Este documento presenta conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, exponentes, grado de un polinomio, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones algebraicas. También explica productos notables y cómo factorizar ecuaciones lineales y trinomios cuadráticos.

1. INBA CONACULTA<br />TRABAJO SEMESTRAL MATEMATICAS<br />Diana Laura Robles Sanchez<br />1ª<br />Profesor. Victor Morales <br />Índice<br />Suma resta y multiplicacion algebraica.<br />División y productos notables.<br />Ecuaciones lineales y factorización.<br />Ecuaciones cuadráticas y graficas.<br />Suma resta y multiplicación algebraica<br />Introducción<br />Algebra<br />Es una palabra de origen árabe, algiabr, utilizada para nombrar el estudio de las operaciones y propiedades de magnitudes representadas por símbolos, generalmente letras. El álgebra se define como la parte de las ciencias matemáticas que se ocupa del estudio de la cantidad como concepto global. <br />Usos:<br />En la vida cotidiana se usa para calcular costos, intereses, ganancias, representar cantidades, etc.<br />Termino algebraico: consta de las siguientes partes:<br />Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).<br />Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores<br />Expresión algebraica: es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.<br />Exponentes: El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.<br />En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64<br />En palabras: 82 se puede leer \"
8 a la segunda potencia\"
, \"
8 a la potencia 2\"
o simplemente \"
8 al cuadrado\"
<br />Grado: el grado en la matemática nombra:<br />El grado de un polinomio<br />El grado de una extensión<br />El grado en la teoría de grafos<br />Ejemplos de suma<br />Trinomio cubico:<br />5a2-2a3+4a+3a2 +5a2- 2a+7+ 3a-2a2+ 5=-1a2+8a2+12<br />Trinomio cuadrático:<br />34x2- 43x+2+ 16x- 52x2+ 78= -74 x2 -76x+238<br />Monomio lineal:<br />4y-5 z+3+ 4z-y+2+ 3y-2z-1=-4<br />Trinomio cubico:<br />12m2+35m- 47+53m- 310m2= -15 m2+3415 m-47 <br /> <br />Binomio cubico:<br /> 2 pq-3p2q+4pq2+ pq-5pq2- 7p2q 4pq2 + 3pq- p2q= -9p2q+6pq <br />Problema de suma:<br />Se quiere calcular el perímetro de un triangulo escaleno, la altura de dicho triangulo es 12x + 5y, el lado es 10x +2y y la base es 9y- 3x ¿Cuál es el perímetro de la base?<br />12x+5y+ 10x+2y+ 9y-3x=-19x+16y <br />Resta<br />Monomio cuadrático:<br /> 5m+4m-7- 8n-7+ 4m-3n+5- -6m+4n-3= -3n-4<br />Polinomio de 4to grado:<br />4m4- 3m3+ 6m2+ 5m-4- 6m3- 8m2- 3m+1= 4m4+9m3+14m2+8m+5 <br />Polinomio de 5to. Grado:<br /> 6x5+ 3x2- 7x+2- 10x5+6x3-5x2- 2x+4= -4x5+ 8x2-5x-2-6x2 <br />Polinomio de 4to. Grado<br />-xy2-7y3+ xy2+ -2xy2+ 5y-2- -6y3+ xy2+5=3xy4-y3-5y+5<br />Trinomio lineal:<br /> 16x+ 38y-5- 83y- 54 + 32x+ 29=53x- 5524y-12736 <br /> <br />Trinomio cuadrático: <br /> 12x2+ 35y3- 56x2y- 34x2- 510y3+ 89 x2y= -14x2+ 1110y3+3118x2y<br />Problema de resta<br />Se le quiere restar a un lado de un terreno cuadrilátero la medida de dos de sus lados, al lado 20x +5y -2 se le quiere restar el lado 15x + 2y mas el lado 8x + 5 -2y ¿Cuánto quedaría del lado al que se le restaron dichos lados? <br />20x+5y-2-10x+2y+8x+5-2y0-2x-y+7 <br /> Multiplicación<br />Propiedad distributiva de la multiplicación:<br />La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.<br />Ejemplo: 4 × (2 + 3) = 4 × 2 + 4 × 3<br />Ley de exponentes en la multiplicación:<br />Para multiplicar dos o más potencias de la misma base se suman los exponentes y se eleva la base común a la suma de los exponentes. Por ejemplo:<br />5x25x5= 25x7<br />Pasos de la multiplicación:<br />-los coeficientes se multiplican aplicando la ley de signos <br />- los exponentes de las mismas literales se suman<br />- se aplica la ley distributiva<br />- se simplifica sumando términos semejantes<br />- ordenar y clasificar<br />-7048552070<br />Ejemplos de multiplicación:<br />Polinomio cubico:<br />2x2-x-32x2-5x-2= -8x2+7x2+17x+5<br />Polinomio cubico:<br />3x-14x2-2x-1= 12x3+10x2-5x<br />Polinomio cuadrático:<br />43a2-54a- 1225a+ 32=85 a2-52+ 8340a-34<br />Polinomio de 7mo. Grado<br />9xy-x2y2xy+6x2y2=-24x4y3+54x3y3-8x3y2+18x2y2<br />----------------<br />5m12-3m23 4xy-24-2m5= 20m3/4- 10m11/2-3xy-17/12+6m17/3<br /> Polinomio de 4to. Grado<br />25z2-13z+ 4937x2-712z-3= 635z4- 730z3+311180z2+3427 z-43<br />Trinomio cuadrático:<br />3y-52y+4= 6y2-2y-20<br />Binomio cuadrático:<br />3x2-x+75x+2=15x3-x2-33x+14<br />Polinomio de 5to. Grado<br />4ab+3b6a2b-2ab2= 28a3b2-8a2b3+18a282-6ab2<br />Problemas <br />Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área<br />2x-45x+3= 10x2+6x-20x-10<br />En una tienda se compran 3 diferentes artículos A, B Y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta ¾ x por unidad y se compraron 7 unidades ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra)<br />3x+4x+2+34x(5+3+7)<br />División y productos notables<br />División algebraica: Es la operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores dividendo y uno de los factores divisor encontrar otro factor llamado cociente<br />Partes de la división algebraica:<br />Dividendo2. Divisor3. Cociente4. Resto<br />Division<br />8m9n2-10m7n4-20m5n6+12m3n82m2n3= 4m7m- 5m5n-10m3n3+ 6mn5<br />20x4-5x3-10x2+15x-5x= -4x3+ x3 +2x- 3<br />4a8-10a6-5a42a3= 2a5- 5a3- 5a2<br />2x2y+6xy2-8xy+10x22xy=x+3y-4+5xy<br />3x2+2x+8x+2=3x<br />2x3-4x-22x+2=1x2<br />2a4-a3+7a-37y+3<br />14y2-71y-337y+3<br />Si un espacio rectangular tiene un área de 6x2-19x +15 y la anchura es 3x-5 ¿Cuánto mide la base?<br />6x2-19x+153x-5= <br />Opinión personal<br />Las divisiones pienso que son algo difíciles pero para que las encuentres mas sencillas lo único que puedes hacer es practicarlas bastante para que así les encuentres su facilidad.<br />Productos notables:<br />Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.<br />Reglas de resolución:<br />Binomios a una potencia:<br />(a+b)n el desarrollo da como resultado n+1 términos. Los binomios a una potencia es la multiplicación de (n) veces un mismo binomio <br />(X+3) (x+3) (x+3) = (x+3)3 <br />Binomio al cuadrado<br />-se obtiene un trinomio al cuadrado perfecto (TCP)<br />-cuadrado del primer termino<br />-doble producto de los dos términos<br />-cuadrado del segundo termino<br />(3x+2)2= 9x2 + 12x +4<br />Binomio al cubo:<br />-cubo del primer termino<br />-triple producto del cuadrado del primero por el segundo<br />-triple producto del cuadrado del segundo por el primero<br />-Cubo del segundo<br />Binomios a potencia superior<br />-el segundo inicia con potencia cero y aumenta hasta la potencia indicada<br />-el primero inicia con la potencia indicada y disminuye a cero<br />Binomios conjugados<br />-cuadrado del primero<br />-(-) menos cuadrado del segundo<br />(2x+3)(2x+5) =4x2+30x+15<br />(x2-1)(x2+1)= x4-1<br />(m+4)(m-2)= m2+2m-8<br />(3a-7)(3a+7)= 9ª2-49<br />(5a+3b)(5a-2b)= 25ª2+5a-9<br />(4x3+3)(4x3-3)= 16x9-9<br />(a2-1)(a2-4)= a4+4ª2+4<br />(3a+4)2= 9a2 +24a+16<br />(2x2-5)2 = 4x4-20x2+25<br />(7m +8n)2= 49m2 +112+64n2<br />(4a+5)3 =36ª3 +240ª2 +300a +125<br />(2ª3-7)3= 8ª9-84ª6+294ª3-343<br />(3x2+2)4=13x22+4(3x2)3(2)1+6(3x2)2(2)2+4(3x2)1+1(3x2)0(2)4<br />(2x2-4)6 = 1 (2x2)(-4)+5 (2x2)4(-4)1+10 (2x2)3(-4)3+10 (2x2)2(-4)3+5 (2x2)(-4)4+ 1(2x2)5(-4)5<br />(4y3+3)6 = 1(4y3)(3) + 6(4y3)5(3)1 + 15(4y3)9(3)2 +20(4y3)3(3)3+ 15(4y3)2(3)4 + 6(4y3)1(3)5+ 1(4y3)0(3)6<br />Opinión personal:<br />Pienso que los productos notables son complicados cuando no sabes su procedimiento pero después, cuando sabes como hacerlas son bastante sencillas e incluso pueden ayudarte en problemas de la vida cotidiana.<br />Ecuaciones lineales y factorización<br />Factorización<br />La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b) (a + b).