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![Índice
Unidad 3
Función cuadrática y el espacio
vectorial en R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Análisis de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Intervalos de la función cuadrática
donde es decreciente o creciente . . . . . . . . . . . . . . 124
Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Ecuaciones que se reducen a una
ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Intersección gráfica de una recta y una
parábola como solución de un sistema
de dos ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Intersección gráfica de dos parábolas . . . . . . . . . . . . . 139
Sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas en forma analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Modelos matemáticos con funciones
cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
El conjunto R2
. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Interpretación geométrica de las
operaciones en R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Vectores colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
El espacio euclídeo R2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Longitud o norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 169
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 172
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Unidad 4
Rectas en R2
y derivada de la función
cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 180
Ecuación cartesiana de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Rectas paralelas y perpendiculares.
Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Distancia entre dos números reales . . . . . . . . . . . . . 192
Noción intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Significados de: x → 0, x → x0
+
y x → x0
–
. . . . . . . 194
Noción de límite de una función real . . . . . . . . . . 195
Cociente incremental. Noción de derivada . . . . . 198
Interpretación geométrica y física del
cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 201
Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 209
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 212
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Unidad 5
Polinomios reales con coeficientes en R
y distacia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . 216
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . 218
Aplicaciones geométricas del producto
escalar en R2
. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . 224
Ley del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
El conjunto [R] de polinomios
con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Producto de números reales por polinomios . . 237
Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . 240
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 241
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 244
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Unidad 6
División de polinomios reales con
coeficientes en R. Probabilidad . . . . . . . . . . . . 248
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
División de polinomios. Teorema del residuo . . . . . 250
Aplicaciones de polinomios en la Informática . . 256
Conversión de binario a decimal y viceversa . . 257
Modelos matemáticos con funciones
polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Operaciones con sucesos. Leyes
de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Intersección. Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . 270
Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Factorial de un número natural.
Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 279
TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 282
En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Respuestas a las evaluaciones sumativas . . . . . . . 286
Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
BC
1
BC
1
BC
3
BC
2
BC
2
BC
2
BC
1
BC
1
BC 2
BC 3
BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones
Bloque Curricular 2: Geometría y medida
Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-6-320.jpg)
![123
: subconjunto
≠: diferente de
: conjunto de números reales
Dom(f): dominio de f
Rec(f): recorrido de f
] ]
−∞, :
p intervalo cerrado a la
derecha
[ [
∞
, :
p intervalo cerrado a
izquierda
Simbología matemática
Ahora tratamos el caso a < 0.
Nuevamente, para todo x ,
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≥ 0 y siendo a < 0, resulta
a
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≤ 0. Luego, −
−
+ ≤
y
ac b
a
a x
b
a
4
4
=
2
0,
2 2
= a
2
0
2
+ ≥
x
b
a
2
≤ 0, de donde
4
4
.
2
≤
−
y
ac b
a
En este caso, el recorrido de f es el conjunto = ,
4
4
.
2
( ) −∞
−
Rec f
ac b
a
Rec f
( )=
,
4ac b2
4a
, si a<0,
4ac b2
4a
, , si a>0.
.
En conclusión, Rec f
( )=
,
4ac b2
4a
, si a<0,
4ac b2
4a
, , si a>0.
En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la
gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre
hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto
2
,
4
4
2
−
−
b
a
ac b
a
se llama vértice de la parábola.
Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas
Mínimo de la función cuadrática
Sea a > 0. Puesto que para todo x , ( )
4
4
,
2
≥
−
f x
ac b
a
el número
real =
4
4
2
−
m
ac b
a
se llama mínimo global de la función cuadrática.
Escribiremos:
=
−
= ∈
4
4
mín ( ),
2
m
ac b
a
f x
x
mín f (x),
que se lee "m es el mínimo de la función f en todo ".
Máximo de la función cuadrática
Sea a < 0. Como para todo x , ( )
4
4
,
2
≤
−
f x
ac b
a
el número real
=
4
4
2
−
M
ac b
a
se llama máximo global de la función cuadrática.
Escribiremos:
−
∈
=
4
4
=máx ( ),
2
M
ac b
a
f x
x
máx f (x),
que se lee “M es el máximo de la función f en todo ".
Nótese que: f
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
2
=
4
4
=
,si >0,
,si <0.
2
−
−
f
b
a
ac b
a
m a
M a
x
x
Recuerda que…
• El mínimo global de la
función cuadrática es el mínimo
de la función que se representa
como:
m = mín f (x)
≤ ∀ ∈
∈ f x
m f x x
x
mín ( )
( ), .
• Si a < 0, y la función cuadrá-
tica f no tiene mínimo global,
escribiremos:
mín f (x) = – ∞, o simple
mente,
mín f (x) no existe.
• El máximo global de la fun-
ción cuadrática es el máximo
de la función que se representa
como:
M = máx f (x)
≤ ∀ ∈
∈
máx ( )
( ) ,
f x
f x M x
x
.
• Si a 0, y la función cuadrá-
tica f no tiene máximo global,
escribiremos:
máx f (x) = ∞, o simple
mente,
máx f (x) no existe.
x
x
x
x
x
x](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-12-320.jpg)
![125
x
1
2
0
decrece crece
p Figura 3.4.
p Figura 3.5.
1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
y
x
0
y = –(x–2)²
Interdisciplinariedad
Matemática con la
vida cotidiana
Las funciones cuadráticas son
ampliamente usadas en la cien-
cia, los negocios y la ingeniería.
La parábola, puede describir
trayectorias de chorros de agua
en una fuente y el botear de
una pelota o definir la curva-
tura en estructuras como reflec-
tores y antenas parabólicas que
forman, respectivamente, los
faros de los carros y la base de
los platos satelitales. ¿Qué otro
tipo de aplicaciones tienen las
funciones cuadráticas?
Shutterstock,
(2020).
368766932
Entonces ≤ −
x x
1
2
.
1 2 Sumando
1
2
en la desigualdad, se obtiene
1
2
1
2
0,
1 2
+ + ≤
x x de donde x1 +
1
2
2
x2 +
1
2
2
0 , y
sumando
3
4
en esta última desigualdad, se deduce
x1 +
1
2
2
+
3
4
x2 +
1
2
2
+
3
4
3
4
, es decir que ( ) ( )
3
4
.
1 2 ≥
f x f x
De modo similar, se muestra que si x1 ,x2
1
2
, , tal que x1
x2
,
entonces
3
4
( ) ( ).
1 2
f x f x La prueba se propone como ejercicio.
En la gráfica siguiente se interpretan estos dos resultados (Figura 3.4.).
2. Consideremos la función g, definida como
− + − ∀ ∈
( )= 4 4, .
2
g x x x x
Puesto que
− + − − − + − − ∀ ∈
( )= 4 4 = ( 4 4 )= ( 2) , ,
2 2 2
g x x x x x x x x y
tomando en consideración que ( 2) 0, ,
2
x x
− ≥ ∀ ∈ resulta
( ) 0, ,
g x x
≤ ∀ ∈ es decir que el recorrido de g es el conjunto
Rec g − ∞
( )=] , 0]. El dominio de g es obviamente el conjunto .
Calculemos algunos valores de la función g.
(2)= (2 2) =0, (1)= (1 2) = 1,
2 2
− − − − −
g g − − −
g(3) = (3 2) = 1.
2
En la Figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g.
Esta es una parábola que se abre hacia abajo,
− − ∀ ∈
( ) = ( 2) ,
2
g x x x , y su vértice es el punto (2, 0).
x
Se tiene 0 = g(2) = máx g(x).
Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estric-
tamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ .
Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2].
Sean x1
, x2
]–∞, 2], tal que x1
x2
≤ 2. Sumando –2 en la desigual-
dad, obtenemos x1
–2 x2
–2 ≤ 0, de donde x x
− −
( 2) ( 2)
1
2
2
2
,
y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce
x x
− − − −
( 2) ( 2) ,
1
2
2
2
es decir que ( ) ( ).
1 2
g x g x
Así, ∈ −∞
, ] ,2], ( ) ( ),
1 2 1 2 1 2
x x x x g x g x
⇒
∈ −∞
, ] ,2], ( ) ( ),
1 2 1 2 1 2
x x x x g x g x lo que muestra que g es
creciente en el conjunto I = ]–∞, 2]. En forma similar, se prueba que g
es decreciente en el conjunto I = [2, ∞[.
p Antena parabólica satelital.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-14-320.jpg)
![131
Recuerda que…
• Hemos visto que la
función f se escribe como
f(x)= a x2
+
b
a
x+
c
a
, x .
Además, la ecuación en ,
+ +
( ) = 0 = 0
2
f x ax bx c
⇔
+ +
( )= 0 = 0
2
f x ax bx c ,
tiene solución en si y
solo si el discriminante
= − ≥
4 0,
2
d b ac en cuyo
caso sus raíces reales son:
=
− − −
=
− + −
4
2
,
4
2
.
1
2
2
2
x
b b ac
a
x
b b ac
a
• En conclusión, dada la función
cuadrática f, definida como
= + + ∀ ∈
( ) , ,
2
f x ax bx c x
con a, b, c , a ≠ 0, las raíces
reales x1
, x2
de la ecuación
ax2
+ bx + c = 0 satisfacen las
relaciones + = −
1 2
x x
b
a
y
⋅ =
1 2
x x
c
a
.
Además, la función f se
factoriza en la forma
( ) = ( )( ), .
1 2
f x a x x x x x
− − ∈
Obsérvese la equivalencia
− −
( ) = 0 ( )( )= 0
1 2
f x a x x x x
− −
( )= 0 ( )( )= 0
1 2
f x a x x x x
y siendo a ≠ 0, se deduce
x x1 =0,o
x x2 =0
x = x1, o
x = x2
Este último resultado muestra
que la ecuación de segundo
grado tiene, a lo más, dos raíces
reales y distintas.
.
2.
Si es posible, factoriza la función f definida por
+ + ∀ ∈
( )= 2 2, .
2
f x x x x
En primer lugar, estudiemos la existencia de raíces reales de la
ecuación x2
+ 2x + 2 = 0. Para el efecto, calculamos el discrimi-
nante d de dicha ecuación. Tenemos a = 1, b = 2, c = 2, luego,
d = b2
– 4ac = 4 – 8 = –4 0.
Laecuaciónx2
+2x+2=0 notieneraícesreales,porlotanto,lafunción
realfnopuedefactorizarseenlaforma ( ) =( )( ), ,
1 2
f x x x x x x
− − ∈
con x1
, x2
.
Obsérvese que
( ) = 2 2 =( 1) 1 1, ,
2 2
f x x x x x
+ + + + ≥ ∀ ∈
x
con lo que mín f (x) = 1.
Propiedades de la raíces. Factorización de funciones cuadráticas
Consideremos la función cuadrática f, dada por
+ + ∈
( ) = , ,
2
f x ax bx c x donde a, b, c con a ≠ 0.
Calculemos x1
+ x2
. Tenemos:
=
4
2
4
2
=
4 4
2
= .
1 2
2 2 2 2
x x
b b ac
a
b b ac
a
b b ac b b ac
a
b
a
+
− − −
+
− + − − − − − + −
−
4 4
2
=
4 4
2
= .
2 2 2 2
b ac
a
b b ac
a
b b ac b b ac
a
b
a
−
+
− + − − − − − + −
−
Luego, la suma de las raíces x1
, x2
de la ecuación de segundo grado
satisfacen la relación = .
1 2
x x
b
a
+ −
Calculemos x1
∙ x2
:
x x
b b ac
a
b b ac
a
b ac b b ac b
a
c
a
=
4
2
4
2
=
4 4
4
.
1 2
2 2
2 2
2
( )( )
⋅
− − −
⋅
− + −
−
− + − −
=
ac
a
b b ac
a
b ac b b ac b
a
c
a
4 4
2
=
4 4
4
.
2 2
2 2
2
( )( )
−
⋅
− + −
−
− + − −
=
Por lo tanto, el producto de las raíces x1
, x2
de la ecuación de segundo
grado satisface la relación = .
1 2
x x
c
a
⋅ En consecuencia, la función f se
escribe como sigue:
=a x(x x1)+x2 ( x+x1)
[ ]=a x(x x1) x2 (x+x1)
[ ]=a(x x1)(x+x2).
f(x)=a x2
+
b
a
x+
c
a
=a x2
(x1 +x2)x+x1x2 =a x2
x1x+x2x+x1x2
Nótese que hemos utilizado la propiedad distributiva de los números
reales y la identidad ( ) = ( ), , , .
a b c a b c a b c
− + − − ∀ ∈ Así, la función
cuadrática f o polinomio de grado 2 con coeficientes en se escribe
en la forma ( ) = ( )( ), .
1 2
f x a x x x x x
− + ∈ Es decir que la función f
se ha factorizado.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-20-320.jpg)
![151
3 Un equipo mecánico cuesta v dólares,
v = 20 p + r 500, p, r +
, 0 ≤ r 20.
El comprador dispone solo billetes de
veinte dólares. La cajera tiene únicamen-
te billetes de cinco dólares y tres billetes
de un dólar. ¿Es posible disponer de m
billetes de veinte dólares para el pago y
n billetes de cinco dólares para el vuelto
que arregle la compra del equipo? Mues-
tra las soluciones gráficamente.
a) Calculen las constantes t0
, a, α1
.
b) Calculen las constantes a1
, v0
, β1
, β2
, β3
y t1
.
Para el efecto, asuman que ( )= 400
2 0
s t m
y v t v
= .
0 0
( )
c) Escriban en forma explícita las funciones
S y V.
d) Muestren que V es creciente en [0, t0
]
y decreciente en [t0
, t1
]
Comentario. Se debe resolver una ecua-
ción de la forma 20m – 5n –3 = v, con
m, n Z+
, conocida como ecuación dio-
fantina (en honor al matemático Diofante).
En este problema se requieren conocimien-
tos del espacio vectorial 2
y subespacios
de 2,
de la ecuación vectorial y cartesiana
de una recta, la representación gráfica, así
como de la divisibilidad en Z. Es obvio que
se requieren propiedades algebraicas y de
orden en el conjunto .
Diversidad funcional
en el aula
Es importante que haya tiempo suficiente para
que realicen su trabajo personas que puedan
tener dificultades en su motricidad, deben tener
paciencia e incorporarlos al trabajo.
Trabajo colaborativo
4 Resuelvan. La distancia entre dos paradas
de buses es 800 m. Una unidad de trans-
porte público debe recorrer esta distancia
siguiendo dos criterios: acelerar en una
primera etapa y, luego, desacelerar.
Se buscan dos funciones S y V de las for-
mas siguientes:
s t
t si t t
t t t t s t t t t
α
β β β
( ) ( )
( )
( )
≤ ≤
− + − + ≤
=
, 0 ,
= ,
1
2
0
1 0 2 0
2
3 2 0 1
v t
at si t t
a t t v si t t
=
, 0 ,
, ,
0
1 0 0 0
( )
( )
≤ ≤
− +
v t
at si t t
a t t v si t t
=
, 0 ,
, ,
0
1 0 0 0
( )
( )
≤ ≤
− +
donde: v v t
m
s
0 =0, =10
0
( )
( ) y
s t m s t m
400 , 800
0 1
( ) ( )
= = , cuando
v(t1
) = 0.
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
m
s
t0 t1
400
800
0
s = α1t²
s = s2(t)
s
(m)
10
v
m
s
v1 = at
t0 t1
v1 = a1 (t–t0)–v0
t(s)
0
Archivo editorial, (2020).](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-40-320.jpg)
![157
5
6
7
Sea U2
. Prueba que –(–U) = U, y,
–(–(–U)) = –U.
Sean U, V, W2
. Demuestra las
siguientes igualdades:
Sea U 2
. Prueba que el opuesto
aditivo de U es único. Para el efecto,
asume que existe otro opuesto
distinto al opuesto de U y obtén una
contradicción.
8 Sean ( , ),
1 1 1
=
A a b ( , ),
2 2 2
=
A a b
( , ),
3 3 3
=
A a b ( , )
4 4 4
=
A a b cuatro
elementos de 2
. Demuestren que se
tienen las siguientes igualdades:
[ ( )]
1 2 3 4
+ + + =
A A A A
[( ) ]
1 2 3 4
+ + + =
A A A A ( + )+( + )
1 2 3 4
A A A A
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + + + +
a a a a b b b b
En vista de este resultado, se escribe
simplemente + + + ,
1 2 3 4
A A A A y
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + = + + + + + +
A A A A a a a a b b b b
( , ).
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
+ + + = + + + + + +
A A A A a a a a b b b b
9 Resuelvan en el cuaderno.
Sea N el conjunto de los números
naturales. Se denota con N2
al producto
cartesiano N × N. Esto es, N2
= {(m, n)|
m, n N}. En N2
, se define la igualdad
y la operación adición “” como sigue:
Igualdad. Sean (m, n), (p, q) N2
.
Entonces (m, n) = (p, q) m = p^n = q.
Adición “”. Sean (m, n), (p, q) N2
.
Se define (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q),
donde + es la operación adición en N.
Prueben que la operación adición
“” en N2
satisface las siguientes
propiedades: clausurativa, conmutativa,
asociativa, existencia de elemento
neutro. (N2
, ) no es grupo. La
operación “” en N2
es la operación “+”
en 2
, restringida al conjunto N2
2
.
10 Dados los vectores
( 3,1); (2, 2); (0,3)
= − = − =
A B C , obten-
gan el vector v u
λ λ λ λ
( ) ( )
= = =
3,1 3 ,
que se define en cada caso.
a) ( ) .
− − = − + = + −
U V W U V W U W V
b) ( ) .
− + + = − − −
U V W U V W
c) ( ( )) ( ).
− − − = − + − = − +
U V W U V W V U W
a) 2 .
= + +
u A B C b) 5
1
3
.
= − + +
u A B C
c) 3 10 20 .
= − − −
u A B C
d) 10 8 4 .
= − +
u A B C
Diversidad funcional
en el aula
Si una persona tiene discapacidad auditiva
o dificultades para escuchar, es necesario encon-
trar otras formas de comunicación, por ejemplo
escribir el mensaje, eso puede ayudar en las
actividades de esta sección.
Trabajo colaborativo
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.
Archivo editorial, (2020).](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-46-320.jpg)
![165
α β
γ
0
C
A
x
y
v
u √3
2
, 0
B =
En la Figura 3.26. se muestran el vector
A , el vector
B S y la recta S.
Obsérvese que el símbolo ha sido dibujado para indicar que el
vector
A y el conjunto S forman un ángulo recto en el punto O.
Ángulo entre dos vectores
Definición
Sean A B
, 2
∈ nonulos.Elángulo θ π
[ ]
∈ 0, entrelosvectores
A y
B
se define como θ =
⋅
A B
A B
cos( ) .
De la definición del ángulo entre los vectores
A y
B, se sigue que
⊥ ⋅
A B A B = 0
⇔
⊥ ⋅
A B A B = 0, con lo cual θ
cos( ) = 0, de donde θ
π
=
2
.
Por este motivo, dos vectores perpendiculares u ortogonales forman
un ángulo recto.
Ejercicio resuelto
Los vértices de un triángulo son los puntos ( )
= 0,0 ,
A ( )
= ,0 ,
3
2
B
( )
= , .
3
2
1
2
C Calcular las medidas de los ángulos interiores del triángu-
lo. En la Figura 3.27. se muestran los ángulos interiores del triángulo T.
Cálculo de α. Sean
,
u v los vectores que se definen a continuación:
u =B A=
3
2
,0 0,0
( )=
3
2
,0 ,
v =C A=
3
2
,
1
2
0,0
( )=
3
2
,
1
2
.
u = A B=
3
2
,0 , v =C B= 0,
1
2
.
Entonces, ⋅
u v =
3
4
,
u =
3
2
, v =1.
Luego,
α α
π
=
⋅
= = =
cos( )
3
4
3
2
3
2 6
.
u v
u v
Cálculo de β. Para el efecto, se definen los vectores
,
u v , como sigue:
u =B A=
3
2
,0 0,0
( )=
3
2
,0 ,
v =C A=
3
2
,
1
2
0,0
( )=
3
2
,
1
2
.
u = A B=
3
2
,0 , v =C B= 0,
1
2
.
Calculamos sus longitudes y el producto, y obtenemos
u =
3
2
, =
v
1
2
, u v = 0.
⋅
Por lo tanto,
,
u v son ortogonales y, en consecuencia,
β
⋅
→β
π
u v
u v
cos( )= = 0 =
2
.
⇒
β
⋅
→β
π
u v
u v
cos( )= = 0 =
2
.
Así,
6 2 3
,
γ π α β π
π π π
= − − = − − = .
Recuerda que…
El teorema de Pitágoras
enuncia que, en todo triángulo
rectángulo, la hipotenusa al
cuadrado es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
Este resultado es extendido al
espacio euclídeo 2
.
Teorema de Pitágoras
Sean A B
, 2
∈ .
Entonces, ⊥
A B si y solo si
+ = +
A B A B .
2 2 2
.
Recuerda que…
Ley de cosenos
Sean A B
, 2
∈ no nulos y
[ ]
θ∈ π
0, el ángulo que for-
man los vectores A B
y .
Como ⋅ θ
A B A B
= cos ,
resulta que
− + − θ
B A B A A B
= 2 cos .
2 2 2
–1 1
x
1
0
y
2 B
A
S
p Figura 3.26
p Figura 3.27.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-54-320.jpg)
![178
Ecuación vectorial de la recta
DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir
de dos puntos de la recta.
Definición. Sean 0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
un sistema de referencia ortogonal del
plano,
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
fijos con
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
. El conjunto L definido como
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
se llama recta que pasa por
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
y es paralela
a
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
. El vector
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
se llama vector director o vector generador de la
recta de L.
La ecuación
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
, se llama ecuación vectorial de la
recta L.
De la definición se sigue que L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
. Además, cada elemento de la
recta L es de la forma u + tv
para algún
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a
(
{
x t
( )= a,t
( )t .
, más aún, se tiene la
siguiente equivalencia:
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )=(
{
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
tal que .
su negación se escribe:
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
(
{
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
Los vectores
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
y
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
con t R, t 0, son colineales. En la Figura 4.1.
se muestran los vectores
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
v 0.
y el conjunto L; recta que pasa por
los extremos de
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
y
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
.
Ejercicio resuelto
Sean
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
y
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
. El subconjunto L de 2
queda definido
como sigue,
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
2
, y se denomina recta L
que pasa por (–2, 0) y es paralela al vector
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )=(
{
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
. Esta es una recta paralela
al eje Y.
Una ecuación vectorial de esta recta es:
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
, tR. Por ejemplo, para t = 0, se
tiene
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
, para t = 1, ( ) ( )
=
x
1, 1 –2,1
, para t = –2,
x
(–2) = (–2, –2). En la Figura 4.2. se muestra la recta L.
De manera más general, sea
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
= (a, 0) con a R,
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x
{
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
v 0.
L= u+tv t
{ }
x t
( )=u+tvt .
.
La recta que pasa por
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
y es paralela a
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
es el conjunto L definido como
{ } { }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= = + ∈ = = ∈
L x t a t t x t a t t
,0 0,1 ,
Una ecuación vectorial de esta recta está dada como x t
( )= a,t
( )t .
, t R.
Otra ecuación vectorial de la recta L está definida como sigue:
x t
( )= a,t
( )t .
(a, –2) + t(0, –1), t R.
Esta recta es paralela al eje Y. En la Figura 4.3. se muestra esta recta L.
Segmentos de recta
Sean
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
v 0.
L= u+tv t
{ }
R2
con
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
≠ 0. La recta L que pasa por
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
v 0.
L= u+tv t
{ }
y es paralela a
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
es el conjunto
L 2
t
x L t
x =u+tv
x L t
x u+tv
v
tv
u,v ,tv ,x
u = 2,0
( )yv = j = 0,1
( )
L= x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )t
{ }
j
x t
( )= 2,0
( )+t 0,1
( )= 2,t
( )
t
x 0
( )= 2,0
( )=u
t =1,x 1
( )= 2,1
( )
t = 2,x 2
( )= 2,2
( )
u = a,0
( )
a
a 0, v = j = 0,1
( )
L= x t
( )= a,0
( )+t 0,1
( )t
{ }= x t
( )= a,t
( )t
{ }.
x t
( )= a,t
( )t .
x t
( )= a, 2
( )+t 0,–1
( )t .
u ,v 2
v 0.
L= u+tv t
{ }
x t
( )=u+tvt .
. La ecuación vectorial viene defi-
nida como ( )= +
∈
x t u tv
t
, t R.
Saberes previos
¿Qué es un sistema de
referencia ortogonal del plano?
0
v
v
u
x
u
u
t
L
y
x x
y
j j
u
j
u
x(1)
L
x(–2)
–2 –1
–1
–2
0
j
+ t
y L
a x
0
u
v
v
v
y
x
W
x1
x0
L = u + W
[A, B]
(x, y)
b
y0
x0 a x
y
L
0
0
A
B 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
0
–1
–2
–3
A
B
x
y
[A, B]
p Figura 4.1.
u
x
y
j j
x(1)
L
x(–2)
–2 –1
–1
–2
0
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
0
–1
–2
–3
A
B
x
y
[A, B]
p Figura 4.2.
0
v
v
u
x
u
u
t
L
y
x x
y
j j
u
j
u
x(1)
L
x(–2)
–2 –1
–1
–2
0
j
+ t
y L
a x
0
u
v
y
x
W
x1
x0
L = u + W
[A, B]
0
A
B 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
0
–1
–2
–3
A
B
x
y
[A, B]
p Figura 4.3.
.
Recuerda la definición
Dados dos puntos
distintos A, B cualesquiera en
el plano, existe una y solo una
recta L que los contiene.
.
Desequilibrio cognitivo
¿Es posible determinar
las características cinemáticas de
una partícula en movimiento con
el uso de las ecuaciones vectoria-
les y paramétricas de la recta?](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-67-320.jpg)
![179
Sea t0
, t1
R, tal que t0
t1
. Ponemos
( )
( )
= = +
= = +
x x t u t v
x x t u t v
,
.
o
0 0
1
1 1
( )
( )
= = +
= = +
x x t u t v
x x t u t v
,
.
o
0 0
1 1 1
Al vector le asociamos el punto A y al vector , el punto B.
El segmento de recta de extremos los puntos A, B denotamos con
[A, B]. o también y es subconjunto de L definido como
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L= 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
La ecuación vectorial del segmento de recta [A, B] está definido
como:
( )
[ ]
= +
∈
x t u tv
t t t
, .
0 1
( )
[ ]
= +
∈
x t u tv
t t t
,
0 1
En la Figura 4.4. se muestran los vectores
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
,
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
, la recta L y el segmen-
to de recta [A, B].
Ejercicios resueltos
1) Sean
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L = 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
La ecuación
vectorial de la recta L está definida como
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L= 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
, t R.
Para
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L = 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
Para
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L = 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
A los vectores
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L= 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
les asociamos los puntos A y B. El segmento de
recta [A, B] está definido como el subconjunto de L siguiente:
AB= x0 ,x1
[ ]= A,B
[ ]= u+tv t t0 ,t1
[ ]
{ }.
x t
( )=u+tv
t t0 ,t1
[ ].
A,B
[ ].
L= 3,1
( )+t –1, 2
( )t
{ }, t0 =–2 y t1 =3.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t .
t0 =–2, x0 = x –2
( )= 3,1
( )–2 –1, 2
( )= 5, –3
( ).
t1 =3,x1
= x 3
( )= 3,1
( )+3 –1, 2
( )= 0, 7
( ).
x0 , x1
A,B
[ ]= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ]
{ }.
x t
( )= 3,1
( )+t –1,2
( )t –2,3
[ ].
La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como
( ) ( ) ( )
[ ]
= +
∈
x t t
t
3,1 –1,2
–2,3 .
( )
[ ]
= +
∈
x t u tv
t t t
,
0 1
,
En la Figura 4.5. se muestra el segmento [A, B].
2) Sean
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( ), t 0,1
[ ].
x 0
( )= uyx 1
( )=v , luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )| t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
x 0
( )= –2,–3
( )=u
t =1,x = 4,2
( )=v ,
u
v
u,v
[ ]= –2,–3
( )+t 6,5
( )| t 0,1
[ ]
{ }
x t
( )= –2,–3
( )+ 6,5
( ), t 0,1
[ ]
obtén la ecuación vectorial de la
recta que pasa por estos puntos.
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( ), t 0,1
[ ].
x 0
( )= uyx 1
( )=v , luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )| t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
x 0
( )= –2,–3
( )=u
t =1,x = 4,2
( )=v ,
u
v
u,v
[ ]= –2,–3
( )+t 6,5
( )| t 0,1
[ ]
{ }
x t
( )= –2,–3
( )+ 6,5
( ), t 0,1
[ ]
, t R.
Para t = 0, se tiene
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( )t 0,1
[ ].
x 0
( )=uyx 1
( )=v ,luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )/t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
x 0
( )= –2,–3
( )=u
t =1, x = 4,2
( )=v ,
u
v
u,v
[ ]= –2,–3
( )+t 6,5
( )/t 0,1
[ ]
{ }
y para
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( )t 0,1
[ ].
x 0
( )=uyx 1
( )=v ,luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )/t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
x 0
( )= –2,–3
( )=u
t =1, x = 4,2
( )=v ,
u
v
u,v
[ ]= –2,–3
( )+t 6,5
( )/t 0,1
[ ]
{ }
. Por
lo tanto, el segmento de recta que une los puntos
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
y
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
está defi-
nido como, el siguiente subconjunto de 2
:
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( )t 0,1
[ ].
x 0
( )=uyx 1
( )=v ,luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )/t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
x 0
( )= –2,–3
( )=u
t =1, x = 4,2
( )=v ,
u
v
u,v
[ ]= –2,–3
( )+t 6,5
( )/t 0,1
[ ]
{ }
La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como
( ) ( ) [ ]
+
= ∈
x t t
t
–2,–3 ( )
6, 5 , 0,1
.
De manera general, sean u, v , 2
u v
con
u, v , 2
u v, la ecuación vectorial
del segmento de recta que une los puntos
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
,
0, i , j
( )
u,v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv | t R
{ }
u
v
x
x t
( )=u+tv
t
está definida como
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( ), t 0,1
[ ].
x 0
( )= uyx 1
( )=v , luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )| t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t = –2,–3 +t 4,2 – –2,–3 = –2,–3 +t 6,5
. Nota que x 0
( )= u y x 1
( )=v, luego,
u,v 2
u v
u,v
x t
( )=u+t v –u
( ), t 0,1
[ ].
x 0
( )= uyx 1
( )=v , luego u,v
[ ]= u+t v –u
( )| t 0,1
[ ]
{ }.
u = –2,–3
( ),v = 4,2
( ),
x t
( )= –2,–3
( )+t 4,2
( )– –2,–3
( ) = –2,–3
( )+t 6,5
( )
Recuerda que…
Sean A, B dos puntos
distintos cualesquiera y
C
≅
2AB
≅
. Se dice que los tres
puntos A, B, C están alineados
o que son colineales.
u
j
u
j
+ t
y L
a x
0
u
v
v
v
y
x
W
x1
x0
L = u + W
[A, B]
(x, y)
b
y0
x0 a x
y
L
0
0
A
B
p Figura 4.4.
0
v
v
u
x
u
u
t
L
y
x x
y
j j
u
j
u
x(1)
L
x(–2)
–2 –1
–1
–2
0
j
+ t
y L
a x
0
u
v
v
v
y
x
W
x1
x0
L = u + W
[A, B]
(x, y)
b
y0
x0 a x
y
L
0
0
A
B 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
0
–1
–2
–3
A
B
x
y
[A, B]
p Figura 4.5.
t0 , t1
x0 = x t0
( )=u+tov ,x1= x t1
( )=u+t1v.
x0
x1
A,B
[ ]
AB
x0 , x1
[ ]
x0 = x t0
( )=u+tov ,x1= x t1
( )=u+t1v.
x0
x1
A,B
[ ]
AB
x0 , x1
[ ]
t0 , t1
x0 = x t0
( )=u+tov ,x1= x t1
( )=u+t1v.
x0
x1
A,B
[ ]
AB
x0 , x1
[ ]
x1
.
.
Recuerda que…
Para determinar la
ecuación vectorial de una recta,
es necesario conocer un punto
de la recta y un vector director
no nulo o dos puntos distintos
de la recta.
Dados el punto
u = –2,0
( ) y v = =
j 0,1
( ),
,
x = –2,0
( ) ( )
+t t
0,1
( )= –2,
t
( ) t
y el vector
u = –2,0
( ) y v = =
j 0,1
( ),
,
x = –2,0
( ) ( )
+t t
0,1
( )= –2,
t
( ) t
la ecuación vectorial de la recta
es
u = –2,0
( ) y v = =
j 0,1
( ),
,
x = –2,0
( ) ( )
+t t
0,1
( )= –2,
t
( ) t .
.
.
.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-68-320.jpg)
![180
DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir
de dos puntos de la recta.
Ecuación paramétrica de la recta
Sean u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
con
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
≠ 0 y L el subconjunto de 2
definido así:
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
.
Como se ha dicho en las páginas precedentes, este conjunto L repre-
senta una recta que pasa por
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
y es paralela al vector
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +
(
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
. Una ecuación
vectorial de L está dada por:
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
De la definición del subconjunto L de 2
, se tiene la siguiente equiva-
lencia:
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
, tal que
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
Ponemos
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
con
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
≠ 0, es decir que al menos un
componente es no nulo. De la equivalencia precedente se sigue que
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
tal que
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv, t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
tal que
El par de ecuaciones
x = x0 +ta
,
,
y = y0 +tb se llama ecuaciones paramétricas
de la recta L, donde t R se conoce como parámetro de las ecua-
ciones que definen L.
Como dijimos, v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
esto es, al menos uno de los compo-
nentes es no nulo. Supongamos que a ≠ 0. De la ecuación
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –m
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
se obtiene
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
Reemplazando en la ecuación
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
y y
obtenemos el resultado siguiente:
.
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
La ecuación definida como:
(x, y) R2
tal que
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
.
se llama ecuación cartesiana de la recta L que pasa por
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 y
x,y
( ) 2
y es paralela a
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 y
x,y
( ) 2
y– y0 = m x– x0
( )
El número real
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
m=
b
a
.
se llama pendiente de la recta y se lo representa con
m =
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
b
. La ecuación cartesiana de la recta L se expresa como
(x, y) R2
tal que y – y0
= m(x – x0
),
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
m=
b
a
.
y– y0 = m x– x0
( ),
y = y0 –
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
y = a+mx
x ,
a= y0 –mx0 .
v.
a= 0,
v = a,b
( )
,
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
m=
b
a
.
y– y0 = m x– x0
( ),
y = y0 –
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
y = a+mx
x ,
a= y0 –mx0 .
v.
a= 0,
v = a,b
( )
que a su vez se escribe con
y = a + mx, x R, con a = y0
– mx0
.
En la Figura 4.6. se muestra la recta L que pasa por (x0
, y0
) y es paralela
al vector
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
m=
b
a
.
y– y0 = m x– x0
( ),
y = y0 –
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
y = a+mx
x ,
a= y0 –mx0 .
v.
a= 0,
v = a,b
( )
En el caso en que a = 0 , como
b
a
m=
b
a
.
x,y
( ) 2
y– y0 =
b
a
= x– x0
( )
u = x0 ,y0
( )
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b
a
m=
b
a
.
, se tiene b ≠ 0.
En consecuencia, de las ecuaciones paramétricas de la recta L
se obtiene
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
y reemplazando en la ecuación
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x
(
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +m
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 y
se tiene la siguiente ecuación cartesiana de L:
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 , y .
x,y
( ) 2
0
v
v
u
x
u
u
t
L
y
x x
y
j j
u
j
u
x(1)
L
x(–2)
–2 –1
–1
–2
0
j
+ t
y L
a x
0
u
v
v
v
y
x
W
x1
x0
L = u + W
[A, B]
(x, y)
b
y0
x0 a x
y
L
0
0
A
B 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
0
–1
–2
–3
A
B
x
y
[A, B]
p Figura 4.6.
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
¿Cuál es la ecuación
general de la recta?
Saberes previos
Desequilibrio cognitivo
¿Por qué el estudio
de las ecuaciones cartesiana
y vectorial de la recta es
condición previa para el estudio
de derivadas?
Simbología matemática
El par de ecuaciones
u, v 2
v 0
L = x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
u, v 2
v 0
L= x t
( )=u+tv t
{ }
u
v
x t
( )=u+tv , t .
x = x,y
( ) L t
x =u+tv.
u = x0 ,y0
( ), v = a,b
( )
v 0,
x,y
( ) L t
x,y
( )= x0 + y0
( )+t a,b
( )= x0 +ta,y0 +tb
( )
x = x0 +ta,
y = y0 +tb,
t
se llaman ecuaciones paramé-
tricas de la recta L, donde la
variable t R se llama pará-
metro.
La ecuación definida como:
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
tal que
v = a,b
( ) 0,0
( ),
a 0.
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
x = x0 +ta= x0 ,
se llama ecuación cartesiana
de la recta L. También se expre-
sa como
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 y
x,y
( ) 2
y– y0 = m x– x0
( )
tal que
x = x0 +ta
t =
x– x0
a
.
y = y0 +tb,
y = y0 +
x x0
a
b y– y0 =
b
a
x– x0
( )
x,y
( ) 2
y– y0 =
a
b
x– x0
( ),
y– y0 =
bx0
a
+
b
a
x = y0 –mx0 +mx
x ,
y = a+mx
a= y0 –mx0 .
u = x0 ,y0
( )
v
a= 0,
v = a,b
( ) 0,0
( ).
b 0,
t =
y y0
b
.
.
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 +ta= x0 ,
x = x0 y
x,y
( ) 2
y– y0 = m x– x0
( )](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-69-320.jpg)
![207
La pista de un aeropuerto tiene una lon-
gitud de 3 000 m. Para despegar, debe
alcanzar una velocidad de al menos 280
km/h en los primeros segundos.
La función de posición viene dada por
S (t) = 2t + 0,95t2
+ 0,11t3
, t ∈ [0, 60]
medida en metros.
7
Trabajen en sus cuadernos.
Diversidad funcional
en el aula
Es importante recordar que las personas que
tienen dificultad al expresarse oralmente no
deben ser interrumpidas. Tampoco necesitan
que alguien más termine sus oraciones.
Trabajo colaborativo
En una pista larga y recta, un automóvil
parte del reposo. Su velocidad, en m/s,
está dada por:
6
V t
( )=
1
2
t
t
2
,
33,6–0,2 ,
a) Analicen si en 30 segundos alcanza el avión
la velocidad mínima requerida.
b) Calculen la distancia recorrida en 30 segun-
dos.
c) Calculen la aceleración que alcanza el avión
en 30 segundos.
d) Encuentren qué distancia ha recorrido y
qué velocidad tiene el avión en 40 segun-
dos.
e) Investiguen a qué distancia del extremo del
aeropuerto se encuentra el avión al minuto
de haber iniciado el despegue.
a) Calculala velocidad y la aceleración en t = 5 s.
¿Existe aceleración al instante t = 10 s?
si t 8,
si t 8.
Supón que S(t) = 0,2 t2
, t 0 medida en
metros, t1
=10 s y t2
= 20 s. Indica cuáles
de las proposiciones siguientes son ciertas.
3
Los registros de un atleta lo conducen a
establecer la siguiente función de posición
medida en metros: S(t) = 3,9t; t ≥ 0.
Un automóvil parte del reposo y recorre
la distancia medida en metros
S(t) = 0,4t2
en los 10 primeros segundos.
Luego mantiene la velocidad constante
durante los 100 segundos siguientes.
4
5
a) Determina t, tal que S(t) = 20 000 m.
a) Calcula la velocidad y la aceleración a los
10 segundos.
b) Calcula la distancia total recorrida.
b) Calcula la velocidad media para los tiem-
pos t = 1 000 y t = 1 500.
a) S(t2
) es el doble de S(t1
). _________
b) S(t2
) es cuatro veces S(t1
). ________
c) V(t2
) es cuatro veces V(t1
).________
d) V(t1
) es la mitad de V(t2
). ________
e) a(t2
) es el doble de a(t1
). ________](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-96-320.jpg)
![208
Solución de problemas
cotidianos
Problema 1. Conexión con la física
1. La altura de un proyectil, t segun-
dos después de haber sido
lanzado verticalmente hacia
arriba a partir del suelo con
una velocidad inicial v0
me-
tros por segundo, está dada
por la función de posición:
f (t) = v0
t – 5t2
, t ≥ 0.
a) Prueba que la velocidad media del proyectil duran-
te el intervalo de tiempo t a t + h es v0
– 10t – 5h
metros por segundo, h ≠ 0.
b) Prueba que la velocidad instantánea del proyec-
til en el instante t es v0
– 10t metros por segundo.
Demostración
a) Sea: h ≠ 0. De la definición de f se tiene
f (t) = v0
t – 5t2
,
f (t + h) = v0
(t + h) – 5(t +h)2
.
La velocidad media Vh
se define como:
=
f t+h
( )– f t
, h ≠ 0.
, h ≠ 0,
, h ≠ 0.
( )
h
=
vo t+h
( )–5 t+h
( )
2
– vot–5t2
( )
h
=
vot+voth–5t2
–10th–5h2
–v0t+5t2
h
=
voh–10th–5h2
h
=vo –10t–5h
Vh
Vh
Vh
Vh
Vh
.
,
Entonces
=
f t+h
( )– f t
, h ≠ 0.
, h ≠ 0,
, h ≠ 0.
( )
h
=
vo t+h
( )–5 t+h
( )
2
– vot–5t2
( )
h
=
vot+voth–5t2
–10th–5h2
–v0t+5t2
h
=
voh–10th–5h2
h
=vo –10t–5h
Vh
Vh
Vh
Vh
Vh
.
,
Así
=
f t+h
( )– f t
, h ≠ 0.
, h ≠ 0,
, h ≠ 0.
( )
h
=
vo t+h
( )–5 t+h
( )
2
– vot–5t2
( )
h
=
vot+voth–5t2
–10th–5h2
–v0t+5t2
h
=
voh–10th–5h2
h
=vo –10t–5h
Vh
Vh
Vh
Vh
Vh
.
,
=
f t+h
( )– f t
, h ≠ 0.
, h ≠ 0,
, h ≠ 0.
( )
h
=
vo t+h
( )–5 t+h
( )
2
– vot–5t2
( )
h
=
vot+voth–5t2
–10th–5h2
–v0t+5t2
h
=
voh–10th–5h2
h
=vo –10t–5h
Vh
Vh
Vh
Vh
Vh
.
,
Se verifica la afirmación del literal a.
b) Tomamos valores de |h| cada vez más pequeños,
en la velocidad media:
=vo –10t
lím
lím
–5h,
= (vo–10t–5h).
=vo –10t.
216
km
h
Vh
0
h
Vh
V
Se obtiene
=vo –10t
lím
lím
–5h,
= (vo–10t–5h).
=vo –10t.
216
km
h
Vh
0
h
Vh
V
Se verifica el enunciado del literal b.
Nota que v =
df
dt
(t).
Tomado de:
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/DESARRO-
LLO_DE_LA_DERIVADA_SIN_LA%20NOCION_DEL_LIMTE.pdf
Sigue estos pasos de experimentación, modela-
ción, interpretación y generalización para resolver los
siguientes problemas.
Problema 2. Conexión con economía
Encuentra cuánto costará producir 500 cajas de
banano en un mes, si la función de costo C (x) es igual
a C (x) = 3x + 0,004x2
+ c.
Problema 3. Conexión con transporte
La pista de un aeropuerto tiene una longitud de
3 000 m. Un avión de carga debe alcanzar una veloci-
dad mínima de
=vo –10t
lím
lím
–5h,
= (vo–10t–5h).
=vo –10t.
216
km
h
Vh
0
h
Vh
V
. La función de posición está
dada por:
S(t) = 0,05t + 0,2t2
+ 0,008t3
, t [0, 60] , medida en
metros.
a) Calcula el tiempo t en el que el avión alcanza la
velocidad de
=vo –10t
lím
lím
–5h,
= (vo–10t–5h).
=vo –10t.
216
km
h
Vh
0
h
Vh
V
.
b) Calcula la distancia recorrida en ese tiempo y su
aceleración.
c) Calcula la distancia recorrida, la velocidad y ace-
leración alcanzada al instante t = 60 s.
Problema 4. Conexión con física
Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra, des-
pués de t segundos, su altura es h = 19,6t – 4,9t2
metros. Halla:
a) La velocidad inicial.
b) La velocidad después de 0,5; 1 y 2 segundos.
c) El tiempo de subida.
d) La altura máxima que alcanza la piedra.
e) La aceleración después de 1 segundo.
Grafica h en función del tiempo hasta el tiempo de
retorno.
Practica en tu cuaderno
Shutterstock,
(2020).
253434385
=
f t+h
( )– f t
, h ≠ 0.
, h ≠ 0,
, h ≠ 0.
( )
h
=
vo t+h
( )–5 t+h
( )
2
– vot–5t2
( )
h
=
vot+voth–5t2
–10th–5h2
–v0t+5t2
h
=
voh–10th–5h2
h
=vo –10t–5h
Vh
Vh
Vh
Vh
Vh
.
,
p Bala recubierta de cobre.
Shutterstock,
(2020).
77971306
p Pista de aeropuerto.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-97-320.jpg)
![212
Desafíos y proyectos matemáticos
Tema:Maximización
de costos y derivadas
Shutterstock,
(2020).
83105218
Objetivos
• Comprender los concep-
tos básicos del cálculo
diferencial.
• Iniciarse de manera natu-
ral en el manejo de deri-
vadas y darse cuenta de la
necesidad de usarlas para
encontrar la solución de
problemas reales.
• Valorar la utilidad de sus
conocimientos sobre de-
rivadas, y encontrar usos
adecuados en situaciones
de la vida real.
Justificación
La importancia del estudio de las derivadas radica en la posibilidad de
resolver situaciones en diversos ámbitos. Por ejemplo, en economía, en
temas como costos, consumo, demanda, utilidad, ahorro o maximiza-
ción de la producción.
Actividades
• Formarequiposdetrabajo,connomásdetresestudiantesporgrupo.
• Analizar el problema planteado como modelo, y proponer una
situación similar
Recursos
Modelo de problema resuelto
La gerente comercial de una empresa editorial estima que si el precio
de un libro es de $ 20, vende 10 000 ejemplares. Por cada dólar que se
incremente el precio, las ventas disminuyen en 400 ejemplares. ¿Qué
precio deberá fijar a cada libro, de manera que el ingreso para la em-
presa por la venta de estos libros sea el máximo? ¿Cuál es el valor de
dicho ingreso?
Solución: Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el nú-
mero de ejemplares vendidos.
L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso.
Si x representa el número de dólares que se incrementa el precio
de cada ejemplar, entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y
10 000 – 4 000x es el nuevo número de ejemplares vendidos.
La función que representa el ingreso en términos del número de dó-
lares en que se aumenta el precio del libro es:
L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x).
Esta función I(x), recibe el nombre de función objetivo porque es la
función que se requiere optimizar. La derivada de la función I(x) es:
L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x),
L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x,
L´(x) = –8 00x + 2 000,
L´(x) = 0 ⇒ 800 x = 2 000,
x =
2000
800
;x =2,5 .
Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe
incrementar el precio del libro para obtener el ingreso máximo.
De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $ 2,5, se
obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se susti-
tuye x en la función L(x).
L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)]
L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000)
L (2,5) = 202 500,00
Este valor representa el máximo ingreso.
Adaptado de http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.html
Conclusiones
Es importante recuperar la importancia de realizar cálculos reales
cuando se trata de emprender una empresa.
p Textos de investigación.
Glosario
optimizar. Buscar la
mejor manera de realizar una
actividad.
a
cb](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-101-320.jpg)
![220
Designamos con 0, al ángulo que forman estos dos vec-
tores. Sea P = (x, y) R2
un punto cualquiera de la bisectriz R. En la
Figura 5.5. se muestran las dos rectas R A C C tA t
t
P t
R B D D tB t
( , )= | ,
( )
( , )= ,| ,
1
2
{ }
{ }
+ ∈
∈
∈
+ ∈
y
R A C C tA t
t
P t
R B D D tB t
( , )= | ,
( )
( , )= ,| ,
1
2
{ }
{ }
+ ∈
∈
∈
+ ∈
y los puntos
seleccionados M y N , así como el punto P en la bisectriz R.
Los ángulos 1
y 2
formados por los vectores QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
, así como
por
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
, son congruentes. Esto es,
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
, con lo que
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
entonces,
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
. En la Figura
5.6. se exhiben los ángulos congruentes que forman los tres vectores
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
,
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
, y su medida común
QP y QM
QP y QN
MQP PQN
m MQP m PQN
α α
α α
α
( ) ( )
≅
= , = ,
= =
2
.
1 2
1 2
.
De la definición del ángulo que forman dos vectores, se sigue
QP QM
QP QM
QP QN
QP QN
cos = , cos =
1 2
.
α α
( ) ( )
⋅ ⋅
Luego,
QP QM
QP QM
QP QN
QP QN
α α
( ) ( ) ⋅ ⋅
cos = cos = .
1 2
De esta última igualdad, se simplifica QP
≠ 0, con lo que se obtiene
= , = 0.
⋅ ⋅
⋅ −
QP QM
QM
QP QN
QN
QP
QM
QM
QN
QN
y de esta se deduce la siguiente ecuación:
= , = 0.
⋅ ⋅
⋅ −
QP QM
QM
QP QN
QN
QP
QM
QM
QN
QN
Puesto que QP P Q
−
= ,
resulta
Q
0 M
R1
R2
N
P
R
y
x
p Figura 5.5.
a
2
a
2
0
Q
QM
QP
QN
N
y
x
p Figura 5.6.
= 0 =
, = , .
γ β
( )
( ) ( )
− ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅ − ⋅ −
P Q
QM
QM
QN
QN
P
QM
QM
QN
QN
Q
QM
QM
QN
QN
x y
QM
QM
QN
QN
QM
QM
QN
QN
⇔
⇔
Esta última igualdad define la ecuación cartesiana de la bisectriz R del
ángulo [0, π], formado por las rectas R A C C tA t
t
P t
( , )= | ,
( )
1
{ }
+ ∈
∈
∈
y
R A C C tA t
t
P t
R B D D tB t
( , )= | ,
( )
( , )= ,| ,
1
2
{ }
{ }
+ ∈
∈
∈
+ ∈
.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-109-320.jpg)
![222
La ecuación cartesiana de la bisectriz está definida como sigue:
x y x y
QM
QM
QN
QN
QM
QM
QN
QN
( , ) tal que ( , ) =( , ) .
2
∈ ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟ γ β ⋅ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
R
Tenemos los siguientes resultados:
= =(0, 1)
18
7
,
16
7
=
18
7
,
9
7
,
=
18
7
9
7
=
9 5
7
,
= =(0,2)
18
7
,
16
7
=
18
7
,
30
7
,
=
18
7
30
7
=
6 34
7
,
2 2
2 2
QM M Q
QM
QN N Q
QN
− − − − −
− +
− − − −
+
QM
QM
QN
QN
x y
x y
=
7
9 5
18
7
,
9
7
7
6 34
18
7
,
30
7
=
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
.
( , )
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
=
18
7
,
16
7
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
,
2 5
5
3 34
34
5
5
5 34
34
=
52
35
5
67
119
34.
− − − − − + −
⋅ − + − − ⋅ − + −
− + + − − +
QM
QM
QN
QN
x y
x y
=
7
9 5
18
7
,
9
7
7
6 34
18
7
,
30
7
=
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
.
( , )
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
=
18
7
,
16
7
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
,
2 5
5
3 34
34
5
5
5 34
34
=
52
35
5
67
119
34.
− − − − − + −
⋅ − + − − ⋅ − + −
− + + − − +
Reemplazando en la ecuación cartesiana de la bisectriz, se obtiene
QM
QM
QN
QN
x y
x y
=
7
9 5
18
7
,
9
7
7
6 34
18
7
,
30
7
=
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
( , )
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
=
18
7
,
16
7
2 5
5
3 34
34
,
5
5
5 34
34
2 5
5
3 34
34
5
5
5 34
34
=
52
35
5
67
119
34.
− − − − − + −
⋅ − + − − ⋅ − + −
− + + − − +
en donde
Archivo
editorial,
(2020).
Geogebra
Conexiones con las TIC
Existen softwares libres,
como, por ejemplo, GeoGebra,
que permiten el cálculo de las
bisectrices de un ángulo.
Ejercicio resuelto 3
Sean R1
, R2
dos rectas definidas como
= ( , ) | 2 2 = 0 , = ( , ) |5 3 6 = 0 .
1
2
2
2
R x y x y R x y x y
{ } { }
∈ + + ∈ + −
= ( , ) | 2 2 = 0 , = ( , ) |5 3 6 = 0 .
1
2
2
2
R x y x y R x y x y
{ } { }
∈ + + ∈ + −
Estas dos rectas se cortan en el punto, que es solución del sistema de
ecuaciones
2 2 = 0,
5 3 6 = 0.
x y
x y
+ +
+ −
Así, obtenemos =(
18
7
,
16
7
) =( , )
Q
− γ β
=(
18
7
,
16
7
) =( , )
Q
− γ β
=(
18
7
,
16
7
) =( , )
Q
− γ β .
Para x = 0, reemplazando en la ecuación de la recta R1
, obtenemos
y = –1 y, reemplazando en la ecuación de la recta R2
, resulta y = 2. Así,
M R N R
[ ]
− ∈ ∈
α ∈ π
=(0, 1) , =(0,2) .
0,
1 2
Consideramos el ángulo
M R N R
[ ]
− ∈ ∈
α ∈ π
=(0, 1) , =(0,2) .
0,
1 2
que forman estas dos rectas. En
la Figura 5.8. se muestran las rectas R1
, R2
, la bisectriz y los vectores
y .
QM QN
1 2
3
2
1
0
–1
–2 Q
N
QN
QM
M
18
7
16
7
–
R
R1
R2
y
x
p Figura 5.8.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-111-320.jpg)
![226
A + B
A – B
A – B
A
B
–B
–B
B
A
0 x
y
p Figura 5.12.
Sean A B
A B A B A B
A B A B A B
A A A B B B
A A B B
A B A B A B
A A B B
A B A B A B
,
=2 .
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) ,
=( ) ( )
= 2( ) ,
=2 .
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
R
∈
+ + − +
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ +
− − ⋅ −
− ⋅ +
+ + − +
. En la Figura 5.12. se muestran los vectores
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
,
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
y los
vectores A B
A B
+
−
y
A B
A B
+
− que forman las diagonales del paralelogramo.
También se muestran los vectores
A B
A B
+
− y
A B
A B
+
− .
Un resultado muy conocido de la geometría plana es el famoso teorema
de Pitágoras que se enuncia como sigue: en todo triángulo rectángulo,
la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo R2
.
Teorema de Pitágoras
Sean A B
A B A B A B
A B A B A B
A A A B B B
A A B B
A B A B A B
A A B B
A B A B A B
,
=2 .
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) ,
=( ) ( )
= 2( ) ,
=2 .
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
R
∈
+ + − +
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ +
− − ⋅ −
− ⋅ +
+ + − +
. Entonces,
= .
2 2 2
A B
A B A B
⊥
+ +
si y solo si
= .
2 2 2
A B
A B A B
⊥
+ +
Demostración. Debemos probar una equivalencia.
) Supongamos que
= .
2 2 2
A B
A B A B
⊥
+ +
. Por la definición de vectores perpen-
diculares, se tiene
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
. Luego, de la definición de norma y de las
propiedades del producto escalar, se deduce
=( ) ( )
= 2 = .
2
2 2
A B A B A B
A A A B B B A B
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅ +
) Recíprocamente, sean A B
A B A B A B
A B A B A B
A A A B B B
A A B B
A B A B A B
A A B B
A B A B A B
,
=2 .
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) ,
=( ) ( )
= 2( ) ,
=2 .
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
R
∈
+ + − +
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ +
− − ⋅ −
− ⋅ +
+ + − +
, tal que =( ) ( )
= 2 = .
2
2 2
A B A B A B
A A A B B B A B
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅ +
=( ) ( )
= 2 = .
2
2 2
A B A B A B
A A A B B B A B
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅ + .
Nuevamente, de la definición de norma y de las propiedades del pro-
ducto escalar, se obtiene
= 2 .
= 2 = .
2 2 2
2 2 2 2 2
+ + ⋅ +
+ + ⋅ + +
A B A A B B
A B A A B B A B
De esta igualdad y por la hipótesis, resulta que
= 2 .
= 2 = .
2 2 2
2 2 2 2 2
+ + ⋅ +
+ + ⋅ + +
A B A A B B
A B A A B B A B
Por la ley cancelativa de la adición (cancelando
=( ) ( )
= 2 = .
2
2 2
A B A B A B
A A A B B B A B
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅ + ), se sigue
que
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
con lo cual
= .
2 2 2
A B
A B A B
⊥
+ +
.
Ley de los cosenos
Teorema
Sean A B
A B A B A B
A B A B A B
A A A B B B
A A B B
A B A B A B
A A B B
A B A B A B
,
=2 .
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) ,
=( ) ( )
= 2( ) ,
=2 .
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
R
∈
+ + − +
+ + ⋅ +
⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ +
− − ⋅ −
− ⋅ +
+ + − +
no nulos y 0,
[ ]
θ ∈ π el ángulo que forman los vec-
tores
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
y
B
A B
A
B
A
A B
A B
B B
B
.
. =0
,
=0.
. =0,
=
=0
=0
2
2
2
∈
∈
∈
⋅
. Entonces,
= 2 cos( ).
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) .
2 2 2
2
2 2
− + − θ
− − ⋅ −
⋅ − ⋅ + ⋅
− ⋅ +
B A B A A B
B A B A B A
B B A B A A
B A B A
Demostración. De la definición del producto escalar, se tiene
= 2 cos( ).
=( ) ( )
= 2( )
= 2( ) .
2 2 2
2
2 2
− + − θ
− − ⋅ −
⋅ − ⋅ + ⋅
− ⋅ +
B A B A A B
B A B A B A
B B A B A A
B A B A
p Sismo provincia de Manabí 2016.
Sismo
Manabí,
(2020).
www.flirckagenciaandes_ec
Interdisciplinariedad
Los geólogos usan el
teorema de Pitágoras cuando
se rastrea la actividad de un
terremoto. Los terremotos
tienen dos tipos de ondas: una
que es más lenta que la otra.
Al triangular la distancia recorri-
da por la onda más rápida con
la correspondiente a la onda
más lenta, los geólogos pueden
determinar el centro o la fuente
del terremoto.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-115-320.jpg)
![231
Ejercicios resueltos
1. Consideremos el polinomio P definido como P(t) = 50, tR.
Se tiene que P es un polinomio de grado 0.
El único coeficiente no nulo de P(t) es a0
= 50.
Calculemos algunos valores de P(t) para tR. Así,
P(0) = 50,
P(10) = 50,
P(1 000) = 50.
2. Sea Q el polinomio definido como Q(t) = 3 + 8t, tR. Resulta
que Q es un polinomio de grado 1.
Los coeficientes de Q(t) son a0
= 3, a1
= 8.
Calculemos algunos valores Q(t) para tR.
Q(0) = 3 + 8 × 0 = 3,
Q(8) = 3 + 8 × 8 = 67,
Q(50) = 3 + 8 × 50 = 403.
3. El polinomio R(t) =15t + 208t2
, tR es un polinomio de grado 2.
Sus coeficientes son a0
= 0, a1
=15, a2
= 208.
Utilicemos el esquema de Hörner para calcular algunos va-
lores de R(t) con t R. Tenemos R(t) = t(15 + 208t). Luego,
R(1) = 1 × (15 + 208 × 1) = 223,
R(20) = 20 × (15 + 208 × 20) = 20 × (15 + 4 160) = 20 × 4 175 = 83 500.
4. Dado P(t) = 3 + 2t – 8t2
– 7t3
, tR, observamos que este es un
polinomio de grado 3, ordenado de forma creciente con respecto
de las potencias de t.
Mediante el esquema de Hörner, la escritura de P(t) es
P(t) = 3 + t(2 + t(–8 – 7t)). Calculemos algunos valores de P(t):
P(0) = 3 + 0(2 + 0(–8 – 7 × 0)) = 3,
P(–2) = 3 + (–2)(2 + (–2)(–8 – 7(–2))) =23,
P(–10) = 3 + (–10)(2 + (–10)(–8 –7(–10))) = 6 183,
P(5) = 3 + 5(2 + 5(–8 – 7 × 5)) = – 1 062.
5. Consideremos el polinomio P(t) siguiente: P(t) = 1 + 2t + 5t2
+ 4t3
+
7t4
, tR. Escribamos P(t) en la forma del esquema de Hörner:
P(t) =1 + t(2 + t(5 + t(4 + 7t))), tR.
Por ejemplo, para t =10 , tenemos
P(10)=1+10(2+10(5+10(4+7×10)))=1+10(2+10(5+10×74))
=1 + 10(2 + 10 × 745) =1 + 10 × 745 274 521 = 74 521.
Obsérvese que el cálculo de P(10) se inicia desde el paréntesis más
interno hacia los más externos.
6. Sea P el polinomio definido como P(x) = x2
+ x4
+ x5
+ x6
, xR.
Apliquemos el esquema de Hörner. Entonces tenemos
P(x)=x2
+x4
+x5
+x6
=x2
+x4
(1+x(1+x))=x2
(1+x2
(1+x(1+x))), xR.
Calculemos P(2) y P(5) usando este esquema. De esta manera,
tenemos
P(2) = 22
(1 + 22
(1 + 2(1 + 2))) = 22
(1 + 22
(1 + 2 × 3)) =
22
(1 + 4 × 7) = 4 × 29 = 116,
P(5) = 52
(1 + 52
(1 + 5(1 + 5))) = 52
(1 + 52
(1 + 30)) = 52
(1 + 25 × 31)
= 25 × 776 = 19 400.
Recuerda que…
Al conjunto constituido
por todos los polinomios en
con coeficientes en lo deno-
tamos con [ ]
k R .
Asumiremos que cada elemen-
to está ordenado de forma
creciente o decreciente con
respecto de las potencias de t
de la variable, en nuestro caso t.
El polinomio P se dice de grado
1 si grad(P) = 1, de grado 2 si
grad (P) = 2, de tercer grado si n
= 3, y así sucesivamente.
Conexiones con las TIC
Para efectuar cálculo
de operaciones combinadas
donde existen varios signos de
agrupación, puedes emplear
una calculadora científica.
Shutterstock,
(2020).
73329937
p Calculadora científica.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-120-320.jpg)
![232
Igualdad de polinomios
Definición
Sean P, Q [ ]
k R ] con
P t a a t a t
Q t b b t b t
t
n
n
m
m
,
,
.
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+
= + +⋅⋅⋅+
∀ ∈
P t a a t a t
Q t b b t b t
t
n
n
m
m
,
,
.
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+
= + +⋅⋅⋅+
∀ ∈
Diremos que P = Q si y solo si grad(P) = grad(Q) = m = n; y, ai
= bi
,
i = 0,1, ..., n.
Un polinomio queda perfectamente bien definido si se conocen sus
coeficientes a0
, a1
, ..., an
R.
Operaciones con polinomios
En el conjunto [ ]
k R definiremos dos operaciones internas: adición
y producto.
Adición
Sean a, b, k, tR. Los monomios atk
y btk
son semejantes. Su suma es
atk
+ btk
= (a + b)tk
.
Consideremos los polinomios en R con coeficientes en R siguientes,
escritos en forma creciente con relación a las potencias de t:
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
m
m
n
n
, ,
, .
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
Definiremos la suma de los polinomios P(t) y Q(t). Para el efecto, con-
sideramos dos casos.
Caso I. Si m = n. La suma de P(t) con Q(t) se define en la forma habi-
tual de funciones reales como:
(P + Q)(t) = P(t) + Q(t),
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
m
m
n
n
, ,
, .
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
donde
(P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = a0
+ b0
+ (a1
+ b1
)t + ... +(an
+ bn
)tn
,
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
m
m
n
n
, ,
, .
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
Nótese que la suma de polinomios se la hace para cada punto tR.
Caso II. Si m n. Podemos asumir que los coeficientes del polinomio
Q(t) de los términos de mayor grado que n hasta m inclusive son
nulos, es decir que bn+1
= 0, bn+2
= 0, ..., bm
= 0. Entonces,
Q(t) = b0
+ b1
t + ... + bn
tn
+ 0tn+1
+ ... + 0tn
,
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
m
m
n
n
, ,
, .
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
La suma de los polinomios P(t) y Q(t) se realiza del mismo modo que
en el caso I.
Ejercicios resueltos
1. Sean P, Q los polinomios siguientes:
P t t t t
Q t t t t
P t t t t t
Q t t t t t
2–5 8 , ,
–5 7 , .
2–5 8 0 0
–5 0 7 0 .
2
2 4
2 3 4
2 3 4
( )
( )
( )
( )
= + ∀ ∈
= + + ∀ ∈
= + + +
= + + + +
Entonces,
(P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = –3 – 5t + 15t2
+ t4
,
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
m
m
n
n
, ,
, .
0 1
0 1
( )
( )
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
= + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈
Recuerda la definición
Teorema
Hay que tener presente que si
P es un polinomio de grado
≤ n, para cada tR, P(t)R,
las operaciones de adición,
producto y producto por esca-
lares de polinomios heredan las
propiedades de la adición y del
producto en R.
El conjunto de polinomios con
coeficiente real y con la opera-
ción adición es un grupo abelia-
no, es decir que se verifican las
propiedades siguientes:
1. Conmutativa: para todo
P, Q polinomios con coefi-
ciente real,
P + Q = Q + P.
2. Asociativa: para todo
P, Q, R polinomios con coe-
ficiente real,
P + (Q + R) = (P + Q) + R.
3. Existencia de un elemento
neutro (polinomio nulo):
existe 0 elemento de los
polinomios con coeficiente
real, tal que para todo P
P + 0 = 0 + P = P.
4. Existencia de opuestos
aditivos: para todo
P elemento de los polino-
mios con coeficiente real,
existe Q elemento de los
polinomios con coeficiente
real, tal que P + Q = 0.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-121-320.jpg)
![236
Multiplicación de polinomios
DCCD: M.5.1.39. Realizar operaciones de multiplicación, entre funciones polinomiales, y multiplicación de números reales por polinomios, en ejercicios
algebraicos de simplificación.
Producto
Sean a, b, n, m, tR. Utilizando las propiedades del producto de nú-
meros reales, así como la potenciación de números reales con expo-
nentes naturales, el producto de los monomios atn
y btm
nos da el
resultado siguiente:
at bt abt t abt
n m n m n m
( )( ) = = .
+
Sean P, Q [ ]
k R . Pongamos
= , ,
= , .
0 1
0 1
( )
( )
+ + + ∈
+ + + ∈
P t a a t a t t
Q t b b t b t t
n
n
m
m
Sean j, k N y t R. Entonces, tj
tk
= tj+k
. La multiplicación de P con
Q se denota con PQ y se define como sigue:
PQ t P t Q t a a t a t b b t b t
a b a b a b t a b a b t a b t
n
n
m
m
n m n m
m n
n m
m n
( )( ) = ( ) ( ) =
= .
0 1 0 1
0 0 1 0 0 1 1 1
1
( )( )
( ) ( ) ( )
× + + + + + +
+ + + + + +
− −
+ − +
Nótese que el producto de dos polinomios es otro polinomio, es de-
cir que si P, Q [ ]
k R , entonces, P, Q [ ]
k R . Además, si grad (P) = m
y grad (Q) = n, entonces, grad (PQ) = m + n.
Se define la operación producto “.” en [ ]
k R como la función a cada
par de polinomios P, Q de [ ]
k R le asigna un único polinomio P . Q
antes definido:
Potencia de polinomios
Sea P [ ]
k R . Las potencias P0
, P1
, P2
, ... se definen a continuación.
Para todo t R,
(P0
)(t) = 1 si P(t) ≠ 0,
(P1
)(t) = P(t),
(P2
)(t) = P(t) × P(t),
(P3
)(t) = P(t)2 × P(t).
En general, si k N, para todo t R, (Pk+1
)(t) = (Pk
)(t)P(t).
Ejemplos
1. Sea P el polinomio definido por P(t) = 8t6
– 7t4
, t R. Entonces,
P1
(t) = P(t) = t4
(8t2
– 7),
P2
(t) = P(t) P(t) = [t4
(8t2
– 7)]2
= t8
(8t2
– 7)2
= 64t12
– 112t10
+ 49t8
,
P3
(t) = (P2
)(t)P(t) = t8
(8t2
– 7)2
[t4
(8t2
– 7)] = t12
(8t2
– 7)3
= 512t18
+ 1 344t16
+ 1 176t14
+ 343t12
.
Saberes previos
¿Qué es un polinomio de
grado menor o igual que n?
Desequilibrio cognitivo
¿Cuál es la relación entre
la multiplicación y la potencia-
ción?
Recuerda que…
El producto de polino-
mios satisface las propieda-
des siguientes:
i. Conmutativa: para todo
P, Q k R], PQ = QP.
ii. Asociativa: para todo
P, Q , R k R], P(QR) = (PQ)R.
iii. Existencia del elemento
unidad: existe 1 [ ]
k R ,
tal que para todo P [ ]
k R ,
1P = P.
iv. Distributiva: para todo
P, Q [ ]
k R ,
P(Q + R) = PQ + PR.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-125-320.jpg)
![237
Recuerda que…
Teorema
Sean P, Q k[R] y a, b R.
Se verifican las propiedades
siguientes:
i. (ab)P = a(bP) =
= b(aP) = abP.
ii. a(P + Q) = aP + aQ.
iii. (a + b)P = aP + bP.
iv. 1.P = P (1R).
v. (–1)P = – P.
Las operaciones de adición
y producto en R están relacio-
nadas mediante la propiedad
distributiva.
El conjunto [ ]
k R en el que
se ha definido la operación de
adición con la que
( [ ]
k R , +) es grupo conmuta-
tivo (página 232) y el producto
de números reales por polino-
mios de [ ]
k R que verifica las
propiedades indicadas arriba,
en el teorema, tiene estruc-
tura de espacio vectorial real,
llamadas espacio vectorial real
de polinomios.
Producto de números reales por polinomios
Sean a R, P [ ]
k R , el polinomio
P(t) = a0
+ a1
t + ... + an
tn
, tR.
El producto de a por P se nota aP y se define del modo siguiente:
para todo t R,
(aP)(t) = aP(t) = aa0
+ aa1
t + ... + aan
tn
.
Nótese que si a R y P [ ]
k R , aP [ ]
k R .
Ejercicios resueltos
1. Si a = –8 y P = 2 – 3t + 8t2
, tR, el polinomio aP está definido
por: (–8P)(t) = –8(2–3t + 8t2
) = – 16 + 24t – 64t2
.
2. Sean P, Q los polinomios siguientes:
P(t) = 2–4t + 8t2
, Q(t) = –9 + 4t – 2t3
.
Calcula (5P – 3Q)(1).
Solución
Determinemos los polinomios 5P, –3Q y 5P – 3Q. A este último lo
escribimos usando el esquema de Hörner. Así, tenemos
( )( ) ( ) ( ) ,
40
20
10
=
8
4
2
5
=
5
=
5 2
2
t
t
t
t
t
P
t
P +
+
( )( ) ( ) ( ) .
6
12
27
=
2
4
9
3
=
3
=
3 3
3
t
t
t
t
t
Q
t
Q +
+
( )( ) ( )
( ).
6
40
32
37
=
6
40
32
37
=
6
12
27
40
20
10
=
3
5
3
2
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Q
P +
+
+
+
+
+
+
+
– –
– – –
–
–
– – – – –
–
Luego,
,
40 2
t
+
.
6
12 3
t
t +
( )
( ).
6
40
32
37
=
6
40
32
3
2
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
–
–
( )( ) ( ) ( ) ,
40
20
10
=
8
4
2
5
=
5
=
5 2
2
t
t
t
t
t
P
t
P +
+
( )( ) ( ) ( ) .
6
12
27
=
2
4
9
3
=
3
=
3 3
3
t
t
t
t
t
Q
t
Q +
+
( )( ) ( )
( ).
6
40
32
37
=
6
40
32
37
=
6
12
27
40
20
10
=
3
5
3
2
3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Q
P +
+
+
+
+
+
+
+
– –
– – –
–
–
– – – – –
–
Para t = 1, se tiene
( )( ) ( )
( ) 51.
=
6
40
1
32
1
37
=
1
3
5 +
+
+
Q
P
( ) 6,
=
1
P ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21,
=
1
3
=
1
3
30,
=
1
5
=
1
5
7,
=
1 Q
Q
P
P
Q
( ) ( ) ( )( ).
1
3
5
=
51
=
21
30
=
1
3
1
5 Q
P
Q
P +
–
–
–
– –
–
–
Nótese que
( )( ) ( )
( ) 51.
=
6
40
1
32
1
37
=
1
3
5 +
+
+
Q
P
( ) 6,
=
1
P ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21,
=
1
3
=
1
3
30,
=
1
5
=
1
5
7,
=
1 Q
Q
P
P
Q
( ) ( ) ( )( ).
1
3
5
=
51
=
21
30
=
1
3
1
5 Q
P
Q
P +
–
–
–
– –
–
–
3. Sean P, Q los polinomios ( ) ( ) .
2
3
2
=
,
3
2
=
2
t
t
t
Q
t
t
P +
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
–
–
Verificar que
( ) ( ) .
2
3
2
=
,
3
2
=
2
t
t
t
Q
t
t
P +
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
–
–
Solución
Calculemos (P + Q)2
con tR. Tenemos
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]2
2
=
=
= t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
P
t
Q
P
t
Q
P +
+
+
+
+
+
( ) ( ) .
