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![Ejemplo 3
Dada la función g tal que x −→ 1/ x, encuentra las imágenes de 2, 1 ,
2 2 y −3.
Solución. Lo que debes hacer es determinar los valores f (2), f (1/2), f ( 2) y f (0):
1 1
f (2) = . f ( 2) = .
2 2
1
f (1/2) = 1 = 2. 1 1
f (−3) = =− .
2 −3 3
¿Cuál es la imagen de 0? Para calcularla, deberías poder calcular f (0):
1
f (0) = ;
0
sin embargo, esta división no existe; por tanto, f no se puede evaluar en 0, y 0 no tiene una
imagen respecto de la función f .
En el ejemplo 1, decimos que el número 0 no está en el dominio de la función f . En
general, cuando un número real a no tiene imagen respecto de una función f , decimos
que a no está en el dominio de la función, y que f (a) no existe.
El conjunto de todos los valores del conjunto de salida que tienen una ima-
gen en el conjunto de llegada de la función se llama dominio de la función
f , y se representa así: dom f .
Ejemplo 4
1
Encuentra el dominio de la función f : R −→ R tal que f ( x) = − .
(3 − x)2
Solución. Observa que el denominador es cero cuando x = 3. En x = 3, la operación
1
−
(3 − x)2
no existe. Por tanto, el dominio de la función f es ] − ∞, 3[ ∪ ]3, +∞[.
En el ejemplo 1, observa que el número 0 no tiene preimagen, pues no existe un
valor x de manera que 1 = 0. En este caso, decimos que 0 no está en el recorrido de la
x
función f .
El conjunto de todas las imágenes de una función f se llama recorrido de f ,
y se representa con rec f .
Ejemplo 5
1
Encuentra el recorrido de la función f : R −→ R tal que f ( x) = − .
(3 − x)2
Solución. Para determinar el recorrido, podemos observar que cualquier valor de salida
tiene la forma de una división, donde el numerador es siempre negativo y el denominador
es siempre positivo, sin importar el valor de x. El resultado de la división será siempre un
valor negativo. Simbólicamente:
(3 − x)2 > 0
19](https://image.slidesharecdn.com/matematica1cap1-120806104130-phpapp01/85/Matematica-1-cap1-18-320.jpg)
![para todo x ∈] − ∞, 3[∪]3, +∞[. Además,
1
−1 < 0 ⇒ − <0
(3 − x)2
para todo x ∈] − ∞, 3[∪]3, +∞[; es decir:
1
f ( x) = − < 0;
(3 − x)2
por tanto, el recorrido de la función f es el conjunto ] − ∞, 0[.
Ejemplo 6
2
Determina el dominio y el recorrido de la función h : R −→ R tal que h( x) = 3− x .
Solución. Podemos evaluar h( x) en cualquier valor de x, excepto en el caso cuando x = 3.
2
¿Por qué? (Observa que el denominador de la fracción 3− x es 0 cuando x = 3, y que no
podemos dividir por 0). Por tanto, el dom f es el conjunto constituido por todos los números
reales excepto el 3. Podemos representar el dominio de esta función de maneras diversas:
dom f = { x ∈ R : x = 3} = R − {3} =] − ∞, 3[ ∪ ]3, +∞[.
La determinación del recorrido es más difícil que la del dominio. En el ejemplo que te
ocupa, puedes hacerte una idea de cuál es el recorrido de la siguiente manera.
Recuerda que el recorrido es el conjunto de todos los números y = f ( x); entonces, estos
números y cumplen con la siguiente igualdad:
2
y=
3−x
siempre que x = 3. Ahora despeja x de esta igualdad; vas a obtener que
2
x = 3− .
y
El número representado por la expresión de la derecha de la igualdad existe para todos los
valores de y, excepto cuando y = 0 (¿por qué?). Entonces, el recorrido de f serán todos los
números reales distintos de 0. Esto lo puedes representar también de maneras diversas:
rec f = { y ∈ R : y = 0} = R − {0} =] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.
Ejemplo 7
Determina el dominio de la función g : R −→ R definida por g( x) = 2 x.
3
Solución. Podemos observar que la operación 2 x siempre se puede realizar con cualquier
3
número real x; por lo tanto, el dominio de la función g es el conjunto R.
Representaciones de una función
Las funciones pueden representarse de varias maneras; las más importantes son las
siguientes:
Numéricamente a través de una tabla.
20](https://image.slidesharecdn.com/matematica1cap1-120806104130-phpapp01/85/Matematica-1-cap1-19-320.jpg)
![Ejercicios
Preparación y repaso
En primer lugar, recuerda los diferentes tipos de intervalo:
1. [a, b] = { x : a ≤ x ≤ b}. 5. [a, +∞[ = { x : x ≥ a}.
2. ]a, b[ = { x : a < x < b}. 6. ]a, +∞[ = { x : x > a}.
3. [a, b[ = { x : a ≤ x < b}. 7. ]−∞, b] = { x : x ≤ b}.
4. ]a, b] = { x : a < x ≤ b}. 8. ]−∞.b[ = { x : x < b}.
1. Expresa los siguientes conjuntos de nú- 3. En cada caso, traza la figura geométrica
meros reales como intervalos: cuyos vértices son:
(a) x∈R: 1 ≤ x≤5 .
2
(b) { x ∈ R : x < 0, 33}. (a) (−4, 0), (2, 0) y (0, −3).
(c) { x ∈ R : x < 1 y x > −2}.
2. En un sistema de ejes coordenados, ubi- (b) (−4, 2), (2, 2), (−4, −3) y (2, −3).
ca los puntos asociados con los siguien-
tes pares ordenados: (c) (−1, 0), (0, −1), (1, 0) y (0, 1).
(2, 1), (4, 3), (−7, 2),
(−3, −2), (11/5, −1), 6, −7 , 4. Sean los puntos (−3, 2), (−3, −4); halla
(−3, 5; −4, 7), (2;5, 5), (0, 3), dos puntos de tal manera que formen un
2, 3 , 2 3, − 5 , 0, 6 . cuadrado con los puntos dados.
Conceptos
1. Sea f una función; para cada caso, di si es verdadero o falso, y justifica tu respuesta.
(a) f (1) = 5 significa que la imagen de 5 por f es 1.
(b) f (0) = −6 significa que 0 es una preimagen de −6 por f .
(c) f ( 2) = 2 significa que 2 es una preimagen de 2.
2. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d }, B = {1, 2, 3}. En los diagramas que se dan a continuación,
indica cuáles representan funciones de A en B. Si la respuesta es negativa, explica por
qué no es una función.
A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B
a → 1 a 1 a → 1 a → 1 a → 1 a → 1
b → 2 b → 2 b → 2 b 2 b → 2 b 2
c → 3 c → 3 c 3 c 3 c 3 c 3
d d d d d d
(a) Los diagramas anteriores definen correspondencias entre los elementos de A y los de
B. Si C = {a, b, c} y D = {1, 3}, ¿cuáles de dichas correspondencias definen funciones
de C en D ?, ¿de C en B? y ¿de A en D ?
(b) Para cada una de las funciones encontradas en la parte a., determina la o las preimá-
genes de 1, de 2 y de 3.
(c) Determina todas las funciones que se pueden establecer de A en D y de D en D .
3. Una descripción verbal de una función está dada. Elabora una representación algebraica,
una gráfica y una tabular de dicha función.
(a) Para evaluar f ( x), a x se le multiplica por 3 y al resultado se le suma 4.
27](https://image.slidesharecdn.com/matematica1cap1-120806104130-phpapp01/85/Matematica-1-cap1-26-320.jpg)
![Interpreta la variación de la función lineal g.
Si la variable x aumenta en 1 unidad, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye) la
función? ¿Y si disminuye en una unidad?
Si la variable x disminuye en 4 unidades, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye)
g( x)?
Solución. La tasa de cambio o variación relativa de la función lineal g es el coeficiente
de x en
g( x) = −3 x + 10.
Por lo tanto:
tasa de cambio de la función lineal g = −3.
Que la variación o tasa de cambio de g sea −3 quiere decir que cuando x cambia en 1
unidad, g( x) cambia en −3 unidades.
Por ejemplo, si x cambia de 4 a 5, entonces
g(5) − g(4) g(5) − g(4)
−3 = tasa de cambio de g = = .
5−4 1
Por lo tanto:
−3 = g(5) − g(4),
lo que significa que g(5) − g(4) es negativo; es decir, g(5) es menor que g(4). En otras
palabras, el cambio de g es una disminución.
En resumen, cuando x aumenta en una unidad, la función g disminuye en 3 unidades.
Supongamos que x aumenta en 1 unidad. Entonces, g( x) cambiará en 3 unidades, sin
importar el valor de x. Pero, ¿ g( x) aumentará o disminuirá en esas 3 unidades?
Para ello, calculemos la diferencia entre g( x + 1) y g( x):
g( x + 1) − g( x) = [−3( x + 1) + 10] − [−3 x + 10]
= [−3 x − 3 + 10] − [−3 x + 10]
= −3.
Como la diferencia es menor que 0, el aumento de x en una unidad significa una
disminución de g( x) en 3 unidades.
De manera similar:
g( x − 1) − g( x) = [−3( x − 1) + 10] − [−3 x + 10]
= [−3 x + 3 + 10] − [−3 x + 10]
= 3.
Como la diferencia es mayor que 0, g( x) aumenta en 3 unidades cuando x disminuye
en 1.
Por cada unidad de cambio en x, g( x) cambia en 3. Por lo tanto, si x cambia en 4
unidades, g( x) cambiará en 12 unidades.
De los ejemplos, podemos ver que:
la tasa de cambio de la función lineal f es positiva y, en este caso, un aumento en
x significa un aumento en f ( x), y una disminución en x, una disminución en f ( x);
la tasa de cambio de la función lineal g es negativa y, en este caso, un aumento
en x significa una disminución en g( x), y una disminución en x, un aumento en
f ( x).
60](https://image.slidesharecdn.com/matematica1cap1-120806104130-phpapp01/85/Matematica-1-cap1-59-320.jpg)
![Estos hechos también se cumplen en el caso general, lo que podemos verificar con faci-
lidad.
Consideremos una función lineal cualquiera
h : R −→ R
x −→ ax + b.
En primer lugar, supongamos que la tasa de cambio de h es positiva; es decir, suponga-
mos que a > 0. Esto quiere decir que si x cambia en una unidad, h( x) debe cambiar en
a unidades.
Ahora supongamos que x aumenta en una unidad; entonces: Variación de una
función lineal
h( x + 1) − h( x) = [a( x + 1) + b] − [ax + b] • Si la tasa de cambio de
= [ax + a + b] − [ax + b] una función lineal h es
positiva, al aumentar x,
= a > 0.
también aumenta f ( x); al
disminuir x, f ( x) también
Como esta diferencia es mayor que 0, h( x) aumentó a unidades.
disminuye.
Ahora, si x disminuye una unidad, tenemos que
• Si la tasa de cambio de
h( x − 1) − h( x) = [a( x − 1) + b] − [ax + b] una función lineal h es
negativa, al aumentar x,
= [ax − a + b] − [ax + b] disminuye f ( x); al dismi-
= − a < 0. nuir x, f ( x) aumenta.
Como esta diferencia es menor que 0, h( x) disminuyó a unidades.
De manera similar, puedes analizar el caso en que la tasa de cambio de h es nega-
tiva.
Ejemplo 14
Considera la función lineal h tal que la imagen de −2 es 1 y la imagen de 1 es −5. Si x
disminuye en 3 unidades, ¿en cuántas unidades cambia h( x)? ¿Aumenta o disminuye?
Solución. En primer lugar, tienes que averiguar la tasa de cambio de h. Para ello, vas a
encontrar dos puntos que estén en la recta que representa a la función lineal h.
Como 1 es la imagen de −2, y −5 la de 1, tenemos que
h(−2) = 1 y h(1) = −5.
Entonces los puntos de coordenadas
(−2, 1) y (1, −5)
están en la recta que representa a la función h. Por lo tanto, la tasa de cambio de h es la
pendiente de la recta:
1 − (−5)
tasa de cambio de h =
−2 − 1
6
= = −2.
−3
Como la tasa de cambio es −2, si x aumenta una unidad, h( x) disminuye 2; entonces, al
aumentar 3, disminuirá en 6 unidades.
61](https://image.slidesharecdn.com/matematica1cap1-120806104130-phpapp01/85/Matematica-1-cap1-60-320.jpg)
Subido porBernardita Naranjo
Matematica 1 cap1
Este documento proporciona recomendaciones didácticas para docentes sobre cómo enseñar los capítulos de funciones y funciones lineales en un libro de matemáticas. Incluye sugerencias sobre cómo introducir cada tema, actividades para el aula, y ejercicios para reforzar los conceptos. También ofrece consejos específicos sobre cómo abordar diferentes secciones de cada capítulo.
Matematica 1 cap1
- 1.
- 2. Índice general Recomendaciones didácticasgenerales 5 Fundamentos pedagógicos del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sugerencias metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Recomendación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Recomendaciones para el docente sobre el capítulo “Funciones” 10 Para la “Introducción” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Para la “Preparación y repaso” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Para la “Investigación” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Para “Noción de función” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Para la “Evaluación de una función” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Para la “Representación de una función” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 Funciones 14 Preparación y repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Noción de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Evaluación de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Representaciones de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Representación mediante tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Representación mediante gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Representación mediante ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Actividad para el aula: flujo de tráfico en Quito . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Simetría y paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Preparación y repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Aplicaciones (modelos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Pensamiento crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Uso de tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Recomendaciones para el docente sobre el capítulo “Funciones lineales” 32 Para la “Introducción” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Para “Preparación y repaso” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Para “Pendiente, corte y ecuación” de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Para “Investigación: diseño de una rampa” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Para “La función lineal” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Para “Cortes, cero, tasa de cambio y monotonía” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Para “Sistemas e intersecciones” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3
- 3. Para “Modelos lineales”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Funciones lineales 38 Preparación y repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 La ecuación de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 La pendiente de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 El corte de la recta con el eje vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ecuación de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Investigación: diseño de una rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Dominio y recorrido de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Cambio y variación de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Monotonía de la función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ceros de la función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Intersección de rectas. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . 64 Actividad para la clase: Igualdad de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 ¡A practicar! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Actividad para la clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Aplicaciones y modelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Pensamiento crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Uso de tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3 Funciones cuadráticas I 86 4
- 4. Recomendaciones didácticas generales El textode Matemática para primer año de Bachillerato General Unificado ha sido concebido sobre la base de la experiencia e investigación de docentes nacionales y de alrededor del mundo de las últimas tres décadas. El resultado ha dado un grupo de principios que nos sirven de guía en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y en los cuales se sustenta el contenido de este libro. En síntesis son los siguientes: Fundamentos pedagógicos del libro • El proceso de aprendizaje es continuo y ocurre en un ámbito social dentro y fuera de las aulas. • El proceso de enseñanza debe partir del conocimiento presente del estudiante e incorporar lo aprendido con anterioridad como base para el futuro aprendizaje. Por ello, el proceso es particular de cada estudiante. • El aprendizaje tiene que ser relevante para el estudiante, de manera que este se convierta en un agente activo de dicho aprendizaje. En particular, la Matemática tiene que relacionarse con la vida cotidiana del estudiante y con el medio social en el cual está inmerso. • El proceso de aprendizaje va de lo concreto a lo abstracto. El proceso de enseñan- za de la Matemática debe incorporar suficientes etapas que conduzcan a que su característica simbólica sea aprendida de manera gradual. • El proceso de enseñanza debe ser gradual; es decir, un proceso que introduce escenarios con bajas demandas cognitivas (por ejemplo, pocos símbolos, uso úni- camente de conocimientos cimentados, pocos pasos de tipo calculativo, etcétera). • El proceso de enseñanza debe ser recursivo. Entendemos por proceso recursivo a aquel que introduce un paso sencillo y luego, en el futuro del proceso de enseñan- za, utiliza ese paso para introducir otro más elaborado. Por ejemplo, en tercero año de EGB, los estudiantes estudiaron una introducción a las rectas; en primero año de Bachillerato, los estudiantes estudiarán las rectas desde un punto de vista funcional; y en primer año de la universidad, estudiarán rectas como una parte integral de sus estudios de Cálculo. • El proceso de enseñanza-aprendizaje requiere de la comunicación verbal. Los es- tudiantes aprenden hablando y escribiendo las ideas. El docente debe enunciar y escribir mediante frases completas y lenguaje preciso las ideas fundamentales en cada problema matemático. De la misma manera, debe ayudar a sus estudiantes a ejercer y desarrollar tal destreza. 5
- 5. • Los conceptosmatemáticos se aprenden, primeramente, mediante representacio- nes y luego mediante definiciones formales. Por ejemplo, definiremos qué es una función cuadrática y, al mismo tiempo, desarrollaremos gráficas, tablas, símbolos y dibujos que la representen. • El aprendizaje de conceptos se fundamenta en ejemplos y contraejemplos. Un concepto matemático crea una categoría de objetos. Este concepto debe ser con- cretizado mediante ejemplos de aquellos objetos que pertenecen a tal categoría y con objetos que no pertenecen a esa categoría. Por ejemplo, si introducimos la categoría de parábola, esta debe ser contrastada con el de la recta. • El aprendizaje basado en la solución de problemas debe ser parte integral del proceso de enseñanza-aprendizaje. Un problema presenta una situación estimu- lante y requiere de etapas cognitivas y procedimentales que son, en sí mismas, objetivo de aprendizaje. • El uso de tecnología suele ser necesario, pues coadyuva y facilita el aprendizaje. En particular, en primer años de Bachillerato la introducción de funciones se facilita al visualizar múltiples gráficas. • El proceso de enseñanza-aprendizaje se enriquece cuando se lleva a cabo en co- munidad. Los estudiantes con frecuencia pueden aprender más de sus compañe- ros que del docente. El profesor debe utilizar este recurso valioso y administrar el tiempo de manera que favorezca el aprendizaje en comunidad. Sugerencias metodológicas El texto de Matemática para primer año de Bachillerato se divide en cuatro bloques cu- rriculares, según los lineamientos curriculares (2011) para el Bachillerato, publicados por el Ministerio de Educación del Ecuador. Cada bloque está presentado en varios capítulos. Cada capítulo del libro contiene los siguiente elementos que han sido concebidos tomando en cuenta los fundamentos pedagógicos generales expuestos en los párrafos anteriores. Motivación Este componente tiene como objetivo que el estudiante reconozca elementos matemáti- cos que están presentes en su vida cotidiana: escenarios sociales, de medio ambiente, de tecnología, etcétera. El componente debe despertar el interés por conocer más sobre el tema relatado, además de reconocer la necesidad de aprender la matemática necesaria para entender con mayor profundidad tal tema. Sugerencias • Utilice 15 minutos de un período de clase para que sus estudiantes lean este componente y lo discutan en grupo. • Inspire confianza para que los estudiantes conversen de manera informal, y res- pondan las preguntas planteadas solamente partiendo de lo que ellos conocen. • No espere respuestas técnicas o con precisión matemática. • Estimule a que sus estudiantes planteen otras preguntas, aunque no tengan re- lación directa con el contenido matemático que se estudiará. 6