<br />No tiene factor común ni es t.c.p <br />En un binomio donde los términos se restan y tienen raíz cuadrada exacta. Sin factor común ni TCP se factoriza a dos binomios con termino común<br />Factorización por agrupación<br />La expresión se divide en dos parejas comunes de al menos cuatro términosLos extremos tienen raíz cuadrada exacta y el término central es el doble del producto de dichas raicesFactor común Diferencia de cuadradosFactorización a 2 binomiosTrinomios cuadráticosagrupación<br />Se aplica cuando todos los términos tengan una misma variable y/o sus coeficientes sean múltiplos de un mismo número<br />Resolver:<br />25a2-64b2= (5a-8b2)<br />8m2-14m-15= 4m (2m-5)(-2+5)<br />X2-15x+54= (x-6) (x+9)<br />5x2-13x+6= (5+3) (x+2)<br />27a9-b3=<br />5a2+10a= 5(a2+2a)<br />n2+14n+49= (n-7) (n+7)<br />x2-20x-300=(x-30)(x+10)<br />9x6-1=<br />64x3+125=<br />X2-144=(x-72)2<br />2x2+11x+12x= (2x+3)(x+4)<br />4x2y-12xy2=4(x2y-3xy2)<br />Xw-xw+xz-yz= (w+z) (x-y)<br />X2+14x+45=(x+9) (x+5)<br />6y2-y-2= (2y+1) (3y-2)<br />4m2-42= (2m-7)2<br />X2-x-42=(x-7) (x+6)<br />2m2+3m-35=(m+10)(m-7)<br />Esta unidad me gustó pues se me hizo que los problemas son entretenidos <br />Fracciones algebraicas <br />x2-16x2-8x+16= (x-4)2 x+2+4(x+4+4)<br />4x2-20xx2-4x-5=x2(-10x)x(-2x+5)<br />3a-9b6a-18x<br />x2-6x+9x2-7x+12*x2+6x+53x2+2x-1=x4-36x+45x4-14x+24<br />7x+21x2-16y2*x2-5xy+4y24x2+11x-3<br />x2-3x-10x2-25*2x+106x+12= 26<br />x-42x+8*4x+8x2-16=4(x+2)2<br />3x-15x+3/12x+184x+12=3x-546(2x+3)<br />4x2-9x+3y/2x-32x+6y= 2 <br />x2-14x-15x2-4x-45/x2-12x-45x2-6x-27=(x-1)x+5(x-15)<br />a-3a2-3a+2- aa2-4a+3=<br />mm2-1+3mm+1=<br />2aa2-a-6-4a2-7a+12=2a(4)a+2(a-4)<br />2m2-11m+30-1m2-36+1m2-25=<br />xx2-5x-14+2x-7=<br />¿Qué es una fracción compleja?<br /> Es cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de fracción simple<br />Pienso que la unidad de fracciones algebraicas fue algo trabajosa pero aun así sencilla y que nos puede ayudar en actividades de la vida diaria.<br />Ecuaciones lineales:<br />Consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.<br />El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.<br />Sustitución<br />El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.<br />Igualación<br />El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.<br />Reducción<br />Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo.<br />Regla de Cramer<br />La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. <br />4(2x-3) + 5(x-1)= 7(x+2) – (3x+4) r= 1/9<br />5x-34+ 2x3= x+12= 3034<br />3(4x+3) + 2x-3(2-x) = 2+3(x+4) + 5x – 2 r= 17/10<br /> <br /> 5x -1 X=0.2-0.02<br />-1/2 x + 2 X=4<br />(-1,-2)<br />(-16,12)<br />-3y=4 x= 55<br />x-4y=7 y= 105<br />4a+b=6 a=2017<br />3a+5b=10 b=7217<br />m-n=3 m=217<br />3m+4n=9 n= 7<br />5p+2q=-3 p=624<br />2p-q=3 q=2124<br />X+2y=8 x= 161<br />3x+5y=12 y=121<br />3m+2n=7 m=3117<br />m-5n=-2 n=1317<br />2h-i=-5 h=2211<br />3h-4i=-2 i=1111<br />Dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se encuentra delante del otro. El que va adelante viaja a 60km/h, mientras que el otro lo hace a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo automóvil en rebasar al primero?<br />R= <br />Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿qué precio pagó al proveedor?<br />R= 750<br />Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?<br />R= boletos adulto: -2000/2.5 boletos niño: -500/2.5<br />Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40% ¿qué cantidad de cada una debe emplearse?<br />R= aleación 30%: -43960/25 aleación 55%= 23960/25<br />Ecuaciones cuadráticas:<br />Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.<br />Numero imaginario:<br />Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo. <br />Numero real:<br />Son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas<br />7x2+2x=0 x1=0 x2=-3<br />4x2-16=0 x1=2 x2=-2<br />a2-3a+2=0 a1= 3.5 a2=2.5<br />9m2+2m-5=0 m1=2.75 m2=1.24<br />X2-3x=0 x1=0 x2=3<br />5x2+10=0 x1=1.41 x2=-1.41<br />7y2-3y+10=0<br />2t2+t+1=0 t1=.4114 t2=1.6614<br />8x2-7x=0 x1=0 x2=-78<br />a2-25=0 a1= 5 a2= -5<br />Graficas:<br />Y=X2-1<br />X2+5x+6<br />-x2-4<br />