.
4
=
2
=
2
3
2
3
2
= 4
2
2
2
2
t
t
t
t
t +
+
+
( ) ( ) .
4
=
4
2
t
t
Q
P +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
Q
t
Q
t
P
t
P
t
Q
PQ
P
2
2
2
2
2
=
2 +
+
+
+
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
= t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
( )
3
2
2
2
3
2
4
2
6
9
6
4
6
4
2
12
9
4
12
8
12
4
9
4
= t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) ( )( ),
2
=
4
=
2
2
4
2
t
Q
PQ
P
t
4
=
4
t
t
Q
P +
+
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
Así,
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]2
2
=
=
= t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
P
t
Q
P
t
Q
P +
+
+
+
+
+
( ) ( ) .
.
4
=
2
=
2
3
2
3
2
= 4
2
2
2
2
t
t
t
t
t +
+
+
( ) ( ) .
4
=
4
2
t
t
Q
P +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
Q
t
Q
t
P
t
P
t
Q
PQ
P
2
2
2
2
2
=
2 +
+
+
+
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
= t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
( )
3
2
2
2
3
2
4
2
6
9
6
4
6
4
2
12
9
4
12
8
12
4
9
4
= t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) ( )( ),
2
=
4
=
2
2
4
2
t
Q
PQ
P
t
4
=
4
t
t
Q
P +
+
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
Por otro lado,
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]2
2
=
=
= t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
P
t
Q
P
t
Q
P +
+
+
+
+
+
( ) ( ) .
.
4
=
2
=
2
3
2
3
2
= 4
2
2
2
2
t
t
t
t
t +
+
+
( ) ( ) .
4
=
4
2
t
t
Q
P +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
Q
t
Q
t
P
t
P
t
Q
PQ
P
2
2
2
2
2
=
2 +
+
+
+
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
= t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
( )
3
2
2
2
3
2
4
2
6
9
6
4
6
4
2
12
9
4
12
8
12
4
9
4
= t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) ( )( ),
2
=
4
=
2
2
4
2
t
Q
PQ
P
t
4
=
4
t
t
Q
P +
+
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
En consecuencia, para todo t R,
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]2
2
=
=
= t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
P
t
Q
P
t
Q
P +
+
+
+
+
+
( ) ( ) .
.
4
=
2
=
2
3
2
3
2
= 4
2
2
2
2
t
t
t
t
t +
+
+
( ) ( ) .
4
=
4
2
t
t
Q
P +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
Q
t
Q
t
P
t
P
t
Q
PQ
P
2
2
2
2
2
=
2 +
+
+
+
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
= t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
( )
3
2
2
2
3
2
4
2
6
9
6
4
6
4
2
12
9
4
12
8
12
4
9
4
= t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) ( )( ),
2
=
4
=
2
2
4
2
t
Q
PQ
P
t
4
=
4
t
t
Q
P +
+
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+
que muestra que
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ]2
2
=
=
= t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
t
P
t
Q
P
t
Q
P
t
Q
P +
+
+
+
+
+
( ) ( ) .
.
4
=
2
=
2
3
2
3
2
= 4
2
2
2
2
t
t
t
t
t +
+
+
( ) ( ) .
4
=
4
2
t
t
Q
P +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
Q
t
Q
t
P
t
P
t
Q
PQ
P
2
2
2
2
2
=
2 +
+
+
+
( ) ( )( ) ( )2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
3
2
2
3
2
= t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
( )
3
2
2
2
3
2
4
2
6
9
6
4
6
4
2
12
9
4
12
8
12
4
9
4
= t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t +
+
+
+
+
+
+
+
+
( ) ( ) ( )( ),
2
=
4
=
2
2
4
2
t
Q
PQ
P
t
4
=
4
t
t
Q
P +
+
+
( ) .
2
=
2
2
2
Q
PQ
P
Q
P +
+
+](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-126-320.jpg)
![239
Diversidad funcional
en el aula
Al trabajar en equipo puede existir integrantes
con muy poca autoestima por ello es necesario
reconocer las fortalezas y motivarloa continuar
con el trabajo.
Trabajo colaborativo
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
Calcula P (a + h) – P(a)
h
para a, hR
con h ≠ 0. Este cociente se llama cociente
incremental y está bien definido en R.
5
a) P(x) = 3 + 5x, xR.
b) P(x) = 2 + 5x + x2
, xR.
c) P(x) = 2 + 10x + 3x2
+ 15x3
, xR.
a)
P(t) = 0,
Q(t) = t,
R(t) = – 2 –t,
tR.
b)
P(t) = 22 + 7t – t3
,
Q(t) = 11t2
– 7t3
,
R(t) = 12 – 8t2
+ 4t4
,
tR.
c)
P(t) = 8t6
– 4t4
+ 2t2
– 6,
Q(t) = 5t + 11t5
,
R(t) = t6
– 2t5
+ 4t4
,
tR.
Halla los polinomio siguientes:
PQ, PR, PQR, P(Q + R), P(Q – R), P(– Q – R).
6
Sea el polinomio de [ ]
k R dado en cada
caso. Calculen P2
, P3
y P4
.
7
a) P(t) = –3.
b) P(t) = 2t.
c) P(t) = 5t3
.
d) P(t) = 8 – 2t.
e) P(t) = 3t2
– 8t.
f) P(t) = 2t5
– 11.
g) P(t) = –3t4
+ t3
.
Demuestren las siguientes propiedades.
Para todo P, Q, R [ ]
k R .
8
a) PQ = QP.
b) 1P = P.
c) P(–Q) = (–P)Q = –PQ.
d) P(Q – R) = PQ – PR.
a) (P + Q) (P – Q) = P2
– Q2
.
b) (P – Q)2
= P2
– 2PQ + Q2
.
c) (P + Q)2
– (P – Q)2
= 4PQ.
d) (P + Q)2
+ (P – Q)2
= 2(P2
+ Q2
).
e) (P + Q)3
= P3
+ 3P2
Q + 3PQ2
+ Q3
.
f) (P – Q)3
= P3
– 3P2
Q + 3PQ2
– Q3
.
Sean P, Q los polinomios definidos por
9
P(t) = 2 + 3t,
Q(t) = t – 5t2
.
tR. Verifiquen:
Archivo editorial, (2020).](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-128-320.jpg)
![240
Solución de problemas
cotidianos
Modelo simple de cálculo de las ecuaciones
de las mediatrices
1. Para mejorar la circulación vehicular en una ciu-
dad, se quiere construir un redondel. Para ello, se
ha diseñado un triángulo que pasa por los puntos
A
B
C
= (1, 1),
A
B
C
= (–3, 2) y
A
B
C = (– 1, 4). Se piensa
construir este redondel de tal manera que pase
por los vértices del triángulo y, adicionalmente,
en el centro se colocará una estatua del alcalde,
en reconocimiento a su labor. ¿En qué coordena-
das se debe levantar la estatua?
a) Realiza un gráfico de la situación.
Cálculo de las medianas
2. Sean A B C
(2,3); (6,9); (8,1)
= = = los vérti-
ces de un triángulo. Determina las ecuaciones
de las medianas y su punto de intersección.
Recuerda que este punto se llama baricentro.
Cálculo de las alturas
3. En el triángulo del ejercicio anterior, determi-
na las ecuaciones de las alturas y su punto de
intersección. Recuerda que este punto se de-
nomina ortocentro.
4. Halla la ecuación de la recta que pasa por
x y
P
1 3
2
1;
1 2
2
3
2
,
( 1,
3
2
).
1
=
−
=− =
+
=
= −
= (–1, 2) y es paralela a la recta 3x – y + 4 = 0.
Para solucionar el problema, debemos calcular
las ecuaciones de las mediatrices de los lados del
triángulo y luego debemos buscar el punto de
intersección que nos dará el centro de la circunfe-
rencia circunscrita al triángulo.
b) Completa el proceso de resolución.
Recuerda que la mediatriz es el segmento de
recta que sale perpendicular desde el punto
medio del lado del triángulo.
* Calcula los puntos medios.
Punto medio de [A, B].
x y
P
1 3
2
1;
1 2
2
3
2
,
( 1,
3
2
).
1
=
−
=− =
+
=
= −
Punto medio de
A
B
C
A
B
C
, .
1
2
3
4
1
–1
–2
–3 0
0
A
B
C
y
x
p Figura 5.15.
*Calcula la pendiente de cada lado del triángulo.
Pendientes: mAB, mBC, mAC.
=
−
+
=
−
1 2
1 3
1
4
mAB .
* Determina las ecuaciones de las mediatrices.
Para ello, toma el punto medio y la pendiente in-
vertida y con signo contrario.
P1
= (–1, 3/2); m1
= 4.
y x
x y
4( 1).
8 2 11 0.
3
2
− = +
+ + =
* Toma dos ecuaciones de las mediatrices y
resuelve el sistema. El punto de intersección
son las coordenadas donde debe levantarse el
monumento.
Practica en tu cuaderno
Punto medio de
A
B
C
A
B
C
, .](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-129-320.jpg)
![250
DCCD:M.5.1.40. Aplicar las operaciones entre polinomios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propiedades para
factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir los polinomios.
División de polinomios. Teorema
del residuo
La división de números enteros tiene una estrecha analogía con la
división de polinomios que se describe a continuación.
Sean p, q dos polinomios reales no nulos, esto es, p, q []; se trata
de un proceso que permite encontrar c, r [], con grado del po-
linomio r menor que el grado del polinomio q, tal que
p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x .
La p se llama dividendo, q se llama divisor, c se llama cociente, r se
llama residuo. Se prueba que dados p, q [], siempre se pueden
hallar los polinomios c y r que satisfacen la condición anterior. Cuando
r(x) = 0, ∀x , decimos que el polinomio q divide al polinomio p,
y escribimos
p
q
= c, o también,
p(x)
q(x)
= c(x), ∀x , siempre que q(x) ≠ 0.
Si p, q son dos polinomios reales no nulos, tal que grad(p) grad(q),
entonces p = 0 × q + r, con el cociente c = 0, residuo r = p.
Ejercicios resueltos
1. Sean p, c, q los polinomios definidos como
p(x) = (2x – 3)(4x + 5),
c(x) = 2x – 3,
q(x) = 4x + 5,
∀x .
Entonces,
p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x ,
es decir que q divide a p, siendo c el cociente, y r(x) = 0, ∀x
el residuo. Luego,
p x
q x
x x
x
x c x x
( )
( )
=
(2 3)(4 5)
4 5
=2 3= ( ),
5
4
.
− +
+
− ∀ ∈ −
5
4
– .
2. Sean p, c, q los polinomios definidos como
p(x) = (x2
+ 1)(x + 10) + 2,
c(x) = x + 10,
q(x) = x2
+ 1,
r(x) = 2,
∀x .
Entonces,
p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x .
La división de p para q tiene como cociente c, y residuo r, siendo
el grado de r menor que el grado de q. Luego,
p x
q x
x
x
x
( )
( )
= 10
2
1
, .
2
+ +
+
∀ ∈
Saberes previos
¿Qué significa que el
grado de un polinomio sea ≤ 4?
¿Cuál es el opuesto aditivo de
un polinomio? ¿Cuándo dos
polinomios son iguales?
Desequilibrio cognitivo
¿Qué funciones im-
portantes se aproximan con
polinomios?
Recuerda que…
Al realizar la división de 35
para 8, se obtiene por cociente 4
y residuo 3, que se escribe
35 = 4 × 8 + 3, o en forma
equivalente,
35
8
= 4 +
3
8
.
De manera similar, si dividimos 32
para 8, se obtiene por cociente 4 y
residuo 0. Así
32 = 4 × 8
32
8
= 4.
En este caso decimos que 8 divide
a 32. De manera general, dados
dos números enteros positivos a,
b con a ≥ b, al realizar la división
de a para b se obtiene el cociente
cZ
+
y un residuo rZ
+
, de
modo que 0 ≤ r b,
a
b
= c +
r
b
a = cb + r.
El número entero a se llama
dividendo y b, se llama divisor.
Cuando r = 0, se dice que b divide
a.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-139-320.jpg)
![251
3. Sean p, q [] no nulos, dados como
+ + + + ∀ ∈
+ + + +
+ + + +
+ + + + ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
∀ ∈
+ ∀ ∈
, ,
{ }
;
p t a a t a t a t a t t
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a
at
a t
at
a t
at
a t
at
a t
at
a
at
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
c t
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
r t a t
p t c t q t r t t
( ) =
( )
( )
=
=
= , 0 .
( ) = ,
( ) = , .
( ) = ( ) ( ) ( ), .
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
0
con a4
≠ 0, de modo
que grad(p) = 4; q(t) = at, ∀x , siendo a ≠ 0, con lo que
grad(q) = 1. La división de un polinomio p para un monomio
como q se encuentra fácilmente. Observa
+ + + + ∀ ∈
+ + + +
+ + + +
+ + + + ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
∀ ∈
+ ∀ ∈
, ,
{ }
;
p t a a t a t a t a t t
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a
at
a t
at
a t
at
a t
at
a t
at
a
at
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
c t
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
r t a t
p t c t q t r t t
( ) =
( )
( )
=
=
= , 0 .
( ) = ,
( ) = , .
( ) = ( ) ( ) ( ), .
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
0
Claramente, el cociente c es el polinomio de grado 3:
+ + + + ∀ ∈
+ + + +
+ + + +
+ + + + ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
∀ ∈
+ ∀ ∈
, ,
{ }
;
p t a a t a t a t a t t
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a
at
a t
at
a t
at
a t
at
a t
at
a
at
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
c t
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
r t a t
p t c t q t r t t
( ) =
( )
( )
=
=
= , 0 .
( ) = ,
( ) = , .
( ) = ( ) ( ) ( ), .
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
0
y el residuo r es el polinomio de grado 0:
+ + + + ∀ ∈
+ + + +
+ + + +
+ + + + ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
∀ ∈
+ ∀ ∈
, ,
{ }
;
p t a a t a t a t a t t
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a
at
a t
at
a t
at
a t
at
a t
at
a
at
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
c t
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
r t a t
p t c t q t r t t
( ) =
( )
( )
=
=
= , 0 .
( ) = ,
( ) = , .
( ) = ( ) ( ) ( ), .
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
0
De modo que
+ + + + ∀ ∈
+ + + +
+ + + +
+ + + + ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
∀ ∈
+ ∀ ∈
, ,
{ }
;
p t a a t a t a t a t t
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a
at
a t
at
a t
at
a t
at
a t
at
a
at
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
c t
a
a
a
a
t
a
at
t
a
a
t t
r t a t
p t c t q t r t t
( ) =
( )
( )
=
=
= , 0 .
( ) = ,
( ) = , .
( ) = ( ) ( ) ( ), .
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2
2
3
3
4
4
0 1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
0
4. Sean
p(x) = 6x2
+ 17x + 9, ∀x ,
q(x) = 2x + 1, ∀x .
Procedemos a dividir el polinomio p para q. Empezamos con en-
contrar un monomio w que se obtiene dividiendo el término de
grado más alto del polinomio p para el término de grado más alto
del polinomio q, esto es,
w x
x
x
x x
p x w x q x R x
R x p x w x q x
x x x x
x
w x
x
x
x
( )=
6
2
=3 , {0}.
( )= ( ) ( ) ( ),
( )= ( ) ( ) ( )
=6 17 9 3 (2 1)
=14 9.
( )=
14
2
=7, {0}.
2
1
1
2
1
∀ ∈
+
−
+ + − +
+
∀ ∈
Entonces,
w x
x
x
x x
p x w x q x R x
R x p x w x q x
x x x x
x
w x
x
x
x
( )=
6
2
=3 , {0}.
( )= ( ) ( ) ( ),
( )= ( ) ( ) ( )
=6 17 9 3 (2 1)
=14 9.
( )=
14
2
=7, {0}.
2
1
1
2
1
∀ ∈
+
−
+ + − +
+
∀ ∈
de donde R1
se obtiene como
w x
x
x
x x
p x w x q x R x
R x p x w x q x
x x x x
x
w x
x
x
x
( )=
6
2
=3 , {0}.
( )= ( ) ( ) ( ),
( )= ( ) ( ) ( )
=6 17 9 3 (2 1)
=14 9.
( )=
14
2
=7, {0}.
2
1
1
2
1
∀ ∈
+
−
+ + − +
+
∀ ∈
Como el grado de R1
coincide con el de q, el proceso de división
continúa. Se divide el término de más alto grado de R1
para el tér-
mino de más alto grado de q:
w x
x
x
x x
p x w x q x R x
R x p x w x q x
x x x x
x
w x
x
x
x
( )=
6
2
=3 , {0}.
( )= ( ) ( ) ( ),
( )= ( ) ( ) ( )
=6 17 9 3 (2 1)
=14 9.
( )=
14
2
=7, {0}.
2
1
1
2
1
∀ ∈
+
−
+ + − +
+
∀ ∈
Luego, R x w x q x R x
R x R x w x q x
x x
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x
c x x
( ) = ( ) ( ) ( ),
( ) = ( ) ( ) ( )
=14 9 7(2 1) =2.
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(3 7)(2 1) 2.
( ) =3 7,
1 1 2
2 1 1
1
1 2
1 2
+
−
+ − +
+
+ +
+ +
+ + +
+
y de esta igualdad obtenemos R2
:
R x w x q x R x
R x R x w x q x
x x
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x
c x x
( ) = ( ) ( ) ( ),
( ) = ( ) ( ) ( )
=14 9 7(2 1) =2.
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(3 7)(2 1) 2.
( ) =3 7,
1 1 2
2 1 1
1
1 2
1 2
+
−
+ − +
+
+ +
+ +
+ + +
+
El grado de R2
es menor que el grado de q. El proceso concluye. Así:
R x w x q x R x
R x R x w x q x
x x
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x
c x x
( ) = ( ) ( ) ( ),
( ) = ( ) ( ) ( )
=14 9 7(2 1) =2.
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(3 7)(2 1) 2.
( ) =3 7,
1 1 2
2 1 1
1
1 2
1 2
+
−
+ − +
+
+ +
+ +
+ + +
+
Elcocientecestádefinidocomo
R x w x q x R x
R x R x w x q x
x x
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x
c x x
( ) = ( ) ( ) ( ),
( ) = ( ) ( ) ( )
=14 9 7(2 1) =2.
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(3 7)(2 1) 2.
( ) =3 7,
1 1 2
2 1 1
1
1 2
1 2
+
−
+ − +
+
+ +
+ +
+ + +
+ yelresiduoresr(x)=2.
Recuerda que…
Dados los polinomios p, q:
p(t) = a0
+ a1
t + a2
t2
+ a3
t3
+ a4
t4
,
q(t) = at3
, ∀t .
Se tiene grad(q) = 3;
La división de p para q se realiza
como sigue:
p t
q t
a a t a t a t a t
at
a a t a t
at
a t
at
a t
at
a a t a t
at
a
a
a
a
t
t
( )
( )
=
=
= ,
{0}.
0 1 2
2
3
3
4
4
3
0 1 2
2
3
3
3
3
4
4
3
0 1 2
2
3
3 4
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ +
∀ ∈
El cociente c es el polinomio de
grado 1:
( ) ( ) ( )
+ ∀ ∈
+ + ∀ ∈
+ ∀ ∈
,
.
, .
c t
a
a
a
a
t t
r t a a t a t t
p t c t q t r t t
( ) = ,
( ) = ,
( ) =
3 4
0 1 2
2
y el residuo r es es el polinomio
de grado 2:
( ) ( ) ( )
+ ∀ ∈
+ + ∀ ∈
+ ∀ ∈
,
.
, .
c t
a
a
a
a
t t
r t a a t a t t
p t c t q t r t t
( ) = ,
( ) = ,
( ) =
3 4
0 1 2
2
Nota que el grado del polino-
mio r es menor que el grado de
q. Así,
( ) ( ) ( )
+ ∀ ∈
+ + ∀ ∈
+ ∀ ∈
,
.
, .
c t
a
a
a
a
t t
r t a a t a t t
p t c t q t r t t
( ) = ,
( ) = ,
( ) =
3 4
0 1 2
2](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-140-320.jpg)
![252
Interdisciplinariedad
Matemática y el
mercado de valores
Los polinomios también
pueden utilizarse para modelar
situaciones diferentes, como
en el mercado de valores para
prever cómo pueden variar los
valores con el tiempo.
Las personas de negocios
también utilizan polinomios
para modelar mercados, por
ejemplo, para advertir cómo el
aumento del precio de un bien
afectará sus ventas.
Los polinomios son utilizados
para aproximar valores de
funciones trigonométricas
como sen(x), cos(x) o valores de
la función exponencial ex
, entre
otras funciones.
Los polinomios son la base para
el diseño de algoritmos que,
a su vez, sirven para el diseño
electrónico de calculadoras
científicas.
Shutterstock,
(2020).
515002651
5. Sean p, q los polinomios definidos como
p x x x x x x
q x x x x
( )=20 10 59 21 37, ,
( )=4 2 3, .
4 3 2
2
− + − + ∀ ∈
− + ∀ ∈
Realiza la división de p para q y halla el cociente c y el residuo r.
Divide el término de más alto grado de p para el término de más
alto grado de q:
w x
x
x
x x
p x w x q x R x x
R x p x w x q x
x x x x x x x
x x
( ) =
20
4
=5 , 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), ,
( ) = ( ) ( ) ( )
=20 10 59 21 37 5 (4 2 3)
= 44 21 37.
1
4
2
2
1 1
1 1
4 3 2 2 2
2
≠
+ ∀ ∈
−
− + − + − − +
− +
de donde:
w x
x
x
x x
p x w x q x R x x
R x p x w x q x
x x x x x x x
x x
( ) =
20
4
=5 , 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), ,
( ) = ( ) ( ) ( )
=20 10 59 21 37 5 (4 2 3)
= 44 21 37.
1
4
2
2
1 1
1 1
4 3 2 2 2
2
≠
+ ∀ ∈
−
− + − + − − +
− +
w x
x
x
x x
p x w x q x R x x
R x p x w x q x
x x x x x x x
x x
( ) =
20
4
=5 , 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), ,
( ) = ( ) ( ) ( )
=20 10 59 21 37 5 (4 2 3)
= 44 21 37.
1
4
2
2
1 1
1 1
4 3 2 2 2
2
≠
+ ∀ ∈
−
− + − + − − +
− +
Como grad(R1
) = grad(q) = 2, se divide el término de más alto
grado de R1
para el término de más alto grado de q:
≠
+ ∀ ∈
−
− + − − +
+ ∀ ∈
( ) =
44
4
=11, 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), .
( ) = ( ) ( ) ( )
= 44 21 37 11(4 2 3)
= 4, .
2
2
2
1 2 2
2 1 2
2 2
w x
x
x
x
R x w x q x R x x
R x R x w x q x
x x x x
x x
Luego,
≠
+ ∀ ∈
−
− + − − +
+ ∀ ∈
( ) =
44
4
=11, 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), .
( ) = ( ) ( ) ( )
= 44 21 37 11(4 2 3)
= 4, .
2
2
2
1 2 2
2 1 2
2 2
w x
x
x
x
R x w x q x R x x
R x R x w x q x
x x x x
x x
≠
+ ∀ ∈
−
− + − − +
+ ∀ ∈
( ) =
44
4
=11, 0,
( ) = ( ) ( ) ( ), .
( ) = ( ) ( ) ( )
= 44 21 37 11(4 2 3)
= 4, .
2
2
2
1 2 2
2 1 2
2 2
w x
x
x
x
R x w x q x R x x
R x R x w x q x
x x x x
x x
Como 1 = grad(R2
) grad(q) = 2, el proceso concluye. Resulta
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x x x x
c x x x r x x x
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(5 11)(4 2 3) 4, .
( ) =5 11, , ( ) = 4, .
1 1
1 2 2
1 2 2
2 2
2
+
+ +
+ +
+ − + + + ∀ ∈
+ ∀ ∈ + ∀ ∈
Así, el cociente y el residuo son los polinomios definidos como
p x w x q x R x
w x q x w x q x R x
w x w x q x R x
x x x x x
c x x x r x x x
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=( ( ) ( )) ( ) ( )
=(5 11)(4 2 3) 4, .
( ) =5 11, , ( ) = 4, .
1 1
1 2 2
1 2 2
2 2
2
+
+ +
+ +
+ − + + + ∀ ∈
+ ∀ ∈ + ∀ ∈
Teorema del residuo
Sea p un polinomio de grado mayor o igual que 1 y q(x) = x – a,
donde a R.
De acuerdo con proceso de la división, se tiene
+
− + ∀ ∈
− +
× +
− + ∀ ∈
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( )( ) ( ), ,
( ) = ( )( ) ( )
= ( ) 0 ( ) = ( ).
( ) = ( )( ) ( ), .
p x c x q x r x
c x x a r x x
p a c a a a r a
c a r a r a
p x c x x a p a x
siendo c(x) el cociente y r(x) el residuo. Entonces,
+
− + ∀ ∈
− +
× +
− + ∀ ∈
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( )( ) ( ), ,
( ) = ( )( ) ( )
= ( ) 0 ( ) = ( ).
( ) = ( )( ) ( ), .
p x c x q x r x
c x x a r x x
p a c a a a r a
c a r a r a
p x c x x a p a x
En consecuencia,
+
− + ∀ ∈
− +
× +
− + ∀ ∈
( ) = ( ) ( ) ( )
= ( )( ) ( ), ,
( ) = ( )( ) ( )
= ( ) 0 ( ) = ( ).
( ) = ( )( ) ( ), .
p x c x q x r x
c x x a r x x
p a c a a a r a
c a r a r a
p x c x x a p a x
Este resultado se conoce como teorema del residuo.
Recuerda que…
Teorema del residuo
Sean p [] con grad(p) ≥ 1,
a , q(x) = x – a, ∀x R.
El residuo de la división de p
para q está dado como p(a),
esto es,
p(x) = c(x)(x – a) + p(a), ∀x R.
p Hombre de negocios.](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-141-320.jpg)
![253
Sean p [] con grad(p) ≥ 1, a . Cuando p(a) = 0, se dice que
a es raíz de la ecuación p(x) = 0.
En la tabla siguiente se muestra el grado del polinomio y el número
de raíces reales.
Grado del polinomio p Número de raíces reales
1 1
2 0, 2
3 1, 3
4 0, 2, 4
5 1, 3, 5
Por ejemplo, p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
no tiene raíces reales; mientras que
p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
con
p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
tiene dos raíces
reales,a x = a, x = b.
Ejercicios resueltos
1. Sean
p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
Apliquemos el teorema del residuo. Por el esquema de Hörner,
p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
Luego,
p x x x
p x k x a x b x
k a b k
p x x x x x
q x x x
p x x x x x
p
p x x x x
( ) = 1, ,
( ) = ( )( ), ,
, , , 0,
( ) = 5 7, .
( ) = 5, .
( ) =7 (1 (5 )), ,
( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7.
( ) =( 5)( 1) 7, .
2
3 2
2
+ ∀ ∈
− + ∀ ∈
∈ ≠
+ + + ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + + ∀ ∈
− + − + − −
+ + + ∀ ∈
2. Sean
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
Factoriza p. Por el teorema del residuo, se tiene p(–6) = 0, es decir,
el residuo r(x) = 0; con lo que a = –6 es raíz de la ecuación
p(x) = 0. En consecuencia, x + 6 divide a p(x); luego,
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
Nota que el cociente es
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
con a, b por de-
terminarse. Por la definición de igualdad de polinomios, se obtiene
a = 1, b = –6. Así,
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
Para completar el proceso de factorización, resolvemos la ecua-
ción de segundo grado:
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
x1
= –3, x2
= 2 son las raíces de esta ecuación.
Los polinomios
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
dividen a p. Por lo tanto,
p x x x x
q x x x
p x x x ax b
x a x b a x b x
c x x ax b
p x x x x x
x x x
q x x q x x
p x x x x x
( ) = 7 36, .
( ) = 6, .
( ) =( 6)( )
= ( 6) ( 6 ) 6 , .
( ) = ,
( ) =( 6)( 6), .
6 = 0, =
1 1 24
2
=
1 5
2
,
( ) = 3, ( ) = 2,
( ) =( 6)( 3)( 2), .
3 2
2
3 2
2
2
2
1 2
+ − ∀ ∈
+ ∀ ∈
+ + +
+ + + + + ∀ ∈
+ +
+ + − ∀ ∈
+ −
− ± + − ±
+ −
+ + − ∀ ∈
Recuerda que…
Del teorema del residuo,
se desprende el siguiente resul-
tado: a es raíz de la ecuación
p(x) = 0 si y solo si p(x) es
divisible por x – a. En tal caso, el
polinomio p se factoriza como
p(x) = (x – a)c(x),
siendo c(x) el cociente, r(x) = 0
el residuo. Si c(x) es divisible por
x – b con b R, entonces
c(x) = (x – b)c1
(x),
p(x) = (x – a)(x – b)c1
(x), t R.
Si grad(c1
) ≥ 1, el proceso
continúa.
Glosario
polinomio. Expresión
algebraica que constituye la
suma o la resta ordenadas de
un número finito de términos o
monomios.
teorema. Proposición mate-
mática demostrable a partir de
axiomas o de proposiciones ya
demostradas.
a
cb](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-142-320.jpg)
![257
Conversión de binario a decimal y viceversa
Sea A = (an
an–1
... a0
)2
un número binario. Para convertir el número A
al sistema decimal, lo asociamos al polinomio
+ + + + ∀ ∈
P x a a x a x a x x
n
n
( ) = , ,
0 1 2
2
y evaluamos P(2), usando el esquema de Hörner. Así, A = P(2).
Veamos el problema recíproco.
Sea M N con M ≠ 0 en base 10. Supongamos que M tiene la
siguiente representación en binario: M = (an
an–1
... a2
a1
a0
)2
, cuyo poli-
nomio asociado en x = 2 es
P a a a a M
n
n
(2) = 2 2 2 = .
0 1 2
2
+ × + × + + ×
Para determinar las cifras binarias a0
, a1
, ..., an
, procedemos como
sigue: el número a a an
n
2 2 2
1 2
2
× + × + + × es par.
Entonces, {M a
M a
impar si y solo si =1,
par si y solo si = 0.
0
0
Determinada la cifra a0
,
pasamos a determinar la cifra a1
. Definimos
M
M a
a a an
n
=
2
= 2 2 .
1
0
1 2
1
−
+ × + + × −
Luego, {M a
M a
impar si y solo si =1,
par si y solo si = 0.
1 1
1 1
De manera análoga,
M
M a
a a an
n
=
2
= 2 2 ,
2
1 1
2 3
2
−
+ × + + × −
entonces, {M a
M a
impar si y solo si =1,
par si y solo si = 0.
2 2
2 2
Continuando con este proceso
n veces, obtenemos las cifras binarias ak
, k = 0,1, ..., n.
Queda por determinar el número n que corresponde a las n + 1 cifras
binarias. Para ello, notemos que dado M N, existe n N, tal que
2n
≤ M 2n+1
.
Recordemos que N = [0] ∪ [1], con [0], [1] las clases residuales mó-
dulo 2: [0] = {2n | n N} es el conjunto de números naturales pares,
[1] = {2m + 1 | m N} es el conjunto de los números naturales im-
pares. El procedimiento anterior equivale a utilizar el algoritmo de la
división de Euclides: a = 2c + r, con c N y r = 0 o 1. Luego, Mk
[r],
entonces, ak
= r, k = 0,1, ..., n.
Ejercicios resueltos
1. Sea M = 2 412. Puesto que 211
= 2 048 ≤ M 212
= 4 096, se sigue
que n = 11. Luego, 2 412 = (a11
a10
...a1
a0
)2
. Determinamos las cifras
binarias a0
, a1
, ..., a11
.
Recuerda que…
El procedimiento
descrito para obtener las cifras
binarias de un número en base
10 puede extenderse fácilmente
a otras bases. Debe tenerse pre-
sente el algoritmo de Euclides:
dados M en el sistema decimal
y N la nueva base, existen
c, r N con 0 ≤ r N, tal
que M = r + cN, donde c es el
cociente y r el residuo.
Simbología matemática
Denotamos un número
binario por A = (an
an–1
... a0
)2
.
Por lo tanto, 2 412 = (100101101100)2
.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Mi 2 412 1 206 603 301 150 75 37 18 9 4 2 1
ai
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1
Archivo editorial, (2020).
Glosario
algoritmo. Conjunto
ordenado de operaciones siste-
máticas que permite hacer un
cálculo y hallar la solución de un
tipo de problemas.
binaria. Que está compuesto de
dos elementos.
a
cb](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-146-320.jpg)
![Taller práctico
258
Consideremos el número M = 2 380 y N = 5.
Como 54 = 625 y 55 = 3 125,
entonces 54
≤ 2 380 55
, con lo cual
2 380 = (a4
a3
a2
a1
a0
)5
donde
ai
{0, 1, 2, 3, 4}, i = 0, 1, 2, 3, 4.
Las clases residuales módulo 5 son [0], [1], [2],
[3], [4], donde [r] = {5m + r| m N} con r = 0,
1, 2, 3, 4. Se tiene
a a a a a
2 380 = 5 5 5 5 .
0 1 2
2
3
3
4
4
+ × + × + × + ×
M = 2 380 [0]. Entonces, a0
= 0,
M
M a
a a a a
=
5
=
2380 0
5
=476 = 5 5 5 ,
1
0
1 2 3
2
4
3
− −
+ × + × + ×
M1
= 476 [1]. Entonces, a1
= 1,
M
M a
a a a
=
5
=
476 1
5
= 95 = 5 5 ,
2
1 1
2 3 4
2
− −
+ × + ×
M2
= 95 [0]. Entonces, a2
= 0,
M
M a
a a
=
5
=
95 0
5
=19 = 5,
3
2 2
3 4
− −
+ ×
M3
= 19 [4]. Entonces, a3
= 4,
M
M a
a
=
5
=
19 4
5
=3 = .
4
3 3
4
− −
Luego, 2 380 = (_________)5
.
DCCD: M.5.1.41. Resolver aplicaciones de los polino-
mios de grados ≤4 en la informática (sistemas de nume-
ración, conversión de sistema de numeración binario a
decimal y viceversa) en la solución de problemas.
Completa la solución de este ejercicio.
Completa la solución de este ejercicio.
1
2
Representa en base 10 los siguientes
números:
3
a) (4 746)8
. b) (74 128)9
.
c) (864 568)16
. d) (10 000)3
.
Sea M = 35 Primero, determinemos el número
n. Puesto que 32 = 25
, 64 = 26
y 25
≤ 35 26
, se
tiene que n = 5. Por lo tanto, debemos determi-
nar 6 cifras binarias a0
, a1
, ..., a5
. Ponemos
M = 35 = (a5
a4
a3
a2
a1
a0
)2
. Entonces,
a a a a a a
35= 2 2 2 2 2 .
0 1 2
2
3
3
4
4
5
5
+ × + × + × + × + ×
Como 35 es impar, resulta que a0
= 1. Luego,
+ + × + × + × + ×
35 =1 2( 2 2 2 2 ),
1 2 3
2
4
3
5
4
a a a a a
de donde
M a a a a a
=
35 1
2
=17= 2 2 2 2 ,
1 1 2 3
2
4
3
5
4
−
+ × + × + × + ×
M1
es impar. Entonces, a1
= 1. Se tiene
a a a a
17 =1 2( 2 2 2 ),
2 3 4
2
5
3
+ + × + × + ×
M a a a a
=
17 1
2
=8 = 2 2 2 ,
2 2 3 4
2
5
3
−
+ × + × + ×
M2
es par. Entonces, a2
= 0 y
+ + × + ×
−
+ × + ×
8 = 0 2( 2 2 ),
=
8 0
2
= 4 = 2 2 ,
3 4 5
2
3 3 4 5
2
a a a
M a a a
M3
es par. Entonces, a3
= 0 y
M a a
=
4 0
2
=2 = 2.
4 4 5
−
+ ×
M4
es par. Entonces, a4
= 0.
Luego, M a
2 0
2
___
5 5
−
= =
a5
= _________
Recolectando todas las cifras, tenemos que
35 = (_________)2
.
En la siguiente tabla se ilustra todo el procedi-
miento descrito para determinar las cifras bina-
rias. Complétala.
i 0 1 2 3 4 5
Mi 35 17 8 4 2 1
ai
1 1 0
Nota que M2
, M3
, M4
, [0], M, M1
, M5
, [1].](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-147-320.jpg)
![259
Trabajo colaborativo
Sea m = 35 y N = 3.
6
Trabajen en equipo y resuelvan.
En cada caso, representa, en la base N
que se indica, el número M = 280 en base
10.
4
En los siguientes ejercicios, representa
en la base N los números en base 10.
5
a) N = 2. b) N = 3.
c) N = 4. d) N = 8.
e) N = 16.
a) 314, N = 2. b) 27 182, N = 4.
c) 5 234, N = 7. d) 1 786, N = 8.
e) 1 955, N = 5. f) 13 526, N = 6.
g) 1354, N = 2. h) 48 357, N = 2.
e) (14 142)5
. f) (111 100 011)2
.
g) (3 120 132)4
. h) (6 543 210)7
.
a) Observen que: 33 = 27 y 34 = 81, entonces
33
≤ 35 34
, luego, n = 3.
b) Determinen a0
, a1
, a2
, a3
, cifras en base 3.
Esto es, ai
{0, 1, 2}, i = 0, 1, 2, 3.
Noten que N = [0] ∪ [1]∪[2], siendo [r] =
{3m + r | m N} la clase residual módulo 3,
con r = 0, 1, 2.
c) Pongan 35 = (a3
a2
a1
a0
)3
.
d) Entonces, verifiquen.
M = 35 = a0
+ a1
× 3 + a2
× 32
+ a3
× 33
= a0
+ 3(a1
+ a2
× 3 + a3
× 32
).
e) Continúen desarrollando el proceso para
escribir el número 35 en base 3.
Diversidad funcional
en el aula
Cuando existe un compañero con discapacidad
visual es necesario utilizar escritura macrotipo
o braille.
Archivo editorial, (2020).](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-148-320.jpg)
![261
El dato procesado de consumo energético proporcionado por las auto-
ridades de la provincia XYZW, en el año 2015, es 207 vatios/persona y,
en el mes de julio de 2016, se reporta un consumo de 221,4 vatios/per-
sona. Aplicando la función polinomial, se obtiene p(2016,5) = 229,550
625. Los resultados obtenidos con la función polinomial construida
muestran satisfactoriamente la tendencia de crecimiento de consumo
de electricidad en la provincia XYZW. Es así que en 8 años se espera
duplicar el consumo de electricidad del estimado en el año 2010, lo que
debe reflejar mejores condiciones de vida de su población.
Modelo 2. Mi cantante favorito
Mi cantante favorito/a promociona su nuevo éxito, lo que sacude
las redes sociales. En las primeras 36 horas, se registra el número de
visitas, que se muestran en la Tabla 2.
Dada la información de la que se dispone, los promotores están in-
teresados en conocer la evolución de las visitas en las primeras cien
horas. Quieren saber si en este tiempo se supera el millón de visitas.
Para el efecto, se propone modelar con polinomios de grado ≤ 4 de
la forma
v t c c t c t c t c t
( ) = ,
0 1 2
2
3
3
4
4
+ + + +
siendo t R, c0
, c1
, c2
, c3
, c4
constantes reales (son las incógnitas), que
deben obtenerse de la información suministrada en la Tabla.
i. La variable independiente t representa el tiempo. Introducimos,
entonces, la restricción t ≥ 0. Puesto que al instante t = 0 no se tie-
nen visitas, entonces, c0
= 0, y la función polinomial tiene la forma
v t c t c t c t c t t
( ) = , 0.
1 2
2
3
3
4
4
+ + + ≥
ii. De la definición de esta función y de los datos de la Tabla, se tiene
v c c c c
v c c c c
v c c c c
p c c c c
60 = (4) = 4 16 64 256 ,
930 = (10) =10 100 1 000 10 000 ,
5 562 = (18) =18 324 5 832 104 976 ,
45 468 = (36) =36 1296 46 656 1 679 616 .
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
iii. Este sistema de ecuaciones se reduce al siguiente:
v c c c c
v c c c c
v c c c c
p c c c c
15 = (4) = 4 16 64 ,
93 = (10) = 10 100 1 000 ,
309 = (18) = 18 324 5 832 ,
1263 = (36) = 36 1296 46 656 ,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
Recuerda que…
En la Organización de
las Naciones Unidas se calcula
una cantidad llamada Índice
de Desarrollo Humano, HDI
(Human Development Index,
por sus siglas en inglés), que
mide el desarrollo humano de
un país o de una región. Para
ello, se utilizan tres categorías:
esperanza de vida, educación
y producto interno bruto. Este
índice se expresa con el número
HDI [0,1].
Tiempo
transcurrido
en horas
Número
de visitas
4 60
10 930
18 5 562
36 45 468
p Tabla 2
Interdisciplinariedad
Matemática y tecnolo-
gía industrial
Las funciones polinomiales
se aplican en la fabricación
de cajas para la envoltura de
productos. El diseño de dichas
cajas requiere la optimización
del material y de su capacidad.
Con esta función se calculan los consumos de electricidad en los próxi-
mos tres años:
p(2015) = 150 + 5(4 + 5(4 + 5(0,5 + 5(0,2 + 0,01 x 5))) = 213,75,
p(2016) = 150 + 6(4 + 6(4 + 6(0,5 + 6(0,2 + 0,01 x 6))) = 248,16,
p(2020) = 150 + 7(4 + 7(4 + 7(0,5 + 7(0,2 + 0,01 x 7))) = 295,11.
Shutterstock,
(2020).
524367469
p Persona cantando.
Dr. H Benalcázar, 2020](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-150-320.jpg)
![263
• ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos?
• ¿Cuántas escuelas y colegios deberán construirse y cuántos do-
centes deberán incorporarse sucesivamente?
• ¿Cuánta basura se producirá?
• ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse?
• ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana?
Estas son tan solo unas pocas interrogantes que deberíamos plantear-
nos. En este sentido, le dejamos al estudiante, como ejercicio, reflexio-
nar acerca de otros problemas en torno al crecimiento de la ciudad.
Igualmente, dejamos que el aprendiz investigue cómo obtener infor-
mación y cómo procesarla para responder cada una de las preguntas
planteadas. Además, deberá también averiguar sobre modelos mu-
cho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas.
Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho
más complejos que los que estamos proponiendo en esta sección.
Para precisar las ideas, suponemos que una ciudad ocupa una región
Ω(t) ⊂ R2
al instante t ≥ 0 de área A(t), que escribimos A(t) = a(Ω(t)).
Nos interesa la evolución de Ω(t) y, con esta, la de A(t), a la que pode-
mos modelar con una ecuación diferencial:
( )
( ) = ( ( )).
( )
= ( , ( ), 0,
( ) = .
2
0
0 0
t
A t a t
dA t
dt
función t A t atracciones, resistencias), t T
A T A
≥
donde el término atracciones se refiere a factores que motivan la mo-
vilización de las personas a esas nuevas zonas urbanas t
t t t
t T T
A t a t a t
( )
( ) = ( ) ( ),
, ]
( ) = ( ( )) ( ( )).
0
∪
∈
+
Ω(t) que se
ponen adherentes a Ω(t) como, por ejemplo, la calidad de servicios
(agua potable, electricidad, alcantarillado, vías de acceso, transportes,
escuelas, centros médicos, supermercados, etc.). El término resisten-
cias se refiere a las limitaciones de acceso debido a factores geográ-
ficos como quebradas, parques, carencia de vías de comunicación,
carencia de agua potable, etc. Todos estos elementos deben cuanti-
ficarse para construir la función (t, A(t), atracciones, resistencias) y la
nueva región Ω(t) = Ω(t)∪ Ω(t),
t
t t t
t T T
A t a t a t
( )
( ) = ( ) ( ),
, ]
( ) = ( ( )) ( ( )).
0
∪
∈
+
t
t t t
t T T
A t a t a t
( )
( ) = ( ) ( ),
, ]
( ) = ( ( )) ( ( )).
0
∪
∈
+
donde t [T0
, T]
tienen una área A(t) = a(Ω(t)) + a(Ω(t)).
t
t t t
t T T
A t a t a t
( )
( ) = ( ) ( ),
, ]
( ) = ( ( )) ( ( )).
0
∪
∈
+
t
t t t
t T T
A t a t a t
( )
( ) = ( ) ( ),
, ]
( ) = ( ( )) ( ( )).
0
∪
∈
+
Como se puede apreciar, las dificultades aparecen por doquier y este
es, aún, un modelo simplificado a regiones planas.
Son desafíos a superar por investigadores, científicos y por ustedes.
Eje transversal
Ciudadanía
Las soluciones en torno al creci-
miento de la ciudad conducen
a mejorar la calidad de vida de
la población. Esto es, la aplica-
ción de las funciones polino-
miales constituye una parte
de la estrategia para mejorar la
calidad de vida.
Shutterstock,
(2020).
102733505
Nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este mo-
delo simple con fines de planificación. Así, junto con este crecimiento
del área urbana, crecen las necesidades, algunas de las cuales se plan-
tean como interrogantes:
• ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente?
• ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado deberán construirse?
p Niños en clases..
Interdisciplinariedad
Matemática
y economía
Los economistas utilizan de
manera frecuente las funciones,
sobre todo sus gráficas, para
visualizar el comportamiento,
por ejemplo, de la oferta y la
demanda, con el fin de deter-
minar los puntos de equilibrio
entre las dos variables.
Shutterstock,
(2020).
192800075
p Análisis gráfico de negocios..](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-152-320.jpg)
![265
a) En el sistema de coordenadas rectangu-
lares, representa gráficamente este con-
junto de datos.
b) Resuelveelsistemadeecuacionesymues-
tra que esta función está definida como:
( ) = 0,22 0,004 3 0,000 83 0,000 022 0,000 008 , 0.
2 3 4
+ + + + ≥
B t T T T T T
00 83 0,000 022 0,000 008 , 0.
2 3 4
+ + ≥
T T T T
c) Calcula B(12), B(18).
Diversidad funcional
en el aula
El hecho de que haya una discapacidad auditiva
no significa que el tono de voz con el que se ha-
bla debe ser exagerado o excesivo. Basta con que
haya claridad al momento de comunicarse.
Trabajo colaborativo
Trabajen en equipo y resuelvan.
Obtén un registro del número de au-
tos matriculados en los últimos 5 años.
Construye funciones polinomiales de
grados 2 con los primeros 3 datos y de
grado 3 con los primeros 4 datos. Los da-
tos del quinto año se utilizan para verifi-
car la tendencia o bondad de la función
construida, de modo que pueda servir
para pronosticar el crecimiento de autos
en los 5 años siguientes. Esta información
3
Busca en Internet datos de nuestro país
sobre el índice HDI. Recuerda que el HDI
es el Indice de Desarrollo Humano. Uti-
liza en forma apropiada la información
para construir un polinomio de grado
menor o igual que 4, que permita anali-
zar la evolución del HDI:
4
a) Calculen los valores de esta función para
las distancias dadas y verifiquen sus re-
sultados con las velocidades de la tabla.
b) Muestren que, a los 300 metros, la avio-
neta supera la velocidad requerida míni-
ma y despega.
c) Prueben que la función V es creciente en
el intervalo [0,300].
Una avioneta brinda servicios de trans-
porte de personas. Dispone de una pista
de 500 metros. Para despegar, requiere
que en los 300 metros se alcance una ve-
locidad mínima de 180 km/h. La veloci-
dad máxima que alcanza en el aire es de
360 km/h. En el despegue, en su máxima
potencia, se obtienen los siguientes datos:
5
Distancia recorrida (m) Velocidad alcanzada (m/s)
50 5,15
100 12,1
200 34,4
250 51,25
300 72,9
p Tabla 8
V x x x x x
( ) = 0,09 0,000 21 0,000 001 , si 0,300 ,
2 3
[ ]
+ + ∈
La función velocidad V, en términos de la
distancia recorrida x y con viento a favor,
se expresa como:
Dr. H Benalcázar, 2020
Para obtener los datos investiga en la página
web http://www.ecuadorencifras.gob.ec/docu-
mentos/web-inec/Estadisticas_Economicas/
Estadistica%20de%20Transporte/Publicacio-
nes/Anuario_de_Estad_de_Transporte_2013.
pdf
es útil con fines de planificación y regula-
ción del transporte.
Archivo editorial, 2020](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-154-320.jpg)
![270
Operaciones con sucesos.
Leyes de De Morgan
DCCD: M.5.3.9. Realizar operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de Morgan, en la resolución de problemas.
Unión
Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina
unión de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen
al conjunto A o al conjunto B. A dicho conjunto lo notamos con
A ∪ B, es decir que
A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
La función proposicional p(x) sobre E que interviene en el conjunto
A ∪ B está dada como p(x) : x ∈ E, tal que x ∈ A ∨ x ∈ B.
Además, para cada x ∈ E, la función proposicional p(x) se transforma
en una proposición, la cual es falsa (definición de disyunción) cuando
las proposiciones x ∈ A, x ∈ B son ambas falsas. En los casos restantes,
p(x) es siempre verdadera. Se tiene la siguiente equivalencia:
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B,
y la negación
x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∧ x ∉ B.
La última proposición nos indica cuando un elemento x no pertenece
a la unión. Nótese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan:
¬ (p ∨ q) ⇔ [(¬p) ∧ (¬p)].
En la práctica, la unión de los conjuntos A y B, expresada en forma
tabular, se obtiene juntando en un solo conjunto los elementos de
A y de B. Los elementos que son comunes a los dos conjuntos se es-
criben una sola vez. Sean A, B, C tres subconjuntos de E. Se prueba que
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = C ∪ (B ∪ A).
Y este resultado común se escribe A ∪ B ∪C.
Intersección. Conjuntos disjuntos
Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina
intersección de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertene-
cen a A y a B. A dicho conjunto lo notamos A∩B, es decir,
A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
La función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E,
tal que x ∈ A ∧ x ∈ B. Para cada x ∈ E, la función proposicional
p(x) se transforma en una proposición que puede ser verdadera
o falsa. Es verdadera cuando x ∈ A y x ∈ B. Esto es, x ∈ A ∩ B. En los
casos restantes, p(x) es siempre falsa. Se tienen las siguientes equiva-
lencias:
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B,
x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B.
La última equivalencia es la negación de la primera y nos muestra las
condiciones bajo las cuales un elemento x no pertenece a la intersec-
ción. Obsérvese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan:
¬ (p ∧ q) ⇔ [(¬p) ∨ (¬p)].
Recuerda que...
Sean A, B los subconjun-
tos de Z, definidos como sigue:
A = {7k + 3/k ∈ Z}.
B = {7m –18/m ∈ Z}.
A simple vista, estos conjuntos
no parecen ser iguales. La realidad
es diferente: estos dos conjuntos
son iguales.
Un elemento x del conjunto A
se escribe como x = 7k + 3;
mientras que un elemento y de
B se escribe como y = 7m –18,
donde k, m ∈ Z son escogidos
de manera apropiada.
De la igualdad de conjuntos pro-
baremos que: A ⊂ B y B ⊂ A.
Probemos que A ⊂ B, es decir,
todo elemento de A es un
elemento de B, que como
proposición se escribe:
∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.
En efecto, sea x ⊂ A existe k ∈ Z
tal que x = 7k + 3. Escribamos
x = 7k + 3 en forma apropiada,
de modo que x se escriba como
un elemento del conjunto B.
Tenemos x = 7k + 3 = 7k + 21 –
18 = 7 (k + 3) – 18 = 7m –18 ∈ B,
donde m = k + 3 ∈ Z. Así, x ∈ A
⇒ x ∈ B, o sea, A ⊂ B.
Probemos que B ⊂ A. Sea y ∈ B,
existe m ∈ Z, tal que y = 7m – 18.
Luego, y = 7m – 18 = 7m – 21 +3
y = 7(m – 3) + 3 ∈ B
Desequilibrio cognitivo
¿Qué relación existe entre
los conectivos lógicos: negación,
conjunción, disyunción?
Saberes previos
¿Cómo explicas qué es
un experimento aleatorio?](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-159-320.jpg)
![273
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
a) A = {2m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E},
C = {6p | p ∈ E}.
a) Tomando en consideración que n (A ∩ T)
= 46 y n (A ∩ T ∩ B) = 32, entonces,
A ∩ T = [A ∩ TB] ∪ [A ∩ T∩ B],
n(BC
∩A∩T) = n(A∩T) – n(A∩T∩B)
= 46 – 32 = 14, que significa que de las 46
personas que usan autos particulares y
taxis, 14 no utilizan buses. Mediante un
razonamiento similar, muestren que de
55 personas que utilizan autos particulares
y buses, 23 no utilizan taxis y que de las 85
personas que utilizan buses y taxis, 53 no
utilizan autos particulares.
b) Puesto que n (A) = 120, n (A∩T)= 46,
n(A ∩ B)= 55 y del hecho que los conjuntos
A ∩ B (A ∩ B ∩ T), A ∩ T (A ∩ B ∩ T),
A∩ B∩ T,A∩ (B∪ T)C
sondisjuntos,talque
A = [A ∩ B (A ∩ B ∩ T)] ∪ [A ∩ T (A ∩
B ∩ T)] ∪ [A ∩ B ∩ T] ∪ [A ∩ (B ∩ T]C
Sugerencia: mediante diagramas de
Venn–Euler, identifiquen estos conjuntos.
Tenemos
n([A∩B(A∩B∩T)])=n(A∩B)–n(A∩B∩T)
= 55 – 32 = 23,
n([A∩T(A∩B∩T)])=n(A∩T)–n(A∩B∩T)
= 46 – 32 = 14.
Se sigue que n(A ∩ (B ∪ T)C
)
= n(A)–n([A∩ B(A ∩B ∩T)]) – n([A ∩
T(A ∩ B ∩T)]) – n([A ∩ B ∩T).
Continúa el proceso.
En cada ítem se definen tres subcon-
juntos A, B, C del conjunto referencial
E = {j ∈ ⎥ |j| ≤ 500}. Indica en pala-
bras qué representa cada conjunto dado.
Demuestra que A ∩ B = C y determina
el número de elementos de A, B y C.
4
b) A = {5m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E},
C = {15p | p ∈ E}.
a) A={2m| m∈ E},B={3n| n∈ E},C={5p| p∈ E}.
En cada ítem se definen tres subcon-
juntos A, B, C del conjunto referencial
E = {j ∈ Z ⎮ |j| ≤ 51}. Determina los si-
guientesconjuntos:(A∩B)C,(BA)∩ C,
C (A ∩ B), (C A) B, al igual que el nú-
mero de elementos de cada uno de ellos.
5
b) A={2m| m∈E},B={6n|n∈ E},C={4p|p∈E}.
c) A = {4m | m ∈ E}, B = {8n | n ∈ E},
C = {8p | p ∈ E}.
El Departamento de Transportes del can-
tón XYZ es el encargado de la planifica-
ción de su red de transportes. Entre uno
de los estudios que realiza, está la identi-
ficación del tipo de transporte utilizado:
autos particulares, taxis y buses, entre las
regiones R1
y R2
de la ciudad. Para ello,
se recoge una muestra de las personas
en el lugar de destino y se designa con A
al conjunto de personas que usa autos
particulares, con T al conjunto de usua-
rios de taxis, con B al conjunto de usua-
rios de buses y con E al conjunto referen-
cial. Se obtienen los siguientes resultados:
6
Tipo de
transporte
A T B A y T A y B B y T
A y T
y B
Número
de usuarios
120 65 210 46 55 85 32
Diversidad funcional
en el aula
La discapacidad no debe asustarnos. Muy
por el contrario, la discapacidad puede ser una
herramienta positiva, pues puede enseñarnos
a valorar la diversidad humana.
Trabajo colaborativo
p Tabla 9
Archivo editorial, (2020).
Dr. H Benalcázar, 2020](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-162-320.jpg)
![Evaluación sumativa
284
M.5.3.9. Realizar operaciones con sucesos: unión,
intersección, diferencia y complemento, leyes de
Morgan, en la resolución de problemas.
xxxxxx
En cada ítem se definen tres subcon-
juntos A, B, C del conjunto referencial
E = {j ∈ ⎮ |j| ≤ 500}. En palabras, indi-
ca qué representa cada conjunto dado.
Demuestra que A ∩ B = C y determina
el número de elementos de A, B y C.
M.5.1.40. Aplicar las operaciones entre polino-
mios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema
del residuo y sus respectivas propiedades para
factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir
los polinomios.
4
Heteroevaluación
a) d(x) = 4x3
– 8, ∀x ∈ .
C(x) = 3x + 9, ∀x ∈ .
r(x) = 2x – 12, ∀x ∈ .
¿Cuál es el polinomio D(x)?
a) A = {3 m | m ∈ E}, B = {7 n | n ∈ E},
C = {21 p | p ∈ E}.
b) A = {2 m | m ∈ E}, B = {11 n | n ∈ E},
C = {22 p | p ∈ E}.
b) D(x) = x4
– 3x2
+ 2x – 1,
d(x) = x2
+ 1,
C(x) = x2
– 4.
¿Cuál es el polinomio del residuo r(x)?
Completa el término que se pide en
cada división, en donde el polinomio
D(x) es el dividendo, d(x) es el divisor,
C(x) es el cociente y r(x) es el residuo.
2
a) P(x) + Q(x).
b) P(x) + R(x).
c) Q(x) · R(x).
d) P(x) · Q(x).
e) P(x) : R(x).
f) Q(x) : R(x).
g) El resto de la división de P(x) por x – 1.
h) P(–1).
i) P(–2) + [Q(–2)]².
Determina el resto sin necesidad de
hacer la división:
3
M.5.3.10. Calcular el factorial de un número na-
tural y el coeficiente binomial para determinar
el binomio de Newton.
Calcula.
5
a) 2! + 4! + 6! + 8!
a) + −
1
2
.
3
2
.
5 5
a a
. b)
+ −
1
2
.
3
2
.
5 5
a a .
Aplica el proceso de la división y deter-
mina el cociente c de dividir p(x) para
q(x).
7
Sea a R. Escribe el desarrollo del bi-
nomio de Newton.
6
a) x + 1.
b) x – 1.
c) x – 2.
d) x + 3.
e) 2x + 1.
a) x – 2.
b) x + 3.
c) 2x – 1.
d) 2x + 1.
e) x + 7.
Dados los polinomios:
P(x) = 4x² – x + 2; x ∈ .
Q(x) = x³ + x – 1; x ∈ .
R(x) = 2x – 1, x ∈ .
Halla:
1
b) + + +
1
2!
1
3!
1
4!
1
5!
.
i. p x x x q x x
p x x x q x x
( ) =2 6, x , ( ) =2 1, x .
( ) =3 7 5, x , ( ) =3 1, x .
2
2
− + ∀ ∈ + ∀ ∈
− − ∀ ∈ − ∀ ∈
ii.
p x x x q x x
p x x x q x x
( )=2 6, x , ( )=2 1, x .
( )=3 7 5, x , ( )=3 1, x .
2
2
− + ∀ ∈ + ∀ ∈
− − ∀ ∈ − ∀ ∈
a)
(x3
– 3x2
+ 2)
(x + 3)
.
b)
(x4
– 6x3
+ 3x2
– 1)
(x + 2)
(3x3
– x + 5)
(x – 2)
c)](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-173-320.jpg)
![286
Respuestas a las evaluaciones sumativas
Unidad 1 (páginas 78 - 79)
1. a) S = 2(x2 + 1), S =
12
5
.
b)
S = –x2 + 7x – 5, S = –242.
4. a)
A B=
1
3
,0 .
A B= 10,9
] ].
A B=
1
3
,0 .
A B= 10,9
] ].
b)
6. a) x =
1
2
, y =
–1
2
b)
x = 0, y = 2 3.
7. a) El sistema de ecuaciones no
tiene solución.
b) a =
–1 041
9
, b =
–57
90
.
8. Media aritmética = 67,06
Mediana = 67,5
Moda = 68,3
9. b
10. b
11. d
12. a) Respuesta A = 2
b) Respuesta C = 1
c) Respuesta C = 2
4. a) F(–1) = –5, F(1) = 5,
pendiente m = 5, F(x) es
creciente.
b) F(–1) = 3, F(1) = 1, pendiente
m = –1, F(x) es decreciente.
c) F(–1) =
–3
4
, F(2) =
–9
2
,
pendiente m =
–5
4
, F(x) es
decreciente.
5. a) fog
( ) x
( )
= f g x
( )
( )= f
x 3
2
=2
x 3
2
+3= x, x .
C(x)=
C0x, si 0 x 50,
C0x 0,01x, si 50 x 100,
C0x 0,15x si x 100.
C(x)=
2x, si 0 x 50,
2x 0,01x, si 50 x 100,
2x 0,15x si x 100.
fog
( ) x
( )
= f g x
( )
( )= f
x 3
2
=2
x 3
2
+3= x, x .
C(x)=
C0x, si 0 x 50,
C0x 0,01x, si 50 x 100,
C0x 0,15x si x 100.
C(x)=
2x, si 0 x 50,
2x 0,01x, si 50 x 100,
2x 0,15x si x 100.
6.
a)
fog
( ) x
( )
= f g x
( )
( )= f
x 3
2
=2
x 3
2
+3= x, x .
C(x)=
C0x, si 0 x 50,
C0x 0,01x, si 50 x 100,
C0x 0,15x si x 100.
C(x)=
2x, si 0 x 50,
2x 0,01x, si 50 x 100,
2x 0,15x si x 100.
b)
fog
( ) x
( )
= f g x
( )
( )= f
x 3
2
=2
x 3
2
+3= x, x .
C(x)=
C0x, si 0 x 50,
C0x 0,01x, si 50 x 100,
C0x 0,15x si x 100.
C(x)=
2x, si 0 x 50,
2x 0,01x, si 50 x 100,
2x 0,15x si x 100.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ =
u v w u w v w
u w v u v v w
u w u w u u w w
v w u u v v u v v w u w
15
2
.
10,5
2
.
22,75.
2 3 2 3 2 6 . 4 67,5.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ =
u v w u w v w
u w v u v v w
u w u w u u w w
v w u u v v u v v w u w
15
2
.
10,5
2
.
22,75.
2 3 2 3 2 6 . 4 67,5.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ =
u v w u w v w
u w v u v v w
u w u w u u w w
v w u u v v u v v w u w
15
2
.
10,5
2
.
22,75.
2 3 2 3 2 6 . 4 67,5.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ =
u v w u w v w
u w v u v v w
u w u w u u w w
v w u u v v u v v w u w
15
2
.
10,5
2
.
22,75.
2 3 2 3 2 6 . 4 67,5.
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ =−
+ ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ =
u v w u w v w
u w v u v v w
u w u w u u w w
v w u u v v u v v w u w
15
2
.
10,5
2
.
22,75.
2 3 2 3 2 6 . 4 67,5.
2. a)
b)
c)
d)
3. a) − = + −
u v u v
( ).
7. a
8. a
9. d
C(48) = $96.
C(51) = $101,49.
C(100) = $199.
C(150) = $277,5.
C(200) = $370.
Unidad 3 (páginas 174 - 175)
1. a) Falso.
b) Verdadero.
c) Falso.
d) Falso.
2. a) a = 25 000; b = 1 375; c = 62,5.
b) P(t)=25000+1375(t–1950)
+ 62,5(t – 1 950)2
.
Para t ≥ 1 950, t – 1 950 ≥ 0,
si 1 950 ≤ t1
t2
, resulta
0 ≤ t1
– 1 950 ≤ t2
– 1 950,
0 ≤ (t1 – 1 950)2
≤ (t2
– 1 950)2,
de donde P(t1) P(t2).
c) P(2007) = 306 437,5;
P(2020) = 427 500.
5. a) ( )
( )
( )
=
= −
= −
u
u
u
40,63 .
46,38 .
17,11 .
b)
c)
6. Perímetro: +
4 2 29.
7. b)
4
3
,
4
3
,
3
4
, 3
4
,
8. a)
−1
2
,
3
4
9. c) ,
1
2
,
1
2
,
3
4
,
3
4
10. d) x = 20.
11. d) x = 10.
Unidad 2 (páginas 118 - 119)
1. a)
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
ángulo de
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
+
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
con la hori-
zontal 90° + α con:
b)
β
α α α α
( )
( )
( ) ( )
− =
−
− = −
=
−
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
u v u w
v w
sen
u v u v
. .
15
2
2 ,
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
.
. 0 , con 0.
Ángulo que forma
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
–
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
con la horizontal 90° – β con:
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
α
( )
( )
+ = +
=
+
+ = = =
v w
sen
u v w u v u w
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
,
. ( )
15
2
2 , . 0, .
15
2
2.
β
α α α α
( )
( )
( ) ( )
− =
−
− = −
=
−
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
u v u w
v w
sen
u v u v
. .
15
2
2 ,
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
.
. 0 , con 0.
Unidad 4 (páginas 214 - 215)
1. a) Ecuación vectorial:
u t t
x t
y t t
y
( ) (0, 1), t .
( ) 0
( ) 1, t .
.
= − ∈
=
= − ∈
∀ ∈
Ecuaciones paramétricas:
u t t
x t
y t t
y
( ) (0, 1), t .
( ) 0
( ) 1, t .
.
= − ∈
=
= − ∈
∀ ∈
Ecuación cartesiana:
x = 0,
u t t
x t
y t t
y
( ) (0, 1), t .
( ) 0
( ) 1, t .
.
= − ∈
=
= − ∈
∀ ∈
b) Ecuación vectorial:
u t t t
x t t
y t t
x y x y
( ) ( 3 2, 1), t .
( ) 3 2
( ) 1, t .
( , ) tal que 3 1 0.
2
= − − + ∈
=− −
= + ∈
∈ + − =
Ecuaciones paramétricas:
u t t t
x t t
y t t
x y x y
( ) ( 3 2, 1), t .
( ) 3 2
( ) 1, t .
( , ) tal que 3 1 0.
2
= − − + ∈
=− −
= + ∈
∈ + − =
Ecuación cartesiana:
u t t t
x t t
y t t
x y x y
( ) ( 3 2, 1), t
( ) 3 2
( ) 1, t .
( , ) tal que 3 1
2
= − − + ∈
=− −
= + ∈
∈ + −
u t t t
x t t
y t t
x y x y
( ) ( 3 2, 1), t .
( ) 3 2
( ) 1, t .
( , ) tal que 3 1 0.
2
= − − + ∈
=− −
= + ∈
∈ + − =
c)
Ecuación vectorial:
u t t t
x t t
y t
( )
1
3
2, 2 1 , t .
( ) 2
1
3
,
( ) 1 2 t, t .
= + − ∈
= +
=− + ∈
α α α α
( ) ( )
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
u v u v
. 0 , con 0.
α α α
( )
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
v u v
. 0 , con 0.
c)
β
α α α α
( )
( )
( ) ( )
− =
−
− = −
=
−
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
u v u w
v w
sen
u v u v
. .
15
2
2,
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
.
. 0 , con 0.
β
α α α
( )
)
( )
− =
−
= −
=
−
= = ⋅ ∀ ∈ ≠
u w
w
v u v
.
15
2
2,
41 20 2 ,
5 2
2 41 20 2
.
. 0 , con 0.
d) t = 2020,236 82 ó t = 2020
mes de marzo.
3. Por definición
⋅ = + = + = ⋅
A B a a b b a a b b B A
1 2 1 2 2 1 2 1
4. a)
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2.
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2.
b)
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2.
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2.
c)
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2
λ λ
λ λ
λ λ
( ) ( )
( ) ( )
( )
+ = − = +
− = − = −
+ = − + + =
u v w u v
u v w u v
u xv u xv w
2 1, 3 ; 2 ; para = 4.
2 3 5, 1 ; 2 3 ; para =
1
5
.
3 3 x,3 x ; 3 = 2.
](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-175-320.jpg)
 = 12t – 56t2
+ 32t3, tR.
(4PQ)(t) = 12t – 56t2 + 32t3, tR.
9. b) 5 cm.
10. a) 10 u2.
11. b) grado (P) = 3.
12. a) –P(t)=–1–2t+3t2.
4. Opuestos aditivos –P, –Q dados
como:
(–P)(t)= –2 + 4t + 9t2
, t∈R,
(–Q)(t)= 1 – 2t2
+ t4
, t∈R,
a) (P + Q)(t) = 1 + 4t – 7t2
+ t, t∈R.
b)(P–Q)(t)=3–4t–11t2
+t4
, t∈R.
c)(Q–P)(t)=–3+4t+11t2
–t4
, t∈R.
3. a)
Recta que pasa por (1/3,0) y es
paralela al vector (0, 1).
Recta que pasa por (0, 1/a) y es
paralela al vector (1, –3).
x
L y y
x y
a
L
a
x x
1
3
, y .
1
3
,0 (0,1)
3
1
.
0,
1
(1, 3)
= ∀ ∈
= + ∈
+ =
= + − ∈
b)
x
L y y
x y
a
L
a
x x
1
3
, y .
1
3
,0 (0,1)
3
1
.
0,
1
(1, 3)
= ∀ ∈
= + ∈
+ =
= + − ∈
5. a) grado (P) = 2
b) Si P(t) = a + bt + ct2,
entonces a = 0, b = 5, c = –8.
c) P(t) = t(5 – 8t),
P(3,5) = 3,5(5 – 8(3,5)) = –80,5.
6. (2P–3Q)(t)=20–8t–5t2, tR.
(2P – 3Q)(1) = 7.
7. a) ( ) ( )
( ) ( )
+ −
= ≠
+ −
= + + ≠
P a h P a
h
h
P a h P a
h
a h h
–5; 0.
–3 4 ; 0.
b)
( ) ( )
( ) ( )
+ −
= ≠
+ −
= + + ≠
P a h P a
h
h
P a h P a
h
a h h
–5; 0.
–3 4 ; 0.
8. a)
(P2 – Q2)(t) = 9 – 12t + 3t2 + 8t3 – 16t4,
tR.
(P + Q)(P – Q)(t) = 9 – 12t + 3t2 + 8t3 –
16t4, tR.
e) P(x)–R(x)=4x2–3x–1, tR.
f) Q(x)–R(x)=x3–x, tR.
g) Resto de la división: 5.
+
= + + ≠
x x
x
x
x
x
–4 2
–1
4 3
5
–1
, 1.
2
h) P(–1) = 7
i) P(–2) + [Q(–2)]2 = 141.
2. a) D(x)=12x4+36x3–22x–84,
tR.
b)
r(x)=x+3, tR.
3. a) –52.
b) 75.
c) 27.
4. a) A conjunto de múltiplo de 3
de elementos de E.
B conjunto de múltiplo de 7 de
elementos de E.
C conjunto de múltiplo de 21 de
elementos de E.
Ten presente x∈A ∩ B, x∈A o sea
x = 3m con m∈E, x∈B con x = 7n,
n∈E. Luego 3m = 7n. Esta igualdad
es verdadera si m es múltiplo
de 7 y n múltiplo de 3, así x es
múltiplo de 21.
b) A conjunto de números
pares de elementos de E.
B conjunto de números múlti-
plos de 11 de elementos de E.
C conjunto de números múlti-
plos de 22 de elementos de E.
De la igualdad 2m = 11n con
m, n∈E, se sigue que m múltiplo
de 11 y n par, o sea 11n es múlti-
plo de 22.
5. a) 41 066; 2! + 4! + 6! + 8! = 2(1 +
12(1 + 30(1 + 56))).
b)
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+
1
5!
=
1
2
1+
1
3
1+
1
4
1+
1
5
=
43
60
.
7. i) b) x – 1
ii) a) x – 2
8) d) 5.
9) a)
6!
3!(6 – 3)!
10) c)
a+
1
2
5
= a5
+
5
2
a4
+
5
2
a3
+
5
4
a2
+
5
16
a+
1
32
.
a+
3
2
5
= a5
+
15
2
a4
+
45
2
a3
–
135
4
a2
+
405
16
a–
243
32
.
a+
1
2
5
=a5
+
5
2
a4
+
5
2
a3
+
5
4
a2
+
5
16
a+
1
32
.
a+
3
2
5
=a5
+
15
2
a4
+
45
2
a3
–
135
4
a2
+
405
16
a–
243
32
.
6. a)
b)
4. a)
b)
h h h
h h h
0 ...
0 ...
3 2 1
3 2 1
h h h
h h h
0 ...
0 ...
3 2 1
3 2 1
X0
– h1
X0
– h2
X0
– h3
X0
X0
+ h3
X0
+ h2
X0
+ h1
X0
X0
– h1
X0
– h2
X0
– h3
X0
X0
+ h3
X0
+ h2
X0
+ h1
X0](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-176-320.jpg)
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nisterio de Educación. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/
areas/educacion/curricula/pdf/matematica_cuadratica_13_06_14.
pdf [2016, 7 de abril].
Probabilidad (s. f.), [en línea]. Instituto Nacional de Tecnologías Edu-
cativas y de Formación del Profesorado. Disponible en: http://sauce.
pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T02.pdf [2016, 7 de junio].](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-177-320.jpg)
![Adrián Paenza
Uno puede hacerse pasar por adivino o por una persona muy
entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en
la Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la que
crecen las potencias de un número.
Este es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tenemos
una base de datos de 128 000 personas. (Por las dudas, no crean
que sean tantas, ya que la mayoría de las grandes empresas las
tienen, las compran o las averiguan). De todas formas, para lo que
quiero invitarles a pensar, podríamos empezar con un número
más chico, e igualmente el efecto sería el mismo.
Supongamos que uno elige alguna acción o algún commodity
cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas, que
uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes se
sientan frente a su computadora un domingo por la tarde. Buscan
la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electr
nicas de todas las personas que allí figuran. Entonces, a la mitad
de ellas (64 000) les envían un mail diciéndoles que el precio del
oro va a subir al día siguiente (lunes). Y a la otra mitad les envían
un mail diciéndoles lo contrario: que el precio del oro va a bajar.