- 6. Repaso e introducción Estecomponente tiene como objetivo recalcar el conocimiento aprendido, y evaluar el estado de conocimiento y preparación que los estudiantes tienen. Sugerencias • Utilice al menos un período de clase para permitir a sus estudiantes que realicen su trabajo en grupos pequeños de dos o tres. • Pida a sus estudiantes que realicen dos ejercicios de cada tema. Solo cuando ha- yan agotado todos los temas, pídales que regresen a realizar más ejercicios de cada tema. • Identifique a aquellos estudiantes que ya dominan el material para que sean tutores de otros estudiantes. • Focalice la discusión de la clase en los temas que se hayan presentado como pro- blemáticos para todo el grupo. • Según sea el caso, dedique una segunda hora de clase para terminar el proceso de preparación. Experimentación Este módulo está diseñado para que los estudiantes descubran patrones y exploren nociones iniciales. Un aspecto importante que facilita este módulo es la preparación del estudiante para resolver problemas paso a paso. Se espera que el estudiante desarrolle confianza y aprenda a vincular conocimientos prácticos con conocimientos teóricos. Sugerencias • Utilice un período de clase para desarrollar esta actividad. • Prepare el material que considere necesario y téngalo a mano para distribuirlo entre los estudiantes. • Forme grupos de cuatro estudiantes para que trabajen el problema. • Pida a los estudiantes que preparen un reporte de lo que encontraron. • Permita que sus estudiantes experimenten con el problema. • Escoja dos o tres grupos (no necesariamente los que tengan todo correcto) para discutir los resultados encontrados. • Sintetice lo aprendido al final de la clase. Ejemplos introductorios, definiciones, principios o axiomas, de- rivación de formulas genéricas Este componente está diseñado para construir, de manera gradual y con un principio inductivo, nociones que serán generalizadas y formalizadas posteriormente. Las definiciones formales y fórmulas son presentadas junto con ejemplos y repre- sentaciones. Se espera que el estudiante aprenda progresivamente la aplicación deduc- tiva. Cada capítulo está divido en secciones claramente marcadas, y se ha diseñado de tal manera que el texto se adapte a la planificación y elaboración de lecciones. 7
- 7. Sugerencias • Dedique una o dos clases a cada sección del capítulo. • Presente los objetivos de aprendizaje al inicio de cada clase. Por ejemplo: “Hoy aprenderemos a encontrar los cortes de una parábola con el eje horizontal”. • No utilice más de veinte minutos de su clase en presentaciones de pizarra. • Explique procedimientos, resultados genéricos y definiciones varias veces y con distinto lenguaje cada vez. • Guíe a sus estudiantes para que aprendan a leer el texto. Pida a sus estudiantes que lean un ejemplo y que pregunten en el caso de que no comprendan algún paso en particular. • Estimule a sus estudiantes a evaluar su propio aprendizaje; es decir, a identificar elementos que no comprenden. • Sintetice lo aprendido al final del período; resalte una definición o una fórmula aprendida. Ejercicios de práctica pausados y graduales Este componente le permite al estudiante evaluar su propio aprendizaje. Estos son ejer- cicios generalmente procedimentales, que pueden ser realizados en el aula o enviados de deber para la casa. Sugerencias • Utilice unos minutos antes de la finalización de su clase para que los estudiantes comiencen su autoevaluación. • Identifique los conocimientos que causan dificultades para comenzar su siguiente clase con este tema. • Pida a sus estudiantes que completen estos ejercicios en la casa y complemente el deber con ejercicios planteados al final del capítulo. Ejercicios del capítulo Este componente presenta ejercicios para ser desarrollados en la clase o en la casa; los ejercicios están organizados según el requerimiento cognitivo y no en el orden de presentación del capítulo. Este componente ha sido diseñado conforme a la siguiente clasificación: • Conceptuales: ejercicios que permiten el desarrollo de la comprensión de concep- tos. • Procedimentales: ejercicios que favorecen la práctica de procedimientos. • Pensamiento crítico: ejercicios que fomentan la combinación de varios conoci- mientos. • Modelos y experimentación: ejercicios que permiten relacionar el conocimiento matemático aprendido con otras áreas del conocimiento y con el medio social del estudiante. • Uso de tecnología: ejercicios que requieren calculadora gráfica, software de compu- tadora o aplicaciones en línea. 8
- 8. Sugerencias • Antes de asignar un ejercicio para el deber, tenga presente el requerimiento cog- nitivo de este; asegúrese de que sus estudiantes cuenten con los conocimientos que se requiere para el desarrollo del ejercicio. • Discuta en clase los ejercicios que hayan presentado dificultad al grupo. Recomendación Se le recomienda al docente la lectura atenta del documento de Actualización y Forta- lecimiento Curricular de la Educación General Básica. Además, al final del libro en- contrará lecturas adicionales y bibliografía. 9
- 9. Recomendaciones para el docentesobre el capítulo “Funciones” Para la “Introducción” Esta sección tiene como objetivo desarrollar el concepto de función a partir de las nocio- nes y conocimientos previos que nuestros estudiantes tienen. Dependiendo del medio en el que viven los estudiantes, estas nociones pueden variar. Algunos ejemplos de es- tas nociones pueden ser: • Cantidades interdependientes: – precio unitario - costo total; – distancia - tiempo - velocidad; – valor de un objeto - tiempo de uso; – cantidad de conocimientos - edad de la persona; – horas de estudio - calificación; – uso de la TV - consumo de luz. • Materia prima - Producto elaborado: – número de libras de harina - cantidad de pan que se produce; – número de quintales de cemento - tamaño de una construcción; – cantidad de tela - número de pantalones que se puede cortar y coser; – cantidad de cabezas de banano - número de fundas de chifles. • Procedimiento algorítmico: – Una receta de cocina requiere seguir pasos en secuencia. – Una persona realiza habitualmente una rutina cada mañana. – En la agricultura se siguen distintas actividades en distintos momentos del año. Sugerencias metodológicas • Dedique 10 minutos a esta actividad. • Pida a uno de sus estudiantes que lea la introducción al capítulo. 10
- 10. • Plantee preguntasa toda la clase que lleven a resaltar las nociones sugeridas. Los estudiantes también parten de un conocimiento previo de la noción de variable, operaciones con variables y expresiones algebraicas lineales. La sección Preparación y repaso tiene como objetivo traer al presente estos conocimientos y darle al docente una pauta del punto de partida de sus estudiantes. Este capítulo es introductorio. Las notaciones, definiciones y conceptos planteados en este capítulo serán desarrollados de manera gradual en los capítulos sobre funciones lineales y cuadráticas. Para “Preparación y repaso” Sugerencias metodológicas • Dedique una hora de clase para determinar el nivel de preparación de sus estu- diantes. • Pida a sus estudiantes que resuelvan los ejercicios 1a, 2a, 3a, 4a y 5a. Luego, retome el resto de los ejercicios planteados. • Discuta con el grupo los ejercicios 1, 2 y 5, pues estos son base importante para este capítulo y el siguiente. • Si encuentra que la preparación de sus estudiantes es deficiente en el proble- ma 4, recuerde que estos conocimientos pueden retomarse en algunos capítulos subsiguientes. Por ejemplo, en el capítulo “Funciones cuadráticas”, sus estudian- tes tendrán la oportunidad de aprender nuevamente sobre la descomposición en factores. • Asigne como deber los ejercicios que están al final del capítulo, los cuales están diseñados para recordar o aprender según el grado de conocimientos fundamen- tales de sus estudiantes. Discuta la solución de estos ejercicios en el inicio de la siguiente clase. Para “Investigación” Esta sección da a sus estudiantes la oportunidad de explorar, mediante una actividad lúdica, un patrón que conduce a un modelo exponencial: el número de rectángulos en el papel es 2n , donde n es el número de dobleces. Sugerencias metodológicas • Dedique media hora para esta actividad. • Permita que sus estudiantes discutan sin apresurar una “solución”. • Asegúrese de que todos los estudiantes hagan esta actividad de manera colabo- rativa. • Asegúrese de que cada grupo tenga distintos tamaños de papel. 11
- 11. Para “Noción defunción” El concepto de función debe ser desarrollado de manera conceptual, procedimental y en contexto. Esta sección sustenta el desarrollo conceptual en las siguientes nociones y conceptos: • Una función es una máquina que toma un valor y lo transforma en otro; toma un elemento de entrada y entrega uno de salida. • Una función es una relación entre variables que puede estar representada me- diante una ecuación. • Una función puede ser representada mediante una gráfica en el plano. • Una función puede ser definida mediante una tabla de valores. • Una función puede ser descrita verbalmente. El desarrollo procedimental se afinca en los siguientes contenidos: • Evaluar la función; es decir, calcular la imagen de un elemento del dominio res- pecto de la función. • Construir una tabla para una función. • Leer la gráfica de una función. • Determinar el dominio de una función en casos sencillos. Para ”Evaluación de una función” Los conceptos matemáticos se aprenden, primeramente, mediante representaciones y luego mediante definiciones formales. Los estudiantes deben ser recibir, gradualmen- te, la definición formal de función. Esta sección, además, introduce nuevos términos: imagen, preimagen, valor de entrada, valor de salida, dominio. Evaluar una función es una de las destrezas procedimentales que se desarrolla en este capítulo. En la sección se presentan ejemplos sencillos conducentes a la definición de dominio de una función. Sugerencias metodológicas • Utilice una hora de clase para esta sección. • Utilice los ejemplos de la actividad introductoria para presentar las nociones de entrada y salida de una función. • Realice con toda la clase los ejemplos 1 y 2 de esta sección. • Los estudiantes conocen expresiones como 2 x + 1; al incorporar f ( x) = 2 x + 1, in- sista, gradualmente, en el uso de x como el valor de entrada y 2 x + 1, como el valor de salida. • Exponga, gradualmente, el uso adecuado de la notación f : R −→ R. • Insista, gradualmente, en el uso adecuado de la notación f ( x) como imagen del valor x y no como la función misma. 12
- 12. • Pida asus estudiantes que verbalicen “ f de x” al escribir f ( x), pero también como “la imagen de x respecto de f ”. • Presente en la pizarra una función sencilla y evalúela en números positivos, ne- gativos, enteros, racionales, en notación racional y en notación decimal. • Conforme introduzca nuevas notaciones y definiciones, expóngalas de manera permanente en el aula; por ejemplo, en una cartulina o una cartelera. Para “Representaciones de una función” Los estudiantes aprenden de manera diversa mediante representaciones gráficas, ex- presiones verbales, algebraicas y numéricas (mediante tablas). En esta sección, se pre- sentan múltiples oportunidades de aprendizaje a través de ejemplos con diversas re- presentaciones de una función. Sugerencias metodológicas • Dedique una hora de clase a esta sección. • Comience su clase con la actividad “Flujo de tráfico en Quito”. • Pida a sus estudiantes que estudien la gráfica y, por turnos, que respondan las preguntas planteadas. • Escriba en la pizarra la definición de gráfica de una función y expóngala de ma- nera permanente en el aula. • Presente a sus estudiantes gráficas que les permitan visualizar propiedades de funciones, a este nivel, aún de manera informal: simetría, monotonía, cortes con los ejes, etcétera. • Presente a sus estudiantes gráficas que les permitan visualmente identificar cuando una gráfica corresponde a una función o no. Apele a la noción intuitiva de máquina para recalcar el hecho de que dado un valor x solo hay una imagen f(x). El concepto de función en contexto se forma al expresar de manera matemática si- tuaciones de la vida cotidiana o de otras áreas de estudio. En este capitulo se presentan varios “modelos”. 13
- 13. Capítulo 1 Funciones Vivimos en un mundo lleno de fenómenos que revelan su naturaleza matemática, y en los que encontramos cantidades que se relacionan entre sí. Por ejemplo, en la biología, la cantidad de bacterias que crecen en un cultivo depende de la cantidad de alimento que haya en el medio en el que se encuentra el cultivo; en la economía, la demanda y el precio están relacionados; en la geometría, el área de un círculo depende del radio de este. En nuestra vida cotidiana, podemos observar situaciones sencillas: 1. la altura de una persona depende de su edad; 2. mi peso cambia de acuerdo al número de calorías que consumo; y, 3. en un paseo de la Sierra a la Costa, notamos que la temperatura del aire cambia conforme disminuye la altura a la cual nos encontramos respecto del nivel del mar. 14
- 14. Preparación y repaso 1. ¿Ubicas parejas ordenadas en el plano? (a) Grafica en un plano de coordenadas los puntos que corresponden a las si- guientes parejas ordenadas: (0, 2), (−1, 3), (− 2 , 3 ), (−1, 0) 1 2 (b) Decide en qué cuadrante están los puntos que corresponden a las parejas: (π, −π), (3 2, − 3), (a2 , 3a2 ). 2. ¿Evalúas expresiones aritméticas con números reales? (a) Evalúa 32 − 4 ·33 + 1. 3 64 2 (b) Evalúa . 9 (c) Evalúa (0.4)2 × 52 . 3. ¿Operas con expresiones algebraicas? (a) Simplifica: i. x2 + x − 2 x2 − ( x + 4). ii. 3 t − 2(6 + 2 t). 1 y iii. 4 y2 − . y 2 (b) Decide si es verdadera o falsa cada una de las igualdades siguientes: i. (a + b)2 = a2 + b2 . 1 1 1 ii. = + . a+b a b 4. ¿Realizas operaciones con polinomios? (a) Simplifica: i. (3 x − 1)(2 x + 4). 4 x2 − x ii. . x iii. x2 − 4 x + 4. x2 − 7 x + 10 iv. . x−5 5. ¿Resuelves ecuaciones lineales? (a) Encuentra el valor de x para que la igualdad sea verdadera: i. 3 x + 6 = 4. 1 ii. + 1 = − x. 2 5 3 1 iii. a + = 2a + . 2 4 5 6. ¿Representas subconjuntos de números reales mediante la notación de interva- los? (a) Expresa el siguiente conjunto con la notación de intervalos: { x ∈ R : −1 < x < 3}. (b) Expresa el siguiente conjunto con la notación de intervalos: x ∈ R : x ≥ 2 . 15
- 15. Investigación ¿Intentaste doblar unpapel muchas veces alguna vez? ¿Cuántas veces lo puedes doblar sucesivamente en mitades? Algunos libros de “curiosidades matemáticas” mencionan el hecho de que, sin importar qué tan grade sea un papel, este solo puede ser doblado 7 veces sucesivamente. ¿Es esto cierto? ¡Investígalo! Escoge varios tamaños de papel y dobla sucesivamente en la mitad cada uno. ¿Llegaste a alguna conclusión? Esta inves- tigación te ayudará a encontrar la respuesta y una posible explicación. 1. ¿Cuántas hojas se producen con cada doblez? 2. Organiza la información en una tabla como la siguiente: número de dobleces número de hojas 0 1 1 2 2 4 3 4 3. ¿Puedes encontrar una relación entre el número de dobleces y el número de hojas obtenidas? ¿Observas algún patrón entre esas dos cantidades? Si nombras con la letra n el número de dobleces y con h el número de hojas, ¿puedes escribir una fórmula o una ecuación que relacione n con h? ¿Son importantes en sí mismas las letras que utilizamos para representar a cada cantidad? 4. Si haces 10 dobleces, ¿cuántas hojas obtienes? ¿Cuántos dobleces se necesitan para tener 256 hojas? 5. Grafica las parejas ordenadas de la tabla en un plano cartesiano, y trata de dibu- jar una línea curva que pase por todos los puntos. ¿Cómo se ve el dibujo obtenido? 6. ¿Es importante el tamaño de la hoja inicial? 7. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Regresa a la pregunta original: trata de encontrar razones por las cuales la res- puesta puede ser afirmativa. 1. ¿Qué pasa si, en lugar de doblar el papel en dos, lo doblas en tres? (a) Encuentra una ecuación que relacione el numero de hojas h después de n dobleces. (b) Determina el número de hojas que salen cuando se hacen 5 dobleces. (c) Determina cuántos dobleces hacen falta para tener 81 hojas. 2. Encuentra una ecuación que relacione el número de hojas que se pueden obtener cuando doblas el papel en a partes después de n dobleces. Noción de función En la investigación de esta unidad, encontraste una ecuación que relaciona dos canti- dades: el número de dobleces y el número de hojas obtenidas. Descubriste también que 16
