CEPRE

1. ADICIÓN – SUSTRACCIÓN
ADICIÓN:
Para sumar dos o más polinomios se escriben uno a continuación del otro y luego se reducen los términos
semejantes
Es decir:
A = aoxn + a1xn-1 + …. + an
B = boxn + b1xn-1 + …. + bn
A + B = (ao+bo)xn + (a1+b1)xn-1 + …. + (an+bn)
SUSTRACCIÓN:
Para restar dos polinomios se suman el polinomio MINUENDO con el opuesto del polinomio SUSTRAENDO
Es decir:
A = ao.xn + a1xn-1 + …. + an
- B = - b.xn – a1xn-1 - …. – bn
A – B = (ao-bo)xn + (a1 – b1)xn-1 + …. + (an-bn)
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Consiste en multiplicar sólo los coeficientes
de los polinomios, previamente ordenados,
completando con ceros los términos que
falten; luego se colocan las variables y los
exponentes
Ejemplos
P=(4x5 – 2x4 + 3x2 - 1) (2x2 + 3x – 5)
+4 –2 0 +3 0 –1
+2 +3 –5
+8 –4 0 +6 0 –2
+12 –6 0 +9 0 –3
-20 +10 0 –15 0 5
+8 +8 –26 +16 +9 –17 –3 5
Luego: Grado (P) = 5+2 = 7
P = 8x7
+ 8x6
– 26x5
+ 16x4
+ 9x3
– 17x2
– 3x + 5
Ejemplos:
 A = - 4a - 3b - -2a + b + (-3a + b)
A = -4a + 3b – 2a + b – 3a + b
A = -9a + 5b
 B = --3x + 2y - x + y + (2x - yx 23  
B = 3x – 2y + x + y + 2x + 3x – 2y
B = 9x – 3y
Si el signo de agrupación esta precedido del signo (+),
los términos no cambian de signo.
Si el signo de agrupación está precedido del signo (-),
todos los términos cambian de signos.
Ejemplos:
 + (3x – 4) = 3x – 4
 - (3x – 4) = -3x + 4
MULTIPLICACIÓN
Se consideran los siguientes casos:
Producto de Monomios:
(axn) (bxm) = abxn+m
Ejemplos:
 (2x3) (4x2) = (2) (4)x3+2 = 8x5  





cba 24
8
5
- 





 4
5
3
abc =-
8
3
a5b3c5
Producto de un monomio por un polinomio:
(axn) (bxm+cxp) = abxn+m + acxn+p
Ejemplos:
 (4x2)(3x+5) = (4x2) (3x) + (4x2) (5) = 12x3 + 20x2
 (5x3y2)(2x3 - 3x2y + 4xy2 – 6y3) = 10x6y2 – 15x5y3 + 20x4y4 –
30x3y5
Producto de polinomios:
(axn+bxm) (cxp+dxq) = acxn+p + adxn+q + bcxm+p + bdxm+q
Ejemplos:  P = (2x2 – 3x + 4) (3x + 5)
 2x2 – 3x + 4
3x + 5x
6x3 – 9x2 + 12x
10x2 – 15x + 20
6x3 + x2 – 3x + 20
Ejemplo:
Sumar:
A = 3x4
– 2x3
+ 6x – 8 ; B = 2x4
– 3x2
+ 5
A = 3x4
– 2x3
+ 0x2
+ 6x – 8
B = 2x4
+ 0x3
– 3x2
+ 0x + 5
A + B = 5x4
– 2x3
– 3x2
+ 6x – 3
Ejemplo:
Restar:
A = 7x3
– 3x2
+ 8x – 4 ; B = 5x3
– 6x2
+ 3x – 1
A = 7x3
– 3x2
+ 8x – 4
- B = -5x3
+ 6x2
– 3x + 1
A - B = 2x3
+ 3x2
+ 5x – 3
LEY DE SUPRESION DE SIGNOS
Método de los coeficientes separados