(Por razones que quedarán más claras a medida que avance con
el ejemplo, excluiremos los casos en los que el oro permanece con
el precio constante en la apertura y el cierre.)
Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o bien
subió o bien bajó. Si subió, hay 64 000 personas que habrán re-
cbido un mail de ustedes diciéndoles que subiría. Claro, qué im-
potancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con el oro
iene poca relevancia. Pero sigamos con la idea.
El lunes a la noche, de las 64 000 personas que habían recibido
su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría, ustedes
seleccionan la mitad (32 000) y les dicen que el martes volverá
a subir. Y a la otra mitad, los otros 32 000, les envían un mail
diciéndoles que va a bajar.
Cómo conseguir un contrato como consultor [...]
P
r
o
h
i
b
i
d
a
s
u
c
o
m
e
r
c
i
a
l
i
z
a
c
i
ó
n](https://image.slidesharecdn.com/1ro-bachillerato-matematica-f2-210918005049/85/1ro-bachillerato-matematica-f2-179-320.jpg)
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- 5. ADVERTENCIA Un objetivo manifiestodel Ministerio de Educación es combatir el sexismo y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos. La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada. DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA © Ministerio de Educación del Ecuador Av. Amazonas N34-451 y Av. Atahualpa Quito-Ecuador www.educacion.gob.ec PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Lenín Moreno Garcés MINISTRA DE EDUCACIÓN Monserrat Creamer Guillén Viceministra de Educación Susana Araujo Fiallos Viceministro de Gestión Educativa Vinicio Baquero Ordóñez Subsecretaria de Fundamentos Educativos María Fernanda Crespo Cordovez Subsecretario de Administración Escolar Mariano Eduardo López Directora Nacional de Currículo Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja Director Nacional de Recursos Educativos Ángel Gonzalo Núñez López Directora Nacional de Operaciones y Logística Carmen Guagua Gaspar Primera impresión Marzo 2020 Impreso por: MAYA EDICIONES CÍA. LTDA. Dirección general Patricio Bustos Peñaherrera Edición general Juan Páez Salcedo Autoría Guillermo Benalcázar Gómez Coordinación editorial Soledad Martínez Rojas Dirección de arte Paulina Segovia Larrea Diseño y diagramación Equipo de diseño Maya Ediciones Investigación gráfica Flavio Muñoz Mejía Investigación TIC Fernando Bustos Cabrera Terminación y acabados Santiago Carvajal Sulca Ilustraciones Archivo editorial y sitios web debidamente referidos Fotografías Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos Nº de derecho de autor QUI-057203 de 13 de septiembre de 2019 ISBN: 978-9978-52-329-2 Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2017-00063-A, con fecha 18 de octubre de 2017. © MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020 Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro Teléfono: 02 510 2447 coordinacion@mayaeducacion.com www.mayaeducacion.com Quito, Ecuador
- 6. Índice Unidad 3 Función cuadráticay el espacio vectorial en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Análisis de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Intervalos de la función cuadrática donde es decreciente o creciente . . . . . . . . . . . . . . 124 Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Intersección gráfica de dos parábolas . . . . . . . . . . . . . 139 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Modelos matemáticos con funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 El conjunto R2 . Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Interpretación geométrica de las operaciones en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Vectores colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 El espacio euclídeo R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Longitud o norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 169 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 172 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Unidad 4 Rectas en R2 y derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 180 Ecuación cartesiana de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Rectas paralelas y perpendiculares. Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Distancia entre dos números reales . . . . . . . . . . . . . 192 Noción intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Significados de: x → 0, x → x0 + y x → x0 – . . . . . . . 194 Noción de límite de una función real . . . . . . . . . . 195 Cociente incremental. Noción de derivada . . . . . 198 Interpretación geométrica y física del cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 201 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 209 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 212 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Unidad 5 Polinomios reales con coeficientes en R y distacia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . 216 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . 218 Aplicaciones geométricas del producto escalar en R2 . Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . 224 Ley del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 El conjunto [R] de polinomios con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Producto de números reales por polinomios . . 237 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . 240 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 241 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 244 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Unidad 6 División de polinomios reales con coeficientes en R. Probabilidad . . . . . . . . . . . . 248 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 División de polinomios. Teorema del residuo . . . . . 250 Aplicaciones de polinomios en la Informática . . 256 Conversión de binario a decimal y viceversa . . 257 Modelos matemáticos con funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Intersección. Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . 270 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Factorial de un número natural. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Solucióndeproblemascotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 279 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 282 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Respuestas a las evaluaciones sumativas . . . . . . . 286 Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 BC 1 BC 1 BC 3 BC 2 BC 2 BC 2 BC 1 BC 1 BC 2 BC 3 BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones Bloque Curricular 2: Geometría y medida Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad
- 7. Conoce tu libro Aperturade unidad Contiene: título de unidad, fotografía motivadora relacio- nada con los temas que se tratarán, texto introductorio, preguntas de comprensión y de lectura de imagen, obje- tivos de unidad. Contenidos científicos y pedagógicos Inician con la destreza con criterio de desempeño. Incluyen: • Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo cono- cimiento con las experiencias previas del estudiante: su experiencia, su entorno. • Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conocimientos que posee el estudiante y lo desestabiliza para que re- construya la información que posee. Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos, diagramas, esquemas e ilustraciones. La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de conteni- dos + 2 páginas para desarrollo de destrezas. Taller práctico Dos páginas por tema (en la estructura de 2+2). El taller ha sido diseñado para desarrollar las destrezas del currículo. Incluye actividades en las dimensiones concep- tual, procedimental o calculativa y de modelización. Estas invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de procesos y algoritmos, desarrollo de valores, y aplicación a la realidad. Cada pregunta inicia detallando la destreza con criterio de desempeño. Siempre existe un Trabajo colaborativo acompañado de un recuadro con Diversidad funcional en el aula, con recomendaciones para trabajar con estudiantes con discapacidades. Secciones variables • Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la matemática; hace referencia a conocimientos anteriores o prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que se está desarrollando. • Conexiones con las TIC. Funciona como herramienta de investigación para que los estudiantes profundicen temas o aprendan de manera más ágil. • Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con las demás ciencias matemática y arte, matemática e historia, etc. • Eje transversal. Comprende diferentes temáticas como: interculturalidad, formación de una ciudadanía democrá- tica, protección del medioambiente, cuidado de la salud y los hábitos de recreación de los estudiantes y educación sexual en los jóvenes. • Simbología matemática. Sintetiza los símbolos mate- máticos aprendidos en la lección.
- 8. Solución de problemascotidianos Esta sección promueve en los estudiantes la capacidad de resolver problemas, modelándolos con lenguaje matemáti- co, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e inter- pretando su solución en su marco inicial. Aquí se pondrá un problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para resolverlo, y algunas recomendaciones. Desafíos científicos Esta sección detalla con información que permite visuali- zar que los temas tratados en la unidad se relacionan con algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida. La matemática y las profesiones Espacio para hablar sobre qué estudios universitarios o tecnologías se pueden estudiar y cómo es la carrera laboral. TIC Guía al estudiante, paso a paso, en la utilización de progra- mas informáticos o en el uso de calculadoras para graficar funciones, vectores, realizar simetrías, homotecias, gráficos de rectas paralelas, perpendiculares, etc. Desafíos y proyectos matemáticos Permite reforzar el aprendizaje de la matemática, a través de su aplicación en la práctica. Evaluación sumativa Dos páginas al final de cada unidad con pregun- tas/actividades en función de los indicadores para la evaluación del criterio. Incluye Heteroevalua- ción, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar sobre cómo aprende, y a verificar sus logros y debilidades para retroalimentar su aprendizaje.
- 9. 120 Observa y contesta • ¿Qué formas reconoces en las imáge- nes? • ¿Cómo asociarías la función cuadráti- ca con estas imágenes? • ¿Dónde has observado parábolas en la vida cotidiana? • ¿Cómo crece el turismo en Quito? La arquitectura y la parábola E l Ecuador es un país muy diverso y tie- ne muchos atractivos turísticos, tanto antiguos como modernos. Un ejemplo de ello es el centro histórico de Quito, el cual fue declarado Patrimonio Cultural de la Hu- manidad por la Unesco, el 8 de septiembre de1978. Así, el casco colonial tiene alrededor de ciento treinta edificaciones monumenta- les, donde se aloja una gran diversidad de arte pictórico y escultórico, principalmente de ca- rácter religioso, inspirado en una multifacética gama de escuelas y estilos, además de cinco mil inmuebles registrados en el inventario municipal de bienes patrimoniales. Una de estas edificaciones es la catedral primada de Quito; sus arcos, su techo y altar barrocos, sus coros neoclásicos y su fachada la hacen única y deslumbrante. Tomado de: http://museosquitoecuador.blogspot. com/2015/05/ catedral-primada-de-quito.html Función cuadrática y el espacio vectorial en R2
- 10. 121 unidad 3 Objetivos • O.G.M.2. Producir, comunicary gene- ralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimien- tos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras discipli- nas, entender las necesidades y potenciali- dades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social. • O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen- samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi- co, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del en- torno social, natural y cultural. • O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la crea- tividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacio- nal, demostrando actitudes de orden, per- severancia y capacidades de investigación. Ministerio de Educación, (2016). Bloques curriculares Álgebra y funciones Geometría y medida Shutterstock, (2020). 353411243 Flavio Muñoz M., (2020) . Colección Quito Histórico
- 11. 122 DCCD: M.5.1.20 Graficary analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales utilizando TIC. (Ref. DCCD: M.5.1.20) Análisis de la función cuadrática La función cuadrática es una función que aparece en muchas partes de la matemática y tiene numerosas aplicaciones. Sin embargo, por el momento centraremos nuestro estudio en obtener el recorrido de la función cuadrática, en los intervalos en los que es creciente o de- creciente, en la determinación del máximo o mínimo y en el cociente incremental. Definición Sean a, b, c con a ≠ 0. La función f de en , definida como = , 2 ( ) + + ∈ f x ax bx c x R , x, se llama función cuadrática. Los núme- ros reales a, b, y c se llaman coeficientes de la función cuadrática. A la función f la llamaremos polinomio de grado 2 con coeficientes reales. Definición Sean a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 con a1 ≠ 0, a2 ≠ 0, f, g las funciones de en definidas como = 1 2 1 1 ( ) + + ∈ f x a x b x c x R , x, = 2 2 2 2 ( ) + + ∈ g x a x b x c x R , x. Diremos que f = g si y solo si a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 . El dominio de f es todo . Esto es, Dom(f) = . Determinemos el recorrido de f. Para el efecto, sea y = f(x). Como a ≠ 0, existe a–1 , tal que aa–1 = 1. Consecuentemente = = 2 2 + + + + y ax bx c a x b a x c a = = 2 2 + + + + y ax bx c a x b a x c a ; sumamos y restamos el término 4 2 2 b a , obtenemos y = a 4 4 2 2 2 2 2 = + + − + y a x b a x b a b a c a = a = 2 4 4 = 2 4 4 , 2 2 2 2 2 + + − + + − a x b a ac b a a x b a ac b a = a = 2 4 4 = 2 4 4 , 2 2 2 2 2 + + − + + − a x b a ac b a a x b a ac b a , de donde 4 4 = 2 , . 2 2 y ac b a a x b a x − − + ∈ = 2 4 4 = 2 4 4 , 2 2 2 2 2 + + − + + − a x b a ac b a a x b a ac b a , x . Identificamos dos casos: a > 0 y a < 0. Comencemos con el caso a > 0. Puesto que para todo x , = 2 4 4 = 2 4 4 , 2 2 2 2 2 + + − + + − a x b a ac b a a x b a ac b a ≥ 0, entonces 4 4 = 2 , . 2 2 y ac b a a x b a x − − + ∈ = 2 4 4 = 2 4 4 , 2 2 2 2 2 + + − + + − a x b a ac b a a x b a ac b a ≥ 0, de donde 4 4 2 ≥ − y ac b a , con lo cual el recorrido de f es el conjunto Rec(f) = = 4 4 , . 2 ( ) − ∞ Rec f ac b a Desequilibrio cognitivo ¿Cómo determinas las raíces de las ecuaciones cuadrá- ticas mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales? Saberes previos En la notación de determinación de conjuntos, A = {xE | p(x)}, siendo p una función proposicional definida en el conjunto referencial E, ¿qué elementos intervienen en la definición de función? Conexiones con las TIC Visita el siguiente enlace: bit.ly/2J0FTzY El objetivo de esta actividad es que los estudiantes se fami- liaricen con el uso y el valor numérico de la función cuadrá- tica y que también descubran la importancia de la aplicación de esta función en el contexto que los rodea.
- 12. 123 : subconjunto ≠: diferentede : conjunto de números reales Dom(f): dominio de f Rec(f): recorrido de f ] ] −∞, : p intervalo cerrado a la derecha [ [ ∞ , : p intervalo cerrado a izquierda Simbología matemática Ahora tratamos el caso a < 0. Nuevamente, para todo x , 2 0 2 + ≥ x b a 2 ≥ 0 y siendo a < 0, resulta a 2 0 2 + ≥ x b a 2 ≤ 0. Luego, − − + ≤ y ac b a a x b a 4 4 = 2 0, 2 2 = a 2 0 2 + ≥ x b a 2 ≤ 0, de donde 4 4 . 2 ≤ − y ac b a En este caso, el recorrido de f es el conjunto = , 4 4 . 2 ( ) −∞ − Rec f ac b a Rec f ( )= , 4ac b2 4a , si a<0, 4ac b2 4a , , si a>0. . En conclusión, Rec f ( )= , 4ac b2 4a , si a<0, 4ac b2 4a , , si a>0. En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto 2 , 4 4 2 − − b a ac b a se llama vértice de la parábola. Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas Mínimo de la función cuadrática Sea a > 0. Puesto que para todo x , ( ) 4 4 , 2 ≥ − f x ac b a el número real = 4 4 2 − m ac b a se llama mínimo global de la función cuadrática. Escribiremos: = − = ∈ 4 4 mín ( ), 2 m ac b a f x x mín f (x), que se lee "m es el mínimo de la función f en todo ". Máximo de la función cuadrática Sea a < 0. Como para todo x , ( ) 4 4 , 2 ≤ − f x ac b a el número real = 4 4 2 − M ac b a se llama máximo global de la función cuadrática. Escribiremos: − ∈ = 4 4 =máx ( ), 2 M ac b a f x x máx f (x), que se lee “M es el máximo de la función f en todo ". Nótese que: f 2 = 4 4 = ,si >0, ,si <0. 2 − − f b a ac b a m a M a 2 = 4 4 = ,si >0, ,si <0. 2 − − f b a ac b a m a M a 2 = 4 4 = ,si >0, ,si <0. 2 − − f b a ac b a m a M a x x Recuerda que… • El mínimo global de la función cuadrática es el mínimo de la función que se representa como: m = mín f (x) ≤ ∀ ∈ ∈ f x m f x x x mín ( ) ( ), . • Si a < 0, y la función cuadrá- tica f no tiene mínimo global, escribiremos: mín f (x) = – ∞, o simple mente, mín f (x) no existe. • El máximo global de la fun- ción cuadrática es el máximo de la función que se representa como: M = máx f (x) ≤ ∀ ∈ ∈ máx ( ) ( ) , f x f x M x x . • Si a 0, y la función cuadrá- tica f no tiene máximo global, escribiremos: máx f (x) = ∞, o simple mente, máx f (x) no existe. x x x x x x
- 13. 124 Para calcular algunosvalores de la función f, se procede así: f 1 2 = 1 2 + 1 2 2 + 3 4 = 7 4 f 1 2 = 1 2 + 1 2 2 + 3 4 = 3 4 f 3 2 = 3 2 + 1 2 2 + 3 4 = 7 4 x b 2a 0 decrece crece p Figura 3.1. p Figura 3.2. p Figura 3.3. x b 2a 0 decrece crece –3 –2 –1 0 1 2 1 2 1 2 x y y=x2 +x+1 1 2 3 4 5 Intervalos de la función cuadrática donde es decreciente o creciente Si a0, la función cuadrática es estrictamente decreciente en el intervalo , b 2a b 2a , y creciente en el intervalo b 2a , . este resultado lo interpretamos en el diagrama siguiente (Figura 3.1.): Si a0, la función cuadrática es estrictamente creciente en el intervalo , b 2a b 2a , y decreciente en el intervalo b 2a , . En la Figura 3.2. se interpreta este resultado. Ejercicios resueltos 1. Consideremos la función cuadrática f, definida por f x x x x + + ∈ ( )= 1 2 , ∀x. Se tiene Dom(f) = . Como: f(x)= x2 +x+1= x+ 1 2 2 + 3 4 x , y dado que x+ 1 2 2 0 ∀x, entonces f (x)= x+ 1 2 2 + 3 4 3 4 , ∀x, y se sigue que Rec( f)= 3 4 , . En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de f . Esta es una parábola que se abre hacia arriba (a = 1) y su vértice es el punto 1 2 , 3 4 . Obsérvese que f 3 2 = f 1 2 = 7 4 , f 5 2 = f 3 2 = 19 4 , y en general f x0 1 2 = x0 2 + 3 4 , f x0 1 2 = x0 2 + 3 4 . Luego, f x0 1 2 = x0 2 + 3 4 f x0 1 2 = , x0 . Se tiene 3 4 = f 1 2 =mínx f(x). = mín f (x). Por otro lado, la función f es estrictamente decreciente sobre el intervalo , 1 2 y estrictamente creciente sobre el intervalo 1 2 , . En efecto, sean x1 , x2 , 1 2 con x1 x2 . x
- 14. 125 x 1 2 0 decrece crece p Figura3.4. p Figura 3.5. 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 y x 0 y = –(x–2)² Interdisciplinariedad Matemática con la vida cotidiana Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la cien- cia, los negocios y la ingeniería. La parábola, puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botear de una pelota o definir la curva- tura en estructuras como reflec- tores y antenas parabólicas que forman, respectivamente, los faros de los carros y la base de los platos satelitales. ¿Qué otro tipo de aplicaciones tienen las funciones cuadráticas? Shutterstock, (2020). 368766932 Entonces ≤ − x x 1 2 . 1 2 Sumando 1 2 en la desigualdad, se obtiene 1 2 1 2 0, 1 2 + + ≤ x x de donde x1 + 1 2 2 x2 + 1 2 2 0 , y sumando 3 4 en esta última desigualdad, se deduce x1 + 1 2 2 + 3 4 x2 + 1 2 2 + 3 4 3 4 , es decir que ( ) ( ) 3 4 . 1 2 ≥ f x f x De modo similar, se muestra que si x1 ,x2 1 2 , , tal que x1 x2 , entonces 3 4 ( ) ( ). 1 2 f x f x La prueba se propone como ejercicio. En la gráfica siguiente se interpretan estos dos resultados (Figura 3.4.). 2. Consideremos la función g, definida como − + − ∀ ∈ ( )= 4 4, . 2 g x x x x Puesto que − + − − − + − − ∀ ∈ ( )= 4 4 = ( 4 4 )= ( 2) , , 2 2 2 g x x x x x x x x y tomando en consideración que ( 2) 0, , 2 x x − ≥ ∀ ∈ resulta ( ) 0, , g x x ≤ ∀ ∈ es decir que el recorrido de g es el conjunto Rec g − ∞ ( )=] , 0]. El dominio de g es obviamente el conjunto . Calculemos algunos valores de la función g. (2)= (2 2) =0, (1)= (1 2) = 1, 2 2 − − − − − g g − − − g(3) = (3 2) = 1. 2 En la Figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g. Esta es una parábola que se abre hacia abajo, − − ∀ ∈ ( ) = ( 2) , 2 g x x x , y su vértice es el punto (2, 0). x Se tiene 0 = g(2) = máx g(x). Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estric- tamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ . Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2]. Sean x1 , x2 ]–∞, 2], tal que x1 x2 ≤ 2. Sumando –2 en la desigual- dad, obtenemos x1 –2 x2 –2 ≤ 0, de donde x x − − ( 2) ( 2) 1 2 2 2 , y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce x x − − − − ( 2) ( 2) , 1 2 2 2 es decir que ( ) ( ). 1 2 g x g x Así, ∈ −∞ , ] ,2], ( ) ( ), 1 2 1 2 1 2 x x x x g x g x ⇒ ∈ −∞ , ] ,2], ( ) ( ), 1 2 1 2 1 2 x x x x g x g x lo que muestra que g es creciente en el conjunto I = ]–∞, 2]. En forma similar, se prueba que g es decreciente en el conjunto I = [2, ∞[. p Antena parabólica satelital.
- 15. Taller práctico 126 1 DCCD: M.5.1.20.Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales utili- zando TIC. Expresa cada función cuadrática f en la forma ( ) = ( ) , 0 0 2 − − ∈ f x y p x x x donde x0 , y0 , p son elegidos apro- piadamente. Indica las coordenadas del vértice de la parábola, el mínimo o máxi- mo de la función f, sobre todo . Traza la gráfica de f. a) + − ∀ ∈ ( ) =2 3 5, . 2 f x x x x a) ∀ ∈ ( )= , . 2 g t t t a) ( )=1 2 , 2 − − f x x x = 1 4 , 5 4 , 0, 3 4 , 7 4 . − − x b) − ∀ ∈ ( )= , . 2 h t t t t b) ( ) = 1 2 2 3, = 2, 1, 0, 2, 3, 4. 2 f x x x x − + + − − c) ( ) = 1 4 1 25 , . 2 f x x x x − ∀ ∈ d) − + − ∀ ∈ ( )= 3 5 10, . 2 p a a a a b) − + + ∀ ∈ ( )= 3 7 9, . 2 f x x x x c) − + + ∀ ∈ ( ) = 2 3 1, . 2 f x x x x 2 3 Determina el intervalo donde la fun- ción es creciente, el intervalo donde la función es decreciente, el vértice de la parábola, así como el mínimo o máximo global, donde x. Traza la gráfica de la función cuadrática. Con cada función cuadrática f, calcula los valores de f(x) en cada uno de los puntos x que se indican en cada literal. Además, traza la gráfica de f, escribe las coordena- das del vértice e indica si la función tiene máximo o mínimo en todo . ___________________________________________ ___________________________________________
- 16. 127 a) f esdecreciente sobre el intervalo ,– 10 5 . a) h es decreciente en el conjunto , 3 8 . b) f es creciente sobre el intervalo – 10 5 , . b) h es creciente en el conjunto 3 8 , . 4 6 Considera la función cuadrática f dada por − + ∈ ( )=5 2 10 2, . 2 f x x x x Demuestra. 5 Dada la función cuadrática h, definida por ( ) = 4 9 1 3 1 16 , , 2 h x x x x + + ∈ demuestra que: Sea f la función cuadrática, definida por + + ∀ ∈ ( )=3 4 8 9 , . 2 f x x x x Prueben que f es creciente en el intervalo 2 3 , y decreciente en el conjunto , 2 3 . Determinen el mínimo global de f . Indaguen, analicen y resuelvan en equipo. Diversidad funcional en el aula Adopten en su vocabulario ‘persona con disca- pacidad’ y nunca ‘discapacitado’ o ‘minusválido’ o ‘inválido’ o ‘incapacitado’. Trabajo colaborativo Archivo editorial, (2020). Consideren la función cuadrática f, definida por + + ∀ ∈ ( )= 1, . 2 f x x x x Demuestren que f es estrictamente creciente en el intervalo 1 2 , , es decir que si x1 ,x2 1 2 , con x1 x2 , entonces 3 4 ( ) ( ). 1 2 ≤ f x f x ≤ f(x1 ) f(x2 ). 7 Sea g la función real definida por − + − ∀ ∈ ( )= 4 4, . 2 g x x x x Indaguen y demuestren que la función g es decre- ciente en el conjunto = 2, . [ [ ∞ I 8 Sean λ y u la función cuadrática que se define. Determinen el vértice de la parábola, los intervalos en los que u es creciente y decreciente, y expliquen si la función u tiene máximo global o mínimo global. λ λ + + + ∈ ( ) = 2, . 2 u x x x x 9
- 17. 128 Ecuación de segundogrado DCCD: M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática. Sean a, b, c con a ≠ 0 y f la función de en , definida por + + ∀ ∈ ( ) = , 2 f x ax bx c x . Consideremos la ecuación: para hallar x tal que f (x) = 0, que se escribe como sigue: hallar tal que =0. 2 ∈ + + x ax bx c Esta ecuación se llama ecuación de segundo grado, donde x es la in- cógnita. En la práctica, esta ecuación surge en muchas aplicaciones, por lo que es importante saber las condiciones bajo las cuales tiene soluciones reales y cómo calcularlas, además de conocer las condicio- nes para las que la ecuación no tiene soluciones reales. Ejercicios resueltos 1. Sea − + ∀ ∈ ( )=10 7 , . 2 P t t t t Los números reales r1 = 2 y r2 = 5 son raíces del polinomio o función P. En efecto, (2) =10 7 2 2 = 0, 2 P − + × (5) =10 7 5 5 = 0. 2 P − + × 2. Los polinomios siguientes, + ∀ ∈ ( ) = 1, , 2 P t t t + + ∀ ∈ ( ) = 1, , 2 Q t t t t − + ∀ ∈ R t t t t ( ) = 2, 2 no tienen raíces en el conjunto , pues para todo t, t2 + 1 0, t2 + t + 1 0, t2 – t + 2 0. Así, P(t) ≠ 0, Q(t) ≠ 0, R(t) ≠ 0, para todo t. Resolver en la ecuación ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c , a ≠ 0, significa hallar, si existe, al menos, un elemento x ∈ que satisface la ecuación. Si existe x ∈ , tal que ax bx c x + + ˆ ˆ =0, ˆ 2 es una raíz de la ecuación de segundo grado y diremos que la ecua- ción de segundo grado tiene solución en . Si no existe un núme- ro real que satisfaga la ecuación de segundo grado, se dirá que esta no tiene solución en . Definición i. Se dice que r es una raíz simple de f si para todo x ∈ , f x x r Q x − ( )=( ) ( ), donde Q es un polinomio de grado 1 y Q(r) ≠ 0. ii. Se dice que r es una raíz doble o de multiplicidad 2 si existe una constante α , α ≠ 0, tal que ( ) = ( ) , . 2 f x x r x α − ∀ ∈ Ejercicio resuelto 1. Sea + + ∀ ∈ ( ) =2 16 32, . 2 f t t t t Entonces r = –4 es una raíz de f, pues f(–4) = 0, luego, ( ) =( (–4)) ( ) =( 4) ( ), , f t t Q t t Q t t − + ∀ ∈ donde Q(t) = at + b, ∀t, a, b con a ≠ 0. Estudiemos si r = –4 es una raíz doble. Puesto que f t t at b at b a t b t t + + + + + + + ( )=( 4)( )= ( 4 ) 4 =2 16 32, 2 2 y, por la igualdad de polinomios, tenemos a = 2, b + 4a = 16, 4b = 32, con lo cual a = 2 y b = 8. Luego, + + + ∀ ∈ f t t t t t ( ) =( 4)(2 8) =2( 4) , . 2 Es decir que r = –4 es una raíz doble o de multiplicidad 2. La escri- tura de la función f, en la forma + ∀ ∈ ( ) =2( 4) , , 2 f t t t se cono- ce como factorización del polinomio f. Saberes previos ¿Qué es una ecuación cuadrática en el conjunto ? Desequilibrio cognitivo Si v es una expresión algebraica en y k es un real negativo, entonces, ¿qué tipo de solución tendrá la ecuación v2 = –k? Recuerda la definición i. Un número real r se dice una raíz de la función f si satisface la condición f(r)=0. ii. Se dice que la función f no tiene raíces en si f(x)≠0 para todo ×.
- 18. 129 Pasemos a laresolución de la ecuación =0 2 + + ax bx c , donde a, b, c , a ≠ 0. Como a ≠ 0, a–1 ∙ a = 1. Multiplicando por a–1 tenemos: =0, 2 + + x b a x c a de donde = 2 + − x b a x c a . Sumando 4 2 2 b a en ambos miembros de la última igualdad, tenemos: x2 + b a x+ b2 4a2 = c a + b2 4a2 x+ b 2a 2 = b2 4ac 4a2 . El lado izquierdo de la última ecuación es un número real no negativo, mientras que el lado derecho puede ser positivo, negativo o cero; es decir que su signo depende del discriminante d = b2 –4ac. Entonces, x2 + b a x+ b2 4a2 = c a + b2 4a2 x+ b 2a 2 = b2 4ac 4a2 . 2 = 4 . 2 2 + x b a d a Estudiemos en qué casos esta ecuación tiene solución. i. Si d 0, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los núme- ros reales. Así: = | ( ) = 0 S x f x { } ∈ = . Nótese en este caso que para x , x2 + b a x+ b2 4a2 = c a + b2 4a2 x+ b 2a 2 = b2 4ac 4a2 . 2 4 0 2 2 + − x b a d a , con lo cual f(x)=a x+ b 2a 2 d 4a2 y, en consecuencia, para todo x se tienen las desigualdades siguientes: f(x)0,sia0, o f(x)0,sia0. Esto se representa gráficamente en la Figura 3.6. ii. Si d = 0 se tiene x2 + b a x+ b2 4a2 = c a + b2 4a2 x+ b 2a 2 = b2 4ac 4a2 . = 0, con lo cual 2 =0, + x b a de donde = 2 . − x b a Por lo tanto, si d = 0, = 2 − x b a es una raíz doble de la ecuación de segundo grado. Es decir que f (x) se expresa en la forma f(x)=a x b 2a 2 =a x+ b 2a 2 , x . El conjunto solución es S={x |ax2 +bx+c =0}= b 2a . Tenemos que r b a = − 2 es una raíz doble de la ecuación f (x) = 0. Esto se representa gráficamente en la Figura 3.7. iii. Si d 0, la ecuación x+ b 2a 2 = d 4a2 y, por tanto, la ecuación de segundo grado tiene solución en . Calculemos la solución. Los números reales 4 2 d a − y 4 2 d a son tales que su cuadrado es 4 , 2 d a esto es d 4a2 2 = d 4a2 = d 4a2 . Recuerda la definición Sean a, b, c con a ≠ 0. El número real d = b2 – 4ac se llama discriminante. a 0, f(x) 0 x y 0 y=ax2 +bx+c a 0, f(x) 0 x y 0 y=ax2 +bx+c p Figura 3.6. La ecuación de segundo grado no tiene solución en . y x y = a x + 2 a 0 b 2a b 2a – 0 p Figura 3.7. La ecuación de segundo grado tiene una raíz doble.
- 19. 130 Como x+ b 2a 2 = x+ b 2a ,de la ecuación x+ b 2a 2 = d 4a2 se tiene que 2 = 4 2 x b a d a + y, de la definición de valor absoluto, se deduce que 2 = 4 , 2 x b a d a + − o 2 = 4 2 x b a d a + , con lo cual = 2 4 2 x b a d a − − o = 2 4 . 2 x b a d a − + Abreviadamente escribiremos: = 2 4 . 2 x b a d a − ± Como 4 = 2 , 2 d a d a resulta = 2 2 . x b a d a − ± Si a 0, |a| = a, entonces = 2 2 = 2 . x b a d a b d a − ± − ± Si a 0, |a| = –a, luego = 2 2 = 2 2 = 2 . x b a d a b a d a b d a − ± − − − En cualquiera de los casos anteriores, indicamos con x1 , x2 las dos raíces dadas por: − − − − − x b d a b b ac a = 2 = 4 2 1 2 , = 2 = 4 2 . 2 2 x b d a b b ac a − + − + − Los números reales x1 , x2 son soluciones de la ecuación de segun- do grado, pues ( )= ( )=0. 1 2 f x f x Además x1 ≠ x2 . Por lo tanto, si = 4 0, 2 d b ac − el conjunto solución S está definido como: = | =0 = , . 2 1 2 S x ax bx c x x { } { } ∈ + + Por comodidad, se utiliza la fórmula = 4 2 , 2 x b b ac a − ± − para pos- teriormente determinar si la ecuación de segundo grado tiene o no solución en , según d ≥ 0 o d 0. Para su representación gráfica, observa la Figura 3.8. Ejercicios resueltos 1. Considera la ecuación x2 + x + 1 = 0 en el conjunto . Puesto que + + x x 1= 0 2 ⇔ + − x x = 1 2 ⇔ + + − + x x 1 4 = 1 1 4 2 ⇔ x+ b 2a 2 = d 4a2 El primer miembro de la última igualdad es no negativo, mientras que el segundo miembro es negativo. Por tanto, la ecuación no tiene solución en o, lo que es lo mismo, el conjunto solución S = 0, pues no existe un número real cuyo cuadrado sea 3 4 . − Nótese que ∀x, x+ 1 2 2 + 3 2 0 , con lo cual ( )= 10 2 f x x x + + , ∀x. En este caso, la gráfica de f no corta al eje x. y x 0 y = ax2 +bx+c x1 x2 a 0 y x 0 y = ax2 +bx+c x1 x2 p Figura 3.8. Observa que, en el caso de que la ecuación de segundo grado no tenga raíces reales, la gráfica de f no corta al eje x (primer caso). En los casos en los que la ecuación de segundo grado tiene solución en , la gráfica de la función cuadrática f corta al eje x en un punto o en dos puntos distintos (segundo y tercer casos). La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales y distintas.
- 20. 131 Recuerda que… • Hemosvisto que la función f se escribe como f(x)= a x2 + b a x+ c a , x . Además, la ecuación en , + + ( ) = 0 = 0 2 f x ax bx c ⇔ + + ( )= 0 = 0 2 f x ax bx c , tiene solución en si y solo si el discriminante = − ≥ 4 0, 2 d b ac en cuyo caso sus raíces reales son: = − − − = − + − 4 2 , 4 2 . 1 2 2 2 x b b ac a x b b ac a • En conclusión, dada la función cuadrática f, definida como = + + ∀ ∈ ( ) , , 2 f x ax bx c x con a, b, c , a ≠ 0, las raíces reales x1 , x2 de la ecuación ax2 + bx + c = 0 satisfacen las relaciones + = − 1 2 x x b a y ⋅ = 1 2 x x c a . Además, la función f se factoriza en la forma ( ) = ( )( ), . 1 2 f x a x x x x x − − ∈ Obsérvese la equivalencia − − ( ) = 0 ( )( )= 0 1 2 f x a x x x x − − ( )= 0 ( )( )= 0 1 2 f x a x x x x y siendo a ≠ 0, se deduce x x1 =0,o x x2 =0 x = x1, o x = x2 Este último resultado muestra que la ecuación de segundo grado tiene, a lo más, dos raíces reales y distintas. . 2. Si es posible, factoriza la función f definida por + + ∀ ∈ ( )= 2 2, . 2 f x x x x En primer lugar, estudiemos la existencia de raíces reales de la ecuación x2 + 2x + 2 = 0. Para el efecto, calculamos el discrimi- nante d de dicha ecuación. Tenemos a = 1, b = 2, c = 2, luego, d = b2 – 4ac = 4 – 8 = –4 0. Laecuaciónx2 +2x+2=0 notieneraícesreales,porlotanto,lafunción realfnopuedefactorizarseenlaforma ( ) =( )( ), , 1 2 f x x x x x x − − ∈ con x1 , x2 . Obsérvese que ( ) = 2 2 =( 1) 1 1, , 2 2 f x x x x x + + + + ≥ ∀ ∈ x con lo que mín f (x) = 1. Propiedades de la raíces. Factorización de funciones cuadráticas Consideremos la función cuadrática f, dada por + + ∈ ( ) = , , 2 f x ax bx c x donde a, b, c con a ≠ 0. Calculemos x1 + x2 . Tenemos: = 4 2 4 2 = 4 4 2 = . 1 2 2 2 2 2 x x b b ac a b b ac a b b ac b b ac a b a + − − − + − + − − − − − + − − 4 4 2 = 4 4 2 = . 2 2 2 2 b ac a b b ac a b b ac b b ac a b a − + − + − − − − − + − − Luego, la suma de las raíces x1 , x2 de la ecuación de segundo grado satisfacen la relación = . 1 2 x x b a + − Calculemos x1 ∙ x2 : x x b b ac a b b ac a b ac b b ac b a c a = 4 2 4 2 = 4 4 4 . 1 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ⋅ − − − ⋅ − + − − − + − − = ac a b b ac a b ac b b ac b a c a 4 4 2 = 4 4 4 . 2 2 2 2 2 ( )( ) − ⋅ − + − − − + − − = Por lo tanto, el producto de las raíces x1 , x2 de la ecuación de segundo grado satisface la relación = . 1 2 x x c a ⋅ En consecuencia, la función f se escribe como sigue: =a x(x x1)+x2 ( x+x1) [ ]=a x(x x1) x2 (x+x1) [ ]=a(x x1)(x+x2). f(x)=a x2 + b a x+ c a =a x2 (x1 +x2)x+x1x2 =a x2 x1x+x2x+x1x2 Nótese que hemos utilizado la propiedad distributiva de los números reales y la identidad ( ) = ( ), , , . a b c a b c a b c − + − − ∀ ∈ Así, la función cuadrática f o polinomio de grado 2 con coeficientes en se escribe en la forma ( ) = ( )( ), . 1 2 f x a x x x x x − + ∈ Es decir que la función f se ha factorizado.
- 21. Taller práctico 132 1 DCCD: M.5.1.26.Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática. a) ( ) − ∀ ∈ =− = = 4, , 2, 2. 2 P t t t r r a) − ∀ ∈ ( )=3 2 , . 2 p x x x x b) + ∀ ∈ ( )=2 5 , . 2 p x x x x c) − ∀ ∈ ( )= 1 16 49 81 , . 2 p x x x a) ( ) + ∀ ∈ = =5 , , 0. 2 P t t t t r b) ( ) − + ∀ ∈ = =− =8 80 200, , 5, 2. 2 P x x x x r r b) ( ) − + ∀ ∈ =− = 1 , , 1. 2 P t t t r c) ( ) − − + ∀ ∈ = =− = 70 4 2 , , 1, 8. 2 P t t t t r r c) = 6 , , 3. 2 P x x x x r ( ) − − + ∀ ∈ = Para cada función cuadrática P y para los números reales r que se dan a continua- ción, verifica si son o no raíces de P. 2 3 Para cada polinomio P y para la raíz r de P que se presenta a continuación, deter- mina si es raíz simple o de multiplicidad 2. Para cada función cuadrática P que se define en cada caso, calcula, si existen, las raíces reales de la ecuación p(x) = 0 y sea ={ | ( )=0}. S x p x ∈ Si S ≠ 0, fac- toriza p(x), x. a) ( ) − + ∀ ∈ = , . 2 f x x x x b) ( ) − + ∀ ∈ = 13 40, . 2 u x x x x c) ( ) + + ∀ ∈ = 6 9 3 , . 2 v t t t t d) φ( ) + + ∀ ∈ = 6 8 2 , . 2 y y y y e) θ ( ) + + ∀ ∈ =128 32 2 , . 2 z z z z f) = 5, . 2 a a a a ( ) − + ∀ ∈ 4 Estudia si la función que se define en cada ítem es factorizable en . En caso de no serlo, justifica tu respuesta. ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________
- 22. 133 5 b) 5 8 11x 2x2 45x 125 ()=0. c) − − + x x x x (4 3 )( 60 900) = 0. 2 2 d) ( 90 2025)(5 5 30)=0. 2 2 x x x x + + + − a) 2 =0. 2 x x − − a) = , . 2 p t a t t t ( ) + + ∀ ∈ b) = , . 2 q x a x x ( ) − ∀ ∈ 6 Determina las condiciones que ha de verificar a con a ≠ 0 para que la función cuadrática que se da en cada caso sea factorable en . Resuelve en las ecuaciones siguientes. Ten presente que el producto de núme- ros reales es cero si y solo si cada factor es cero. b) 2 2 12 =0. 2 2 x ax a − − c) 2 2 5 5 =0. 2 2 2 x a x a ( ) + + + d) 2 4 3 6 =0. 2 2 2 x a x a ( ) + − − a) 5 5 =0. 2 2 x a − 7 Resuelvanenlasecuacionesquesedan, en las que a es fijo a ≠ 0. Estudien la existencia de raíces reales en función de a. Diversidad funcional en el aula Sin importar las diferencias o similitudes que podamos tener unos con otros, debemos inte- grarnos y trabajar en equipo.. Trabajo colaborativo a) r1 = –1, r2 = 0. b) r1 = 1, r2 = –3. 9 Los números reales r1 , r2 que se dan en cada caso son raíces de un polinomio de la forma P(t) = t2 + at + b, ∀t, donde a, b son constantes elegidas apro- piadamente. Hallen dicho polinomio. Tracen la gráfica de P e indiquen dónde es creciente y dónde decreciente. Indaguen, analicen, trabajen en equipo en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020). 8 Consideren la ecuación hallar x so- lución de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c , a ≠ 0. Supongan que b2 – 4ac 0. Demuestren que esta ecuación tiene exactamente dos raíces reales y distintas. Para el efecto, asuman que la ecuación tiene tres raíces reales y distintas entre sí: x1 , x2 , x3 . Obtengan una contradicción.
- 23. 134 Ecuaciones que sereducen a una ecuación de segundo grado DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ecuación de la forma at4 + bt2 + c Sean a, b, c con a ≠ 0. Consideremos la función definida por ( ) = , . 4 2 f t at bt c t + + ∈ Esta función es un polinomio de grado 4. Determinemos si existe t , solución de la ecuación at4 + bt2 + c = 0. Denotamos con S su conjunto solución. Ponemos x = t2 , entonces x2 = t4 y la ecuación se expresa en la forma ax2 + bx + c = 0. Puesto que at bt c t b a b ac a + + + − =0 2 = 4 4 , 4 2 2 2 2 2 at bt c t b a b ac a + + + − =0 2 = 4 4 , 4 2 2 2 2 2 se sigue que si d b ac − ≥ = 4 0, 2 entonces t b b ac a − − − = 4 2 2 2 o t b b ac a − + − = 4 2 . 2 2 Por otro lado, las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por x b b ac a x b b ac a − − − − + − = 4 2 , = 4 2 , 1 2 2 2 y como x = t2 , se obtiene así el par de ecuaciones t2 = x1 , t2 = x2 . Sea S1 su conjunto solución, es decir, S t t x t x ∈ ∨ ={ | = = }. 1 2 1 2 2 Ejercicios resueltos 1. Consideremos la ecuación: t tal que 4t4 – 37t2 + 9 = 0. Sea x = t2 , entonces la ecuación propuesta se transforma en la ecuación 4x2 – 37x + 9 = 0, cuyas raíces son x1 = 9, x = 1 4 . 2 Resolvamos el par de ecuaciones t2 = 9, t = 1 4 . 2 Resulta t1 = –3, t2 = 3, t − = 1 2 , 3 t = 1 2 . 4 El conjunto solución es: S={t |4t4 37t2 +9 =0}= 3, 1 2 , 1 2 , 3 . Nótese que 4t4 37t2 +9 = 0 t2 37 8 2 = 1297 64 t2 37 8 35 8 t2 37 8 + 35 8 = 0 = 3 v =3 v = 1 2 v = 1 2 . t t t t − − Además, ( ) = 4 37 9, 4 2 P t t t t − + ∈ se factoriza en la forma P(t)=4 t+3 ( ) t 3 ( ) t+ 1 2 t 1 2 , t . Saberes previos ¿Qué procesos cono- ces para resolver ecuaciones cuadráticas? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo encontrarías la solución de una ecuación de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0, con a, b, c , a ≠ 0? Recuerda que… Toda solución de la ecuación at4 + bt2 + c = 0 es solución de las ecuaciones t2 = x1 , o t2 = x2 y, recíprocamen- te, resulta S = S1 , siendo x1 , x2 soluciones de ax2 + bx + c = 0. Por consiguiente, la sustitución x = t2 permite transformar la ecuación at4 + bt2 + c = 0 a una ecuación de segundo grado y si d ≥ 0, el par de ecuaciones t2 = x1 , t2 = x2 permiten determi- nar el conjunto solución S. Si d 0, es S ≠ 0 y con mayor razón S1 ≠ 0. Además, si d 0 y x1 0, x2 0, entonces S1 ≠ 0, en cuyo caso, para todo t, t2 – x1 0, t2 – x2 0, de donde ( ) 0, , 0, ( ) 0, , 0. 4 2 4 2 P t at bt c t si a P t at bt c t si a = + + ∀ ∈ = + + ∀ ∈
- 24. 135 Ecuación de laforma ax b cx d = + + Ejercicios resueltos 1. Hallar x , si existe solución de la ecuación x x − − + 2 3 = 1. En primer lugar, la raíz cuadrada de números reales está bien definida para números reales no negativos. En consecuencia, 2x – 3 ≥ 0, de donde x ≥ 3 2 , o bien x x ∈ ∞ 3 2 , . . Además, para ≥ − ≥ x x 3 2 , 2 3 0, con lo que la igualdad x x − − + 2 3 = 1 tiene sentido si y solo si 1 0, 3 2 , . x x − + ≥ ∈ ∞ x x ∈ ∞ 3 2 , . . Sea x x ∈ ∞ 3 2 , . , entonces x ≥ 3 2 . Multiplicando por –1 a esta última desigualdad, se obtiene x − ≤ − 3 2 , y sumando 1 en ambos miembros, se tiene x − + ≤ − 1 1 2 . Así, x x − + ≤ − ∈ ∞ 1 1 2 3 2 , , , x x ∈ ∞ 3 2 , . , es decir que –x + 1 es negativo para x x ∈ ∞ 3 2 , . , lo que significa que la igualdad x x − − + 2 3 = 1 es contradictoria. Por lo tanto, la ecuación propuesta x x − − + 2 3 = 1 no tiene solución en . Sean u, v las funciones definidas por u x x v x x − − + ( )= 2 3, ( )= 1. Se tiene Dom u ∞ ( )= 3 2 , , x ∈ ∞ 3 2 , . , Dom v ( )= . En la Figura 3.9. se mues- tran las gráficas de las funciones u y v, se ve que no se cortan. 2. Considérese la ecuación x y x x − − 2 3 = 1. Seanu,vlasfuncionesrealesdefinidasporu x x v x x − − ( )= 2 3, ( )= 1. Entonces Dom u ∞ ( )= 3 2 , , x ∈ ∞ 3 2 , . , Dom(v) = . En la Figura 3.10. se muestran las gráficas de las funciones u y v, las cuales se cortan en un punto. Nótese que x − 2 3 está bien definido, si x x ∈ ∞ 3 2 , . , y 2 3 0, 3 2 , . x x − ≥ ∈ ∞ x x ∈ ∞ 3 2 , . . Además, x − ≥ 1 1 2 para x x ∈ ∞ 3 2 , . , por lo que la igualdad x x − − 2 3 = 1 es compatible en el conjunto x ∈ ∞ 3 2 , . . ¿Tiene solución esta ecuación? Para dar respuesta a esta pregunta, elevamos al cuadrado ambos miembros 2x 3 ( ) 2 =(x 1)2 , de donde 2x – 3 = x2 – 2x +1, con lo que (x – 2)2 = 0. La solución =2 3 2 , x̂ pertenece al conjunto. Se verifica inmediatamente que 2 3 = 1 x̂ x̂ es la única solu- ción del sistema. Recuerda que… Tenemos la ecuación + = + , ax b cx d don- de a, b, c, d con a ≠0, c ≠ 0. Sean u, v las funcio- nes reales definidas por u x ax b v x cx d ( ) , ( ) , = + = + entonces { } ∈ + ≥ ( )= | 0 , Dom u x ax b ( )= Dom v . Si v(x)≥0 para x Dom(u), la igualdad + + = ax b cx d es compatible para, al menos, un número real x Dom(u). En tal caso, procedemos a resol- ver la ecuación. Elevamos am- bos miembros al cuadrado. Si el discriminante de esta ecuación de segundo grado es negativo, la ecuación + + = ax b cx d no tiene solución en . 1 –1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 y x y =√2x –3 3 2 y = –x+1 p Figura 3.9. 1 –1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 y x y =√2x –3 3 2 y = x+1 –1 p Figura 3.10.
- 25. Taller práctico 136 2 4 3 5 Estudia laexistencia de raíces reales y factoriza, siempre que sea posible, la función f. Estudia y resuelve en las ecuaciones que se proponen en cada ítem, donde x denota la incógnita. En cada ítem, se define una función f. Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible. Estudia y resuelve en + las ecuaciones que se proponen a continuación, siendo x la incógnita. 1 DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita. a) − ∈ ( )= 1 16 81, . 4 f x x x a) + − ∈ ( )=2 10, . 6 3 f x x x x a) 2 3 20 =0. 4 3 2 3 x x − − a) 0,36 1,2 1=0. 1 2 x x + + b) 25 2 1 25 =0. 1 2 x x − − b) − + − ∈ ( )= 5 2 1, . 4 2 f x x x x a) + − ∈ ( )= 11 1, . 8 4 f x x x x b) + ∈ ( )= 64, . 6 f x x x b) 4 2 1=0. 4 3 2 3 x x + − c) + + ∈ ( )= 0,2 10, . 4 2 f x x x x b) + + − + ∈ ( )=( 3 2)( 8 15), . 4 2 4 2 f x x x x x x c) + − ∈ ( ) =3 10, . 6 3 f x x x x Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible.
- 26. 137 6 8 7 Estudia y resuelveen las ecuaciones que se dan a continuación: Estudien y resuelvan en las ecuacio- nes siguientes: Estudia y resuelve en las ecuaciones que se dan a continuación: a) 5 = 2 1. x x + − + a) 4 20 =10. x x − + + a) 1= 1. 2 x x x + + − b) 1 2 2 = 3 2. x x + + b) 2 1 2 1= 4 10. x x x − + + + c) 4 5 4 =17. x x + + b) 1 2 =2 3. 2 x x x − − + c) 8 = 3 2. 2 x x x + − + Diversidad funcional en el aula Al trabajar en equipo es importante que una persona lidere la actividad e integre a todos los miembros que conforman el grupo. Trabajo colaborativo 9 Seana,b,c cona≠0 yulafunciónreal definidapor ( ) = , . 4 2 u x ax bx c x + + ∈ Con base en el discriminante d = b2 – 4 ac y la gráfica de la función v, dada por ( )= , 2 v y ay by c + + indiquen las condi ciones bajo las cuales la ecuación =0 4 2 ax bx c + + tiene solución en : dos raíces distintas, cuatro raíces distin- tas, una raíz de multiplicidad 2, una raíz de multiplicidad 4. 10 Sean a, b, c con a ≠ 0 y w la función real definida por + + ∈ ( ) = , . 4 3 2 3 w x ax bx c x Precisen las condiciones que se han de verificar para que la ecuación w(x) = 0 tenga solución en y calculen las soluciones. Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020).
- 27. 138 Intersección gráfica deuna recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas. Consideremos la parábola = , | = 2 P x y y ax bx c { } ( )∈ + + , donde a, b, c a ≠ 0 y la recta = , | = , 2 L x y y x α β { } ( )∈ + donde, α, β . Para fijar las ideas, se supone que a 0, α 0. Analicemos tres casos. 1. En la Figura 3.11. se muestran las gráficas de esta parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abscisas x1 y x2 . Es decir que x y x y P L ( ) ( )∈ ∩ , , , , 1 1 2 2 más aún, P L x y x y { } ( ) ( ) ∩ = , , , . 1 1 2 2 Este par de puntos son solución del par de ecuaciones α β + + + = , = . 2 y ax bx c y x Al igualar miembro a miembro, se tiene: α β + + + x ax bx c = 2 α β ( ) + − + − ax b x c = 0 2 α β + − + − x b a x c a = 0 2 α α β + − − − + − x b a b a c a 2 2 = 0 2 2 x b a b a c a 2 = 2 . 2 2 α α β + − − − − De esta última igualdad, para que existan estos dos puntos de corte distintos, se debe verificar que 2 = 4 4 0. 2 2 2 b a c a b a c a α β α β ( ) ( ) − − − − − − y = ax²+bx+c y = αx +β β y x x1 x2 c 0 p Figura 3.11. Saberes previos ¿Qué es para ti un siste- ma de ecuaciones? Desequilibrio cognitivo Si la recta L no interse- ca a la parábola, entonces, ¿el sistema tiene solución? Conexiones con las TIC Para ampliar tus cono- cimientos sobre la intersección de una recta y una parábola, visita el siguiente enlace: bit.ly/2VEhuqx Glosario intersección. Lugar en que se cortan o se encuentran dos líneas, dos superficies o dos sólidos. parábola. Curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que to- dos sus puntos están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta perpendicu- lar al eje). a cb
- 28. 139 2. En la Figura3.12. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en un punto de abscisa x, es decir que ( )∈ ∩ , , x y P L más aún, { } ( ) ∩ = , . P L x y Estepuntoessolucióndelsistemadeecuaciones α β + + + = , = , 2 y ax bx c y x del que, procediendo del mismo modo que el anterior, se obtiene: x+ =ax2 +bx+c x+ b 2a 2 = b 2a 2 c a . De esta última igualdad, y para que exista un punto de corte, se debe verificar que α β α β ( ) ( ) − − − − − − 2 = 4 4 =0 2 2 2 b a c a b a c a , con lo que x = b 2a , y = b 2a + y, en consecuencia, ( )∈ ∩ , x y P L . 3. En la Figura 3.13. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas no se cortan. En este caso, procediendo de modo similar al precedente, se tiene: α β α β ( ) ( ) − − − − − − 2 = 4 4 0, 2 2 2 b a c a b a c a con lo que el sistema de ecuaciones = , = , 2 y ax bx c y x α β + + + no tiene solución en el conjunto de los números reales. Entonces, resulta ∩ ∅ = . P L Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones Ahora, consideremos la intersección de dos parábolas designadas con P1 y P2 : { } ( ) = ∈ + + , | = 1 2 2 P x y y ax bx c , α β λ { } ( )∈ + + = , | = 2 2 2 P x y y x x , donde a, b, c, α, β, λ, a ≠ 0 y α ≠ 0 son constantes. Se supone que P1 ≠ P2 . Analizaremos dos casos (los restantes se dejan como ejercicio). y x y = ax²+bx+c y = αx +β β c x 0 p Figura 3.12. y = ax²+bx+c y = αx +β β y x 0 p Figura 3.13. Conexiones con las TIC Hay calculadoras, como la fx-9860, que te permiten resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas.
- 29. 140 1. En laFigura3.14. se muestran las gráficas de las parábolas P1 y P2 . Nótese que se ha supuesto que a 0, α 0. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abs- cisas x1 y x2 . Es decir que x y x y P P ( ) ( )∈ ∩ , , , , 1 1 2 2 1 2 más aún, P P x y x y { } ( ) ( ) ∩ = , , , . 1 2 1 1 2 2 Este par de puntos son solución del par de ecuaciones α β λ + + + + = , = . 2 2 y ax bx c y x x Procediendo en forma similar al caso de intersección de una recta con una parábola, al igualar miembro a miembro, se tiene: x2 + x+ =ax2 +bx+c a ( )x2 + b ( )x+c =0. Si a ≠ α, a – α ≠ 0, y podemos dividir la última ecuación para a – α, resulta: x2 + b a x+ c a =0 x+ b 2 a ( ) 2 b 2 a ( ) 2 + c a =0 x+ b 2 a ( ) 2 = b 2 a ( ) 2 c a . De esta última igualdad, para que existan dos puntos de corte distintos, se debe verificar que b 2 a ( ) 2 c a = b ( ) 2 4 a ( ) c ( ) 4 a ( ) 2 0. En el caso a = α, a – α = 0, resulta: (b – β) x + c – λ = 0. Si b – β = 0, se tiene b = β, con lo que c = λ contradice el supuesto de que P1 ≠ P2 . En consecuencia, b – β ≠ 0, en cuyo caso, la solución de la ecuación precedente es ˆ = , λ β − − x c b b ≠ β, de donde ˆ = ˆ ˆ 2 + + y ax bx c , luego ˆ,ˆ 1 2 ( )∈ ∩ x y P P . Se deja como ejercicio trazar las gráficas de las parábolas que satisfacen esta condición. En la Figura 3.15. se muestran las gráficas de las parábolas P1 y P2 . Se observa que estas dos gráficas no se cortan. Se ha supuesto que a 0, α 0. El análisis matemático respectivo se deja como ejercicio. λ y= αx²+βx+λ y = ax²+bx+c 0 x2 x1 x y p Figura 3.14. y= αx²+βx+λ y = ax²+bx+c 0 x y p Figura 3.15.
- 30. 141 Ejercicio resuelto En físicase estudia el movimiento rectilíneo uniforme y variado de cuerpos. Se obtienen dos ecuaciones elementales que relacionan el desplazamiento (posición) x en términos de la velocidad inicial v0 , la aceleración a y el tiempo t. Así: = = + x vt x v t at o , movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante), , movimiento rectilíneo variado (aceleración constante). 1 2 2 En una avenida, el auto 1 se mueve con velocidad constante de veinte metros por segundo, lo cual se escribe 20 m/s (72 km/h). La persona que conduce observa en un panel una advertencia de entrada y salida de autos. El auto 2 ingresa a la avenida con una velocidad inicial v0 = 2 m/s, una aceleración de 1m/s2 . Al instante en que el auto 2 ingresa a la avenida, el auto 1 se encuentra a 60 m a la izquierda del ingreso. ¿Existe o no accidente (choque por alcance)? Parasabersiexisteonochoque,denotamosconxlaposicióndelosau- tostsegundosmástarde.Conlainformaciónsuministrada,obtenemos el par de ecuaciones: x t x t t 60 20 , (auto 1), 2 0,5 , (auto 2), 2 = − + = + donde x y t son las incógnitas. Graficamos las dos ecuaciones. Conclusión: ¡Si se produce un accidente! La solución de este problema nos muestra varias reflexiones. En un tiempo aproximado de 3,72 se- gundos, se produce el accidente por impericia y descuido de los dos conductores de los autos. El conductor del auto 1 no toma en consideración la advertencia y al observar el ingreso del auto 2, no reduce la velocidad. El conductor del auto 2 desestima la posición y velocidad del auto 1, y comete la impru- dencia de ingresar a la avenida. En lo sucesivo, toma en consideración las advertencias en las vías, las velocidades, tiempos y distancias. Este ejem- plo nos muestra cómo la matemática ayuda a comprender esta clase de riesgos y a tomar precauciones en las vías. Ten presente que en 3 s el auto 1 recorre 60 m. Auto 1 Auto 2 Carril derecho Entrada Instante inicial Instante inicial Conexiones con las TIC Visita el siguiente enlace para que puedas practicar este tema: bit.ly/2UMhsbP B = (3,72; 14,34) 5 0 –5 –10 10 5 10 15 20 0 c x y Toma en cuenta que: Si son parábolas secantes, el sistema tiene dos soluciones. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2 –2 –4 –6 4 6 x y y = x² y = –x2 - 14 (–3, 9) (3, 9) Si son parábolas tangentes, el sistema tiene una solución. –2 –3 –4 –5 –1 0 1 2 3 4 5 1 –1 –2 –3 2 3 x y Si son parábolas que no se cortan, el sistema no tiene solución. –2 –3 –4 –1 0 1 2 3 4 5 1 –1 –2 –3 2 3 x y
- 31. Taller práctico 142 2 4 3 Resuelve elsiguiente sistema de ecua- ciones no lineales: a b a b 0, ( 1) 25, 3 4 3 4 2 2 + + = − + = − donde a, b denotan las incógnitas. Comprueba que las soluciones son (–3, –3) y (5, 3). En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente la recta y la circunferencia y precisa los pun- tos de intersección de estas dos gráficas. Considera en 2 las representaciones gráficas de dos subconjuntos R, S de 2 , de modo que R S . Observa y determina las soluciones en forma aproximada. Resuelve en 2 el siguiente sis- tema de ecuaciones no lineales: u v u u v 4 0, 0, 1 9 1 45 2 4 25 20 9 + − = + − + = donde u, v denotan las incógnitas. 1 DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección grá- fica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrá- tica y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la inter- sección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas. a) En el mismo sistema de referencia, repre- senta gráficamente la recta y la parábola. b) Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales y obtén las soluciones (–2, ¼) y (3, –1). Comprueba que estas son efectiva- mente soluciones del sistema no lineal de ecuaciones. a) Confirma que las soluciones son (–5, 11/9) y (4, 20/9). b) En el mismo sistema de referencia, repre- senta gráficamente las dos parábolas y marca los puntos de intersección. a) Considera en 2 el siguiente sis- tema de ecuaciones no lineales: x y x x y 4 1 0, 2 4 7 0, 2 + + = − − − = donde x, y denotan las incógnitas. ___________________________________________ ___________________________________________ c A B 1 1 1 –2 –3 –4 –5 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 1 1 2 3 4 5
- 32. 143 b) c) d) ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ Trabajo colaborativo 5 Resuelvanen 2 los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales, donde x, y denotan las incógnitas. x y xy 1, 20. − = − = a) El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles son los números? b) Determinen dos números cuya suma sea 90 y su cociente sea 9. c) ¿Cuáles son los dos números positivos cuya suma es 10 y su producto 21? d) Se desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados linda con un río. Si el área del terreno es de 0,2 hectáreas y los tres lados por cercar miden 140 m, ¿cuáles son el largo y el ancho del terreno? 6 Planteen un sistema de ecuaciones no lineales y resuelvan los problemas en 2 , donde x, y denotan las incógnitas. a) y x y x , 1. 2 = = + b) y x y x 1, 1. 2 2 = − = − + 7 Resuelvan en 2 los sistemas de ecua- ciones no lineales donde x, y desig- na las incógnitas. B A 0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 f A B c 2 4 6 8 10 12 14 –14 –12 –10 –8 –6 –4 –2 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 2 2 4 6 8 10 12 14 16 8 6 4 2 0 –2 a A 0 c Diversidad funcional en el aula Cuando una persona tiene una discapacidad, lo mejor es preguntarle directamente si hay algo en lo que puedas ayudar. Por ejemplo para resolver las actividades de esta sección. Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020).
- 33. 144 Sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas en forma analítica DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: una de primer grado y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, de forma analítica. Específicamente, trataremos sistemas de ecuaciones no lineales de la la siguiente forma: = = , 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + a x b y c x d y f xy e a x b y c x d y f xy e donde (x, y)2 denotan las incógnitas, ai , bi , ci , di , fi i = 1, 2 son los coeficientes y ei , e2 se llaman términos independientes. Resolver en el conjunto 2 el sistema de ecuaciones no lineales con coeficientes y términos independientes en significa hallar dos nú- meros reales x, y, que se escriben (x, y)2 y que satisfacen dichas ecuaciones. Si no es posible hallar (x, y)2 que satisfaga el sistema de ecuaciones dado, se dirá que dicho sistema no tiene solución en el conjunto 2 . Si existe (x, y)2 , que satisface el sistema de ecuaciones, el par (x, y) es la solución de dicho sistema. Ejercicios resueltos 1. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: (x, y)2 y =1, 3 2 = 1. 2 + + − − x x y x y Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, si acaso existe, observamos que se facilita obtener la incógnita y de la se- gunda ecuación y luego reemplazarla en la primera. Así, tenemos = 1 2 (3 1), + y x luego 1 2 (3 1)=1 2 + + + x x x o bien 2 5 1=0. 2 + − x x El discriminante de esta ecuación es =5 4 2 ( 1)=33, 2 − × × − d que muestra que la ecuación de segundo grado precedente tiene dos raíces reales y distintas x1 , x2 , dadas por = 5 33 4 = 5 33 4 , = 5 33 4 . 1 2 − − − + − + x x Como = 1 2 (3 1). + y x Reemplazamos x por x1 y x2 , y obtenemos y1 y y2 , definidos por: y1 = 1 2 (3x1 +1)= 1 2 3 5+ 33 4 +1 = 1 8 11+3 33 ( ), y1 = 1 2 (3x1 +1)= 1 2 3 5+ 33 4 +1 = 1 8 11+3 33 ( ), Las soluciones del sistema de ecuaciones no lineal propuesto está constituido por el conjunto = ( , ),( , ) . 1 1 2 2 { } S x y x y Saberes previos ¿Para qué sirve analizar el discriminante? Desequilibrio cognitivo ¿Crees que un sistema de ecuaciones cuadráticas pue- de tener infinitas soluciones? ¿Por qué? Recuerda que… El estudio de rectas y parábolas nos lleva a resolver sistemas formados por: y mx b y ax bx c , . 2 = + = + + El estudio de un sistema forma- do por dos parábolas nos lleva a resolver sistemas cuadráticos formados por: = + + = + + , , 2 2 y ax bx c y px qx c con x, y , las incógnitas.
- 34. 145 2. Considera el sistemade ecuaciones no lineales caracterizado por (x, y)2 tal que x y x y =5, = 1. 2 2 + + − Obtenemos x de la segunda ecuación, esto es, x = –1 – y, y reem- plazamos en la primera. Tenemos entonces: (–1 –y)2 + y2 = 5, de la que, luego de realizar simplificaciones, obtenemos y2 + y – 2 = 0. Las raíces de estas ecuaciones están definidas como = 1 9 2 = 1 3 2 = 2, = 1 9 2 = 1 3 2 =1, 1 2 − − − − − − + − + y y puesto que x = –1 – y. Reemplazando y por y1 , y2 , obtenemos x1 , x2 , definidos por: = 1 = 1 ( 2)=1, = 1 = 1 1= 2. 1 1 2 2 − − − − − − − − − − x y x y Así, el conjunto solución S del sistema de ecuaciones no lineales es = ( , ),( , ) = (1, 2),( 2,1) , 1 1 2 2 { } { } − − S x y x y . 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x xy xy y 3 =18, 1 3 =2. 2 2 + + Usamos una incógnita auxiliar v definida como v x y = con y ≠ 0. Así, x = vy. Reemplaza en las dos ecuaciones del sistema dado y obtenemos (vy)2 +3(vy)y =18 1 3 (vy)y+ y2 =2. v2 y2 +3vy2 =18 1 3 vy2 + y2 =2. (v2 +3v)y2 =18 1 3 v+1 y2 =2. De la segunda ecuación, obtenemos = 2 1 3 1 2 + y v con v ≠ –3. Reemplazando en la primera, resulta 3 2 3 1 =18 2 ( ) + + v v v . Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado, 2v2 = 18, de donde = 9 = 3. ± ± v Ponemos v1 = –3, v2 = 3. Luego, = 2 1 3 1 = 2 1 3 (3) 1 =1, 2 2 + + y v con lo cual = 1= 1. ± ± y Ponemos = 1, =1. 1 2 − y y Como = , v x y se sigue que x = vy. Enton- ces, = =3 ( 1)= 3, 1 2 1 × − − x v y = =3 1=3. 2 2 2 × x v y Por otro lado, como = 2 1 3 1 2 + y v con v ≠ –3, la solución v1 = –3 queda descartada, pues para v1 = –3 la variable y no está definida. Así, la solución del sistema de ecuaciones no lineales propuesta está dada por el conjunto S, constituido por (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), o sea, = ( 3, 1), (3,1) . S { } − − Interdisciplinariedad Matemática y economía En economía se usan las ecuaciones cuadráticas para re- presentar modelos económicos de oferta y demanda. Este tipo de modelos se asemeja más a la realidad, en comparación del modelo que usa las ecuaciones de primer grado. Las ecuacio- nes cuadráticas son realmente útiles porque nos ayudan en distintos objetivos, dependien- do de la profesión que una persona ejerza. Si una persona no sabe resolverlas, no estará en la posibilidad de aprender temas superiores debido a que son la base de las matemáticas. Además, las ecuaciones cuadrá- ticas ayudan a los economistas a tener una orientación de la situación económica de un mercado. 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 200 250 300 350 400 450 500 550 Exceso Demanda Punto de equilibrio Precio por unidad Cantidad demandada Interacción entre la Oferta y la Demanda Glosario modelo. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja (como la evolución económica de un país) que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento. a cb
- 35. Taller práctico 146 2 Resuelveen 2 los sistemas de ecuacio- nes propuestos, siendo x, y las incógnitas. 1 DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecua- ciones con dos incógnitas: una de primer gra- do y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógni- tas, de forma analítica. a) =3, =2. + − x y y x x y Una solución es: 1 5, 1 5 = + = − + x y . b) =2, 2 =4. 2 2 − + x y x y Una solución es: 2 2 ; 3 = ± = ± x y . b) 1 2 = 1, 3 =0. 2 + − + x y x y c) 0,01 =10, =9. 2 2 + + x y x y d) 5, 6. + = = x y xy e) 7, 8. − + = − − = x y xy c) 2 3 =1, 2 =8. 2 2 − + x y x y Una solución es: 4 3 134 17 = − ± y . d) 2 =3, 3 2 =5. 2 2 2 2 + − x y x y a) 1 1 = 1, =4. + − + x y x y Resuelve en 2 los sistemas de ecuacio- nes que se indican en cada ítem y verifi- ca que la o las soluciones halladas satisfa- gan el sistema de ecuaciones dado.
- 36. 147 3 Resuelve en2 los siguientes sistemas de ecuaciones: Diversidad funcional en el aula Es importante recordar que una persona con discapacidad visual suele requerir tiempo extra en cuanto a la realización de actividades. Trabajo colaborativo 4 Sea λ . Determinen, siempre que sea posible, todos los valores de λ, para los cuales los sistemas de ecuaciones no linea- les propuestos no tienen solución en 2 . Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020). a) b) c) a) 1, 1. 2 2 2 λ + = − + = x y x y b) 2, 2 3 10. 2 2 2 2 λ + = + = x y x y c) 2 1, 3 1. 2 λ + = − + = x y x y d) 1 1, 1. x y x y λ + = + =− e) 5, 2 . λ + = − = x y x y xy f) 1 1, 3 4. λ λ + = + = x y x y g) 18, . λ + + = + = x xy y x y y x =20, =5. 2 2 + + − + − + x y x y x y x y x y =8, 1 1 = 1 2 . 2 2 2 2 + + x y x y = 5 2 , 1 1 = 45 . 2 2 2 2 + + x y y x x y x y d) 1, , 1. 2 − + − + − = − ≠ ≠ − + − + − + = x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 1, , 1. 2 − + − + − = − ≠ ≠ − + − + − + = x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
- 37. 148 Modelos matemáticos confunciones cuadráticas DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. Crecimiento del área urbana de una ciudad Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular, en forma aproximada, su crecimiento. En este ejemplo, se plantea el crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad del Ecuador. En la siguiente tabla se muestran los resultados: Año t Área urbana aproximada (km²) 1950 0 15,0 1970 20 23,0 1990 40 39,8 2007 57 61,0 Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con 40; y al año 2007, con 57. Estos datos se grafican en el sistema de coor- denadas rectangulares (Figura 3.16.). Saberes previos ¿Qué es un modelo matemático? Desequilibrio cognitivo ¿Qué factores intervie- nen en el crecimiento urbano de la ciudad? Conexiones con las TIC Visita el siguiente enlace: bit.ly/2Wg7WyY Esta actividad ampliará tu co- nocimiento sobre la aplicación de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas en situacio- nes del mundo real. Se asume que el crecimiento es continuo, lo que permite trazar una curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que expe- rimenta la ciudad se modela con una función cuadrática de la forma = , 0, 2 A t a bt ct t ( ) + + ≥ donde a, b, c son constantes. Para esa información, se ha encontrado que a = 15, b = 0,18, c = 0,001, con lo que la función A se escribe como sigue: ( ) =15 0,18 0,011 =15 (0,18 0,011 ), 0. 2 A t t t t t t + + + + ≥ Nótese que A A A A 0 =15, 20 =23, 40 =39,8, 57 =60,999 ( ) ( ) ( ) ( ) y A A A A 0 20 40 57 . ( ) ( ) ( ) ( ) De manera general, si t t , 1 2 ∈ + con t1 t2 , se tiene A(t1 ) A(t2 ), es decir que la función A es estricta- mente creciente. 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 A(t) km² t(años) 0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 A(t) = 15+0,18t+0,01t² p Figura 3.16. Dr. H. Benalcázar, 2020
- 38. 149 Por otro lado,de mantenerse la misma tendencia de crecimiento ur- bano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas urbanas aproximadas experimentará esta ciudad? En la siguiente tabla se muestran los resultados de A(t) en t = 65, 70, 80, 100: Año t A(t) 2015 65 73,175 2020 70 81,5 2030 80 99,8 2050 100 143,0 Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta parte. Sin embargo, nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este modelo simple para fines de planificación. Así, junto con este crecimiento del área urbana, crecen también las necesidades, algunas de las cuales se plantean como interrogantes: • ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente? • ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado se deberán construir? • ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos? • ¿Cuántas escuelas y colegios deben construirse y cuántos docen- tes deben incorporarse sucesivamente? • ¿Cuánta basura se producirá? • ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse? • ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana? • ¿Cuántos recursos económicos deberán invertirse? Estas son solo unas pocas interrogantes de las muchas que podemos plantear. Entonces, te dejamos como ejercicio reflexionar acerca de ellas y proponer otras en torno al crecimiento de la ciudad. Igualmente, te recomendamos investigar cómo obtener información y procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas. Por último, te recomendamos también indagar sobre modelos mu- cho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas. Interdisciplinariedad Matemática e historia François Viète (Francia, 1540-1603) Fue un matemático francés que consideró las ecuacio- nes cuadráticas de la manera general, ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son cantidades conoci- das. Gracias a esto, es posible escribir la fórmula de resolución de la ecuación cuadrática para resolver ecuaciones de este tipo y convertir otras reducibles a cuadráticas. Eje transversal Ciudadanía Al analizar los modelos de creci- miento urbano surgen, sin duda alguna, innumerables preguntas como las anotadas en esta página. Las soluciones a todas estas interrogantes y a otras conducen a establecer estrate- gias de planificación urbana y a implementar soluciones para mejorar la calidad de vida de la población. François Viète, (2020) . www.biografiasyvidas.com Shutterstock, (2020). 426548836 Dr. H. Benalcázar, 2020 p François Viète p Desarrollo urbano de una ciudad.