- 16. si la segundacantidad cambia o varía, la otra también lo hace. Cuando esto ocurre, en Matemática decimos que el número de hojas es una función del número de dobleces. A ambas cantidades que varían se las denomina variables. Sin embargo, como la variable número de hojas obtenidas cambia cuando cambia la variable número de dobleces, a la primera se la denomina variable dependiente y a la segunda, independiente. En esta sección comprenderemos la noción de función de varias maneras. 1. Una función puede ser entendida como una máquina a la cual se la alimenta con un objeto x, y la máquina produce un solo resultado y. Por ejemplo, una máquina que duplica la cantidad de objetos que se le dé. x Esta máquina puede representarse por medio de la fórmula y = 2 x. Otro ejemplo, ↓ una máquina que añade 7: Si el valor de entrada es 4, entonces el valor de salida es 11. +7 Si el valor de entrada es −1, el valor de salida es 6. Si el valor de entrada es u, el valor de salida es u + 7. ↓ y ¿Cuál es el valor de salida si el de entrada es −7? y = x+7 ¿Cuál es el valor de entrada si el de salida fue 3? Para cada valor de entrada, hay un solo valor de salida. En len- guaje matemático, decimos que y es la imagen de x. 2. Una función puede ser entendida como una regla de asignación: a cada objeto de un conjunto se le asigna un único objeto de otro conjunto. Por ejemplo: a un animal se le asigna el número de sus patas. Una regla de asignación se puede representar mediante flechas. 0 ¿Conoces algún animal al que le corresponda el número 6? ¿El 5? 1 2 Hay algunos números del conjunto de los números de patas que no le corres- perro 3 ponden a ningún animal. 4 araña 5 Hay algunos elementos del conjunto de números de patas (como el 4) que 6 corresponden a varios animales. culebra 7 8 Al conjunto de animales suele llamársele conjunto de salida; al conjunto de . . . los números de patas, conjunto de llegada. 100 ¿Es posible que para algún animal la regla le asigne más de un nume- ro? ¡No! Por ello, esta relación es una función. Para una función, cada elemento del conjunto de salida está en relación con un solo elemento del conjunto de llegada. 3. En la vida cotidiana, existen muchos ejemplos de cantidades que se relacionan. Una función puede ser entendida como una relación entre dos cantidades. Por ejemplo: El pago de impuestos está relacionado con el ingreso que tiene una persona. La distancia que recorre un carro está relacionada con la velocidad de este. El costo de una carrera de taxi está relacionada con la distancia que recorre el taxi. Los tres ejemplos comparten una característica común: cada valor dado de la segunda cantidad se relaciona con un único valor de la primera. Por ejemplo, dado el ingreso de una persona, hay un único valor para el impuesto que esta persona 17
- 17. debe pagar. Lomismo ocurre en el segundo ejemplo: dado que un carro recorre a una cierta velocidad, en un cierto intervalo de tiempo solo puede recorrer una única distancia. Considera ahora la siguiente relación: un animal está relacionado con su nú- mero de patas. En este caso, dado un número de patas posible, pueden haber varios animales con ese mismo número; por ejemplo: dado el 4, un perro, un gato, un caballo son animales que están relacionados con el número 4. Si utilizas la letra f para re- El ejemplo anterior nos muestra que no toda relación es una función. presentar una función de un conjunto A en un conjunto B, escribirás Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación en la que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B. f : A −→ B El conjunto A es denominado conjunto de salida; el conjunto B, en cam- Si x ∈ A , utilizarás el símbo- bio, conjunto de llegada. lo f ( x) para representar la imagen de x, y escribirás x −→ f ( x) Ejemplo 1 La función f : R −→ R tal que f ( x) = 2 x3 − x + 1 también podemos describirla mediante la ecuación y = 2 x 3 − x + 1. La función que a cada real asigna su cuadrado puede ser descrita como f : R −→ R tal que f ( x) = x2 . Evaluación de una función Evaluar una función es encontrar el valor de salida teniendo el valor de entrada. Tam- bién podemos decir que evaluar una función es encontrar la imagen de un valor x. Por ejemplo, dada la función f : R −→ R cuya ley de asignación es f ( x) = − x3 − x + 1, evaluemos f en 0. Para ello, debes sustituir el valor 0 por la x que aparece en f ( x) = − x3 − x + 1; así: f (0) = −03 − 0 + 1 = 1; en otras palabras, la imagen de 0 es 1. 1 De manera similar, puedes evaluar f en 1, en −1, h y en x si x = 0; es decir, puedes calcular los valores 1 f (1), f (−1), f (h), f . x f (1) = −13 − 1 + 1 = −1. f (h) = −h3 − h + 1. 1 1 1 −1 − x 2 + x 3 f (−1) = −(−1)3 − (−1) + 1 = 3. f = − 3 − +1 = . x x x x3 Ejemplo 2 Para la función f : R −→ R definida por f ( x) = 5, tienes que f (1) = 5, f (−3) = 5, f (2/3) = 5. Esta función es una función constante; de hecho, así se la suele denominar. ¿Por qué? 18
- 18. Ejemplo 3 Dada la función g tal que x −→ 1/ x, encuentra las imágenes de 2, 1 , 2 2 y −3. Solución. Lo que debes hacer es determinar los valores f (2), f (1/2), f ( 2) y f (0): 1 1 f (2) = . f ( 2) = . 2 2 1 f (1/2) = 1 = 2. 1 1 f (−3) = =− . 2 −3 3 ¿Cuál es la imagen de 0? Para calcularla, deberías poder calcular f (0): 1 f (0) = ; 0 sin embargo, esta división no existe; por tanto, f no se puede evaluar en 0, y 0 no tiene una imagen respecto de la función f . En el ejemplo 1, decimos que el número 0 no está en el dominio de la función f . En general, cuando un número real a no tiene imagen respecto de una función f , decimos que a no está en el dominio de la función, y que f (a) no existe. El conjunto de todos los valores del conjunto de salida que tienen una ima- gen en el conjunto de llegada de la función se llama dominio de la función f , y se representa así: dom f . Ejemplo 4 1 Encuentra el dominio de la función f : R −→ R tal que f ( x) = − . (3 − x)2 Solución. Observa que el denominador es cero cuando x = 3. En x = 3, la operación 1 − (3 − x)2 no existe. Por tanto, el dominio de la función f es ] − ∞, 3[ ∪ ]3, +∞[. En el ejemplo 1, observa que el número 0 no tiene preimagen, pues no existe un valor x de manera que 1 = 0. En este caso, decimos que 0 no está en el recorrido de la x función f . El conjunto de todas las imágenes de una función f se llama recorrido de f , y se representa con rec f . Ejemplo 5 1 Encuentra el recorrido de la función f : R −→ R tal que f ( x) = − . (3 − x)2 Solución. Para determinar el recorrido, podemos observar que cualquier valor de salida tiene la forma de una división, donde el numerador es siempre negativo y el denominador es siempre positivo, sin importar el valor de x. El resultado de la división será siempre un valor negativo. Simbólicamente: (3 − x)2 > 0 19
- 19. para todo x∈] − ∞, 3[∪]3, +∞[. Además, 1 −1 < 0 ⇒ − <0 (3 − x)2 para todo x ∈] − ∞, 3[∪]3, +∞[; es decir: 1 f ( x) = − < 0; (3 − x)2 por tanto, el recorrido de la función f es el conjunto ] − ∞, 0[. Ejemplo 6 2 Determina el dominio y el recorrido de la función h : R −→ R tal que h( x) = 3− x . Solución. Podemos evaluar h( x) en cualquier valor de x, excepto en el caso cuando x = 3. 2 ¿Por qué? (Observa que el denominador de la fracción 3− x es 0 cuando x = 3, y que no podemos dividir por 0). Por tanto, el dom f es el conjunto constituido por todos los números reales excepto el 3. Podemos representar el dominio de esta función de maneras diversas: dom f = { x ∈ R : x = 3} = R − {3} =] − ∞, 3[ ∪ ]3, +∞[. La determinación del recorrido es más difícil que la del dominio. En el ejemplo que te ocupa, puedes hacerte una idea de cuál es el recorrido de la siguiente manera. Recuerda que el recorrido es el conjunto de todos los números y = f ( x); entonces, estos números y cumplen con la siguiente igualdad: 2 y= 3−x siempre que x = 3. Ahora despeja x de esta igualdad; vas a obtener que 2 x = 3− . y El número representado por la expresión de la derecha de la igualdad existe para todos los valores de y, excepto cuando y = 0 (¿por qué?). Entonces, el recorrido de f serán todos los números reales distintos de 0. Esto lo puedes representar también de maneras diversas: rec f = { y ∈ R : y = 0} = R − {0} =] − ∞, 0[ ∪ ]0, +∞[. Ejemplo 7 Determina el dominio de la función g : R −→ R definida por g( x) = 2 x. 3 Solución. Podemos observar que la operación 2 x siempre se puede realizar con cualquier 3 número real x; por lo tanto, el dominio de la función g es el conjunto R. Representaciones de una función Las funciones pueden representarse de varias maneras; las más importantes son las siguientes: Numéricamente a través de una tabla. 20
- 20. Visualmente mediante unagráfica. Simbólicamente por una ecuación. Verbalmente con una descripción mediante palabras. Representación mediante tablas Dada la función f : R −→ R definida por f ( x ) = 2 x − 1, podemos determinar la siguiente tabla al evaluar la función f en los valores dados para x (encuentra los valores faltantes). x y = f ( x) −2 −5 −1 −3 0 −1 1 1 2 3 3 4 En sentido estricto, esta tabla no representa la función de una manera total, pues la tabla no contiene las imágenes de todos los elementos del dominio de f . El rol de la tabla es recoger de manera explícita las imágenes de algunos de los elementos del dominio. A veces, la información de esta tabla es suficiente para conocer la función representada. Representación mediante gráficas Dada la función f : R −→ R definida por f ( x ) = 2 x − 1, podemos obtener un dibujo aproximado de la función f si graficas los pares de puntos ( x, y) en el plano cartesiano que obtuviste en la tabla anterior, y si colocas una regla sobre todos los puntos de color rojo, te darás cuenta de que una recta pasa por todos ellos, como lo puedes ver: y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 (a,0) x x −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 Mira la gráfica: podemos leer algunos pares ordenados que corresponden a la tabla anterior. ¿Cuál es la preimagen de 2? ¿Cuál es el valor de a? 21
- 21. Representación mediante ecuaciones Lafunción f : R −→ R definida por 2 f ( x) = x−1 3 también se puede representar como la ecuación 2 y= x − 1. 3 Si a x damos el valor 0, podemos calcular el valor de y. ¿Cómo se relaciona esta petición con la petición de calcular la imagen de 0? ¿Cuál es el valor de x cuando y = 0? ¿Cómo se relaciona esta última pregunta con encontrar la preimagen de 0? Representación verbal La función f : R −→ R definida por 2 f ( x) = x−1 3 puede ser descrita de la siguiente manera: A cada número real dado le corresponde una unidad menos de los dos ter- cios del número real dado. Ejemplo 8 Un vehículo se mueve en línea recta con una cierta velocidad. Experimentalmente se ha determinado que la velocidad es una función del tiempo (medida en metros por segundo) y dada por la ecuación V ( t) = 20 + 5 t. Así, en el tiempo inicial t = 0, la velocidad del vehículo es 20 + 5 ·0 = 20 metros por segundo, y 3 segundos después, su velocidad será 20 + 5 ·3 = 35 metros por segundo. En la tabla siguiente, se expresan algunos valores de la velocidad para diferentes tiem- pos: tiempo en s 0 1 2 3 4 5 velocidad en m/s 20 25 30 35 40 45 Gráficas Así como de la tabla del ejemplo 1 puedes obtener información sobre la función ve- locidad del vehículo sin conocer necesariamente la ley de asignación de la función, a partir de un gráfico que represente a una función también puedes obtener información. Por ejemplo: que transcurridos tres segundos, la velocidad del vehículo es de 35 m/s aproximadamente, entre otras cosas. Actividad para el aula: flujo de tráfico en Quito Observa el gráfico del margen y responde las preguntas que siguen. ¿Qué información contiene? 22
- 22. ¿Qué variables estánrelacionadas? ¿Cuál es la variable dependiente e independiente? Según este gráfico, ¿es el volumen promedio del tráfico sin pico y placa una fun- ción de la hora del día? Según este gráfico, ¿es el volumen promedio del tráfico con pico y placa una fun- ción de la hora del día? ¿Cuál es el volumen promedio de tráfico a las 6 de la mañana sin pico y placa? ¿Con pico y placa? ¿Cuál es el volumen promedio de tráfico a las 4 de la tarde sin pico y placa? ¿Con pico y placa? ¿A qué horas el volumen de tráfico es aproximadamente 1 500 sin pico y placa? ¿Con pico y placa? ¿Cuál es la hora pico y el valor máximo del promedio de tráfico sin pico y placa? ¿Con pico y placa? Describe cómo varía el tráfico durante el día sin pico y placa, y luego con pico y placa. ¿Cómo usarías la información de la gráfica a fin de planificar la hora más conve- niente para transportarse en la ciudad? (Por ejemplo, para ir a un supermercado). Aunque no tengamos la función descrita de manera simbólica, la gráfica puede dar- nos información valiosa. La gráfica de una función f es la colección de todas las parejas ordenadas de la forma ( x, f ( x)). Ejemplo 9 Sea la función f : R −→ R tal que a cada número mayor que o igual a 0 le corresponde el número 1, y a cada número menor que 0, el número −1. Determina la ley de asignación de f y representa la función mediante una tabla y mediante una ecuación. Solución. Si x es un número mayor que o igual a 0; es decir, si x ≥ 0, entonces x → 1; en cambio, si x < 0, tenemos que x → −1. Por lo tanto, la ley de asignación de f está definida por partes: 1 si x ≥ 0, f ( x) = −1 si x < 0. 23
- 23. Una tabla devalores para f es: x y −3 −1 −2 −1 −1 −1 0 1 1 1 2 1 Si dibujas los pares ordenados obtenidos de la tabla, y luego unes los puntos obtenidos mediante una recta, obtendrás un dibujo similar al siguiente: y 1 x −3 −2 −1 1 2 −1 −2 En este caso, hay dos ecuaciones que determinan la función: y = 1 si x ≥ 0 y y = −1 si x < 0. Ejemplo 10 1 La gráfica de la función f : R −→ R definida por f ( x) = es: x y 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −2 −3 −4 1 Esta gráfica es la colección de puntos x, . Algunos puntos que pertenecen a la gráfica x son: 1 (1, 1), (2, ), (−1, −1). 2 El punto de coordenadas (3, 4) no pertenece a la gráfica, pues 4 no es igual a 1 . 3 ¿Hay alguna pareja que tenga como primera coordenada el 0? ¿Hay alguna pareja de la forma (0, y)? ¡No! Puesto que 0 no pertenece al dominio de la función, no hay ninguna pareja ordenada con 0 en su primera coordenada. Simetría y paridad En ambos dibujos: 24
- 24. y y 8 8 6 6 4 4 2 2 x x −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 está la gráfica de la función f : R −→ R definida por f ( x) = x2 − 1; en el de la derecha, es- tán, además, resaltada una recta que pasa por el eje vertical y, y varias líneas paralelas al eje horizontal que cortan al gráfico de la función. Como puedes observar, todos los puntos de corte con la gráfica que está sobre el “eje horizontal negativo” están a la misma distancia que los correspondientes puntos de corte con la gráfica que están sobre el “eje horizontal positivo”. Más aún, si pudieras doblar el dibujo en la línea de color rojo, la parte del eje horizontal positivo coincidiría completamente con la parte de la gráfica del eje horizontal negativo. Una gráfica con esta propiedad se dice simétrica con respecto al eje y. Esta característica de la curva se ve reflejada en los valores que toma la función de la siguiente manera. Observamos que las parejas: 1 1 1 1 (1, 1) y (−1, 1), (2, 4) y (−2, 4), ( , ) y (− , ) 2 4 2 4 son puntos de la gráfica. En general, para cada punto ( x, x2 ), el punto (− x, (− x)2 ) está en la gráfica, y observa que x 2 = (− x )2 ; por ello: f (− x ) = f ( x ). Se dice que una función f que cumple con la igualdad f (− x ) = f ( x ) para todos los valores x de su dominio es una función par. Ahora mira los dos dibujos de la función f definida por f ( x) = x3 : y y 18 18 9 9 x x −3 −2 −1 1 2 −3 −2 −1 1 2 −9 −9 −18 −18 −27 −27 En el de la derecha: 25
- 25. 1. En eleje horizontal, se han tomado tres valores en la parte “positiva” y los co- rrespondientes valores en la parte “negativa”; es decir, los puntos de la derecha están a la misma distancia que los correspondientes de la izquierda respecto del origen. 2. Los puntos correspondientes a estos valores de x están resaltados sobre la gráfica de la función. Observemos un par de puntos; por ejemplo, los que corresponden a x = 2 y a x = −2. La distancia de los correspondientes puntos de la curva están a la misma distancia que del origen; lo mismo ocurre con los otros pares de puntos. Una gráfica con esta propiedad se dice simétrica con respecto al origen. Vemos, entonces, que la gráfica es simétrica con respecto al origen. En términos de los valores de la función, observamos que las parejas: (1, 1) y (−1, −1), (2, 8) y (−2, −8), (3, 27) y (−3, −27) son puntos de la gráfica. En general, para cada punto de coordenadas ( x, x3 ), el punto (− x, (− x)2 ) está en la gráfica. Observa que (− x)3 = − x3 ; por ello: f (− x ) = − f ( x ). Se dice que una función f que cumple con la igualdad f (− x ) = − f ( x ) para todos los valores x de su dominio es una función impar. La gráfica de una función nos da información de cómo varía la función. Mira el siguiente ejemplo. Ejemplo 11 y La gráfica de la función f : R −→ R definida por f ( x) = | x| es la que se muestra en el margen. 3 Vemos que cuando x es menor que cero, y recorremos el eje x de izquierda a derecha, la función desciende; es decir, los valores y decrecen. Vemos que si x es mayor que cero, y 2 recorremos de izquierda a derecha el eje x, de valores menores a valores mayores en x, los 1 valores de y crecen. x −3 −2 −1 1 2 3 ¡No toda gráfica representa una función! En efecto, la gráfica de un circunfe- rencia no lo hace. ¿Por qué? y 2 (1, 1) x=1 x −2 2 (1, −1) −2 Recuerda que, en una función, cada x está relacionado solo con un valor de y. En este círculo, podemos ver que x = 1 está relacionado tanto con y = 1 como con y = −1, pues ambos puntos de coordenadas (1, 1) y (1, −1) pertenecen al círculo. 26
- 26. Ejercicios Preparación y repaso Enprimer lugar, recuerda los diferentes tipos de intervalo: 1. [a, b] = { x : a ≤ x ≤ b}. 5. [a, +∞[ = { x : x ≥ a}. 2. ]a, b[ = { x : a < x < b}. 6. ]a, +∞[ = { x : x > a}. 3. [a, b[ = { x : a ≤ x < b}. 7. ]−∞, b] = { x : x ≤ b}. 4. ]a, b] = { x : a < x ≤ b}. 8. ]−∞.b[ = { x : x < b}. 1. Expresa los siguientes conjuntos de nú- 3. En cada caso, traza la figura geométrica meros reales como intervalos: cuyos vértices son: (a) x∈R: 1 ≤ x≤5 . 2 (b) { x ∈ R : x < 0, 33}. (a) (−4, 0), (2, 0) y (0, −3). (c) { x ∈ R : x < 1 y x > −2}. 2. En un sistema de ejes coordenados, ubi- (b) (−4, 2), (2, 2), (−4, −3) y (2, −3). ca los puntos asociados con los siguien- tes pares ordenados: (c) (−1, 0), (0, −1), (1, 0) y (0, 1). (2, 1), (4, 3), (−7, 2), (−3, −2), (11/5, −1), 6, −7 , 4. Sean los puntos (−3, 2), (−3, −4); halla (−3, 5; −4, 7), (2;5, 5), (0, 3), dos puntos de tal manera que formen un 2, 3 , 2 3, − 5 , 0, 6 . cuadrado con los puntos dados. Conceptos 1. Sea f una función; para cada caso, di si es verdadero o falso, y justifica tu respuesta. (a) f (1) = 5 significa que la imagen de 5 por f es 1. (b) f (0) = −6 significa que 0 es una preimagen de −6 por f . (c) f ( 2) = 2 significa que 2 es una preimagen de 2. 2. Sean los conjuntos A = {a, b, c, d }, B = {1, 2, 3}. En los diagramas que se dan a continuación, indica cuáles representan funciones de A en B. Si la respuesta es negativa, explica por qué no es una función. A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B A −→ B a → 1 a 1 a → 1 a → 1 a → 1 a → 1 b → 2 b → 2 b → 2 b 2 b → 2 b 2 c → 3 c → 3 c 3 c 3 c 3 c 3 d d d d d d (a) Los diagramas anteriores definen correspondencias entre los elementos de A y los de B. Si C = {a, b, c} y D = {1, 3}, ¿cuáles de dichas correspondencias definen funciones de C en D ?, ¿de C en B? y ¿de A en D ? (b) Para cada una de las funciones encontradas en la parte a., determina la o las preimá- genes de 1, de 2 y de 3. (c) Determina todas las funciones que se pueden establecer de A en D y de D en D . 3. Una descripción verbal de una función está dada. Elabora una representación algebraica, una gráfica y una tabular de dicha función. (a) Para evaluar f ( x), a x se le multiplica por 3 y al resultado se le suma 4. 27