2. CEPRE UNJ Operaciones Algebraicas – Productos Notables 2016 - II
ÁLGEBRA 2 Lic. JavierSaldarriagaHerrera
PRODUCTOS NOTABLES
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
IDENTIDADES DE LEGENDRE
I1: (a + b)2
+ (a – b)2
= 2(a2
+ b2
)
I2: (a + b)2
– (a – b)2
= 4ab
DIFERENCIA DE CUADRADOS
(a + b) (a – b) = a2
– b2
DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2bc + 2ca
(ab + bc + ca)2
= a2
b2
+ b2
c2
+ c2
a2
+ 2abc(a + b + c)
DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
IDENTIDADES DE CAUCHY
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab (a + b)
(a –b)3
= a3
– b3
– 3ab(a –b)
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
(a + b) (a2
– ab + b2
) = a3
+ b3
(a - b) (a2
– ab + b2
) = a3
- b3
DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO
Según Cauchy, se puede escribir así:
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3ab(a + b) + 3bc(b + c) +
3ca(c + a) + 6abc
IDENTIDADES TRINÓMICA DE ARGAND
(x2m
+ xm
yn
+ y2n
)(x2m
– xm
yn
+ y2n
) = x4m
+ x2m
y2n
+ y4n
IDENTIDADES DE LAGRANGE:
(a2
+ b2
) (x2
+ y2
) = (ax + by)2
+ (ay – bx)2
(a2
+ b2
+ c2
) (x2
+ y2
+ z2
) = (ax + by + cz)2
+ (ay – bx)2
+ (bz – cy)2
+ (az – cx)2
IDENTIDADES DE EULER
(a2
+ b2
+ c2
+ d2
) (x2
+ y2
+ z2
+ w2
) = (ax + by + cz + dw)2
+
(bx – ay + cw –dz)2
+ (cx – az + bw –dy)2
+ (dx – aw + bz – cy)2
IDENTIDADES DE GAUSS
a3
+ b3
+ c3
– 3abc = (a + b + c)(a2
+ b2
+ c2
– ab – bc – ca)
Debemos tener en cuenta que:
a2
+ b2
+ c2
– ab – bc – ac =
𝟏
𝟐
[(a – b)2
+ (b – c)2
+ (c – a)2
]
a2
+ b2
+ c2
+ ab + bc + ac =
𝟏
𝟐
[(a + b)2
+ (b + c)2
+ (c + a)2
]
IDENTIDADES ADICIONALES
(a + b + c) (ab + bc + ca) = (a + b) (b + c) (c + a) + abc
(a + b) (b + c)(c + a) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
+ 2abc
(a – b) (b – c) (c – a) = ab(b – a) + bc(c – b) + ca(a –c)
PRODUCTOS NOTABLES
Son productos indicados que tienen una forma
determinada, de los cuales se puede recordar
fácilmente su desarrollo, sin necesidad de
efectuar la operación.
Multiplicando miembro a miembro las
identidades I1 e I2:
(a + b)4
– (a - b)4
= 8ab (a2
+ b2
)
Relaciones Particulares
(a + b)3
+ (a – b)3
= 2a (a2
+ 3b2
)
(a + b)3
– (a – b)3
= 2b (3a2
+ b2
)
Otras formas más usuales del desarrollo:
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b) (b + c)(c + a)
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b + c) (ab + bc + ca) –3abc
(a + b + c)3
= 3(a + b + c) (a2
+ b2
+ c2
) – 2(a3
+ b3
+ c3
) +6abc
Formas particulares más usuales:
(x2
+ xy + y2
) (x2
– xy + y2
) = x4
+ x2
y2
+ y4
Si: m = 1, n = 0:
(x2
+ x + 1) (x2
– x + 1) = x4
+ x2
+ 1
Identidades Condicionales:
Si: a + b + c = 0, entonces se verifica que:
a2
+ b2
+ c2
= –2(ab + bc + ac)
a3
+ b3
+ c3
= 3abc
a4
+ b4
+ c4
=
𝟏
𝟐
(a2
+ b2
+ c2
)2
a5
+ b5
+ c5
= -5abc(ab + bc + ac)
OBSERVACIÓN:
(a - b)2
= (b - a)2

3. 1. El resultado del producto:












 32
x
4
1
4
1
x4
a) –x5
+ 3
x
6
1
b) –4x6 +
3
x
4
1
c) –x6
+ 3
x
16
1
d) –4x5
-
3
x
4
1
e) –x5
+ 3
x
16
1
2. Si: A(x) = 3x2
+ 6x – 1, B(x) = x4
– x2
; el
coeficiente de “x4
” en el producto A(x) . B(x)
es:
a) 3 b) –4 c) 5 d) –6 e) 8
3. La suma de coeficientes del producto:
(x2
– 2x – 1). (x2
+ 3x), es:
a) –10 b) 7 c) –8 d) 2 e) 4
4. Al efectuar la multiplicación:
(x3
– 5x2
+ x) (x2
+ 4x)
uno de los términos del resultado es:
a) –x5
b) x4
c) –19x2
d) 5x2
e) –x4
5. Encuentre el término independiente de la
siguiente multiplicación:
(7x4
+ 3x + 7)(45x3
+ 2) (35x4
+ 2x - 5)
a)5 b) 75 c) 20 d)- 70 e) 15
6. El tercer término del producto total de la
siguiente multiplicación es:
(4x3
+ 8x2
- 3) (3x2
- 5x + 4)
a) 4x4
b) -24x3
c) 23x2
d) -12 e) -2x
7. Determinar el valor numérico del quinto
término del producto.
(3x3
+ 2x2
y + 5xy2
) (2x2
+ 3xy + y2
)
Cuando x = 1 , y = -1
a)-5 b)9 c)17 d)5 e)13
8. El equivalente de la expresión:
1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) es:
a) (x2
+ 2x + 2)2
d) (x2
+ 5x + 1)2
b) (x2
+ 3x + 1)2
e) (x + 1)3
c) (x + 1)2
9. Evaluar:
   102752752S 
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
10. Si: x = 2 + 2
Calcular:
2
2
x
4
xS 
a) 1 b) 3 c) 6 d) 12 e) N.A.
11. Calcular:
    32 16842
1212121231E 
a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2
12. Calcular:
      4x3x2x1x7xxM
22

Si: x = 23 
a) 1 b) 23  c) 32 d) 3 e) 5
13. Si: a + b + c = 5
a2
+ b2
+ c2
= 7
a3
+ b3
+ c3
= 8
Calcular:
S = (a-1
+ b-1
+ c-1
) –1
a)
2
3
b)
3
2
c) –3 d) 2 e) 5
14. Si: 7
a
x
x
a 9
9

Hallar el valor de: 4
9
4
9
a
x
x
a
K 
a) 5 b) - 5 c) 3 d) a o b e) a y b

4. CEPRE UNJ Operaciones Algebraicas – Productos Notables 2016 - II
ÁLGEBRA 4 Lic. JavierSaldarriagaHerrera
15. Si: a + b + c = 0; reducir:
     
bcacab
bac2acb2cba2
A
222



a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 0
16. Si: a + b + c = 60. Reducir:
     
   30c20b10a
30c20b10a
R
333



a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2
17. Si: 33
931x  . Señalar el valor de:
R = x 3
- 3x2
+ 12x – 6
a) 10 b) 2 c) 3
3 d) 3
9 e) 0
18. Si: ;725
a
b
4
b
a
nn












an
> 0  bn
> 0
Calcular: 3
nn
nn
ba
b2a
A


a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) 20
19. Si: a + b= 5; ab = 3. Hallar: M = a – b (M >
0)
a) 1 b) 3 c) 7 d) 17 e) 13
20.Si: x2
+ y2
= 5; xy = 2. Hallar: x6
+ y6
a) 125 b) 60 c) 65 d) 50 e) 110
21. Si: x3
+ y3
= 28; además: xy (x + y) = 12
Calcular: A = x + y
a) 2 b) 3 c) 4 d) –2 e) –3
22.Sabiendo que: x + y = 234  ;
xy = 2 3 - 3. Calcular: A =
22
yx 
a) 4 3 b) 2 c) 2 2 d) 3 3 e) 3
23.Calcular “m” entero positivo de tal forma
que: 16x6
+ (m –2) x3
y4
+ 49y8
sea un trinomio cuadrado perfecto.
a) 56 b) 54 c) 58 d) 52 e) 60
24.Reducir:
M = (x - y) (x + y) (x2
+ y2
)(x4
+ y4
) + 2y8
Si: 88
13y31x  ;
a) 1 b) -2 c) 2 3 d) 2 e) -1
25.Si: x2
+ x + 1 = a5
; x – 1 = a
Hallar: 6 3
1xE 
a) a b) a-1
c) a d) 1 e) a2
26.Si 𝑥 = √ 𝑚 + 1
12
Calcular:
mxxxxxxxx  )1)(1)(1)(1)(1( 222242
a) 2 b) 3 c) 0 d) -1 e) -2
27.Si 2 2 2 2 2
m n m n n    . Hallar:
2 2 2 2
m n m n  
a) 0 b) 1 c) m2
d) n2
e) 2
28.Si a + b + c = 3, a2
+ b2
+ c2
= 9. Determinar
el valor de:
E = (a + b)2
+ (a + c)2
+ (b + c)2
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
29.Si 3
1

x
x . Determinar el valor de:






























x
x
x
x
x
x
x
xE
11
1
1
a) 15 b) 18 c) 20 d) 21 e) 24