- 39. Taller práctico 150 1 DCCD: M.5.1.31.Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas, identificando las va- riables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. a) Calcula las constantes a, b y c. b) Calcula C(2007) y compara, si es posible, con datos estimados actuales. c) Traza la gráfica de la función C. d) Si se conserva la tendencia, pronostica C(2020). a) Con los datos proporcionados en la gráfica, calcula las constantes αi βi i = 1, 2, 3, si D D D 0 = 0 = 0 1 2 3 ( ) ( ) ( ) y D1 0,5 ( )=D2 3 4 =D3 1 ( )=20 km, D1 , D2 , D3 representan la distancia recorrida por un auto en un día feriado, en un día laboral que no es hora pico, y en un día laboral en horas pico. b) Calcula D D 1,5 , 1,5 1 2 ( ) ( ) y D 1,5 . 3 ( ) Analiza los resultados. c) Calcula D D 1,5 , 1,5 1 2 ( ) ( ) y D 1,5 . 3 ( ) Analiza los resultados. El consumo promedio de agua en el sector comercial en la ciudad X, en 1970, es de 80 litros por habitante por día. En 1980, es aproximadamente 95 litros por habitante por día, y en el año 2000 es de 135 litros por habitante por día. Se busca una función C de la forma C t a b t c t t ( ) ( ) ( ) + − + − ≥ = 1970 1970 1970. 2 2 En la gráfica siguiente, se muestran tres porciones de rectas que representan las gráficas de tres tipos de funciones, D1 , D2 , D3 , definidas como = , = , 1 1 1 2 2 2 α β α β ( ) ( ) D t t D t t = , 0, 3 3 3 α β ( ) ≥ D t t t donde αi , βi son constantes reales i = 1, 2, 3. 10 20 1 0,5 3 1 1,5 4 4 D t (horas) (km) D = D1(t) D = D2(t) D = D3(t) ___________________________________________ ___________________________________________
- 40. 151 3 Un equipomecánico cuesta v dólares, v = 20 p + r 500, p, r + , 0 ≤ r 20. El comprador dispone solo billetes de veinte dólares. La cajera tiene únicamen- te billetes de cinco dólares y tres billetes de un dólar. ¿Es posible disponer de m billetes de veinte dólares para el pago y n billetes de cinco dólares para el vuelto que arregle la compra del equipo? Mues- tra las soluciones gráficamente. a) Calculen las constantes t0 , a, α1 . b) Calculen las constantes a1 , v0 , β1 , β2 , β3 y t1 . Para el efecto, asuman que ( )= 400 2 0 s t m y v t v = . 0 0 ( ) c) Escriban en forma explícita las funciones S y V. d) Muestren que V es creciente en [0, t0 ] y decreciente en [t0 , t1 ] Comentario. Se debe resolver una ecua- ción de la forma 20m – 5n –3 = v, con m, n Z+ , conocida como ecuación dio- fantina (en honor al matemático Diofante). En este problema se requieren conocimien- tos del espacio vectorial 2 y subespacios de 2, de la ecuación vectorial y cartesiana de una recta, la representación gráfica, así como de la divisibilidad en Z. Es obvio que se requieren propiedades algebraicas y de orden en el conjunto . Diversidad funcional en el aula Es importante que haya tiempo suficiente para que realicen su trabajo personas que puedan tener dificultades en su motricidad, deben tener paciencia e incorporarlos al trabajo. Trabajo colaborativo 4 Resuelvan. La distancia entre dos paradas de buses es 800 m. Una unidad de trans- porte público debe recorrer esta distancia siguiendo dos criterios: acelerar en una primera etapa y, luego, desacelerar. Se buscan dos funciones S y V de las for- mas siguientes: s t t si t t t t t t s t t t t α β β β ( ) ( ) ( ) ( ) ≤ ≤ − + − + ≤ = , 0 , = , 1 2 0 1 0 2 0 2 3 2 0 1 v t at si t t a t t v si t t = , 0 , , , 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ≤ ≤ − + v t at si t t a t t v si t t = , 0 , , , 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ≤ ≤ − + donde: v v t m s 0 =0, =10 0 ( ) ( ) y s t m s t m 400 , 800 0 1 ( ) ( ) = = , cuando v(t1 ) = 0. Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. m s t0 t1 400 800 0 s = α1t² s = s2(t) s (m) 10 v m s v1 = at t0 t1 v1 = a1 (t–t0)–v0 t(s) 0 Archivo editorial, (2020).
- 41. 152 El conjunto 2 .Operaciones DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera analítica aplicando propiedades de los números reales. Adición en 2 Definición Sean U a b V c d ( ) ( ) = , , = , dos elementos de 2 . Se define la suma de U con V, que se escribe U + V, como sigue: U V a b c d a c b d = , , = , . ( ) ( ) ( ) + + + + La definición expresa que la suma de dos elementos de 2 se realiza sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemen- to de 2 . Ejercicios resueltos 1. Sean ( ) ( ) − − = 5, 8 , = 3,5; 6,3 . U V Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − − + − − = 5, 8 3,5; 6,3 = 5 3,5; 8 6,3 = 1,5; 1,7 . U V 2. Dado a , se definen ( ) ( ) − − ∈ = , , = , . 2 U a a V a a Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − − − + = , , = , = 0, 0 = . U V a a a a a a a a O 3. Dado a y ( ) − ∈ = , 5 , 2 U a a se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) + − + + − + − = , 5 0, 0 = 0, 5 0 = , 5 = . U O a a a a a a U De la definición precedente, se sigue que la suma de dos elementos de 2 es otro elemento de 2 . Más aún, la operación adición en 2 es una ley de composición interna. Esto es, “+” es una función de 2 ×2 en 2 , definida como sigue: +: U V U V : , , 2 2 2 ( ) + × → → + donde U + V está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausura- tiva, que se expresa del modo siguiente: ∀ U, V 2 U + V 2 . Antes de describir otras propiedades de la adición en 2 , es conve- niente recordar las propiedades de la adición de números reales. Propiedades de la adición en 2 La operación “+” en 2 satisface las propiedades siguientes: i. Conmutativa: para todo U, V 2 , U + V = V + U. ii. Asociativa: para todo U, V, W 2 , U + (V + W) = (U + V) + W. iii. Existencia del elemento neutro: existe O 2 , tal que para todo U 2 , U + O = O + U = U. iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada U existe V 2 , tal que U + V = O. Saberes previos ¿Qué es el sistema de coordenadas cartesianas? Desequilibrio cognitivo El par ordenado (a, b) es igual al par ordenado (b, a). Explica. Recuerda que… Se designa con 2 al producto cartesiano ×. Esto es, { } = ∈ x y x y ( , )| , 2 . Los elementos de 2 son pares ordenados. Si ∈ ∈ x y x ( , ) , 2 se denomina primera componente o abscisa y se denomina segunda componente u ordenada. A los elementos de 2 los representamos con las letras mayúsculas del alfabeto, y a sus componentes, siempre con letras minúsculas del alfabeto o con subíndices. A es un par ordenado, esto es, existen a, b , tal que A = (a, b). Se tiene la siguiente equivalencia, A2 ∃a, b , tal que A = (a, b).
- 42. 153 Demostración Sean ( )( ) ( ) = , , = , , = , U a b V c d W p q tres elementos arbitrarios de 2 . i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en 2 , se tiene ( ) ( ) ( ) + + + + = , , = , . U V a b c d a c b d Además ( ) ( ) ( ) + + + + = , , = , , V U c d a b c a d b y por la propiedad con mutativa de la operación “+” en , obtenemos ( ) + + + = , V U a c b d . Por la definición de igualdad de elementos en 2 , se tiene ( ) + + + + = = , . U V V U a c b d Conclusión: U V V U + + = . ii. Asociativa. Por la definición de la adición “+” en 2 , se tiene ( ) ( ) ( ) + = + = + + V W c d p q c p d q , , , . Luego, y debido a la propiedad asociativa de la adición en , resulta ( ) ( ) ( ) + + = + + + U V W a b c p d q , , , a c p a c p ( ) + + + + = , b d q b d q ( ) + + + + = , con lo cual U V W a c p b d q ( ) ( ) + + + + + + = , . Por otro lado, U V a b c d a c b d ( ) ( ) ( ) + + + + = , , = , . Luego, U V W a c b d p q a c p b d q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + = , , = , . Por la misma propiedad asociativa de la adición en , se obtiene U V W a c p b d q ( ) ( ) + + + + + + = , . De la definición de igualdad de elementos de 2 , se concluye que U V W a b c p d q a c p b d q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + = , , = , , ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + U V W U V W a c p b d q = = , . Conclusión: ( ) ( ) + + + + U V W U V W = . iii. Existencia del elemento neutro. El elemento O = (0, 0) pertenece a 2 , donde 0 es el elemento neutro. Entonces, ( ) ( ) ( ) + + + + = , 0, 0 = 0, 0 . U O a b a b Como a+0=a, b+0=b se sigueque ( ) ( ) + + + = 0, 0 = , = . U O a b a b U Conclusión: ∈ O 2 es tal que para todo ∈ U 2 , ∈ + U U O U , = . 2 De manera similar, se prueba que + O U U = . iv. Existencia de opuestos aditivos. Dado ( )∈ = , 2 U a b y como a,b,porlaexistenciadeopuestosaditivosen,existen–a,–b, tal que ( ) + − a a =0, ( ) + − b b =0. Definimos ( ) − − ∈ V a b = , . 2 . Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − − + − + − U V a b a b a a b b O = , , = , = 0,0 = . Conclusión: dado ∈ U a b =( , ) , existe ( ) − − ∈ V a b = , 2 , tal que + U V O = . Ejercicios resueltos 1. Sean U = (2, 3), V = (4, –1), W = (8, –10). Entonces, U+V+W = (2,–3) + (4,–1) + (8,–10) = (2 + 4 + 8, –3–1–10) = (14, –14). Recuerda que… Propiedades de la adición de números reales i. Conmutativa: para todo x, y , x + y = y + x. ii. Asociativa: para todo x, y, z , x + (y + z) = (x + y) + z. iii. Existencia del elemento neutro: existe 0 , tal que para todo x , x + 0 = 0 + x = x. iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada x , existe –x , tal que x + (–x) = 0. Debido a la propiedad asociati- va de la operación “+” en , se escribe x + y + z en vez de x + (y + z) o de (x + y) + z. El elemento neutro es único. Igualmente, dado que x , el opuesto aditivo –x es único. Sean A = (a, b), B = (x, y) 2 . Diremos que A es igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x y b = y, es decir, A = B ⇔ a = x ^ b = y.
- 43. 154 Resta en 2 Definición Sean( , ), ( , ) . 2 = = ∈ U a b V c d . Se define U – V como sigue: ( ) ( , ). − = + − = − − U V U V a c b d Obsérvese que el opuesto aditivo de ( , ) 2 = ∈ V c d es V c d − = − − ∈ ( , ) 2 y que U – V se opera como la suma de U con el opuesto aditivo de V. Teorema Sean ( , ), ( , ) = = U a b V c d dos elementos de 2 . Entonces ( ) ( ) ( ). − + = − + − U V U V La demostración se propone como ejercicio para el estudiante. Teorema Ley cancelativa Para todo , , , . 2 ∈ + = + = A B C A B A C B C ⇔ , , , . 2 ∈ + = + = A B C A B A C B C Demostración Probemos la implicación + = + = . A B A C B C + = + = . A B A C B C Supongamos que se tiene . + = + A B A C Mostremos que B = C. En efecto, como A 2 , existe – A 2 opuesto aditivo de A, tal que ( ) . + − = A A O Entonces, por la existencia de elemento neutro y por las propiedades conmutativa y asociativa, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + − = + + − = + + − B B O B A A A B A A C A ( ) . = + + − = + = C A A C O C Así, . + = + → = A B A C B C . + = + → = A B A C B C Supongamos que B = C. Mostremos que . + = + A B A C Puesto que la operación adición “+” en 2 es una función de 2 × 2 en 2 , se sigue que al par (A, B) lo asocia el único elemento A + B de 2 y como B = C, en la suma A + B, se reemplaza C por B y se tiene . + = + A B A C Conclusión: A B A C B C. + = + = A B A C B C. + = + = Teorema i. El elemento O de 2 es único. ii. Dado U2 , el opuesto aditivo –U2 es único. Demostración i. Supongamos que existe otro elemento nulo P de 2 , tal que para todo , , 2 ∈ + = U P U U y en particular para , 2 = ∈ U O , se tie- ne . + = P O O Como O2 es tal que , + = O U U realizando 2 = ∈ U P y reemplazando en la igualdad precedente, se tiene . + = O P P Así, , = + = + = O P O O P P que contradice la hipótesis. Por lo tanto, O2 es único. ii. Se propone como ejercicio. Recuerda que… Notaciones 1. Por la propiedad asociativa de la adición “+” en 2 , escribi- remos U + V + W en vez de U + (V + W) o de (U + V) + W. Además, si U = (a, b), V = (c, d), W = (p, q), entonces U + V + W = (a + c + p, b + d + q). 2. Debido a la existencia de opuestos aditivos en 2 , dado U = (a, b) 2 , el opuesto adi- tivo de U es V = (–a, –b), que se nota con –U. Esto es, –U = (–a, –b), con lo que la citada propiedad se expresa del modo siguiente: para cada U 2 existe – U 2 , tal que U + (–U) = 0. Grupo conmutativo (2 , +) El conjunto 2 en el que se ha definido la igualdad de elementos de 2 , junto con la operación adición “+”, tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo. Esto es, la operación adición “+” es cerrada en 2 y satisface las propiedades desde el literal i. hasta el literal iv. de las propie- dades en 2 .
- 44. 155 Producto de escalarespor elementos de 2 En lo sucesivo, a los elementos de los denominamos escalares. Definición Sean a y U = (x, y) 2 . Se define el producto de a por U, que se escribe a . U, como sigue: a ∙ U = a ∙ (x, y) = (ax, ay). De la definición, se sigue que el producto de un número real por un elemento de 2 es otro elemento de 2 , cuyos componentes son los productos del número real por los respectivos componentes del par ordenado. El producto de escalares (números reales) por pares ordenados de 2 es una operación a la que notamos “ ∙ ” y es una función de × 2 en 2 definida como sigue: : ( , ) , 2 2 ⋅ × → → ⋅ a U a U con a ∙ U arriba definido. Además, se asume que . . ( , ) a U U a ax ay = = , donde ∈ a , = ∈ U x y ( , ) 2 . Siempre que no haya peligro de confu- sión, se escribirá aU en lugar de a.U. Ejercicios resueltos 1. Para a= 2 y U = 2 5 , 4 9 , se tiene aU= 2 ( ) 2 5 , 4 9 = 2 ( ) 2 5 , 2 ( ) 4 9 = 4 5 , 8 9 . 2. Sea ( , ) . 2 = ∈ U a b . Como , y 0 0, 0 0, ∈ ⋅ = ⋅ = a b a b entonces 0 0 ( , ) (0 , 0 ) (0, 0) . ⋅ = ⋅ = × × = = U a b a b O Conclusión: para todo , 0 . 2 ∈ ⋅ = U U O 3. Sea a . ∈ Entonces (0, 0) ( 0, 0) (0, 0) . ⋅ = ⋅ = × × = = a O a a a O Conclusión: para todo , . ∈ ⋅ = a a O O Propiedades del producto de escalares por elementos de 2 Teorema Para todo a, b y para todo U, V 2 , se verifican las siguientes propiedades: i. ( ) ( ) ( ). = = a bU ab U b aU ii. ( ) . + = + a b U aU bU iii. ( ) . + = + a U V aU aV iv. 1 . ⋅ = V V Demostración de la propiedad 2 i. Por la definición del producto de números reales por pares orde- nados de 2 y la propiedad distributiva en , se tiene: (a + b) U = (a + b) (p, q) = ((a + b) p; (a + b) q). Por otro lado, aU + bU = a(p, q) + b(p, q) = (ap, aq) + (bp, bq) = (ap + bp, ap + bq) = ((a + b) p, (a + b) q). Por la definición de igualdad de elementos de 2 , se concluye que (a + b) U= aU + bU= ((a + b) p, (a + b) q). Conclusión: para todo a, b , U 2 , (a+ b) U = aU + bU. Recuerda que… Antes de describir las propiedades del producto de escalares por elementos de 2 , recordemos algunas propieda- des del producto “∙” de núme- ros reales. i. Conmutativa: para todo x, y , x ∙ y = y ∙ x. ii. Asociativa: para todo x, y, z , x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z. iii. Existencia de elemento unidad: existe 1 tal, que para todo x , 1 ∙ x = x. iv. Existencia de opuestos multiplicativos: para cada x , x ≠ 0, existe = ∈ − x x 1 1 , tal que xx–1 = 1. La adición y el producto de números reales están ligados por la propiedad distributiva: para todo x, y, z , x (y + z) = xy + xz. El conjunto 2 en el que se ha definido la igualdad, la ope- ración adición + con la que (2 , +) es grupo conmutativo, y el producto de escalares por elemento de 2 que verifican las propiedades del i al iv del Teorema precedente, tiene estructura de espacio vectorial. El conjunto con la adición + y el producto × tiene también estructura de espacio vectorial, pues tiene propiedade similares a las del espacia 2 .
- 45. Taller práctico 156 3 Sean A=2,3 ( ), B= 1 2 ,1 , C = 4, 1 3 . Realiza las sumas que se proponen en cada caso. 1 DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adi- ción entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera analítica aplican- do propiedades de los números reales. a) 2, 2 ( ) = P . a) A + B + C. a) ( ) . − + = − − U V W U V W b) ( ) . − + = − − U V U V c) ( ) . − + + = − − − U V W U V W d) ( ) . − − = − + U V W U V W e) ( ( )) . − − − = − + − U V W U V W f) ( ( )) . − − − − = + − U V W U V W c) –A + B – C. b) A – B + C. a) A=( 3, 8), B= 1 5 , 2 . b) P = 1 3 , 2 5 . b) (0, 1), (1, 0). = = A B c) P = 1+ 5, 1 3 3 3 . c) A= 3 2 ,5 5 ( ), B= 3 2 2 , 5 3 5 . d) A= 1 8 , 1 3 , B= 5 8 , 7 3 . e) A= 1 4 , 1 3 , B= 1 5 , 1 2 . Escribe el opuesto aditivo de cada ele- mento P de 2 que se da y verifica que P + (–P) = O. 2 4 Con los vectores A, B de 2 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B. Sea , En tu cuaderno, verifica la igualdad que se propone en cada caso. ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ U= 2 5 ,1 , V = 1 2 , 2 W = 3 10 , 1 4 .
- 46. 157 5 6 7 Sea U2 . Pruebaque –(–U) = U, y, –(–(–U)) = –U. Sean U, V, W2 . Demuestra las siguientes igualdades: Sea U 2 . Prueba que el opuesto aditivo de U es único. Para el efecto, asume que existe otro opuesto distinto al opuesto de U y obtén una contradicción. 8 Sean ( , ), 1 1 1 = A a b ( , ), 2 2 2 = A a b ( , ), 3 3 3 = A a b ( , ) 4 4 4 = A a b cuatro elementos de 2 . Demuestren que se tienen las siguientes igualdades: [ ( )] 1 2 3 4 + + + = A A A A [( ) ] 1 2 3 4 + + + = A A A A ( + )+( + ) 1 2 3 4 A A A A ( , ). 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + + + + a a a a b b b b En vista de este resultado, se escribe simplemente + + + , 1 2 3 4 A A A A y ( , ). 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + = + + + + + + A A A A a a a a b b b b ( , ). 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + = + + + + + + A A A A a a a a b b b b 9 Resuelvan en el cuaderno. Sea N el conjunto de los números naturales. Se denota con N2 al producto cartesiano N × N. Esto es, N2 = {(m, n)| m, n N}. En N2 , se define la igualdad y la operación adición “” como sigue: Igualdad. Sean (m, n), (p, q) N2 . Entonces (m, n) = (p, q) m = p^n = q. Adición “”. Sean (m, n), (p, q) N2 . Se define (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q), donde + es la operación adición en N. Prueben que la operación adición “” en N2 satisface las siguientes propiedades: clausurativa, conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro. (N2 , ) no es grupo. La operación “” en N2 es la operación “+” en 2 , restringida al conjunto N2 2 . 10 Dados los vectores ( 3,1); (2, 2); (0,3) = − = − = A B C , obten- gan el vector v u λ λ λ λ ( ) ( ) = = = 3,1 3 , que se define en cada caso. a) ( ) . − − = − + = + − U V W U V W U W V b) ( ) . − + + = − − − U V W U V W c) ( ( )) ( ). − − − = − + − = − + U V W U V W V U W a) 2 . = + + u A B C b) 5 1 3 . = − + + u A B C c) 3 10 20 . = − − − u A B C d) 10 8 4 . = − + u A B C Diversidad funcional en el aula Si una persona tiene discapacidad auditiva o dificultades para escuchar, es necesario encon- trar otras formas de comunicación, por ejemplo escribir el mensaje, eso puede ayudar en las actividades de esta sección. Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020).
- 47. 158 Interpretación geométrica de lasoperaciones en 2 DCCD: M.5.2.6. Reconocer los vectores como elementos geométricos de 2 . Consideremos el sistema de coordenadas rectangulares xy y denote- mos con O el punto de intersección del eje x con el eje y. Sea ∈ = ( , ) 2 A a b . Representamos el punto A en este sistema de coordenadas y asociamos al punto A el vector geométrico OA , con lo que se establece una identificación entre los vectores geométricos OA y los puntos A de 2 . Notación. Debido a la identificación entre los elementos de 2 y los vectoresgeométricos,escribimos A ∈ = ( , ) 2 A a b alvectorgeométrico OA . Esto justifica, en parte, la escritura de los elementos de 2 como u , v , A , etc., que arriba se ha mencionado. En la gráfica de la Figura 3.17. se muestra el vector. Interpretación geométrica de la suma de vectores Sean ( , ), ( , ) 1 1 2 2 = = A a b B a b dos elementos de 2 . Representemos geométricamente los vectores A y B. Tracemos, por el extremo del vector B, el vector A . Luego, el vector geométrico que une el origen con el extremo del vector trasladado A al extremo de B es la suma B + A , que coincide con el punto + + + = ( , ) 1 2 1 2 B A a a b b . De mane- ra similar, por el extremo del vector A , tracemos el vector B. El vector resultante que une el origen con el extremo del vector trasladado B al extremo de A es la suma A + B, que coincide con la representación del par ordenado + + + ( , ) = 1 2 1 2 a a b b A B . En la Figura 3.18. se mues- tra la representación geométrica de A + B. Interpretación geométrica del producto de un escalar por un vector Sean ∈ = ( , ) 2 A a b , λ. A continuación, se presenta la interpreta- ción geométrica del producto λA. Para el efecto, trazamos el vector A y consideramos tres casos: λ0, λ=0, λ0. Si λ0, el vector λ A tiene la misma dirección y sentido que el vector A . Si λ = 0, λ A = 0, A = 0 es el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Si λ0, el vector λ A tiene la misma dirección que A , pero es de sentido opuesto a A . En los tres casos, λ A = (λa, λb). En la Figura 3.19. se muestran el caso λ0 y el caso λ0. Saberes previos ¿Qué es la norma de un vector? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo se determina la adición de vectores en 2 ? Recuerda que… El punto A = (a, b) 2 se representa en la forma ha- bitual como punto del plano y luego se identifica con el vector A , que a su vez se identifica con el vector geométrico OA . y x 0 a b A = (a, b) A p Figura 3.17. x y B A A+ B B+ A a2 a1 b2 b1 a1+ a2 b1+ b2 0 p Figura 3.18. λ λ λ y x b A A b a a λ 0 λ λ λ y x a a b A A b λ 0 p Figura 3.19.
- 48. 159 v = (6,2) 0 1 2 3 4 5 6 –3 –2 –1 1 2 –1 y x v = (–3, –1) u = (3, 1) 1 2 Ejercicios resueltos 1. Sean =(3, 2), u = − v ( 2,1). Entonces + =(1, 3). u v En la Figura 3.20. se muestran los vectores u , v y u + v. 2. Sean 1 2 , 2. α β = − = Entonces α β ( ) − − = − = 3 2 , 1 4, 2 u y v α β ( ) − − = − = 3 2 , 1 4, 2 u y v α β ( ) − − = − = 3 2 , 1 4, 2 u y v En la Figura 3.21. se muestran los vectores u , v , α u y β v. Vectores colineales Definición Sean u, v 2 con u ≠ 0. Se dice que los vectores u y v son colineales si y solo si existe un número real λ, tal que v = λ u. En la definición precedente, nótese que si λ 0, los vectores u y v tienen la misma dirección y sentido. También, si λ 0, los vectores u y v tienen la misma dirección, pero son de sentidos opuestos. En la Figura 3.22. se muestran dos vectores colineales a u para los dos casos λ 0 y λ 0. Ejercicio resuelto 1. Sea = 3,1 . λ ( ) ∈ u y Entonces = 3,1 3 , λ λ λ λ ( ) ( ) = = v u es coli- neal a u . Para λ = 2, se obtiene 6,2 1 ( ) = v y para λ = –1, se tiene 3, 1 . 2 ( ) = − − v En la Figura 3.23. se muestran los vectores y 1 2 v v colineales a . u 2. Los vectores =(1, 2), (1, 3) u v no son colineales. Sin embargo, supongamos que lo son. Entonces, existe x tal que . = v xu Luego, (1, 3) (1, 2) ( , 2 ) 1 , 3 2 . = = = = = v xu x x x x x (1, 3) (1, 2) ( , 2 ) 1 , 3 2 . = = = = = v xu x x x x x (1, 3) (1, 2) ( , 2 ) 1 , 3 2 . = = = = = v xu x x x x x De la primera igualdad, se obtiene x = 1. Al reemplazar x = 1 en la segunda igualdad, resulta 3 = 2, lo que es un absurdo. Este hecho se produce por haber supuesto que los vectores , u v son colineales. Lo correcto es que , u v no son colineales. Teorema Sean ( , ), ( , ) = = u a b v c d dos vectores de 2 con 0 ≠ u . Entonces, y u v son colineales si y solo si 0. − = ac bd La demostración se deja como investigación para el estudiante. p Figura 3.23. –2 –1 1 2 3 x 3 1 0 y 2 u v u v u + v p Figura 3.20. –4 –3 –2 –1 1 2 3 x 3 1 0 –1 y 2 v v u β u α p Figura 3.21. y x 0 u v = 0 λu v = λ 0 λ λ u p Figura 3.22. Recuerda que… Puesto que = u 0 0 , el vector nulo es colineal a todo vector de 2 . Dos vectores no nulos de 2 se dicen linealmente indepen- dientes si no son colineales. Los vectores colineales se dicen también linealmente depen- dientes. Tres vectores no nulos de 2 son linealmente dependientes. Investiga por qué. Glosario absurdo. Contrario y opuesto a la razón, que no tiene sentido. a cb
- 49. Taller práctico 160 4 Dados 2 3 , 1 4 ,(3, 4), ( 2, 5), λ β = = − = − = − u v representa, en el sistema de coor- denadas rectangulares, los vectores , , + , ( )+( ) . λ β λ β − − u v u v u v 5 Considera los vectores (0, 2) y ( 3, 1). = = − − u v Representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores − + , – , 2 + , 2 . u v u v u v u v 1 DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adi- ción entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera geométrica apli- cando propiedades de los números reales. M.5.2.6. Reconocer los vectores como elemen- tos geométricos de 2 . Sean (4,1), ( 2, 3). = = − − A B Representa, en el sistema de coordena- das rectangulares, los vectores , , , , – . − + A B B A B A B 3 2 Sea ( 1, 4). = − u En el sistema de coorde- nadas rectangulares, representa los vec- tores − , 2 y 1 2 . u u u Sean (1, 2), (4, 3), 2 y 1 3 . λ α = = = − = A B En el sistema de coordenadas rec- tangulares, representa los vectores , , , + , . λ α − − A A B B A B A 6 Considera los vectores =(3,0), =(0,2), =( 1,1). − u v w En el sistema de coordenadas rectan- gulares, representa los vectores , , , , . + + − − u v w u v w u v w
- 50. 161 7 8 9 Dados los vectores =(2,1),=( 2, 1), =(3, 2). − − − A B C En el sistema de coordenadas rectan gulares, representa los vectores , , , 2 +2 1 3 , 1 2 2 3 1 4 . − − + − A B C A B C A B C Sea =(2, 8). − u Sea ( 1,1), (0,1) y ( , ) . 2 = − = = ∈ u v w a b a) Muestra que =(1, 2) − v no es colineal con u . b) Prueba que =(–1,4) w es colineal con u . a) Halla a, b tal que +10 =0. u w b) Halla a, b tal que 10 1 5 0 − = v w c) Halla a, b tal que ( 1) . + + = b u av w Diversidad funcional en el aula Es fundamental realizar comentarios positivos y resaltar el aporte de cada integrante cuando se trabaja en equipo, señalar también lo que se puede mejorar. Trabajo colaborativo a) Determinen la condición que debe verifi- car x para que = (10, ) v x sea colineal con u. b) Determinen la condición que debe verifi- car y para que = ( ,20) w y sea colineal con u . c) Determinen la condición que debe verifi- car a para que + =(3 2,2) z a no sea colineal con u . a) Muestren que − = (4, 12) w es colineal con 2 . + u v b) Verifiquen que − = 1, 1 5 w − = 1, 1 5 w es colineal con 2 3 . − u v c) Determinen x, si existe, para que (2,1) = w sea colineal con 3 . + u xv 10 11 12 Consideren los vectores ( ) ( ) = 4,5 , 40,50 . u v Determinen x, y , tal que 0 + x y y + = 0. xu yv ¿Este caso tiene una sola solución, dos soluciones o infinitas soluciones? Sea =(1, 2). u Los vectores (1,1), ( 1,1) = = − u v no son colineales. Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Archivo editorial, (2020).
- 51. 162 DCCD: M.5.2.7. Calcularel producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar la distancia entre dos puntos A y B en 2 como la norma del vector AB. M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elementos en 2 , apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet). El espacio euclídeo 2 Saberes previos ¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo pruebas que dos vectores son ortogonales? Recuerda que… El producto escalar en 2 que hemos definido es el más utilizado. Cabe precisar que un producto escalar en 2 es una función A B A B • : , ( , ) , 2 2 × → → ⋅ y satisface las propiedades simi- lares desde el literal i. hasta el iv. del teorema precedente. En esta sección, estudiaremos el espacio vectorial 2 que posee una estructura adicional conocida como espacio con producto escalar, producto interno o producto punto. Producto escalar en 2 Definición Sean , 2 ∈ A B con ( , ), ( , ). 1 1 2 2 = = A a b B a b Un producto escalar de A con B representado por ⋅ A B está definido como . 1 2 1 2 ⋅ = + A B a a b b El número real ⋅ A B se llama producto escalar, producto punto o producto interior de A con B. Nótese que el producto escalar de dos vectores de 2 es un número real. Ejercicios resueltos 1. Sean (3,5), ( 1,4). = = − A B Entonces, 3 ( 1) 5 4 17. ⋅ = × − + × = A B 2. Sean (2, 1), (1,2). = − = A B Entonces, 2 1 ( 1) 2 0. ⋅ = × + − × = A B Demostración Sean ( , ), ( , ), ( , ) 1 1 2 2 3 3 = = = A a b B a b C a b tres elementos de 2 . i. De la definición de producto escalar, se tiene . 1 2 1 2 2 1 2 1 ⋅ = + = + = ⋅ A B a a b b a a b b B A ii. En primer lugar, ( , ) ( , ) ( , ). 1 1 2 2 1 2 1 2 + = + = + + A B a b a b a a b b Luego, por la definición del producto escalar en 2 , obtenemos ; , 1 3 1 3 2 3 2 3 ⋅ = + ⋅ = + A C a a b b B C a a b b entonces ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 + ⋅ = + + + = + + + A B C a a a b b b a a a a b b b b . 1 3 1 3 2 3 2 3 = + + + = ⋅ + ⋅ a a b b a a b b A C B C Luego, ( + ) = + . ⋅ ⋅ ⋅ A B C A C B C Las otras propiedades se proponen como ejercicios para el estudiante. Definición de Subespacio Vectorial Un subconjunto V de 2 es un subespacio vectorial de 2 si este con las mismas operaciones de adición + y producto de escalares por elementos de 2 , satisface las mismas propiedades del espacio vectorial 2 . Ejemplo V = {t(a, b)|t }, donde (a, b) 2 no nulo, es un subespacio vectorial de 2 . Teorema Sean α ∈ ∈ A B C , , , 2 . El producto escalar en 2 arriba definido satisface las propiedades siguientes: i. = . ⋅ ⋅ A B B A ii. ( ) . + ⋅ = ⋅ + ⋅ A B C A C B C iii. ( ) = ( ). α α ⋅ ⋅ A B A B iv. ⋅ ⋅ ≠ A A A A A A =0 =0, 0 0.
- 52. 163 Longitud o normade un vector Otro de los conceptos importantes en matemática, y muy particular- mente en la geometría analítica plana, es el de norma de un vector. En el caso del producto escalar habitual, esta norma coincide con la longitud del vector. Definición Sea ( , ) . 2 = ∈ A a b . La longitud o norma de A que se nota A se define como . 2 2 A A A a b = ⋅ = + . Nótese que para todo ( ) = ∈ A a b , 2 , por la propiedad iv. de la de- finición de producto escalar, se tiene ⋅ ≥ A A 0 , con lo cual A está bien definido. Ejercicios resueltos 1. Sea ( ) A= 4,3 . Entonces, 4 3 25, 2 2 A A ( ) ( ) ⋅ = + = luego 25 5. A A A = ⋅ = = 2. Si ( ) A= 0,0 , entonces = 0 A A ⋅ , y 0 0. A A A = ⋅ = = Propiedades de la norma de un vector Se verifican las siguientes propiedades: i. 0, . 2 A A ≥ ∀ ∈ . ii. = = A A 0 0. ⇔ = = A A 0 0. iii. , , . 2 A A A α α α = ∀ ∈ ∀ ∈ . iv. , , . 2 A B A B A B ⋅ ≤ ∀ ∈ (desigualdad de Cauchy-Schwarz). v. , , . 2 A B A B A B + ≤ + ∀ ∈ (desigualdad triangular). vi. , , . 2 A B A B A B − ≤ − ∀ ∈ Demostración i. Sea ∈ A 2 . Por la propiedad iv. de la definición del producto escalar, se tiene que 0 A A ⋅ ≥ , luego 0. A A A = ⋅ ≥ El resto de propiedades se deja al estudiante como investigación. Ejercicio resuelto 1. Sean = = − − A B (3,4), ( 2, 5). Verifiquemos las desigualdades de Cauchy-Schwarz. Tenemos: 3 ( 2) 4 ( 5) 6 4 5, A B ⋅ = × − + × − =− − 6 4 5 6 4 5, A B ⋅ = − − = + = + = = = − + − = = A B 3 4 25 5, ( 2) ( 5) 9 3. 2 2 2 2 Entonces, 6 4 5 15. A B A B ⋅ = + ≤ = Recuerda que… En las figuras siguientes, se muestran el vector A y el triángulo rectángulo que se forma con el eje X. Obsérvese que en el punto de abscisa a, se tiene el ángulo recto. x y 0 A a b y x 0 A b a = ∀ ∈ a a a | | . 2 Si = u a ( ,0) con ∈ a , entonces = = u a a . 2
- 53. 164 Recuerda que… Teorema Sean ∈ AB C , , 2 . La distancia entre dos puntos de 2 verifica las propiedades siguientes: i. ( )≥ d A B , 0. ii. ( ) d A B A B , =0 = . ⇔ ( ) d A B A B , =0 = . iii. ( ) ( ) d A B d B A , = , . iv. ( ) ( ) ( ) ≤ + d A B d A C d C B , , , (desigualdad triangular). El espacio 2 , provisto de la métrica o distancia d, se llama espacio métrico y se escribe d ( , ) 2 , . d ( , ) 2 1 2 1 0 –1 –2 2 –1 –3 –5 A B C x y p Figura 3.24. –2 –1 1 2 x 1 0 y 2 B A p Figura 3.25. Distancia entre dos puntos Definición Sean A a b B c d ( , ), ( , ) 2 = = ∈ . Se llama distancia de A a B, que se nota ( ) d A B , , al número real no negativo ( )= − = − + − d A B A B a c b d , ( ) ( ) . 2 2 Ejercicio resuelto Los vértices de un triángulo son los vértices ( ) − = 2,1 , A ( ) = 1,2 , B ( ) − = 2, 3 . C Primero, determinemos el perímetro del triángulo (Figura 3.24.). Para el efecto, calculemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo. Tenemos ( ) ( ) ( ) − − − − − A B = 2,1 1,2 = 3, 1 , ( ) ( ) ( ) − − − − − A C = 2,1 2, 3 = 4,4 , ( ) ( ) ( ) − − − − B C = 1,2 2, 3 = 1,5 , y de la definición de distancia entre dos puntos, obtenemos ( ) − + d A B A B , = = 9 1= 10 , ( ) − + d A C A C , = = 16 16 = 4 2 , ( ) − + d B C B C , = = 1 25 = 26. Consecuentemente, el perímetro p es ( ) ( ) ( ) + + + + p d A B d A C d B C = , , , = 10 4 2 26. Ortogonalidad Definición i. Sean A B , 2 ∈ . Se dice que A es ortogonal o perpendicular a B, que se escribe ⊥ A B si y solo si = . 0 A B . ii. Sean ∈ 2 A y S2 con ≠ ∅ S . Se dice que A es ortogonal al conjunto S, que se escribe ⊥ A S, si y solo si ⋅ ∀ ∈ A B B S = 0 . iii. Sean R ∙ S dos subconjuntos no vacíos de 2 . Se dice que R es orto- gonal a S, que se escribe ⊥ R S, si y solo si ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ = 0 , A B A R B S. iv. Sea S 2 con ≠ ∅ S . Se dice que S es un conjunto ortogonal si A B A B S = 0 , ⋅ ∀ ∈ con A ≠ B. v. SeaS2 con ≠ ∅ S .ElcomplementoortogonaldeSsenotacon ⊥ S ysedefinecomoelconjunto { } = ∈ ⋅ = ∀ ∈ ⊥ | 0 . 2 S A A B B S Ejercicios resueltos 1. Sean A B = 2, 1 , = 1, 2 ( ) ( ) − (Figura 3.25.). Entonces ⊥ A B, pues ⋅ − + A B = 2 2 = 0. 2. Sean ( ) − A= 2, 1 y ( ) ∈ ={ 1, 2 | } S t t . Entonces, ⊥ A S. En efec- to, sea BS, entonces B es de la forma ( ) ( ) = = ∈ B t t t t 1,2 ,2 . Luego, ( ) ⋅ − + A B t t = 2 2 = 0. Así, ⋅ ∀ ∈ A B B S = 0 . Nótese que el conjunto S es un subespacio de 2 , que se identifica con una rec- ta que pasa por el origen y es paralela al vector ( ) B = 1,2 , llamado vector director de la recta.
- 54. 165 α β γ 0 C A x y v u √3 2 ,0 B = En la Figura 3.26. se muestran el vector A , el vector B S y la recta S. Obsérvese que el símbolo ha sido dibujado para indicar que el vector A y el conjunto S forman un ángulo recto en el punto O. Ángulo entre dos vectores Definición Sean A B , 2 ∈ nonulos.Elángulo θ π [ ] ∈ 0, entrelosvectores A y B se define como θ = ⋅ A B A B cos( ) . De la definición del ángulo entre los vectores A y B, se sigue que ⊥ ⋅ A B A B = 0 ⇔ ⊥ ⋅ A B A B = 0, con lo cual θ cos( ) = 0, de donde θ π = 2 . Por este motivo, dos vectores perpendiculares u ortogonales forman un ángulo recto. Ejercicio resuelto Los vértices de un triángulo son los puntos ( ) = 0,0 , A ( ) = ,0 , 3 2 B ( ) = , . 3 2 1 2 C Calcular las medidas de los ángulos interiores del triángu- lo. En la Figura 3.27. se muestran los ángulos interiores del triángulo T. Cálculo de α. Sean , u v los vectores que se definen a continuación: u =B A= 3 2 ,0 0,0 ( )= 3 2 ,0 , v =C A= 3 2 , 1 2 0,0 ( )= 3 2 , 1 2 . u = A B= 3 2 ,0 , v =C B= 0, 1 2 . Entonces, ⋅ u v = 3 4 , u = 3 2 , v =1. Luego, α α π = ⋅ = = = cos( ) 3 4 3 2 3 2 6 . u v u v Cálculo de β. Para el efecto, se definen los vectores , u v , como sigue: u =B A= 3 2 ,0 0,0 ( )= 3 2 ,0 , v =C A= 3 2 , 1 2 0,0 ( )= 3 2 , 1 2 . u = A B= 3 2 ,0 , v =C B= 0, 1 2 . Calculamos sus longitudes y el producto, y obtenemos u = 3 2 , = v 1 2 , u v = 0. ⋅ Por lo tanto, , u v son ortogonales y, en consecuencia, β ⋅ →β π u v u v cos( )= = 0 = 2 . ⇒ β ⋅ →β π u v u v cos( )= = 0 = 2 . Así, 6 2 3 , γ π α β π π π π = − − = − − = . Recuerda que… El teorema de Pitágoras enuncia que, en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo 2 . Teorema de Pitágoras Sean A B , 2 ∈ . Entonces, ⊥ A B si y solo si + = + A B A B . 2 2 2 . Recuerda que… Ley de cosenos Sean A B , 2 ∈ no nulos y [ ] θ∈ π 0, el ángulo que for- man los vectores A B y . Como ⋅ θ A B A B = cos , resulta que − + − θ B A B A A B = 2 cos . 2 2 2 –1 1 x 1 0 y 2 B A S p Figura 3.26 p Figura 3.27.
- 55. Taller práctico 166 3 4 2 Con losvectores , A B de 2 que se dan en cada ítem, representa gráfi- camente dichos vectores y calcula + − A B A B A B , , , . Sean , 2 A B ∈ que se dan en cada ítem, verifica las desigualdades siguientes: + ≤ + − ≤ − A B A B A B A B , , ( ) ⋅ ≤ ≤ + A B A B A B 1 2 . 2 2 Con los vectores =(2,4), =( 1,3), − u v =( 3, 2), − − w verifica las igualdades que se indican en cada ítem. Para el efecto, desarrolla el lado izquierdo de la igual- dad, luego el derecho y comprueba. 1 DCCD: M.5.2.7. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para deter- minar la distancia entre dos puntos A y B en 2 como la norma del vector AB. M.5.2.8. Recono- cer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elementos en 2 , apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet). Sean A B , 2 ∈ , que se dan en cada ítem, calcula ⋅ A B. a) = 2,3 , = 3,1 . ( ) ( ) − A B b) = 2 5,1 2 3 , = 2 5,1 5 2 . ( ) ( ) − + + − − − A B c) = 1, , = ,2 , , . A a B b a b ( ) ( ) ∈ d) = 1 , 1 , = 1, 1 , . 2 2 A a a B a a a a a ( ) ( ) + − − + + + ∈ e) = ,1 , = , 2 , , . 2 2 A b B a b b a a b ( ) ( ) − − ∈ a) = 2,5 , = 7,3 . A B ( ) ( ) b) = 0,0 , = 6, 4 . A B ( ) ( ) − c) = 5, 7 , = 4, 2 . A B ( ) ( ) − − − d) = 3,0 , = 0,4 . A B ( ) ( ) e) = 1, 1 , = 1,1 . A B ( ) ( ) − − f) = 1, 1 , = 1,1 . A B ( ) ( ) − − a) 4, 4 , 1,1 . A B ( ) ( ) = − = b) ( ) ( ) − = 0,0 , = 1, 4 . A B c) ( ) ( ) − = 3, 4 , = 4,3 . A B d) ( ) ( ) = 2,0 , = 0,4 . A B e) ( ) ( ) − − = 9, 9 , = 4,4 . A B f) ( ) ( ) − − − = 3, 3 , = 1,1 . A B a) = . u v v u ⋅ ⋅ b) ( 2 ) = 2 . u v w u w v w − − ⋅ − ⋅ − ⋅ c) − ⋅ ⋅ − − ⋅ u v u v u v ( 5 ) = ( 5 )= 5( ). d) (3 ) =3( ) . u v w u v u w ⋅ + ⋅ + ⋅ e) (8 3 ) =8( ) 3( ). u v w u w v w − ⋅ ⋅ − ⋅ f) ( ) ( ) = . u v u v u u v v − ⋅ + ⋅ − ⋅ g) ( ) ( ) = . u v u v u u v v − ⋅ + ⋅ − ⋅
- 56. 167 5 6 7 Con los vectores , A B de 2 que se dan en cada ítem, calcula ( )= − , . d A B A B Sean A B C , , 2 ∈ los vértices de un triángulo, que se proponen en cada literal, calcula el perímetro de cada triángulo e indica qué tipo de triángulo es. Calcula el área de la región triangular. Sean A B , 2 ∈ los vectores que se pro- ponen en cada literal. Indica si ⊥ A B . b) A= 3, 2 ( ), B = 1 2 , 3 4 c) A= 3 2 , 1 2 , B = 2, 12 ( ) d) A= 4,7 ( ), B = 7 2 ,2 a) A (1, 1) = − b) A (0, 2) = − c) A ( 3,0) = − d) A ( 2, 1) = − − a) Muestren que ac bd a b c d ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 + ≤ + + , b) ¿Qué condiciones han de verificar a, b, c, d para que ac bd a b c d ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 + = + + ? a) ( ) ( ) = 2,5 , = 7,3 . A B b) ( ) ( ) − = 0,0 , = 6, 4 . A B c) ( ) ( ) − − − = 5, 7 , = 4, 2 . A B d) ( ) ( ) = 3,0 , = 0,4 . A B a) A B C (0,0), (3,0), (3,4). = = = b) A B C (2,1), ( 2,4), (0,5). = = − = c) A B C ( 3,2), (1,1), ( 1, 2). = − = = − − d) A B C ( 2,0), (0,2), (3, 3). = − = = − a) A= 3, 5 ( ), B = 2 5 , 12 Diversidad funcional en el aula En muchas ocasiones, al trabajar en equipo, existen compañeros que no les gusta hablar en público, es bueno darle confianza para que manifieste su opinión. Trabajo colaborativo 8 9 En cada ítem, se da un vector no nulo A 2 ∈ y sea L B x y A B { ( , ) | 2}, 2 = = ∈ ⋅ = − representen geométricamente el conjunto L y prueben que es una recta. Sean a, b, c, d. Apliquen la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar lo siguiente: Trabajen en equipo y resuelvan. Archivo editorial, (2020).
- 57. 168 Solución de problemas cotidianos Shutterstock, (2020). 385006324 Shutterstock, (2020). 536340250 Practicaen tu cuaderno Modelo simple de crecimiento poblacional 1. Supón que, en 1950, la población urbana que habitaba una ciudad era aproximadamente de 10 000 habitantes. De conservar una ten- dencia de crecimiento poblacional como la del área urbana, para 1990 se registraría una población de 29 200 y en el año 2007 sería de 41 720. Se busca una función P de la forma P t a b t c t t ( ) ( 1950) ( 1950) ≥1950 2 = + − + − dondea,b,c sonconstantespordeterminarse. Para este caso, disponemos de la siguiente informa- ción: P(1950) = 10 000, P(1990) = 29 200, P(2007) = 41 720. Estos datos y la definición de P dan lugar al siguien- te sistema de ecuaciones lineales: a b c a b c a b c (1950 1950) (1950 1950) 10000; (1990 1950) (1990 1950) 29200; (2007 1950) (2007 1950) 41720; 2 2 2 + − + − = + − + − = + − + − = a a b c a b c 10000, 40 1600 29200, 57 3249 41720, = + + = + + = Luego, al resolver este sistema, encontramos que a = 10 000, b = 300, c = 4,5, con lo que la función P está definida como P(t) = 10 000 + 300 (t–1950) + 4,5 (t–1950)2 t≥1950. Ahora, pronostiquemos las poblaciones que se tendrán en los años 2015, 2020, 2030. P(2015) = 10 000 + 300 (65) + 4,5 (65)2 ≈ 48 512. P(2020) = 10 000 + 300 (70) + 4,5 (70)2 ≈ 53 050. P(2030) = 10 000 + 300 (80) + 4,5 (80)2 ≈ 62 800. Nota. Los modelos matemáticos de dinámica de poblaciones son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta sección. En la Figura 3.28. se muestra la gráfica de esta fun- ción P. Nótese que en el eje t se identifica 0 con 1950, 20 con 1970 y así sucesivamente. Relación general entre velocidad y consumo de combustible por hora 2. En un automóvil se registra la siguiente información: Velocidad 0 55 70 Gasolina (galones/hora) 1,1 0,88 1,0 Se busca una función real de [0, ∞[ en [0, ∞[ del tipo ( ) , [0, [ 2 G v v v v α β λ = + + ∈ ∞ a) Con la información de la tabla, calcula las constantes α, β, λ. b) Traza la gráfica de la función G. c) Determina el punto en el que el consumo de combustible es mínimo. d) ¿Cómo es la gráfica de consumo de combusti- ble del auto de tu familia? 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 20 40 60 70 80 y = P (t) 0 1950 1970 1990 2010 2030 t P Población futura p Figura 3.28. p Multitud de personas caminando. p Indicador de combustible de un auto.
- 58. 169 Desafíos científicos La matemática ylas profesiones Shutterstock, (2020). 170955158 Flavio Muñoz M., (2020) . Colección Quito Histórico Maestría en Ingeniería Vial Para optar por una Maestría en Ingeniería Vial, primero debes haber obtenido tu título de tercer nivel, de preferencia en Ingeniería Civil o Arquitectura, en una de las universidades legalmente reconocidas por el Senecyt. El profesional graduado de Ingeniería Vial fundamenta sus accio- nes en una sólida formación científica, en la que las ciencias bá- sicas, matemática, física, química y materiales constituyen el pilar fundamental y el cimiento sobre el que descansa la ingeniería. El profesional graduado de la maestría en Ingeniería Vial está en condiciones de manejar las tecnologías modernas, realizar modeli- zaciones y simulaciones para la ubicación geográfica de las carreteras, desarrollar diseños geométricos y diseños estructurales de pavimen- tos, manejar políticas y planes viales públicos y privados, además de utilizar materiales y técnicas que eviten desperdicios y garanticen un buen nivel de servicio en las carreteras. El entorno de trabajo de un magíster en Ingeniería Vial son las insti- tuciones públicas y privadas, como ministerios, municipios, consejos provinciales, Policía Nacional, concesionarias, constructoras privadas y, en general, instituciones relacionadas con el sector vial. Adaptado de http://www.puce.edu.ec/documentos/IngVial.pdf La matemática y los problemas de desarrollo urbano ¿Qué tiene que ver la matemática con los problemas de movilidad y, como consecuencia, con el tránsito y el transporte? En realidad, mucho. En el desarrollo urbano, este tipo de problemas implica el uso de suelo, la asignación de rutas y frecuencias, la semaforización y la señalización, entre otros aspectos. Mediante una simulación, se puede predecir el comportamiento de las rutas de los buses y determinar los paraderos en los cuales las personas van a tomar el bus o donde llegan y se bajan de estos vehículos. De igual manera, estos procesos permiten estable- cer la sincronización de los semáforos de la ciudad y el tiempo que se toman los transportes de uso masivo para realizar su recorrido. La matemática, en este sentido, ayuda a planificar y a organizar el tránsito y un transporte masivo de calidad, sin dar lugar a la improvisación. p Trabajos de vías en construcción. p Quito histórico y trolebus.
- 59. 170 TIC Uso de GeoGebrapara determinar la solución gráfica de un sistema de ecuaciones cuadráticas 1. Ingresa en Entrada una a una las ecuaciones del sistema. 1. Ingresa las ecuaciones como en el ejercicio anterior. 3. Selecciona Intersec- ción y aparecerán los puntos de corte de las dos gráficas que son la solución del sistema. 4. La solución del sistema de ecuaciones es A = (4, 11) y B = (–3, 4) 3. La solución del sistema de ecua- ciones es A = (–3, 9) y B = (3, 9). 2. Da doble click sobre la gráfica de la ecuación, selecciona Propiedades y cambia el color de la gráfica. 2. Busca las intersecciones entre las dos curvas, estas son las soluciones del sistema de ecuaciones. Archivo editorial, (2020). Geogebra. Archivo editorial, (2020). Geogebra. Sean x y ( , ) 2 ∈ , determinar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones: y x y x 5, 3 7. 2 = − = +
- 60. 171 Uso de GeoGebraen aplicaciones geométricas con elementos de 2 En el triángulo de vértices A (1, 1), B (–3, 2), C (–1, –4), determinar el perímetro y sus ángulos interiores. Cálculo del perímetro Cálculo de los ángulos interiores 1. Selecciona el ángulo, luego señala los vértices BAC, aparecerá el ángulo A. 2. Sigue el mismo proceso para determinar los ángulos B y C. 3. Aparecen en el gráfico los ángulos internos del triángulo. Archivo editorial, (2020). Geogebra. Archivo editorial, (2020). Geogebra. 4. Aparece el perímetro del polígono en la Vista Algebráica, arrastra hasta la Vista Gráfica. 1. Selecciona la opción polígono e ingresa uno a uno los puntos del polígono. 2. Obtienes el triángulo de la figura. 3. En Entrada escribe Perímetro = Perímetro, luego selecciona Polígono y punto a punto, escribes los vértices del polígono.
- 61. 172 Desafíos y proyectosmatemáticos Tema: Construcción de fórmulas cuadrá- ticas para contar colecciones Shutterstock, (2020). 342193166 Justificación Muchas situaciones de razonamiento lógico están ligadas al conteo de elementos de una figura cuyo tamaño varía. Para lograr el conteo es necesario construir o deducir una fórmula cuadrática que cuente la cantidad de elementos que hay en una determinada figura o colec- ción de figuras. El momento en el que desafiamos a los estudiantes con actividades como la que planteamos en este proyecto es cuando cobra sentido la escritura de x2 , pues el trabajo algebraico que deben desarrollar surge de la necesidad de dar soluciones a situaciones reales. Objetivos • Deducir una fórmula cuadrática que cuente el número de palillos que se deben usar para formar una figura cuadrada con 3, 4, 5 palillos de base y luego determinar cuántos palillos se han de usar para formar una figura cuadrada con 56 palillos de base. Recursos • Una caja de palillos o paletas de helado por estudiante • Mesa o tablero para armar las figuras • Lápices y cuaderno para realizar los cálculos respectivos p Series con palillos. Actividades • Dividan el número de estudiantes del aula en grupos de 2 o 3 personas. • Con palillos, armen un cuadrado reticulado como el de la figura, de la siguiente forma: Este cuadrado tiene 3 palillos de lado. • En grupo, analicen y respondan las siguientes preguntas: – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar esta figura? – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 4 palillos? – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 5 palillos? • Extiendan su razonamiento cuando deban armar un cuadrado cuya base tenga 56 palillos. • Determinen una fórmula que permita calcular la can- tidad de palillos que necesitan para armar un cuadrado de n palillos de lado. Conclusiones Solicíteles a los estudiantes que muestren los resultados que alcanza- ron al realizar este proyecto. Pruebe con el método de ensayo-error. Proponga que realicen una exposición de sus resultados y que luego analicen los razonamientos que los llevaron a obtener la fórmula cua- drática solicitada. Extrapole este conocimiento con un nuevo desafío, por ejemplo: si n personas asisten a una reunión y todas se dan la mano, ¿cuántos apretones de mano hubo?
- 62. 173 En síntesis Álgebra yfunciones Geometría y medida Shutterstock, (2020). 123432319 Shutterstock, (2020). 561906172 • El espacio euclídio 2 El espacio vectorial en 2 Función cuadrática • Producto escalar en 2 • Norma de un vector-propiedades • Distancia entre dos puntos • El conjunto en 2 . Operaciones: adición-pro- piedades, sustracción, producto de escalares por elementos de 2 -propiedades • Espacio vectorial 2 • Interpretación geométrica de las operaciones en 2 . Vectores colineales • Subespacios de 2 • Ortogonalidad • Ángulo entre vectores • Teorema de Pitágoras • Ley del coseno • Análisis de la función cuadrática: dominio, recorrido, vértice, máximo y mínimo, interva- los de la función donde es creciente o decreciente • Ecuaciones de segundo grado. Propiedades de las raíces. Factorización de las funciones cuadráticas • Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segun- do grado • Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica • Modelos matemá- ticos con funciones cuadráticas • Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones • Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones p Personas en el mundo. p Parapente volando cerca del volcán Tungurahua.
- 63. Evaluación sumativa 174 M.5.3.2. Representagráficamente funciones cuadráticas; halla las intersecciones con los ejes, el dominio, rango, vértice y monotonía; emplea sistemas de ecuaciones para calcular la intersección entre una recta y una parábola o dos parábolas; emplea modelos cuadráticos para resolver problemas, optimiza procesos empleando las TIC. (13, 14) I.M.5.6.2. Realiza operaciones en el espacio vec- torial en formato R2; calcula la distancia entre dos puntos, el módulo y la dirección de un vec- tor; reconoce cuando dos vectores son ortogo- nales; y aplica este conocimiento en problemas físicos, apoyado en las TIC. (I.3.) 1 3 a) La ecuación ( ) 0, u x x = ∈ puede tener una sola raíz real simple. _____ b) La ecuación ( ) 0, u x x = ∈ puede tener cuatro raíces reales simples. _____ c) La ecuación ( ) 0, u x x = ∈ puede tener una sola raíz real simple y una raíz de multiplicidad. _____ d) La ecuación ( ) 0, u x x = ∈ puede tener cinco raíces reales y distintas. _____ a) Muestra que = − (4, 12) w es colineal con +2 u v. b) Verifica que = − (1, 1 5 ) w es colineal con − 2 3 u v. c) Determina x, si existe, para que = (2,1) w sea colineal con + 3u xv. a) = − − − − + 5(3 4 ) 8( 2 ) u A B A C . b) = − + 10 8 4 u A B C. c) = − − − − − − 5( ) 4( ) u A B A C . Seana,b,c,dcona ≠ 0 y u lafunciónreal, definida por ( ) , 4 2 u x ax bx c x = + + ∈ . Considera la ecuación = u x ( ) 0 . Analiza las siguientes proposiciones y señala si son verdaderas (V) o falsas (F). Sean = = ( , ), ( , ) 1 1 2 2 A a b B a b dos elemen- tos de 2 . Demuestra la propiedad conmu- tativa del producto escalar: A B B A ⋅ = ⋅ . 2 En la tabla siguiente se muestran los años y el número de autos matriculados en la región DDDD. Año 1950 1990 2000 Número de autos 25 000 180 000 25 0000 Con esta información, se busca una función P del tipo ( ) ( 1950) ( 1950) , 1950. 2 P t a b t c t t = + − + − ≥ a) Calcula las constantes a, b, c. b) Prueba que la función es estrictamente creciente. c) Calcula P(2007) y pronostica resultados para el año 2020. d) Según este modelo, determina el tiempo en el que se tienen 400 000 autos matricu- lados. 4 5 6 Los vectores = = − (1, 1), ( 1, 1) u v no son colineales. Dados los vectores = − = − = ( 3,1), (2, 2), (0,3), A B C obtén el vector u , que se define en cada caso. Determina el perímetro del triángulo que se muestra en la figura. 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 A = (1, 2) B = (6, 4) C = (6, 0)
- 64. 175 Metacognición Coevaluación Siempre A vecesNunca En los trabajos colaborativos aportamos todos para la construcción de pro- yectos matemáticos. La participación grupal fortalece los lazos de unión y compañerismo. Autoevaluación Siempre A veces Nunca Analizo correctamente las propiedades de la función cuadrática. Empleo la función cuadrática para resolver problemas reales, realizo modelos matemáticos y pronostico resultados. Realizo operaciones con vectores en 2 y aplico en la solución de problemas. a) ¿Para qué te sirve el tema de la función cuadrática en tu cotidianidad? ____________________________________________________________________________________________________ b) ¿Por qué es importante conocer el tema de vectores en la aeronáutica? ____________________________________________________________________________________________________ 7 9 10 11 8 a) b) c) d) a) x = 10 b) x = –5 c) x = 5 d) x = 20 a) x = 15 b) x = –20 c) x = 50 d) x = 10 a) b) c) d) El recorrido de f es: La función es estrictamente decreciente sobre el intervalo: Determina la condición que debe verificar x para que = (10, ) v x sea colineal con u. Determina la condición que debe verificar x para que ( ,20) w x = sea colineal con u. El vértice de la parábola es: Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta. Considera la función cuadrática f definida por = + + ∈ ( ) 1, 2 f x x x x y dominio Dom(f)=. Determina los siguientes puntos: Sea el vector = (1, 2) u . 4 3 , 4 3 , 3 4 , 3 4 , −1 2 , 3 4 1 2 , 3 4 − 3 2 , 3 4 1 2 , 5 4 , 1 2 , 1 2 , 3 4 , 3 4 , 1 2 , 1 2 , 3 4 , 3 4 a) b) c) d)
- 65. 176 Observa y contesta • ¿Qué usos tienen los compuestos quí- micos que se producen en un labora- torio? • ¿Cómo puede ser útil la Matemática en un laboratorio bioquímico? • ¿De qué manera se relaciona la Ma- temática con otras ciencias como la Física, la Química y la Biología? Matemática y otras ciencias T odos los cálculos que se realizan en física, química y biología se ba- san en la matemática. El uso de funciones y sus derivadas son importantes para medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación determinada, como, por ejemplo, la velocidad instantánea en fun- ción del tiempo, la distancia o las temperatu- ras. Las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones que pueden demostrarse mediante la práctica. En química, han sido fundamentales para expre- sar y calcular razones de cambio, reacciones químicas en función de las concentraciones de cada uno de los reactivos que intervienen o para encontrar la compresibilidad isotérmi- ca de una sustancia, cuando su temperatura es constante y el volumen depende de la presión. Rectas en R2 y derivada de la función cuadrática
- 66. 177 unidad 4 Objetivos • O.G.M.1. Proponersoluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacio- nal y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estra- tegias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto. • O.G.M.2. Producir, comunicar y gene- ralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimien- tos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras discipli- nas, entender las necesidades y potenciali- dades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social. • O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra- zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali- dez de los resultados. • O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramien- tas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad na- cional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investiga- ción. Ministerio de Educación, (2016). Bloques curriculares Geometría y medida Álgebra y funciones Shutterstock, (2020). 525746323 Shutterstock, (2020). 259725194
- 67. 178 Ecuación vectorial dela recta DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta. Definición. Sean 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t un sistema de referencia ortogonal del plano, 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t fijos con 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t . El conjunto L definido como 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t se llama recta que pasa por 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t y es paralela a 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t . El vector 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t se llama vector director o vector generador de la recta de L. La ecuación 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t , se llama ecuación vectorial de la recta L. De la definición se sigue que L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . . Además, cada elemento de la recta L es de la forma u + tv para algún L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a ( { x t ( )= a,t ( )t . , más aún, se tiene la siguiente equivalencia: L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )=( { x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . tal que . su negación se escribe: L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( { x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . Los vectores 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t y L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 con t R, t 0, son colineales. En la Figura 4.1. se muestran los vectores L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 v 0. y el conjunto L; recta que pasa por los extremos de L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 y L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 . Ejercicio resuelto Sean L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . y L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . . El subconjunto L de 2 queda definido como sigue, L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . 2 , y se denomina recta L que pasa por (–2, 0) y es paralela al vector L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )=( { x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 . Esta es una recta paralela al eje Y. Una ecuación vectorial de esta recta es: L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . , tR. Por ejemplo, para t = 0, se tiene L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 , para t = 1, ( ) ( ) = x 1, 1 –2,1 , para t = –2, x (–2) = (–2, –2). En la Figura 4.2. se muestra la recta L. De manera más general, sea L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) = (a, 0) con a R, L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x { x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 v 0. L= u+tv t { } x t ( )=u+tvt . . La recta que pasa por L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) y es paralela a 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t es el conjunto L definido como { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + ∈ = = ∈ L x t a t t x t a t t ,0 0,1 , Una ecuación vectorial de esta recta está dada como x t ( )= a,t ( )t . , t R. Otra ecuación vectorial de la recta L está definida como sigue: x t ( )= a,t ( )t . (a, –2) + t(0, –1), t R. Esta recta es paralela al eje Y. En la Figura 4.3. se muestra esta recta L. Segmentos de recta Sean L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 v 0. L= u+tv t { } R2 con 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv ≠ 0. La recta L que pasa por L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { } x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 v 0. L= u+tv t { } y es paralela a 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv es el conjunto L 2 t x L t x =u+tv x L t x u+tv v tv u,v ,tv ,x u = 2,0 ( )yv = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )t { } j x t ( )= 2,0 ( )+t 0,1 ( )= 2,t ( ) t x 0 ( )= 2,0 ( )=u t =1,x 1 ( )= 2,1 ( ) t = 2,x 2 ( )= 2,2 ( ) u = a,0 ( ) a a 0, v = j = 0,1 ( ) L= x t ( )= a,0 ( )+t 0,1 ( )t { }= x t ( )= a,t ( )t { }. x t ( )= a,t ( )t . x t ( )= a, 2 ( )+t 0,–1 ( )t . u ,v 2 v 0. L= u+tv t { } x t ( )=u+tvt . . La ecuación vectorial viene defi- nida como ( )= + ∈ x t u tv t , t R. Saberes previos ¿Qué es un sistema de referencia ortogonal del plano? 0 v v u x u u t L y x x y j j u j u x(1) L x(–2) –2 –1 –1 –2 0 j + t y L a x 0 u v v v y x W x1 x0 L = u + W [A, B] (x, y) b y0 x0 a x y L 0 0 A B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 0 –1 –2 –3 A B x y [A, B] p Figura 4.1. u x y j j x(1) L x(–2) –2 –1 –1 –2 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 0 –1 –2 –3 A B x y [A, B] p Figura 4.2. 0 v v u x u u t L y x x y j j u j u x(1) L x(–2) –2 –1 –1 –2 0 j + t y L a x 0 u v y x W x1 x0 L = u + W [A, B] 0 A B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 0 –1 –2 –3 A B x y [A, B] p Figura 4.3. . Recuerda la definición Dados dos puntos distintos A, B cualesquiera en el plano, existe una y solo una recta L que los contiene. . Desequilibrio cognitivo ¿Es posible determinar las características cinemáticas de una partícula en movimiento con el uso de las ecuaciones vectoria- les y paramétricas de la recta?
- 68. 179 Sea t0 , t1 R, tal que t0 t1 . Ponemos ( ) ( ) = = + = = + x x t u t v x x t u t v , . o 0 0 1 1 1 ( ) ( ) = = + = = + x x t u t v x x t u t v , . o 0 0 1 1 1 Al vector le asociamos el punto A y al vector , el punto B. El segmento de recta de extremos los puntos A, B denotamos con [A, B]. o también y es subconjunto de L definido como AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L= 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. La ecuación vectorial del segmento de recta [A, B] está definido como: ( ) [ ] = + ∈ x t u tv t t t , . 0 1 ( ) [ ] = + ∈ x t u tv t t t , 0 1 En la Figura 4.4. se muestran los vectores 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t , 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t , la recta L y el segmen- to de recta [A, B]. Ejercicios resueltos 1) Sean AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L = 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. La ecuación vectorial de la recta L está definida como AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L= 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. , t R. Para AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L = 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. Para AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L = 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. A los vectores AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L= 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. les asociamos los puntos A y B. El segmento de recta [A, B] está definido como el subconjunto de L siguiente: AB= x0 ,x1 [ ]= A,B [ ]= u+tv t t0 ,t1 [ ] { }. x t ( )=u+tv t t0 ,t1 [ ]. A,B [ ]. L= 3,1 ( )+t –1, 2 ( )t { }, t0 =–2 y t1 =3. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t . t0 =–2, x0 = x –2 ( )= 3,1 ( )–2 –1, 2 ( )= 5, –3 ( ). t1 =3,x1 = x 3 ( )= 3,1 ( )+3 –1, 2 ( )= 0, 7 ( ). x0 , x1 A,B [ ]= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ] { }. x t ( )= 3,1 ( )+t –1,2 ( )t –2,3 [ ]. La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como ( ) ( ) ( ) [ ] = + ∈ x t t t 3,1 –1,2 –2,3 . ( ) [ ] = + ∈ x t u tv t t t , 0 1 , En la Figura 4.5. se muestra el segmento [A, B]. 2) Sean u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( ), t 0,1 [ ]. x 0 ( )= uyx 1 ( )=v , luego u,v [ ]= u+t v –u ( )| t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) x 0 ( )= –2,–3 ( )=u t =1,x = 4,2 ( )=v , u v u,v [ ]= –2,–3 ( )+t 6,5 ( )| t 0,1 [ ] { } x t ( )= –2,–3 ( )+ 6,5 ( ), t 0,1 [ ] obtén la ecuación vectorial de la recta que pasa por estos puntos. u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( ), t 0,1 [ ]. x 0 ( )= uyx 1 ( )=v , luego u,v [ ]= u+t v –u ( )| t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) x 0 ( )= –2,–3 ( )=u t =1,x = 4,2 ( )=v , u v u,v [ ]= –2,–3 ( )+t 6,5 ( )| t 0,1 [ ] { } x t ( )= –2,–3 ( )+ 6,5 ( ), t 0,1 [ ] , t R. Para t = 0, se tiene u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( )t 0,1 [ ]. x 0 ( )=uyx 1 ( )=v ,luego u,v [ ]= u+t v –u ( )/t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) x 0 ( )= –2,–3 ( )=u t =1, x = 4,2 ( )=v , u v u,v [ ]= –2,–3 ( )+t 6,5 ( )/t 0,1 [ ] { } y para u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( )t 0,1 [ ]. x 0 ( )=uyx 1 ( )=v ,luego u,v [ ]= u+t v –u ( )/t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) x 0 ( )= –2,–3 ( )=u t =1, x = 4,2 ( )=v , u v u,v [ ]= –2,–3 ( )+t 6,5 ( )/t 0,1 [ ] { } . Por lo tanto, el segmento de recta que une los puntos 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t y 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t está defi- nido como, el siguiente subconjunto de 2 : u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( )t 0,1 [ ]. x 0 ( )=uyx 1 ( )=v ,luego u,v [ ]= u+t v –u ( )/t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) x 0 ( )= –2,–3 ( )=u t =1, x = 4,2 ( )=v , u v u,v [ ]= –2,–3 ( )+t 6,5 ( )/t 0,1 [ ] { } La ecuación vectorial de este segmento de recta está definido como ( ) ( ) [ ] + = ∈ x t t t –2,–3 ( ) 6, 5 , 0,1 . De manera general, sean u, v , 2 u v con u, v , 2 u v, la ecuación vectorial del segmento de recta que une los puntos 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t , 0, i , j ( ) u,v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv | t R { } u v x x t ( )=u+tv t está definida como u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( ), t 0,1 [ ]. x 0 ( )= uyx 1 ( )=v , luego u,v [ ]= u+t v –u ( )| t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t = –2,–3 +t 4,2 – –2,–3 = –2,–3 +t 6,5 . Nota que x 0 ( )= u y x 1 ( )=v, luego, u,v 2 u v u,v x t ( )=u+t v –u ( ), t 0,1 [ ]. x 0 ( )= uyx 1 ( )=v , luego u,v [ ]= u+t v –u ( )| t 0,1 [ ] { }. u = –2,–3 ( ),v = 4,2 ( ), x t ( )= –2,–3 ( )+t 4,2 ( )– –2,–3 ( ) = –2,–3 ( )+t 6,5 ( ) Recuerda que… Sean A, B dos puntos distintos cualesquiera y C ≅ 2AB ≅ . Se dice que los tres puntos A, B, C están alineados o que son colineales. u j u j + t y L a x 0 u v v v y x W x1 x0 L = u + W [A, B] (x, y) b y0 x0 a x y L 0 0 A B p Figura 4.4. 0 v v u x u u t L y x x y j j u j u x(1) L x(–2) –2 –1 –1 –2 0 j + t y L a x 0 u v v v y x W x1 x0 L = u + W [A, B] (x, y) b y0 x0 a x y L 0 0 A B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 0 –1 –2 –3 A B x y [A, B] p Figura 4.5. t0 , t1 x0 = x t0 ( )=u+tov ,x1= x t1 ( )=u+t1v. x0 x1 A,B [ ] AB x0 , x1 [ ] x0 = x t0 ( )=u+tov ,x1= x t1 ( )=u+t1v. x0 x1 A,B [ ] AB x0 , x1 [ ] t0 , t1 x0 = x t0 ( )=u+tov ,x1= x t1 ( )=u+t1v. x0 x1 A,B [ ] AB x0 , x1 [ ] x1 . . Recuerda que… Para determinar la ecuación vectorial de una recta, es necesario conocer un punto de la recta y un vector director no nulo o dos puntos distintos de la recta. Dados el punto u = –2,0 ( ) y v = = j 0,1 ( ), , x = –2,0 ( ) ( ) +t t 0,1 ( )= –2, t ( ) t y el vector u = –2,0 ( ) y v = = j 0,1 ( ), , x = –2,0 ( ) ( ) +t t 0,1 ( )= –2, t ( ) t la ecuación vectorial de la recta es u = –2,0 ( ) y v = = j 0,1 ( ), , x = –2,0 ( ) ( ) +t t 0,1 ( )= –2, t ( ) t . . . .