- 27. (b) Para evaluarf ( x), a x se le suma 4 y al resultado se lo multiplica por 3. (c) El volumen de un cubo es función del lado del cubo. ¿Cuál es la variable indepen- diente? ¿Cuál es la variable dependiente? (d) El costo total de una carrera en un taxi es de 50 centavos por la parada y de 25 centavos por cada kilómetro recorrido. ¿Cuál es la variables independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? 4. Dada la gráfica de la función, encuentra el valor pedido: (a) f (0) = b, b = ? (b) f ( x) = 2, x = ? (c) f (−1) = y, y = ? y 4 3 2 1 x −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5 5. En cada caso, determina si la gráfica representa una función. Si la gráfica es una función, determina si es una función par o impar. y y 5 2 4 1 3 x 1 2 3 4 5 2 −1 1 x −2 −3 −2 −1 1 2 3 4 24 3 16 2 8 1 −2 −1 1 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 −8 −1 −16 −2 −3 −24 −4 −32 Procedimientos 28
- 28. 1. Sean f: R −→ R y g : R −→ R las funcio- (b) La función g : R −→ R definida por nes definidas por g( x) = | x − 2|: 1 x y f ( x) = x2 − y g ( x) = 2 x − 7 x 1 para todo x ∈ R. Calcula: 1.6 2 (a) f (−3), f (1.4), f 1 , f (a), si a ∈ R. 3 2.5 (b) g (100) , g 5 , g (0, 01) , g 1 + 2 . 3 3 g(2) (c) f (1) + g(−1), f (−1) g(5), . f (−2) (c) La función h : R −→ R definida por 2. Para las siguientes funciones, encuentra h( x) = x − 1: el dominio de la función: x h(x) (a) f ( x) = 3 x2 − 5 x + 8. −3 −2 (b) f ( x) = x+2 . 2 x −1 −1 1 (c) f ( x) = + x. 0 x 1 (d) f ( x) = 1 − 3 x. 2 (e) f ( x) = 1 1 . 3 x− 2 3. Las ecuaciones siguientes definen y co- mo función de x: y = f ( x). En cada caso (d) La función k : R −→ R definida por x−2 calcular f ( x). k( x) = : x+2 (a) x + 3 y − 3 = 0. x k(x) (b) ( x − 5)( y − x) = 1. −3 2 y+ x (c) 3 x−5 = 2. −2 (d) x2 + 3 = x y. −1 0 4. Sea f : R → R la función definida por 1 f ( x) = 2 − 5 x. Demuestra que el recorrido 2 de f son todos los números reales. 3 5. Sea f una función de R en R. En cada uno de los siguientes casos, simplifica la escritura de f ( x) y calcula f (−1) y f (2). 7. Evalúa las funciones definidas por par- tes (a) f ( x) = (3 − 4 x)(4 x + 3) + 4( x + 1)2 − 13. 3 3 1 1 5 Sea f : R −→ R definida por (b) f ( x) = − x− . 3x + 5 3 2 2 x2 si x > 1, 2 2 f ( x) = (c) f ( x) = 3x − 2 − 3x + 2 . −x + 2 si x ≤ 1. (d) f ( x) = (2 x + 5)4 − (5 − 2 x)3 . Sea g : R −→ R definida por 6. En cada caso, completa la tabla de valo- res. 1 +1 x si x < 0, (a) La función f : R −→ R definida por g ( x) = 1 si x = 0, f ( x) = 2( x − 3)2 : x−1 si x > 0. x y −2 Sea h : R −→ R definida por −1 0 x3 + 1 si x ≥ 0, h( x ) = 1 − x2 si x < 0. 29
- 29. Sea k :R −→ R definida por (c) ¿Verdadero o falso: f (a) = f (−a)? (d) ¿Verdadero o falso: f (a) = − f (−a)? |1 − x2 | si x < −1, k( x) = x si −1 ≤ x ≤ 1, 9. Para la función f ( x) = 2 x − x3 , calcula: 1 − x −1 si x > 1. (a) f (2) + 3 f (−2). 8. Para la función f ( x) = 2 − x2 , calcula: (b) 5 f (−1) + 6 f (1). (a) f (2) + 3 f (−2). (c) ¿Verdadero o falso: f (a) = f (−a)? (b) f (−1) + 6 f (1). (d) ¿Verdadero o falso: f (a) = − f (−a)? Aplicaciones (modelos) 1. Dos niñas, Margarita y Susana, salen de 7. En uno de los últimos estudios sobre sus casas para encontrarse en el parque. tránsito en la cuidad de Quito, se men- Margarita camina a 3 km/h y Susana a ciona que la tasa de ocupación vehicular 4 km/h. Determina dos funciones m y s es de 1.72 pasajeros por automóvil. Esto que describan la distancia que cada una significa que, en su mayoría, los vehícu- de ellas recorre en función del tiempo; los de la ciudad llevan solamente un con- es decir, m( t) y s( t) expresan la distancia ductor y ningún pasajero. La tasa de recorrida por Margarita y Susana, res- ocupación se calcula dividiendo el total pectivamente, luego de t minutos. de personas para el número de vehículos en tránsito. Escribe una función que de- 2. Un rectángulo tiene una base de 2 cm. termine el número de vehículos V (n) en Determina una función P (a) que dé el términos del número de n de personas valor del perímetro del rectángulo como que transitan en la ciudad en vehícu- función de la altura a del rectángulo. los privados. Si asumimos que aproxi- Haz una tabla con valores de a y P (a). madamente 100 000 vehículos transitan Grafica la función. en Quito cada día, determina cuántas 3. Un rectángulo tiene una base de 3 cm. personas utilizan vehículos privados. Determina una función A (l ) que dé el 8. Sabemos de la Geometría que, cuando valor del área del rectángulo como fun- inscribimos un triángulo en un semi- ción de la altura l del rectángulo. Haz círculo, este siempre es un triángulo rec- una tabla con valores de a y P (a). Grafi- tángulo. Describe el área del triángulo ca la función. en función de x, donde x es uno de los la- 4. El costo por minuto de llamada en un dos del triángulo rectángulo inscrito en celular es de 0.12 centavos. El costo de el semicírculo: conexión es de 50 centavos. Escribe una función que dé el costo C (n) de una lla- mada de n minutos. Haz una tabla con varios valores de n y C (n). Grafica la función. Describe sus variaciones. 5. El perímetro de un triángulo equilátero A B es p cm. Escribe una ecuación que dé la 10 cm medida del lado L( p). Haz una tabla con 9. El costo de bodegaje en una cierta em- valores de p y L( p). Grafica la función. presa depende del número x de paque- Describe sus variaciones. tes que se colocan por estantería. No se 6. El impuesto de valor agregado (IVA) con- pueden colocar más de 100 paquetes por sisten en pagar 12 % del precio de ciertos estantería. Los costos en dólares se des- artículos. Si el precio de un artículo es componen como sigue: 1.5 por paquete; p dólares, determina el costo total des- 800 por el salario de la persona que se pués del IVA como una función de p. Haz encarga de la estantería y 9 600 por gas- una tabla de valores y grafica la función. to que se reparten en forma equitativa Describe su variación. entre los x paquetes. 30
- 30. (a) Calcula elcosto de bodegaje por es- mero x de paquetes. tantería para 40 paquetes y para (c) Calcula el costo para x paquetes si 100 paquetes. x entre 10 y 90, con un paso igual a 10. (b) Establece una función que repre- sente el costo total del bodegaje (d) ¿Para qué número de paquetes se por estantería en función del nú- obtiene el costo mínimo? Pensamiento crítico Ejercicios matemáticos de mayor profundidad. 1. José dice que para calcular f ( x + 5) se de- f ( x) = x2 es la misma función g defini- be calcular f ( x), luego f (5) y luego su- da por g( x) = x? mar esos dos números. ¿Está José en lo 5. ¿Es la función g( x) = x + 1 la misma que cierto? x2 + x la función g( x) = ? 2. Encuentra una función para la cual x f ( x + y) = f ( x) + f ( y). 6. Encuentra una representación de la fun- | x| 3. Encuentra una función para la cual ción f : R −→ R definida por f ( x) = x f ( x + y) no es igual a f ( x) + f ( y). en términos de una función definida por 4. ¿Es cierto que la función f definida por partes. Uso de tecnologías 1. Utilizando una calculadora gráfica o lores (enteros positivos, negativos, valo- aplicación computacional, para la fun- res decimales pequeños y grades). ción f ( x) = 0.01 x3 − 0.2 x + 1, realiza una 3. Con ayuda de una calculadora gráfica o tabla de valores para f con una diversi- una aplicación computacional, grafica la dad de valores (enteros positivos, nega- función f ( x) = − x3 + 2 x5 . Observa la grá- tivos, valores decimales pequeños y gra- fica y decide si la función es par o impar. des). 2. Utilizando una calculadora gráfica o 4. Con ayuda de una calculadora gráfica o aplicación computacional, realiza una una aplicación computacional, grafica la tabla de valores para la f , definida por función f ( x) = 3 x2 + x4 . Observa la gráfi- f ( x) = 2/(4 − x), con una diversidad de va- ca y decide si la función es par o impar. 31
- 31. Recomendaciones para el docentesobre el capítulo “Funciones lineales” Para la “Introducción” Este capítulo tiene como tema central las funciones lineales. La función lineal es, posi- blemente, la función más utilizada en las aplicaciones y en la modelización matemática en todas las disciplinas. Con frecuencia, la divulgación de una disciplina se realiza a través de informes técnicos o de reportes periodísticos; en estos se utilizan segmentos de rectas para demostrar relaciones entre variables. El propósito de esta introducción es presentar un ejemplo de lo anterior. Este sirve para contextualizar y darle sentido social al conocimiento que los estudiantes obtendrán en este capítulo. Sugerencias metodológicas • Utilice diez minutos del inicio de una clase para realizar esta actividad. • Pida a un estudiante leer en voz alta la introducción. • Pida a sus estudiantes que, en parejas, revisen la tabla de datos y los gráficos, y que traten de responder a las preguntas planteadas. Uno de los estudiantes puede tomar un punto de vista y su compañero(a), otro. • Escoja dos o tres grupos de estudiantes para que expliquen sus razonamientos. En este momento no es importante determinar respuestas “correctas”, pues la actividad tiene el propósito de despertar el entusiasmo y la curiosidad de cómo responder las preguntas. • Finalmente, pregunte a sus estudiantes si han visto en el periódico o en revistas el uso de rectas en gráficos. Pida a sus estudiantes que para la próxima clase traigan recortes de revistas, periódicos, informes o copias de alguna página del internet en la que se utilice un gráfico de una recta. Exponga estos recortes alre- dedor de la clase y utilícelos como ejemplos durante todo este capítulo. Para “Preparación y repaso” Como se indicó en el primer capítulo, una función puede ser presentada desde cuatro perspectivas: mediante tablas (numéricamente), mediante gráficas (visualmente), me- diante ecuaciones (simbólicamente) y de modo verbal. Visualmente, la función lineal se representa mediante una recta. Los estudiantes tienen experiencias anteriores con 32
- 32. rectas, por loque es necesario comenzar el estudio de funciones lineales a partir del conocimiento que los estudiantes ya tienen sobre rectas. Esta sección provee la opor- tunidad para traer al presente el aprendizaje anterior sobre expresiones algebraicas lineales y rectas. Sugerencias metodológicas • Dedique una hora de clase para determinar el nivel de preparación de sus estu- diantes. • Pida a sus estudiantes que resuelvan los ejercicios 1a, 2a y 3a. Luego regrese al resto de los ejercicios planteados. • Discuta con toda la clase los ejercicios que presentaron dificultades. Simbólica- mente una función lineal se expresa mediante la ecuación y = ax + b, que representa una recta. Para “Pendiente, corte y ecuación” de la recta Estas secciones desarrollan los elementos de geometría analítica necesarios para sus- tentar el aprendizaje de funciones lineales. Incluso estudiantes que tienen experiencia con la determinación de la ecuación de una recta requieren tiempo, dedicación y trabajo gradual para dominar esta destreza. Sugerencias metodológicas • Utilice al menos una hora para cada sección. • Desarrolle conceptualmente la pendiente sobre la base de representaciones grá- ficas. Utilice los ejemplos del texto y cree otros de manera que sus estudiantes tengan suficiente práctica. • Introduzca la fórmula de la pendiente una vez sus estudiantes puedan leer flui- damente la pendiente de una recta en un plano reticulado. • Mantenga las fórmulas generales en la pizarra durante las tres clases y luego en una cartulina durante todo el transcurso del curso. • Primero presente el contenido en la pizarra mediante uno o varios ejemplos, y luego proceda a generalizar mediante fórmulas. • Dedique una clase para discutir los problemas de los deberes y realizar una sín- tesis de lo aprendido en estas tres secciones. Para “Investigación: diseño de una rampa” Esta actividad tiene como objetivos: • Que el estudiante piense en un problema que puede darse en su entorno inme- diato y que puede ser resuelto con herramientas de la Matemática; en este caso, con el concepto de pendiente. 33
- 33. • Que elestudiante desarrolle una actitud de búsqueda de soluciones. • Que el estudiante tenga la oportunidad de transferir sus conocimientos prácticos o sus experiencias respecto a la intuición sobre la inclinación o elevación de una rampa, camino, etcétera, a conocimientos teóricos (el valor de la pendiente) y viceversa. • Que el estudiante pueda incorporar otras partes de su saber: el conocimiento de porcentaje como una razón debe transferirse a su conocimiento de pendiente como una razón. • Que el estudiante tenga la oportunidad de discutir sobre ciudadanía, derechos y responsabilidades. Sugerencias metodológicas • Dedique media hora para desarrollar esta actividad. • Permita que sus estudiantes discutan y no los apresure para hallar una “solu- ción”. • Posiblemente la actividad conlleve la discusión del significado del porcentaje; per- mita que sus estudiantes planteen preguntas sobre este tema y discútalo con toda la clase al final de la actividad. • Si la actividad no es finalizada en la clase, puede enviarla como un proyecto y discutirla nuevamente al final del capítulo. Para “La función lineal” Una función lineal está definida a partir de la regla de asignación x −→ ax + b. El desarrollo conceptual de la función lineal se puede fundamentar en las siguientes nociones y conceptos: • Una máquina que multiplica la entrada por a y al resultado le suma b. • Una ecuación que relaciona dos variables x y y mediante la ecuación y = ax + b. • Una gráfica de todos los puntos de coordenadas ( x, ax + b), que es una recta. • Una tabla de valores que tiene la característica de que la razón entre la diferen- cias de y y las diferencias de x es constante e igual a a. Sugerencias metodológicas • El aprendizaje conceptual debe ser tomado en cuenta en todas las actividades de esta sección y en las subsiguientes. • Además de presentar los ejemplos del texto (o pedir a sus estudiantes que los lean), escoja los ejercicios 3, 5 y 6 del final del capítulo para discutirlos en la clase. 34
- 34. • Si fes una función lineal definida por f ( x) = ax + b, enfatice en la transferencia de información y notación entre el punto de coorde- nadas ( x, y) que pertenece a la recta de ecuación y = ax + b y la función f . Por ejemplo, si el punto de coordenadas (2, 3) pertenece a la recta, entonces se verifica la igualdad f (2) = 3. Para “Cortes, cero, tasa de cambio y monotonía” El estudio de funciones lineales es la primera oportunidad que los estudiantes tienen para comprender y analizar a profundidad una función y sus características (evalua- ción, dominio, recorrido, ceros, monotonía y variación), por lo que constituye un doble aprendizaje. El primero es el contenido en sí mismo; el segundo es metacognitivo. Por ejemplo, el corte de la recta con el eje horizontal es el cero de la función lineal; con el segundo aprendizaje, el metacongnitivo, los estudiantes comprenderán progresivamente que el cero de cualquier función es el corte de su gráfica con el eje horizontal. La variación relativa o tasa relativa de cambio de una función lineal demues- tra que es constante y que es el coeficiente a de la función lineal f definida por f ( x) = ax + b. La variación es, por lo tanto, la pendiente de la recta, que es, a su vez, la gráfica de la función lineal f . La monotonía de la función lineal se presenta como consecuencia de los tres posi- bles valores para la pendiente de la recta. Sugerencias metodológicas • Recuérdele a su clase el problema planteado inicialmente en este capítulo. ¿Cómo varía el uso de celular para el caso de los hombres y para el caso de las mujeres de un año a otro? • Para responder la pregunta, presente una tabla de valores como la expuesta al inicio de la sección. • Analice con sus estudiantes el cambio de los valores en y y el cambio de los va- lores en x. Los estudiantes que ya han sido expuestos al concepto de pendiente naturalmente podrán sugerir medir la variación mediante una tasa de cambio. • Guíe a sus estudiantes a concluir que la tasa de cambio es constante. • Luego de calcular la tasa de cambio mediante la tabla de una función lineal, defina de manera precisa la tasa de cambio. Mantenga expuesta esta definición en la pizarra o en una cartulina. • Una vez que hayan resuelto un ejercicio sobre variación en esta sección, pídales a sus estudiantes que verbalicen el resultado o lo escriban en frases completas; 35
- 35. por ejemplo: “latasa de cambio de la función lineal es” o “el cambio de f cuando x cambia en tres unidades es”, etcétera. • Dada la gráfica de una función lineal, pregunte a sus estudiantes cuál es la preimagen de cero, qué valor de x es tal que f ( x) = 0. Luego presente el problema de encontrar el cero de la función sin tener su gráfica respectiva. • Al finalizar esta sección, resuma la siguiente idea: resolver la ecuación ax + b = 0 es lo mismo que encontrar la preimagen de cero de la función lineal f definida por f ( x) = ax + b. Obtenga la fórmula genérica del corte y mantenga esta información en una car- tulina que colgará en la pared del aula. • Desarrolle el concepto de monotonía a través de ejemplos y contraejemplos. Pre- sente gráficas de funciones lineales que sean crecientes con varias pendientes y decrecientes con varias pendientes. Para “Sistemas e intersecciones” Tradicionalmente, se ha estudiado el Álgebra como un antecedente al estudio de las funciones. Este texto presenta el estudio del Álgebra al mismo tiempo que el estudio de las funciones. En la sección Sistemas de ecuaciones lineales e intersección de rectas, se presenta el problema algebraico de la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas como el problema geométrico de la intersección de dos rectas y como el problema analítico de igualdad de dos funciones lineales. La solución de una desigualdad lineal se presenta solo de manera gráfica en este capítulo. Puede encontrar este tema desarrollado de manera más extensa en el capítulo de matemática discreta. Sugerencias metodológicas • Inicie esta sección estimulando el interés de sus estudiantes con el caso del mejor costo en la compra de camisetas. Pida a uno de sus estudiantes que abogue por “Fútbol y más” y a otro que abogue por “Sí se puede”. • Al final de esta actividad, sus estudiantes deben identificar la necesidad de en- contrar el punto común en la gráfica de dos funciones lineales. • La sección presenta cuatro métodos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales; exponga ejemplos de cada método. Pida a sus estudiantes que identifiquen en qué ejemplos un método es mejor que otro. Para “Modelos lineales” El modelo lineal de un fenómeno es una de las herramientas más utilizadas en todas las disciplinas. Esta sección presenta un caso en el que es necesario encontrar una función de tendencia lineal. Se espera que los estudiantes aprendan a desarrollar destrezas de modelización de manera gradual; por ello, en esta sección más bien se enfatiza el hecho de encontrar y comparar dos modelos (y no encontrar el mejor modelo, como lo haríamos en regresión lineal). 36
