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trabajo de matematica.pdf
- 1. República bolivariana deVenezuela Ministerio del Poder Popular para la educación Universitaria, La ciencia y la Tecnología Uptaeb “Universidad Andrés Eloy Blanco” Barquisimeto-Estado-Lara Expresiones Algebraicas Estudiante: Valeska Piñero PNF Turismo Página 1
- 2. Índice 1. Expresiones algebraicaspágina 3... 2. Sumas página 3… 3. Restas página 4… 4. Valor Numérico página 5… 5. Multiplicación página 6… 6. División página 9… 7. Productos Notables página 11… 8. Factorización de productos Notables página 12… 9. Bibliografía página 18… Página 2
- 3. Expresión algebraica Es unacombinación de letras ó letras y números unidos por medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita. Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. Sumas Es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con exponentes. Ejercicios: Sumas en Monomios: 1) 3𝑎 + 5𝑎 + 2𝑏 Solución: 3𝑎 + 5𝑎 + 2𝑏 = 8𝑎 + 2𝑏 2) 3𝑥2 ;−5𝑦; −6𝑥; −2𝑦; 𝑥; 4𝑦 Solución: 3𝑥2 + (−5𝑦) + (−6𝑥) + (−2) + 𝑥 + 4𝑦 = 3𝑥 − 5𝑦 − 6𝑥 − 2𝑦 + 𝑥 + 4𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦 Sumas en Polinomios: 1) 𝑎4 − 𝑏4 ; 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏; 3𝑎4 + 5𝑎3 𝑏 − 4𝑎𝑏3 Solución: Página 3
- 4. (𝑎4 𝑏4) + (−𝑎3 𝑏+ 𝑎2 𝑏2) + (−3𝑎4 + 5𝑎3 𝑏 − 4𝑎2 𝑏2) + (4𝑎𝑏3) = 𝑎4 − 𝑏4 + −𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏2 + −3𝑎4 + 5𝑎3 𝑏 − 4𝑎2 𝑏2 + 4𝑎𝑏3 = 2𝑎4 − 𝑏4 + 4𝑎3 𝑏 − 3𝑎2 𝑏2 − 5𝑎𝑏3 2) 3𝑥2 + 𝑦𝑥 − 𝑦2 ; −5𝑥2 − 3𝑦2 ; 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ; 4𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑥2 + 5 Solución: (3𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2) + (−5𝑥2 − 3𝑦2) + (2𝑥𝑦 + 𝑦2) + (4𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑦2 + 5) = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 + −𝑦2 ± −5𝑥2 − 3𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 4𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑦2 + 5 = 2𝑥2 − 5𝑦2 + 5 Restas Es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación). Ejercicios: Restas en Monomio: 1) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 20 𝑚 𝑑𝑒 5𝑚 Solución: 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 20𝑚 𝑑𝑒 5𝑚 = −20 + 5𝑚 = −15𝑚 2) 𝐷𝑒 𝑥𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 8𝑥 Página 4
- 5. Solución: 𝐷𝑒 𝑥𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟8𝑥 = 𝑥𝑦 − 8𝑥𝑦 = 7𝑥𝑦 Restas en Polinomios: Ejercicios: 1) 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 𝑑𝑒 5𝑥2 − 3𝑥 − 4 Solución: 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 𝑑𝑒 5𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 2) 𝐷𝑒 3𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑎2 − 𝑏2 − 5 Solución: 3𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 𝑏2 − (𝑎2 − 𝑏2 − 5) = 3𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 𝑏2 − 𝑎2 + 𝑏2 + 5 = 𝑎2 − 5𝑎𝑏 + 2𝑏2 + 5 Valor Numérico Es el número que resulta de sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Ejercicios: Hallar el Valor numérico de las siguientes expresiones para: 𝑎 = 6 𝑏 = 2 𝑐 = 1 2 𝑑 = 3 4 Página 5