- 69. 180 DCCD: M.5.2.9. Escribiry reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta. Ecuación paramétrica de la recta Sean u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t con u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t ≠ 0 y L el subconjunto de 2 definido así: u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t . Como se ha dicho en las páginas precedentes, este conjunto L repre- senta una recta que pasa por u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t y es paralela al vector u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 + ( x = x0 +ta, y = y0 +tb, t . Una ecuación vectorial de L está dada por: u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t De la definición del subconjunto L de 2 , se tiene la siguiente equiva- lencia: u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t , tal que u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t Ponemos u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t con u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t ≠ 0, es decir que al menos un componente es no nulo. De la equivalencia precedente se sigue que u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t tal que u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv, t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t tal que El par de ecuaciones x = x0 +ta , , y = y0 +tb se llama ecuaciones paramétricas de la recta L, donde t R se conoce como parámetro de las ecua- ciones que definen L. Como dijimos, v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v esto es, al menos uno de los compo- nentes es no nulo. Supongamos que a ≠ 0. De la ecuación v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –m x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). se obtiene v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). Reemplazando en la ecuación v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, y y obtenemos el resultado siguiente: . v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, La ecuación definida como: (x, y) R2 tal que v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 . se llama ecuación cartesiana de la recta L que pasa por v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 y x,y ( ) 2 y es paralela a v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) El número real b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a m= b a . se llama pendiente de la recta y se lo representa con m = b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a b . La ecuación cartesiana de la recta L se expresa como (x, y) R2 tal que y – y0 = m(x – x0 ), b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a m= b a . y– y0 = m x– x0 ( ), y = y0 – bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx y = a+mx x , a= y0 –mx0 . v. a= 0, v = a,b ( ) , b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a m= b a . y– y0 = m x– x0 ( ), y = y0 – bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx y = a+mx x , a= y0 –mx0 . v. a= 0, v = a,b ( ) que a su vez se escribe con y = a + mx, x R, con a = y0 – mx0 . En la Figura 4.6. se muestra la recta L que pasa por (x0 , y0 ) y es paralela al vector b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a m= b a . y– y0 = m x– x0 ( ), y = y0 – bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx y = a+mx x , a= y0 –mx0 . v. a= 0, v = a,b ( ) En el caso en que a = 0 , como b a m= b a . x,y ( ) 2 y– y0 = b a = x– x0 ( ) u = x0 ,y0 ( ) v = a,b ( ) 0,0 ( ). b a m= b a . , se tiene b ≠ 0. En consecuencia, de las ecuaciones paramétricas de la recta L se obtiene v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , y reemplazando en la ecuación v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x ( x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +m x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 y se tiene la siguiente ecuación cartesiana de L: v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 , y . x,y ( ) 2 0 v v u x u u t L y x x y j j u j u x(1) L x(–2) –2 –1 –1 –2 0 j + t y L a x 0 u v v v y x W x1 x0 L = u + W [A, B] (x, y) b y0 x0 a x y L 0 0 A B 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 0 –1 –2 –3 A B x y [A, B] p Figura 4.6. u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t ¿Cuál es la ecuación general de la recta? Saberes previos Desequilibrio cognitivo ¿Por qué el estudio de las ecuaciones cartesiana y vectorial de la recta es condición previa para el estudio de derivadas? Simbología matemática El par de ecuaciones u, v 2 v 0 L = x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t se llaman ecuaciones paramé- tricas de la recta L, donde la variable t R se llama pará- metro. La ecuación definida como: v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , tal que v = a,b ( ) 0,0 ( ), a 0. x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . x = x0 +ta= x0 , se llama ecuación cartesiana de la recta L. También se expre- sa como x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) tal que x = x0 +ta t = x– x0 a . y = y0 +tb, y = y0 + x x0 a b y– y0 = b a x– x0 ( ) x,y ( ) 2 y– y0 = a b x– x0 ( ), y– y0 = bx0 a + b a x = y0 –mx0 +mx x , y = a+mx a= y0 –mx0 . u = x0 ,y0 ( ) v a= 0, v = a,b ( ) 0,0 ( ). b 0, t = y y0 b . . x = x0 +ta= x0 , x = x0 +ta= x0 , x = x0 y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( )
- 70. 181 Observa que dela equivalencia. x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L= x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 tal que , y a = 0, se sigue que x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 para algún x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 En este caso, la recta L es paralela al eje Y y no se define la pendiente de la recta L. En la Figura 4.7. se muestra la recta L paralela al vector x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L= x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 . Supongamos que x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 y x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 con a ≠ 0. Tenemos x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 El conjunto L es una recta que pasa por el punto (0, y0 ) y es paralela al eje x. La ecuación vectorial de la recta L es: x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 , t R. Obtengamos la ecuación cartesiana. Tenemos x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 , tal que x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 , tal que x =ta, y = y0 . Este último par de ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de L. De la ecuación x = ta se obtiene x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x La ecuación cartesiana de la recta L está definida como x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x . La pendiente de la recta L se define como m = 0. En la Figura 4.8. se muestra una recta L paralela al eje X. En resumen: 1. Ecuación cartesiana de la recta L paralela al eje X: x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). . 2. Ecuación cartesiana de la recta L paralela al eje Y: x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y –mx y v = 1,m . . 3. Ecuación cartesiana de la recta L que es transversal a los ejes coordenados X e Y: x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x tal que x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). , donde m es la pendiente de la recta L. Dada la ecuación cartesiana de la recta L, obtengamos la ecuación vectorial de L y por consiguiente el subconjunto L de R2 . Para el efecto, sea L una recta que pasa por (x0 , y0 ) ∈ R2 y tiene pendiente m ∈ . Obtengamos la ecuación vectorial de L. De la equivalencia: x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x , se sigue que x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x Se define x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x La ecuación vectorial de la recta L está definida como x =ta t = x a . y = y0 , x x = x0 , y x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ) 2 2 y– y0 = m x– x0 ( ) x0 ,y0 ( ) 2 x,y ( ) L y– y0 = m x– x0 ( ). x,y ( )= x,y0 +m x– x0 ( ) ( )= x,mx ( )+ 0,y0 –mx0 ( ) = x 1,m ( )+ 0,y0 –mx0 ( ), x u = 0,y0 –mx0 ( ) y v = 1,m ( ). y x ( )=u+xv x , x ∈ . p Figura 4.7. p Figura 4.8. Recuerda que… Si la ecuación vectorial de una recta L está definida como y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . O de la forma y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . . Entonces, • Si (x, y) ∈ L, existe t0 ∈, tal que y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . de donde y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . que son las ecuaciones paramétricas de L. • Eliminamos el parámetro t0 . Obtenemos t0 = –1 –y. Lue- go, la ecuación cartesiana de L está definida como: y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . . • Advertimos inmediata- mente que L es una recta paralela al eje Y que pasa por el punto y t ( )= 3 2 ,–1 +t 0,–1 ( ), t , y t ( )= 3 2 ,–1–t , t t0 x,y ( )= 3 2 , –1–t0 x = 3 2 , , , y =–1–t0 x = 3 2 , y 3 2 ,0 . No se define la pendiente de esta recta. .
- 71. Taller práctico 182 En cadaliteral se da un vector no nulo . Obtén la recta L que pasa por el origen y es paralelo a , así como la ecua- ción vectorial de L. DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta. 1 En cada literal se dan dos vectores u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t y x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L= x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 de 2 . Obtén la recta L que pasa por u, v 2 v 0 L= x t ( )=u+tv t { } u v x t ( )=u+tv , t . x = x,y ( ) L t x =u+tv. u = x0 ,y0 ( ), v = a,b ( ) v 0, x,y ( ) L t x,y ( )= x0 + y0 ( )+t a,b ( )= x0 +ta,y0 +tb ( ) x = x0 +ta, y = y0 +tb, t y es paralela a x,y ( ) L t x,y ( )= x0 ,y0 ( )+t a,b ( )= x0 +at,y0 +tb ( ) x0 ,y ( ) L y = y0 +tb t t = y– y0 b . u = 0,y0 ( ) v = a,0 ( ) a 0. L = x t ( )=u+tv t { }= x t ( )= 0,y0 ( )+t a,0 ( )t { } = x t ( )= ta,y0 ( )t { }. 0,y0 ( ) x t ( )= ta,y0 ( )t x,y ( ) L t x,y ( )= ta,y0 ( ) t, x =ta, y = y0 , así como la ecuación vectorial de L. 2 Sean a = 3,1 ( ),b 2,5 ( ) = (3, 1), b (2, 5). Escribe las ecua- ciones vectoriales de las rectas siguien- tes. Además, representa gráficamente cada recta. 3 a) a = 3,0 ( ). a = 0,–2 ( ). a = 1,4 ( ). a = –2,3 ( ). a = –1,–2 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ a) u = 3,1 ( ), v = 0,1 ( ). u = 2,0 ( ), v = 0,–1 ( ). u = 0,0 ( ), v = –2,–3 ( ). u = 1,1 ( ), v = 5,1 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ a) L1 = a+tb| t . . . . { } L2 = b+ta| t { } L3 = a+t b–a ( )| t { } L4 = b+t a–b ( )| t { } ___________________________________________ ___________________________________________ b) L1 = a+tb| t . . . . { } L2 = b+ta| t { } L3 = a+t b–a ( )| t { } L4 = b+t a–b ( )| t { } ___________________________________________ ___________________________________________ c) L1 = a+tb| t . . . . { } L2 = b+ta| t { } L3 = a+t b–a ( )| t { } L4 = b+t a–b ( )| t { } ___________________________________________ ___________________________________________ d) L1 = a+tb| t . . . . { } L2 = b+ta| t { } L3 = a+t b–a ( )| t { } L4 = b+t a–b ( )| t { } ___________________________________________ ___________________________________________ c) u = 3,1 ( ), v = 0,1 ( ). u = 2,0 ( ), v = 0,–1 ( ). u = 0,0 ( ), v = –2,–3 ( ). u = 1,1 ( ), v = 5,1 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ b) u = 3,1 ( ), v = 0,1 ( ). u = 2,0 ( ), v = 0,–1 ( ). u = 0,0 ( ), v = –2,–3 ( ). u = 1,1 ( ), v = 5,1 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ c) a = 3,0 ( ). a = 0,–2 ( ). a = 1,4 ( ). a = –2,3 ( ). a = –1,–2 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ b) a = 3,0 ( ). a = 0,–2 ( ). a = 1,4 ( ). a = –2,3 ( ). a = –1,–2 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ d) a = 3,0 ( ). a = 0,–2 ( ). a = 1,4 ( ). a = –2,3 ( ). a = –1,–2 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ e) a = 3,0 ( ). a = 0,–2 ( ). a = 1,4 ( ). a = –2,3 ( ). a = –1,–2 ( ). ___________________________________________ ___________________________________________ a 2 a 2 Resuelve en el cuaderno. Los vértices de un cuadrilátero son los puntosu=(–2,3),v=(–1,–2),w=(4,–1) y z = (3, 3). 4 a) Obtén las ecuaciones vectoriales de las rec- tas que pasan por los lados del cuadrilátero. b) Expresa los lados del cuadrilátero como seg- mentos de rectas. c) Obtén las ecuaciones vectoriales de las rec- tas que pasan por las diagonales del cuadri- látero y de estas obtén las diagonales del cuadrilátero. d) Halla el punto de intersección de las diago- nales del cuadrilátero. ___________________________________________ ___________________________________________ d) u = 3,1 ( ), v = 0,1 ( ). u = 2,0 ( ), v = 0,–1 ( ). u = 0,0 ( ), v = –2,–3 ( ). u = 1,1 ( ), v = 5,1 ( ).
- 72. 183 Diversidad funcional en elaula Uno de los obstáculos que enfrenta una persona con discapacidad es el miedo que las personas sienten ante lo ‘diferente’. Es necesario perder ese miedo y construir una sociedad sin prejuicios. Trabajo colaborativo a) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del triángulo T. b) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo. c) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a las medianas del triángulo. Los vértices de un triángulo T son los puntos 9 u = 0,2 ( ), v = –3,0 ( ), w = 1,–3 ( ). a) Expresen los lados del cuadrado como seg- mentos de rectas elegidos apropiadamente. b) Expresen las diagonales del cuadrado como segmentos de rectas y como productos cartesianos apropiados. Los vértices de un cuadrado son los puntos u = 0,2 ( ), v = –3,0 ( ), w = 1,–3 ( ). = (2, 0), u = 0,2 ( ), v = –3,0 ( ), w = 1,–3 ( ). = (0, 2), u = 0,2 ( ), v = –3,0 ( ), w = 1,–3 ( ). = (–2, 0) y z = (0, –2). 10 a) Obtengan la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto medio del segmento y por el origen. b) Obtengan la ecuación vectorial de cada recta que pasa por cada extremo y el origen. c) En el sistema de coordenadas rectangulares, representen el segmento de recta, y cada una de las rectas obtenidas en a) y b). Los extremos de un segmento de recta son los puntos a = 3,1 ( ),b 2,5 ( ) = (2, 1) y b a = 3,1 ( ),b 2,5 ( ) = (–2, 3). 8 Sea L ⊂ 2 que se define en cada ítem: escribe las ecuaciones vectorial, pa- ramétricas y cartesiana de la recta por W. Traza gráficamente dicha recta. 6 a) L = x+2,1 ( ) x . . . . { } L = a–1, , a+2 ( ) a { } L = –2y – y ( ) y { } L = a 3 – 5 ( )a { } b) L= x+2,1 ( ) x . . . . { } L= a–1, , a+2 ( ) a { } L= –2y – y ( ) y { } L= a 3 – 5 ( )a { } c) L= x+2,1 ( ) x . . . . { } L= a–1, , a+2 ( ) a { } L= –2y – y ( ) y { } L= a 3 – 5 ( )a { } d) L = a 3, . . . – 5 ( )a { } L = y –2,1 ( )– –1,0 ( ) y { } L = u,v ( ) 2 –u+v =–1 { } Demuestra que el subconjunto L de 2 que se define en cada caso es una recta. Representa gráficamente el conjunto L. Obtén la ecuación cartesiana de dicha recta. 7 a) L = x+1, . . . . 1 ( ) x { } L = x–1,x ( ) x { } L = y –2,1 ( )– –1,0 ( ) y { } L = u,v ( ) 2 –u+v =–1 { } b) L = x+1, . . . . 1 ( ) x { } L= x–1,x ( ) x { } L = y –2,1 ( )– –1,0 ( ) y { } L = u,v ( ) 2 –u+v =–1 { } c) L = a 3, . . . – 5 ( )a { } L = y –2,1 ( )– –1,0 ( ) y { } L = u,v ( ) 2 –u+v =–1 { } d) L = a 3, . . . – 5 ( )a { } L = y –2,1 ( )– –1,0 ( ) y { } L = u,v ( ) 2 –u+v =–1 { } Los vértices de un triángulo T son (–2, 0), (1, –2), (3,1). Obtén las ecuaciones vectoriales de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo. Observa la fi- gura adjunta. 5 p Figura 4.9 Archivo editorial, (2020). Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.
- 73. 184 Ecuación cartesiana dela recta DCCD: M.5.2.10. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta, para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta. Pendiente de una recta Primeramente, cada recta del plano ∏ tiene una inclinación, un decli- ve que es el mismo en cualquier parte de la recta. Asociamos el plano ∏ con el sistema de coordenadas rectangulares y consideramos una recta L en este plano. A la inclinación o declive de esta recta la pode- mos medir con la razón: a la que denominamos pendiente de la recta L, siempre que el cambio en el eje x no sea nulo. Esta razón en cualquier parte de la recta es siempre constante. A la inclinación de la recta L la podemos medir con el ángulo que forman el eje x con la recta L. Denotamos con – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . la medida de este ángulo. Para una recta dada L, esta medida θ es constante, con lo que la pendiente también lo es. En la Figura 4.11. se muestra una recta L y el ángulo θ que forma con el eje x. Sean A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) dos elementos de 2 , tal que x1 x2 y L una recta que pasa por los puntos A, B. La pendiente de L es nú- mero real denotado con m y se ha definido como la razón: – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . Ecuación cartesiana de la recta Sea w = (x, y) ∈ L. Puesto que la pendiente de la recta L es constante, se tiene – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . si y de esta obtenemos la ecuación – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . – 2 , 2 m = y2 – y1 x2 – x1 . m = y2 – y1 x2 – x1 = y– y1 x– x1 x x1 , x,y ( ) 2 , y– y1 = y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x2 x1 , A= x1 ,y1 ( ),B= x2 ,y2 ( ), x1 x2 . tal que la cual se conoce con el nombre de ecuación cartesiana de la recta L que pasa por los puntos A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) x1 x2 . Desequilibrio cognitivo ¿Por qué se dice que mientras mayor inclinación tiene una recta, mayor es su pendiente? Saberes previos ¿Qué es la pendiente de una recta? Recuerda que… En la Figura 4.10. se muestra una porción de un plano ∏, A, B ∈ ∏ con A B y una porción de la recta L que pasa por A y B que tiene una inclinación con la horizontal. ∏ Por otro lado, hemos definido 2 como el producto cartesia- no × , esto es, 2 = x,y ( ) x,y { }. Como ya se ha dicho anterior- mente, al plano ∏ lo identifi- camos con el conjunto 2 , es decir que cada punto P ∈ ∏ está en correspondencia con un único par (x, y) ∈ 2 escribi- mos P =(x, y). Al par ordenado (0, 0), origen, le asociamos el punto O, o sea, O = (0, 0). p Figura 4.10. cambio en el eje y cambio en el eje x , p Figura 4.11.
- 74. 185 p Figura 4.12.. –3–2 –1 0 0 1 2 3 1 2 3 4 x y A B L p Figura 4.13. En la Figura 4.12. se muestra una recta L que pasa por los puntos A y B y el triángulo rectángulo cuyos vértices son A, B y C = (x2 , y1 ) con su ángulo recto en C. Sea θ la medida del ángulo que forma el eje x con la recta L. Con refe- rencia al triángulo rectángulo ACB en la Figura 4.12. se tiene que es la pendiente de la recta L, a la que notamos . tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , La ecuación cartesiana de la recta L que pasa por A = (x1 , y1 ) y B = (x2 , y2 ) con x1 x2 se escribe como: lo que es lo mismo En forma conjuntista, escribimos y a esto lo denominamos recta L. Se tiene L ⊂ 2 , L ∅. Además, si la pendiente m 0, la recta tiene un inclinación hacia la derecha, y si la pendiente m 0, la recta tiene una inclinación hacia la izquierda. De la definición de L se tienen las dos equivalencias siguientes: Ejercicio resuelto Sean A = (–1, 1), B = (2, 3). Determina la ecuación cartesiana de la recta L que pasa por A y B. Comenzamos con el cálculo de la pendiente. Tenemos x1 = –1, y1 = 1 , x2 = 2, y2 = 3, luego x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x =– 5 En la Figura 4.13. se muestran los puntos A, B, y la recta L que pasa por A y B. La ecuación cartesiana de la recta L se escribe como: x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 5 tal que x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, Si en la ecuación cartesiana hacemos x = 0, obtenemos x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x =– 5 y para x = 2, tenemos y = 3. El punto de corte de L con el eje x se obtiene ha- ciendo y = 0 y resolviendo la ecuación: x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, 5 tal que x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x =– 5 2 de donde x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x =– 5 2 . El punto (–5/2, 0) es el punto de corte del eje x con L. tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L= x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L= x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L= x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tal que Recuerda que… La pendiente de la recta L es número real denotado con m y se define como la razón: m= y2 – y1 x2 – x1 . tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tan = y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 , m= y2 – y1 x2 – x1 , x1 x2 x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , y– y1 = m x– x1 ( ), , x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x1 x2 . L = x,y ( ) 2 y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ), x1 x2 , tal que x,y ( ) 2 m= y2 – y1 x2 – x1 , , x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, , x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x,y ( ) L y = y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 , x,y ( ) L y y1 + y2 – y1 x2 – x1 x– x1 ( ) x , x1 x2 . A= –1,1 ( ),B= 2,3 ( ) m= y2 – y1 x2 – x1 = 3–1 2– –1 ( ) = 2 3 . x,y ( ) 2 y–1= 2 3 x+1 ( ). y = 5 3 , x 2 3 x+ 5 3 = 0, x =– 5 2 , Conexiones con las TIC Para recordar las ecuaciones de la recta, te suge- rimos mirar este video tutorial: bit.ly/2vsRGPs
- 75. 186 Rectas paralelas yperpendiculares. Intersección de rectas DCCD: M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en 2 (rectas paralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se interceptan). En esta sección establecemos las condiciones de paralelismo y per- pendicularidad en términos de las pendientes de las rectas. Sean L1 , L2 dos rectas del plano con ecuaciones cartesianas respecti- vamente: En la sección precedente se ha visto que cada conjunto, x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . representa una recta si y solo si . Si b1 0, la pendiente de L1 está definida como x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . y si b2 0, la pendiente de L2 es x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . Condición de paralelismo Se establece la siguiente condición de paralelismo: si m1 = m2 entonces L1 es paralela a L2 . Si L1 es paralela a L2 , escribimos L1 ⎥⎥ L2 . Nota que L1 es paralela a L2 si y solo si tienen la misma inclinación. A su vez, m2 = m1 a1 b2 – a2 b1 = 0. Por lo tanto, a1 b2 – a2 b1 = 0 L1 ⎥⎥ L2 . Se identifican dos casos: 1. L1 = L2 si y solo si existe λ ∈ , tal que c1 = λ c2 . En este caso se dice que las rectas L1 y L2 son coincidentes. En efecto, supongamos b2 ≠ 0, de la condición de paralelismo pre- cedente obtenemos a1 = a2b1 b2 . 0 = a1x+b1y+c1 = a2b1 b2 x+b1y+c1 c1 = b1 b2 c2 . Sea (x, y) ∈ L1 entonces (x, y) ∈ L2 , por lo tanto, a2 x + b2 y + c2 = 0. Luego, a1 = a2b1 b2 . 0 = a1x+b1y+c1 = a2b1 b2 x+b1y+c1 c1 = b1 b2 c2 . , 0 = a2 b1 x + b2 b1 y + b2 c1 = b1 (a2 x + b2 y) + b2 c1 = b1 (–c2 ) + b2 c1 , y de esta última igualdad obtenemos a1 = a2b1 b2 . 0 = a1x+b1y+c1 = a2b1 b2 x+b1y+c1 c1 = b1 b2 c2 . 2. L1 ⎥⎥ L2 y L1 ≠L2 . Supongamosb1 ≠0yb2 ≠0. DeladefinicióndelosconjuntosL1 yL2 tenemos m1 = = – a1 b1 = m2 =– a2 b2 , L1 x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }= x,– a1x+c1 b1 x c1 . Luego, x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 , y, a2x+b2 y+c2 = 0. L1 = x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }, L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }, a1 + b1 0, a2 + b2 0. b1 0, m1 =– a1 b1 , b2 0, m2 =– a2 b2 . a1x+b1y+c1 = 0, y, a2x+b2 y+c2 = 0. tal que m1 = = – a1 b1 = m2 =– a2 b2 , L1 x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }= x,– a1x+c1 b1 x = x, m1 x– c1 b1 x . m1 = = – a1 b1 = m2 =– a2 b2 , L1 x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 { }= x,– a1x+c1 b1 x = x, m1 x– c1 b1 x . Desequilibrio cognitivo ¿De qué manera identifi- cas si dos rectas en el plano son paralelas o son perpendiculares? Saberes previos ¿Cómo se define la ecua- ción cartesiana de la recta que pasa por dos puntos? Simbología matemática • Para indicar que L1 no es paralela a L2 , escribimos L1 L2 . • Si L1 es perpendicular a L2 , escribimos L1 L2 . Diremos también L1 ortogonal a L2 . Recuerda que… La ecuaciones de la recta son: Vectorial Cartesiana Paramétrica x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t tal que x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t . x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t x t ( )=u+tv t x,y ( ) 2 y– y0 = m x– x0 ( ), , y = y0 – bx0 a + b a x = y –mx0 0 +mx. x , x = x0 +ta, y = y0 +tb, t .
- 76. 187 De manera similar, L2= x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , Para x ∈ , como L1 ≠ L2 , se tiene x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 , de donde L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , o bien L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , Así, si L1 ⎥⎥ L2 y L1 ≠ L2 , entonces L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , En la Figura 4.14. se muestran dos rectas paralelas L1 , L2 . Arriba se tiene el caso en que las dos rectas coinciden, esto es L1 = L2 , mientras que abajo se tiene dos rectas paralelas y no coincidentes, es decir, L1 ⎥⎥ L2 con L1 ≠ L2 . Para indicar que L1 no es paralela a L2 , escribimos L1 L2 . Particular atención se da al caso en que las pendientes de las rectas no existen, esto significa que las rectas son paralelas al eje y. Condición de perpendicularidad Si m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0, entonces L1 es perpendicular a L2 si y solo si m2 m1 = –1. Si L1 es perpendicular a L2 , escribimos L1 ⊥ L2 . Diremos también L1 ortogonal a L2 . De la condición de ortogonalidad se sigue que m1 ≠ 0, m2 ≠ 0, y L2 = x,y ( ) 2 a2x+b2 y+c2 = 0 { }= x, m2x_ c1 b2 x = x, m1x– c2 b2 x . x , x,m1x– c1 b1 x,m1x– c2 b2 c1 b1 c2 b2 , c1 b1 b2 c2 . –1= m1m2 = – a1 b1 – a2 b2 = a1a2 b1b2 , de donde b1 b2 + a1 a2 = 0. Consecuentemente a1 a2 + b1 b2 = 0 ⇒ L1 ⊥ L2 . En la Figura 4.15. se muestran dos rectas ortogonales L1 , L2 . Nueva- mente ponemos atención al caso en que una sola de las pendientes de las rectas L1 , L2 es nula, digamos L1 . En tal caso la otra pendiente no está definida, lo que significa a su vez que L1 es paralela al eje x, mien- tras L2 es paralela al eje y. Observación. En la Figura 4.16. se muestran tres rectas L1 , L2 , L3 , tal que L2 ⎥⎥ L3 con L2 ≠ L3 , y L1 ⊥ L2 . Por lo tanto, L1 ⊥ L3 . Nota que las pendientes de L2 y L3 son nulas, mientras que la de L1 no está definida. Intersección de rectas Determinemos el conjunto L1 ∩ L2 . Identificamos tres casos. 1. L1 = L2 . 2. L1 ⎥⎥ L2 con L1 ≠ L2 . 3. L1 ⎥⎥ L2 . a1x + b1y + c1 = 0 a x + b y + c = 0 a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L1 L2 y0 x0 x y 0 (x0, y0) y x y x y x 0 L1 L2 L 0 A L1 L2 0 y x 0 y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L1 – L2 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y 1 1 1 p Figura 4.14. a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L y x 0 L1 L2 y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y a1x + b1y + c1 = 0 a x + b y + c = 0 a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L1 L2 y0 x0 x y 0 (x0, y0) y x y x y x 0 L1 L2 L 0 A L1 L2 0 y x 0 y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L1 – L2 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y 1 1 1 p Figura 4.15. a1x + b1y + c1 = 0 y y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y p Figura 4.16.
- 77. 188 1. Si L1 =L2 , las rectas son coincidentes y la pendiente de L1 es con b1 ≠ 0. La pendiente de L2 está dada como con b2 ≠ 0. Tenemos que sus pendientes coinciden, luego, . En consecuencia , y se obtienen las siguientes equivalencias: Así, L1 ∩ L2 = L2 = {(x, y) ∈ 2 |a2 x + b2 y + c2 = 0}, es decir que el sistema de ecuaciones x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x , m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. tal que se reduce a la sola ecuación: (x, y) ∈ 2 tal que a2 x + b2 y + c2 = 0, cuyo conjunto solución S está definido como x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x , m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. que representa una recta que pasa por (x0 , y0 ) y tiene pendiente x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x , m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. con b2 ≠ 0, donde (x0 , y0 ) es cualquier solución de a2 x +b2 y +c2 ≠ 0, o sea, a2 x0 +b2 y0 +c2 = 0. La Figura 4.17. muestra la recta común L = L1 ∩ L2 con la ecuación cartesiana de L1 . 2. Si L1 ⎥⎥ L2 con L1 ≠ L2 , se tiene x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. , b2 ≠ 0. Para todo x ∈ , x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x , m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. , pero x,y ( ) 2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, S= x,y ( ) 2 y =– a2x+c2 b2 = x,– a2x+c2 b2 x m2 =– a2 b2 c b1 b2 c2 x, m1 1 1 x – c1 b1 L1 x, m x – c1 b1 L2 . a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0. . Resulta que el conjunto L1 ∩ L2 = 0, es decir que el sistema de ecuaciones a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0, , (x, y) ∈ 2 tal que no tiene solución. En la Figura 4.18. se muestran estas dos rectas. 3. Supongamos que L1 ⎥⎥ L2 . Probemos que existe un único punto (x0 , y0 ) ∈ 2 , tal que L1 ∩ L2 = {(x0 , y0 )}, es decir que (x0 , y0 ) ∈ L1 , (x0 , y0 ) ∈ L2 ,consecuentemente (x0 , y0 ) es el único elemento que satisface el par de ecuaciones, esto es, a1x + b1y + c1 = 0 a x + b y + c = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L1 L2 y0 x0 x y 0 (x0, y0) y x y x L 0 A L1 L2 0 x 0 1 1 1 p Figura 4.17. a1x + b1y + c1 = 0 a x + b y + c = 0 a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L1 L2 y0 x0 x y 0 (x0, y0) y x y x y x 0 L1 L2 L 0 A L1 L2 0 y x 0 y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L1 – L2 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y 1 1 1 p Figura 4.18. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2b1 b2 x+b1y+ b1 b2 c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2b1 b2 x+b1y+ b1 b2 c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2b1 b2 x+b1y+ b1 b2 c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2b1 b2 x+b1y+ b1 b2 c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0. m1 =– a1 b1 m2 =– a2 b2 a1 = a2b1 b2 , c1 = b1 b2 c2 x,y ( ) L1 x,y ( ) L2 a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2b1 b2 x+b1y+ b1 b2 c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0 b1 a2x+b2 y+c2 ( )= 0 a2x+b2 y+c2 = 0 a2x+b2 y+c2 = 0.
- 78. 189 Supongamos que b1 ≠0, y b2 ≠ 0. Como L1 ⎥⎥ L2 , entonces a1 b2 – a2 b1 ≠ 0, de donde a2 ≠ a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . . Además, a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . De esta última ecuación se obtiene a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . a2 ≠ a1b2 b1 x,y ( ) L1 y =– a1x+c1 b1 , x,y ( ) L2 a2x+b2 y+c2 = 0, a2x+b2 – a1x+c1 b1 +c2 = 0 a2b1 –a1b2 ( )x–b2c1 +b1c2 = 0. x0 = b2c1 –b1c2 a2b1 –a1b2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . Se verifica inmediatamente que (x0 , y0 ) ∈ L1 ∩ L2 . Probemos que el punto es único. Para ello, supongamos que existe otro elemento (u, v) ∈ L1 ∩ L2 , entonces a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0, y, a1u+b1v+c1 = 0, a2u+b2v+c2 = 0. a1 p+u ( )+b1 q+v ( )+c1 = 0, a2 p+u ( )+b2 q+v ( )+c2 = 0, a1p+b1q= 0, a2p+b2q= 0, p= q= 0, a1x+b1y+c1 = 0 y = a1x+c1 b1 . x0 =– c2 a2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . Ponemos p = x0 – u, q = y0 –v, o sea, x0 = p + u, y0 = q + v. Entonces, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0, y, a1u+b1v+c1 = 0, a2u+b2v+c2 = 0. a1 p+u ( )+b1 q+v ( )+c1 = 0, a2 p+u ( )+b2 q+v ( )+c2 = 0, a1p+b1q= 0, a2p+b2q= 0, p= q= 0, a1x+b1y+c1 = 0 y = a1x+c1 b1 . x0 =– c2 a2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . de donde x0 = u, y0 = v. Así, L1 ∩ L2 = {(x0 , y0 )}. En la Figura 4.20. se muestran dos rectas L1 , L2 , tal que L1 ⎥⎥ L2 . Si b1 ≠ 0 y b2 = 0, de la condición | a2 |+ | b2 | 0, se tiene a2 ≠ 0 y a2 x + c2 = 0, con lo que x =– c2 a2 , consecuentemente, a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0, y, a1u+b1v+c1 = 0, a2u+b2v+c2 = 0. a1 p+u ( )+b1 q+v ( )+c1 = 0, a2 p+u ( )+b2 q+v ( )+c2 = 0, a1p+b1q= 0, a2p+b2q= 0, p= q= 0, a1x+b1y+c1 = 0 y = a1x+c1 b1 . x0 =– c2 a2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0, y, a1u+b1v+c1 = 0, a2u+b2v+c2 = 0. a1 p+u ( )+b1 q+v ( )+c1 = 0, a2 p+u ( )+b2 q+v ( )+c2 = 0, a1p+b1q= 0, a2p+b2q= 0, p= q= 0, a1x+b1y+c1 = 0 y = a1x+c1 b1 . x0 =– c2 a2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . – Ponemos a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0, y, a1u+b1v+c1 = 0, a2u+b2v+c2 = 0. a1 p+u ( )+b1 q+v ( )+c1 = 0, a2 p+u ( )+b2 q+v ( )+c2 = 0, a1p+b1q= 0, a2p+b2q= 0, p= q= 0, a1x+b1y+c1 = 0 y = a1x+c1 b1 . x0 =– c2 a2 , y0 =– a1x0 +c1 b1 . . Tenemos L1 ∩ L2 ={(x0 , y0 )}. Nota que la pendiente de la recta L2 no está definida. a1x + b1y + c1 = 0 a x + b y + c = 0 a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 L1 L2 y0 x0 x y 0 (x0, y0) y x y x y x 0 L1 L2 L 0 A L1 L2 0 y x 0 y x 0 y x 0 C B A D E L1 L2 L3 L1 – L2 L2 L1 A B L 1 2 3 0 –3 –2 –1 1 2 3 x y 1 1 1 p Figura 4.20. Recuerda que… La mediana de un trián- gulo es el segmento que une uno de sus vértices con el punto medio de su lado opuesto. Las medianas de un triángulo confluyen en un punto llamado baricentro. La longitud de la mediana se calcula a partir del teorema de las medianas. mc ma mb a b c B C A G P0 P1 P2 P4 f(a) f(a+h4) f(a+h1) a a + h4 a + h1 Lh Lh Lh Lh L (³) (²) (¹) y x P3 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 y y = 0,5t + 4,9t² 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 v y = 0,5t + 9,8t ma = 2 b2 +c2 ( )–a2 2 mb = 2 a2 +c2 ( )–b2 2 mc = 2 a2 +b2 ( )–c2 2 p Figura 4.19. a1x0 +b1y0 +c1 = 0, a2x0 +b2 y0 +c2 = 0.
- 79. Taller práctico 190 Encadaliteralsedandospuntosdistintosu y vde 2 . Siempre que sea posible, calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v, y obtén su ecuación cartesiana. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente esta recta. 2 Los extremos de un segmento de recta son los puntos P = (2, 1) y Q = (–2, 3). 3 Sea M= a+c 2 , b+d 2 . L= x,y ( ) 2 y =– 1 2 x+1 . A= –2,2 ( ),B= 0,1 ( ), C = 4,–1 ( ), y D= 2 ,– 2 2 +1 Prueba que A = (–2, 2), B = (0, 1), M= a+c 2 , b+d 2 . L= x,y ( ) 2 y =– 1 2 x+1 . A= –2,2 ( ),B= 0,1 ( ), C = 4,–1 ( ), y D= 2 ,– 2 2 +1 pertenecen a la recta L. 4 Los vértices de un triángulo T son los pun- tos u = (–2, 1), v = (2, 3), w = (4, –3). Obtén las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los lados del triángulo T. 5 DCCD: M.5.2.10. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta, para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuacióngeneraldelarecta.M.5.2.11.Determinarla posición relativa de dos rectas en R2 (rectas parale- las, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se interceptan). En cada literal se da un punto A 2 . Obtén la pendiente de la recta L que pasa por el origen O y por A, la ecuación cartesiana de la misma y en el sistema de coordenadas rectangulares representa gráficamente esta recta. 1 a) A = (3, 0). a) u = (3, 1), v = (0, 1). c) A = (1, 4). b) A = (0, –2). b) A = (–2, 0), v = (0, –1). M= a+c 2 , b+d 2 . L= x,y ( ) 2 y =– 1 2 x+1 . A= –2,2 ( ),B= 0,1 ( ), C = 4,–1 ( ), y D= 2 ,– 2 2 +1 a) Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento y por el origen. b) Obtén la ecuación de cada recta que pasa por cada extremo y el origen. c) En el sistema de coordenadas rectangula- res, representa el segmento de recta, y cada una de las rectas obtenidas en a) y b). Nota. Si P = (a, b), Q = (c, d) 2 , el punto medio M del segmento que une P y Q está definido como
- 80. 191 Diversidad funcional en elaula Sin importar las diferencias o similitudes que podamos tener unos con otros, siempre debemos tener en cuenta que los comentarios y las visiones positivas nos estimulan y favorecen nuestro aprendizaje. Trabajo colaborativo Los vértices de un cuadrado son los pun- tos A = (2, 0), B = (0, 2), C = (–2, 0) y D = (0, –2). 6 Sean A = (2, 1), B = (4, 5). La recta que pasa por A y B es L. Sea L1 la recta que pasa por B y C = (1, –1). Demuestra que L = L1 . 7 Sean a = (–2, –5), b = (2, 3) 2 . 8 a) En el sistema de coordenadas rectangulares representa estos puntos y traza el cuadra- do. Siempre que sea posible, determina las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrado. b) Halla las ecuaciones de las rectas que con- tienen a las diagonales del cuadrado. a) Obtén la recta L 2 que pasa por a y b. b) Sea L1 la recta que pasa por los puntos u = (0, –1), v = (1, 1) 2 . Prueba que L = L1 . c) Sea L2 la recta que pasa por los puntos p = (–5, –11), q = (5, 9) 2 . Demuestra que L = L2 . Los vértices de un triángulo T son: P = (–3, –1), Q = (0, 3), R = (3, 0). 9 a) Representen gráficamente este triángulo. b) Hallen (siempre que sea posible) las ecua- ciones cartesianas de las rectas que contie- nen a los lados del triángulo T. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos u = (–2, 3), v = (1, –2), w = (4, –1) y z = (3, –3). 11 a) Calculen la pendiente de cada uno de los lados del cuadrilátero. b) Determinen las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrilátero. c) Obtengan las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del cuadrilátero. d) Hallen el punto de intersección de las dia- gonales del cuadrilátero. Sean L1 , L2 las rectas definidas como: L1 = {(x, y) 2 |3x – y = 4}, L2 = {(x, y) 2 |–2x + 5y = –7}. 10 a) Obtengan las pendientes de las rectas L1 y L2 . b) Representen gráficamente estas rectas. c) Demuestren que (1, –1) L1 L2 y que este punto es único. Para el efecto supon- gan que existe otro punto (a, b) L1 L2 y muestren que a = 1, b = –1. Archivo editorial, (2020). Indaguen, trabajen en equipo y resuelvan.
- 81. 192 Distancia entre dosnúmeros reales DCCD: M.5.1.32. Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0 de una función cuadrática con el uso de la calculadora como una distancia entre dos número reales. De manera intuitiva, las ideas de proximidad, de tendencia, de aproxi- mación y de cercanía a un punto, a un valor numérico o también de tendencia a alejarse, están ligadas con la distancia entre dos puntos en la recta numérica, a la cual definimos a continuación. Definición. Sean x, y . La distancia de x a y se denota d (x, y) y se define como d (x, y) = |x – y|. De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números reales, se tiene: i) ii) d(x, , , y)= x– y d(x,y)= y– x si x ≥ y, entonces x – y ≥ 0, luego, d (x, y) = |x – y| = x – y, y. si x y, entonces y – x 0, resulta, d (x, y) = |x – y| = y – x. Así, i) ii) d(x, , , y)= x– y d(x,y)= y– x si x ≥ y, si x y. A la distancia entre dos números reales la denominaremos métrica usual en y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales. Ejercicios resueltos 1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, 1) = |–3 –1| = |–4| = 4. 2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0. 3. d (–8, –2) = |–8 –(–2)| = |–8 + 2| = |–6| = 6. Propiedades de la métrica usual en Teorema. Sean x, y, z . Se verifican las siguientes propiedades. i. d(x, y) ≥ 0. ii. d(x, y) = 0 ⇔ x = y. iii. d(x, y) ≥ d (y, x). iv. d(x, z) ≤ d (x, y) + d (y,z) (desigualdad triangular). Demostración. Estas propiedades resultan inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. i. Puesto que |x – y| ≥ 0, se sigue que d (x, y) = |x – y| ≥ 0. ii. De la definición de distancia entre dos números reales, se tiene d(x, y) = |x – y|, luego, d(x, y) = 0 ⇔ |x – y| = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y. Por lo tanto, d (x, y) = 0 ⇔ x = y. iii. Tenemos d(x, y) = |– 1(y – x)| = |–1||y – x| = d(y, x). Así, d (x, y) = d (y, x). iv. Por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene d(x, y) = |x – y|, d(y, z) = |y – z|. Luego, d(x, z) = |x – z|=|x – y + y – z| ≤ |x – y|+|y – z| = d(x, y) + d(y, z). Conclusión: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Desequilibrio cognitivo ¿Cómo se define la distancia entre dos números reales? Saberes previos ¿Cómo se define el valor absoluto de un número real? ¿Cuáles son las propiedades más importantes? Recuerda que… Si u = x – y, v = y – z, se tiene u + v = x – y + (y –z) = x – z, y la desigualdad |u + v| ≤ |u| + |v| se transforma en |x – z| ≤ |x – y| + |y –z|; esto en términos de la distancia entre dos números reales se expresa como d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). que hemos obtenido en la demostración iv. Simbología matemática A la distancia entre dos números reales la denomina- mos métrica usual en y se representa por d (x, y) = |x – y|, x, y ∈ .
- 82. 193 Otra propiedad dela distancia entre dos números reales es: |d (x, y) – d(y, z)| ≤ d(y, z), x, y, z ∈ . Esta desigualdad es consecuencia inmediata de la siguiente: ||u| – |v|| ≤ |u – v|, u, v ∈ . Poniendo u = x – y, v = z – y en la desigualdad precedente, obtenemos ||x – y| – |z – y|| ≤ |x – y – (z – y)| = |x – z| y tomando en consideración que d(y, z) = d (z, y), se deduce que |d (x, y) – d (y, z)| ≤ d(x, z). Ejercicio resuelto 1. Sean x0 = –2,5; x = –2,5 + h, h ∈ . Calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 1: d(–2,5; –2,49) = |–2,5 – (–2,49)| = 2,5 – 2,49 = 0,01; d(–2,5; –2,495) = |–2,5 – (–2,495)| = 2,5 – 2,495 = 0,005; d(–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – (–2,499 9)| = 2,5 – 2,499 9 = 0,000 1; d(–2,5; –2,499 98) = |–2,5 – (–2,499 998)| = 2,5 – 2,499 998 = 0,000 002; Observamos que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 9; –2,499998seaproximancadavezmása–2,5.Parah 0yx=–2,5+h, se tiene d (–2,5; x) = d (–2,5; –2,5 + h) = |–2,5 + h – (–2,5)| = –2,5 + h –(–2,5) = h. Si asignamos valores a h 0 cada vez más próximos a cero, tendre- mos que x = – 2,5 + h se aproxima cada vez más a x0 = –2,5. En la tabla 1 se muestran algunos de estos valores y d (–2,5, x) = |–2,5 –(–2,5 + h) | = h. 2. Sean x0 = 3,2; y = 3,2 + h, h ∈ . En la Tabla 2 se muestran algu- nos valores de h 0, de y = 3,2 + h y la distancia d (3,2; y) = |3,2 – (3,2 + h) | = h. Observamos que para valores de h 0 que tienden a cero, y = 3,2 + h tiende a 3,2. Nota que para valores de h 0 cada vez más pequeños, se tiene que d (3,2; y) = d (3,2; 3,2 + h) = h son igualmente cada vez más pequeños. 3. Sea x0 = 0,3. Consideramos y = 0,3 + h, h ∈ . En la Tabla 3 se muestran algunos valores de h 0, de y = 0,3 + h y la distancia d (0,3; y) = d (0,3; 0,3 + h) =| 0,3 – (0,3 + h)|= –h. Los resultados de la tabla muestran que para h 0 y h que se aproxima a cero, y = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3. Sean h 0, y x = x0 + h, entonces x x0 , y d (x, x0 ) = d (x0 + h, x0 ) = x0 – (x0 + h) = x0 –x0 – h = –h 0. Para valores de h 0 y h cada vez más próximos de cero, x0 + h es cada vez más próximo de x0 . h x = –2,5 + h d (–2,5; x) 0,1 –2,4 0,1 0,01 –2,49 0,01 0,005 –2,495 0,005 0,000 1 –2,499 9 0,000 1 0,000 01 –2,499 99 0,000 01 0,000 002 –2,499 998 0,000 002 p Tabla 1 h y=–3,2+h d (3,2; y) = h 0,1 3,3 0,1 0,01 3,21 0,01 0,001 3,201 0,001 0,000 2 3,2002 0,000 2 0,000 04 3,20004 0,000 04 0,000 000 1 3,2000001 0,000 001 p Tabla 2 h y=0,3+h d(0,3;y)=–h –0,2 0,1 0,2 –0,05 0,25 0,05 –0,001 0,299 0,001 –0,000 025 0,299 995 0,000 025 –0,000 0001 0,299 999 9 0,000 0001 p Tabla 3 Conexiones con las TIC Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y dis- tancia entre dos puntos, puedes visitar la siguiente página: bit.ly/2UOUtNk
- 83. 194 Las nociones queintroducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que se dan en el cálculo diferencial e integral. Recordemos la definición de valor absoluto de un número real t: t = t, –t, d x,y ( )= x– y d x,y ( )= y– x x x0 , x x0 . si t ≥ 0, si t 0. De esta definición y de la distancia entre dos números reales, se tiene: si x ≥ y, entonces x – y ≥ 0, con lo que d (x, y) = |x – y| = x – y. Si x y, entonces x – y 0, con lo que d (x, y) = |x – y| = –(x – y) = y – x. Ejercicios resueltos 1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, –1) = |–3 –1| = |–4| =4. 2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0. Significados de x → 0, x → x0 + y x → x0 – Para introducir los términos pequeño y suficientemente pequeño, utilizaremos las relaciones de orden “menor que ” y “mayor que ” en el siguiente sentido: sea 0 1, diremos que x ∈ R con x ≠ 0 es pequeño (suficientemente pequeño) con respecto de , si se verifica que |x| . Ejercicio resuelto 1. Sea = 0,1. Todo número real x ≠ 0 tal que |x| 0,1 es pequeño con respecto de = 0,1. Así, si x = –0,05, se tiene |–0,05|= 0,05 0,1; con lo que x = –0,05 es pequeño respecto de = 0,1. Por el contrario, x = 0,15 no es pequeño respecto de = 0,1, pues x = 0,15 0,1 = . Notación Escribiremos x → 0, que se lee “x tiende a cero” o también “x se apro- xima a cero”, para indicar que |x| puede hacerse tan pequeño como se quiera. Es decir que para cada 0, se tiene |x| . También se dice “|x| es suficientemente pequeño”. Damos a continua- ción una interpretación de esta formulación. Sea x0 ∈ R fijo. Dado x ∈ R con x ≠ x0 , por la propiedad de trico- tomía, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: i) x x0 ; ii) x x0 . Para precisar la notación x → x0 que se lee “x tiende a x0 ”o también “x se aproxima a x0 ”, veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender este significado. Noción intuitiva de límite Recuerda que… Los conceptos de lími- te y continuidad son la base del estudio del cálculo diferencial e integral; sobre estos conceptos daremos aquí los primeros pasos. Observemos el significado más próximo al matemático de la pala- bra “límite”, dado por el dicciona- rio de la lengua española. Encon- tramoslosiguiente:“término”,“fin”, “extremo”, “confinante”, “aledaño”, “línea que separa dos terrenos contiguos”, “punto del cual no se puede extender una acción, una influencia, un estado”. En cuanto a la palabra “continuo”, encontra- mos“sininterrupcióneneltiempo o en el espacio”, “que se hace o se extiende sin interrupción”, “todo compuesto de partes unidas en- tre si”, “incesante” y de la palabra “continuidad” encontramos “cali- dad o condición de las funciones o transformaciones continuas”. Simbología matemática Algunas letras del alfabe- to griego. alfa beta b gamma g delta d épsilon e zeta z eta e theta (tita) t iota i kappa k lambda l mu m
- 84. 195 1. Consideremos elcaso x x0 . Se tiene d(x0 , x) = |x0 –x| = x– x0 0. Sea x0 = –2,5. Consideremos la función real f, definida como f(h) = –2,5 + h, h ∈ R. Primeramente, calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 4: d (–2,5; –2,49) = |–2,5 – f(0,01)|= 2,5 –2,49 = 0,01; d (–2,5; –2,495) = |–2,5 – f(0,001)|= 2,5 –2,499 = 0,001; d (–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – f(0,000 1)|= 2,5 –2,499 9 = 0,000 1; d (–2,5; –2,499 998) = |–2,5 – f(0,000 002)|= 2,5 –2,499 998 = 0,000 002. Se observa que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 98 se apro- ximan cada vez más a –2,5. Para h 0 y x = f(h) = 2,5 + h, se tiene d(–2,5; f(h))=d (–2,5;–2,5+h)=|–2,5+h –(–2,5)|=–2,5+h–(2,5)=h. Si asignamos valores a h 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = f(h) = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x0 = f(0) = –2,5. En la Tabla 4 se muestran algunos de estos valores y d (–2,5; f(h)) = |–2,5– (–2,5 + h)|= h. Noción de límite de una función real La noción de límite se limita al tipo de funciones afines, cuadráticas, ya tratadas. Definición Sea f una función real definida en todo , . ∈ L Se dice que f(x) tiende a L cuando x tiende a x₀, si y solo si se verifica la condición: 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L Se escribe 0 lím (x) . = → f L x Así, para cada 0 ε tal que 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L podemos encontrar 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L de modo que si h = x – x0 , 0 δ h siempre se verifica 0, 0 tal que 0 ( , ) ( ( ), ) . 0 ∀ε δ δ ε d x x d f x L Ejercicio resuelto 1. Sealafunciónrealfdefinidacomof(h)=L+2h2 , h∈R.Tenemos h→0 h→0 lím f(h) = lím (L +2h2 ) = L , pues si 0, y tomando en considera- ción que si |h| 1, se tiene h2 ≤ |h|, entonces d(f (h), L) = d(L + 2h2 , L) = |L + 2h2 – L| = 2h2 ≤ 2|h| ⇒ |h| 2 . Elegimos . 0 ( ( ), ) . 2 0 δ = δ ε ε h d f h x Luego . 0 ( ( ), ) . 2 0 δ = δ ε ε h d f h x Esta última implicación significa que h→0 h→0 lím f (h) = lím (L + 2h2 ) = L. En otras palabras, f(h) = L + 2h2 se aproxima a |L|, conforme h se aproxima a cero, o lo que es lo mismo, la distancia de f(h) = L + 2h2 a L es suficientemente pequeña conforme h es suficientemente pequeño. Simbología matemática x → 0 se lee “x tiende a cero” o también “x se aproxima a cero”. x → x0 que se lee “x tiende a x0 ” o también “x se aproxima a x0 ”. h f(h)=–2,5+h d(–2,5;f(h)) 0,1 –2,4 0,1 0,01 –2,49 0,01 0,001 –2,499 0,001 0,000 1 –2,499 9 0,0001 0,000 01 –2,499 99 0,000 01 0,000 002 –2,499 998 0,000 002 p Tabla 4 Recuerda que… Del punto de vista intuitivo, a medida que |h| se hace cada vez más pequeño o próximo a cero, la distancia de f(h) a L es también muy pequeño.
- 85. Taller práctico 196 DCCD: M.5.1.32.Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0 de una función cuadrá- tica con el uso de la calculadora como una dis- tancia entre dos número reales. Resuelve y responde los siguientes literales. 2 Para los valores de h 0 que se dan en la tabla, calcula u(h) = 1,5 – h, v(h) =1,5 + h, w(h) =1,5 – 1 4 h. 4 Supón que para todo , 0 1 se ve- rifican las condiciones que se indican en cada caso. ¿Qué significa cada una de es- tas condiciones? 3 Sea x0 = –3,33. Calcula x0 – h y x0 + h para todos los valores de h que se dan a continuación. 1 a) h = –0,025. b) h = –0,002 5. c) h = –0,000 12. d) h = –0,000 085. e) h = –0,000 022. a) Completa la tabla siguiente: a) x 25,32 y d (x; 25,32) . Para |h| suficientemente pequeño, ¿hacia qué valor tiende –3,33 –h y –3,33 +h? h h2 h2 – h 0,2 0,1 0,012 0,001 2 0,000 03 h p(h)=2–2h q(h)=2+4h r(h)=2+h+10h2 –0,2 –0,015 –0,002 2 –0,000 33 –0,000 002 1 2 b) Para |h| suficientemente pequeño, ¿son h2 y h2 – 1 2 h suficientemente pequeños? Justifica tu respuesta. c) Para los valores de h 0 que se dan en la tabla, calcula p(h) = 2 – 2h, q(h) = 2 + 4h, r(h) = 2 + h + 10h2 . 1 h u(h) = 1,5 – h v(h) = 1,5 + h w(h) = 1,5 – 1 4 h 0,3 0,025 0,001 5 0,000 05 0,000 002 a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real se aproxima u(h) = 1,5 – h, v(h) = 1,5 + h, w(h) = 1,5 – 1 4 h? d) Calcula las distancias d (2, p), d (2, q), d (2, w), y muestra los resultados en una tabla. ¿Qué puedes decir acerca de los resultados? ___________________________________________ ___________________________________________ b) Calcula las distancias d (1,5; u), d (1,5; v), d (1,5; w).
- 86. 197 c) Calculen xpara cada uno de los valores h 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pue- den decir acerca de los resultados? Trabajen en equipo y resuelvan. Trabajo colaborativo Para los valores de |h| ≥ 0,3 que se dan en la tabla, calcula A(h) = 0,5 – h2 , B(h) = 0,5 + h2 . 5 En cada ítem, indica el significado del límite que se da. 6 h –2–2|h| –2+4h2 –2–h+10h3 –0,2 –0,015 –0,002 2 –0,000 33 –0,000 002 h x = 5 – 10h2 –0,3 –0,02 –0,00 1 –0,000 5 –0,000 08 b) Para los valores de |h| 0 que se dan en la tabla, calcular p(h) = 2 –2h, q(h) = 2 +4h, r(h) = 2 + h + 10h2 . c) Para h 0,2 y que tiende a cero, –2 –2|h|, –2 + 4 h2 , –2 –h +10h2 tienden todos a –2,1. ¿Es cierta esta afirmación? h A(h) = 0,5 – h2 B(h)=0,5+h2 0,3 –0,025 0,001 5 –0,000 05 0,000 002 a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real tiende A(h) = 0,5 – h2 , B(h) = 0,5 + h2 ? ¿Qué puedes decir acerca de los resultados? ¿Qué pueden decir acerca de los resultados? b) Hallen lím (5 – 10h2 ). h→0+ a) lím (10 – h) =10. h→0 b) lím (– 1 2 –h) = – 1 2 . h→0 d) Hallen lím (5 – 10h2 ). h→0 7 Sea h ∈ R con h ≠ 0 y x = 5 –10h2 . h x = 5 – 10h2 0,1 0,02 0,003 0,000 4 0,000 05 a) Calculen x para cada uno de los valores h 0 que se indican en la tabla. Diversidad funcional en el aula Sin importar las diferencias entre los miembros del equipo de trabajo es necesario que las ins- trucciones sean claras y cortas. Archivo editorial, 2020
- 87. 198 Cociente incremental. Noción dederivada DCCD: M.5.1.33. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas, a partir del cociente incremental. En el cálculo de la derivada de una función, aparece el denominado cociente incremental, al que definimos a continuación. Definición. Sean A, B dos intervalos de , f una función de A en B, a ∈ A fijo y h ∈ , tal que h ≠ 0, y, a + h ∈ A. El cociente incremental de la función f en el punto a se denota Q(h) y se define como sigue: Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h Q h ( )= f –2+h ( )– f –2 ( ) h = –5+2h– –5 ( ) h =2 , h ≠ 0. En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños. Ejercicios resueltos 1. Sea f la función real definida como f(x) = 2x – 1 con x ∈ . Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, tenemos f(–2) = 2(–2) –1 = –5, y, f(–2 + h) = –5 + 2h. Note que si |h| es suficientemente pequeño, 2|h| también lo es. El cociente incre- mental está definido como Q h ( )= f 2+h ( )– – – f 2 ( ) h –5 + 2h –(–5) h = =2 Q 0,02 ( )= 1 4 12+6 0,02+ 0,2 ( ) 2 ( )=3,030 Q –0,02 ( )= 1 4 12+6 0,02+ 0,2 ( ) 2 ( )=2,970 Q 0,00 ( 0 2)= 1 4 12+6 0,02+ 0,02 ( ) 2 ( )=2,970 Q –0,00 ( 0 2)= 1 4 12–6 0,000 ( 2+ –0,000 ( 2) 2 )=2,999 , h ≠ 0, es decir que el cociente incremental es constante y vale 2. 2. Sean ∈ con ≠ 0 y f la función real definida por f(x) = x3 , x ∈ . Calculemos el cociente incremental Q (h) para h ∈ , tal que h ≠ 0. Sean a ∈ y h ≠ 0. De la definición de la función f y del cociente incremental, se tiene Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h = a+h ( ) 3 – a3 h = a3 + a2 h+3 3 ah2 + h3 – a3 h = h 3a3 +3ah+h2 ( ) h = 3a2 +3ah+h2 ( ) h 0. , = 1 4 Para Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h = a+h ( ) 3 – a3 h = a3 + a2 h+3 3 ah2 + h3 – a3 h = h 3a3 +3ah+h2 ( ) h = 3a2 +3ah+h2 ( ) h 0. , = 1 4 y a = 2, se tiene ( ) ( )= + = + + (2 )– (2) 1 4 12 6 , 2 Q h f h f h h h h ≠ 0. Calculemos algunos valores de este cociente: Q Q Q Q 0,02 1 4 12 6 0,02 0,02 3,030 1, –0,02 2,970 1. 0,000 2 3,000 300 01, –0,000 2 2,999 700 01. 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + × + = = = = Para valores de h no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 3. Calculemos la distancia de 3 a Q(h), esto es, d(3, Q(h)), h ≠ 0. Tenemos ( ) ( ) ( ) = = + + = + ≠ 3, ( ) –3 1 4 12 6 –3 3 2 1 4 , 0. 2 2 d Q h Q h h h h h h Desequilibrio cognitivo ¿Cómo interpretas de manera geométrica la tangente a una curva? Saberes previos ¿Qué es una cantidad suficientemente pequeña? Conexiones con las TIC Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y dis- tancia entre dos puntos puedes visitar la siguiente página: bit.ly/2GJ8yGY Recuerda que... Los trabajos de Leibniz que buscaban un método gene- ral para hallar la tangente a una curva dieron origen a la noción de derivada como el cociente incremental o el cociente de diferencias de una función y = f (x). , , lím ( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 y x f x f x x x x x dy dx f x f x x x x x ( ) ( ) = − − ≠ = − − →
- 88. 199 Observamos quepara |h| no nulo y suficientemente pequeño, d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. es también suficientemente pequeño. En efecto, sea 0. Entonces, como h2 ≤ | h|, y por la desigualdad triangular, se tiene d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. de donde d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. Así, d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. lo que significa que d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. A este número real se le llama derivada de la función f en el punto x = 2. Se escribe d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 d 3,Q h ( ) ( )= 3 2 h+ 1 4 h2 3 2 h + 1 4 h = 7 6 h , h 6 7 . h 6 7 d 3,Q h ( ) ( ) , lím h 0 f 2+h ( )– f 2 ( ) h =lím h 0 1 4 12+6h+h2 ( )=3. df dx 2 ( )=3. 3. Sean P la función real definida como P(x) = 8x + 35x3 , x ∈ con a, h ∈ con h ≠ 0. Calcula el cociente incremental P a+h ( )–P a ( ) h . Q h ( )= P a+h ( )–P a ( ) h =8+105a +105ah 2 +35h2 Q h ( )= P 2+h ( )–P 2 ( ) h = 428+210h2 +35h2 h 0. h 0. ≠ ≠ lím h 0 P 2+h ( )–P 2 ( ) h =lím h 0 428+210h+35h2 ( )= 428. dP dx 2 ( )= 428. , , Para x = a + h, se tiene P(a + h) = 8 (a + h) + 35 (a + h)3 = 8a + 35a3 + h (8 +105a2 + 105 ah + 35h2 ). Luego, P(a + h) – P(a) = 8a + 35a3 + h(8 + 105a2 + 105ah + 35h2 ) –8a – 35a3 = h(8 + 105a2 + 105ah + 35h2 ), de donde P a+h ( )–P a ( ) h . Q h ( )= P a+h ( )–P a ( ) h =8+105a +105ah 2 +35h2 Q h ( )= P 2+h ( )–P 2 ( ) h = 428+210h2 +35h2 h 0. h 0. ≠ ≠ lím h 0 P 2+h ( )–P 2 ( ) h =lím h 0 428+210h+35h2 ( )= 428. dP dx 2 ( )= 428. , , Por ejemplo, si a = 2, tenemos P a+h ( )–P a ( ) h . Q h ( )= P a+h ( )–P a ( ) h =8+105a +105ah 2 +35h2 Q h ( )= P 2+h ( )–P 2 ( ) h = 428+210h2 +35h2 h 0. h 0. ≠ ≠ lím h 0 P 2+h ( )–P 2 ( ) h =lím h 0 428+210h+35h2 ( )= 428. dP dx 2 ( )= 428. , , Nota que fijado a, el cociente incremental se transforma en una función dependiente de h ≠ 0. En general, |h| es no nulo y suficien- temente pequeño. Calculemos algunos valores de Q(h). Q(0,1) = 428 + 210 × 0,1 + 35 (0,1)2 = 449,35; Q(–0,1) = 428 – 210 × 0,1 + 35 (–0,1)2 = 407,35; Q(0,001) = 428 + 210 × 0,001 + 35 (0,001)2 = 428,210 000 4; Q(–0,001) = 428 – 210 × 0,001 + 35 (–0,001)2 = 427,790 035; Calculemos la distancia de 428 a Q(h), esto es, d(428, Q(h)), h ≠ 0. Tenemos d(428,Q(h))|=|Q(h)–428|=|428+210h+35h2 –428|=|210h+35h2 |, h≠0. Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño, d(428, Q(h)) =| 210h + 35h2 | es también suficientemente pequeño. Se demuestra que P a+h ( )–P a ( ) h . Q h ( )= P a+h ( )–P a ( ) h =8+105a +105ah 2 +35h2 Q h ( )= P 2+h ( )–P 2 ( ) h = 428+210h2 +35h2 h 0. h 0. ≠ ≠ lím h 0 P 2+h ( )–P 2 ( ) h =lím h 0 428+210h+35h2 ( )= 428. dP dx 2 ( )= 428. , , Al resultado de este límite se lo llama derivada de la función P en el punto x = 2. Se escribe P a+h ( )–P a ( ) h . Q h ( )= P a+h ( )–P a ( ) h =8+105a +105ah 2 +35h2 Q h ( )= P 2+h ( )–P 2 ( ) h = 428+210h2 +35h2 h 0. h 0. ≠ ≠ lím h 0 P 2+h ( )–P 2 ( ) h =lím h 0 428+210h+35h2 ( )= 428. dP dx 2 ( )= 428. , , Recuerda la definición En el estudio de fun- ciones, nos interesa analizar las tasas de variación de las funcio- nes, las cuales se facilitan con el cociente incremental: f x h f x h h ( ) ( ) , ≠ 0. + − El siguiente paso es el cálculo del límite del cociente. Con él obtenemos su derivada. Interdisciplinariedad Con mucha frecuencia el problema de encontrar la mejor manera de aprovechar la materia prima o los recursos con los que vamos a producir algo, conllevan a la aplicación del cociente incremental para con la aplicación de la derivada determinar la mayor superfi- cie que se debe cultivar para obtener los máximos recursos económicos de producción.. Shutterstock, (2020). 28418635 / 510566239 p Campo de algodón y café.
- 89. 200 Interpretación geométrica y físicadel cociente incremental DCCD: M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. Sean A, B dos intervalos de , f una función de A en B, a ∈ A fijo y h ∈ , tal que h ≠ 0, y a + h ∈ A. El grafo de la función f es el conjunto definido como G(f) = {(x, f (x))|x ∈ A}. La representación gráfica de G(f) en el sistema de coordenadas rec- tangulares se llama gráfica de la función f o representación gráfica de la función f. Consideramos dos puntos del grafo de f: P0 = (a, f (a)), al que lo man- tenemos fijo, y P = (a + h, f (a + h)) que variará conforme |h| se haga cada vez más pequeño. Determinemos la ecuación cartesiana de la recta Lh que pasa por estos dos puntos. (x, y) ∈ 2 tal que y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). , h ≠ 0. Observamos que la pendiente de la recta es el cociente incremental Q (h) que se define como: y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). , h ≠ 0. Luego, la ecuación cartesiana de la recta Lh se escribe como (x, y) ∈ 2 tal que y – f (a) = Q (h)(x – a), con h ≠ 0. En la Figura 4.21. se muestran las posiciones de los puntos P2 , P3 , P4 , ..., que corresponden a valores de h 0 cada vez más pequeños. También se muestran las posiciones de las rectas Lh 1 ( ) ,Lh 2 ,Lh 3 ( ) ,… que pasan por P0 y por cada uno de los puntos P2 , P3 , P4 , ..., respectivamente, y la recta tangente L a la gráfica de la función f. Desde el punto de vista intuitivo, podemos observar que para h 0 cada vez más pequeño, la recta Lh se acerca cada vez más a la recta L, lo que implica que el cociente incremental Q (h) se aproxima cada vez más a la pendiente m de la recta tangente L que tiene como ecuación cartesiana (x, y) ∈ 2 tal que y – f (a) = m (x –a). Se escribirá y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). siempre que el límite exista y se le llamará derivada de f con respecto de x en el punto x = a, que se nota y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). esto es, y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). . En muchos libros se nota también y– f a ( )= f a+h ( )– f a ( ) h x–a ( ) Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h m=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( ), m= df dx a ( ) m= f ' a ( ). Desequilibrio cognitivo ¿Cómo explicas el concepto de derivada? ¿Qué aplicaciones tiene el concepto de derivada? Saberes previos ¿Qué es una recta tan- gente en el punto P a una repre- sentación gráfica de una función? ¿A qué llamamos pendiente de la recta tangente? Recuerda que... Si se conoce la pendien- te de una recta y el punto P0 = (x0 , y0 ), la ecuación carte- siana de la recta que pasa por (x0 , y0 ) y tiene pendiente m está dada por (x, y) ∈ R tal que y – y0 = m(x – x0 ). Por otro lado, la ecuación carte- siana de la recta L que pasa por los puntos P0 = (x0 , y0 ), y P1 = (x1 , y1 ) con x0 ≠ x1 está definida como sigue: (x, y) ∈ R2 tal que y–y0 = = ≠ y1 – y0 x1 – x0 x , – x0 ( ) x1 x0. y1 – y0 x1 – x0 m df dx El número real y–y0 = = ≠ y1 – y0 x1 – x0 x , – x0 ( ) x1 x0. y1 – y0 x1 – x0 m df dx es la pendiente de la recta. mc ma mb a b c B C A G 0 0 1 -1 –2 –3 1 1 –1 1 2 3 R C A D E F P0 P1 P2 P4 f(a) f(a+h4) f(a+h1) a a + h4 a + h1 Lh Lh Lh Lh L (³) (²) (¹) y x P3 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 y y = 0,5t + 4,9t² 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 v y = 0,5t + 9,8t f(x0+h) f(x0) x0 x0+h p Figura 4.21.