- 36. El ejercicio deesta sección busca que los estudiantes aprendan a construir el mo- delo siguiendo cada uno de los pasos expuestos en el texto: primero, que identifiquen las variables involucradas; después, que organicen los datos; luego, que utilicen el co- nocimiento aprendido en este capítulo para determinar la relación entre las variables mediante una ecuación lineal, a fin de establecer un modelo y utilizarlo para predecir valores y finalmente razonar sobre su validez y sus limitaciones. Sugerencias metodológicas • Dedique una hora de clase a esta actividad. • Divida la clase en grupos de trabajo de tres o cuatro personas. • Asegúrese de tener cuerdas y reglas en el aula. • Guíe a sus estudiantes para que lean y comprendan las instrucciones. • Si queda tiempo al final de la clase, discuta varios de los modelos encontrados. • Si el período de clase no es suficiente, asigne el modelo del texto como un proyecto especial. Ejercicios propuestos Los ejercicios de ¡A practicar!, al final de cada sección, tienen como objetivo el desa- rrollo de la fluidez procedimental. Haga seguimiento con ejercicios en la sección Proce- dimientos al final del capítulo. Si su clase dispone de tecnología, utilice este recurso para facilitar la graficación de rectas y construir demostraciones gráficas que faciliten la visualización de los conceptos de pendiente, cortes o ceros, monotonía y resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales. Tome la lista de destrezas que se encuentra en el documento de “Actualización y fortalecimiento curricular del Bachillerato” como guía para la evaluación de sus estu- diantes. 37
- 37. Capítulo 2 Funciones lineales Todoslos días leemos, en los medios de comunicación, información basada en datos recopilados de fuentes estadísticas. En el Ecuador, el organismo encargado de recopilar datos es el Instituto Ecuatoriano de Estadística y Censos, INEC. En el año 2011, el INEC publicó información sobre el uso de la tecnología para la comunicación (celulares, internet, etcétera) por parte de los diversos sectores de la sociedad ecuatoriana. En este informe, entre otros muchos datos, aparece el porcentaje (clasificado por sexo) de personas que han usado celular en Ecuador, durante los años 2008, 2009 y 2010. En el cuadro siguiente, se presentan las cifras para los tres años mencionados: Año Hombres Mujeres 2008 40.3 % 35.2 % 2009 42.9 % 37.6 % 2010 45.1 % 40.6 % Para informar al público sobre esta estadística, un periodista observa estos datos y titula a su artículo: “Más hombres que mujeres usan celular”. Otro periodista que analizó los datos de manera más detallada escribe el titular “En el 2010 las mujeres usaron el celular más veces que los hombres”. ¿Es el segundo titular correcto? Si tú fueras el director editorial del periódico, ¿cuál de estos dos titulares escogerías? ¿Por qué? En este capítulo aprenderemos la matemática necesaria para analizar datos que presentan una tendencia lineal como la que observas en la gráfica sobre el uso del celular en el Ecuador. 50 % % de la población con celular Mujeres 46 % Hombres 42 % 38 % 34 % 30 % 2007 2008 2009 2010 2011 Año 38
- 38. Preparación y repaso 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: (a) 2 x − 1 = 3. (b) 3 y + 3 = 7 y. (c) 0 = −1/2 x + 3. (d) 0.25 x + 0.1 = 10. a+b 2. Evalúa la expresión m = para los valores dados a continuación: c+d (a) a = 2, b = 3, c = −1 y d = 4. (b) a = −1, b = 5, c = 2 y d = 0. (c) a = 1/2, b = −1/3, c = 4/3 y d = 3/2. 3. En cada ecuación: (a) 3 x − 2 y = 0, determina y en términos de x. (b) 3r − 2s = 0, determina s en términos de r. (c) 2 x + y = 2 y, determina x en términos de y. 1 3 (d) x + y = x, determina y en términos de x. 2 5 La ecuación de una recta En décimo año de EGB, aprendiste sobre rectas y su representación a través de ecua- ciones. Recordemos, con el siguiente ejemplo, algunos de esos conceptos. La ecuación y = 3x − 1 es una relación entre las cantidades o variables x e y que representa algebraicamente una línea recta (o recta, simplemente) en un plano de coordenadas cartesianas. Por esta razón, la ecuación lleva el nombre de lineal. De manera más precisa, cada par ordenado ( x, y) de números que satisfacen la ecua- ción y = 3 x − 1 representa un punto de esta recta. Por ejemplo, el par ordenado (2, 5) re- presenta un punto de la recta, pues los números 2 y 5 satisfacen la ecuación y = 3 x − 1: 5 = 3(2) − 1. Podríamos, entonces, dibujar la recta de ecuación y = 3 x − 1, si dibujáramos todos los puntos de esta recta. Sin embargo, esto no es necesario, pues de la Geometría sabemos que una recta queda determinada unívocamente por cualesquiera de dos de sus puntos. En otras palabras, para dibujar una recta, basta con dibujar dos de sus puntos. Entonces, para dibujar la recta de ecuación y = 3 x − 1, lo primero que debemos Dos puntos determinan hacer es obtener dos de sus puntos. Para ello, es suficiente que asignemos dos valores unívocamente una recta. cualesquiera a la variable x, y calculemos los correspondientes valores para la variable Para trazar una recta, es y: suficiente conocer dos de sus puntos. 1. si x = 0, entonces y = 3(0) − 1 = −1; es decir, la pareja ordenada (0, −1) representa un punto que pertenece a la recta; 2. si x = 1, entonces y = 3(1) − 1 = 2; luego, la pareja ordenada (1, 2) representa un punto que también pertenece a la recta. 39
- 39. Por lo tanto,para dibujar la recta de ecuación y = 3 x − 1, es suficiente dibujar los puntos encontrados y unirlos utilizando una regla; obtendrás así la gráfica de la recta: y y y = 3x − 1 6 6 4 4 2 (1, 2) 2 (1, 2) x x −4 −2 (0, −1) 2 4 −4 −2 (0, −1) 2 4 −2 −2 −4 −4 Veamos otro ejemplo. En la ecuación y=2 no aparece la variable x, y sin embargo, esta ecuación sí representa una recta: cualquier par ordenado ( x, 2), donde x es un número real, representa un punto de dicha recta. Para dibujarla, como ya lo sabes, es suficiente que determines dos puntos de la recta, lo que puedes lograr si das dos valores cualesquiera a x. Por ejemplo: 1. si x = −2, el punto de coordenadas (−2, 2) es un punto de la recta; 2. si x = 3, el punto de coordenadas (3, 2) también es un punto de la recta. Ahora es suficiente que dibujes estos dos puntos y, con la ayuda de una regla, obtengas la gráfica de la recta de ecuación y = 2: y y 6 6 4 4 (−2, 2) (3, 2) (−2, 2) 2 (3, 2) 2 y=2 x x −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 −2 −2 −4 −4 Un ejemplo más. En la ecuación x = −2 no aparece la variable y. Sin embargo, esta ecuación también representa una recta en un sistema de coordenadas cartesianas: los puntos de esta recta están representados por cualquier par ordenado (−2, y), en el que y es un número real. Para dibujar esta recta, es suficiente con dar dos valores a y, y así determinar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, si y = −3 y y = 5, dos puntos de la recta estarán representados por los pares ordenados (−2, −3) y (−2, 5), respectivamente. La gráfica de la recta de ecuación x = −2 es la siguiente: 40
- 40. y y 6 x = −2 6 (−2, 5) (−2, 5) 4 4 2 2 x x −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 −2 −2 (−2, −3) (−2, −3) −4 −4 Los dos primeros ejemplos son casos particulares de las rectas de ecuación En un sistema de coordena- das cartesianas: y = ax + b. la ecuación de una recta no vertical es En el primer ejemplo, a = 3 y b = −1; en el segundo, a = 0 y b = 2. Como puedes ver, las y = ax + b. rectas de ecuación y = b son rectas horizontales; es decir, paralelas al eje horizontal del sistema de coordenadas. Cuando a = 0, la recta es El caso general del tercer ejemplo está constituido por las rectas de ecuación horizontal de ecuación x = c. y = b. En el caso del ejemplo, c = −2, todas las rectas que tienen esta ecuación son verticales; La ecuación de una recta es decir, paralelas al eje vertical del sistema de coordenadas. vertical es x = c. ¡A practicar! Ahora es tu turno; realiza la gráfica de las rectas cuyas ecuaciones se indican a conti- nuación: 1. y = x + 2. 6. y = 0.5 x + 0.1. 2. y = −2 x + 3. 7. 2 x − 3 y = 5. 3 3. y = − . 4 8. x = −2 y + 1. 4. y = 3 x − 1 . 4 2 5. x = −3.5. 9. 3 x + 2 y = 1. La pendiente de una recta La elevación de una recta es una característica que permite distinguirla de otras rectas. Mira la figura siguiente: 41
- 41. y x Todas las rectas pasan por el origen, pero tienen elevaciones distintas. Una manera de medir la inclinación de una recta es través del ángulo que forma la recta con el eje horizontal: y l m x Fíjate que, mientras más elevada está una recta, la medida del ángulo que forma con el eje horizontal es mayor: la medida del ángulo que forman la recta l y el eje horizontal es mayor que la medida del ángulo que forman la recta m y el eje horizontal, pues l está más elevada que m. Ahora presta atención a la figura siguiente: y 3 P 2 Q 1 x S 1 R Hemos determinado dos triángulos rectángulos: △SPR y △SQR . En lugar de medir los ángulos entre las rectas y el eje horizontal directamente, gracias al sistema de coordenadas, vamos a determinar la elevación de cada recta a través de una relación entre los catetos de los triángulos que hemos dibujado. 42
- 42. Observa el triángulo△SPR . ¿Cuál es la longitud del cateto PR ? ¿Y la del cateto SR ? Tenemos que la longitud del cateto PR es igual a 3−0 = 3 y la longitud del cateto SR es igual a 1−0 = 1. Compara ambos catetos entre sí: la longitud del cateto PR 3 = = 3. la longitud del cateto SR 1 Ahora procedamos de manera similar con el triángulo △SQR . Tenemos que la longitud del cateto QR es igual a 2−0 = 2 y la longitud del cateto SR es igual a 1−0 = 1. Compara ambos catetos entre sí: La longitud del cateto QR 2 = = 2. La longitud del cateto SR 1 En ambos casos hemos utilizado una razón para comparar los catetos entre sí. A esta razón se le llama pendiente de la recta. La razón calculada para la primera recta es mayor que la razón para la segunda recta, pues, aunque en ambos casos el cateto horizontal es el mismo, el vertical de la primera recta tiene una longitud mayor al cateto vertical en la segunda recta. En general, una recta más elevada tiene una pendiente mayor. Ejemplo 1 Calcula la pendiente de la recta dada en la figura: Solución. En primer lugar, elijamos dos puntos en la recta para construir un triángulo rectángulo de la siguiente manera: C A B 43
- 43. En segundo lugar,calculemos la longitud de cada uno de los catetos: AB y CB, y com- parémoslas a través de su razón: AB 5 Pendiente de la recta = = . CB 4 También podemos usar otro triángulo con el mismo propósito: R P Q En este caso, tenemos que: 10 5 Pendiente de la recta = = . 8 4 Mira que en ambos triángulos la relación entre las longitudes de los catetos es la misma. Teorema de Tales Que la relación entre las longitudes de los catetos en cada triángulo sea la misma no es ninguna casualidad. ¿Por qué? Porque los triángulos son semejantes; es decir, A la proporción que hay entre dos pares de lados de uno de los triángulos es la misma que hay entre los dos lados correspondientes del segundo triángulo. Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema de Tales de la proporcionalidad. D E Ejemplo 2 Calcula la pendiente de la recta dada en la figura: B C y Si el segmento DE es para- 4 lelo al lado BC , entonces 3 AB AC BC = = . AD AE DE 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 −1 Solución. Como uno de los vértices de nuestro triángulo, escojamos un punto fácil de leer en la gráfica dada; por ejemplo, el de coordenadas (3, 2). Los otros dos vértices serán los puntos de coordenadas (0, 0) y (3, 0), respectivamente: 44
- 44. y R 2 1 x P Q −1 1 2 3 −1 Ahora medimos las longitudes de los catetos y las comparamos entre sí mediante su razón: La longitud del cateto RQ 2−0 2 pendiente de la recta = = = . La longitud del cateto PQ 3−0 3 Un ejemplo más: Ejemplo 3 Calcula la pendiente de la recta dada en la figura: y 5 x 5 Solución. Encontremos tres puntos cuyas coordenadas sean fáciles de encontrar para obtener el triángulo rectángulo. Por ejemplo, los puntos de coordenadas: (0, 1), (1, 1) y (1, 4): y R P Q x Entonces: La longitud del cateto RQ 4−1 La pendiente de la recta = = = 4. La longitud del cateto PQ 1−0 45
- 45. ¡A practicar! Es tuturno. Encuentra la pendiente de las rectas dadas en las siguientes figuras: y y 4 4 x x 4 4 y y 4 4 2 2 x x −2 2 4 −2 2 4 −2 −2 El caso general Ahora vamos a generalizar el proceso utilizado en el ejemplo anterior. En un siste- ma de coordenadas cartesianas, cuando una recta no es vertical podemos calcular su pendiente de la siguiente manera. En primer lugar, supón que la ecuación de la recta es y = ax + b y que ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) representan dos puntos cualesquiera y distintos de la recta. Esto quiere decir que satisfacen la ecuación de la recta: y1 = ax1 + b y y2 = ax2 + b. Nombra con P y Q estos puntos, respectivamente, como se muestra en la figura: 46
- 46. y l Q = ( x2 , y2 ) P = ( x1 , y1 ) S = ( x2 , y1 ) x El triángulo △PQS es rectángulo, pues los segmentos PS y QS son paralelos a los ejes horizontal y vertical, respectivamente. Y por esta misma razón, el ángulo que forma la recta con el eje horizontal y el de vértice P tienen la misma medida. De modo que, para “medir indirectamente” el ángulo que forma la recta con el eje horizontal, se utiliza el cociente entre las longitudes de los cateto opuesto y adyacente al ángulo ∠QPS : y2 − y1 . x2 − x1 Este cociente es constante; es decir, no depende de los puntos P y Q que hayas elegido en la recta, como lo puedes constatar inmediatamente: y2 − y1 (ax2 + b) − (ax1 + b) = x2 − x1 x2 − x1 ax2 − ax1 = x2 − x1 a( x2 − x1 ) = . x2 − x1 Es decir: y2 − y1 a= . (2.1) x2 − x1 A este número se lo denomina pendiente de la recta de ecuación y = ax + b. La pendiente de una Ejemplo 4 recta No necesitamos realizar ningún cálculo para saber que la pendiente de la recta de ecuación La pendiente de una rec- y = 3 x − 1 es igual a 3. En cambio, para encontrar la pendiente de la recta que pasa por los ta de ecuación puntos de coordenadas (2, 3) y (3, 6), utilizamos la fórmula (2.1). y = ax + b Para ello, podemos asignar los valores x1 = 2, y1 = 3, x2 = 3 y y2 = 6. Entonces, la pendiente de esta recta es: es el número a. 6−3 a= = 3. 3−2 Si ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) repre- Si ahora realizas otra vez el cálculo de la pendiente, pero intercambiando las asignacio- sentan dos puntos distin- nes, tos de una recta no verti- x1 = 3, y1 = 6, x2 = 2, y2 = 3, cal, la pendiente de la rec- ta se calcula mediante la obtienes el mismo valor de la pendiente, sin importar qué pareja nombres como ( x1 , y1 ) o fórmula ( x2 , y2 ). y2 − y1 a= . x2 − x1 Ahora veamos cuál es la pendiente de una recta vertical. Tal vez te preguntes por La pendiente de una rec- qué no se puede aplicar la fórmula (2.1) en este caso. Para ello, veamos antes lo que ta vertical no existe. La sucede en el caso de las rectas no verticales. Dos puntos cualesquiera de una recta no recta forma un ángulo de vertical son diferentes; es decir, si ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) se corresponden a dos puntos de una 90 grados con el eje hori- recta no vertical, los números x1 y x2 son diferentes, de modo que sí se puede realizar zontal. el cociente en la fórmula (2.1). En cambio, todos los puntos de una recta vertical tienen 47
- 47. la misma abscisa. En efecto, supón que la ecuación de la recta vertical sea x = c. Entonces, todos los puntos de esta recta están representados por los pares ordenados de la forma ( c, y). Como se puede ver, todos tienen la misma abscisa: el número c. Para una recta vertical, se suele decir que su pendiente no existe. En este caso, la recta está “totalmente elevada” respecto del eje horizontal y el ángulo que forman la recta y este eje mide 90 grados: y x ¡A practicar! Ahora es tu turno: 1. Encuentra la pendiente de las rectas cuyas ecuaciones son: (a) y = 2 x + 1. 3 (b) y = − 5 x − 2. (c) y = −4. (d) x = 5. 2. Encuentra la pendiente de las rectas que pasan por el siguiente par de puntos: (a) (−1, 0) y (0, 1). (b) (2, −3) y (−2, −3). (c) (1, −3) y (1, 3). (d) (−3, 2) y (1, 4). 3. ¿Cuánto vale la pendiente de una recta horizontal? ¿Por qué? El corte de la recta con el eje vertical El corte de la recta con el eje vertical es el punto donde la recta y el eje vertical se intersecan. Como todos los puntos del eje vertical tienen abscisa igual a 0, la abscisa del corte es igual a 0; de allí que el corte de la recta de ecuación y = 3 x − 1 y el eje vertical se calcule evaluando la ecuación cuando x = 0: y = 3(0) − 1 = −1. Por lo tanto, el corte de la recta con el eje vertical es el punto de coordenadas (0, −1). 48
- 48. En general, elcorte de la recta de ecuación y = ax + b con el eje vertical es el punto de coordenadas (0, b). Una recta vertical, que no sea el propio eje vertical, no corta el eje vertical, porque todos los puntos de la recta tienen una abscisa distinta de cero. Por ejemplo, el corte de la recta y = x + 5 con el eje vertical es el punto de coordenadas (0, 5). También podemos determinar el corte de la recta con el eje horizontal. Este es el punto de intersección de la recta con el eje horizontal. Como la ordenada de todo del eje horizontal es igual a 0, entonces la ordenada del corte de la recta con el eje horizontal es igual a 0. De allí que el corte de la recta de ecuación y = 3 x − 1 se obtenga evaluando la ecuación en y = 0: 0 = 3 x − 1, de donde se obtiene 1 x= . 3 Entonces, el corte de la recta con el eje x es el punto de coordenadas 1 , 0 . 3 En general, el corte de la recta de ecuación y = ax + b es el punto de coordenadas b − ,0 a si a = 0. Cuando a = 0, la recta es horizontal y, salvo que sea el propio eje horizontal, la recta no corta el eje horizontal. y y = ax + b x=c (0, b) b − a ,0 x y=d ¡A practicar! Ahora es tu turno: 1. Encuentra el corte de las rectas dadas con los ejes vertical y horizontal: (a) y = 2 x + 1. (b) y = 2 x + 2. (c) y = 2 x − 5. (d) y = 2 x − 4. (e) y = 2 x − 1. 2. Compara los cortes de las rectas en el ítem anterior. 3. Grafica las rectas del primer ítem. ¿Qué aspecto tienen en común las gráficas de las rectas? ¿En qué aspecto difieren? 49