- 6. 1) 3𝑎2 − 𝑏 Solución: 3∙ (−6)2 − 2 = 3 ∙ 36 − 2 = 108 − 2 = 106 1) 2𝑎2 − 3𝑏3 Solución: 2 ∙ (6)2 − 3 ∙ (2)2 = 2 ∙ 36 − 3 ∙ 4 = 72 − 12 = 60 Multiplicación Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Multiplicación Monomio por Polinomio Ejercicios: 1) −7𝑥2 𝑦2 (5𝑥2 − 9𝑥𝑦 − 12𝑦2) Solución: − 7𝑥2 𝑦2 (5𝑥2 − 9𝑥𝑦 − 12𝑦2) = −32𝑥4 𝑦2 + 63𝑥3 𝑦3 − 84𝑥2 𝑦4 Página 6
- 7. 2) 3𝑚2 𝑛 (−5𝑚+ 7𝑚𝑛 − 9𝑛) Solución: 3𝑚2 𝑛(−5𝑚 + 7𝑚𝑛 − 9𝑛) = −15𝑚3 − 21𝑚2 𝑛2 + 27𝑚2 𝑛2 Multiplicación Monomio por Polinomio Método 2 Ejercicios: 1) 5𝑥 𝑝𝑜𝑟 3𝑥 + 2𝑦 Solución: 3𝑥 + 2𝑦 5𝑥 15𝑥2 + 10𝑥𝑦 2) 4𝑥2 𝑦3(3𝑥3 − 𝑥2 𝑦 − 2𝑦3) Solución: 3𝑥3 − 𝑥2 𝑦 − 2𝑦2 4𝑥2 𝑦3 12𝑥5 𝑦3 − 4𝑥4 𝑦4 − 8𝑥2 𝑦6 Multiplicación Polinomio por Polinomio Ejercicio: 1) (3𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 − 4𝑦) Solución: (3𝑥 + 2𝑦)(5𝑥 − 4𝑦) = −15𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 10𝑥𝑦 − 8𝑦2 = 15𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 8𝑦2 Página 7
- 8. 2) (−2𝑚2 𝑛 +3𝑚)(−5𝑚 + 4𝑚2 𝑛 − 6) Solución: (−2𝑚2 𝑛 + 3𝑚)(−5𝑚 + 4𝑚2 𝑛 − 6) = 10𝑚3 − 8𝑚4 𝑛2 + 12 𝑚2 𝑛 − 5𝑚2 + 12𝑚3 𝑛 − 18𝑚 = 22𝑚3 𝑛 − 8𝑚4 𝑛2 − 12𝑚2 − 5𝑚2 − 18𝑚 Multiplicación Polinomio por Polinomio Método 2 Ejercicios: 1) (6𝑚2 − 𝑛3)(3𝑚2 + 2𝑛3) Solución: 6𝑚2 − 𝑛3 3𝑚2 + 2𝑛3 18𝑚4 − 3𝑚2 𝑛3 12𝑚2 𝑛3 + 2𝑛6 18𝑚4 + 9𝑚2 𝑛3 + 2𝑛6 2) (5𝑥 − 3𝑦2)(2𝑥 − 8𝑦2) Solución: 5𝑥 − 3𝑦2 2𝑥 − 8𝑦2 10𝑥2 − 6𝑥𝑦2 −40𝑥𝑦2 + 24𝑦4 10𝑥2 − 46𝑥𝑦2 + 24𝑦4 Página 8
- 9. División Es una operaciónentre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. División de Monomio Ejercicios: 1) −15𝑎2 𝑏𝑛+5 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5𝑎𝑏 Solución: −15𝑎2 𝑏𝑛+5 5𝑎𝑏 = −3𝑎𝑏𝑛+4 2) -5𝑎𝑏2 𝑐2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 6𝑎𝑚 𝑏𝑚 𝑐𝑥 Solución: −5 𝑎𝑏2 𝑐3 6𝑎𝑚 𝑏𝑛 𝑐𝑥 = −5 6 𝑎1−𝑚 𝑏2−𝑛 𝑐3−𝑥 División de Polinomio entres Monomio: Ejercicios: 1) 𝑥5 + 𝑥2 𝑦2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥2 Solución: Página 9
- 10. 𝑥5 + 𝑥2 𝑦2 𝑥2 = 𝑥5 𝑥2 + 𝑥2 𝑦2 𝑥2 = 𝑥3 +𝑦2 2) 12𝑎2 𝑏5 − 24𝑎3 𝑏4 − 18𝑎4 𝑏2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 6𝑎2 𝑏2 Solución: 12𝑎2 𝑏5 − 24𝑎3 𝑏4 − 18𝑎2 𝑏2 6𝑎2 𝑏2 = 2𝑏3 − 4𝑎1 − 3𝑎2 División de Polinomios Ejercicios: 1) 2𝑥2 − 15𝑥´ + 25 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 − 5 Solución: 2𝑥2 − 15𝑥 + 25 |𝑥 − 5 2𝑥2 + 10 2𝑥 − 5 −5𝑥 + 25 +5𝑥 − 25 2) 6𝑥2 − 2𝑦2 − 𝑥𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑦 + 2𝑥 Solución: Página 10
- 11. 6𝑥2 − 𝑥𝑦 −2𝑦2 |2𝑥 + 𝑦 −6𝑥2 − 3𝑥𝑦 5𝑥 − 4𝑦 −4𝑥𝑦 − 2𝑦2 +4𝑥𝑦 + 2𝑦2 Productos Notables: Son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso. Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas complejas. Ejercicios: 1) (𝑥 + 5)2 Solución: 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 52 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25 2) (3𝑥𝑦 + 5𝑥)2 Solución: (3𝑥𝑦)2 + 2 ∙ 3𝑥𝑦 ∙ 5𝑥 (5𝑥)2 = 9𝑥2 𝑦2 − 30𝑥2 𝑦 + 25𝑥2 Página 11