- 90. 201 Podemos generalizar elcálculo de derivadas de otras funciones. Así, proponemos el siguiente procedimiento. i. Formar el cociente incremental f x0 +h ( )– x0 ( ) h f x+h ( )– f x ( ) h = h 2ax+b+ah ( ) h =2ax+b+ah. lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=– 5 2 x2 +0,1x; f´ x ( )=–5x+0,1; f´ 1 50 = 0. con h ≠ 0. ii. Estudiarellímitedelcocienteincrementalcuandoh→ 0+ ycuando h → 0– . Si estos dos límites coinciden, ese valor común es la derivada f’(x0 ). iii. Interpretar los resultados de i. y ii. Concluir. Derivada de la función cuadrática Sean a, b ∈ con a ≠ 0. La función cuadrática está definida como: f (x) = ax2 + bx + c, x ∈ . Calculemos f’(x). Para el efecto, estudiemos el límite del cociente incremental. Para x ∈ y h ≠ 0, de la definición de la función f se tiene f (x + h) = a(x + h)2 + b(x + h) + c = a(x2 + 2xh + h2 ) + b(x + h)+ c = ax2 +2axh + ah2 + bx + bh + c = ax2 + bx + c + h (2ax + b + ah) = f (x) + h(2ax + b +ah). luego f x0 +h ( )– x0 ( ) h f x+h ( )– f x ( ) h = h 2ax+b+ah ( ) h =2ax+b+ah. lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=– 5 2 x2 +0,1x; f´ x ( )=–5x+0,1; f´ 1 50 = 0. Como a es constante, es claro que para |h| suficientemente pequeño, ah también lo es. Entonces f x0 +h ( )– x0 ( ) h f x+h ( )– f x ( ) h = h 2ax+b+ah ( ) h =2ax+b+ah. lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=– 5 2 x2 +0,1x; f´ x ( )=–5x+0,1; f´ 1 50 = 0. Así, f x0 +h ( )– x0 ( ) h f x+h ( )– f x ( ) h = h 2ax+b+ah ( ) h =2ax+b+ah. lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=– 5 2 x2 +0,1x; f´ x ( )=–5x+0,1; f´ 1 50 = 0. Conclusión: f (x) = ax2 + bx + c, x ∈ , f’ (x) = 2ax + b. Ejercicios resueltos 1. f (x) = x2 , x ∈ , f’ (x) = 2x. Para x = –1, se tiene f’ (–1) = –2. 2. f (x) = 10x2 –3x + 1, x ∈ , f’ (x) = 20x – 3. Para x = 0,4; f (0,4) = 5. 3. f (x) = –7 x2 + 9, x ∈ , f’ (x) = –14x, f’ (0) = 0. 4. f x0 +h ( )– x0 ( ) h f x+h ( )– f x ( ) h = h 2ax+b+ah ( ) h =2ax+b+ah. lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=lím h 0 f x+h ( )– f x ( ) h =2ax+b. f x ( )=– 5 2 x2 +0,1x; f´ x ( )=–5x+0,1; f´ 1 50 = 0. Derivada de la fun- ción constante Sean b R y f la función real definida como f(x) = b, x R, f ' (x) = 0, x R. Derivada de la función afín Sean a, b R con a ≠ 0. La función afín está definida como f(x) = ax + b, x R. df dx x a = . ( ) Recuerda que… Conexiones con las TIC Para conocer más sobre derivadas, te sugerimos visitar la siguiente página: bit.ly/2GKElY1
- 91. Taller práctico 202 Considera lafunción real f que se define a continuación: f x ( )=1– 1 3 x f x ( )=1+5x– 1 3 x2 Qh= 20 3 – 1 3 h , Qh= 10 3 – 1 3 h. 5– 2 3 x,x 0 Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h f x ( )= 1 4 x–3 f x ( )= x2 +1 , x∈. 2 Considera la función real f que se de- fine a continuación: f(x) = –5x2 – x3 , x ∈ . Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h: h = 0,1; h = 0,001; h = 0,000 1; h = –0,001; h = –0,000 1. Traza la gráfica de la función f. 3 Sea 0 h 1. Calcula el cociente incremental f x ( )=1– 1 3 x f x ( )=1+5x– 1 3 x2 Qh= 20 3 – 1 3 h , Qh= 10 3 – 1 3 h. 5– 2 3 x,x 0 Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h f x ( )= 1 4 x–3 f x ( )= x2 +1 para cada función f y a ∈ que en cada literal se indica. 4 DCCD: M.5.1.33. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas, a partir del cociente incremental. M.5.1.34. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. a) a = –2. b) a = 0. c) a = –0,5. d) a = 0,5. a) a = –1,5. b) a = 0. c) a = –0,25. d) a = 1,5. a) Traza la gráfica de la función f. b) Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,05; –0,005; 0,000 5; 0,000 05 a) a = –5. b) a = –2,5. c) a = 0. d) a = 2,5. Considera la función real f que se define a continuación f x ( )=1– 1 3 x f x ( )=1+5x– 1 3 x2 Qh= 20 3 – 1 3 h , Qh= 10 3 – 1 3 h. 5– 2 3 x,x 0 Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h f x ( )= 1 4 x–3 f x ( )= x2 +1 , x ∈ . Calcula el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h si- guientes: h = 0,01; h = –0,001; h = 0,000 1. Traza la gráfica de la función f. 1 c) b) a) f(x) = f(x) = f(x) =
- 92. 203 Considerenlafunciónrealfquesedefine a continuación: = +∀ ∈ ( ) 1, x . 2 f x x 7 Trabajen en equipo y resuelvan. En cada ítem se define una función real. Calcula el cociente incremental Q(h)en el punto a que se indica. Además, cal- cula dicho cociente en cada uno de los puntos h: h = 0,05; h = –0,002; h = 0,000 1; h = –0,000 04; h = 0,000 001. ¿Hacia qué valor m se aproxima cuando h es no nulo y suficientemente pequeño? 5 Sea 0 h 1. Calcula el cociente incre- mental f x ( )= x2 a=– 1 2 a= 1 2 f x ( )=2x2 – 2 3 x+2 . Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( )=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h =lím h 0 Q h ( ) para cada función cuadrática f y a ∈ que en cada literal se indica. Determina en forma intuitiva si existe f x ( )= x2 a=– 1 2 a= 1 2 f x ( )=2x2 – 2 3 x+2 . Q h ( )= f a+h ( )– f a ( ) h df dx a ( )=lím h 0 f a+h ( )– f a ( ) h =lím h 0 Q h ( ) 6 a) Calculen el cociente incremental en cada uno de los puntos que se indican, así como cada cociente en los puntos h siguientes: h = 0,02; h = 0,002; h = –0,000 02; h = 0,000 002 1. f x ( )= x+1 ( ) 1+x2 a=– 3 a=–2 2 a= 15 f x ( )= x+1 ( ) 1+x2 a=– 3 a=–2 2 a= 15 m= df a ( )=lim h 0 f a+h ( )– f a ( ) =lim h 0 Q h ( ) f x ( )= x+1 ( ) 1+x2 a=– 3 a=–2 2 a= 15 m= df dx a ( )=lim h 0 f a+h ( )– f a ( h 2. 3. . . . 4. a = –0,5. 5. a = 0 . 6. a = –1. a) Determinen el cociente incremental en x = 0. b) Determinen en forma intuitiva df dx a f a h f h a a h ( ) lím ( ) (a) 1 . 0 2 = + − = + → c) Justifiquen este resultado. a) f (x) = x2 , x ∈ , a = – 1 2 . b) f (x) = –x2 –3x, x ∈ , a = 1 2 . c) f (x) = 2x2 – 2 3 x + 2, x ∈ , a = 0,1, a) f (x) = x2 , x ∈ , a = – 1 2 . Considerenlafunciónrealfquesedefine a continuación 8 f x ( )= x+1 ( ) 1+x2 a=– 3 a=–2 2 a= 15 m= df dx a ( )=lim h 0 f a+h ( )– f a ( ) h =lim h 0 Q h ( ) , x ∈ . b) f (x) = –x2 –3x, x ∈ , a = 1 2 . c) f (x) = 2x2 x + 2, x ∈ , a = 0,1. – 2 3 Diversidad funcional en el aula En los procesos de aprendizaje, en ocasiones existen compañeros que tienen dificultades de análisis o de razonamiento abstracto es nece- sario realizar paso a paso los procesos para que pueden comprenderlos. Trabajo colaborativo Archivo editorial, 2020
- 93. 204 Velocidad y aceleración DCCD:M.5.1.35. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. M.5.1.36. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función cuadrática, con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). M.5.1.37. Resolver y plantear problemas, reales o hipotéticos, que pueden ser modelizados con derivadas de funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. Al desplazamiento de un cuerpo que se mueve en una línea recta lo expresamos con la función real S definida en un conjunto T = t0 ,tf 0, . [ S: t0 ,tf t S t ( ). vm = S t+ t ≠ 0. , ( )–S t ( ) t t El conjunto T representa un intervalo de tiempo; a los elementos del conjunto T los indicamos con t y este representa el tiempo que se mide en segundos (s). El número real S(t) denota el desplazamiento del cuerpo al instante t ∈ T, que se mide en metros (m). Así, T = t0 ,tf 0, . [ S: t0 ,tf t S t ( ). vm = S t+ t ≠ 0. , ( )–S t ( ) t t La velocidad media de un cuerpo (partícula) se define como el des- plazamiento neto realizado por el cuerpo en un tiempo Δt 0. Si S(t) y S(t + Δt) son los desplazamientos a los instantes t y t + Δt, la veloci- dad media se expresa como: T = t0 ,tf 0, . [ S: t0 ,tf t S t ( ). vm = S t+ t ≠ 0. , ( )–S t ( ) t t T = t0 ,tf 0, . [ S: t0 ,tf t S t ( ). vm = S t+ t ≠ 0. , ( )–S t ( ) t t Ejercicios resueltos Una porción de ruta para atletas tiene una configuración recta que se extiende de izquierda a derecha y que mide 2 400 m. Al extremo izquierdo de esta ruta se le asigna el valor cero y al extremo derecho se le asigna el valor 2 400 m. Una atleta que se entrena en esta pista recorre según la siguiente función medida en metros: S(t) = 4t, t ≥ 0. v S S m s v S S m s v S S m s 400 – 0 400–0 0,012 400 –0 400 4,8 , 400 – 300 400–300 1 920–1 080 100 840 100 8,4 , 400 – 399,9 400–399,9 1 920–1 919,040 12 0,1 0,959 88 0,1 9,588 . 1 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = × = = = = = = = = = Calculemos algunas velocidades medias: Un ciclista se desplaza en esta pista obedeciendo a la siguiente función: S(t) = 0,012t2 , t ≥ 0. Calculemos algunas velocidades medias: v1 = S 50 ( )–S 0 ( ) 50–0 = 4 50–0 50 = 4 m s , v3 = S 200 ( )–S 150 ( ) 200–150 = 800–600 50 = 4 m s . v2 = S 100 ( )–S 20 ( ) 100–20 = S 100 ( )–S 20 ( ) 100–20 = 400–80 80 = 4 m s , Saberes previos ¿Qué utilidad práctica tiene la derivada en la solución de problemas? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo se aplica la de- rivada para resolver problemas de movimiento rectilíneo? Interdisciplinariedad Matemática y física La mecánica es la más antigua de las ciencias físicas. En ella se estu- dian los problemas de movimien- to de los cuerpos, las relaciones de las fuerzas que intervienen con el movimiento y las propiedades de los cuerpos. La cinemática se encarga del estudio del movimiento de los cuerpos y la dinámica se encarga del estudio de las relaciones de las fuerzas, con movimientos y propiedades de los cuerpos. Shutterstock, (2020). 484184218 p Motor de combustión interna.
- 94. 205 Recuerda que... La velocidadse mide en metros por segundo m s y el tiempo en segundos (s). la aceleración media se mide en metros por segundo al cuadrado m s2 . Velocidad instantánea La velocidad instantánea (o simplemente velocidad), al instante t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . sedefinecomoladerivada t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . ,siempreque t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . exista, esto es, t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . Denotemos con V(t) a la velocidad instantánea en el tiempo t 0; es decir, V t ( )= ds dt t ( )= lím t 0 S t+ ( )–S t ( ) t t . am = V t+ ( t)–V t ( ) t t 0. 1 m s a t ( )= lím t 0 V t+ t ( )–V t ( ) t , , Para el ejemplo anterior, la velocidad instantánea de la atleta es V(t) = t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . es decir que la atleta corre a una velocidad constante de t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . , mientras que el ciclista corre a una velocidad V(t) = t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . En el instante t = 400s, la velocidad instantánea es, por lo tanto, V(400) = t t0 ,tf ds dt t ( ) ds dt t ( )= lím t 0 S t+ t ( )–S t ( ) t . ds dt t ( )= 4 m s , ds dt t ( )= 0,024t, t ≥ 0. ds dt 400 ( )= 0,024 400 =9,6 m s . Recorre S(400) = 0,012 (400)2 = 1920 m. Aceleración media e instantánea La aceleración media se define como V t ( )= ds dt t ( )= lím t 0 S t+ ( )–S t ( ) t t . am = V t+ ( t)–V t ( ) t t 0. 1 m s a t ( )= lím t 0 V t+ t ( )–V t ( ) t , , La aceleración instantánea, o aceleración, se define como V t ( )= ds dt t ( )= lím t 0 S t+ ( )–S t ( ) t t . am = V t+ ( t)–V t ( ) t t 0. 1 m s a t ( )= lím t 0 V t+ t ( )–V t ( ) t , , siempre que el límite exista. Ejercicios resueltos 1. Tomemos el ejemplo anterior. La atleta se desplaza según la función S(t) = 4t, t ≥ 0. La velocidad (velocidad instantánea) V t ( )= ds dt t ( )= 4. am = V t+ t ( )–V t ( ) t = 4–4 t = 0 t = 0, a t ( )= = lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0 = 0. a t ( ) lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0,024 t+ t ( )–0,024t t = lím 0 0,024 = 0,024. 0,024 m s2 . La aceleración media es: V t ( )= ds dt t ( )= 4. am = V t+ t ( )–V t ( ) t = 4–4 t = 0 t = 0, a t ( )= = lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0 = 0. a t ( ) lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0,024 t+ t ( )–0,024t t = lím 0 0,024 = 0,024. 0,024 m s2 . . Simplemente la atleta no acelera o no cambia su velocidad. Resulta que V t ( )= ds dt t ( )= 4. am = V t+ t ( )–V t ( ) t = 4–4 t = 0 t = 0, a t ( )= = lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0 = 0. a t ( ) lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0,024 t+ t ( )–0,024t t = lím 0 0,024 = 0,024. 0,024 m s2 . La aceleración de la atleta es siempre cero. La velocidad del ciclista, por su parte, está dada por V (t) = 0,024t, t ≥ 0. La aceleración es V t ( )= ds dt t ( )=4. am = V t+ t ( )–V t ( ) t = 4–4 t = 0 t =0, a t ( )= = lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0 =0. a t ( ) lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0,024 t+ t ( )–0,024t t = lím 0 0,024 =0,024. 0,024 m s2 . Elciclistasemueveconunaaceleraciónsiempreconstantede V t ( )= ds dt t ( )= 4. am = V t+ t ( )–V t ( ) t = 4–4 t = 0 t = 0, a t ( )= = lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0 = 0. a t ( ) lím 0 V t+ t ( )–V t ( ) t = lím 0 0,024 t+ t ( )–0,024t t = lím 0 0,024 = 0, 0,024 m s2 . Eje transversal Salud El deporte y una apropiada nutrición permiten que ten- gamos una buena calidad de vida. En nuestro país existen parques y áreas verdes don- de las personas pueden correr, trotar, montar bicicleta, caminar, entre otras muchas actividades más. Shutterstock, (2020). 437486203 p Paseo en bicicleta.
- 95. Taller práctico 206 DCCD: M.5.1.35.Interpretar de manera geomé- trica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones cuadráticas, con apoyo de las TIC. M.5.1.36. In- terpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función cuadrática, con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). M.5.1.37. Resolver y plantear problemas, reales o hipoté- ticos, que pueden ser modelizados con deriva- das de funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos. Verifica cada paso del siguiente ejercicio. A la distancia recorrida por un cuerpo que cae libremente, al que se le ha dado una velocidad inicial v0 , y cuyo rozamien- to con el aire se desprecia, la calculamos mediante la siguiente función: Y t ( )=v0 t + 1 2 gt2 V t ( )= dY dt t t ≥ 0, t ≥ 0, ( )= 0,5+9, , 8t, V 2 ( )= 0,5+9,8 2 =20,1 m s . a t ( )= dV dt t ( )= 9,8 m s2 . 20,1 m s 9,8 m s2 . donde g es la aceleración debida a la gra- vedad, que tiene un valor constante de 9,8 m/s2 . Si v0 = 0,5 m s , calculemos la velocidad y la aceleración a los 2 segundos de inicia- da la caída. Se tiene Y(t)= 0,5t + 4,9 t2 , t ≥ 0. Primeramente, la velocidad viene dada por Y t ( )=v0 t + 1 2 gt2 V t ( )= dY dt t t ≥ 0, t ≥ 0, ( )= 0,5+9, , 8t, V 2 ( )= 0,5+9,8 2 =20,1 m s . a t ( )= dV dt t ( )= 9,8 m s2 . 20,1 m s 9,8 m s2 . Luego, la aceleración a (t) se calcula como Y t ( )=v0 t + 1 2 gt2 V t ( )= dY dt t t ≥ 0, t ≥ 0, ( )= 0,5+9, , 8t, V 2 ( )= 0,5+9,8 2 =20,1 m s . a t ( )= dV dt t ( )= 9,8 m s2 . 20,1 m s 9,8 m s2 . Para t = 2, a (2) = 9,8 m s2 . En conclusión, el cuerpo ha caído en 2 segundos una altura de Y (2) = 20,6 m; tiene una velocidad de 20,1 m s y una aceleración constante de 9,8 m s2 . En la Figura 4.22. se muestra la gráfica de la función Y, y a la derecha se muestra la gráfica de la función V. 1 P0 P4 f(a) f(a+h4) a a + h4 a + h1 L x P3 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 y y = 0,5t + 4,9t² 1 0 t 1 2 3 4 5 6 7 v y = 0,5t + 9,8t f(x0) p Figura 4.22. Un corredor de 100 metros planos esta- blece en sus registros la siguiente función de desplazamiento medida en metros: S(t) = 8t + 0,09t2 , t ≥ 0. 2 a) Calcula t 0, tal que S(t) = 100 m. b) Calcula el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en los tiempos que se indican en la tabla: ¿Podrías correr más rápido que este atleta? t S(t) V(t) a(t) 2 4 6 8 10 11 Los sistemas de referencia, como por ejemplo, el sistema de coordenadas rectangulares, se utilizan para facilitar la comprensión de lo que ocurre en la caída libre de los cuerpos. La parte positiva apunta hacia abajo, como se indica en la gráfica.
- 96. 207 La pista deun aeropuerto tiene una lon- gitud de 3 000 m. Para despegar, debe alcanzar una velocidad de al menos 280 km/h en los primeros segundos. La función de posición viene dada por S (t) = 2t + 0,95t2 + 0,11t3 , t ∈ [0, 60] medida en metros. 7 Trabajen en sus cuadernos. Diversidad funcional en el aula Es importante recordar que las personas que tienen dificultad al expresarse oralmente no deben ser interrumpidas. Tampoco necesitan que alguien más termine sus oraciones. Trabajo colaborativo En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo. Su velocidad, en m/s, está dada por: 6 V t ( )= 1 2 t t 2 , 33,6–0,2 , a) Analicen si en 30 segundos alcanza el avión la velocidad mínima requerida. b) Calculen la distancia recorrida en 30 segun- dos. c) Calculen la aceleración que alcanza el avión en 30 segundos. d) Encuentren qué distancia ha recorrido y qué velocidad tiene el avión en 40 segun- dos. e) Investiguen a qué distancia del extremo del aeropuerto se encuentra el avión al minuto de haber iniciado el despegue. a) Calculala velocidad y la aceleración en t = 5 s. ¿Existe aceleración al instante t = 10 s? si t 8, si t 8. Supón que S(t) = 0,2 t2 , t 0 medida en metros, t1 =10 s y t2 = 20 s. Indica cuáles de las proposiciones siguientes son ciertas. 3 Los registros de un atleta lo conducen a establecer la siguiente función de posición medida en metros: S(t) = 3,9t; t ≥ 0. Un automóvil parte del reposo y recorre la distancia medida en metros S(t) = 0,4t2 en los 10 primeros segundos. Luego mantiene la velocidad constante durante los 100 segundos siguientes. 4 5 a) Determina t, tal que S(t) = 20 000 m. a) Calcula la velocidad y la aceleración a los 10 segundos. b) Calcula la distancia total recorrida. b) Calcula la velocidad media para los tiem- pos t = 1 000 y t = 1 500. a) S(t2 ) es el doble de S(t1 ). _________ b) S(t2 ) es cuatro veces S(t1 ). ________ c) V(t2 ) es cuatro veces V(t1 ).________ d) V(t1 ) es la mitad de V(t2 ). ________ e) a(t2 ) es el doble de a(t1 ). ________
- 97. 208 Solución de problemas cotidianos Problema1. Conexión con la física 1. La altura de un proyectil, t segun- dos después de haber sido lanzado verticalmente hacia arriba a partir del suelo con una velocidad inicial v0 me- tros por segundo, está dada por la función de posición: f (t) = v0 t – 5t2 , t ≥ 0. a) Prueba que la velocidad media del proyectil duran- te el intervalo de tiempo t a t + h es v0 – 10t – 5h metros por segundo, h ≠ 0. b) Prueba que la velocidad instantánea del proyec- til en el instante t es v0 – 10t metros por segundo. Demostración a) Sea: h ≠ 0. De la definición de f se tiene f (t) = v0 t – 5t2 , f (t + h) = v0 (t + h) – 5(t +h)2 . La velocidad media Vh se define como: = f t+h ( )– f t , h ≠ 0. , h ≠ 0, , h ≠ 0. ( ) h = vo t+h ( )–5 t+h ( ) 2 – vot–5t2 ( ) h = vot+voth–5t2 –10th–5h2 –v0t+5t2 h = voh–10th–5h2 h =vo –10t–5h Vh Vh Vh Vh Vh . , Entonces = f t+h ( )– f t , h ≠ 0. , h ≠ 0, , h ≠ 0. ( ) h = vo t+h ( )–5 t+h ( ) 2 – vot–5t2 ( ) h = vot+voth–5t2 –10th–5h2 –v0t+5t2 h = voh–10th–5h2 h =vo –10t–5h Vh Vh Vh Vh Vh . , Así = f t+h ( )– f t , h ≠ 0. , h ≠ 0, , h ≠ 0. ( ) h = vo t+h ( )–5 t+h ( ) 2 – vot–5t2 ( ) h = vot+voth–5t2 –10th–5h2 –v0t+5t2 h = voh–10th–5h2 h =vo –10t–5h Vh Vh Vh Vh Vh . , = f t+h ( )– f t , h ≠ 0. , h ≠ 0, , h ≠ 0. ( ) h = vo t+h ( )–5 t+h ( ) 2 – vot–5t2 ( ) h = vot+voth–5t2 –10th–5h2 –v0t+5t2 h = voh–10th–5h2 h =vo –10t–5h Vh Vh Vh Vh Vh . , Se verifica la afirmación del literal a. b) Tomamos valores de |h| cada vez más pequeños, en la velocidad media: =vo –10t lím lím –5h, = (vo–10t–5h). =vo –10t. 216 km h Vh 0 h Vh V Se obtiene =vo –10t lím lím –5h, = (vo–10t–5h). =vo –10t. 216 km h Vh 0 h Vh V Se verifica el enunciado del literal b. Nota que v = df dt (t). Tomado de: http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/articulos/DESARRO- LLO_DE_LA_DERIVADA_SIN_LA%20NOCION_DEL_LIMTE.pdf Sigue estos pasos de experimentación, modela- ción, interpretación y generalización para resolver los siguientes problemas. Problema 2. Conexión con economía Encuentra cuánto costará producir 500 cajas de banano en un mes, si la función de costo C (x) es igual a C (x) = 3x + 0,004x2 + c. Problema 3. Conexión con transporte La pista de un aeropuerto tiene una longitud de 3 000 m. Un avión de carga debe alcanzar una veloci- dad mínima de =vo –10t lím lím –5h, = (vo–10t–5h). =vo –10t. 216 km h Vh 0 h Vh V . La función de posición está dada por: S(t) = 0,05t + 0,2t2 + 0,008t3 , t [0, 60] , medida en metros. a) Calcula el tiempo t en el que el avión alcanza la velocidad de =vo –10t lím lím –5h, = (vo–10t–5h). =vo –10t. 216 km h Vh 0 h Vh V . b) Calcula la distancia recorrida en ese tiempo y su aceleración. c) Calcula la distancia recorrida, la velocidad y ace- leración alcanzada al instante t = 60 s. Problema 4. Conexión con física Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra, des- pués de t segundos, su altura es h = 19,6t – 4,9t2 metros. Halla: a) La velocidad inicial. b) La velocidad después de 0,5; 1 y 2 segundos. c) El tiempo de subida. d) La altura máxima que alcanza la piedra. e) La aceleración después de 1 segundo. Grafica h en función del tiempo hasta el tiempo de retorno. Practica en tu cuaderno Shutterstock, (2020). 253434385 = f t+h ( )– f t , h ≠ 0. , h ≠ 0, , h ≠ 0. ( ) h = vo t+h ( )–5 t+h ( ) 2 – vot–5t2 ( ) h = vot+voth–5t2 –10th–5h2 –v0t+5t2 h = voh–10th–5h2 h =vo –10t–5h Vh Vh Vh Vh Vh . , p Bala recubierta de cobre. Shutterstock, (2020). 77971306 p Pista de aeropuerto.
- 98. 209 Desafíos científicos La matemática ylas profesiones Shutterstock, (2020). 325467185 Shutterstock, (2020). 199091369 La matemática en la Ingeniería Química La Ingeniería Química se enfoca en el diseño de nuevos materiales y tecnolo- gías en el campo ambiental, contribuye al diseño de procesos ambientalmente amigables. Tiene que ver con la evaluación, optimización y operación de plantas de la industria de procesos y producción de compuestos y productos. p La proyección de recursos y los puntos de mayor rentabilidad se muestran con gráficos de funciones. p Alumnos que realizan un experimento. La matemática y el análisis financiero En la actualidad, no cabe duda que la matemática se aplica en todos los campos de la ciencia y en cada momento de la vida cotidiana. En el análisis financiero, se proporciona la información necesaria que permita conocer el desempeño financiero de una entidad, evaluar y tomar decisiones de carácter económico. Con el uso de funciones, sus máximos y mínimos, se puede conocer el nivel de rentabilidad, la capacidad financiera de crecimiento e incluso el flujo de fondos. La matemática y particularmente las derivadas se constituyen en una herramienta para el análisis de estados finan- cieros. Si quieres conocer más detalles sobre la relación de la matemáti- ca con el análisis financiero, ingresa a: http://www.gestiopolis.com/ calculo-del-periodo-de-recuperacion-de-la-inversion-o-payback/ Un aspirante a Ingeniería Química debe haber de- sarrollado varias destrezas en el bachillerato, como por ejemplo: • Conocimientos en lógica matemática y conjun- tos, aplicaciones de propiedades algebraicas de números reales para analizar funciones reales, para analizar funciones polinomiales, trigonomé- tricas, exponenciales y logarítmicas, análisis de cónicas y rectas y planos en el espacio, análisis de datos estadísticos, cálculo de derivadas e integra- les definidas, entre tantos otros. La Ingeniería Química está involucrada en todas las actividades que se relacionen con el proce- samiento de materias primas, cuyo fin es ob- tener productos de mayor valor y utilidad. Por lo tanto, pueden desarrollar sus actividades en: • Plantas industriales / empresas productivas • Empresas de construcción y montaje de plantas y equipos • Empresas proveedoras de servicios técnicos (consultoría, control de calidad, mantenimien- to, etc.) Duración de la carrera La carrera tiene una duración de entre nueve y diez semestres, más la tesis o proyecto de graduación. Puedes consultar más sobre la Ingeniería Química en: http://www.ingenieriaquimica.org/ingenieria_quimica Adaptado de: http://www.ingenieriaquimica.org/ ingenieria_quimica
- 99. 210 TIC GeoGebraparacomprenderlainterpretacióngeométricadelasderivadas GeoGebra es unsoftware dinámico de uso libre. Para ejercitar el uso de GeoGebra, puedes consultar en Internet acerca de su uso básico. En las Vistas gráficas y Algebraica ya consta la función. 1. Graficamos una función cuadrática. Escribimos en la barra de entrada la función: (x – 2)2 + 1 y damos enter. 2. Ubicamos un punto en la gráfica de la función y la tangente a dicho punto. Selecciona la opción punto y ubica el punto A. Luego selecciona la opción Tangentes, haz clic en la gráfica de la función, luego en el punto. Observa: ya se registraron el punto A y la recta tangente de la función en el punto A. En Vista algebraica puedes mirar que la pendiente de la recta a es 2. 3. Ubicamos otro punto en la gráfica de la función. Selecciona la opción Punto y ubica el punto Q. Si seleccionas la opción Elige y mueve y das clic sobre el punto Q, lo puedes deslizar sobre la gráfica de la función. Mira las coor- denadas del punto Q al cambiar de posición. 4. Trazamos líneas paralelas tanto al eje x como al eje y. Selecciona la opción Recta Paralela, haz clic en el eje x, luego, en el punto A. Selecciona la opción Recta Paralela, haz clic en el eje y, luego, en el punto Q. 5. Encontramos el punto de intersección entre rectas. Con la herramienta de Intersección de Dos Objetos, encuentra el punto donde se cru- zan las rectas b y c. Vamos a hacer un arreglo geométrico que permita visualizar los cambios en las coordenadas al aproximar el punto Q hacia el punto A. Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra
- 100. 211 6. Trazamos los segmentosde recta AD y QD. Selecciona Recta que pasa por Dos Puntos, elige Segmento de Recta, haz clic en el punto A y en el punto D. Luego, haz clic en el punto Q y el punto D. Cambia el nombre del segmento d por delta X y el del segmento e por delta Y. Observa las distancias que en este momento tienen delta X y delta Y. Encuentra la razón entre delta X y delta Y. Para ello escribe la razón en la Vista gráfica: razon=deltaX/deltaY Nota. No uses tildes ni espa- cios para escribir en la Vista gráfica. Traza la recta secante que pasa por los puntos A y Q. Observa la recta tangente al punto A que trazamos al inicio. Si deslizas el punto Q de tal manera que el valor de delta X sea cada vez más pequeño, obser- varás que también cambia la razón de cambio. La recta secante se aproxima cada vez más a la recta tangente del punto A. La derivada de la función (x – 2)2 + 1 en el punto A es 2, que es la pendiente de la recta tangente. Y es el valor de la razón de cambio cuando delta X tiende a cero. Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra
- 101. 212 Desafíos y proyectosmatemáticos Tema:Maximización de costos y derivadas Shutterstock, (2020). 83105218 Objetivos • Comprender los concep- tos básicos del cálculo diferencial. • Iniciarse de manera natu- ral en el manejo de deri- vadas y darse cuenta de la necesidad de usarlas para encontrar la solución de problemas reales. • Valorar la utilidad de sus conocimientos sobre de- rivadas, y encontrar usos adecuados en situaciones de la vida real. Justificación La importancia del estudio de las derivadas radica en la posibilidad de resolver situaciones en diversos ámbitos. Por ejemplo, en economía, en temas como costos, consumo, demanda, utilidad, ahorro o maximiza- ción de la producción. Actividades • Formarequiposdetrabajo,connomásdetresestudiantesporgrupo. • Analizar el problema planteado como modelo, y proponer una situación similar Recursos Modelo de problema resuelto La gerente comercial de una empresa editorial estima que si el precio de un libro es de $ 20, vende 10 000 ejemplares. Por cada dólar que se incremente el precio, las ventas disminuyen en 400 ejemplares. ¿Qué precio deberá fijar a cada libro, de manera que el ingreso para la em- presa por la venta de estos libros sea el máximo? ¿Cuál es el valor de dicho ingreso? Solución: Los ingresos se calculan multiplicando el precio por el nú- mero de ejemplares vendidos. L = 20 × 10 000, donde L es el ingreso. Si x representa el número de dólares que se incrementa el precio de cada ejemplar, entonces 20 + x es el nuevo precio del libro y 10 000 – 4 000x es el nuevo número de ejemplares vendidos. La función que representa el ingreso en términos del número de dó- lares en que se aumenta el precio del libro es: L (x) = (20 + x)(10 000 – 400x). Esta función I(x), recibe el nombre de función objetivo porque es la función que se requiere optimizar. La derivada de la función I(x) es: L´(x) = (1)(10 000 – 400x) – 400(20 + x), L´(x) = 10 000 – 400x – 8 000 – 400 x, L´(x) = –8 00x + 2 000, L´(x) = 0 ⇒ 800 x = 2 000, x = 2000 800 ;x =2,5 . Recordemos que x representa el número de dólares en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el ingreso máximo. De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $ 2,5, se obtiene el ingreso máximo. Para calcular el ingreso máximo se susti- tuye x en la función L(x). L (2,5) = (20 + 2,5) [10 000 – 400(2,5)] L (2,5) = (22,5) [10 000 – (1 000) L (2,5) = 202 500,00 Este valor representa el máximo ingreso. Adaptado de http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/contenido_Derivadas.html Conclusiones Es importante recuperar la importancia de realizar cálculos reales cuando se trata de emprender una empresa. p Textos de investigación. Glosario optimizar. Buscar la mejor manera de realizar una actividad. a cb
- 102. 213 En síntesis Geometría ymedida Álgebra y funciones Shutterstock, (2020). 525547105 Shutterstock, (2020). 45700900 • Noción intuitiva de límite • Cociente incremental • Noción de derivada de funciones cuadráticas *Interpretación geométrica y física del cociente incremental • Velocidad instantánea como derivada del desplazamiento en función del tiempo • Aceleración como la primera derivada de la velocidad en función el tiempo Posiciones relativas de dos rectas Pendiente de la recta Distancia entre dos números reales Derivadas: velocidad y aceleración Rectas en R2 Derivada de la función cuadrática p Conexiones eléctricas. p Caída libre. • Ecuación vectorial de la recta • Ecuación paramétrica de la recta • Ecuación cartesiana de la recta Ecuaciones de la recta
- 103. Evaluación sumativa 214 Demuestra queel subconjunto L de 2 que se define en cada caso es una recta. Representa gráficamente el conjunto L. Obtén la ecuación cartesiana de dicha recta. 2 En cada ítem se define una función real. Calcula el cociente incremental Q (h) en el punto a que se indica. Además, cal- cula dicho cociente en cada uno de los puntos h: h = 0,05; h = 0,002; |h| = 0,000 1; h = 0,000 04; h = 0,000 001. ¿Hacia qué valor m se aproxima cuando h es no nulo y suficientemente pequeño? De- termina m en forma intuitiva y luego obtén d (m, Q (h)) = | Q (h) – m| y juzga si es suficientemente pequeño cuando |h| lo es. 5 En cada literal se dan dos puntos distin- tos y u y v de 2 . Siempre que sea posi- ble, calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v, y obtén su ecuación cartesiana. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente esta recta. 3 Sea L ⊂ 2 que se define en cada ítem: escribe las ecuaciones vectorial, paramé- trica y cartesiana de la recta. Representa- das por L. Traza gráficamente esta recta. I.M.5.6.3. Determina la ecuación de la recta de forma vectorial y paramétrica; identifica su pen- diente, la distancia a un punto y la posición re- lativa entre dos rectas, la ecuación de una recta bisectriz, sus aplicaciones reales, la validez de sus resultados y el aporte de las TIC. (I.3.) 1 Sea x0 ∈ fijo. Mediante un dibujo en la recta real, explica cada uno de los siguientes límites. I.M.5.3.2. Representa gráficamente funciones cua- dráticas; halla las intersecciones con los ejes, el do- minio, rango, vértice y monotonía; emplea sistemas de ecuaciones para calcular la intersección entre una recta y una parábola o dos parábolas; emplea modelos cuadráticos para resolver problemas, de manera intuitiva halla un límite y la derivada; opti- miza procesos empleando las TIC. (13, 14) 4 a) u = (1, 1), v = (5, 1). b) u = (3, 3), v = (–2, –2). a) f(x) = 1 x , x R, con x ≠ 0, a = 2, 5. b) f(x) = x + 1 x , x R, con x ≠ 0, a = 1. a) L = {(x, x +2)| x ∈ }. b) L = {(t, x) ∈ 2 |3t – 2x = 5 }. c) L = {(a, b) ∈ 2 | 2a + b =1}. Heteroevaluación a) L = 0, . . . y–1 ( ) y { } L = t –3,1 ( )+ –2,1 ( )t { } L = 1 3 y+2, 2y –1 t b) L = 0, . . . y–1 ( ) y { } L = t –3,1 ( )+ –2,1 ( )t { } L = 1 3 y+2, 2y –1 t c) L = 0, . . . y–1 ( ) y { } L = t –3,1 ( )+ –2,1 ( )t { } L = 1 3 y+2, 2y –1 t La recta que pasa por dos puntos de la gráfica de la función es: 6 mc ma mb a b c B C A G 0 0 1 -1 –2 –3 1 1 –1 1 2 3 R C A D E F P0 P1 P2 P4 f(a) f(a+h4) f(a+h1) a a + h4 a + h1 Lh Lh Lh Lh L (³) (²) (¹) y x P3 f(x0+h) f(x0) x0 x0+h p Figura 4.23. Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta. a) x h x x h x h h lím( – ) lím( ) 0 0 0 0 0 0 = + = → → + + . b) x h x x h x h h lím( – ) lím( ) 0 0 0 0 0 0 = + = → → + + .
- 104. 215 Metacognición a) ¿Qué eslo más importante para ti de esta unidad? ____________________________________________________________________________________________________ b) ¿Cómo puedes utilizar las Tics en esta unidad? ____________________________________________________________________________________________________ Coevaluación Siempre A veces Nunca Me gusta trabajar en equipo porque somos proactivos y aportamos a la solu- ción de las situaciones planteadas. Al trabajar en equipo nos comunicamos de manera oportuna y solventamos nuestras dudas. Autoevaluación Siempre A veces Nunca Logro construir la ecuación de la recta en forma vectorial y paramétrica. Identifico las posiciones relativas entre dos rectas. Calculo el cociente incremental en el punto solicitado. Mantengo una idea clara del concepto de límite. a) Tangente b) Secante c) Paralela d) Ninguna de las mencionadas El subconjunto L de 2 definido como L x t t t (2,–1) (–1,3) { } ( ) = = + ∈ representaunarectaquepasaporelpunto (2, –1) y es paralela al vector L x t t t (2,–1) (–1,3) { } ( ) = = + ∈ v = (–1,3). Sea (x, y) ∈ L. De la definición del con- junto L, existe t R tal que la ecuación cartesiana de L es: 7 a) y = –3x – 5, xR. b) y = 3x + 5, xR. c) y = –3x + 5, xR. d) y = –3x – 15, xR. En t∈, el par de ecuaciones paramétri- cas de L son las indicadas en cada item: 8 a) b) x = 2 – t, y = –1 + 3t. x = 2 – t, y = –1 – 3t. c) d) x = 2 + t, y = –1 + 3t. x = 2 + t, y = 1 + 3t. Verifica que la ecuación vectorial es la indicada. Considera la función real definida como 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + A. Para 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + , 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + , calcula el cociente incre- mental 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + y prueba que 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + a) b) c) d) = + − ∈ = − − ∈ = − + ∈ = + ∈ x y t x y t x y t x y t ( , ) (2,1) ( 1,3), t . ( , ) (2, 1) (1,3), t . ( , ) (2, 1) (1,3), t . ( , ) (2,1) (1,3), t . 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + B. ¿Cuál es la derivada 4 1, 0. 0, , 4 4 1 4 1 . 1 4 1 . 2 4 1 . 4 4 2 . 1 4 4 2 . f x x x h Q h f x h f x h Q h x h x df dx x x df dx x x df dx x x df dx x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + ≥ ≠ = + − = + + + + = + = + = + = + ? a) b) c) d)
- 105. 216 Observa y contesta • ¿Qué entiendes por pendiente? • ¿En tu colegio existen áreas para que las personas con discapacidad pue- dan acceder con facilidad? • ¿Cuál es la longitud máxima de una rampa y qué pendiente máxima pue- de tener? Pendiente en rampas de acceso S egún la Constitución de nuestro país, los establecimientos educativos deben cum- plir con normas de accesibilidad para per- sonas con discapacidad, eliminando de algu- na manera las barreras arquitectónicas. Para la construcción de rampas de acceso para personas con discapacidad, existen nor- mas mínimas que garantizan su accesibilidad, dependiendo del tipo de edificación. Así, por ejemplo, en rampas peatonales acce- sibles, la anchura libre mínima de paso es de 1,80 m, la longitud máxima de cada tramo es de 10,00 m y las pendientes máximas longitu- dinales, según el tramo, son del 12 %, hasta 1,5 m; del 10 %, hasta 3,00 m; y del 8 % del tramo, hasta 10 m. La pendiente transversal máxima será del 2 % (Discapacidad Online, 2011). Adaptado de: http://www.minsa.gob.pe/ogdn/cd1/pdf/ nls_24/rm072-99-sa.pdf Polinomios reales con coeficiente en y distancia de un punto a una recta
- 106. 217 unidad 5 Objetivos • O.G.M.3. Desarrollarestrategias individua- les y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problemáticas del medio. • O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra- zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali- dez de los resultados. • O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen- samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi- co, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del en- torno social, natural y cultural. Ministerio de Educación, (2016). Bloques curriculares Geometría y medida Álgebra y funciones Shutterstock, (2020). 174603977 Shutterstock, (2020). 68512696
- 107. 218 Distancia de unpunto a una recta M.5.2.12. Calcular la distancia de un punto P a una recta, utilizando la condición de ortogonalidad del vector dirección de la recta y el vector PP’ en la resolución de problemas (distancia entre dos rectas paralelas). M.5.2.13. Determinar la ecuación de la recta bisectriz de un ángulo como aplicación de la distancia de un punto a una recta. M.5.2.14. Resolver y plantear aplicaciones de la ecuación vectorial, paramétrica y cartesiana de la recta con apoyo de la con apoyo de las TIC. Sean , 2 ∈ A B con 0, = | A V tA t { } ≠ ∈ un subespacio de R2 . El conjunto V representa, como ya se ha dicho, una recta que pasa por el origen 0 y es paralela al vector A . El vector A se llama vec- tor generador o director de la recta. Escribiremos, L( A ), es decir, L( A ) = V. A esta la denominaremos recta que pasa por el origen y está generada por A . Denotamos con , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ al conjunto definido como , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ . El conjunto , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ representa una recta que pasa por , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ y es paralela a L(A ). En la Figura 5.1. se muestran las rectas L(A ) y , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ . Definición Sea 2 x ∈ . La distancia de 2 x ∈ a , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ se nota d x L A B ( ) ( ) , , y se define como , , = mín , , d x L A B x y y L A B ( ) ( ) − ( ) ∈ donde mín , x y y L A B − ( ) ∈ es el mínimo de las distancias ( , ) = d x y x y − del punto 2 x ∈ al punto ( , ) = d x y x y − de la recta. Se prueba que la distancia de 2 x ∈ a la recta , L A B ( ) se expresa como D , donde: – . 1, 2 0,1 1,1 , 3, 5, luego, de donde 5 5 , , . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − ⋅ − = − = − ⋅ = = = = D x B x B A A A x B x B A A D D d x L A B Ejercicio resuelto 1 Sean = 2,1 , = 0,1 y = 1,2 . A B x ( ) ( ) ( ) La recta que pasa por , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ y es paralela al vector A es el conjunto , = | = 2 ,1 | . L A B B tA t t t t ( ) { } { } ( ) + ∈ + ∈ Calculemos la distancia de 2 x ∈ a esta recta , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ . Puesto que – . 1, 2 0,1 1,1 , 3, 5, luego, 1,1 3 5 2,1 1 5 de donde 5 5 , , . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − ⋅ − = − = − ⋅ = = = − = − = = D x B x B A A A x B x B A A D D d x L A B , se sigue que: – . 1, 2 0,1 1,1 , 3, 5, luego, 1,1 3 5 2,1 1 5 de donde 5 5 , , . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − ⋅ − = − = − ⋅ = = = − = − = = D x B x B A A A x B x B A A D D d x L A B Saberes previos ¿Cómo calculas la dis- tancia de un punto a una recta? Desequilibrio cognitivo ¿Qué es un vector gene- rador? Explica tu respuesta. Simbología matemática V tA t { } = ∈ es el conjunto que representa a una recta que pasa por el origen y es paralela a A . A es el vector generador de la recta. L(A ) = V es la recta que pasa por el origen y está generado por A . , L A B ( ), es la recta que pasa por, L A B ( )y es paralela a la recta L(A ). 0 A L(A) L(A, B) x y B p Figura 5.1. – . 1, 2 0,1 1,1 , 3, 5 de donde 5 5 , , . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − ⋅ − = − = − ⋅ = = = = D x B x B A A A x B x B A A D d x L A B – . 1, 2 0,1 1,1 , 3, 5, luego, 1,1 3 5 2,1 1 5 , 2 5 , de donde 5 5 , , . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − ⋅ − = − = − ⋅ = = = − = − = = D x B x B A A A x B x B A A D D d x L A B
- 108. 219 Veamos otra formade calcular la distancia de 2 x ∈ a la recta , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ . La recta perpendicular a ( , ) ( , ) | , L A B L C x x tC t { } = + ∈ que pasa por 2 x ∈ está definida como ( , ) ( , ) | , L A B L C x x tC t { } = + ∈ donde C A C ⊥ . Tal vector C A C ⊥ se puede seleccionar como C A C ⊥ = (1, –2). La ecuación cartesiana de , L A B B V B tA t ( ) { } = + = + ∈ es x – 2y + 2 = 0, y la ecuación car- tesiana de , P L A B L C x = , . ( ) ( ) { } ∩ es 2x + y – 4 = 0. Sea , P L A B L C x = , . ( ) ( ) { } ∩ Tal punto P es solución del sistema de ecuaciones x – 2y + 2 = 0 2x + y – 4 = 0. Se tiene 6 5 8 5 . x y = , = Luego, el punto de intersección de estas dos rectas es P x P ( ) − − − 6 5 , 8 5 . 1,2 6 5 , 8 5 1 5 , 2 5 = = = Entonces, P x P ( ) − − − 6 5 , 8 5 . 1,2 6 5 , 8 5 1 5 , 2 5 = = = , y en consecuencia, 5 5 mín d x P x P D x y y L A B , = = = = . , ( ) − − ( ) ∈ En la Figura 5.2. se muestra el punto (1,2), la recta L(A, B) que pasa por B A L C x L A B ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 2,1 = = , , . y es paralela a B A L C x L A B ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 2,1 = = , , . , así como la recta B A L C x L A B ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 2,1 = = , , . , ortogonal a B A L C x L A B ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1 2,1 = = , , . Bisectriz de un ángulo Sean S1 , S2 dos semirrectas. La bisectriz del ángulo formado por las semirrectas S1 y S2 es la semirrecta S, cuyos puntos son equidistantes de S1 y S2 . Las semirrectas S1 y S2 se llaman lados del ángulo . En la Figura 5.3. se muestra el ángulo con sus lados S1 y S2 y la bisectriz S. Sean A B C D A B ∈ , , , 2 con A B C D A B ∈ , , , 2 y A B C D A B ∈ , , , 2 no nulos y no colineales (linealmente independientes). Consideramos las rectas R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ y siendo A B C D A B ∈ , , , 2 linealmente independientes, las rectas R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ y R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ se cortan en el único punto Q γ β =( , ) . Es decir, R A C R B D Q { } ∩ ( , ) ( , ) = . 1 2 En la Figura 5.4. se muestran estas dos rectas y el punto Q γ β =( , ) . Sean M R A C N R B D ∈ ∈ ( , ), ( , ) 1 2 . De la definición de las rectas R A C R B D Q { } ∩ ( , ) ( , ) = . 1 2 , R A C R B D Q { } ∩ ( , ) ( , ) = . 1 2 , existen t t M C t A N D t v QM C Q t A QN D Q t B ∈ + + − + − + , = , = . = , = . 1 2 1 2 1 2 , tal que: t t M C t A N D t v QM C Q t A QN D Q t B ∈ + + − + − + , = , = . = , = . 1 2 1 2 1 2 Entonces, t t M C t A N D t v QM C Q t A QN D Q t B ∈ + + − + − + , = , = . = , = . 1 2 1 2 1 2 L(C, x) B y = –2x + 4 y x A x L(A, B) y = x + 1 1 2 4 3 2 1 0 –1 1 2 3 A p Figura 5.2. 2 2 α α α S1 S2 S p Figura 5.3. a 0 Q y x R2 R1 p Figura 5.4. Recuerda que… La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de las semirrectas de un ángulo.
- 109. 220 Designamos con 0,al ángulo que forman estos dos vec- tores. Sea P = (x, y) R2 un punto cualquiera de la bisectriz R. En la Figura 5.5. se muestran las dos rectas R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ y R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ y los puntos seleccionados M y N , así como el punto P en la bisectriz R. Los ángulos 1 y 2 formados por los vectores QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 , así como por QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 , son congruentes. Esto es, QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 , con lo que QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 entonces, QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 . En la Figura 5.6. se exhiben los ángulos congruentes que forman los tres vectores QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 , QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 , y su medida común QP y QM QP y QN MQP PQN m MQP m PQN α α α α α ( ) ( ) ≅ = , = , = = 2 . 1 2 1 2 . De la definición del ángulo que forman dos vectores, se sigue QP QM QP QM QP QN QP QN cos = , cos = 1 2 . α α ( ) ( ) ⋅ ⋅ Luego, QP QM QP QM QP QN QP QN α α ( ) ( ) ⋅ ⋅ cos = cos = . 1 2 De esta última igualdad, se simplifica QP ≠ 0, con lo que se obtiene = , = 0. ⋅ ⋅ ⋅ − QP QM QM QP QN QN QP QM QM QN QN y de esta se deduce la siguiente ecuación: = , = 0. ⋅ ⋅ ⋅ − QP QM QM QP QN QN QP QM QM QN QN Puesto que QP P Q − = , resulta Q 0 M R1 R2 N P R y x p Figura 5.5. a 2 a 2 0 Q QM QP QN N y x p Figura 5.6. = 0 = , = , . γ β ( ) ( ) ( ) − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − P Q QM QM QN QN P QM QM QN QN Q QM QM QN QN x y QM QM QN QN QM QM QN QN ⇔ ⇔ Esta última igualdad define la ecuación cartesiana de la bisectriz R del ángulo [0, π], formado por las rectas R A C C tA t t P t ( , )= | , ( ) 1 { } + ∈ ∈ ∈ y R A C C tA t t P t R B D D tB t ( , )= | , ( ) ( , )= ,| , 1 2 { } { } + ∈ ∈ ∈ + ∈ .
- 110. 221 Ponemos = (1,1),= ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ Claramente se obtiene = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ , con lo que estas dos rectas son ortogonales y = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ con = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ . En la Figura 5.7. se muestran estas dos rectas, junto con los vectores = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ y = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ . Por la ortogonalidad de estas rectas y su gráfica, la bisectriz del ángulo que forman los vectores = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ y = (1,1), = ( 1,1) =0 = = (0,0) 1 2 A B A B R R Q Q . − ⋅ ∩ es el eje y. Probemos que efectivamente es así. Para ello, elegimos = , = , = ( , ) M A N B P x y R ∈ y designamos con R a la biscectriz. Sea = , = , = ( , ) M A N B P x y R ∈ . La ecuación car- tesiana de la bisectriz R está definida como: x y x y QM QM QN QN QM QM QN QN ( , ) tal que ( , ) = ( , ) . 2 ∈ ⋅ − α β ⋅ − R Así, tenemos los siguientes resultados: = =(1,1), = =( 1,1), = 2 , = 2 , = 1 2 (1,1), = 1 2 ( 1,1), = 1 2 (1,1) 1 2 ( 1,1) = 1 2 (2,0) =( 2 ,0). QM A QN B QM QN QM QM QN QN QM QM QN QN − − − − − Reemplazando estos resultados en la ecuación de la bisectriz, se obtiene x y x y ( , ) ( 2 ,0) =(0,0) ( 2 ,0), 2 = 0, . R ⋅ ⋅ ∈ Es decir, (x, y) = (0, y) R. Esto es, R = {(0, y)|yR} que es el eje y. a 2 a 2 B A R1 R2 R 0 x y p Figura 5.7. De la definición, resulta = (1,1) , = (1, 1) = ( 1,1) . 1 2 R x x R a a a a | | | { } { } { } ∈ − ∈ − ∈ = (1,1) , = (1, 1) = ( 1,1) . 1 2 R x x R a a a a | | | { } { } { } ∈ − ∈ − ∈ Ejercicio resuelto 2 Consideremos las rectas R1 , R2 de ecuaciones cartesianas: R1 : x – y = 0, R2 : x + y = 0. Interdisciplinariedad La utilidad del cálculo de las bisectrices se encuentra en la construcción. Por ejemplo, cuando se construye un sitio estratégico (como una estación de policía), la construcción debe ser hecha de tal forma que la respuesta a una llamada de emergencia sea en el menor tiempo posible desde la esta- ción más cercana. UPCColon, (2020) .www.flirck p Unidad de Policía Comunitaria.
- 111. 222 La ecuación cartesianade la bisectriz está definida como sigue: x y x y QM QM QN QN QM QM QN QN ( , ) tal que ( , ) =( , ) . 2 ∈ ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ γ β ⋅ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ R Tenemos los siguientes resultados: = =(0, 1) 18 7 , 16 7 = 18 7 , 9 7 , = 18 7 9 7 = 9 5 7 , = =(0,2) 18 7 , 16 7 = 18 7 , 30 7 , = 18 7 30 7 = 6 34 7 , 2 2 2 2 QM M Q QM QN N Q QN − − − − − − + − − − − + QM QM QN QN x y x y = 7 9 5 18 7 , 9 7 7 6 34 18 7 , 30 7 = 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 . ( , ) 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 = 18 7 , 16 7 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 , 2 5 5 3 34 34 5 5 5 34 34 = 52 35 5 67 119 34. − − − − − + − ⋅ − + − − ⋅ − + − − + + − − + QM QM QN QN x y x y = 7 9 5 18 7 , 9 7 7 6 34 18 7 , 30 7 = 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 . ( , ) 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 = 18 7 , 16 7 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 , 2 5 5 3 34 34 5 5 5 34 34 = 52 35 5 67 119 34. − − − − − + − ⋅ − + − − ⋅ − + − − + + − − + Reemplazando en la ecuación cartesiana de la bisectriz, se obtiene QM QM QN QN x y x y = 7 9 5 18 7 , 9 7 7 6 34 18 7 , 30 7 = 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 ( , ) 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 = 18 7 , 16 7 2 5 5 3 34 34 , 5 5 5 34 34 2 5 5 3 34 34 5 5 5 34 34 = 52 35 5 67 119 34. − − − − − + − ⋅ − + − − ⋅ − + − − + + − − + en donde Archivo editorial, (2020). Geogebra Conexiones con las TIC Existen softwares libres, como, por ejemplo, GeoGebra, que permiten el cálculo de las bisectrices de un ángulo. Ejercicio resuelto 3 Sean R1 , R2 dos rectas definidas como = ( , ) | 2 2 = 0 , = ( , ) |5 3 6 = 0 . 1 2 2 2 R x y x y R x y x y { } { } ∈ + + ∈ + − = ( , ) | 2 2 = 0 , = ( , ) |5 3 6 = 0 . 1 2 2 2 R x y x y R x y x y { } { } ∈ + + ∈ + − Estas dos rectas se cortan en el punto, que es solución del sistema de ecuaciones 2 2 = 0, 5 3 6 = 0. x y x y + + + − Así, obtenemos =( 18 7 , 16 7 ) =( , ) Q − γ β =( 18 7 , 16 7 ) =( , ) Q − γ β =( 18 7 , 16 7 ) =( , ) Q − γ β . Para x = 0, reemplazando en la ecuación de la recta R1 , obtenemos y = –1 y, reemplazando en la ecuación de la recta R2 , resulta y = 2. Así, M R N R [ ] − ∈ ∈ α ∈ π =(0, 1) , =(0,2) . 0, 1 2 Consideramos el ángulo M R N R [ ] − ∈ ∈ α ∈ π =(0, 1) , =(0,2) . 0, 1 2 que forman estas dos rectas. En la Figura 5.8. se muestran las rectas R1 , R2 , la bisectriz y los vectores y . QM QN 1 2 3 2 1 0 –1 –2 Q N QN QM M 18 7 16 7 – R R1 R2 y x p Figura 5.8.
- 112. 223 Taller práctico DCCD: M.5.2.12.Calcular la distancia de un punto P a una recta (como la longitud del vector forma- do por el punto P) y la proyección perpendicular del punto en la recta P´, utilizando la condición de ortogonalidad del vector dirección de la recta y el vector PP’ en la resolución de problemas (distancia entre dos rectas paralelas). M.5.2.13. Determinar la ecuación de la recta bisectriz de un ángulo como aplicación de la distancia de un punto a una recta. Sean a 0, O=(0,0), A=(3a,0), B= 4a, 3 2 a , C = a, 3 2 a O=(0,0), A=(3a,0), B= 4a, 3 2 a , C = a, 3 2 a los vértices de un paralelogramo que se muestra en la figura adjunta junto con sus bisectrices. 2 Trabaja en tu cuaderno. Paralarecta L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − yel punto L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − que se dan en cada lite- ral, calcula la distancia de L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − a L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − . Luego,hallaunarecta L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − ortogonal a L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − . Finalmente, determina L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − , calcula L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − y compara con L B A B tA t x L C x P L B A L C x x P d x L A B , = | , = , , , , . 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ ∈ ∩ − . 1 a) , = 2,1 0,1 | , = 0,1 . 0 ( ) { } ( ) ( ) ( ) + ∈ L B A t t x b) , = 1,1 2, 1 | , = 1,2 . 0 ( ) { } ( ) ( ) ( ) + − ∈ − L B A t t x c) , = 2, 1 1,2 | , = 1,3 . 0 ( ) { } ( ) ( ) ( ) − − + − ∈ L B A t t x d) , = 1,1 | , = 2, 5 . 0 ( ) { } ( ) ( ) − ∈ − − L B A t t x Trabajen en equipo y resuelvan. Halla las ecuaciones de las bisectrices de sus ángulos internos y prueba que se cortan en un punto. a) Determina las ecuaciones cartesianas de las rectas S1 y S2 . Los puntos =(0,0), = 8 3 ,0 , = 0, 8 3 O A B son vértices del triángulo de la figura adjunta. 3 x y S B (0,8/3) 8/3 8/3 A 0 p Figura 5.10. x y C B S1 S2 D A p Figura 5.9. Halla la ecuación de la bisectriz S. Trabajo colaborativo b) Determina las ecuaciones cartesianas de las bisectrices S1 y S2 , mediante el procedimiento descrito en esta sección, y compara con los resultados obtenidos en el literal a anterior. Sean 0, =(0,0), =(2 ,0), =( , 3 2 ) a O A a B a a los vértices del triángulo isósceles que se muestra en la figura adjunta. 4 O=(0,0), A=(3a,0), B= 4a, 3 2 a , C = a, 3 2 a Diversidad funcional en el aula El comportamiento y las formas de hablar suelen variar de persona a persona. Es importan- te respetar el estilo que cada persona tenga a la hora de hablar y de comportarse. Archivo editorial, (2020). B S₁ S₂ A 0 x y p Figura 5.11.
- 113. 224 Aplicaciones geométricas delproducto escalar en R2 . Teorema de Pitágoras DCCD: M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero, y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con elementos de R2 apoyándose con el uso de las TIC. En secciones anteriores se trató el producto escalar o producto interno o producto punto en R2 . En esta sección tratamos tres resultados importantes: ley del paralelogramo, el teorema de Pitágoras y la ley de los cosenos. Para el efecto, veamos las propiedades del producto escalar que se presentan en el siguiente teorema. Teorema Sean A B C , A B C , A B C R2 , α R. El producto escalar en R2 satisface las propiedades siguientes: = . ( ) = . ( ) = ( ). = 0 = 0, 0 0. ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ α ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ ≠ A B B A A B C A C B C A B A B A A A A A A i) ii) iii) = . ( ) = . ( ) = ( ). = 0 = 0, 0 0. ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ α ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ ≠ A B B A A B C A C B C A B A B A A A A A A iv) Demostración. Sean = , , = , , = , = , , = , . = , . = , 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + ⋅ + + A a b B a b C a b A B a b a b a a b b A C a a b b B C a a b b tres elementos de R 2 . Las propiedades i) y iii) son inmediatas, y se dejan como ejercicio. Probamos las propiedades ii) y iv). ii) En primer lugar, = , , = , , = , = , , = , . = , . = , 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + ⋅ + + A a b B a b C a b A B a b a b a a b b A C a a b b B C a a b b Luego, por la definición del producto escalar en R 2 , obtenemos = , , = , , = , = , , = , . = , . = , 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + ⋅ + + A a b B a b C a b A B a b a b a a b b A C a a b b B C a a b b entonces A B C a a a b b b a a a a b b b b a a b b a a b b A C B C A B C A C B C A A A ( ) = = = = . ( ) = . = 0, 0 =0 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ Conclusión: A B C a a a b b b a a a a b b b b a a b b a a b b A C B C A B C A C B C A A A ( ) = = = = . ( ) = . = 0, 0 =0 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ iv) Es claro que si A B C a a a b b b a a a a b b b b a a b b a a b b A C B C A B C A C B C A A A ( ) = = = = . ( ) = . = 0, 0 =0 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ , se tiene A B C a a a b b b a a a a b b b b a a b b a a b b A C B C A B C A C B C A A A ( ) = = = = . ( ) = . = 0, 0 =0 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ . Supongamos que A B C a a a b b b a a a a b b b b a a b b a a b b A C B C A B C A C B C A A A ( ) = = = = . ( ) = . = 0, 0 =0 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + + + + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ . De la definición del producto escalar se tiene A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ de donde A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ que implica a1 = 0; de manera similar, A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ que implica b1 = 0, con lo cual A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ . Además, si A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ , al menos un componente de A A a b a a b b a b A A a b 0 = = , 0 = 0 0 = = 0 = 0, 0 = , 0, 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ⋅ + ≤ ≤ + ≤ + ≠ es no nulo. Saberes previos ¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras? Desequilibrio cognitivo ¿Qué resultado obtienes del producto escalar de dos vectores? Recuerda que… El cálculo del producto escalar de dos vectores se simplifica cuando estos son perpendiculares o paralelos entre sí. Si son perpendiculares, el ángulo forma 90° y el producto es cero.
- 114. 225 Supongamos a1 ≠ 0.Entonces, A A a b a A A A A A a b A = ≥ 0. ≠ 0 0. = 0, ≠ 0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + Así, A A a b a A A A A A a b A = ≥ 0. ≠ 0 0. = 0, ≠ 0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + Recíprocamente, si A A a b a A A A A A a b A = ≥ 0. ≠ 0 0. = 0, ≠ 0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + al menos uno de los números reales a1 o b1 es no nulo. Luego A A a b a A A A A A a b A = ≥ 0. ≠ 0 0. = 0, ≠ 0. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ + ⋅ ⋅ + La propiedad i) muestra que el producto escalar en R2 es conmutativo. Las propiedades ii), iii) pueden escribirse en una sola. Así, sean A B C A B C A C B C , , , , ( ) = ( ) ( ). 2 α λ ∈ ∈ α + λ ⋅ α ⋅ + λ ⋅ . Entonces, A B C A B C A C B C , , , , ( ) = ( ) ( ). 2 α λ ∈ ∈ α + λ ⋅ α ⋅ + λ ⋅ La propiedad iv) es la no negatividad del producto escalar. En lo suce- sivo, haremos referencia a las propiedades i) a iv) del teorema como propiedades de la definición del producto escalar. Ejercicios resueltos 1. Sea B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ Si B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ para todo B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ , demostrar que B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . Supongamos que para todo B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ se verifica que B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ en particular. Si B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ , se tiene B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y por la propiedad iv) de la definición de producto escalar, se concluye que B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . 2. Sean , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − .Si , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − paratodo B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ ,entonces , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − Supongamos que para todo B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ , se tiene , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − entonces, , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − para todo B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . En particular para , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − , se tiene , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − y por iv) del teorema precedente, se deduce que , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − , o sea, , , = = . = , ( ) = 0 = ( ) ( ) = 0 = 0 2 A B C A B A C B C A B A C A B C A B C B C B C B C ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ − − Ley del paralelogramo Teorema Sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + . Se verifica A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + Demostración. De la definición de norma, se tiene A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + y sumando miembro a miembro estos dos resultados se obtiene A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + Interdisciplinariedad Matemática e historia Pitágoras es muy conocido, a pesar de que no publicó ningún escrito durante su vida. Lo que sabemos de Pitágoras ha llega- do a través de otros filósofos e historiadores. Pitágoras fue un filósofo y matemático griego conocido por introducir el teorema que lleva su nombre, que indica que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de los catetos. El teorema no es sólo un postu- lado geométrico; también tiene aplicaciones en el mundo real. Raphael, (2020). Wikimedia Commons p Pitágoras.
- 115. 226 A + B A– B A – B A B –B –B B A 0 x y p Figura 5.12. Sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + . En la Figura 5.12. se muestran los vectores B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ , B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y los vectores A B A B + − y A B A B + − que forman las diagonales del paralelogramo. También se muestran los vectores A B A B + − y A B A B + − . Un resultado muy conocido de la geometría plana es el famoso teorema de Pitágoras que se enuncia como sigue: en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo R2 . Teorema de Pitágoras Sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + . Entonces, = . 2 2 2 A B A B A B ⊥ + + si y solo si = . 2 2 2 A B A B A B ⊥ + + Demostración. Debemos probar una equivalencia. ) Supongamos que = . 2 2 2 A B A B A B ⊥ + + . Por la definición de vectores perpen- diculares, se tiene B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . Luego, de la definición de norma y de las propiedades del producto escalar, se deduce =( ) ( ) = 2 = . 2 2 2 A B A B A B A A A B B B A B + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ) Recíprocamente, sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + , tal que =( ) ( ) = 2 = . 2 2 2 A B A B A B A A A B B B A B + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =( ) ( ) = 2 = . 2 2 2 A B A B A B A A A B B B A B + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + . Nuevamente, de la definición de norma y de las propiedades del pro- ducto escalar, se obtiene = 2 . = 2 = . 2 2 2 2 2 2 2 2 + + ⋅ + + + ⋅ + + A B A A B B A B A A B B A B De esta igualdad y por la hipótesis, resulta que = 2 . = 2 = . 2 2 2 2 2 2 2 2 + + ⋅ + + + ⋅ + + A B A A B B A B A A B B A B Por la ley cancelativa de la adición (cancelando =( ) ( ) = 2 = . 2 2 2 A B A B A B A A A B B B A B + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ), se sigue que B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ con lo cual = . 2 2 2 A B A B A B ⊥ + + . Ley de los cosenos Teorema Sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + no nulos y 0, [ ] θ ∈ π el ángulo que forman los vec- tores B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . Entonces, = 2 cos( ). =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) . 2 2 2 2 2 2 − + − θ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + B A B A A B B A B A B A B B A B A A B A B A Demostración. De la definición del producto escalar, se tiene = 2 cos( ). =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) . 2 2 2 2 2 2 − + − θ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + B A B A A B B A B A B A B B A B A A B A B A p Sismo provincia de Manabí 2016. Sismo Manabí, (2020). www.flirckagenciaandes_ec Interdisciplinariedad Los geólogos usan el teorema de Pitágoras cuando se rastrea la actividad de un terremoto. Los terremotos tienen dos tipos de ondas: una que es más lenta que la otra. Al triangular la distancia recorri- da por la onda más rápida con la correspondiente a la onda más lenta, los geólogos pueden determinar el centro o la fuente del terremoto.
- 116. 227 B B A – A θ pFigura 5.13. C B B A λ p Figura 5.14. Como = cos( ), = 2 cos( ). , , 2 2 2 ⋅ θ − + − θ − A B A B B A B A A B A B B A A B resulta que = cos( ), = 2 cos( ). , , 2 2 2 ⋅ θ − + − θ − A B A B B A B A A B A B B A A B En la Figura 5.13. se muestran los vectores = cos( ), = 2 cos( ). , , 2 2 2 ⋅ θ − + − θ − A B A B B A B A A B A B B A A B y el ángulo comprendido entre los vectores B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . Proyección ortogonal Teorema Sean A B A B A B A B A B A B A B A A A B B B A A B B A B A B A B A A B B A B A B A B , =2 . =( ) ( ) = 2( ) = 2( ) , =( ) ( ) = 2( ) , =2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R ∈ + + − + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − − ⋅ + + + − + no nulos. Existen un vector , = . = 2 2 ∈ λ ∈ ⊥ λ + λ ⋅ C C B B C A A B B y , = . = 2 2 ∈ λ ∈ ⊥ λ + λ ⋅ C C B B C A A B B , tal que , = . = 2 2 ∈ λ ∈ ⊥ λ + λ ⋅ C C B B C A A B B El número real λ se llama coeficiente de Fourier, y está definido como , = . = 2 2 ∈ λ ∈ ⊥ λ + λ ⋅ C C B B C A A B B El vector λ B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ se llama proyección de B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ sobre B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ . Demostración. En la Figura 5.14. se muestran los vectores B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ , el vector , = . = 2 2 ∈ λ ∈ ⊥ λ + λ ⋅ C C B B C A A B B ortogonal a B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ y a λ B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ (vector colineal a B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ ). En primer lugar, la condición de ortogonalidad = 0, y 2 ⊥ ⋅ ∈ λ ∈ C B C B C significa = 0, y 2 ⊥ ⋅ ∈ λ ∈ C B C B C con lo que se deben encontrar = 0, y 2 ⊥ ⋅ ∈ λ ∈ C B C B C y λR, tal que C B B C A B C A B C B A B B B C B A B = 0, = . = ( ) = . ( ) = . ⋅ λ + λ + λ + ⋅ ⋅ λ ⋅ + ⋅ ⋅ Tomando en consideración la igualdad C B B C A B C A B C B A B B B C B A B = 0, = . = ( ) = . ( ) = . ⋅ λ + λ + λ + ⋅ ⋅ λ ⋅ + ⋅ ⋅ y multiplicando escalarmente por B A B A B A A B A B B B B . . =0 , =0. . =0, = =0 =0 2 2 2 ∈ ∈ ∈ ⋅ ambos miembros de la igualdad precedente, se obtiene C B B C A B C A B C B A B B B C B A B = 0, = . = ( ) = . ( ) = . ⋅ λ + λ + λ + ⋅ ⋅ λ ⋅ + ⋅ ⋅ Por las propiedades del producto escalar, resulta C B B C A B C A B C B A B B B C B A B = 0, = . = ( ) = . ( ) = . ⋅ λ + λ + λ + ⋅ ⋅ λ ⋅ + ⋅ ⋅ Como = 0 ( ) = , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + − λ − λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B , se sigue que = 0 ( ) = , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + − λ − λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B de donde = 0 ( ) = , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + − λ − λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B Delaigualdad = 0 ( ) = , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + −λ −λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B ,seobtiene = 0 ( )= , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + −λ −λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B Luego, = 0 ( ) = , = . = = . = = . 2 2 ⋅ λ ⋅ ⋅ λ ⋅ λ + − λ − λ − ⋅ C B B B A B A B B B C A C A B C A B A A B B Los vectores B A B A B A A B A B . . =0 , =0. . =0, = 2 2 2 ∈ ∈ ∈ y = 0, y 2 ⊥ ⋅ ∈ λ ∈ C B C B C son ortogonales.
- 117. Taller práctico 228 Sean AB A B A B A B , = 1 4 . 2 2 2 ∈ ⋅ + − − . Prueba que A B A B A B A B , = 1 4 . 2 2 2 ∈ ⋅ + − − A B A B A B A B , = 1 4 . 2 2 2 ∈ ⋅ + − − . Esta igualdad se conoce como identidad de polarización. 2 DCCD: M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero, y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con elemen- tos de R2 apoyándose con el uso de las TIC. En cada ítem se da un vector no nulo A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − Determina las condiciones que han de verificar los componentes de un vector A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − para que se tenga A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − y sea A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − Representa geométricamente el con- junto L y prueba que es una recta. 3 a) A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − b) A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − c) A B x y A B L B x y A B A A . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 1). =(0, 1). 2 2 2 ∈ ∈ ∈ − − (2, –1). Para todo A B C x y , , , , , 2 ∈ ∈ demuestra: 1 a) A B C A C B C C A B A C B C A B A B A A B B A xB A yB A A x y A B xyB B ( ) = . ( ) = . ( ) ( ) = . ( ) ( ) = ( ) . − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ b) A B C A C B C C A B A C B C A B A B A A B B A xB A yB A A x y A B xyB B ( ) = . ( ) = . ( ) ( ) = . ( ) ( ) = ( ) . − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ c) A B C A C B C C A B A C B C A B A B A A B B A xB A yB A A x y A B xyB B ( ) = . ( ) = . ( ) ( ) = . ( ) ( ) = ( ) . − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ d) A B C A C B C C A B A C B C A B A B A A B B A xB A yB A A x y A B xyB B ( ) = . ( ) = . ( ) ( ) = . ( ) ( ) = ( ) . − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + ⋅ .
- 118. 229 Sean A ab B tA A B A B A B A B , = , = = = 2 ( )∈ + + − − , con t ≥ 0. 4 Con los vectores A B A B A B A B , = 2,5 , = 7,3 . = 0,0 , = 6,–4 . = 5, 7 , = 4, 2 . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ − − − que se dan en cada ítem, representa gráficamen- te dichos vectores y verifica la ley del paralelogramo. 5 Sean A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ con t R. 6 En cada ítem se dan dos vectores A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ . 7 Trabajo colaborativo Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. a) Muestren que A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ b) De manera más general, sean A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ con A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ para algún t R. Prueben que A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ c) Investiguen cuál es la desigualdad de Cauchy- Schwarz y con relación a la dependencia lineal y a esta desigualdad, obtengan una conclusión. a) Obtengan la proyección ortogonal de A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ sobre A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ y de A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ sobre A B tA A B A B A B B tA A B A B = 2,1 , = = . , = = . 2 ( ) ⋅ ∈ ⋅ . b) Representen gráficamente estos resultados. a. A=(1, 1), B=(0, 2). A=( 3,0), B=( 2, 1). A=(2,3), B=(4,3). A= a, 1 a B=b( 1,2) b. A=(1, 1), B=(0, 2). A=( 3,0), B=( 2, 1). A=(2,3), B=(4,3). A= a, 1 a B=b( 1,2) c. A=(1, 1), B=(0, 2). A=( 3,0), B=( 2, 1). A=(2,3), B=(4,3). A= a, 1 a B=b( 1,2) d. A=(1, 1), B=(0, 2). A=( 3,0), B=( 2, 1). A=(2,3), B=(4,3). A= a, 1 a B=b( 1,2) con a ≠ 0, A=(1, 1), B=(0, 2). A=( 3,0), B=( 2, 1). A=(2,3), B=(4,3). A= a, 1 a B=b( 1,2) con b ≠ 0. a) Muestra que A a b B tA A B A B A B A B , = , = = = 2 ( )∈ + + − − . Con respecto de la desigualdad triangular, ¿qué conclusión obtienes? b) A B A B A B A B , = 2,5 , = 7,3 . = 0,0 , = 6,–4 . = 5, 7 , = 4, 2 . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ − − − c) A B A B A B A B , = 2,5 , = 7,3 . = 0,0 , = 6,–4 . = 5, 7 , = 4, 2 . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ − − − b) Si t 0, ¿es cierta la igualdad A a b B tA A B A B A B A B , = , = = = 2 ( )∈ + + − − ? Concluye. a) A B A B A B A B , = 2,5 , = 7,3 . = 0,0 , = 6,–4 . = 5, 7 , = 4, 2 . 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∈ − − − ___________________________________________ ___________________________________________ Diversidad funcional en el aula Mantener contacto visual es clave cuando hay discapacidad o dificultades auditivas, sobre todo cuando se trabaja en equipo. Archivo editorial, 2020
- 119. 230 El conjunto depolinomios con coeficientes reales DCCD: M.5.1.38. Reconocer funciones polinomiales de grado n (entero positivo) con coeficientes reales en diversos ejemplos. M.5.1.39. Realizar operaciones de suma entre funciones polino-miales en ejercicios algebraicos de simplificación. En esta sección definiremos los polinomios en R con coeficientes en R, de todos estos polinomios, la igualdad de polinomios y tres opera- ciones: dos internas, que son la adición y el producto de polinomios; y una exterior, que es el producto de números reales por polinomios. Definición Un polinomio en R con coeficientes en R se define como P(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn , donde a0 , a1 , a2 , ..., an son números reales fijos, nR y tR arbitrario. Los números enteros a0 , a1 , a2 , ..., an se llaman coeficientes del poli- nomio P(t). Si an ≠ 0, al número natural n se lo llama grado del polinomio P(t) y se lo denota con grad(P). Esto es, grad(P) = n. Si a0 ≠ 0, ai = 0, i = 1, ...,n, grado(P) = 0. Si ai = 0, i = 0,1, ..., n, P(t) es el polinomio nulo. Es decir que P(t) = 0 para todo t R. El grado del polinomio nulo no se define. Debe notarse que para todo tR, tk , k = 0,1, ..., n es la potencia de un número real con exponentes naturales. El polinomio P(t) se dice que está ordenado en forma decreciente con relación a las potencias de t, si este se escribe como: P(t) = an tn + ... + a1 t + a0 . Esquema de Hörner Consideremos el polinomio siguiente, ordenado en forma ascendente: P(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + ... + an tn . Dado tR, para calcular P(t), utilizamos la siguiente escritura de P(t): P(t) = a0 + t(a1 + a2 t + ... + an tn–1 ) = a0 + t(a1 + t (a2 + a3 t + ... + an tn–2 )) = ... = a0 + t(a1 + t (a2 + t(a3 + ... + t(an–1 + an t)...))). A esta escritura se lo denomina esquema de Hörner. Para calcular P(t) en un asignado punto tR, escribimos, en primer lugar, P(t) en la forma del esquema de Hörner. P(t) = a0 + t(a1 + t(a3 + ... + t(an–1 + an t)...))). A continuación, el cálculo de P(t) se inicia desde el paréntesis más interno hacia los más externos. Saberes previos ¿Cuál es el algoritmo para el cálculo de valores de polinomios? Desequilibrio cognitivo ¿Qué es un polinomio en R con coeficientes en R? Interdisciplinariedad Matemática y tecnología El estudio de los polinomios puede ser utilizado para el cálculo de la alineación de antenas electromagnéticas. Por ejemplo, para obtener una antena ranurada resonante para aplicarla a redes WiFi en la ban- da de 2,4 GHz. El diseño de la antena se hace empleando los polinomios de Chebyshev para determinar la distribución de la corriente a cada elemento. Shutterstock, (2020). 60212764 p Mástil de telecomunicaciones.