- 49. Ecuación de unarecta En este capítulo se presentarán situaciones con cierta información sobre una recta, de la que no conocemos su ecuación. Determinarla es una tarea importante. Si la información que tenemos es: 1. Si conocemos la pendiente a y el corte con el eje vertical (0, b), entonces la ecua- ción de la recta es: y = ax + b. 2. En cambio, si lo que conocemos son dos puntos que pertenecen a la recta, para obtener la ecuación de la recta, primero determinamos la pendiente y luego el corte con el eje vertical. Veamos un ejemplo cuando conoces la pendiente y el corte con el eje vertical. Ejemplo 5 Determina la ecuación de la recta con pendiente −4 y corta el eje y en el punto (0, 5). Solución. Como la pendiente es distinta de 0, la recta en cuestión no es horizontal ni tampoco vertical. Si su ecuación es y = ax + b, entonces el coeficiente a es el número −4 y el coeficiente b, el número 5. Por lo tanto, la ecuación de dicha recta es y = −4 x + 5. Ahora veamos un ejemplo cuando conoces dos puntos de la recta. Ejemplo 6 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (0, 5). Solución. En primer lugar, las abscisas de los puntos que están en la recta son diferentes. Entonces, se trata de una recta que no es vertical. Supongamos que su ecuación es y = ax + b. En segundo lugar, a es la pendiente de la recta; la podemos calcular mediante la fórmu- la (2.1) de la página 47: 5−1 4 a= = = −4. 0 − 1 −1 Y, como la recta pasa por el punto (0, 5), este es el punto de corte de la recta y el eje vertical, de modo que el coeficiente b es 5. Entonces, la ecuación de la recta es y = −4 x + 5. El coeficiente b pudo haber sido calculado de otra manera. Como a = −4, entonces la ecuación de la recta luce así: y = −4 x + b. Como la recta pasa por el punto (1, 1), entonces x = 1 y y = 1 satisfacen la ecuación de la recta; es decir, se verifica la igualdad 1 = −4(1) + b. Al resolver esta ecuación, encontramos que b es igual a 5. Sabemos, entonces, que la ecua- ción de la recta es y = −4 x + 5. Ejemplo 7 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, −3) y (2, −3). 50
- 50. Determina la ecuaciónde la recta que pasa por los puntos (2, 1) y (2, 5). Solución. La recta que pasa por los puntos (1, −3) y (2, −3) es horizontal, pues las ordenadas de los dos puntos son iguales; luego, la recta es horizontal. Por lo tanto, su ecuación es y = −3. La recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 1) y (2, 5) es vertical. Entonces su ecuación es x = 2. Rectas paralelas Ejemplo 8 Las rectas cuyas ecuaciones son Encuentra la ecuación de una recta que sea paralela a la recta de ecuación y = 3 x − 5 y que corte el eje vertical en el punto de coordenadas (0, 4). y = ax + b 1 y y = ax + b 2 Solución. La recta buscada, al ser paralela a la recta de ecuación y = 3 x − 5, tiene la son paralelas. misma pendiente que esta; por lo tanto, si la ecuación de la recta buscada es Recíprocamente, dos rectas paralelas tienen la misma y = ax + b, pendiente. entonces a = 3. Y como la ordenada del corte con el eje vertical es 4, entonces debe cumplirse que b = 4. Por lo tanto, la recta buscada tiene ecuación y = 3 x + 4. Las gráficas de ambas rectas ilustran la relación de paralelismo entre ambas: y 15 10 y = 3x − 5 y = 3x + 4 5 x −6 −3 3 6 −5 −10 −15 Ejemplo 9 Dibuja cuidadosamente las rectas con ecuaciones y = 3 x +1 y y = − 1 x para que puedas medir 3 el ángulo que forman las rectas. ¿Cuál es la medida de este ángulo? Solución. Las gráficas de las dos rectas son: y 3 y = 3x + 1 2 1 y=−1x 3 x −2 −1 1 2 3 −1 −2 Si las has dibujado con precisión, podrás “ver” que las dos rectas forman un ángulo recto 51
- 51. (cuya medida es90 grados); es decir, las rectas son perpendiculares entre sí. Nota que el producto de las dos pendientes es −1. ¡A practicar! Es tu turno. En todos los casos, determina la ecuación de la recta. 1. Con pendiente 3 y corte con el eje vertical el punto (0, −5). 2. Con pendiente − 1 y corte con el eje vertical el punto (0, 1/3). 2 3. Que pase por el origen y tenga pendiente 3. 4. Con pendiente cero y corte con el eje vertical el punto (0, 2). 5. Que pase por los puntos de coordenadas (1, 2) y (−3, 4). 6. Con corte en el eje vertical en el punto de coordenadas (0, 4) y corte en el eje x en el punto (2, 0). 7. Que pase por el origen y sea paralela a la recta y = 3 x − 1. Investigación: diseño de una rampa La ley para discapacitados desea asegurar que las personas con alguna discapacidad tengan acceso a edificios y parques públicos. Para ello, el Instituto Ecuatoriano de Nor- malización (INEN) ha establecido una normativa para la construcción de una rampa (NTE INEN 2245:00), la misma que está ilustrada en el gráfico del margen. te 6 % a 8% Tu curso quiere organizar una kermés que se va a realizar en un salón del colegio. Pendien Para ingresar a este, se deben subir cuatro gradas, con una altura total de 80 centí- Hasta 15 m metros por encima del piso. Para cumplir con la norma técnica 2245:00, tu curso debe instalar una rampa. a 10 % 1. Observa las tres gráficas de la norma técnica. ¿Por cuál de las tres rampas la % te 8 dien subida es más difícil? Pen 2. ¿Cómo se mide la inclinación de la rampa? Piensa en el significado de la pala- Hasta 10 m bra pendiente. Determina el significado de la pendiente en el caso de la segunda ilustración. 2% a1 e1 0% 3. Una cierta rampa mide dos metros de base y tiene una altura de 1 metro. ¿Cum- ent Pendi ple esta rampa con la normativa técnica 2245:00 del INEN? ¿Por qué? ¿Cuánto Hasta 3 m mide la pendiente? ¿Cómo la calculaste? 4. Si la pendiente de una rampa es 0.1 y la base mide 3 metros, ¿hasta qué altura Normativa NTE INEN 2245:00 sube la rampa? Si la pendiente es 0.1 y la base mide 10 metros, ¿hasta qué altura sube la rampa? 5. Observa la primera gráfica. ¿Cuál es el rango para la altura de una rampa en el caso de la primera ilustración? 6. Es tu turno de diseñar la rampa. Calcula la base de manera que la pendiente de la rampa cumpla con la normativa del INEN. 7. Observa tu entorno. ¿Existen rampas en todos los espacios públicos? Discute con tus compañeros cómo la inexistencia de rampas impide que personas con disca- pacidades físicas realicen muchas de sus actividades. 52
- 52. Función lineal Para lainvestigación del diseño de una rampa, tomaste en cuenta la relación que existe entre la altura y la base de la rampa, relación que es lineal. Si la variable independiente x representa la longitud de la base y la dependiente y, la altura, entonces hay una ecuación lineal y = ax + b que describe la relación entre la altura y la base. La ecuación lineal y = ax + b representa la siguiente función: f : R −→ R x −→ ax + b. A esta función la denominamos lineal. Ejemplo 10 Consideremos la función lineal f : R −→ R x −→ 2 x + 3. La función f está representada por la ecuación lineal y = 2 x + 3. Ahora evaluemos la función en f en 0, 1 y −1. Tenemos que: f (0) = 2(0) + 3 = 3, f (1) = 2(1) + 3 = 5 y f (−1) = 2(−1) + 3 = 1. Podemos, entonces, escribir: 0 −→ 3, 1 −→ 5 y − 1 −→ 1, y decir que: • La imagen de 0 respecto de f es 3 y la preimagen de 3 es 0. • La imagen de 1 respecto de f es 5 y la preimagen de 5 es 1. • La imagen de −1 respecto de f es 1 y la preimagen de 1 es −1. A partir de las imágenes y preimágenes, podemos elaborar la siguiente tabla de valores, que es la representación mediante tablas de la función lineal f : x y 0 3 −2 −1 1 5 3 9 Con estos valores, podemos realizar la gráfica de la función, que es la representación mediante una gráfica de la función lineal f : 53
- 53. y y 15 15 y = 2x + 3 10 10 5 5 x x −10 −5 5 −10 −5 5 −5 −5 −10 −10 −15 −15 Esta recta, con ecuación y = 2 x + 3, es, por lo tanto, la representación gráfica de la función lineal f . Finalmente, la representación verbal de la función f es la siguiente: A cada número real x le corresponde la suma del producto de 2 y x con 3. A partir de este ejemplo, podemos generalizar que, dada la función lineal f : R −→ R x −→ ax + b, esta puede ser representada por: la ecuación lineal y = ax + b. Por una tabla, en la que es suficiente consignar dos pares de valores. Por una recta no vertical, que es la gráfica de la recta de ecuación y = ax + b, pues la gráfica de una función es el conjunto de todos los pares ordenados ( x, f ( x)); es decir, en este caso, por todos los puntos cuyas coordenadas son ( x, ax + b). Por la siguiente expresión verbal: a cada número real x le corresponde la suma del producto de a y x con b. A diferencia de la ecuación de una recta no vertical, la de una recta vertical no es la representación de una función lineal. En efecto, si la ecuación es x = a, el gráfico de esta recta te muestra claramente que no puede ser el gráfico de una función, pues el número a tiene más de una imagen. Dominio y recorrido de una función lineal Considera la función lineal f : R −→ R x −→ ax + b. Sin importar el valor de x, f ( x) siempre puede ser calculada: es igual al número real ax + b. Esto quiere decir que el dominio de la función f es R; es decir, dom f = R. El dominio de una función lineal es R, el conjunto de todos los números reales. 54
- 54. Así como podemoscalcular el valor de y cuando sabemos x, también podemos en- contrar el valor de x cuando sabemos y. Por ejemplo, supongamos que la función lineal f está representada por la ecuación y = 3 x + 1, y que conocemos que y = 7. Entonces, a partir de esta igualdad, puedes encontrar el valor correspondiente a x, pues 7 = 3 x + 1, de donde, al despejar x, obtenemos que x = 2. Entonces f (2) = 7. Luego, el número 2 es la preimagen de 7, y la imagen de 2 es 7. Ahora miremos la gráfica de la función f : y y y = 3x + 1 15 15 10 10 5 5 x x −6 −3 3 6 −6 −3 3 6 −5 −5 −10 −10 −15 −15 De la gráfica observamos que, para cualquier valor y, siempre podemos encontrar el valor de x, de manera que y = f ( x). Por ejemplo, si y = 4, el punto de coordenadas (1, 4), que pertenece a la recta, nos informa que x = 1; es decir, que la imagen de x = 1 es y = 4; puedes escribir: f (1) = 4. En conclusión, el recorrido de la función f es R. Y, de manera general: El recorrido de una función lineal es R. ¡A practicar! Es tu turno. 1. Dada la función lineal f definida por f ( x) = −3 x + 2: (a) Evalúa f en x = 0, x = −1, x = 2 y x = 3. (b) Describe la función mediante una tabla de valores. (c) Representa la función mediante una gráfica. (d) Describe la función de manera verbal. (e) Encuentra la preimagen de −4. 2. La función f es una función lineal tal que f (1) = 3 y f (3) = 7. (a) Representa la función mediante una gráfica. (b) Utiliza la gráfica para encontrar la imagen de 2 y f (0). (c) Utiliza la gráfica para encontrar x de manera que f ( x) = 0. 55
- 55. Cambio y variaciónde una función lineal Cuando construimos una tabla de valores para graficar una función, asignamos dis- tintos valores a la variable x y, consecuentemente, encontramos los correspondientes valores para la variable f ( x). Por ejemplo, si f : R −→ R es la función lineal definida por f ( x ) = 2 x + 3, podemos construir la tabla de valores siguiente: x f ( x) 0 3 1 5 2 7 Podemos decir que cuando x cambia, entonces también f ( x) cambia: 1. Cuando x cambia de 0 a 1, la variable f ( x) cambia de 3 a 5. En este caso, deci- mos que si x cambia en 1 unidad, f ( x) cambia en 2. Entonces podemos decir que cuando x cambia en 1 unidad, la función f cambia en 2 unidades. 2. Cuando x cambia de 0 a 2, la variable f ( x) cambia de 3 a 7. En este caso, decimos que si x cambia en 2 unidades, entonces f ( x) cambia en 4. Entonces podemos decir que cuando x cambia en 2 unidades, la función f cambia en 4 unidades. Cuando x cambia de 1 a 2, ¿cómo cambia la función lineal f ? Ahora miremos estas relaciones entre los cambios de x y f gráficamente: y 9 f ( x) = 2 x + 3 8 7 6 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 −1 Podemos utilizar esta gráfica para medir los cambios. Por ejemplo, mediante los puntos de coordenadas (0, 3) y (1, 5), vemos que la primera coordenada x cambia en 1 unidad, mientras que la segunda coordenada y cambia en 2 unidades. Si recuerdas el estudio sobre la pendiente de la recta, entonces te parecerá natural que ahora hablemos de la pendiente como una razón de cambios: cambio en f ( x) La pendiente de la recta = = razón de cambio de f ( x) relativo a x. cambio en x 56
- 56. En general, ahoraconsidera la función lineal f : R −→ R x −→ ax + b. Si ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) son dos puntos de la recta de ecuación y = ax + b, entonces siempre se verifican las siguientes igualdades: y1 = ax1 + b y y2 = ax2 + b; es decir, se verifican las igualdades: y1 = f ( x1 ) y y2 = f ( x2 ). Por otro lado, la pendiente de la recta que representa gráficamente a la función f es a, y es igual a y2 − x2 a= , x2 − x1 la cual puede ser expresada de la manera siguiente: f ( x2 ) − f ( x1 ) a= . x2 − x1 Vista de esta manera, la pendiente adquiere el siguiente significado en términos de la función f . Observemos que si el cambio en x es x2 − x1 , el cambio en f ( x) es f ( x 2 ) − f ( x 1 ). Por lo tanto, la razón f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 mide el cambio de la función relativo al cambio entre x1 y x2 . Este cambio relativo, como hemos visto, es constante, siempre vale lo mismo: ¡la pendiente de la recta que representa a la función lineal f ! Esta propiedad caracteriza a las funciones lineales. La tasa de cambio de la función lineal f es la relación entre el cambio de f ( x) con respecto al cambio de x: f ( x2 ) − f ( x1 ) tasa de cambio de la función lineal f = . x2 − x1 Este cociente es constante e igual a la pendiente de la recta que la represen- ta; es decir, si f : R −→ R x −→ ax + b, entonces: tasa de cambio de la función lineal f = a. 57
- 57. Ejemplo 11 Calcula la tasa de cambio de la función lineal si sabes que f (2) = 6 y f (5) = 9. Solución. Podemos calcular de esta forma: f (5) − f (2) tasa de cambio de f = 5−2 9−6 3 = = = 1, 5−2 3 o de esta otra: f (2) − f (5) tasa de cambio de f = 2−5 6 − 9 −3 = = = 1. 2 − 5 −3 ¡A practicar! Es tu turno: 1. Encuentra la tasa de cambio de la función f si: (a) f (3) = 1 y f (−1) = 8. (b) f (−3) = 1 y f (1) = 4. (c) La siguiente es una tabla que representa a f : x f ( x) −1 2 1 6 2 8 (d) La función lineal f está definida por x −→ 5 x + 1. En una función lineal f : x −→ ax + b, además de medir el cambio de la función f cuando x cambia, el coeficiente a nos permite saber si la función aumenta o disminuye cuando x aumenta. Si f aumenta cuando x también lo hace, diremos que la función f crece, o que es creciente. Y si f disminuye cuando x aumenta, entonces diremos que f decrece o que es decreciente. Ejemplo 12 Determina la tasa de cambio (o variación relativa) de la función lineal definida por 5 f ( x) = x + 4. 2 Interpreta la variación o tasa de cambio de f . Si la variable x aumenta en dos unidades, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye) la función? ¿Y si la variable x disminuye en dos unidades? Si la variable x aumenta en cuatro unidades, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye) la función? 58
- 58. Solución. La tasa de cambio o variación de la función es el coeficiente de x en 5 f ( x) = x + 4. 2 Por lo tanto: 5 tasa de cambio de la función lineal f = . 2 Que la variación o tasa de cambio de f sea 5 significa que, cuando x cambia en 2 unida- 2 des, f ( x) cambia en 5 unidades. Por ejemplo, si x cambia de 4 a 6, entonces, sin necesidad de realizar ningún cálculo adicional, podemos afirmar que f (6) − f (4) = 5, pues 5 f (6) − f (4) f (6) − f (4) = = . 2 6−2 2 En resumen, el aumento de 4 a 6 significa un aumento de f (4) a f (6) en 5 unidades. Supongamos que x aumenta en 2 unidades. Entonces, f ( x) cambiará en 5 unidades, sin importar el valor de x, ya que la tasa de cambio de una función lineal es constante. Pero, ¿aumentará o disminuirá esas 5 unidades? Igual que en el punto anterior, hay que realizar un cálculo adicional para averiguarlo: 5 5 f ( x + 2) − f ( x) = ( x + 2) + 4 − ( x) + 4 2 2 5 5 = x+5+4 − x+4 2 2 = 5. Como la diferencia es positiva (mayor que 0), para la función lineal f , el aumento de x en dos unidades significa también un aumento de f ( x) en 5 unidades. De manera similar, podemos averiguar si f ( x) aumenta o disminuye en 5 unidades, si x disminuye en dos unidades: 5 5 f ( x − 2) − f ( x) = ( x − 2) + 4 − x + 4 2 2 5 5 = x−5+4 − x+4 2 2 = −5. Como la diferencia es negativa, f ( x) disminuye en 5 unidades cuando x disminuye en 2. Sabemos que por cada 2 unidades que aumenta x, f ( x) aumenta en 5 unidades. Luego, como la tasa de cambio es constante, si duplicamos el número de unidades en que cambia x, debemos duplicar el cambio en f ( x); por lo tanto, f ( x) deberá aumentar en 10 unidades: 5 5 × 2 10 = = . 2 2×2 4 Veamos otro ejemplo. Ejemplo 13 Determina la tasa de cambio (o variación relativa) de la función lineal g : R −→ R x −→ −3 x + 10. 59
- 59. Interpreta la variaciónde la función lineal g. Si la variable x aumenta en 1 unidad, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye) la función? ¿Y si disminuye en una unidad? Si la variable x disminuye en 4 unidades, ¿cuánto cambia (aumenta o disminuye) g( x)? Solución. La tasa de cambio o variación relativa de la función lineal g es el coeficiente de x en g( x) = −3 x + 10. Por lo tanto: tasa de cambio de la función lineal g = −3. Que la variación o tasa de cambio de g sea −3 quiere decir que cuando x cambia en 1 unidad, g( x) cambia en −3 unidades. Por ejemplo, si x cambia de 4 a 5, entonces g(5) − g(4) g(5) − g(4) −3 = tasa de cambio de g = = . 5−4 1 Por lo tanto: −3 = g(5) − g(4), lo que significa que g(5) − g(4) es negativo; es decir, g(5) es menor que g(4). En otras palabras, el cambio de g es una disminución. En resumen, cuando x aumenta en una unidad, la función g disminuye en 3 unidades. Supongamos que x aumenta en 1 unidad. Entonces, g( x) cambiará en 3 unidades, sin importar el valor de x. Pero, ¿ g( x) aumentará o disminuirá en esas 3 unidades? Para ello, calculemos la diferencia entre g( x + 1) y g( x): g( x + 1) − g( x) = [−3( x + 1) + 10] − [−3 x + 10] = [−3 x − 3 + 10] − [−3 x + 10] = −3. Como la diferencia es menor que 0, el aumento de x en una unidad significa una disminución de g( x) en 3 unidades. De manera similar: g( x − 1) − g( x) = [−3( x − 1) + 10] − [−3 x + 10] = [−3 x + 3 + 10] − [−3 x + 10] = 3. Como la diferencia es mayor que 0, g( x) aumenta en 3 unidades cuando x disminuye en 1. Por cada unidad de cambio en x, g( x) cambia en 3. Por lo tanto, si x cambia en 4 unidades, g( x) cambiará en 12 unidades. De los ejemplos, podemos ver que: la tasa de cambio de la función lineal f es positiva y, en este caso, un aumento en x significa un aumento en f ( x), y una disminución en x, una disminución en f ( x); la tasa de cambio de la función lineal g es negativa y, en este caso, un aumento en x significa una disminución en g( x), y una disminución en x, un aumento en f ( x). 60