- 12. 3) (𝑚 −3) Solución: 𝑚2 − 2 ∙ 𝑚 ∙ 3 + 32 𝑚2 − 6𝑚 + 9 Factorización de productos notables Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico. También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables. Ejercicios: Factor común: 1) 3𝑥2 − 5𝑥𝑦 Solución: 3𝑥2 − 5𝑥𝑦 = 𝑥 (3𝑥 − 5𝑦) 2) 9𝑥2 𝑦 − 12𝑥𝑦2 Solución: 9𝑥2 𝑦 − 12𝑥𝑦2 = 3𝑥𝑦 (3𝑥 4𝑦) 3) 18𝑎𝑏𝑐2 + 24𝑎2 𝑏𝑐 − 6𝑎𝑏𝑐 Solución: Página 12
- 13. 18𝑎𝑏𝑐2 + 24𝑎2 𝑏𝑐 −6𝑎𝑏𝑐 = 6𝑎𝑏𝑐 (3𝑐 + 4𝑎 − 1) Diferencia de Cuadrado Ejercicios 1) 𝑥2 − 4𝑦2 Solución: 𝑥2 − 4𝑦2 = (𝑥 − 2𝑦) (𝑥 + 2𝑦) 2) 16𝑚4 − 1 Solución: 16𝑚4 − 1 = (4𝑚2 − 1)(4𝑚2 + 1) 3) 4𝑎2 − 9𝑏2 Solución: 4𝑎2 − 9𝑏2 = (2𝑎 + 3𝑏) (2𝑎 − 3𝑏) Suma o Diferencia de Cubos: Ejercicios 1) 27𝑎3 − 64𝑏3 Solución: Página 13
- 14. 27𝑎3 − 64𝑏3 = (3𝑎− 4𝑏) (9𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 16𝑏2) 2) 𝑥3 − 8 Solución: 𝑥3 − 8 = (𝑥 − 2) (𝑥2 + 2𝑥 + 4) 3) 𝑚3 + 1 Solución: 𝑚3 + 1 = (𝑚 + 1) (𝑚2 − 1𝑚 + 1) Trinomio de la Forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ejercicios: 1) 𝑥2 + 3𝑥 − 10 Solución: 𝑥2 + 3𝑥 + 10 = (𝑥 + 5) (𝑥 − 2) 2) 𝑚6 − 41𝑚3 + 400 Solución: 𝑚6 − 41𝑚3 + 400 = (𝑚3 − 25) (𝑚3 − 16) Página 14
- 15. 3) 2𝑦2 − 7𝑥− 30 Solución: 2𝑦2 − 7𝑥 − 30 (1𝑥 − 10) (1𝑥 + 30) Trinomio de la Forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ejercicios: 1) 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 Solución: = 3 ∙ (3𝑥2 − 5𝑥 − 2) 3 = (3𝑥)2 − 5 ∙ (3𝑥) − 6 3 = (3𝑥 − 6) (3𝑥 + 1) 3 (𝑥 − 2) ∙ (3 + 1) 2) 5𝑎2 + 13𝑎 − 6 Solución: 5 ∙ (𝑎2 + 13𝑎 − 6) 5 = (5𝑎)2 + 13 (5𝑎) − 30 5 = (5𝑎 + 15) (5𝑎 − 2) 5 Página 15
- 16. = (𝑎 +3) (5𝑎 − 2) 3) 12𝑚4 − 13𝑚 − 35 Solución: 12 ∙ (12𝑚4 − 13 (12𝑚2) − 420) 12 = (12𝑚)2 − 13(12𝑚2) − 420 12 = (12𝑚2 − 28) (12𝑚2 + 15) 12 = (3𝑚3 − 7) (4𝑚2 + 5) Trinomio Cuadrado Perfecto Ejercicios: 1) 𝑎2 − 10𝑎 + 25 Solución: 𝑎2 − 10𝑎 + 25 = (𝑎 − 5)2 2) 10𝑎 − 𝑎2 − 25 Solución: (𝑎2 − 10𝑎 + 25) = −(𝑎 − 5)2 Página 16
- 17. 3) 1 −2𝑎3 + 𝑎6 Solución: (𝑎6 − 2𝑎3 + 1) = (1 − 𝑎3 )2 Página 17
- 18. Bibliografía https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670- ejemplo_de_suma_algebraica.html#ixzz7n7gDSrbB https://definicion.de/resta-algebraica/#:~:text=Se%20dice%20que%20la%2 0 resta, que%20disminuye%20en%20la%20operaci%C3%B3n). https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/pluginfile.php/2556/mod_i mscp/content/1/valor_numrico_de_una_expresin_algebraica.html https://ministeriodeeducacion.gob.do/docs/espacio-virtual-de-soporte-para-educacion- no-presencial/kXFa-valor-numerico-de-las-expresiones-algebraicaspdf.pdf http://cosfac.sems.gob.mx/web/evaluaciondiagnostica2020- 2021/manuales/MATEMATICAS/M.Multiplicacion_de_expresiones_algebraicas.pdf https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/algebra/multiplicacion-de-monomios-y- polinomios/ http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/04_Productos_notables_html/index.h tml https://cursoparalaunam.com/productos-notables-y-factorizacion https://www.youtube.com/@MatematicasprofeAlex Página 18