- 120. 231 Ejercicios resueltos 1. Consideremosel polinomio P definido como P(t) = 50, tR. Se tiene que P es un polinomio de grado 0. El único coeficiente no nulo de P(t) es a0 = 50. Calculemos algunos valores de P(t) para tR. Así, P(0) = 50, P(10) = 50, P(1 000) = 50. 2. Sea Q el polinomio definido como Q(t) = 3 + 8t, tR. Resulta que Q es un polinomio de grado 1. Los coeficientes de Q(t) son a0 = 3, a1 = 8. Calculemos algunos valores Q(t) para tR. Q(0) = 3 + 8 × 0 = 3, Q(8) = 3 + 8 × 8 = 67, Q(50) = 3 + 8 × 50 = 403. 3. El polinomio R(t) =15t + 208t2 , tR es un polinomio de grado 2. Sus coeficientes son a0 = 0, a1 =15, a2 = 208. Utilicemos el esquema de Hörner para calcular algunos va- lores de R(t) con t R. Tenemos R(t) = t(15 + 208t). Luego, R(1) = 1 × (15 + 208 × 1) = 223, R(20) = 20 × (15 + 208 × 20) = 20 × (15 + 4 160) = 20 × 4 175 = 83 500. 4. Dado P(t) = 3 + 2t – 8t2 – 7t3 , tR, observamos que este es un polinomio de grado 3, ordenado de forma creciente con respecto de las potencias de t. Mediante el esquema de Hörner, la escritura de P(t) es P(t) = 3 + t(2 + t(–8 – 7t)). Calculemos algunos valores de P(t): P(0) = 3 + 0(2 + 0(–8 – 7 × 0)) = 3, P(–2) = 3 + (–2)(2 + (–2)(–8 – 7(–2))) =23, P(–10) = 3 + (–10)(2 + (–10)(–8 –7(–10))) = 6 183, P(5) = 3 + 5(2 + 5(–8 – 7 × 5)) = – 1 062. 5. Consideremos el polinomio P(t) siguiente: P(t) = 1 + 2t + 5t2 + 4t3 + 7t4 , tR. Escribamos P(t) en la forma del esquema de Hörner: P(t) =1 + t(2 + t(5 + t(4 + 7t))), tR. Por ejemplo, para t =10 , tenemos P(10)=1+10(2+10(5+10(4+7×10)))=1+10(2+10(5+10×74)) =1 + 10(2 + 10 × 745) =1 + 10 × 745 274 521 = 74 521. Obsérvese que el cálculo de P(10) se inicia desde el paréntesis más interno hacia los más externos. 6. Sea P el polinomio definido como P(x) = x2 + x4 + x5 + x6 , xR. Apliquemos el esquema de Hörner. Entonces tenemos P(x)=x2 +x4 +x5 +x6 =x2 +x4 (1+x(1+x))=x2 (1+x2 (1+x(1+x))), xR. Calculemos P(2) y P(5) usando este esquema. De esta manera, tenemos P(2) = 22 (1 + 22 (1 + 2(1 + 2))) = 22 (1 + 22 (1 + 2 × 3)) = 22 (1 + 4 × 7) = 4 × 29 = 116, P(5) = 52 (1 + 52 (1 + 5(1 + 5))) = 52 (1 + 52 (1 + 30)) = 52 (1 + 25 × 31) = 25 × 776 = 19 400. Recuerda que… Al conjunto constituido por todos los polinomios en con coeficientes en lo deno- tamos con [ ] k R . Asumiremos que cada elemen- to está ordenado de forma creciente o decreciente con respecto de las potencias de t de la variable, en nuestro caso t. El polinomio P se dice de grado 1 si grad(P) = 1, de grado 2 si grad (P) = 2, de tercer grado si n = 3, y así sucesivamente. Conexiones con las TIC Para efectuar cálculo de operaciones combinadas donde existen varios signos de agrupación, puedes emplear una calculadora científica. Shutterstock, (2020). 73329937 p Calculadora científica.
- 121. 232 Igualdad de polinomios Definición SeanP, Q [ ] k R ] con P t a a t a t Q t b b t b t t n n m m , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ P t a a t a t Q t b b t b t t n n m m , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ Diremos que P = Q si y solo si grad(P) = grad(Q) = m = n; y, ai = bi , i = 0,1, ..., n. Un polinomio queda perfectamente bien definido si se conocen sus coeficientes a0 , a1 , ..., an R. Operaciones con polinomios En el conjunto [ ] k R definiremos dos operaciones internas: adición y producto. Adición Sean a, b, k, tR. Los monomios atk y btk son semejantes. Su suma es atk + btk = (a + b)tk . Consideremos los polinomios en R con coeficientes en R siguientes, escritos en forma creciente con relación a las potencias de t: P t a a t a t t Q t b b t b t t m m n n , , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ Definiremos la suma de los polinomios P(t) y Q(t). Para el efecto, con- sideramos dos casos. Caso I. Si m = n. La suma de P(t) con Q(t) se define en la forma habi- tual de funciones reales como: (P + Q)(t) = P(t) + Q(t), P t a a t a t t Q t b b t b t t m m n n , , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ donde (P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = a0 + b0 + (a1 + b1 )t + ... +(an + bn )tn , P t a a t a t t Q t b b t b t t m m n n , , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ Nótese que la suma de polinomios se la hace para cada punto tR. Caso II. Si m n. Podemos asumir que los coeficientes del polinomio Q(t) de los términos de mayor grado que n hasta m inclusive son nulos, es decir que bn+1 = 0, bn+2 = 0, ..., bm = 0. Entonces, Q(t) = b0 + b1 t + ... + bn tn + 0tn+1 + ... + 0tn , P t a a t a t t Q t b b t b t t m m n n , , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ La suma de los polinomios P(t) y Q(t) se realiza del mismo modo que en el caso I. Ejercicios resueltos 1. Sean P, Q los polinomios siguientes: P t t t t Q t t t t P t t t t t Q t t t t t 2–5 8 , , –5 7 , . 2–5 8 0 0 –5 0 7 0 . 2 2 4 2 3 4 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = + ∀ ∈ = + + ∀ ∈ = + + + = + + + + Entonces, (P + Q)(t) = P(t) + Q(t) = –3 – 5t + 15t2 + t4 , P t a a t a t t Q t b b t b t t m m n n , , , . 0 1 0 1 ( ) ( ) = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ = + +⋅⋅⋅+ ∀ ∈ Recuerda la definición Teorema Hay que tener presente que si P es un polinomio de grado ≤ n, para cada tR, P(t)R, las operaciones de adición, producto y producto por esca- lares de polinomios heredan las propiedades de la adición y del producto en R. El conjunto de polinomios con coeficiente real y con la opera- ción adición es un grupo abelia- no, es decir que se verifican las propiedades siguientes: 1. Conmutativa: para todo P, Q polinomios con coefi- ciente real, P + Q = Q + P. 2. Asociativa: para todo P, Q, R polinomios con coe- ficiente real, P + (Q + R) = (P + Q) + R. 3. Existencia de un elemento neutro (polinomio nulo): existe 0 elemento de los polinomios con coeficiente real, tal que para todo P P + 0 = 0 + P = P. 4. Existencia de opuestos aditivos: para todo P elemento de los polino- mios con coeficiente real, existe Q elemento de los polinomios con coeficiente real, tal que P + Q = 0.
- 122. 233 Demostración de laspropiedades de la adición de polinomios Sin pérdida de generalidad, supondremos que los polinomios que consideraremos tienen el mismo grado n: P t a a t a t Q t b b t b t R t c c t c t n n n n n n ( )= , ( )= , ( )= , 0 1 0 1 0 1 + + + + + + + + + donde ai , bi , ci , R, i = 0,1, ..., n, t R. i. Conmutativa Tomando en cuenta que ai + bi = bi + ai , i =0,1, ..., n, para todo t R, se tiene P Q t P t Q t a b a b t a b t b a b a t b a t Q t P t Q P t n n n n n n ( )( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) =( )( ). 0 0 1 1 0 0 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + + Conclusión: P + Q = Q + P. ii. Existencia de elemento neutro Tenemos que ai + 0 = ai = 0 + ai , i =0,1, ..., n, y de la definición del polinomio nulo, se sigue que para todo t R, P t P t t a a t a t a a t a t P t n n n n + + + + + + + + + + + ( 0)( )= ( ) 0( ) = 0 ( 0) ( 0) = = ( ). 0 1 0 1 De manera similar, se muestra que (0 + P)(t) = P(t) para todo t R. Conclusión: P + 0 = 0 + P = P. La demostración del resto de propiedades del teorema se deja como tarea para el estudiante. Resta Sea Q un polinomio con coeficientes reales. Existe el opuesto aditivo –Q de Q tal que Q + (–Q) = 0. Si P un polinomio, podemos sumar P con el opuesto aditivo de Q que nos da el polinomio P + (–Q). Este hecho nos conduce a definir otra operación en polinomios con coe- ficiente real que es la resta. Definición Para todo P, Q polinomios con coeficiente real, el polinomio notado P – Q se define como: (P – Q) (t) = P(t) – Q(t), tR. Ejercicio resuelto 1. Sean P, Q los polinomios definidos por , tR. P t t t t Q t t t ( ) =3 8 5 2 , ( ) = 7 4 9 2 3 2 { − + − − + − El opuesto aditivo de Q es el polinomio –Q dado por –Q(t) = 7 – 4t + 9t2 . Entonces, P – Q es el polinomio P Q t P t Q t P t Q t t t t t t t t t ( )( ) = ( ) ( ( )) = ( ) ( ) =3 8 5 2 7 4 9 =10 12 14 2 , t . 2 3 2 2 3 − + − − − + − + − + − + − ∀ ∈ Recuerda que… Debido a la propiedad asociativa y conmutativa, a la suma de los polinomios P, Q, R la escribiremos P + Q + R, en vez de P + (Q + R) o en vez de (P + Q) + R. Interdisciplinariedad Matemática y economía Los polinomios se pueden utili- zar para modelar situaciones de mercado, como, por ejemplo, para el análisis de la variación de los precios de un producto en función del tiempo. Las personas del ámbito del negocio suelen utilizar estas expresiones para determinar acciones que afectan a sus ventas. Shutterstock, (2020). 526494319 p Discusión de datos financieros.
- 123. Taller práctico 234 Sean u,v, w los polinomios siguientes: 2 Sean P, Q, R polinomios que se definen en cada caso. Halla los opuestos aditivos de P, Q, R y los polinomios siguientes: P+Q,P–Q,P+Q+R,P+Q–R,–P+Q–R. DCCD: M.5.1.38. Reconocer funciones polinomia- les de grado n (entero positivo) con coeficientes reales en diversos ejemplos. M.5.1.39. Realizar ope- raciones de suma entre funciones polinomiales en ejercicios algebraicos de simplificación. 1 u(x) = 3 – 8x + 5x2 – 3x3 , v(x) = 2x2 + 5x3 – 4x4 , xR. w(x) = –2x + 11x – 2x4 . a) P(t) = 0, Q(t) = 5 –3t, tR. R(t) = –5 + 3t, a) Aplica el esquema de Hörner y calcula u(–5), v(3), w(–2). b) Utiliza el esquema de Hörner y calcula (u + v)(–2); (u + w)(–3); (u + v + w)(–5); (v + w)(4). b) P(t) = 22 + 7t – t3 , Q(t) = 11t2 –7t3 , tR. R(t) = 12 – 8t2 + 4t4 , Sean P, Q, R polinomios que se definen en cada caso. Verifica que –(P+Q)=–P–Q yP–(Q+R)=P–Q–R. Calcula(–P–Q)(–6)y(P–Q–R)(5). 3 a) P(x) = 5 – 2x + x2 , Q(x) = 2 –3x, xR. R(x) = 8 – 3x + 2x2 , c) P(x) = x5 – 2, Q(x) = – 5x4 + x, xR. R(x) = x3 – 10x2 , b) P(x) = x4 – 8x, Q(x) = 25x3 – x2 , xR. R(x) = 7x – 16, c) P(t) = t5 – 1, Q(t) = t3 –2t2 + 1, tR. R(t) = 0,
- 124. 235 Sean los siguientespolinomios, efectúa la operación indicada 4 Realiza las siguientes operaciones P + Q – R. P t t t t t Q t t t t t t R t t t t t t ( ) 6 8 7 18, ( ) 5 7 15 , ( ) 15 7 5 . 20 15 10 5 19 14 9 4 4 9 14 19 = − + − − = − − + − = − + + − 5 Diversidad funcional en el aula No todas las personas pueden ver bien o del todo. Si hay una discapacidad o dificultades visuales, es necesario ayudarnos unos a otros, ya sea con una explicación de los sucesos visuales o con un resumen de lo que sucede alrededor. Trabajo colaborativo Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. Demuestren que para todo P, Q, R. 6 a) –(P + Q) = – P – Q. b) P –(Q + R) = P – Q – R. Indaguen y respondan las siguientes preguntas. 7 a) ¿Qué es un polinomio? b) ¿Cuál es la estructura de un término? c) ¿Cuáles son los elementos de un polinomio? d) ¿Cómo se clasifican los polinomios? e) ¿Cuáles son las dos formas de sumar y restar polinomios? f) ¿Describa cada proceso para sumar y restar polinomios? Dados los polinomios: P(x) = –6x4 + 3x2 + x + 4, Q(x) = –2x2 + 2 – x5 y R(x) = x3 – 3x5 + 2x2, calculen: 8 a) P(x) + Q(x). b) P(x) – Q(x). c) R(x) + P(x) – Q(x). d) P(x) – Q(x) – R(x). e) P(x) + Q(x) + R(x). f) P(x) – R(x) + Q(x). a) (3x2 – 4x + 7) – (x2 + 8x – 1) = b) (x4 – 4x5 + 3x2 – 6) + (x3 – 5x2 – 1 + 2x) – (–2x4 + 8 – x + 3x3) Archivo editorial, 2020 c) 1 4 x4 7 6 x3 +31x2 +12+x + 1 6 2 3 x2 +2x3 +3x 2 3 x+ 2 3 +x2 =
- 125. 236 Multiplicación de polinomios DCCD:M.5.1.39. Realizar operaciones de multiplicación, entre funciones polinomiales, y multiplicación de números reales por polinomios, en ejercicios algebraicos de simplificación. Producto Sean a, b, n, m, tR. Utilizando las propiedades del producto de nú- meros reales, así como la potenciación de números reales con expo- nentes naturales, el producto de los monomios atn y btm nos da el resultado siguiente: at bt abt t abt n m n m n m ( )( ) = = . + Sean P, Q [ ] k R . Pongamos = , , = , . 0 1 0 1 ( ) ( ) + + + ∈ + + + ∈ P t a a t a t t Q t b b t b t t n n m m Sean j, k N y t R. Entonces, tj tk = tj+k . La multiplicación de P con Q se denota con PQ y se define como sigue: PQ t P t Q t a a t a t b b t b t a b a b a b t a b a b t a b t n n m m n m n m m n n m m n ( )( ) = ( ) ( ) = = . 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) × + + + + + + + + + + + + − − + − + Nótese que el producto de dos polinomios es otro polinomio, es de- cir que si P, Q [ ] k R , entonces, P, Q [ ] k R . Además, si grad (P) = m y grad (Q) = n, entonces, grad (PQ) = m + n. Se define la operación producto “.” en [ ] k R como la función a cada par de polinomios P, Q de [ ] k R le asigna un único polinomio P . Q antes definido: Potencia de polinomios Sea P [ ] k R . Las potencias P0 , P1 , P2 , ... se definen a continuación. Para todo t R, (P0 )(t) = 1 si P(t) ≠ 0, (P1 )(t) = P(t), (P2 )(t) = P(t) × P(t), (P3 )(t) = P(t)2 × P(t). En general, si k N, para todo t R, (Pk+1 )(t) = (Pk )(t)P(t). Ejemplos 1. Sea P el polinomio definido por P(t) = 8t6 – 7t4 , t R. Entonces, P1 (t) = P(t) = t4 (8t2 – 7), P2 (t) = P(t) P(t) = [t4 (8t2 – 7)]2 = t8 (8t2 – 7)2 = 64t12 – 112t10 + 49t8 , P3 (t) = (P2 )(t)P(t) = t8 (8t2 – 7)2 [t4 (8t2 – 7)] = t12 (8t2 – 7)3 = 512t18 + 1 344t16 + 1 176t14 + 343t12 . Saberes previos ¿Qué es un polinomio de grado menor o igual que n? Desequilibrio cognitivo ¿Cuál es la relación entre la multiplicación y la potencia- ción? Recuerda que… El producto de polino- mios satisface las propieda- des siguientes: i. Conmutativa: para todo P, Q k R], PQ = QP. ii. Asociativa: para todo P, Q , R k R], P(QR) = (PQ)R. iii. Existencia del elemento unidad: existe 1 [ ] k R , tal que para todo P [ ] k R , 1P = P. iv. Distributiva: para todo P, Q [ ] k R , P(Q + R) = PQ + PR.
- 126. 237 Recuerda que… Teorema Sean P,Q k[R] y a, b R. Se verifican las propiedades siguientes: i. (ab)P = a(bP) = = b(aP) = abP. ii. a(P + Q) = aP + aQ. iii. (a + b)P = aP + bP. iv. 1.P = P (1R). v. (–1)P = – P. Las operaciones de adición y producto en R están relacio- nadas mediante la propiedad distributiva. El conjunto [ ] k R en el que se ha definido la operación de adición con la que ( [ ] k R , +) es grupo conmuta- tivo (página 232) y el producto de números reales por polino- mios de [ ] k R que verifica las propiedades indicadas arriba, en el teorema, tiene estruc- tura de espacio vectorial real, llamadas espacio vectorial real de polinomios. Producto de números reales por polinomios Sean a R, P [ ] k R , el polinomio P(t) = a0 + a1 t + ... + an tn , tR. El producto de a por P se nota aP y se define del modo siguiente: para todo t R, (aP)(t) = aP(t) = aa0 + aa1 t + ... + aan tn . Nótese que si a R y P [ ] k R , aP [ ] k R . Ejercicios resueltos 1. Si a = –8 y P = 2 – 3t + 8t2 , tR, el polinomio aP está definido por: (–8P)(t) = –8(2–3t + 8t2 ) = – 16 + 24t – 64t2 . 2. Sean P, Q los polinomios siguientes: P(t) = 2–4t + 8t2 , Q(t) = –9 + 4t – 2t3 . Calcula (5P – 3Q)(1). Solución Determinemos los polinomios 5P, –3Q y 5P – 3Q. A este último lo escribimos usando el esquema de Hörner. Así, tenemos ( )( ) ( ) ( ) , 40 20 10 = 8 4 2 5 = 5 = 5 2 2 t t t t t P t P + + ( )( ) ( ) ( ) . 6 12 27 = 2 4 9 3 = 3 = 3 3 3 t t t t t Q t Q + + ( )( ) ( ) ( ). 6 40 32 37 = 6 40 32 37 = 6 12 27 40 20 10 = 3 5 3 2 3 2 t t t t t t t t t t t Q P + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – Luego, , 40 2 t + . 6 12 3 t t + ( ) ( ). 6 40 32 37 = 6 40 32 3 2 t t t t t t + + + + + – – ( )( ) ( ) ( ) , 40 20 10 = 8 4 2 5 = 5 = 5 2 2 t t t t t P t P + + ( )( ) ( ) ( ) . 6 12 27 = 2 4 9 3 = 3 = 3 3 3 t t t t t Q t Q + + ( )( ) ( ) ( ). 6 40 32 37 = 6 40 32 37 = 6 12 27 40 20 10 = 3 5 3 2 3 2 t t t t t t t t t t t Q P + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – – Para t = 1, se tiene ( )( ) ( ) ( ) 51. = 6 40 1 32 1 37 = 1 3 5 + + + Q P ( ) 6, = 1 P ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21, = 1 3 = 1 3 30, = 1 5 = 1 5 7, = 1 Q Q P P Q ( ) ( ) ( )( ). 1 3 5 = 51 = 21 30 = 1 3 1 5 Q P Q P + – – – – – – – Nótese que ( )( ) ( ) ( ) 51. = 6 40 1 32 1 37 = 1 3 5 + + + Q P ( ) 6, = 1 P ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 21, = 1 3 = 1 3 30, = 1 5 = 1 5 7, = 1 Q Q P P Q ( ) ( ) ( )( ). 1 3 5 = 51 = 21 30 = 1 3 1 5 Q P Q P + – – – – – – – 3. Sean P, Q los polinomios ( ) ( ) . 2 3 2 = , 3 2 = 2 t t t Q t t P + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + – – Verificar que ( ) ( ) . 2 3 2 = , 3 2 = 2 t t t Q t t P + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + – – Solución Calculemos (P + Q)2 con tR. Tenemos ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 = = = t Q t P t Q t P t Q t P t Q P t Q P t Q P + + + + + + ( ) ( ) . . 4 = 2 = 2 3 2 3 2 = 4 2 2 2 2 t t t t t + + + ( ) ( ) . 4 = 4 2 t t Q P + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t Q t P t P t Q PQ P 2 2 2 2 2 = 2 + + + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 = t t t t t t + + + + + + ( ) 3 2 2 2 3 2 4 2 6 9 6 4 6 4 2 12 9 4 12 8 12 4 9 4 = t t t t t t t t t t t t + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ), 2 = 4 = 2 2 4 2 t Q PQ P t 4 = 4 t t Q P + + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + Así, ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 = = = t Q t P t Q t P t Q t P t Q P t Q P t Q P + + + + + + ( ) ( ) . . 4 = 2 = 2 3 2 3 2 = 4 2 2 2 2 t t t t t + + + ( ) ( ) . 4 = 4 2 t t Q P + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t Q t P t P t Q PQ P 2 2 2 2 2 = 2 + + + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 = t t t t t t + + + + + + ( ) 3 2 2 2 3 2 4 2 6 9 6 4 6 4 2 12 9 4 12 8 12 4 9 4 = t t t t t t t t t t t t + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ), 2 = 4 = 2 2 4 2 t Q PQ P t 4 = 4 t t Q P + + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + Por otro lado, ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 = = = t Q t P t Q t P t Q t P t Q P t Q P t Q P + + + + + + ( ) ( ) . . 4 = 2 = 2 3 2 3 2 = 4 2 2 2 2 t t t t t + + + ( ) ( ) . 4 = 4 2 t t Q P + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t Q t P t P t Q PQ P 2 2 2 2 2 = 2 + + + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 = t t t t t t + + + + + + ( ) 3 2 2 2 3 2 4 2 6 9 6 4 6 4 2 12 9 4 12 8 12 4 9 4 = t t t t t t t t t t t t + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ), 2 = 4 = 2 2 4 2 t Q PQ P t 4 = 4 t t Q P + + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + En consecuencia, para todo t R, ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 = = = t Q t P t Q t P t Q t P t Q P t Q P t Q P + + + + + + ( ) ( ) . . 4 = 2 = 2 3 2 3 2 = 4 2 2 2 2 t t t t t + + + ( ) ( ) . 4 = 4 2 t t Q P + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t Q t P t P t Q PQ P 2 2 2 2 2 = 2 + + + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 = t t t t t t + + + + + + ( ) 3 2 2 2 3 2 4 2 6 9 6 4 6 4 2 12 9 4 12 8 12 4 9 4 = t t t t t t t t t t t t + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ), 2 = 4 = 2 2 4 2 t Q PQ P t 4 = 4 t t Q P + + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + + que muestra que ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]2 2 = = = t Q t P t Q t P t Q t P t Q P t Q P t Q P + + + + + + ( ) ( ) . . 4 = 2 = 2 3 2 3 2 = 4 2 2 2 2 t t t t t + + + ( ) ( ) . 4 = 4 2 t t Q P + ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t Q t Q t P t P t Q PQ P 2 2 2 2 2 = 2 + + + + ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 = t t t t t t + + + + + + ( ) 3 2 2 2 3 2 4 2 6 9 6 4 6 4 2 12 9 4 12 8 12 4 9 4 = t t t t t t t t t t t t + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )( ), 2 = 4 = 2 2 4 2 t Q PQ P t 4 = 4 t t Q P + + + ( ) . 2 = 2 2 2 Q PQ P Q P + + +
- 127. Taller práctico 238 Ordena enforma creciente y decreciente con relación a las potencias de t , e indica el grado del polinomio. 2 Calcula (P + Q)(a) y (PQ)(a) para a N. 3 Indica el grado del polinomio y utiliza el esquema de Hörner (cuando grad(p) ≥ 2) para calcular P(a), donde P y a se dan a continuación. DCCD: M.5.1.39. Realizar operaciones de multiplica- ción, entre funciones polinomiales, y multiplicación de números reales por polinomios, en ejercicios al- gebraicos de simplificación. 1 a) 3, = ) (t P t 5. = a , 2 2 7 9 = ) ( t t t P + + t 4. = a , 3 5 3 = ) ( t t t P + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = ) ( t t t t P + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = ) ( t t t t t t P + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = ) ( t t t t t t t P + + + + + + t 2. = a , , , , , , b) 3, = ) (t P t 5. = a , 2 2 7 9 = ) ( t t t P + + t 4. = a , 3 5 3 = ) ( t t t P + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = ) ( t t t t P + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = ) ( t t t t t t P + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = ) ( t t t t t t t P + + + + + + t 2. = a , , , , , , c) 3, = ) (t P t 5. = a , 2 2 7 9 = ) ( t t t P + + t 4. = a , 3 5 3 = ) ( t t t P + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = ) ( t t t t P + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = ) ( t t t t t t P + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = ) ( t t t t t t t P + + + + + + t 2. = a , , , , , , d) 3, = ) (t P t 5. = a , 2 2 7 9 = ) ( t t t P + + t 4. = a , 3 5 3 = ) ( t t t P + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = ) ( t t t t P + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = ) ( t t t t t t P + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = ) ( t t t t t t t P + + + + + + t 2. = a , , , , , , e) 3, = ) (t P t 5. = a , 2 2 7 9 = ) ( t t t P + + t 4. = a , 3 5 3 = ) ( t t t P + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = ) ( t t t t P + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = ) ( t t t t t t P + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = ) ( t t t t t t t P + + + + + + t 2. = a , , , , , , 3, = t 5. = a , 2 2 7 9 = t t + + t 4. = a , 3 5 3 = t t + t 10. = a , 5 4 2 4 2 3 = t t t + + + t 2. = a , 5 4 3 2 9 5 8 2 3 5 = t t t t t + + + + + t 10. = a , 6 5 4 3 2 1 = t t t t t t + + + + + + t 2. = a , , , , , , a) P(t) = 0, tR. ___________________________________________ b) Q(t) = t5 + 2t + 3t2 + 2 + 4t4 , tR. ___________________________________________ c) R(t) = 8t + 2t4 + 3t3 + 5 + 2t5 + 4t2 , tR. ___________________________________________ d) A(t) = 2 + 8t8 + 4t4 + 5t5 + 2t2 , tR. ___________________________________________ a) P(x) = 3 + 2x2 , Q(x) = 1 + 15x + x2 , xR, a = 1. b) P(x) = 5 + x + 2x3 , Q(x) = 20x + 21x2 , xR, a = 11. c) P(x) = 8x2 + 50x4 , Q(x) = 32 + 15x + 18x2 , xR, a = 5. Calcula P2 (t), P3 (t), P4 (t), si P(t) es el poli- nomio que se define a continuación. 4 a) P(t) = k, tR, con kN. b) P(t) = t + t3 , tR.
- 128. 239 Diversidad funcional en elaula Al trabajar en equipo puede existir integrantes con muy poca autoestima por ello es necesario reconocer las fortalezas y motivarloa continuar con el trabajo. Trabajo colaborativo Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan. Calcula P (a + h) – P(a) h para a, hR con h ≠ 0. Este cociente se llama cociente incremental y está bien definido en R. 5 a) P(x) = 3 + 5x, xR. b) P(x) = 2 + 5x + x2 , xR. c) P(x) = 2 + 10x + 3x2 + 15x3 , xR. a) P(t) = 0, Q(t) = t, R(t) = – 2 –t, tR. b) P(t) = 22 + 7t – t3 , Q(t) = 11t2 – 7t3 , R(t) = 12 – 8t2 + 4t4 , tR. c) P(t) = 8t6 – 4t4 + 2t2 – 6, Q(t) = 5t + 11t5 , R(t) = t6 – 2t5 + 4t4 , tR. Halla los polinomio siguientes: PQ, PR, PQR, P(Q + R), P(Q – R), P(– Q – R). 6 Sea el polinomio de [ ] k R dado en cada caso. Calculen P2 , P3 y P4 . 7 a) P(t) = –3. b) P(t) = 2t. c) P(t) = 5t3 . d) P(t) = 8 – 2t. e) P(t) = 3t2 – 8t. f) P(t) = 2t5 – 11. g) P(t) = –3t4 + t3 . Demuestren las siguientes propiedades. Para todo P, Q, R [ ] k R . 8 a) PQ = QP. b) 1P = P. c) P(–Q) = (–P)Q = –PQ. d) P(Q – R) = PQ – PR. a) (P + Q) (P – Q) = P2 – Q2 . b) (P – Q)2 = P2 – 2PQ + Q2 . c) (P + Q)2 – (P – Q)2 = 4PQ. d) (P + Q)2 + (P – Q)2 = 2(P2 + Q2 ). e) (P + Q)3 = P3 + 3P2 Q + 3PQ2 + Q3 . f) (P – Q)3 = P3 – 3P2 Q + 3PQ2 – Q3 . Sean P, Q los polinomios definidos por 9 P(t) = 2 + 3t, Q(t) = t – 5t2 . tR. Verifiquen: Archivo editorial, (2020).
- 129. 240 Solución de problemas cotidianos Modelosimple de cálculo de las ecuaciones de las mediatrices 1. Para mejorar la circulación vehicular en una ciu- dad, se quiere construir un redondel. Para ello, se ha diseñado un triángulo que pasa por los puntos A B C = (1, 1), A B C = (–3, 2) y A B C = (– 1, 4). Se piensa construir este redondel de tal manera que pase por los vértices del triángulo y, adicionalmente, en el centro se colocará una estatua del alcalde, en reconocimiento a su labor. ¿En qué coordena- das se debe levantar la estatua? a) Realiza un gráfico de la situación. Cálculo de las medianas 2. Sean A B C (2,3); (6,9); (8,1) = = = los vérti- ces de un triángulo. Determina las ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. Recuerda que este punto se llama baricentro. Cálculo de las alturas 3. En el triángulo del ejercicio anterior, determi- na las ecuaciones de las alturas y su punto de intersección. Recuerda que este punto se de- nomina ortocentro. 4. Halla la ecuación de la recta que pasa por x y P 1 3 2 1; 1 2 2 3 2 , ( 1, 3 2 ). 1 = − =− = + = = − = (–1, 2) y es paralela a la recta 3x – y + 4 = 0. Para solucionar el problema, debemos calcular las ecuaciones de las mediatrices de los lados del triángulo y luego debemos buscar el punto de intersección que nos dará el centro de la circunfe- rencia circunscrita al triángulo. b) Completa el proceso de resolución. Recuerda que la mediatriz es el segmento de recta que sale perpendicular desde el punto medio del lado del triángulo. * Calcula los puntos medios. Punto medio de [A, B]. x y P 1 3 2 1; 1 2 2 3 2 , ( 1, 3 2 ). 1 = − =− = + = = − Punto medio de A B C A B C , . 1 2 3 4 1 –1 –2 –3 0 0 A B C y x p Figura 5.15. *Calcula la pendiente de cada lado del triángulo. Pendientes: mAB, mBC, mAC. = − + = − 1 2 1 3 1 4 mAB . * Determina las ecuaciones de las mediatrices. Para ello, toma el punto medio y la pendiente in- vertida y con signo contrario. P1 = (–1, 3/2); m1 = 4. y x x y 4( 1). 8 2 11 0. 3 2 − = + + + = * Toma dos ecuaciones de las mediatrices y resuelve el sistema. El punto de intersección son las coordenadas donde debe levantarse el monumento. Practica en tu cuaderno Punto medio de A B C A B C , .
- 130. 241 Desafíos científicos La matemática ylas profesiones Jorge Játiva M, (2020) . Colección Habitad III Shutterstock, (2020). 11059177 Arquitecto Para optar por la carrera de Arquitectura, debes haber culminado con éxito tu bachillerato en Ciencias y haber ingresado a alguna de las uni- versidades que ofertan esta carrera reconocida por el Senescyt. El profesional graduado de Arquitectura está en capacidad de di- señar espacios arquitectónicos y urbanos integrales, para mejorar la calidad de vida de los usuarios y responder a las necesidades del país. Adicionalmente, este profesional está en capacidad de aplicar los conocimientos técnicos, tecnológicos e instrumen- tales adquiridos para configurar vínculos con la colectividad y el medio laboral, con responsabilidad, eficiencia y ética. La carrera de Arquitectura tiene una duración de diez semestres. Luego de la aprobación del plan de estudios, debes presentar y defender un proyecto de tesis. De esta manera, obtendrás el título en Arquitectura. El campo laboral se enmarca dentro del diseño y la planificación de edificaciones y espacios urbanos y regionales, la construcción de edi- ficaciones y espacios urbanos, la gestión, administración y manejo de unidades productivas relacionadas con el quehacer profesional o la fis- calización y evaluación de proyectos arquitectónicos y urbanos, entre otras actividades. Adaptado de thttp://www.puce.edu.ec/portal/content/Arquitectura/ 225?link=oln30.redirect La matemática y la accesibilidad ¿Qué tiene que ver la matemática con la construcción de accesos para personas con discapacidad? En realidad, mucho. Hoy en día, y como parte de la inclusión social y accesibilidad, las instituciones públi- cas y privadas deben tener accesos para personas que utilizan si- llas de ruedas. Para su construcción, es necesario conocer varios elementos, como, por ejemplo, la altura de la puerta respecto a la vereda, la distancia horizontal de la puerta a la vereda y el cálculo de las pendientes en el tramo de la rampa, de manera que se cumpla con la norma establecida de construcción. Una de las normas para las rampas accesibles en obras de edifica- ción hace referencia a la longitud del tramo. Este debe ser de máxi- mo 9 m. La anchura libre debe ser de 1,20 m, como mínimo. Además, se debe disponer de una superficie horizontal al principio y al final de cada tramo, con una longitud de 1,20 m, como mínimo, en la dirección de la rampa, . Adaptado de http://www.minsa.gob.pe/ogdn/cd1/pdf/nls_24/rm072-99-sa.pdf p Rampa para acceso en silla de ruedas. p Habitat III.
- 131. 242 TIC Uso de GeoGebrapara el trazo de las líneas y puntos notables del triángulo Trazo de las medianas de un triángulo Sean (x, y) R2 , determina gráficamente las medianas del triángulo de vértices A(2, 2), B(2, 5) y C(5, –1). 1. Haz clic en Nuevo Punto y lo- caliza los vértices del triángulo. 2. Determina los puntos me- dios de los lados del triángulo. Haz clic en Punto Medio y se- ñala dos vértices. 3. Haz clic en la recta que pasa por dos puntos y señala el vértice y el punto medio del lado opuesto. Se trazarán las medianas. 4. Haz clic en la Intersección de Dos Objetos y encuentra el baricentro H. 5. En Vista Algebraica, aparece- rán los vértices del triángulo, los puntos medios, las ecua- ciones de las medianas y el baricentro. Trazo de las alturas de un triángulo Sean (x, y) R2 , determina gráficamente las alturas y las mediatrices del triángulo de vértices A B C = (1, 1), A B C = (–3, 2) y A B C = (–1, –4). 1. Haz clic en Nuevo Punto y marca los vértices del triángulo. 2. Haz clic en Recta Perpendicular, selecciona el vértice del triángulo y el lado opuesto. Se trazarán las alturas. Intersección de dos objetos 3. Haz clic en el ícono de intersección de dos objetos y obtendrás el ortocentro, punto de intersección de las tres alturas. 4. En Vista Algebraica, aparecerán las coordenadas de los vértices, las ecuaciones de las alturas y las coordena- das del ortocentro. Archivo editorial, (2020) . Geogebra Archivo editorial, (2020) . Geogebra
- 132. 243 Trazo de lasmediatrices del triángulo En el triángulo anterior, determina las ecuaciones de las tres mediatrices y su punto de intersección o circun- centro. 1. Haz clic en Nuevo Punto y marca los vértices del triángulo. 2. Haz clic en Punto Medio y selecciona los dos extremos de cada lado del triangulo. Así , determinas el punto medio de cada lado del triángulo. 3. Haz clic en Recta Perpendicular, selecciona el punto medio y el lado de este punto medio. Así, se trazarán las alturas. 4. Selecciona Intersección de Dos Objetos, haz clic en Dos Alturas. Se marcará el ortocentro. 5. En Vista algebraica, aparecerán los vértices del triángulo, las ecuaciones de las mediatrices y el circuncentro. Archivo editorial, (2020) . Geogebra Archivo editorial, (2020) . Geogebra
- 133. 244 Desafíos y proyectosmatemáticos Tema: Construcción de rampas Shutterstock, (2020). 436346233 Shutterstock, (2020). 421163092 Recursos • Lápices • Cuaderno para realizar los cálculos respectivos • Cartón u otro material para construir una maqueta • Pegamento • Adornos y señalización para cada una de las maquetas Justificación En la actualidad, en nuestro país existen carteras de Estado dedicadas exclusivamente a impul- sar la inclusión económica y social para per- sonas con discapacidad y sus familias. Para ello, la gestión se ampara en los principios de igualdad, inclusión, equidad, universalidad, integridad y correspondencia, que señala la Constitución. Objetivos • Diseñar y construir una maqueta que cumpla con las especifica- ciones técnicas de construcción, de acuerdo con la normativa es- tablecida para el efecto. Actividades • Dividan el número de estudiantes del aula en grupos de 2 o 3 personas. • Cada grupo debe realizar una visita por sus sectores de residencia, con el fin de determinar si los lugares públicos son de fácil acceso para las personas que utilizan sillas de ruedas. • Cada grupo debe construir una maqueta trabajada a escala, pero que, a la vez, debe cumplir con los requisitos mínimos para el in- greso de personas que utilizan sillas de ruedas. • La maqueta a escala y las ram- pas de ingreso a sus edifica- ciones deben cumplir con los siguientes requisitos: la zona de aproximación a la rampa debe ser de 120 cm de ancho, la pen- diente no debe ser mayor al 6 % de inclinación y la longitud no debe ser mayor de 600 cm. En caso de sobrepasar esta longi- tud, se deben incluir descansos de 150 cm de longitud. • Adicionalmente, los grupos de trabajo deben investigar qué otros requisitos deben tener el piso y la señalización para cumplir con los accesos para personas que utilizan sillas de ruedas. Conclusiones En una exposición, que se podría planificar en el coliseo de la insti- tución, los estudiantes podrían mostrar sus respectivas maquetas y explicar al público presente sobre la importancia de la matemática en la construcción de rampas de acceso para personasque se movilizan en silla de ruedas. p Acceso para personas en silla de ruedas. p Trabajo de diseño y arquitectura.
- 134. 245 En síntesis Álgebra yfunciones Geometría y medida Shutterstock, (2020). 130589003 Shutterstock, (2020). 144640130 Aplicaciones en R2 * Ley del paralelogramo * Teorema de Pitágoras * Proyección ortogonal • Multiplicación • Multiplicación de números reales por polinomios • Adición y sustracción Definición de función polinomial de grado n con coeficientes reales Operaciones con funciones polinomiales Aplicaciones geométricas del producto escalar en R2 Distancia de un punto a una recta Bisectriz de un ángulo Polinomios reales con coeficiente en R p Lanzamiento de jabalina. p Auto en curva de carretera.
- 135. Evaluación sumativa 246 Heteroevaluación a) Obténla ecuación cartesiana de la bisec- triz S1 del ángulo RAOC. b) De manera similar, obtén la ecuación car- tesiana de la bisectriz S2 del ángulo OAB. a) A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ b) A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ con a ≠ 0. Sean P, Q los polinomios siguientes: P(t) = 2 – 4t – 9t2 ∀t R, Q(t) = –1 + 2t2 – t4 ∀t R. Halla los opuestos aditivos de P(t) y Q(t). Define los polinomios siguientes: IM.5.3.3. Reconoce funciones polinomiales de grado n, opera con funciones polinomiales de grado ≤4, plan- tea modelos matemáticos para resolver problemas aplicados a la informática; emplea el teorema de Hör- ner para factorizar polinomios con la ayuda de las TIC, y discute la validez de sus resultados. (I.3., I.4.) 4 a) P + Q. b) P – Q . c) Q – P. Sea el polinomio P(t) = 5t – 8t2 , ∀t R. 5 a) ¿Qué grado tiene el polinomio P(t)? b) ¿Cuáles son los coeficientes del polinomio? c) Usa el esquema de Hörner para calcu- lar el siguiente valor: P(3,5). Sean P, Q los polinomios siguientes: P(t)=1+2t –4t2 ,Q(t)=–6+4t –t2 , tR. Calcula (2P – 3Q)(1). 6 En cada ítem se da un vector no nulo A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ Determina las condiciones que han de verificar los componentes de un vector A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ para que se tenga A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ y sea A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ Representa geométricamente el con- junto L y prueba que es una recta. 3 Calcula P(a + h) – P(a) h para a, h R con h ≠ 0. Este cociente se llama cociente incremental y está bien definido en R. 7 a) P(x) = 4 – 5x, xR. b) P(x) = 1 + 2x2 – 3x, xR. Sean P, Q los polinomios definidos por P(t) = 3 – 2t, Q(t) = t – 4t2 , ∀t R. Verifica: 8 a) (P + Q)(P – Q) = P2 + Q2 . b) (P – Q)2 = P2 – 2PQ + Q2 . c) (P + Q)2 – (P – Q)2 = 4PQ. Sean A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ los vértices de un cuadrado que se mues- tra en la figura, IM.5.6.3. Determina la ecuación de la recta de forma vectorial y paramétrica; identifica su pendiente, la distancia a un punto y la posición relativa entre dos rectas, la ecuación de una recta bisectriz, sus aplica- ciones reales, la validez de sus resultados y el aporte de las TIC. (I.3.) 1 A B C D x y 0 S2 S1 p Figura 5.16. obtén las ecuaciones correspondientes de S1 y S2 y el ángulo que forma. Sean A B C D O A B C A B x y A B L B x y A B A A a =(2,0), =(4,2), =(2,4), =(0,2) =(0,0), =(4,0), =(3,2), =(1,2) . =( , ) . =1, ={ =( , ) | . =1}. =(3, 0). = (3, 1) 2 2 2 ∈ ∈ ∈ los vértices de un trapecio que se muestra en la figura adjunta. 2 x y A B C 0 S2 S1 p Figura 5.17.
- 136. 247 a) ¿En estaunidad, cuál es el tema que más recuerdas? ____________________________________________________________________________________________________ b) ¿De qué manera se utilizan los temas de esta unidad en otras áreas? ____________________________________________________________________________________________________ Autoevaluación Siempre A veces Nunca Aplico la ecuación vectorial de la recta en la verificación de propiedades geométricas. Opero de manera efectiva con funciones polinomiales Empleo el Teorema de Hörner para factorizar polinomios. Coevaluación Siempre A veces Nunca Los trabajos colaborativos propician el aprendizaje entre pares. Al trabajar en equipo aportamos con ideas que favorecen la comprensión de los temas. Metacognición El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x + 4y + 20 = 0 es: 10 a) 10 u2 b) 20 u2 c) 15 u2 d) 8 u2 ¿Cuál es el grado del polinomio? ( )=2 4 6 , 2 3 − + ∀ ∈ P x x x x x . 11 a) Grado 2 b) Grado 3 c) Grado 1 d) Grado 6 Sean P, Q los polinomios siguientes: ( )=1 2 3 , , ( )=2 3 , . 2 2 3 + − ∀ ∈ − ∀ ∈ P t t t t Q t t t t El opuesto aditivo de P(t) es: 12 a) –P(t) = –1 – 2t + 3t2 . b) –P(t) = 1 – 2t + 3t2 . c) –P(t) = 1 – 2t – 3t2 . d) –P(t) = 1 + 2t + 3t2 . Observa el triángulo de la figura y de- termina las coordenadas. ¿Qué medida tiene la longitud de la hipotenusa del triángulo? 9 a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta. b a c B C y x A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 p Figura 5.18.
- 137. 248 Observa y contesta • ¿De qué manera asocias la imagen con la planificación financiera? • ¿Qué relación encuentras entre la des- cripción y la graficación de curvas de diferente tipo y las funciones? • ¿Qué situación de la vida cotidiana puedes relacionar con el uso de las funciones polinomiales? La matemática y la planificación financiera L as ecuaciones polinómicas y las funcio- nes polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, la química, la economía y las ciencias sociales. Este tipo de ecuaciones son útiles para describir movimientos, trayec- torias, ganancias y costos. Los polinomios pueden ser utilizados en la planificación financiera. Por ejemplo, una ecuación polinómica se puede utilizar para calcular la cantidad de interés que se deven- gará de una cantidad de depósito inicial en una inversión o cuenta de ahorros a una tasa de interés dada. (Martínez, 2015). División de polinomios reales con coeficientes en . Probabilidad
- 138. 249 unidad 6 Bloques curriculares Álgebra yfunciones Estadística y probabilidad Objetivos • O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacio- nal y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estra- tegias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto. • O.G.M.2. Producir, comunicar y gene- ralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimien- tos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras discipli- nas, entender las necesidades y potenciali- dades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social. • O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra- zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali- dez de los resultados. • O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramien- tas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad na- cional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investiga- ción. Ministerio de Educación, (2016). Shutterstock, (2020). 423942742 Shutterstock, (2020). 383108803
- 139. 250 DCCD:M.5.1.40. Aplicar lasoperaciones entre polinomios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propiedades para factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir los polinomios. División de polinomios. Teorema del residuo La división de números enteros tiene una estrecha analogía con la división de polinomios que se describe a continuación. Sean p, q dos polinomios reales no nulos, esto es, p, q []; se trata de un proceso que permite encontrar c, r [], con grado del po- linomio r menor que el grado del polinomio q, tal que p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x . La p se llama dividendo, q se llama divisor, c se llama cociente, r se llama residuo. Se prueba que dados p, q [], siempre se pueden hallar los polinomios c y r que satisfacen la condición anterior. Cuando r(x) = 0, ∀x , decimos que el polinomio q divide al polinomio p, y escribimos p q = c, o también, p(x) q(x) = c(x), ∀x , siempre que q(x) ≠ 0. Si p, q son dos polinomios reales no nulos, tal que grad(p) grad(q), entonces p = 0 × q + r, con el cociente c = 0, residuo r = p. Ejercicios resueltos 1. Sean p, c, q los polinomios definidos como p(x) = (2x – 3)(4x + 5), c(x) = 2x – 3, q(x) = 4x + 5, ∀x . Entonces, p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x , es decir que q divide a p, siendo c el cociente, y r(x) = 0, ∀x el residuo. Luego, p x q x x x x x c x x ( ) ( ) = (2 3)(4 5) 4 5 =2 3= ( ), 5 4 . − + + − ∀ ∈ − 5 4 – . 2. Sean p, c, q los polinomios definidos como p(x) = (x2 + 1)(x + 10) + 2, c(x) = x + 10, q(x) = x2 + 1, r(x) = 2, ∀x . Entonces, p(x) = c(x)q(x) + r(x), ∀x . La división de p para q tiene como cociente c, y residuo r, siendo el grado de r menor que el grado de q. Luego, p x q x x x x ( ) ( ) = 10 2 1 , . 2 + + + ∀ ∈ Saberes previos ¿Qué significa que el grado de un polinomio sea ≤ 4? ¿Cuál es el opuesto aditivo de un polinomio? ¿Cuándo dos polinomios son iguales? Desequilibrio cognitivo ¿Qué funciones im- portantes se aproximan con polinomios? Recuerda que… Al realizar la división de 35 para 8, se obtiene por cociente 4 y residuo 3, que se escribe 35 = 4 × 8 + 3, o en forma equivalente, 35 8 = 4 + 3 8 . De manera similar, si dividimos 32 para 8, se obtiene por cociente 4 y residuo 0. Así 32 = 4 × 8 32 8 = 4. En este caso decimos que 8 divide a 32. De manera general, dados dos números enteros positivos a, b con a ≥ b, al realizar la división de a para b se obtiene el cociente cZ + y un residuo rZ + , de modo que 0 ≤ r b, a b = c + r b a = cb + r. El número entero a se llama dividendo y b, se llama divisor. Cuando r = 0, se dice que b divide a.
- 140. 251 3. Sean p,q [] no nulos, dados como + + + + ∀ ∈ + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ ∀ ∈ + ∀ ∈ , , { } ; p t a a t a t a t a t t p t q t a a t a t a t a t at a at a t at a t at a t at a t at a at a a a a t a at t a a t t c t a a a a t a at t a a t t r t a t p t c t q t r t t ( ) = ( ) ( ) = = = , 0 . ( ) = , ( ) = , . ( ) = ( ) ( ) ( ), . 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3 0 con a4 ≠ 0, de modo que grad(p) = 4; q(t) = at, ∀x , siendo a ≠ 0, con lo que grad(q) = 1. La división de un polinomio p para un monomio como q se encuentra fácilmente. Observa + + + + ∀ ∈ + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ ∀ ∈ + ∀ ∈ , , { } ; p t a a t a t a t a t t p t q t a a t a t a t a t at a at a t at a t at a t at a t at a at a a a a t a at t a a t t c t a a a a t a at t a a t t r t a t p t c t q t r t t ( ) = ( ) ( ) = = = , 0 . ( ) = , ( ) = , . ( ) = ( ) ( ) ( ), . 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3 0 Claramente, el cociente c es el polinomio de grado 3: + + + + ∀ ∈ + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ ∀ ∈ + ∀ ∈ , , { } ; p t a a t a t a t a t t p t q t a a t a t a t a t at a at a t at a t at a t at a t at a at a a a a t a at t a a t t c t a a a a t a at t a a t t r t a t p t c t q t r t t ( ) = ( ) ( ) = = = , 0 . ( ) = , ( ) = , . ( ) = ( ) ( ) ( ), . 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3 0 y el residuo r es el polinomio de grado 0: + + + + ∀ ∈ + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ ∀ ∈ + ∀ ∈ , , { } ; p t a a t a t a t a t t p t q t a a t a t a t a t at a at a t at a t at a t at a t at a at a a a a t a at t a a t t c t a a a a t a at t a a t t r t a t p t c t q t r t t ( ) = ( ) ( ) = = = , 0 . ( ) = , ( ) = , . ( ) = ( ) ( ) ( ), . 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3 0 De modo que + + + + ∀ ∈ + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ ∀ ∈ + ∀ ∈ , , { } ; p t a a t a t a t a t t p t q t a a t a t a t a t at a at a t at a t at a t at a t at a at a a a a t a at t a a t t c t a a a a t a at t a a t t r t a t p t c t q t r t t ( ) = ( ) ( ) = = = , 0 . ( ) = , ( ) = , . ( ) = ( ) ( ) ( ), . 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 2 3 2 4 3 1 2 3 2 4 3 0 4. Sean p(x) = 6x2 + 17x + 9, ∀x , q(x) = 2x + 1, ∀x . Procedemos a dividir el polinomio p para q. Empezamos con en- contrar un monomio w que se obtiene dividiendo el término de grado más alto del polinomio p para el término de grado más alto del polinomio q, esto es, w x x x x x p x w x q x R x R x p x w x q x x x x x x w x x x x ( )= 6 2 =3 , {0}. ( )= ( ) ( ) ( ), ( )= ( ) ( ) ( ) =6 17 9 3 (2 1) =14 9. ( )= 14 2 =7, {0}. 2 1 1 2 1 ∀ ∈ + − + + − + + ∀ ∈ Entonces, w x x x x x p x w x q x R x R x p x w x q x x x x x x w x x x x ( )= 6 2 =3 , {0}. ( )= ( ) ( ) ( ), ( )= ( ) ( ) ( ) =6 17 9 3 (2 1) =14 9. ( )= 14 2 =7, {0}. 2 1 1 2 1 ∀ ∈ + − + + − + + ∀ ∈ de donde R1 se obtiene como w x x x x x p x w x q x R x R x p x w x q x x x x x x w x x x x ( )= 6 2 =3 , {0}. ( )= ( ) ( ) ( ), ( )= ( ) ( ) ( ) =6 17 9 3 (2 1) =14 9. ( )= 14 2 =7, {0}. 2 1 1 2 1 ∀ ∈ + − + + − + + ∀ ∈ Como el grado de R1 coincide con el de q, el proceso de división continúa. Se divide el término de más alto grado de R1 para el tér- mino de más alto grado de q: w x x x x x p x w x q x R x R x p x w x q x x x x x x w x x x x ( )= 6 2 =3 , {0}. ( )= ( ) ( ) ( ), ( )= ( ) ( ) ( ) =6 17 9 3 (2 1) =14 9. ( )= 14 2 =7, {0}. 2 1 1 2 1 ∀ ∈ + − + + − + + ∀ ∈ Luego, R x w x q x R x R x R x w x q x x x p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x c x x ( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) ( ) =14 9 7(2 1) =2. ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(3 7)(2 1) 2. ( ) =3 7, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 + − + − + + + + + + + + + + y de esta igualdad obtenemos R2 : R x w x q x R x R x R x w x q x x x p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x c x x ( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) ( ) =14 9 7(2 1) =2. ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(3 7)(2 1) 2. ( ) =3 7, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 + − + − + + + + + + + + + + El grado de R2 es menor que el grado de q. El proceso concluye. Así: R x w x q x R x R x R x w x q x x x p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x c x x ( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) ( ) =14 9 7(2 1) =2. ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(3 7)(2 1) 2. ( ) =3 7, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 + − + − + + + + + + + + + + Elcocientecestádefinidocomo R x w x q x R x R x R x w x q x x x p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x c x x ( ) = ( ) ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) ( ) =14 9 7(2 1) =2. ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(3 7)(2 1) 2. ( ) =3 7, 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 + − + − + + + + + + + + + + yelresiduoresr(x)=2. Recuerda que… Dados los polinomios p, q: p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4 , q(t) = at3 , ∀t . Se tiene grad(q) = 3; La división de p para q se realiza como sigue: p t q t a a t a t a t a t at a a t a t at a t at a t at a a t a t at a a a a t t ( ) ( ) = = = , {0}. 0 1 2 2 3 3 4 4 3 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 3 0 1 2 2 3 3 4 + + + + + + + + + + + + ∀ ∈ El cociente c es el polinomio de grado 1: ( ) ( ) ( ) + ∀ ∈ + + ∀ ∈ + ∀ ∈ , . , . c t a a a a t t r t a a t a t t p t c t q t r t t ( ) = , ( ) = , ( ) = 3 4 0 1 2 2 y el residuo r es es el polinomio de grado 2: ( ) ( ) ( ) + ∀ ∈ + + ∀ ∈ + ∀ ∈ , . , . c t a a a a t t r t a a t a t t p t c t q t r t t ( ) = , ( ) = , ( ) = 3 4 0 1 2 2 Nota que el grado del polino- mio r es menor que el grado de q. Así, ( ) ( ) ( ) + ∀ ∈ + + ∀ ∈ + ∀ ∈ , . , . c t a a a a t t r t a a t a t t p t c t q t r t t ( ) = , ( ) = , ( ) = 3 4 0 1 2 2
- 141. 252 Interdisciplinariedad Matemática y el mercadode valores Los polinomios también pueden utilizarse para modelar situaciones diferentes, como en el mercado de valores para prever cómo pueden variar los valores con el tiempo. Las personas de negocios también utilizan polinomios para modelar mercados, por ejemplo, para advertir cómo el aumento del precio de un bien afectará sus ventas. Los polinomios son utilizados para aproximar valores de funciones trigonométricas como sen(x), cos(x) o valores de la función exponencial ex , entre otras funciones. Los polinomios son la base para el diseño de algoritmos que, a su vez, sirven para el diseño electrónico de calculadoras científicas. Shutterstock, (2020). 515002651 5. Sean p, q los polinomios definidos como p x x x x x x q x x x x ( )=20 10 59 21 37, , ( )=4 2 3, . 4 3 2 2 − + − + ∀ ∈ − + ∀ ∈ Realiza la división de p para q y halla el cociente c y el residuo r. Divide el término de más alto grado de p para el término de más alto grado de q: w x x x x x p x w x q x R x x R x p x w x q x x x x x x x x x x ( ) = 20 4 =5 , 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), , ( ) = ( ) ( ) ( ) =20 10 59 21 37 5 (4 2 3) = 44 21 37. 1 4 2 2 1 1 1 1 4 3 2 2 2 2 ≠ + ∀ ∈ − − + − + − − + − + de donde: w x x x x x p x w x q x R x x R x p x w x q x x x x x x x x x x ( ) = 20 4 =5 , 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), , ( ) = ( ) ( ) ( ) =20 10 59 21 37 5 (4 2 3) = 44 21 37. 1 4 2 2 1 1 1 1 4 3 2 2 2 2 ≠ + ∀ ∈ − − + − + − − + − + w x x x x x p x w x q x R x x R x p x w x q x x x x x x x x x x ( ) = 20 4 =5 , 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), , ( ) = ( ) ( ) ( ) =20 10 59 21 37 5 (4 2 3) = 44 21 37. 1 4 2 2 1 1 1 1 4 3 2 2 2 2 ≠ + ∀ ∈ − − + − + − − + − + Como grad(R1 ) = grad(q) = 2, se divide el término de más alto grado de R1 para el término de más alto grado de q: ≠ + ∀ ∈ − − + − − + + ∀ ∈ ( ) = 44 4 =11, 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), . ( ) = ( ) ( ) ( ) = 44 21 37 11(4 2 3) = 4, . 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 w x x x x R x w x q x R x x R x R x w x q x x x x x x x Luego, ≠ + ∀ ∈ − − + − − + + ∀ ∈ ( ) = 44 4 =11, 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), . ( ) = ( ) ( ) ( ) = 44 21 37 11(4 2 3) = 4, . 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 w x x x x R x w x q x R x x R x R x w x q x x x x x x x ≠ + ∀ ∈ − − + − − + + ∀ ∈ ( ) = 44 4 =11, 0, ( ) = ( ) ( ) ( ), . ( ) = ( ) ( ) ( ) = 44 21 37 11(4 2 3) = 4, . 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 w x x x x R x w x q x R x x R x R x w x q x x x x x x x Como 1 = grad(R2 ) grad(q) = 2, el proceso concluye. Resulta p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x x x x c x x x r x x x ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(5 11)(4 2 3) 4, . ( ) =5 11, , ( ) = 4, . 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 + + + + + + − + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + ∀ ∈ Así, el cociente y el residuo son los polinomios definidos como p x w x q x R x w x q x w x q x R x w x w x q x R x x x x x x c x x x r x x x ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =( ( ) ( )) ( ) ( ) =(5 11)(4 2 3) 4, . ( ) =5 11, , ( ) = 4, . 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 + + + + + + − + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + ∀ ∈ Teorema del residuo Sea p un polinomio de grado mayor o igual que 1 y q(x) = x – a, donde a R. De acuerdo con proceso de la división, se tiene + − + ∀ ∈ − + × + − + ∀ ∈ ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) ( ), , ( ) = ( )( ) ( ) = ( ) 0 ( ) = ( ). ( ) = ( )( ) ( ), . p x c x q x r x c x x a r x x p a c a a a r a c a r a r a p x c x x a p a x siendo c(x) el cociente y r(x) el residuo. Entonces, + − + ∀ ∈ − + × + − + ∀ ∈ ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) ( ), , ( ) = ( )( ) ( ) = ( ) 0 ( ) = ( ). ( ) = ( )( ) ( ), . p x c x q x r x c x x a r x x p a c a a a r a c a r a r a p x c x x a p a x En consecuencia, + − + ∀ ∈ − + × + − + ∀ ∈ ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ) ( ), , ( ) = ( )( ) ( ) = ( ) 0 ( ) = ( ). ( ) = ( )( ) ( ), . p x c x q x r x c x x a r x x p a c a a a r a c a r a r a p x c x x a p a x Este resultado se conoce como teorema del residuo. Recuerda que… Teorema del residuo Sean p [] con grad(p) ≥ 1, a , q(x) = x – a, ∀x R. El residuo de la división de p para q está dado como p(a), esto es, p(x) = c(x)(x – a) + p(a), ∀x R. p Hombre de negocios.
- 142. 253 Sean p [] con grad(p) ≥ 1, a . Cuando p(a) = 0, se dice que a es raíz de la ecuación p(x) = 0. En la tabla siguiente se muestra el grado del polinomio y el número de raíces reales. Grado del polinomio p Número de raíces reales 1 1 2 0, 2 3 1, 3 4 0, 2, 4 5 1, 3, 5 Por ejemplo, p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ no tiene raíces reales; mientras que p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ con p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ tiene dos raíces reales,a x = a, x = b. Ejercicios resueltos 1. Sean p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ Apliquemos el teorema del residuo. Por el esquema de Hörner, p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ Luego, p x x x p x k x a x b x k a b k p x x x x x q x x x p x x x x x p p x x x x ( ) = 1, , ( ) = ( )( ), , , , , 0, ( ) = 5 7, . ( ) = 5, . ( ) =7 (1 (5 )), , ( 5) =7 ( 5)(1 ( 5)(5 5)) =7. ( ) =( 5)( 1) 7, . 2 3 2 2 + ∀ ∈ − + ∀ ∈ ∈ ≠ + + + ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + ∀ ∈ − + − + − − + + + ∀ ∈ 2. Sean p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ Factoriza p. Por el teorema del residuo, se tiene p(–6) = 0, es decir, el residuo r(x) = 0; con lo que a = –6 es raíz de la ecuación p(x) = 0. En consecuencia, x + 6 divide a p(x); luego, p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ Nota que el cociente es p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ con a, b por de- terminarse. Por la definición de igualdad de polinomios, se obtiene a = 1, b = –6. Así, p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ Para completar el proceso de factorización, resolvemos la ecua- ción de segundo grado: p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ x1 = –3, x2 = 2 son las raíces de esta ecuación. Los polinomios p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ dividen a p. Por lo tanto, p x x x x q x x x p x x x ax b x a x b a x b x c x x ax b p x x x x x x x x q x x q x x p x x x x x ( ) = 7 36, . ( ) = 6, . ( ) =( 6)( ) = ( 6) ( 6 ) 6 , . ( ) = , ( ) =( 6)( 6), . 6 = 0, = 1 1 24 2 = 1 5 2 , ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) =( 6)( 3)( 2), . 3 2 2 3 2 2 2 2 1 2 + − ∀ ∈ + ∀ ∈ + + + + + + + + ∀ ∈ + + + + − ∀ ∈ + − − ± + − ± + − + + − ∀ ∈ Recuerda que… Del teorema del residuo, se desprende el siguiente resul- tado: a es raíz de la ecuación p(x) = 0 si y solo si p(x) es divisible por x – a. En tal caso, el polinomio p se factoriza como p(x) = (x – a)c(x), siendo c(x) el cociente, r(x) = 0 el residuo. Si c(x) es divisible por x – b con b R, entonces c(x) = (x – b)c1 (x), p(x) = (x – a)(x – b)c1 (x), t R. Si grad(c1 ) ≥ 1, el proceso continúa. Glosario polinomio. Expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios. teorema. Proposición mate- mática demostrable a partir de axiomas o de proposiciones ya demostradas. a cb
- 143. Taller práctico 254 DCCD: M.5.1.40.Aplicar las operaciones entre polino- mios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propiedades para factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir los polinomios. Considera los polinomios p, q definidos como p(x) = 3x2 + 10x + 5, ∀x R, q(x) = x + 3, ∀x R. Aplica el proceso de la división y prueba que el cociente c y el residuo r son los po- linomios indicados: c(x) = 3x + 1, r(x) = 2. 1 Sean p, q los polinomios p(x) = 24x3 + 46x2 + 29x + 6, ∀x R, q(x) = 2x + 1, ∀x R. 2 a) Divide el polinomio p para el polinomio q y obtén el cociente c y el residuo r defini- dos como: c(x) = 12x2 + 17x + 6, r(x) = 0. c) Divide el polinomio c para q1 (x) = 3x + 2. Sean p, q, los polinomios p(x) = x4 + 2x3 + x2 – 8x – 17, ∀x R, q(x) = x2 + 2x + 5, ∀x R. Aplica el proceso de la división y muestra que el cociente c y el residuo r están defini- dos como: c(x) = x2 – 4, r(x) = 3. 3 b) Calcula p(– 1 2 ). ___________________________________________ ___________________________________________ d) Calcula p(– 2 3 ) ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0? Sean p, q, los polinomios p(x) = 24x3 + 14x2 + 14x + 3, ∀x R, q(x) = 6x2 + 2x + 3, ∀x R. 4 a) Aplica el proceso de la división y obtén que el cociente c y el residuo r están defini- dos como: c(x) = 4x + 1, r(x) = 0. b) Calcula p(– 1 4 ). ¿Cuántas raíces reales tie- ne la ecuación p(x) = 0?
- 144. 255 Sean p, qlos polinomios p(x) = 5x4 – 14x3 – 22x2 – 7x – 4, ∀x R, q(x) = 5x2 + x + 1, ∀x R. 5 Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y resuelvan. Consideren el polinomio p(x) = x3 + x2 – 2x – 2, ∀x R. En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos. 7 a) q(x) = x + 1, ∀x R. b) q(x) = x2 – 2, ∀x R. Diversidad funcional en el aula Al trabajar con compañeros que tienen alguna dificultad de aprendizaje, por ejemplo Síndrome de Down es necesario poner las normas y reglas claras al inicio del trabajo. Considera los polinomios p, q, r, defini- dos como p(x) = x2 + 3x + 5, ∀x R. q(x) = x2 – 4x + 4, ∀x R. r(x) = x3 – 20, ∀x R. Indica, sin hacer la división, cuáles son divisibles para el polinomio s dado como: s(x) = x – 2, ∀x R. Luego, comprueba mediante la división. 6 a) Aplica el proceso de la división y muestra que el cociente c y el residuo r están defini- dos como: c(x) = x2 – 3x – 4, r(x) = 0. b) Factoriza p. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0? Consideren el polinomio p(x) = 6x4 – 13x3 – 108x2 + 45x + 350, ∀x R. En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos. 9 a) q(x) = 3x + 7, ∀x R. b) q(x) = 2x + 5, ∀x R. c) q(x) = x2 – 7x + 10, ∀x R. d) q(x) = 6x2 + 29x + 35, ∀x R. Con los resultados obtenidos, ¿cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0? Consideren el polinomio p(x) = 2x4 + x3 + 5x2 + 3x + 4, ∀x R. En cada ítem se da un polinomio q. Hallen el cociente c y el residuo r de la división de p para q. Verifiquen que sean correctos. 8 a) q(x) = x2 + x + 1, ∀x R. b) q(x) = 2x2 – x + 4, ∀x R. Con los resultados obtenidos en a) y b), ¿cuántas raíces reales tiene la ecuación p(x) = 0? Archivo editorial, 2020
- 145. 256 DCCD: M.5.1.41. Resolveraplicaciones de los polinomios de grados ≤ 4 en la informática (sistemas de numeración, conversión de sistema de numeración binario a decimal y viceversa) en la solución de problemas. Aplicación de polinomios en la informática La posición de cada cifra del sistema decimal posicional tiene su im- portancia en la escritura de un número natural en dicho sistema. De- bemos tener presente que, por convención, las unidades de primer orden se posicionan a la derecha. Inmediatamente, se posicionan las decenas un lugar a la izquierda. Después, se colocan las centenas una posición a la izquierda y así sucesivamente. El número se escribe de izquierda a derecha, partiendo de la cifra de orden mayor hasta llegar a las unidades de primer orden. Así, el número natural 378 921 significa: Saberes previos ¿Con qué conjuntos de números trabajamos los polino- mios? Con tus palabras, explica qué es un polinomio. Desequilibrio cognitivo Los coeficientes de los polinomios pueden pertenecer a los conjuntos N, Z, Q o R. ¿Por qué? Recuerda que… El sistema de numera- ción decimal posicional o de base 10 es el más utilizado. En este sistema de numeración, las cifras que empleamos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que se leen cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, respectivamente. El número cero, como tal, no es considerado una cifra significa- tiva, a diferencia de las demás cifras que sí lo son. Como uni- dad simple, se toma el número 1. Las unidades de primer orden son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Cuando alcanzamos la cantidad de diez unidades de primer orden, esto es, el número 10 (diez), se tiene una decena. A continuación obtenemos 11 = 1 + 10 (once) y así hasta el 19 = 9 + 10 (diecinueve). Estos números se forman con una decena más las unidades de primer orden. El número 20 = 2 x 10 equivale a dos decenas. Los números 21 = 1 + 2 x 10 (veintiuno) hasta el 29 = 9 + 2 x 10 (veinti- nueve) se forman con la suma de dos decenas y las unidades de primer orden. ¿Cómo se formará el número 109? Este número se escribe en forma ascendente con potencias de 10: + × + × + × + × + × 378 921=1 2 10 9 10 8 10 7 10 3 10 . 2 3 4 5 Y en forma descendente con potencias de 10 como se indica: 378 921=3 10 7 10 8 10 9 10 2 10 1. 5 4 3 2 × + × + × + × + × + Estenúmeroselee“trescientossetentayochomilnovecientosveintiuno”. Sea M N con M ≠ 0. Para indicar su representación decimal, escribi- remos: M m m m n n = , 1 0 − donde mi {0,1,2, ,9} ∈ para i n = 0,1, , ., son las cifras del número M. Esta representación decimal puede ser escrita en la forma ascendente con potencias de 10. Así: M m m m m m n n n n = 10 10 10 10 . 0 1 2 2 1 1 + × + × + + × + × − − Además, a la representación decimal de M la asociamos con el polinomio + + + + ∀ ∈ P x m m x m x m x x n n ( ) = , . 0 1 2 2 Utilizando el esquema de Hörner, P x m x m x m x m m x n n ( ) = ( ( ( ) )) 0 1 2 1 + + + + + − , ∀x N, podemos calcular M = P(10). Ejercicio resuelto Sea M = 2 165. En primer lugar, observemos que 2 165 =5 5 10 1 10 2 10 . 2 3 + × + × + × Luego, de esta escritura obtenemos el polinomio asociado a M: P x x x x x x x ( ) =5 6 2 =5 (6 (1 2 )) 2 3 + + + + + + , ∀x N, que evaluado en x = 10 es 2 165 = P(10). Obsérvese que m0 = 5, m1 = 6, m2 = 1, m3 = 2 son las cifras de M = 2 165. 300 000 3 unidades de sexto orden (3 centenas de millar) 70 000 7 unidades de quinto orden (7 decenas de millar) 8 000 8 unidades de cuarto orden (8 unidades de millar) 900 9 unidades de tercer orden (9 centenas) 20 2 unidades de segundo orden (2 decenas) 1 1 unidad de primer orden (1 unidad simple) Archivo editorial, (2020).