- 60. Estos hechos tambiénse cumplen en el caso general, lo que podemos verificar con faci- lidad. Consideremos una función lineal cualquiera h : R −→ R x −→ ax + b. En primer lugar, supongamos que la tasa de cambio de h es positiva; es decir, suponga- mos que a > 0. Esto quiere decir que si x cambia en una unidad, h( x) debe cambiar en a unidades. Ahora supongamos que x aumenta en una unidad; entonces: Variación de una función lineal h( x + 1) − h( x) = [a( x + 1) + b] − [ax + b] • Si la tasa de cambio de = [ax + a + b] − [ax + b] una función lineal h es positiva, al aumentar x, = a > 0. también aumenta f ( x); al disminuir x, f ( x) también Como esta diferencia es mayor que 0, h( x) aumentó a unidades. disminuye. Ahora, si x disminuye una unidad, tenemos que • Si la tasa de cambio de h( x − 1) − h( x) = [a( x − 1) + b] − [ax + b] una función lineal h es negativa, al aumentar x, = [ax − a + b] − [ax + b] disminuye f ( x); al dismi- = − a < 0. nuir x, f ( x) aumenta. Como esta diferencia es menor que 0, h( x) disminuyó a unidades. De manera similar, puedes analizar el caso en que la tasa de cambio de h es nega- tiva. Ejemplo 14 Considera la función lineal h tal que la imagen de −2 es 1 y la imagen de 1 es −5. Si x disminuye en 3 unidades, ¿en cuántas unidades cambia h( x)? ¿Aumenta o disminuye? Solución. En primer lugar, tienes que averiguar la tasa de cambio de h. Para ello, vas a encontrar dos puntos que estén en la recta que representa a la función lineal h. Como 1 es la imagen de −2, y −5 la de 1, tenemos que h(−2) = 1 y h(1) = −5. Entonces los puntos de coordenadas (−2, 1) y (1, −5) están en la recta que representa a la función h. Por lo tanto, la tasa de cambio de h es la pendiente de la recta: 1 − (−5) tasa de cambio de h = −2 − 1 6 = = −2. −3 Como la tasa de cambio es −2, si x aumenta una unidad, h( x) disminuye 2; entonces, al aumentar 3, disminuirá en 6 unidades. 61
- 61. Monotonía de lafunción lineal Recuerda que la monotonía de una función nos dice si una función es creciente, decre- ciente o ni una ni otra. En el caso de las funciones lineales, la caracterización de su variación a través de la y tasa de cambio de la función nos permite determinar fácilmente la monotonía de una y = 2x + 1 función lineal. 5 Observa las tres gráficas del margen. x La primera es una recta con pendiente positiva; −10 −5 5 la segunda tiene pendiente negativa; y −5 la tercera tiene pendiente nula. −10 y Las tres rectas representan las siguientes funciones lineales, respectivamente: 5 f : R −→ R g : R −→ R h : R −→ R . x −→ 2 x + 1 x −→ −2 x + 1 x −→ 5 x −10 −5 5 Por lo tanto: −5 la función f es creciente y su tasa de cambio es positiva; y = −2 x + 1 −10 la función g es decreciente y su tasa de cambio es negativa; y y la función h es constante y su tasa de cambio es igual a 0. y=5 5 Estos hechos también se cumplen en el caso general, lo que puede ser verificado x fácilmente. −10 −5 5 Consideremos una función lineal cualquiera: −5 f : R −→ R x −→ ax + b. −10 Supongamos que la tasa de cambio de f sea positiva; es decir: a > 0. Si x aumenta desde x1 hasta x2 , entonces f ( x1 ) aumentará hasta f ( x2 ), independientemente de x1 y x2 . Entonces, la función lineal f será una función creciente. Monotonía de una De manera similar podemos constatar que si la tasa de cambio de f es negativa, f función lineal será una función decreciente. Si la tasa de cambio de una función lineal es po- Ejemplo 15 sitiva, la función es cre- La función lineal f definida por f ( x) = −3 x + 2 es decreciente; en cambio, la función lineal h ciente. definida por h( x) = 4 x − 1 es creciente. 7 Si la tasa de cambio de una función lineal es ne- gativa, la función es de- creciente. Ceros de la función lineal Recuerda que, dada una función f , los ceros de f son todos números x del dominio de f para los cuales se verifica f ( x ) = 0. 62
- 62. Ejemplo 16 Encuentra el cero de la función f ( x) = 4 x − 5. Solución. Debemos resolver la ecuación 4 x − 5 = 0. Al despejar x, obtenemos que x = 5 . Entonces, el cero de f es el número 5 . 4 4 Considera la función lineal f : R −→ R x −→ ax + b. Entonces, los ceros de f serán todos los números reales x tales que ax + b = 0. Si despejas x de esta igualdad, obtendrás que b x=− , a siempre que a = 0. En resumen, una función lineal no constante tiene un único cero. El cero de una función lineal está relacionado con otro “cero”: el de la recta que El cero de una función representa la función lineal f . lineal El cero de una función lineal En efecto, la recta que representa a f tiene por ecuación f definida por f ( x) = ax + b es y = ax + b. b x=− a Recuerda que el punto de coordenadas ( x, 0) se obtiene al encontrar x a partir de la si a = 0. ecuación, cuando y = 0. Este punto es, justamente, el corte de la recta con el eje hori- zontal. Ejemplo 17 Realiza la gráfica de la función lineal f , definida por f ( x) = 3 x − 3, y encuentra: 1. El valor de x donde f ( x) = 0. 2. El intervalo de valores x para los cuales f ( x) > 0. 3. El intervalo de valores de x para los cuales f ( x) < 0. Solución. La gráfica de la función f es la de la recta de ecuación y = 3 x − 3: y y = 3x − 3 5 4 3 2 1 x −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 63
- 63. Observamos que: • f (1) = 0; por lo tanto x = 1 es el cero de la función f . • f ( x) > 0 cuando x > 1. • f ( x) < 1 cuando x < 1. ¡A practicar! Ahora es tu turno: 1. Decide si la función lineal f es creciente o decreciente: 3 (a) f ( x) = 4 x + 1. (b) f ( x) = − 1 x + 6. 5 (c) f ( x) = 2 x − 8. 2. En cada uno de los ejercicios anteriores, determina en cuánto aumenta o dismi- nuye f cuando x aumenta en 1 unidad. 3. En cada uno de los ejercicios anteriores, en cuánto aumenta o disminuye f si x aumenta en 2 unidades. 4. Encuentra los ceros de las funciones dadas en el primer problema. 5. Realiza la gráfica de la función lineal f , definida por f ( x) = 4 x − 2. Determina todos los: • x, de manera que f ( x) = 0. • x, de manera que f ( x) > 0. • x, de manera que f ( x) < 0. Intersección de rectas. Sistemas de ecuaciones linea- les Actividad para la clase: Igualdad de costos Tu clase necesita comprar camisetas para participar en el campeonato interno del cole- gio. Los almacenes “Fútbol y más” y “Sí se puede” ofrecen los siguientes presupuestos: • “Fútbol y más”: 10 dólares por camiseta más 50 dólares, sin importar el tamaño del pedido. • “Sí se puede”: 12 dólares por camiseta más 40 dólares, sin importar el tamaño del pedido. 1. Determina una función lineal que dé el costo total F al ordenar n camisetas en la tienda “Fútbol y más”. 2. Determina una función lineal que dé el costo total S al ordenar n camisetas en la tienda “Sí se puede”. 3. Grafica en un mismo plano las dos funciones. Decide qué significa la abscisa x y la ordenada y para cada función. 64
- 64. 4. ¿A quétienda debería encargarse la fabricación de las camisetas si tu curso orde- nara únicamente 4 camisetas? 5. ¿A qué tienda debería encargarse la fabricación de las camisetas si tu curso orde- nara únicamente 10 camisetas? 6. Mira las gráficas que realizaste y contesta: ¿cuántas camisetas se deben ordenar para que el costo total de la orden sea el mismo en ambos almacenes? 7. ¿Hasta cuántas camisetas se podrían pedir al almacén “Sí se puede” de tal forma que la compra resulte mejor que en otro almacén? 8. ¿Cuál es el número mínimo ser ordenadas al almacén “Fútbol y más” para que sea una mejor oferta? En esta actividad queremos encontrar un valor de n para el cual F (n) = S (n). La gráfica de dos rectas, que son las gráficas de las funciones F y S , se cruzan o intersecan en un punto. Si trazas dos rectas cualesquiera, ¿estas siempre se intersecan? Gráficamente, en general, tenemos las siguientes tres situaciones cuando dibuja- mos dos rectas: 1. Las rectas son paralelas; es decir, no hay punto de intersección. Como ejemplo tenemos las rectas cuyas ecuaciones son y = 2 x y y = 2 x + 1: y y = 2x + 1 y = 2x 3 2 1 x −1 1 2 3 −1 2. Las rectas no son paralelas y tienen un punto de intersección; por ejemplo, las rectas de ecuaciones: y = 2 x + 1 y y = − x + 1: x y = 2x + 1 y = −x + 1 2 1 y −2 −1 1 2 −1 −2 3. Las dos rectas son las mismas; es decir, hay únicamente una recta. Como ejemplo tenemos, la recta de ecuación y = 2 x + 1: 65
- 65. y y = 2x + 1 2 1 x −2 −1 1 2 −1 −2 Algebraicamente, estas tres situaciones se pueden presentar cuando queremos en- contrar un par de números ( x, y) que simultáneamente satisfagan dos ecuaciones. Ejemplo 18 Encuentra una par de números ( x, y) que satisfaga simultáneamente las ecuaciones y = x+1 y y = 2 x. Solución. En primer lugar, dibujamos cuidadosamente las gráficas de las dos ecuaciones, y buscamos el punto de intersección: y f ( x) = 2 x f ( x) = x + 1 3 2 1 x −1 1 2 3 −1 Como se puede ver, ambas rectas pasan por el punto de coordenadas (1, 2); por lo tanto, el par de números (1, 2) satisface ambas ecuaciones. Y esto lo podemos constatar fácilmente: 1. Para la ecuación y = x + 1, tenemos que 2 = 1 + 1; y 2. para la ecuación y = 2 x, se verifica 2 = 2(1). Ejemplo 19 Encuentra un par de números ( x, y) que satisfagan simultáneamente las ecuaciones x − y = 1 y 2 x − y = 0. Solución. Vamos a reescribir ambas ecuaciones. La primera, x − y = −1, si despejas y, obtienes y = x + 1; 66
- 66. La segunda, 2x − y = 0, también si despejas y, te da y = 2 x. Por lo tanto, el par de números ( x, y) que buscamos, deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones y = x + 1 y y = 2 x. Este problema es el que resolvimos en el ejemplo anterior. Y como ya lo sabes, los números del par (1, 2) satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. En este último ejemplo, hemos reescrito las dos ecuaciones mediante el despeje de la incógnita y, puesto que es más fácil construir una tabla de valores para realizar la gráfica. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables (o incógnitas) se puede escribir de la manera siguiente: ax + by = e cx + dy = f Resolver este sistema de ecuaciones significa encontrar todos los pares de números ( x, y) que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Ejemplo 20 Resuelve el sistema de ecuaciones 3x − 2y = 2 x y − + = 1. 2 3 Solución. En primer lugar, de manera similar a como procedimos en el ejemplo 2, lo primero que haremos es reescribir ambas ecuaciones mediante el despeje de y. La primera, 3 x − 2 y = 2, nos da, en primer lugar, que 2 y = 3 x − 2, de donde obtenemos la ecuación 3 y= x − 1. 2 x y La segunda ecuación, − 2 + 3 = 1, se transforma en y x = + 1, 3 2 de donde obtenemos la ecuación 3 y=x + 3. 2 Por lo tanto, buscamos el par de números ( x, y) que satisfagan simultáneamente las ecuaciones 3 3 y = x − 1 y y = x + 3. 2 2 A continuación, dibujemos las rectas correspondientes a estas ecuaciones, y miremos en qué punto se cortan: 67
- 67. y y = 3 x+3 y = 3 x−1 2 2 2 x −4 −2 2 −2 −4 Como puedes observar, las rectas son paralelas y no se cortan. En conclusión, ningún par de números ( x, y) satisface el sistema de ecuaciones lineales 3x − 2 y = 2 x y − + = 1. 2 3 En otras palabras, este sistema no tiene solución. En este último ejemplo, pudiste haber llegado a la solución del sistema, sin nece- sidad de dibujar las rectas. En efecto, si observamos con atención los coeficientes de x en ambas ecuaciones, vemos que son iguales. Esto significa que las rectas correspon- dientes son paralelas. Y como los términos independientes en ambas ecuaciones son diferentes entre sí, quiere decir que las rectas son paralelas y diferentes, pues cada una corta en puntos diferentes del eje vertical. Ejemplo 21 Resuelve la ecuación x y + = 1. 2 3 Solución. Podemos ver a esta única ecuación como un sistema de dos ecuaciones iguales: x y + = 1, 2 3 x y + = 1. 2 3 La gráfica de las rectas correspondientes —que, en realidad, es una sola recta— es la si- guiente, cuya ecuación es y = − 3 x + 2 (luego de despejar y): 2 y y = −3 x+2 2 2 x −4 −2 2 −2 −4 68
- 68. Entonces, todos lospuntos de la recta nos proveen una solución del sistema; es decir, todo par de números ( x, y) que satisfacen la ecuación 3 y = − x+2 2 es una solución del sistema. Por ejemplo, el par (0, 2) es una solución, pues 3 − (0) + 2 = 0 + 2 = 2. 2 Otro para que es solución es (−2, 5), pues 3 − (−2) + 2 = 3 + 2 = 5. 2 En general, si das un valor a x en la ecuación, obtenemos el correspondiente y; ese par ordenado es una solución del sistema. En los ejemplos anteriores, hemos aprendido ya un método para resolver el sistema de dos ecuaciones lineales: ax + b y = e cx + d y = f A este método se lo denomina método gráfico. De estos ejemplo, sabemos que hay tres posibilidades: 1. Posibilidad 1: no hay solución; es decir, las rectas correspondientes a las ecua- ciones son paralelas, por lo que no se intersecan. 2. Posibilidad 2: hay un par de números que satisfacen ambas ecuaciones; es decir, las rectas correspondientes no son paralelas y hay un punto de intersección. 3. Posibilidad 3: hay infinitos pares de números que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente; es decir, las dos ecuaciones corresponden a una misma recta. Ejemplo 22 Resuelve el sistema de ecuaciones 7 x 2y 3, + = 6 x + y = 1. 7 Solución. En primer lugar, despejamos y de cada ecuación para reescribirla. Obtienes las siguientes ecuaciones: 7 3 7 7 y=− x+ y y=− x+ . 2 2 6 6 A continuación dibujamos las rectas correspondientes a estas ecuaciones. Para ello, ela- boramos las siguientes tablas: x y= −7 x+ 3 2 2 x y= −7 x+ 6 6 7 0 3 0 7 2 6 3 0 1 0 7 Entonces, la recta de ecuación y = − 7 x + 3 pasa por los puntos de coordenadas 0, 3 y 3 , 0 ; 2 2 2 7 69
- 69. en cambio, larecta de ecuación y = − 7 x + 7 pasa por los puntos de coordenadas 0, 7 y (1, 0). 6 6 6 Sus gráficas son las siguientes: y=−7 x+ 7 6 6 y 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 −1 −2 −3 y=−7 x− 3 2 2 −4 Como podemos ver, las rectas se intersecan en un punto. Sin embargo, es difícil saber exactamente cuáles son las coordenadas de este punto, a pesar de que la gráfica haya sido realizada cuidadosamente. Incluso, si hiciéramos un dibujo a una escala mayor, sería difícil saber exactamente cuáles son las coordenadas del punto en el que se intersecan ambas rectas: 2 1 −1 0 1 Se puede apreciar que la ordenada es igual a 1; sin embargo, la abscisa está entre 0 y 0.2, más cerca de 0.2, pero nada más. En resumen, en este caso el método gráfico nos permite saber que sí hay una solución al sistema de ecuaciones, pero no nos permite saber con precisión cuál es esa solución. El método gráfico tiene limitaciones en algunos casos, pero hay otras estrategias de solución que no requieren de gráficas. A continuación vamos a resolver un mismo sistema de ecuaciones lineales con tres estrategias diferentes entre sí y diferentes del método gráfico. Lee cada una con detenimiento. Compara las estrategias de solución. Discute en la clase qué ventajas tiene cada una. 70
- 70. Ejemplo 23 Resuelve elsistema de ecuaciones: x + y = 0 −x + y = 1. Solución 1. Buscamos una pareja de números ( x, y) que satisfaga ambas ecuaciones. Para esta pareja es cierto que simultáneamente la incógnita y cumple dos condiciones: y = − x, y = 1 + x. Es decir: y = − x = 1 + x. Por tanto: − x = 1 + x. La ecuación que acabamos de obtener es una ecuación lineal con una sola incógnita: −2 x = 1, de donde obtenemos que x = − 1 . 2 Ahora que hemos obtenido el valor de x, podemos utilizar cualquiera de las dos condi- ciones que satisface y para obtener el valor de y. Por ejemplo, la primera: 1 1 y=− − = . 2 2 Notemos que mediante la segunda condición, obtenemos el mismo valor: 1 1 y = 1+ − = . 2 2 En resumen, el par de números que son solución del sistema de ecuaciones es 1 1 − , . 2 2 A la estrategia de esta solución se la denomina resolución por igualación. ¿Por qué? Ejemplo 24 Resuelve el sistema de ecuaciones: x + y = 0 −x + y = 1. Solución 2. Para la pareja de números ( x, y) que buscamos, la primera ecuación se re- escribe de la manera siguiente: y = − x; es decir, la incógnita y es igual a − x. Entonces, donde quiera que aparezca y en la segunda ecuación, tendrá el valor igual a − x. Por lo tanto, podemos sustituir y por − x en la segunda ecuación: −x + y = 1 − x + (− x) = 1, 71
- 71. con lo queobtenemos una ecuación con una sola variable: −2 x = 1, de donde x = − 1 . 2 Y a partir de este momento, podemos proceder de manera similar a como se hizo en la primera solución para obtener que 1 y= . 2 Entonces, el par de números que son solución del sistema de ecuaciones es 1 1 − , . 2 2 La estrategia utilizada en esta segunda solución es denominada resolución por sus- titución. Explica este nombre. Ejemplo 25 Resuelve el sistema de ecuaciones: x + y = 0 −x + y = 1. Solución 3. Puesto que buscamos una pareja de números ( x, y) que satisfaga ambas ecua- ciones simultáneamente, los valores de las incógnitas x y y, respectivamente, son los mis- mos en ambas ecuaciones. Por lo tanto, podemos sumar las partes izquierdas de ambas ecuaciones entre sí y las partes derechas de ambas ecuaciones entre sí, y la igualdad se mantendrá, pero obtendremos una tercera ecuación: x + y = 0 −x + y = 1 0 + 2y = 1; es decir, obtenemos la ecuación: 2 y = −1. Esta ecuación puede sustituir a cualesquiera de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo, a la segunda, de manera que obtenemos un nuevo sistema, pero equivalente al primero (es decir, el nuevo sistema tiene la misma solución que el original): x + y = 0 2y = 1. Como puedes ver, la segunda ecuación solo tiene la incógnita y, por lo que es fácil de resolver: 1 y= . 2 Con ayuda de la primera ecuación, puedes obtener el valor de x: 1 x+ y= x+ = 0, 2 de donde x = − 1 . 2 Entonces, el par de números que son solución del sistema de ecuaciones es 1 1 − , . 2 2 72
- 72. A esta estrategiase le llama resolución por eliminación. Hay cuatro métodos para Ejemplo 26 resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos Resuelve el sistema dado por eliminación y por sustitución: incógnitas: Gráfico. 2x − y = 0 −x + 3y = 1. Igualación. Sustitución. Solución. Eliminación. 1. Por eliminación: En este caso, no podemos sumar directamente ambas ecuaciones para “eliminar” x; antes, debemos multiplicar por 2 la segunda ecuación. Entonces, obtenemos el sistema equivalente: 2x − y = 0 −2 x + 6 y = 2. Ahora tenemos la ventaja de que, al sumar ambas ecuaciones, podemos eliminar la in- cógnita x: 2x − y = 0 −2 x + 6 y = 2 0 + 5 y = 2; obtenemos, entonces, el siguiente sistema equivalente: 2x − y = 0 5y = 2. La segunda ecuación contiene únicamente la incógnita y, y su valor es fácil hallar: 5 y= . 2 Si reemplazamos este valor de y en la primera ecuación, obtenemos: 2 2x − y = 2x − = 0, 5 de donde x = 1 . 5 Por lo tanto, la pareja 1 , 2 es la solución al sistema. 5 5 Para verificar, sustituimos, en ambas ecuaciones, los valores encontrados: 2 1 2 2 2 5 − 5 = 5 − 5 = 0, −1 + 2 35 = −1 +6 = 5 = 1 . 5 5 5 2. Por sustitución: de la primera ecuación, podemos despejar y; obtenemos que y = 2 x. Ahora sustituimos y por 2 x en la segunda ecuación y obtenemos que − x + 3(2 x) = 1, de donde: 1 5x = 1 y . x= 5 Ahora, de regreso a la primera ecuación, sustituimos x por el valor encontrado y obtene- mos: 1 2 y=2 = . 5 5 E, igual que antes, podemos concluir que la solución del sistema es el par de números 1, 2 . 5 5 73
