realizando el producto de las medidas de
sus lados.
b. Calculando el área total y restando el área
de las regiones limitadas en azul.
c. Con los resultados obtenidos en los litera-
les a y b, enuncio una conclusión.
Nivel de logro 3 - Innovación
Actividad colectiva
En parejas, escribimos una expresión algebraica que permita calcular el área
y el perímetro de nuestra aula. La expresión deberá contener tres términos
expresados como fracción y exponentes enteros.
10
Marco con el aprendizaje alcanzado
Reflexiones
Sí, lo hago muy
bien
Sí, pero puedo
mejorar
Lo hago
con dificultad
Necesito ayuda
para hacerlo
¿Aplico las leyes de productos notables en la vida
diaria?
¿Puedo argumentar para qué me sirve la simplificación
de expresiones algebraicas?
Autoevaluación
Realizo mi autoevaluación a partir de lo estudiado en el módulo.
x y
ab
10
3
2 3
a b
xy
6
5
2 3
Altura
h
h h

4 9
3 2
2
2
=
−
+
Mineduc
Mineduc

Fuentes
16
• Boyer, C.B. (2003). Historia de la matemática. Madrid. Alianza
editorial.
• Alsina, C. Trillas, E. (1996). Lecciones de álgebra y geometría.
Barcelona. Ed. Gustavo Gili.
• Educatina. (02 de septiembre de 2015) YouTube. Obtenido
método de mínimos cuadrados: https://www.youtube.com/
watch?v=gUdU6BgnJ2c
• Rojo, J. (2001). Algebra lineal. McGraw-Hill.
Cómo conseguir un contrato
como consultor usando un
poco de matemática
Por: Adrián Paenza
Uno puede hacerse pasar por adivino o por una persona muy
entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar
en la Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la
que crecen las potencias de un número.
Este es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tene-
mos una base de datos de 128 000 personas. (Por las dudas,
no crean que sean tantas, ya que la mayoría de las grandes
empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todas
formas, para lo que quiero invitarles a pensar, podríamos
empezar con un número más chico, e igualmente el efecto
sería el mismo.
Supongamos que uno elige alguna acción o algún commodity
cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas,
que uno elige el precio del oro. Supongamos también que
ustedes se sientan frente a su computadora un domingo por
la tarde. Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las
direcciones electrónicas de todas las personas que allí figu-
ran. Entonces, a la mitad de ellas (64 000) les envían un mail
diciéndoles que el precio del oro va a subir al día siguiente
(lunes). Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo
contrario: que el precio del oro va a bajar. (Por razones que
quedarán más claras a medida que avance con el ejemplo, ex-
cluiremos los casos en los que el oro permanece con el precio
constante en la apertura y el cierre.)
Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o bien
subió o bien bajó. Si subió, hay 64 000 personas que habrán
recbido un mail de ustedes diciéndoles que subiría. Claro, qué
impotancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con
el oro tiene poca relevancia. Pero sigamos con la idea.
El lunes a la noche, de las 64 000 personas que habían reci-
bido su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría,
ustedes seleccionan la mitad (32 000) y les dicen que el mar-
tes volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32 000, les
envían un mail diciéndoles que va a bajar.
Llegado el martes por la noche, ustedes están seguros que
hay 32 000 para los cuales ustedes no solo acertaron lo del
martes, sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repi-
tan el proceso. Al dividir por la mitad, a 16 000 les dicen
que va a subir y al resto, los otros 16 000, que va a bajar.
Resultado: el miércoles ustedes tienen 16 000 personas
a las que les avisaron el lunes, el martes y el miércoles lo
que pasaría con el precio del oro. Y acertaron las tres veces
(para este grupo).
Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen
8 000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por
la noche, tienen 4 000. Piensen bien: el viernes por la no-
che, ustedes tienen 4 000 personas que los vieron acertar
todos los días con lo que pasaría con el precio del oro, sin
fallar nunca. Claro que el proceso podría seguir a la semana
siguiente, y podrían tener 2 000 al siguiente lunes, 1 000 al
martes y, si queremos estirarlo aún más, el miércoles de la
segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron
diciendo, día por día, durante diez días, lo que pasaría con
el precio del oro.
Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrata-
ran como consultor pagándole, digamos, mil dólares por año
(no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor…
aún), ¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden
que ustedes acertaron siempre por diez días consecutivos.
Con esta idea y empezando con una base de datos bien más
grande o más chica, o parando antes en el envío de correos
electrónicos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de
personas que crean en ustedes o que crean sus predicciones.
Y ganar dinero en el intento.
Fuente: https://goo.gl/xyX7eq (19/02/2018)
Adrián Paenza (1949). Periodista, matemático y profesor argentino
especializado en la divulgación matemática.
Para enriquecer nuestra cultura, ¡LEAMOS!

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