- 73. ¡A practicar! Es tuturno. 1. Resuelve los siguientes sistemas. Utiliza el método de eliminación y otro de tu preferencia, según convenga. −x + 2y = 2 (a) 3x + 3y = 1. −2 x − y = 5 (b) 3x + 3y = −1 . 2x + 5y = 0 (c) 3x − 4y = −2 . 2. Sin resolver el sistema directamente, determina si tiene una solución, si no tie- ne solución o si tiene un número infinito de soluciones. Para ello, encuentra la pendiente y el corte de las rectas correspondientes a las ecuaciones dadas: 2x + 8y = 2 (a) x + 4y = 1. 2x + 8y = 2 (b) x − 4y = −1 . 2x + 8y = 2 (c) x + 4y = −1 . Modelos lineales La antropometría es una ciencia que investiga las relaciones que existen entre las di- mensiones del cuerpo humano: peso, altura, longitud de brazos, etcétera. La antro- pometría tiene muchos usos; por ejemplo, en medicina, se utiliza para supervisar el crecimiento de los infantes; en diseño industrial, para diseñar objetos de uso diario (computadoras, sillas, libros, etcétera). Discute con tus compañeros y con tu familia cómo se utiliza la antropometría en la arquitectura, la industria automotriz y otros campos. Actividad para la clase En el libro Los viajes de Gulliver, escrito por el inglés Jonathan Swift en 1726, se men- ciona una regla que utilizaban los antiguos sastres y costureras: una vez alrededor de la muñeca, dos veces alrededor del pulgar. Vamos a encontrar una función que modele esta observación siguiendo cuatro pasos: Paso 1: recoger datos. Paso 2: organizar los datos en una tabla o gráfico. Paso 3: encontrar una función lineal que aproxime los datos. Paso 4: utilizar el modelo para pronosticar valores y verificar su validez. Paso 5: reflexionar sobre el proceso de modelización. Comparar con otros mode- los. 74
- 74. Paso 1: recogerdatos Para este paso, necesitas tener un trozo de cuerda de 15 cm aproximadamente (si no tienes una, puedes usar el cordón de tu zapato) y una regla con milímetros. En tu grupo (de cuatro o cinco personas), cada uno debe utilizar la cuerda para medir su pulgar y la muñeca de su mano. Marca con un lápiz la cuerda para luego encontrar la medida utilizando la regla. Paso 2: organizar los datos 1. Organiza la información en la siguiente tabla: Pulgar (en cm) Muñeca (en cm) 2. Ubica las parejas de la tabla en un un plano cartesiano, en el que la variable x sea la medida del pulgar y la variable y, la de la muñeca. 3. Discute en tu grupo cómo realizar el gráfico. ¿De qué tamaño debe ser cada uni- dad en el eje x, en el eje y? 4. Estos datos, ¿siguen algún patrón? 5. Con un “spaguetti”, traza una recta que “visualmente” te parezca que pasa más cerca de todos los puntos del gráfico. Paso 3: función lineal que aproxima los datos 1. Utiliza dos puntos sobre la recta que trazaste en el paso anterior y encuentra su ecuación. 2. La ecuación tiene la forma y = ax + b. Interpreta los parámetros a y b. Paso 4: utiliza el modelo para pronosticar 1. Utiliza la ecuación encontrada para pronosticar cuál sería el tamaño del puño de una camisa de una persona que tiene un pulgar de 6 cm. 2. Si la muñeca midiera 13 cm, según tu modelo, ¿cuál sería la medida de su pulgar? Paso 5: compara con otro modelo Compara tu modelo con el siguiente. Un grupo, en la clase del profesor Ortega, obtuvo los siguientes resultados: Pulgar (en cm) 1.5 1.4 1.3 1.8 Muñeca (en cm) 3.1 3.0 2.7 3.6 75
- 75. 4.0 4.0 3.5 3.5 3.0 3.0 2.5 2.5 2.0 2.0 1.5 1.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Esta recta pasa por los dos puntos de la tabla (1.3, 2.7) y (1.5, 3.1). Su pendiente es 3.1 − 2.7 0.4 a= = = 2. 1.5 − 1.3 0.2 Por lo tanto, la ecuación de la recta es y − 2.7 = 2( x − 1.3), que, luego de simplificar, da y = 2 x + 0.1. La interpretación de la pendiente es la siguiente: la muñeca cambia en 2 cm por cada centímetro que cambia el pulgar. Interpretación del corte de la recta con el eje y: si el pulgar midiera 0 pulgadas, la muñeca debería medir 0.1 cm. 1. Discute las conclusiones a las que llegó este grupo. 2. ¿Qué puedes afirmar de la última aseveración sobre la interpretación del corte? Ejercicios Conceptos 1. Con tus propias palabras, explica el concepto de pendiente. 2. Responde a las siguientes preguntas con frases completas: (a) Si una recta de ecuación y = f ( x) tiene pendiente positiva, ¿es la función f creciente? (b) Si una recta de ecuación y = f ( x) tiene pendiente negativa, ¿la función f es creciente? 3. Roberto desea realizar la gráfica de la recta cuya ecuación es 2 x − 3 y = 1. Para ello realiza la siguiente tabla: x 0 1 1/2 y −1/3 −2/3 0 Decide si Roberto está en lo correcto. 4. Mediante una frase completa, explica cómo verificarías que el punto de coorde- nadas (1, 4) pertenece a una recta de ecuación y = ax + b. 76
- 76. 5. La funciónf es una función lineal. Explica en una frase completa qué procedi- miento utilizarías para realizar su gráfica. 6. En cada caso, explica con frases completas si la gráfica o la tabla dada representa una función lineal: y y 10 90 8 80 70 6 60 4 50 2 x 40 −10 −5 5 30 −2 20 −4 10 x (a) −6 −10 −5 0 5 x 2 3 4 5 (b) y 7 10 13 16 x 2 3 4 5 (c) y 5 9 13 16 7. La tasa de cambio de una función lineal es 3. Si la variable x aumenta en 6 unidades, ¿cuál es el cambio de la función (aumenta o disminuye)? 8. La tasa de cambio de una función lineal es −3. Si la variable x aumenta en 2 unidades, ¿cuál es el cambio de la función (aumenta o disminuye)? 9. Explica en frases completas por qué la intersección de la recta de ecuación y = ax + b y el eje horizontal es el mismo punto de intersección entre las rectas de ecuaciones y = ax + b y y = 0. 10. Si f es una función lineal tal que f (0) = 1 y f (2) = 2, ¿cuáles son los cortes de la gráfica de la función f con los ejes? 11. Identifica la gráfica de la función f definida por f ( x) = − x + 4. En frases completas justifica tu elección. ¿Es la función creciente o decreciente? y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 77
- 77. y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 12. Identifica la gráfica de la función f definida por f ( x) = 3 x − 5. Mediante frases completas justifica tu elección. ¿Es la función creciente o decreciente? 5 y 5 y 4 4 3 3 2 2 1 x 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 5 y 5 y 4 4 3 3 2 2 1 x 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 13. Identifica la gráfica de la función f definida por f ( x) = −3 x + 1. Con frases com- pletas, justifica tu elección. ¿Es la función creciente o decreciente? 5 y 5 y 4 4 3 3 2 2 1 x 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 78
- 78. 5 y 5 y 4 4 3 3 2 2 1 x 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 14. Da un ejemplo de una función creciente. 15. Da un ejemplo de una función decreciente. 16. Da un ejemplo de una función constante. Procedimientos 1. Para cada uno de los siguientes ejercicios: • Encuentra la pendiente. • Identifica si la pendiente es positiva, negativa, cero o no está definida. • Indica los cortes de la recta con los ejes. • Indica si y crece o decrece cuando x crece, con y = ax + b. ¿En qué relación está tu respuesta con la pendiente que determinaste? • Indica si y crece o decrece cuando x decrece, con y = ax + b. ¿En qué relación está tu respuesta con la pendiente que determinaste? (a) La recta pasa por los puntos de coordenadas (1, 2) y (3, 4). (b) La recta pasa por los puntos de coordenadas (1, 0) y (3, −2). (c) La recta pasa por los puntos de coordenadas (1, 3) y (2, 3). (d) La recta pasa por los puntos de coordenadas (1, 2) y (−3, 5). (e) La recta pasa por los puntos de coordenadas (1, 2) y (1, 3). 2. Encuentra la ecuación de una recta que satisfaga las condiciones siguientes: (a) La recta tiene pendiente 4 y pasa por el punto (0, 3). 2 (b) La recta tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0, 5). (c) La recta es horizontal y pasa por el punto (5, 0). (d) La recta tiene pendiente 2 y pasa por el punto (4, 12). (e) La recta pasa por los puntos (−5, 4) y (3, 1). (f) La recta es vertical y pasa por el punto (1, 2). (g) La recta es paralela a la recta de ecuación y = 4 x − 9 y pasa por el punto de coordenadas (2, 3). (h) La recta es paralela a la recta de ecuación y = −3 x + 1 y pasa por el origen. (i) La recta es perpendicular a una recta de ecuación y = 5 x + 1 y pasa por el origen. 79
- 79. 3. En cadacaso, determina una función lineal f : R −→ R, definida por f ( x) = ax + b. (a) Se sabe que f (0) = 1 y f (2) = 3. (b) Se sabe que f (0) = −2 y la función es constante. (c) Se sabe que f (0) = 1 y que si x cambia en tres unidades, el valor de f ( x) cambia en 6 unidades. 4. Encuentra la intersección de la rectas dadas por las ecuaciones siguientes: (a) y = − x + 2 y y = 4 x + 5. 5. Encuentra el cero de la función lineal f definida por f ( x) = 3 x + 7. 6. Encuentra el cero de la función lineal f definida por f ( x) = −2 x + 5. 7. En cada caso, encuentra la tasa de cambio de la función lineal f y determina si la función es creciente o decreciente. 1 (a) f ( x) = 2 x + 4. (b) f ( x) = 4 x − 5. (c) f ( x) = − 1 + 3. 2 (d) f ( x) = −0.4 x + 8. 8. Encuentra el cero de cada función lineal f definida por: (a) f ( x) = 3 x − 4. 2 (b) f ( x) = −4 x − 1. (c) f ( x) = − 1 + 3 . 2 4 (d) f ( x) = −0.5 x + 0.6. 9. Grafica las funciones lineales f y g definidas por f ( x) = 2 x − 1 y g( x) = − x + 5. Luego completa las siguientes oraciones: • El valor x para el cual f ( x) = g( x) es: . . . • El intervalo de los números reales x tales que f ( x) > g( x) es: . . . • El intervalo de los números reales x tales que f ( x) < g( x) es: . . . 10. Resuelve el sistema dado. Indica, en cada caso, si el sistema tiene una, ninguna o infinitas soluciones. 2x + y = 3 (a) −x + 2y = 1. x + y = 5 (b) x + y = 1. 2u + v = 16 (c) u + v = 11. 4p + 2q = 9 (d) 5p − 4q = 5. 80
- 80. Aplicaciones y modelización 1. Los estudiantes de segundo año de Bachillerato de un colegio de la Sierra están planeando un paseo de fin de año a la Costa. El costo será de 120 dólares (para todo el curso) para cada día de estadía en un hotel. El costo del viaje de ida y vuelta para todos es de 250 dólares. (a) Encuentra un modelo mediante una función lineal que represente el costo C en términos del número de días n que se queden en la Costa. Decide un dominio adecuado para la función. (b) Traza el gráfico de la función costo encontrado. (c) Interpreta la pendiente de la recta correspondiente. Toma en cuenta las unidades de C y n. (d) Interpreta los cortes de la recta con los ejes. (Toma en cuenta el dominio de la función). (e) Una compañía de turismo les ofrece un paquete completo de cuatro días por 1 000 dólares. ¿Es mejor esta oferta o les conviene organizar el paseo por su cuenta? (f) La clase quiere recolectar fondos para realizar su paseo, por lo que va a orga- nizar una fiesta en el colegio. Dispondrán del local gratuitamente. ¿Cuántas entradas de 5 dólares deberán vender para recolectar dinero suficiente para el paseo? (g) El curso tiene la posibilidad de contratar un bus con amenidades; el costo es de 300 dólares. Reformula el modelo original para incluir este nuevo gasto. Grafica la nueva función de costo y compárala con la gráfica de la función de costo de la situación original. Describe la relación entre las dos gráficas. 2. María y Sandra quieren ahorrar para comprar una computadora. María puede ahorrar 2 dólares cada semana si no compra nada en el bar del colegio. Su mamá le ha ofrecido una ayuda de 150 dólares. Sandra puede ahorrar un dólar cada semana, si va caminando al colegio en lugar de tomar el bus. Ella ya tiene aho- rrados 160 dólares. (a) Elabora dos modelos mediante funciones lineales para el ahorro M de María y el ahorro S de Sandra, en términos del número de semanas x, respectiva- mente. Selecciona un dominio adecuado para cada función. (b) En un mismo sistema de coordenadas, traza el gráfico de cada función. (c) Interpreta la pendiente de cada recta (toma en cuenta las unidades de M , S y x). (d) Interpreta los cortes de cada una de las rectas con los ejes. (Toma en cuenta el dominio de las funciones). (e) ¿Quién tiene más dinero ahorrado después de dos semanas? ¿De cinco? ¿Después de veinte semanas? (f) ¿En cuántas semanas el total del dinero ahorrado por María es mayor al total del dinero ahorrado por Sandra? 3. Escribe una historia cuyo modelo gráfico sea el siguiente: 81
- 81. y 80 70 60 50 40 30 20 10 x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. Escribe una historia cuyo modelo tenga el siguiente gráfico: y 80 70 60 50 40 30 20 10 x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5. El Ecuador ha realizado dos censos de población a nivel nacional en dos oca- siones en los últimos 20 años. El Instituto Ecuatoriano de Estadísticas INEC (http://www.inec.gov.ec/home/) recoge los resultados de estos censos. (a) Encuentra los datos de los dos últimos censos nacionales de población. (b) Encuentra un modelo lineal P ( t) = at + b para la población P del país en términos del número de años a partir de 1990. (c) Utiliza el modelo para pronosticar la población del Ecuador en el año 2020. (d) En un párrafo, reflexiona por qué es útil tener un modelo poblacional. 6. Utiliza los datos dados en la introducción de este capítulo sobre el uso del celular para crear un modelo lineal que represente el porcentaje de hombres que usan celular como una función del tiempo. 7. Utiliza los datos dados en la introducción de este capítulo sobre el uso del celular para crear un modelo lineal que represente el porcentaje de mujeres que usan celular como una función del tiempo. 8. Utilizando los resultados de los dos ejercicios anteriores, responde la pregunta de la introducción: ¿es cierto que en 2010 hubo un mayor incremento en el porcentaje de mujeres que de hombres en el uso del celular? 9. En el informe del INEC, mencionado en la introducción, están publicadas las ci- fras de uso de internet para hombres y mujeres por tres años consecutivos (2008, 2009, 2010) en porcentaje de la población: 82
- 82. Año Hombres Mujeres 2008 26.6 % 24.9 % 2009 25.4 % 23.9 % 2010 29.9 % 28.2 % (a) En un mismo sistema de coordenadas, dibuja los puntos dados; asegúrate de usar dos colores diferentes para que puedas distinguir entre los datos correspondientes a mujeres y hombres. (b) Sobre la base de lo hecho en el literal anterior, traza rectas que se aproximen a los puntos dados para cada uno de los casos. (c) Encuentra las ecuaciones de las rectas que trazaste en la parte anterior. (d) Escribe el modelo lineal para cada caso. Asumiendo que sigue la misma tendencia, pronostica aproximadamente en cuántos años toda la población utilizaría internet. ¿Es esto realista? (e) Escribe un párrafo narrando en frases completas los resultados que encon- traste en este ejercicio. Si fueras un periodista, ¿qué escribirías como titular de tu nota de prensa? Pensamiento crítico 1. Elabora la gráfica de la función f : R −→ R definida por f ( x) = | x − 5|. 2. Determina la intersección de las gráficas de las funciones f y g definidas por f ( x) = | x − 2| y g( x) = | x − 4|. 3. Sean a y b dos números reales y f una función lineal definida por f ( x) = ax + b. Para cada valor diferente de a y de b se obtiene una función lineal particular. Considerando todos los posibles valores de los coeficientes a y b, a los que se los denomina parámetros, se dice que se tiene una familia de funciones lineales. Por ejemplo, la igualdad f ( x) = 2 x + b representa una familia de funciones lineales cuando el parámetro b cambia; en este caso, se dice que este parámetro es libre. En cambio, la igualdad g( x) = ax−3 representa una familia en la que el parámetro libre es a. (a) Considera la familia de funciones f ( x) = 3 x + b, en la que el parámetro b es libre. Explica cómo se relacionan las gráficas de esta familia entre sí. Grafica algunas funciones que pertenecen a esta familia. (b) Considera la familia de funciones f ( x) = ax + 5, en la que el parámetro a es libre. Explica cómo se relacionan las gráficas de esta familia entre sí. Grafica algunas funciones que pertenecen a esta familia. 4. Decide si las condiciones siguientes podrían ser satisfechas por una función li- neal. En cada caso, escribe una frase completa que detalle el razonamiento reali- zado. (a) La tasa de cambio es positiva y la gráfica de la función no corta el eje hori- zontal. (b) Es constante y no corta el eje horizontal. (c) Es constante y no corta el eje vertical. 83
- 83. 5. Encuentra elintervalo de números reales x tales que satisfacen la desigualdad 2 x − 3 < x + 8. Sugerencia: Grafica dos funciones lineales f y g. 6. En cada caso, completa el sistema con una segunda ecuación, de manera que se cumpla la condición requerida: 3x + y = 5 (a) El sistema tiene una única solución. (b) El sistema no tiene solución. (c) El sistema tiene infinitas soluciones. 7. Encuentra el valor de x para el cual las funciones f y g son iguales, con f ( x) = −2 x + 5 y g( x) = 3 x − 1. 8. Decide si las siguientes funciones son iguales. Justifica tu respuesta: x2 − 16 f ( x) = x + 4 y g( x ) = . x−4 9. Ángulos entre rectas. Completa. (a) El ángulo entre las rectas de ecuaciones y = 0 y y = x es . . . (b) El ángulo entre las rectas perpendiculares es . . . (c) El ángulo entre las rectas de ecuaciones y = 0 y x = 0 es . . . 10. Demuestra: (a) Las rectas de ecuaciones y = 2 x + 1 y y = −1/2 x + 3 son perpendiculares. (Suge- rencia: determina un triángulo de manera que dos de sus vertices estén sobre la primera recta, y el tercer vértice esté en la segunda recta. Demuestra que se cumple la relación pitagórica entre los lados del triángulo). (b) Las rectas de ecuación y = a1 x y y = a2 x son perpendiculares si a2 = −1/a1 . Puedes utilizar la sugerencia del ejercicio anterior. (c) Las rectas y = a1 x + b y y = a2 x + c son perpendiculares si a2 = −1/a1 . Puedes utilizar lo demostrado en el ejercicio anterior. Uso de tecnología 1. Utiliza una calculadora gráfica para realizar gráficas de la siguientes ecuaciones o funciones dadas. En cada caso, determina si la ecuación o la función es lineal. Determina el dominio adecuado para graficar la función, de manera que sus ca- racterísticas geométricas sean claramente apreciables. (a) y = 0.5 x + 4.3. (b) y = 2 00 x. (c) 2 x − 0.008 y = 4. (d) y = x2 . 84
- 84. 2. Fausto utilizauna calculadora gráfica para realizar la gráfica de la función y = 100( x − 3) + 2 y su calculadora le muestra lo siguiente: y 2 1 x −2 −1 1 2 3 −1 −2 −3 Fausto concluye que la recta es vertical. Decide si Fausto está en lo correcto. Si no lo está, escribe en una frase completa una explicación que le ayude a Fausto a corregir su error. 3. Utiliza una calculadora gráfica o una aplicación en el internet para determinar si las dos ecuaciones son equivalentes: (a) y = (5 x + 5)/5, y = x. (b) y = (5 x + 1)/5, y = x. 4. En una calculadora gráfica o mediante una aplicación en internet, realiza la grá- fica de y = x2 + 1. (a) Utiliza una ventana con rango en x entre −3 y 3. Explica por qué esta gráfica no corresponde a una función lineal. (b) Utiliza una ventana con rango en x entre 0 y 0.5, el rango en y entre 1 y 1.2. ¿Cómo se altera la apariencia de la gráfica comparada con la anterior gráfica? 5. Con una calculadora gráfica o con una aplicación de computadora, resuelve los sistemas siguientes mediante el método gráfico: 3x + 8y = 2 (a) 7x − 6y = −3 . 0.2 x + y = 0.5 (b) −x + 0.4 y = 1. 0.75 x + 0.04 y = 0.05 (c) −0.1 x + 0.7 y = 0.2. 85