- 146. 257 Conversión de binarioa decimal y viceversa Sea A = (an an–1 ... a0 )2 un número binario. Para convertir el número A al sistema decimal, lo asociamos al polinomio + + + + ∀ ∈ P x a a x a x a x x n n ( ) = , , 0 1 2 2 y evaluamos P(2), usando el esquema de Hörner. Así, A = P(2). Veamos el problema recíproco. Sea M N con M ≠ 0 en base 10. Supongamos que M tiene la siguiente representación en binario: M = (an an–1 ... a2 a1 a0 )2 , cuyo poli- nomio asociado en x = 2 es P a a a a M n n (2) = 2 2 2 = . 0 1 2 2 + × + × + + × Para determinar las cifras binarias a0 , a1 , ..., an , procedemos como sigue: el número a a an n 2 2 2 1 2 2 × + × + + × es par. Entonces, {M a M a impar si y solo si =1, par si y solo si = 0. 0 0 Determinada la cifra a0 , pasamos a determinar la cifra a1 . Definimos M M a a a an n = 2 = 2 2 . 1 0 1 2 1 − + × + + × − Luego, {M a M a impar si y solo si =1, par si y solo si = 0. 1 1 1 1 De manera análoga, M M a a a an n = 2 = 2 2 , 2 1 1 2 3 2 − + × + + × − entonces, {M a M a impar si y solo si =1, par si y solo si = 0. 2 2 2 2 Continuando con este proceso n veces, obtenemos las cifras binarias ak , k = 0,1, ..., n. Queda por determinar el número n que corresponde a las n + 1 cifras binarias. Para ello, notemos que dado M N, existe n N, tal que 2n ≤ M 2n+1 . Recordemos que N = [0] ∪ [1], con [0], [1] las clases residuales mó- dulo 2: [0] = {2n | n N} es el conjunto de números naturales pares, [1] = {2m + 1 | m N} es el conjunto de los números naturales im- pares. El procedimiento anterior equivale a utilizar el algoritmo de la división de Euclides: a = 2c + r, con c N y r = 0 o 1. Luego, Mk [r], entonces, ak = r, k = 0,1, ..., n. Ejercicios resueltos 1. Sea M = 2 412. Puesto que 211 = 2 048 ≤ M 212 = 4 096, se sigue que n = 11. Luego, 2 412 = (a11 a10 ...a1 a0 )2 . Determinamos las cifras binarias a0 , a1 , ..., a11 . Recuerda que… El procedimiento descrito para obtener las cifras binarias de un número en base 10 puede extenderse fácilmente a otras bases. Debe tenerse pre- sente el algoritmo de Euclides: dados M en el sistema decimal y N la nueva base, existen c, r N con 0 ≤ r N, tal que M = r + cN, donde c es el cociente y r el residuo. Simbología matemática Denotamos un número binario por A = (an an–1 ... a0 )2 . Por lo tanto, 2 412 = (100101101100)2 . i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Mi 2 412 1 206 603 301 150 75 37 18 9 4 2 1 ai 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Archivo editorial, (2020). Glosario algoritmo. Conjunto ordenado de operaciones siste- máticas que permite hacer un cálculo y hallar la solución de un tipo de problemas. binaria. Que está compuesto de dos elementos. a cb
- 147. Taller práctico 258 Consideremos elnúmero M = 2 380 y N = 5. Como 54 = 625 y 55 = 3 125, entonces 54 ≤ 2 380 55 , con lo cual 2 380 = (a4 a3 a2 a1 a0 )5 donde ai {0, 1, 2, 3, 4}, i = 0, 1, 2, 3, 4. Las clases residuales módulo 5 son [0], [1], [2], [3], [4], donde [r] = {5m + r| m N} con r = 0, 1, 2, 3, 4. Se tiene a a a a a 2 380 = 5 5 5 5 . 0 1 2 2 3 3 4 4 + × + × + × + × M = 2 380 [0]. Entonces, a0 = 0, M M a a a a a = 5 = 2380 0 5 =476 = 5 5 5 , 1 0 1 2 3 2 4 3 − − + × + × + × M1 = 476 [1]. Entonces, a1 = 1, M M a a a a = 5 = 476 1 5 = 95 = 5 5 , 2 1 1 2 3 4 2 − − + × + × M2 = 95 [0]. Entonces, a2 = 0, M M a a a = 5 = 95 0 5 =19 = 5, 3 2 2 3 4 − − + × M3 = 19 [4]. Entonces, a3 = 4, M M a a = 5 = 19 4 5 =3 = . 4 3 3 4 − − Luego, 2 380 = (_________)5 . DCCD: M.5.1.41. Resolver aplicaciones de los polino- mios de grados ≤4 en la informática (sistemas de nume- ración, conversión de sistema de numeración binario a decimal y viceversa) en la solución de problemas. Completa la solución de este ejercicio. Completa la solución de este ejercicio. 1 2 Representa en base 10 los siguientes números: 3 a) (4 746)8 . b) (74 128)9 . c) (864 568)16 . d) (10 000)3 . Sea M = 35 Primero, determinemos el número n. Puesto que 32 = 25 , 64 = 26 y 25 ≤ 35 26 , se tiene que n = 5. Por lo tanto, debemos determi- nar 6 cifras binarias a0 , a1 , ..., a5 . Ponemos M = 35 = (a5 a4 a3 a2 a1 a0 )2 . Entonces, a a a a a a 35= 2 2 2 2 2 . 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 + × + × + × + × + × Como 35 es impar, resulta que a0 = 1. Luego, + + × + × + × + × 35 =1 2( 2 2 2 2 ), 1 2 3 2 4 3 5 4 a a a a a de donde M a a a a a = 35 1 2 =17= 2 2 2 2 , 1 1 2 3 2 4 3 5 4 − + × + × + × + × M1 es impar. Entonces, a1 = 1. Se tiene a a a a 17 =1 2( 2 2 2 ), 2 3 4 2 5 3 + + × + × + × M a a a a = 17 1 2 =8 = 2 2 2 , 2 2 3 4 2 5 3 − + × + × + × M2 es par. Entonces, a2 = 0 y + + × + × − + × + × 8 = 0 2( 2 2 ), = 8 0 2 = 4 = 2 2 , 3 4 5 2 3 3 4 5 2 a a a M a a a M3 es par. Entonces, a3 = 0 y M a a = 4 0 2 =2 = 2. 4 4 5 − + × M4 es par. Entonces, a4 = 0. Luego, M a 2 0 2 ___ 5 5 − = = a5 = _________ Recolectando todas las cifras, tenemos que 35 = (_________)2 . En la siguiente tabla se ilustra todo el procedi- miento descrito para determinar las cifras bina- rias. Complétala. i 0 1 2 3 4 5 Mi 35 17 8 4 2 1 ai 1 1 0 Nota que M2 , M3 , M4 , [0], M, M1 , M5 , [1].
- 148. 259 Trabajo colaborativo Sea m= 35 y N = 3. 6 Trabajen en equipo y resuelvan. En cada caso, representa, en la base N que se indica, el número M = 280 en base 10. 4 En los siguientes ejercicios, representa en la base N los números en base 10. 5 a) N = 2. b) N = 3. c) N = 4. d) N = 8. e) N = 16. a) 314, N = 2. b) 27 182, N = 4. c) 5 234, N = 7. d) 1 786, N = 8. e) 1 955, N = 5. f) 13 526, N = 6. g) 1354, N = 2. h) 48 357, N = 2. e) (14 142)5 . f) (111 100 011)2 . g) (3 120 132)4 . h) (6 543 210)7 . a) Observen que: 33 = 27 y 34 = 81, entonces 33 ≤ 35 34 , luego, n = 3. b) Determinen a0 , a1 , a2 , a3 , cifras en base 3. Esto es, ai {0, 1, 2}, i = 0, 1, 2, 3. Noten que N = [0] ∪ [1]∪[2], siendo [r] = {3m + r | m N} la clase residual módulo 3, con r = 0, 1, 2. c) Pongan 35 = (a3 a2 a1 a0 )3 . d) Entonces, verifiquen. M = 35 = a0 + a1 × 3 + a2 × 32 + a3 × 33 = a0 + 3(a1 + a2 × 3 + a3 × 32 ). e) Continúen desarrollando el proceso para escribir el número 35 en base 3. Diversidad funcional en el aula Cuando existe un compañero con discapacidad visual es necesario utilizar escritura macrotipo o braille. Archivo editorial, (2020).
- 149. 260 Modelos matemáticos confunciones polinomiales DCCD: M.5.1.42. Resolver problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones polinomiales, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. Modelo 1. Consumo de energía eléctrica y calidad de vida La calidad de vida es un concepto subjetivo que puede ser cuantifi- cado de diferentes maneras. Uno de los parámetros utilizados es el consumo de electricidad. La relación entre consumo de energía eléc- trica y calidad de vida es reportado sucesivamente por casi todos los países del mundo. De manera similar, algunos países reportan interna- mente consumos energéticos de sus regiones y establecen relaciones con el desarrollo de la región. En la Tabla 1 se muestran los consumos per cápita de electricidad de la provincia XYZW (nombre ficticio y datos acomodados con fines didácticos para enfrentar situaciones reales) en los últimos cinco años. Para periodos cortos, se puede modelar con polinomios de grado ≤ 4 de la forma p t a a t a t a t a t ( ) = ( 2010) ( 2010) ( 2010) ( 2010) , 0 1 2 2 3 3 4 4 + − + − + − + − siendo t R, a0 , a1 , a2 , a3 , a4 constantes reales que deben determi- narse mediante la información suministrada en la Tabla 1. La variable independiente t representa el tiempo y, con el propósito de este es- tudio, se introduce la restricción t ≤ 2010. Para facilitar el cálculo, se realiza el cambio de variable T = t – 2010: Año t: 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 T: 0 1 2 3 4 5 6 7 Archivo editorial, 2020 Interesa calcular en forma aproximada los consumos de electricidad en los próximos tres años. Para el efecto, se deben obtener los coefi- cientes de la función polinomial p. De la definición de esta función y de los datos de la Tabla 1, se tiene: p a p a a a a p a a a a p a a a a p a a a a 150 = (2010) = , 154,71= (2011) =150 , 161,76 = (2012) =150 2 4 8 16 , 172,71= (2013) =150 3 9 27 81 , 189,36 = (2014) =150 4 16 64 256 . 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + + + + + + + + + + + + + + Se puede verificar que la solución de este sistema de ecuaciones es a1 = 4, a2 = 0,5, a3 = 0,2, a4 = 0,01, y la función polinomial p está definida como: p t t t t t t ( )=150 4( 2010) 0,5( 2010) 0,2( 2010) 0,01( 2010) , 2010. 2 3 4 + − + − + − + − ∀ ≥ La función es expresada con el esquema de Hörner, así: p T T T T T T T T T T ( 2010) =150 4 0,5 0,2 0,01 =150 (4 (0,5 (0,2 0,01 ))), =5, 6, 7. 2 3 4 + + + + + + + + + Saberes previos ¿Cómo identificas el gra- do de una función polinomial? Desequilibrio cognitivo ¿Las funciones polino- miales son expresiones algebraicas? Año Provincia XYZW Consumo (vatios/persona) 2010 150 2011 154,71 2012 161,76 2013 172,71 2014 189,36 p Tabla 1 Simbología matemática Un polinomio de grado ≤ 4 tiene la forma p(t) = a1 t + a2 t2 + a3 t3 + a4 t4 , siendo t , a0 , a1 , a2 , a3 , a4 constantes reales. Shutterstock, (2020). 206446861 Archivo editorial, 2020 p Consumo de electricidad.
- 150. 261 El dato procesadode consumo energético proporcionado por las auto- ridades de la provincia XYZW, en el año 2015, es 207 vatios/persona y, en el mes de julio de 2016, se reporta un consumo de 221,4 vatios/per- sona. Aplicando la función polinomial, se obtiene p(2016,5) = 229,550 625. Los resultados obtenidos con la función polinomial construida muestran satisfactoriamente la tendencia de crecimiento de consumo de electricidad en la provincia XYZW. Es así que en 8 años se espera duplicar el consumo de electricidad del estimado en el año 2010, lo que debe reflejar mejores condiciones de vida de su población. Modelo 2. Mi cantante favorito Mi cantante favorito/a promociona su nuevo éxito, lo que sacude las redes sociales. En las primeras 36 horas, se registra el número de visitas, que se muestran en la Tabla 2. Dada la información de la que se dispone, los promotores están in- teresados en conocer la evolución de las visitas en las primeras cien horas. Quieren saber si en este tiempo se supera el millón de visitas. Para el efecto, se propone modelar con polinomios de grado ≤ 4 de la forma v t c c t c t c t c t ( ) = , 0 1 2 2 3 3 4 4 + + + + siendo t R, c0 , c1 , c2 , c3 , c4 constantes reales (son las incógnitas), que deben obtenerse de la información suministrada en la Tabla. i. La variable independiente t representa el tiempo. Introducimos, entonces, la restricción t ≥ 0. Puesto que al instante t = 0 no se tie- nen visitas, entonces, c0 = 0, y la función polinomial tiene la forma v t c t c t c t c t t ( ) = , 0. 1 2 2 3 3 4 4 + + + ≥ ii. De la definición de esta función y de los datos de la Tabla, se tiene v c c c c v c c c c v c c c c p c c c c 60 = (4) = 4 16 64 256 , 930 = (10) =10 100 1 000 10 000 , 5 562 = (18) =18 324 5 832 104 976 , 45 468 = (36) =36 1296 46 656 1 679 616 . 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + + + + + + + + + + iii. Este sistema de ecuaciones se reduce al siguiente: v c c c c v c c c c v c c c c p c c c c 15 = (4) = 4 16 64 , 93 = (10) = 10 100 1 000 , 309 = (18) = 18 324 5 832 , 1263 = (36) = 36 1296 46 656 , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 + + + + + + + + + + + + Recuerda que… En la Organización de las Naciones Unidas se calcula una cantidad llamada Índice de Desarrollo Humano, HDI (Human Development Index, por sus siglas en inglés), que mide el desarrollo humano de un país o de una región. Para ello, se utilizan tres categorías: esperanza de vida, educación y producto interno bruto. Este índice se expresa con el número HDI [0,1]. Tiempo transcurrido en horas Número de visitas 4 60 10 930 18 5 562 36 45 468 p Tabla 2 Interdisciplinariedad Matemática y tecnolo- gía industrial Las funciones polinomiales se aplican en la fabricación de cajas para la envoltura de productos. El diseño de dichas cajas requiere la optimización del material y de su capacidad. Con esta función se calculan los consumos de electricidad en los próxi- mos tres años: p(2015) = 150 + 5(4 + 5(4 + 5(0,5 + 5(0,2 + 0,01 x 5))) = 213,75, p(2016) = 150 + 6(4 + 6(4 + 6(0,5 + 6(0,2 + 0,01 x 6))) = 248,16, p(2020) = 150 + 7(4 + 7(4 + 7(0,5 + 7(0,2 + 0,01 x 7))) = 295,11. Shutterstock, (2020). 524367469 p Persona cantando. Dr. H Benalcázar, 2020
- 151. 262 vi. En laTabla 3 se obtienen algunos valores de visitas reales y las pro- nosticadas por el modelo. vii. Con toda esta información, ¿cuáles son las conclusiones que pue- den precisarse? Con la función construida (modelo matemático) se calculan valores que muestran la tendencia de visitas en este periodo corto en forma muy satisfactoria. Por otro lado, se tenía como expectativa superar el millón de visitas, lo que no aconteció, como fue pronosticado con los resultados del modelo. Modelo 3. Crecimiento del área urbana de una ciudad Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular su crecimiento de forma aproximada. En este ejemplo, se plantea el crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad del Ecuador, cuyo modelo matemático, por supuesto muy sencillo, está constituido por un polinomio de grado 3. En la Tabla 4 se mues- tran estos resultados. Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con 40; y al año 2010, con 60. Al representar estos datos en el sistema de coordenadas rectangulares, se asume que el crecimiento es ininte- rrumpido, lo que permite trazar una curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que experimenta la ciudad se modela con un polinomio de grado 3, de la forma A t a bt ct dt t = , 0, 2 3 ( ) + + + ≥ donde a, b, c, d R son constantes. Para esa información, se ha en- contrado que a = 15, b = 0,02, c = 0,000 9, d = 0,000 3, con lo que la función A se escribe, usando el esquema de Hörner, como sigue: A t t t t t t t t ( )=15 0,02 0,000 9 0,000 3 =15 (0,02 (0,000 9 0,000 3 ), 0. 2 3 + + + + + + ≥ Nótese que A A A A A A A A 0 =15, 20 =18,6, 40 =36,44, 60 =84,27, 0 20 40 60 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y A A A A A A A A 0 =15, 20 =18,6, 40 =36,44, 60 =84,27, 0 20 40 60 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De manera general, si t1 , t2 R+ con t1 t2 , se tiene A(t1 ) A(t2 ), es decir que la función A es estrictamente creciente. Por otro lado, de mantenerse la misma tendencia de crecimiento urbano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas urba- nas aproximadas experimentará la ciudad? En la Tabla 5 se muestran los resultados de A(t) en t = 70, 80, 90, 100 y la proyección del área de la ciudad. En la Figura 6.1. se muestra la gráfica de la función A(t). Tiempo transcurrido en horas Número de visitas pronosticadas Número de visitas reales 48 v(48) = 108 432 107 001 60 v(60) = 212 580 210 500 72 v(72) = 368 280 365 230 100 v(100) = 990 300 970 509 p Tabla 3 Año t Área urbana aproximada (km²) 1950 0 15 1970 20 18,6 1990 40 36,44 2010 60 84,27 p Tabla 4 Año t A (t) 2020 70 123,71 2030 80 175,96 2040 90 242,79 2050 100 326 p Tabla 5 0 1950 1970 1990 2010 2020 2030 2040 2050 15 18 36 84 123 175 242 326 A(t) t Año p Figura 6.1. iv. La resolución del sistema de ecuaciones se deja como tarea. Se ob- tiene c1 = 3, c2 = –1, c3 = 1, c4 = 0, es decir que la función polinomial buscada está definida como v t t t t t ( ) =3 , 0. 2 3 − + ≥ Claramente, v t t t t ( ) =3 2 3 − + es un polinomio de grado 3. v. Para calcular valores de esta función, escribimos el polinomio usando el esquema de Hörner. Entonces, se obtiene: v t t t t t t t t ( ) =3 = (3 ( 1 )), 0. 2 3 − + + − + ≥ Dr. H Benalcázar, 2020 Dr. H Benalcázar, 2020 Dr. H Benalcázar, 2020
- 152. 263 • ¿Cuáles seránlos nuevos consumos eléctricos? • ¿Cuántas escuelas y colegios deberán construirse y cuántos do- centes deberán incorporarse sucesivamente? • ¿Cuánta basura se producirá? • ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse? • ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana? Estas son tan solo unas pocas interrogantes que deberíamos plantear- nos. En este sentido, le dejamos al estudiante, como ejercicio, reflexio- nar acerca de otros problemas en torno al crecimiento de la ciudad. Igualmente, dejamos que el aprendiz investigue cómo obtener infor- mación y cómo procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas. Además, deberá también averiguar sobre modelos mu- cho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas. Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta sección. Para precisar las ideas, suponemos que una ciudad ocupa una región Ω(t) ⊂ R2 al instante t ≥ 0 de área A(t), que escribimos A(t) = a(Ω(t)). Nos interesa la evolución de Ω(t) y, con esta, la de A(t), a la que pode- mos modelar con una ecuación diferencial: ( ) ( ) = ( ( )). ( ) = ( , ( ), 0, ( ) = . 2 0 0 0 t A t a t dA t dt función t A t atracciones, resistencias), t T A T A ≥ donde el término atracciones se refiere a factores que motivan la mo- vilización de las personas a esas nuevas zonas urbanas t t t t t T T A t a t a t ( ) ( ) = ( ) ( ), , ] ( ) = ( ( )) ( ( )). 0 ∪ ∈ + Ω(t) que se ponen adherentes a Ω(t) como, por ejemplo, la calidad de servicios (agua potable, electricidad, alcantarillado, vías de acceso, transportes, escuelas, centros médicos, supermercados, etc.). El término resisten- cias se refiere a las limitaciones de acceso debido a factores geográ- ficos como quebradas, parques, carencia de vías de comunicación, carencia de agua potable, etc. Todos estos elementos deben cuanti- ficarse para construir la función (t, A(t), atracciones, resistencias) y la nueva región Ω(t) = Ω(t)∪ Ω(t), t t t t t T T A t a t a t ( ) ( ) = ( ) ( ), , ] ( ) = ( ( )) ( ( )). 0 ∪ ∈ + t t t t t T T A t a t a t ( ) ( ) = ( ) ( ), , ] ( ) = ( ( )) ( ( )). 0 ∪ ∈ + donde t [T0 , T] tienen una área A(t) = a(Ω(t)) + a(Ω(t)). t t t t t T T A t a t a t ( ) ( ) = ( ) ( ), , ] ( ) = ( ( )) ( ( )). 0 ∪ ∈ + t t t t t T T A t a t a t ( ) ( ) = ( ) ( ), , ] ( ) = ( ( )) ( ( )). 0 ∪ ∈ + Como se puede apreciar, las dificultades aparecen por doquier y este es, aún, un modelo simplificado a regiones planas. Son desafíos a superar por investigadores, científicos y por ustedes. Eje transversal Ciudadanía Las soluciones en torno al creci- miento de la ciudad conducen a mejorar la calidad de vida de la población. Esto es, la aplica- ción de las funciones polino- miales constituye una parte de la estrategia para mejorar la calidad de vida. Shutterstock, (2020). 102733505 Nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este mo- delo simple con fines de planificación. Así, junto con este crecimiento del área urbana, crecen las necesidades, algunas de las cuales se plan- tean como interrogantes: • ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente? • ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado deberán construirse? p Niños en clases.. Interdisciplinariedad Matemática y economía Los economistas utilizan de manera frecuente las funciones, sobre todo sus gráficas, para visualizar el comportamiento, por ejemplo, de la oferta y la demanda, con el fin de deter- minar los puntos de equilibrio entre las dos variables. Shutterstock, (2020). 192800075 p Análisis gráfico de negocios..
- 153. Taller práctico 264 b) Calculav(8), v(10). c) El balance obtenido al día siguiente muestra que en las primeras 8 horas se obtuvieron 265 llamadas, y 451 llamadas en 10 horas. Propón conclusiones sobre los resultados obtenidos. DCCD: M.5.1.42. Resolver problemas o situaciones que pueden ser modelizados con funciones poli- nomiales, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos. En un cantón ABCD (nombre ficticio), en los barrios céntricos, se obtienen re- gistros de recolección de basura por per- sona y por día de los últimos 12 meses que inquietan a las autoridades. Para investigar este hecho, deciden utilizar la siguiente información: Estos datos son útiles para elaborar un modelo con una función polinomial B de grado ≤ 4 de la forma B T c T c T c T c T ( ) = 0,22 , 1 2 2 3 3 4 4 + + + + siendo T R, c1 , c2 , c3 , c4 , las incógnitas que deben obtenerse de la información suministrada con los cuatro primeros datos de la tabla. Como T representa el número de meses, se introduce la restric- ción T ≥ 0. El dato 0,601 1 del mes 12 es utilizado para validar el modelo. 2 La empresa de publicidad ABCD (nom- bre ficticio) promociona un nuevo pro- ducto en la radio local. Inicia la promo- ción a las 08h00 y ofrece un descuento del 25 % a quienes llamen en las 10 horas siguientes. El secretario de la empresa re- gistra en su computador los nombres y números de cédulas de los participantes interesados en la promoción. La cantidad total de llamadas en las primeras 4 horas se muestran en la Tabla 6. 1 a) Elabora un modelo con polinomios v de grado ≤ 4 de la forma v t c c t c t c t c t ( ) = , 0 1 2 2 3 3 4 4 + + + + siendo t R, c0 , c1 , c2 , c3 , c4 constantes reales que deben obtenerse de la informa- ción suministrada en la tabla. Estas son las incógnitas. Resuelve el sistema de ecuaciones y mues- tra que esta función está definida como: v t t t t t t ( ) =3 4 = (3 4 ), 0. 2 + + ≥ Tiempo transcurrido en horas Cantidad total de llamadas registradas 0 0 1 7 2 22 3 45 4 76 p Tabla 6 Mes Cantidad (kg/persona x día) 1 0,224 86 3 0,240 712 5 0,268 5 8 0,349 152 12 0,601 1 p Tabla 7 Con esta información, interesa estimar posibles ventas del producto y la cober- tura de la demanda. La jefa de ventas estima que deben disponer de 500 pro- ductos. ¿Acaso tiene razón? Dr. H Benalcázar, 2020 Dr. H Benalcázar, 2020
- 154. 265 a) En elsistema de coordenadas rectangu- lares, representa gráficamente este con- junto de datos. b) Resuelveelsistemadeecuacionesymues- tra que esta función está definida como: ( ) = 0,22 0,004 3 0,000 83 0,000 022 0,000 008 , 0. 2 3 4 + + + + ≥ B t T T T T T 00 83 0,000 022 0,000 008 , 0. 2 3 4 + + ≥ T T T T c) Calcula B(12), B(18). Diversidad funcional en el aula El hecho de que haya una discapacidad auditiva no significa que el tono de voz con el que se ha- bla debe ser exagerado o excesivo. Basta con que haya claridad al momento de comunicarse. Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y resuelvan. Obtén un registro del número de au- tos matriculados en los últimos 5 años. Construye funciones polinomiales de grados 2 con los primeros 3 datos y de grado 3 con los primeros 4 datos. Los da- tos del quinto año se utilizan para verifi- car la tendencia o bondad de la función construida, de modo que pueda servir para pronosticar el crecimiento de autos en los 5 años siguientes. Esta información 3 Busca en Internet datos de nuestro país sobre el índice HDI. Recuerda que el HDI es el Indice de Desarrollo Humano. Uti- liza en forma apropiada la información para construir un polinomio de grado menor o igual que 4, que permita anali- zar la evolución del HDI: 4 a) Calculen los valores de esta función para las distancias dadas y verifiquen sus re- sultados con las velocidades de la tabla. b) Muestren que, a los 300 metros, la avio- neta supera la velocidad requerida míni- ma y despega. c) Prueben que la función V es creciente en el intervalo [0,300]. Una avioneta brinda servicios de trans- porte de personas. Dispone de una pista de 500 metros. Para despegar, requiere que en los 300 metros se alcance una ve- locidad mínima de 180 km/h. La veloci- dad máxima que alcanza en el aire es de 360 km/h. En el despegue, en su máxima potencia, se obtienen los siguientes datos: 5 Distancia recorrida (m) Velocidad alcanzada (m/s) 50 5,15 100 12,1 200 34,4 250 51,25 300 72,9 p Tabla 8 V x x x x x ( ) = 0,09 0,000 21 0,000 001 , si 0,300 , 2 3 [ ] + + ∈ La función velocidad V, en términos de la distancia recorrida x y con viento a favor, se expresa como: Dr. H Benalcázar, 2020 Para obtener los datos investiga en la página web http://www.ecuadorencifras.gob.ec/docu- mentos/web-inec/Estadisticas_Economicas/ Estadistica%20de%20Transporte/Publicacio- nes/Anuario_de_Estad_de_Transporte_2013. pdf es útil con fines de planificación y regula- ción del transporte. Archivo editorial, 2020
- 155. 266 DCCD: M.5.3.7. Reconocerlos experimentos y eventos en un problema de texto, y aplicar el concepto de probabilidad y los axiomas de probabilidad en la resolución de problemas. M.5.3.8. Determinar la probabilidad empírica de un evento repitiendo el experimento aleatorio tantas veces como sea posible (50, 100… veces), con apoyo de las TIC. Experimentos aleatorios Se identifican dos clases de modelos: los determinísticos y los aleato- rios. En esta sección, se presentan ejemplos de experimentos aleato- rios, que son una parte de los modelos aleatorios. Ejemplos 1. Las caras de un dado de forma cúbica están numeradas del 1 al 6. El experimento consiste en lanzar el dado y observar el número que aparece en la cara superior. 2. Una basquetbolista se prepara para la ejecución de lanzamientos libres. Lanza 10 veces al cesto y cuenta el número de veces que encesta. 3. Una urna contiene esferas de colores blanco (B), negro (N), rojo (R), verde (V), dos de cada color, las cuales están muy bien mez- cladas. El experimento consiste en extraer una esfera y anotar su color. 4. En una empresa textil se fabrican pantalones de varias tallas: pequeña (P), mediana (M) y grande (G). De una talla específica, se cuenta el número de pantalones defectuosos. Todos estos experimentos tienen aspectos en común que, se descri- ben a continuación: 1. Se establece un procedimiento para realizar un experimento. 2. Las condiciones del experimento no cambian, de modo que pue- de realizarse indefinidamente. Espacio muestral Definición Dado un experimento aleatorio, el espacio muestral se define como el conjunto de todos los resultados posibles del experimento, que se denota con S. Los ejemplos que siguen están relacionados respectivamente con los cuatro ejemplos precedentes. 1. El espacio muestral S del experimento del ejemplo 1 es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. El espacio muestral S del experimento del ejemplo 2 es S = {0, 1, …, 10}. Ejercicio resuelto De manera general, una moneda tiene la cara (C) y el sello (T). Un experimento consiste en lanzar la moneda varias veces y contar el número total de caras obtenidas. Así, cuando se lanza una moneda tres veces, se observa el número de caras y sellos obtenidos. El espacio muestral S es: S = {(C; C; C); (C; C; T); (C; T; C); (T; C; C); (C; T; T); (T; C; T); (T; T; C); (T; T; T)}. Los ejemplos 1 y 2 son espacios muestrales finitos. Desequilibrio cognitivo ¿Existe alguna relación entre experimentos determinís- ticos y aleatorios? ¿Cuál es? Recuerda que… i. Cuando un experi- mento aleatorio se repite varias veces, a cada intento se lo llama un ensayo. ii. Un espacio muestral puede ser finito, infinito numerable (que se puede contar) o infinitamente no nume- rable. Saberes previos ¿En qué consisten las operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica? Interdisciplinariedad La teoría de la proba- bilidad en la actualidad se usa extensamente en varias áreas del conocimiento, por ejemplo, en la biología, en la física, la matemática, en las ciencias polí- ticas, en la economía para sacar conclusiones sobre la probabili- dad de que un evento ocurra y así poder tomar decisiones. Shutterstock, (2020). 155927783 p Persona tomando apuntes.
- 156. 267 Definición ConsideraunexperimentoaleatorioyelrespectivoespaciomuestralS. Un suceso Aes simplemente un conjunto de resultados posibles del experimento, esto es, A ⊂ S. De esta definición resulta que A = S o A = ∅; son sucesos. Ejercicios resueltos a) Se lanza un dado y se observa que el número resultante sea par, entonces, A = {2, 4, 6}. b) Se lanza una moneda tres veces y se observa que se tengan dos caras y un sello. Entonces, se tiene: A = {(C, C, T); (C, T, C); (T, C, C)}. c) Una urna contiene esferas de colores blanco (B), negro (N), rojo (R), verde (V), dos de cada color. Se extraen dos esferas y se obser- va que al menos una sea blanca. Entonces, A = {(B, B); (B, N); (B, R); (B, V ); (N, B); (R, B); (V, B)}. Operaciones con sucesos Sea E un conjunto referencial, a las partes de E se las denota P(E). Las operaciones habituales con conjuntos que han sido tratadas son unión, intersección, diferencia, complemento, diferencia simétrica. Así, sean A, B ∈ P (E). Se han definido los conjuntos A ∪ B, A ∩ B, A B, E A = AC , A Δ B. Sea S un espacio muestral, las operaciones con sucesos son las opera- ciones conjuntistas precedentes. Así, sea A, B ∈ S. i. A ∪ B es un suceso si y solo si A o B ocurren. ii. A ∩ B es un suceso si y solo si A y B ocurren. iii. A B es un suceso si y solo si el suceso A ocurre pero no B. iv. E A = AC es un suceso que ocurre si y solo si el suceso A no ocurre. Definición Sea S un espacio muestral, A, B dos sucesos. Se dice que A, B son su- cesos mutuamente excluyentes si y solo si A ∩ B = ∅. Ejercicios resueltos 1. Se lanza un dado y se observa el número marcado en la cara supe- rior. Los sucesos A constituidos por números de caras pares y los sucesos B constituidos por números de caras impares son sucesos mutuamente excluyentes, pues A = {2, 4, 6}; B = {1, 3, 5}; A ∩ B = ∅. 2. Se lanza una moneda tres veces y se observan los siguientes resul- tados: A, el suceso en el que se tengan dos caras; y B, el suceso en el que se tengan dos sellos. Entonces, A = {(C, C, T ); (C, T, C); (T, C, C)}. B = {(C, T, T ); (T, C, T ); (T, T, C)}. Resulta A ∩ B = ∅. En consecuencia, son sucesos mutuamente excluyentes. Recuerda la definición La probabilidad empírica se trata de la frecuencia relativa observada con la que ocurre un evento. Por ejemplo, en el lanzamiento de un par de monedas se observaron 98 caras de 300 lanzamientos. La probabilidad empírica del evento de una cara fue de 98/300. * La regla de Laplace para el cálculo de probabilidades establece que la probabilidad de un suceso cualquiera A es el cociente entre el número de casos favorables de A sobre el número de casos posibles. Las propiedades de la probabi- lidad son: 0 ≤ P (A) ≤ 1. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. P(E) = 1, P (∅) = 0. La probabi- lidad del suceso seguro es 1 y la del suceso imposible es 0. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es: P(A ∪ C) = P(A) + P(B), P(AC ) = 1 – P(A). = ° ° P A n casos n ( ) . favorables de A . de casos posibles
- 157. Taller práctico 268 El almacénXYZ (nombre ficticio) tiene 6 empleados: dos hombres {H1, H2} y cua- tro mujeres {M1, M2, M3, M4}. Se selec- cionan dos empleados. 6 a) Comprueba que S tiene 36 elementos. Sean C = {(6, i) ∈ S| i = 1, …, 6} y D = {(1, i) ∈ S | i = 1, …, 6} Muestra que C ∩ D = ∅. 5 Se lanza una moneda cuatro veces. a) Escribe el espacio muestral y verifica que se tienen 16 elementos. b) Escribe los elementos del suceso A, en el que se tenga una sola cara. Verifica que son 4 elementos. c) Escribe los elementos del suceso B, en el que se tengan dos caras. Verifica que son 6 elementos. d) Escribe los elementos del suceso C, en el que se tienen tres caras. El conjunto tiene 4 elementos. DCCD: M.5.3.7. Reconocer los experimentos y even- tos en un problema de texto, y aplicar el concepto de probabilidad y los axiomas de probabilidad en la resolución de problemas. M.5.3.8. Determinar la probabilidad empírica de un evento repitiendo el experimento aleatorio tantas veces como sea posi- ble (50, 100… veces), con apoyo de las TIC. 1 Sean A = {(i, j) S| i + j = 6}, B = {(i, i) ∈ S| i = 1, …, 6}, prueba que A ∩ B = {(3, 3)}. 4 Considerael suceso Exprésalo en forma tabular. 3 A i j S i j , 5 . { } ( ) = ∈ + = a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Tabula estos elementos. c) Tabula los elementos del suceso: un hombre y una mujer viven en la perife- ria de la ciudad. b) Escribe los elementos del evento: un hombre y dos mujeres viven en el cen- tro de la ciudad. Se lanza un dado dos veces y se registran los números de sus caras. S es el espacio muestral de un dado, definido como: 2 S i j i j , , 1,2,3,4,5,6 . { } ( ) { } = ∈
- 158. 269 Analiza cada enunciadoy escribe ver- dadero (V) o falso (F). 7 a) A ∪ B es un suceso si y solo si A y B ocu- rren. b) A ∩ B es un suceso si y solo si A y B ocu- rren. d) A B es un suceso si y solo si el suceso A ocurre pero no B. e) E A = AC es un suceso que ocurre si y solo si el suceso A no ocurre. a) A = {(i; j) ∈ S | i 5; j 15}, ____________________________________ ____________________________________ b) B = {(i; j) ∈ S | 2 i 5; 8 j 12}, ____________________________________ ____________________________________ c) C = {(i; j) ∈ S | i + j = 12}, ____________________________________ ____________________________________ a) La intersección de dos sucesos se puede efectuar solo cuando los dos eventos ocurren. ______________________________ b) La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. _______________________________________ c) La probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número par es de 0,5. _______________________________________ En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la mismaprobabilidaddeaportarungenpara ojos castaños como para ojos azules y que elgenparaojoscastañosesdominante,ob- tengan la probabilidad de que un hijo na- cido de esta pareja tenga los ojos castaños. 10 a) Hallen la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea un múltiplo de tres. b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valo- res obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos? Se lanzan dos dados equilibrados con 6 caras marcadas con números del 1 al 6. Se pide resolver los siguientes enunciados: 11 En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la pro- babilidad de que salga un as o una carta de diamante? 12 Analiza cada enunciado y responde verdadero o falso. Sea S un espacio muestral, las operacio- nes con sucesos son las operaciones con- juntistas precedentes. Así, sea A, B ∈ S. 8 Un experimento aleatorio tiene como espacio muestral el conjunto S = {(i; j) ∈ Z2 | i = 1,…,8; j = 0, 1,…, 20}. Considera los sucesos A, B, C, D, E, que se definen a continuación. Exprésalos en forma tabular. 9 d) D = {(i; j) ∈ S | i + j 10}, ____________________________________ ____________________________________ e) E = {(i; j) ∈ S | 2i + j 10}. ____________________________________ ____________________________________ f) Determina los eventos A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, A ∩ E. g) Determina los eventos A ∪ B, B ∪ C, C ∩ D, A ∩ E. h) Determina los eventos DC = S'D, EC = S'E. Trabajo colaborativo Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Diversidad funcional en el aula Al trabajar con compañeros con dificultades visuales es preferible que el equipo desarrolle la actividad en un lugar del salón de clases iluminado. Archivo editorial, 2020
- 159. 270 Operaciones con sucesos. Leyesde De Morgan DCCD: M.5.3.9. Realizar operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de Morgan, en la resolución de problemas. Unión Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina unión de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertenecen al conjunto A o al conjunto B. A dicho conjunto lo notamos con A ∪ B, es decir que A ∪ B = {x ∈ E | x ∈ A ∨ x ∈ B}. La función proposicional p(x) sobre E que interviene en el conjunto A ∪ B está dada como p(x) : x ∈ E, tal que x ∈ A ∨ x ∈ B. Además, para cada x ∈ E, la función proposicional p(x) se transforma en una proposición, la cual es falsa (definición de disyunción) cuando las proposiciones x ∈ A, x ∈ B son ambas falsas. En los casos restantes, p(x) es siempre verdadera. Se tiene la siguiente equivalencia: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B, y la negación x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A ∧ x ∉ B. La última proposición nos indica cuando un elemento x no pertenece a la unión. Nótese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan: ¬ (p ∨ q) ⇔ [(¬p) ∧ (¬p)]. En la práctica, la unión de los conjuntos A y B, expresada en forma tabular, se obtiene juntando en un solo conjunto los elementos de A y de B. Los elementos que son comunes a los dos conjuntos se es- criben una sola vez. Sean A, B, C tres subconjuntos de E. Se prueba que A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = C ∪ (B ∪ A). Y este resultado común se escribe A ∪ B ∪C. Intersección. Conjuntos disjuntos Definición. Sean A, B subconjuntos de un conjunto E. Se denomina intersección de A y B al subconjunto de E, cuyos elementos pertene- cen a A y a B. A dicho conjunto lo notamos A∩B, es decir, A ∩ B = {x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∈ B}. La función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E, tal que x ∈ A ∧ x ∈ B. Para cada x ∈ E, la función proposicional p(x) se transforma en una proposición que puede ser verdadera o falsa. Es verdadera cuando x ∈ A y x ∈ B. Esto es, x ∈ A ∩ B. En los casos restantes, p(x) es siempre falsa. Se tienen las siguientes equiva- lencias: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B, x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B. La última equivalencia es la negación de la primera y nos muestra las condiciones bajo las cuales un elemento x no pertenece a la intersec- ción. Obsérvese que se ha utilizado una de las leyes de De Morgan: ¬ (p ∧ q) ⇔ [(¬p) ∨ (¬p)]. Recuerda que... Sean A, B los subconjun- tos de Z, definidos como sigue: A = {7k + 3/k ∈ Z}. B = {7m –18/m ∈ Z}. A simple vista, estos conjuntos no parecen ser iguales. La realidad es diferente: estos dos conjuntos son iguales. Un elemento x del conjunto A se escribe como x = 7k + 3; mientras que un elemento y de B se escribe como y = 7m –18, donde k, m ∈ Z son escogidos de manera apropiada. De la igualdad de conjuntos pro- baremos que: A ⊂ B y B ⊂ A. Probemos que A ⊂ B, es decir, todo elemento de A es un elemento de B, que como proposición se escribe: ∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B. En efecto, sea x ⊂ A existe k ∈ Z tal que x = 7k + 3. Escribamos x = 7k + 3 en forma apropiada, de modo que x se escriba como un elemento del conjunto B. Tenemos x = 7k + 3 = 7k + 21 – 18 = 7 (k + 3) – 18 = 7m –18 ∈ B, donde m = k + 3 ∈ Z. Así, x ∈ A ⇒ x ∈ B, o sea, A ⊂ B. Probemos que B ⊂ A. Sea y ∈ B, existe m ∈ Z, tal que y = 7m – 18. Luego, y = 7m – 18 = 7m – 21 +3 y = 7(m – 3) + 3 ∈ B Desequilibrio cognitivo ¿Qué relación existe entre los conectivos lógicos: negación, conjunción, disyunción? Saberes previos ¿Cómo explicas qué es un experimento aleatorio?
- 160. 271 Recuerda que... Definición. Sean A,B dos conjuntos de E. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅. Sean A, B, C tres subconjun- tos de E. Se prueba que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B. A este resultado común se lo escribe A ∩ B ∩ C. Las propiedades más impor- tantes de las operaciones entre conjuntos son: A ∪ B = B ∪ A. A ∪ ∅ = A. A ∪ E = E. A ⊂ B ⇔ A ∪ B A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B Diferencia Definición. Sean A, B subconjuntos cualesquiera de un conjunto re- ferencial E. La diferencia de A y B, que se nota A B, es el subconjunto de E, constituido por aquellos elementos E que pertenecen a A pero que no pertenecen a B. Es decir que A B = {x ∈ E | x ∈ A ∧ x ∉ B}. De la definición de diferencia de los conjuntos A, B se sigue que la fun- ción proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E, tal que x ∈ A ∧ x ∉ B. Para cada x ∈ E, p(x) es una proposición que puede ser verdadera o falsa. Es verdadera cuando x ∈ A y x ∉ B, y es falsa en los casos restantes. Se tiene la siguiente equivalencia: x ∈ A B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∉ B), y su negación, x ∉ A B ⇔ (x ∉ A ∧ x ∈ B). Complemento Definición. Sea A un subconjunto cualesquiera de un conjunto re- ferencial E. El complementario de A, que se nota Ac o también Ac E , es el subconjunto de E, constituido por aquellos elementos de E que no pertenecen a A. Es decir que Ac = {x ∈ E | x ∉ A} = E A. De la definición resulta la siguiente equivalencia: x ∈ Ac ⇔ x ∈ E ∧ x ∉ A. Obsérvese que la función proposicional p(x) sobre E está definida como p(x): x ∈ E ∧ x ∉ A. Ejercicio resuelto En vacaciones, un grupo de estudiantes decide practicar básquetbol y ajedrez. Se inscriben 20 para practicar básquetbol, 16 para practicar ajedrez y 10 para practicar ambos. Determinemos exactamente el nú- mero de estudiantes que practican únicamente básquetbol, ajedrez y el total de estudiantes. Denotemos con A el conjunto de estudiantes que practican básquet- bol. Entonces, n(A) = 20, B el conjunto de estudiantes que practica ajedrez, n(B) = 16. Así, A ∩ B es el conjunto de estudiantes que prac- tican básquetbol y ajedrez. Luego, n (A ∩ B)=10. La estrategia para la solución es expresar los conjuntos A, B como uniones apropiadas de conjuntos disjuntos. Esto es, A = (A B) ∪ (A ∩ B), B = (B A) ∪ (A ∩ B), siendo (A B) y A ∩ B conjuntos disjuntos, al igual que B A y A ∩ B. Entonces, n (A) = n (A B) + n (A ∩ B), de donde n (A) = n (A) – n (A ∩ B) = 20 – 10 = 10. Este resultado muestra que 10 estudiantes practican únicamente básquetbol. De manera similar, n (B) = n (B A) + n (A ∩ B), n (B A) = n (B) – n (A ∩ B) = 16 – 10 = 6, o sea, 6 estudiantes juegan únicamente ajedrez. Como n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) = 20 + 16 – 10 = 26. En consecuencia, el total de estudiantes es 26. Simbología matemática • Sean A, B subconjun- tos cualesquiera, la diferencia de A y B se nota A B. • Sea A un subconjunto cualesquiera de un conjunto referencial E. El complemen- tario de A se nota Ac o también Ac E . • Sea A un conjunto con un número finito de elementos. Este número de elementos se designa como n(A), que se lee número de elementos del conjunto A.
- 161. Taller práctico 272 Sea Eel conjunto referencial formado por las capitales de provincias del Ecua- dor. Consideremos las cuatro siguientes funciones proposicionales sobre E: p(x): x ∈ E es capital de provincia de la Costa, q(x): x ∈ E es capital de provincia de la Sierra, r(x): x ∈ E es capital de provincia del Oriente, s(x): x ∈ E es capital de provincia de las isla Galapagos. Con las proposiciones p, q, r, s, conside- ramos los conjuntos A, B, C, D, definidos como se indica a continuación: A = {x ∈ E | p (x)}, B = {x ∈ E | q (x)}, C = {x ∈ E | r (x)}, D = {x ∈ E | s (x)}. 2 Sean E = {2, 4, 6, 8, 9, 13, 17, 21, 23}, A = {x ∈ E | 2x + 5 ∈ E}, B = {x ∈ E | 4x +1 ∈ E}, C = {x ∈ E | x + 7 ∈ E}. 3 ___________________________________________ ___________________________________________ Verifica la solución del siguiente ejerci- cio. Sea E = {j ∈ ⎥ |j| 400} el con- junto referencial. Consideramos los con- juntos A = {16 m | m ∈ E}, B = {20 n | n ∈ E}, C = {80p | p ∈ E} = A ∩ B. Determina n(A ∪ B). En primer lugar, si j ∈ E, | j| ≤ 400 –400 ≤ j ≤ 400. Luego, el conjunto E es finito, n(E) = 801. Tenemos E = {–400, ···, –2, –1, 0, 1, 2, ···, 400}. Como A ⊂ E, n (A) ≤ n (E) = 801, de manera similar sucede con B ⊂ E, n(B) ≤ 801, n (A ∩ B) ≤ 801. Observamos que el conjunto A está constituido por múltiplos de 16, el conjunto B está constituido por múltiplos de 20, y C, por múltiplos de 80. Más aún, A={16m|m∈ E}={–400,···,–16,0,16···,400}, B = {20n | n ∈ E} = {–400, ···, –20, 0, 20 ···, 400}, C = {80p | p ∈ E} = A ∩ B {–400, –320, –240, –160, –80, 0, 80, 160, 240, 320, 400}, con lo que n (A) = 51, n (B) = 21, –n(A ∩ B) = 11. De la igualdad n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) = 51 + 21 – 11 = 61, mostremos que C = A ∩ B, o sea, C ⊂ A ∩ B y A ∩ B ⊂ C. Notemos que A ∩ B está constituido por múltiplos de 16 y 20. DCCD: M.5.3.9. Realizar operaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de Morgan, en la resolución de problemas. 1 a) Si x ∈ C, existe p ∈ E, tal que x = 80p = 16 · 5p = 20 · 4p, es decir, x = 16j ∈ A con j = 5p, y x = 20 × 4p, o bien x ∈ A ∩ B. Así, x = ∈ C x ∈ A ∩ B. b) Si x ∈ A ∩ B, entonces, x ∈ A y x ∈ B. Luego, x = ∈ A ⇔ ∃m ∈ E, tal que x = 16m, x = ∈ B ⇔ ∃m ∈ E, tal que x = 20n, de donde x = 16m = 20n. De esta igualdad se obtiene 4m = 5n que muestra que 5n es múltiplo de 4, lo que significa que n es múltiplo de 4, es decir que existe r ∈ Z, tal que n = 4r. Consecuentemente, 4m =5n = 5 × 4r = 20r. a) Escribe en forma tabular estos conjuntos e indica el número de sus elementos en cada uno de ellos. a) Escribe en forma tabular los conjuntos A, B y C. b) Halla A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C y A ∪ B ∪ C. Así, x = 16m = 80r o también x = 20n = 20 · 4r = 80r, que prueba x ∈ C. De los literales a) y b) se concluye que C = A ∩ B. ¿Qué operaciones entre conjuntos tuvie- ron que ser aplicadas?
- 162. 273 Trabajen en equipo,indaguen y resuelvan. a) A = {2m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E}, C = {6p | p ∈ E}. a) Tomando en consideración que n (A ∩ T) = 46 y n (A ∩ T ∩ B) = 32, entonces, A ∩ T = [A ∩ TB] ∪ [A ∩ T∩ B], n(BC ∩A∩T) = n(A∩T) – n(A∩T∩B) = 46 – 32 = 14, que significa que de las 46 personas que usan autos particulares y taxis, 14 no utilizan buses. Mediante un razonamiento similar, muestren que de 55 personas que utilizan autos particulares y buses, 23 no utilizan taxis y que de las 85 personas que utilizan buses y taxis, 53 no utilizan autos particulares. b) Puesto que n (A) = 120, n (A∩T)= 46, n(A ∩ B)= 55 y del hecho que los conjuntos A ∩ B (A ∩ B ∩ T), A ∩ T (A ∩ B ∩ T), A∩ B∩ T,A∩ (B∪ T)C sondisjuntos,talque A = [A ∩ B (A ∩ B ∩ T)] ∪ [A ∩ T (A ∩ B ∩ T)] ∪ [A ∩ B ∩ T] ∪ [A ∩ (B ∩ T]C Sugerencia: mediante diagramas de Venn–Euler, identifiquen estos conjuntos. Tenemos n([A∩B(A∩B∩T)])=n(A∩B)–n(A∩B∩T) = 55 – 32 = 23, n([A∩T(A∩B∩T)])=n(A∩T)–n(A∩B∩T) = 46 – 32 = 14. Se sigue que n(A ∩ (B ∪ T)C ) = n(A)–n([A∩ B(A ∩B ∩T)]) – n([A ∩ T(A ∩ B ∩T)]) – n([A ∩ B ∩T). Continúa el proceso. En cada ítem se definen tres subcon- juntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ ⎥ |j| ≤ 500}. Indica en pala- bras qué representa cada conjunto dado. Demuestra que A ∩ B = C y determina el número de elementos de A, B y C. 4 b) A = {5m | m ∈ E}, B = {3n | n ∈ E}, C = {15p | p ∈ E}. a) A={2m| m∈ E},B={3n| n∈ E},C={5p| p∈ E}. En cada ítem se definen tres subcon- juntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ Z ⎮ |j| ≤ 51}. Determina los si- guientesconjuntos:(A∩B)C,(BA)∩ C, C (A ∩ B), (C A) B, al igual que el nú- mero de elementos de cada uno de ellos. 5 b) A={2m| m∈E},B={6n|n∈ E},C={4p|p∈E}. c) A = {4m | m ∈ E}, B = {8n | n ∈ E}, C = {8p | p ∈ E}. El Departamento de Transportes del can- tón XYZ es el encargado de la planifica- ción de su red de transportes. Entre uno de los estudios que realiza, está la identi- ficación del tipo de transporte utilizado: autos particulares, taxis y buses, entre las regiones R1 y R2 de la ciudad. Para ello, se recoge una muestra de las personas en el lugar de destino y se designa con A al conjunto de personas que usa autos particulares, con T al conjunto de usua- rios de taxis, con B al conjunto de usua- rios de buses y con E al conjunto referen- cial. Se obtienen los siguientes resultados: 6 Tipo de transporte A T B A y T A y B B y T A y T y B Número de usuarios 120 65 210 46 55 85 32 Diversidad funcional en el aula La discapacidad no debe asustarnos. Muy por el contrario, la discapacidad puede ser una herramienta positiva, pues puede enseñarnos a valorar la diversidad humana. Trabajo colaborativo p Tabla 9 Archivo editorial, (2020). Dr. H Benalcázar, 2020
- 163. 274 Factorial de unnúmero natural. Binomio de Newton DCCD: M.5.3.10. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial para determinar el binomio de Newton. En esta sección definimos el factorial de un número natural, así como el coeficiente binomial, los cuales aparecen en muchas áreas de la matemática. Definición. Sea n ∈ . El factorial de n se designa con n! y se define como sigue: 0! =1, n! = n 1 ( )! n, si n 1. De la definición del factorial de n, se tiene 0! = 1, 1! = 1 1 ! 1= 0! 1=1 1=1, 2! = 2 1 ! 2 =1! 2 =1 2 =2, 3! = 3 1 ! 3 =2! 3 =1 2 3 = 6, 4! = 4 1 ! 4 =3! 4 =1 2 3 4 =24, ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − × × × × × × × × × × × × × × × n n n n n n n n ! = 1 ! = 2 ! 1 = =1 2 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − × × × × × × × Observemos que si n ≤ 1, n! = 1 × 2 × . . . n. Además, si 1 k n, entonces, × + + × × × × × × × × n k n k k k n ! =1 2 = ! ( 1) ( 2) . Ejercicio resuelto 1. Calculamos 10! 5! . Tenemos ( ) × × × × × × × × × × 10! =1 2 5 6 10 =5! 6 7 8 9 10 . Luego, ( ) × × × × × × × × 10! 5! = 5! 6 7 8 9 10 5! = 6 7 8 9 10 =30240. De manera general, si n ∈ con n ≥1, se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + × × × × × × × × × × n n n n n n n n n n n n 2 ! ! = 1 2 1 2 ! = ! 1 2 ! = 1 2 . Definición. Sean k, n ∈ , tal que 0 ≤ k ≤ n. El coeficiente binomial se denota n k y se define como n k = n k n k n k = ! ! ! . ( ) − × Ejercicios resueltos 1. Calculamos 0 0 . Tomando en consideración que 0! = 1, se tiene 0 0 = 0 0 = 0! 0! 0 0 ! = 1 1 1 =1. ( ) − × × 2. Calculamos 5 3 . Tenemos k = 3 y n = 5. Luego, k ≤ n. De la definición del coeficiente binomial obtenemos: 5 3 ( ) − × × × × 5 3 = 5! 3! 5 3 ! = 3! 4 5 3! 2! = 4 5 2 =10. Saberes previos ¿Cómo explicas qué es el factorial de un número? Desequilibrio cognitivo ¿Conoces el binomio de Newton? ¿Qué tiene que ver con los polinomios? ¿Qué relación tiene con (a + b)n ? Simbología matemática El coeficiente binomial se denota n K . Glosario factorial. De factores. coeficiente. Número o paráme- tro que se escribe a la izquierda de una variable o incógnita y que indica el número de veces que este debe multiplicarse. a cb
- 164. 275 Binomio de Newton Seana, b ∈ con a ≠ 0, b ≠ 0. Como aplicación de la potenciación con exponentes naturales y de las propiedades algebraicas de los números reales, obtenemos estos resultados: Tomando en consideración los coeficientes binomiales, las igualda- des anteriores se expresan del modo siguiente: Para n ∈ con n ≥ 1, los resultados anteriores pueden generalizarse y se tiene el siguiente desarrollo, que lleva el nombre de binomio de Newton en honor a Isaac Newton, el matemático que lo descubrió: donde 1 ≤ k ≤ n. Este desarrollo se expresa también de la siguiente manera: Nótese que se han utilizado los siguientes resultados relativos a los coeficientes binomiales: Este desarrollo puede ser demostrado por inducción. Así, denotamos con P(n) a la siguiente condición en n ∈ con n ≤1: Probamos que P (n) es verdadera para todo n ∈ con n ≤1. Verificamos que P (1) es verdadera. En efecto, para n = 1, se tiene Luego, (a + b)1 = a + b = a1 + b1 . Después, introducimos la hipótesis inductiva P (k) para k ∈ con k ≥ 1, esto es, ( ) ( ) + + + − + + + − − − a b a ka b k k a b kab b = 1 2! . k k k k k k 1 2 2 1 Probamos que P(k + 1) es verdadera. Recuerda que... Definimos el coeficiente factorial como Por ejemplo, para calcular , tenemos k = 3 y n =5. Luego, k ≤ n, y obtenemos Simbología matemática Al coeficiente factorial lo denotamos n k n k n k = ! ! ! . ( ) − × n k n k n k = ! ! ! . ( ) − × n! es divisible por k!(n – k)!. ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + + a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b = 2 , = 3 3 , = 4 6 4 . 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 a+b ( ) n = n 0 an b0 + n 1 an 1 b1 + + n k an k bk + + n n a0 bn , ( ) ( ) ( )( ) + + + − + − − + + + − − − − a b a na b n n a b n n n a b nab b = 1 2! 1 2 3! . n n n n n n n 1 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( )( ) + + + − + − − + + + − − − − a b a na b n n a b n n n a b nab b = 1 2! 1 2 3! . n n n n n n n 1 2 2 3 3 1 n 0 =1, n 1 = n! 1! n 1 ( )! =n, n 2 = n! 2! n 2 ( )! = n n 1 ( ) 2! , n 3 = n! 3! n 3 ( )! = n n 1 ( ) n 2 ( ) 3! , n n–1 = n! n 1 ( )! n n 1 ( ) ( )! = n! n 1 ( )! 1! =n, n n =1. a+b ( ) 2 = 2 0 a2 b0 + 2 1 ab+ 2 2 a0 b2 , a+b ( ) 3 = 3 0 a3 b0 + 3 1 a2 b+ 3 2 ab2 + 3 3 a0 b3 , a+b ( ) 4 = 4 0 a4 b0 + 4 1 a3 b+ 4 2 a2 b2 + 4 3 ab3 + 4 4 a0 b4 . 5 3 , ( ) − × × × × 5 3 = 5! 3! 5 3 ! = 3! 4 5 3! 2! = 4 5 2 =10. 5 3 , ( ) × − n k n k n k = ! ! ! . ( ) × − n k n k n k = ! ! ! . Interdisciplinariedad Matemática e historia Isaac Newton (1642-1727) fue un niño prematuro y su padre murió antes de su nacimiento, a los treinta y siete años. Isaac fue educado por su abuela, quien siempre se preocupó por la delicada salud de su nieto. Newton frecuentó la escuela del lugar y, siendo muy niño, manifestó un interés marcado por los juguetes mecánicos. Newton descubrió los princi- pios del cálculo diferencial e integral. Uno de sus aportes fue el binomio que lleva su nombre. Shutterstock, (2020). 81842473 Tomado de: https://thales.cica.es/rd/Recur- sos/rd97/Biografias/03-1-b-newton.html p Isaac Newton (1643-1727).
- 165. 276 En efecto, porla definición de potenciación de números reales con exponentes naturales, se tiene: Además, por la hipótesis inductiva se verifica Entonces, Puesto que y así sucesivamente. Luego, que muestra que P (k + 1) es verdadera. Conclusión. P (n) es verdadera para todo n ∈ , n ≥ 1. Es decir que Para a = 1, b = 1 el desarrollo del binomio de Newton se expresa como sigue: Si a = 1, b = –1 y tomando en consideración que el binomio de Newton se expresa como sigue: Recuerda la definición Al siguiente binomio (1 + x)5 lo expresamos aplican- do el binomio de Newton. Sean x ∈ con x ≠ 0. Entonces, Simbología matemática • Al binomio de Newton lo denotamos de la siguiente forma: Para a = 2, b = 1, se tiene: + + + + + x x x x x =1 5 10 10 5 . 2 3 4 5 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) + = + + + + + x x x x x x 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! 5 2 3 4 5 = + + + − + + + − − n n n n 3 (2 1) = 2 2 ( 1) 2! 2 ... 2 1. n n n n n 1 2 ( ) ( ) ( )( ) + = + + + +⋅⋅⋅+ + a b a na b n n a b n n n a b nab b –1 2! –1 –2 3! . n n n n n n n –1 –2 2 –3 3 –1 ( ) ( ) + + + − + + + − − − a b a ka b k k a b kab b = 1 2! . k k k k k k 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + a b a b a b a a b b a b = = . k k k k 1 a+b ( ) k+1 = a+b ( ) k a+b ( )=a a+b ( ) k +b a+b ( ) k =a ak +kak 1 b+ k k 1 ( ) 2! ak 2 b2 + +kabk 1 +bk + b ak +kak 1 b+ k k 1 ( ) 21 ak 2 b2 + +kabk 1 +bk =ak+1 +kak b+ k k 1 ( ) 2! ak 1 b2 + +ka2 bk 1 +abk + ak b+kak 1 b2 + k k 1 ( ) 2! ak 2 b3 + +kabk +bk+1 =ak+1 + k+1 ( )ak b+ k k 1 ( ) 2! +k ak 1 b2 + k k 1 ( ) k 2 ( ) 3! + k k 1 ( ) 2! ak 2 b3 + + k+1 ( )abk +bk+1 . ( ) ( ) − + − + + + k k k k k k k k k k 1 2! = 2 2! = 2! = 1 2! , 2 2 k k 1 ( ) k 2 ( ) 3! + k k 1 ( ) 2! = k 3! k2 3k+2+3k 3 = k 31 k2 1 ( )= k+1 ( )k k 1 ( ) 3! , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + − + + + + + − − + a b a k a b k k a b k k k a b k ab b = 1 1 2! 1 1 3! 1 , k k k k k k k 1 1 1 2 2 3 1 ( ) ( ) ( )( ) + + + − + − − + + + − − − − a b a na b n n a b n n n a b nab b = 1 2! 1 2 3! . n n n n n n n 1 2 2 3 3 1 ( ) ( )( ) + + − + − − + + + n n n n n n n 2 =1 1 2! 1 2 3! 1 n = n 0 + n 1 + n 2 + n 3 + + n n–1 + n n . 1 ( ) k = 1, si k es par –1, si k es par , ( ) ( )( ) ( ) ( ) − + − − − − + + − + − − n n n n n n n 0 =1 1 2! 1 2 3! 1 1 . n n 1
- 166. 277 Taller práctico Sea a∈ con a ≠ –1, 0, 1. 6 Trabajen en equipo y resuelvan. Calcula. 3 Trabaja en tu cuaderno. En cada ítem se da a ∈ . Sea n ∈ con n ≥ 1. Aplica el desarrollo del binomio de Newton para expresar an como una suma apropiada de coeficientes bino- miales y potencias. 5 Trabajo colaborativo Verifica su solución. Sea x ∈ R con x ≠ 0. 2 DCCD: M.5.3.10. Calcular el factorial de un número natural y el coeficiente binomial para determinar el binomio de Newton. Verifica que los ejercicios estén bien resueltos. 1 a) Calcula Así, tenemos Sean k, n ∈ , tal que 1 k n, entonces, Luego, b) Calcula . Así, tenemos De manera general, si n ∈, se tiene c) Sea n ∈ con n ≥ 1. Una forma práctica de calcular es la siguiente: Este procedimiento facilita la elaboración de un algoritmo de cálculo de S y evita el cálculo directo de cada factorial. Por ejemplo, El cálculo se inicia en el interior de todos los paréntesis y se extiende hacia el exterior. a) a = 3, (2 + 1)n . b) a = –2, (–1 –1)n . a) Calculen y = (1 + a)4 – (1 – a)5 . b) Desarrollen y, a la que deberán completarla. = 1 + 4a + 6a2 + 4a3 + a4 – (1 – 4a + 6a2 – 4a3 + a4 ). c) Calculen z = (1 + a)5 – (1 – a)5 . d) Verifiquen que z es igual a z = (1 + a)5 – (1 – a)5 = 2a (5 + 10a2 + a4 ). 7! 5! . × × × 7! 5! = 5! 6 7 5! = 6 7 = 42. × × × × × × + × + × × n k n k k k n ! =1 2 = ! ( 1) ( 2) , × + × + × × + × + × × n k k k k n k k k n ! ! = ! ( 1) ( 2) ! =( 1) ( 2) . 6 6 n n = n! n! n n ( )! = n! n! 0! = n! 1 n! =1. + + + + S n =1 2! 3! ! ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + + + − + S n n =1 2 1 3 1 4 1 1 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + S=1 2! 3! 4! 5! 6! = 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 =873. x+ 1 x 2 = x2 +2+ 1 x2 , x 1 x 2 = x2 2+ 1 x2 , x+ 1 x 3 = x3 +3x+ 3 x + 1 x3 , x+ 1 x 4 = x4 +4x2 +6+ 4 x2 + 1 x4 , x 1 x 5 = x5 5x4 1 x + 5 4 21 x3 1 x2 5 4 3 3! x2 1 x3 +5x 1 x4 1 x5 = x5 5x3 +10x 10 x + 5 x3 1 x5 . Sea a ∈ . Escribe el desarrollo del bino- mio de Newton. 4 a) (2a + 1)4 . b) (3a – 1)5 . a) 6!. d) b) × × × 2 2 4 16 . 10 × × × × 8! 1 2 4 20 . ( ) ( ) 3! ! 3! . 3 c) e) 3! 4! 5! 7! 9! 11!. − + − + − c) + a 2 3 . 6 + a 2 3 . 6 . Diversidad funcional en el aula Cuando tenemos un compañero con discapa- cidad auditiva, debemos aprender su lenguaje materno para comunicarnos con él. Archivo editorial, (2020). ( ) × − 6 6 = 6! 6! 6 6 ! = 6! 6! 0! =1. 6 6
- 167. 278 Solución de problemas cotidianos Conjuntosde datos 1. El colegio de bachillerato XYZ decide realizar una encuesta a 150 estudiantes sobre los nue- vos servicios de biblioteca vir- tual del plantel. La tabulación de las respuestas se resumen en la siguiente tabla: Resultados Primero Segundo Tercero Recién graduados Total Conformes 40 25 32 10 107 Inconformes 11 12 8 4 35 Sin opinión 4 3 1 0 8 Total 55 40 41 14 150 p Tabla 10 Sea E el conjunto referencial. Se designa con C al conjunto de estudiantes que respondieron estar conformes con el servicio; con l, al con- junto de estudiantes que respondieron estar inconformes con el servicio; con P, al conjunto de estudiantes de primer año; con S, al conjunto de estudiantes de segundo año; con T, al con- junto de estudiantes de tercer año; y con G, al conjunto de estudiantes recién graduados. Determinemos, entonces, el número de elemen- tos de cada uno de los conjuntos siguientes: a) P, b) S, c) T, d) G, e) P ∪ S, f) (C ∪ I)c , g) (S ∪ T) ∩ I, h) (C ∪ I)c ∩ P. De los resultados mostrados en la tabla, tenemos n(P) = 55, n(S) = 40, n(T) = 41, n(G) = 14. Los conjuntos P y S son disjuntos. Luego, n(P ∪ S) = n(P) + n(S) = 55 + 40 = 95. Los conjuntos C e I son disjuntos. Entonces, n(C ∪ I) = n(C) + n(I). En consecuencia, n((C ∪ I)c ) = n(E) – n(C ∪ I) = n(E) – n(C) – n(I) = 150 – 107 – 35 = 8, que corresponde al número de estudiantes sin opinión. Puesto que (S ∪ T) ∩ I = (S ∩ I) ∪ (T ∩ I), y tomando en consideración que los conjuntos S∩I,T∩Isondisjuntos,n(S∩I)=12,n(T∩I)=8, conloquen((S∪T)∩I)=n(S∩I)+n(T∩I)=20, que representa el número de estudiantes de se- gundo y tercero que están inconformes. Finalmente, n((C ∪ I)c ∩ P) = 4, que es el núme- ro de estudiantes de primer año sin opinión. Practica en tu cuaderno 2. El colegio de bachillerato XYZ de- cide realizar una encuesta a 90 docentes (se incluyen profeso- res contratados, con nombra- miento, directivos e inspecto- res) y 12 empleados sobre los nuevos servicios de la biblioteca virtual del plantel. La tabulación de las respuestas se resume en la siguiente tabla: Sea E el conjunto referencial. Se designa con C al conjunto del personal que respondió estar conforme con el servicio; con I, al conjunto de docentes y empleados que respondieron estar inconformes con el servicio; con Pc, al conjunto de docentes contratados; con N, al conjunto de docentes con nombramiento; con Id, al conjunto de inspectores y directivos; y con G, al conjunto de empleados. a) Determina el número de elementos de cada uno de los conjuntos siguientes: a) Pc, b) N, c) Id, d) G, e) PcUN, f) Cc , g) Ic , h) (N ∩ Id) ∩ C, i) (N ∪ Id) ∩ I, j) (C ∪ I)c ∩ Id, k) (C ∪ I)c ∩ G. b) Expresa cada uno de estos resultados como porcentaje y explica su significado. Shutterstock, (2020). 120460465 Shutterstock, (2020). 199144958 p Jóvenes navegando en la biblioteca virtual. p Estudiantes de bachillerato. Dr. H Benalcázar, 2020 Resultados Contratados Nombramiento Insp.ydirectivos Empleados Total Conformes 5 45 4 6 60 Inconformes 3 15 8 4 30 Sin opinión 4 4 2 2 12 Total 12 64 14 12 102 p Tabla 11 Dr. H Benalcázar, 2020
- 168. 279 Desafíos científicos La matemática ylas profesiones La matemática y los empaques industriales ¿Qué tiene que ver la Matemática con la producción de cartones para embalar productos y, por ende, con las plantas de elaboración de empaques para productos industriales? En realidad, mucho, pues este tipo de productos es diseñado pensando en optimizar al máximo los materiales, pero sin descuidar la calidad y buena presentación. Para lograr esto, se requieren modelos matemáti- cos y simulaciones numéricas. Por ejemplo, mediante la modelación de funciones polinomia- les, se puede predecir, antes de fabricar los empaques, el máximo volumen de un cartón y el mínimo de materiales que se requieren, así como también la resistencia máxima y su espesor mínimo. De la misma manera, con estos modelos se puede definir el tipo de cartón que se utilizará (simple o doble) y sus diferentes gramajes. Shutterstock, (2020). 428963359 Shutterstock, (2020). 561468811 p Ingeniero industrial. Ingeniería en Diseño Industrial Para optar por una Ingeniería en Diseño Industrial, se debe ingresar a una de las universidades reconocidas por la Senescyt. La carrera de Ingeniería en Diseño Industrial ofrece las herra- mientas de diseño necesarias para la generación de productos, y le proporciona al postulante habilidades para crear, innovar, tomar y justificar decisiones que repercutirán en el resultado de los objetos por construirse. El profesional graduado en Ingeniería en Diseño Industrial está en condiciones de manejar la tecnología adecuada para diseñar mo- delos complejos (por ejemplo, superficies y sólidos en 3D), realizar simulaciones digitales y desarrollar metodologías propias durante el proceso de diseño. Además, el ingeniero en diseño industrial apren- de a seleccionar la metodología óptima para cada proceso de diseño, así como a calcular honorarios y presupuestos, a negociar contratos, a comunicar ideas y a observar procesos ergonómicos y de seguridad industrial, habilidades que le servirán para motivar y potenciar el ta- lento humano. Si te interesa esta carrera, puedes seguirla en universidades reconoci- das por el Senescyt. Puedes revisar información en http://www.epn.edu.ec/
- 169. 280 TIC Representación de funcionesen GeoGebra 1. Una vez que estás en el programa GeoGebra, en la ventana Apariencias, de la derecha, selecciona la opción Álgebra y Gráficos. 2. Con doble clic, en Vista Gráfica, selecciona Cuadrícula. La cuadrícula nos facilitará la vi- sualización de la gráfica. 3. Luego, en la barra de entrada, ingresa la función f(x)=x^2 para obtener la gráfica. Para elegir las características de la gráfica, como color o grosor de la línea, y nombre, colócate sobre la gráfica, haz clic derecho y elige Propiedades del Objeto. Aquí puedes cambiar el color de los ejes de coordenadas y la nu- meración. 4. Si te posicionas sobre la gráfica y haces clic sobre ella, sin soltar el botón, podrás moverla y obtener funciones afines, por ejemplo, f(x)=x^2+2, f(x)=x^2-4. De esta manera, com- prenderás el comportamiento de las funciones. Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra
- 170. 281 Representación de unpolinomio de grado 3 1. Una vez que estás en el pro- grama GeoGebra, en la barra de entrada, ingresa la función v(- t)=3t-t^2+t^3,t≥0 y haz clic. En la pantalla, ahora puedes mirar la gráfica de una función polino- mial de grado 3. 2. Sin embargo, para mirar mejor la gráfica, es preciso adecuar los valores del eje y. Para esto, colócate sobre la or- denada, haz clic derecho y elige Eje X: Eje Y. Aparecen varias op- ciones: el primer número corres- ponde a los valores para el eje x y el segundo número, a los del eje y. Asegúrate de que x esté con valores de 1 en 1 y y con valores de 50 en 50. Con un nuevo clic se ejecutan estas posiciones y ya podrás mirar la gráfica con mayor amplitud. 3. Por otra parte, para encontrar el máximo valor de la función po- linomial, selecciona la segunda opción y escoge Extremos Rela- tivos. En esta función, el máximo es indefinido y así lo muestra la Vista Algebraica. Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra Archivo editorial, (2020). Geogebra
- 171. 282 Desafíos y proyectosmatemáticos Tema: Los gases contaminantes y el cambio climático Shutterstock, (2020). 88550854 Justificación El cambio climático en la Tierra es evidente y so- mos los seres humanos los causantes. Su estu- dio es una tarea multidisciplinar que requiere de conocimientos de física, química, ingeniería, geología, economía y por supuesto matemáti- ca. La matemática es necesaria para estudiar, en- tender y buscar soluciones al fenómeno del cambio climático. Sin la utilización de la matemática, no se- ría posible la obtención de resultados que adviertan la necesidad de cambios en el modelo de vida, en el sistema económico y en el uso de energías alternativas. Los científicos nos han hecho comprender que la emisión de gases, en particular la de CO2 , está provocando su acumulación y propician- do un incremento de la temperatura media del planeta. Actividades En el año 1896, un científico sueco fue el primero en hablar del efecto invernadero, como resultado de las emisiones de dióxido de carbono en el aire. La quema de combustibles fósiles produce 5,4 millones de toneladas de carbono al año, aproximadamente. Estas emisiones son absorbidas por la atmósfera y por los océanos. En la tabla, se muestra el aumento de la temperatura global, en grados Celsius, que se pro- nostica para la Tierra, considerada a partir de 1980 (Chapov, 2013). A partir de esta información: a. Representen gráficamente los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. b. Determinen la expresión algebraica (función lineal) que modeliza estos datos. c. Realicen el gráfico de la función lineal obtenida. d. Interpreten la pendiente y la ordenada al origen, en el contexto del problema. e. Predigan la temperatura estimada para los años 2014, 2030 y 2110. Conclusiones Analizar, con los estudiantes, los resultados logrados y evaluar la nece- sidad urgente de involucrarnos en la problemática para, de esta ma- nera, establecer un plan de acción. Confirmar, con los estudiantes, el rol de la matemática como lenguaje universal, y sus aplicaciones en la resolución de problemas y en el análisis y explicación de fenómenos. Tomar en cuenta que el estudio de la función lineal es solo un inicio frente a todas las posibilidades de análisis matemático que pueden hacerse, a propósito de problemas globales como el cambio climático. Recursos • Lápices • Cuaderno para realizar los cálculos respectivos • GeoGebra para el trazo de la función lineal Objetivos • Comprender la proyec- ción creciente que tiene la emisión de gases y su consecuente necesidad de mitigación. • Analizar la función lineal que modeliza la realidad y su proyección para los próximos años. • Comprender el fenómeno del cambio climático para implementar políticas de remediación. Shutterstock, (2020). 347137358 p Humo del tubo de escape de un auto. Año Aumento de temperatura (°C) 1980 0 2000 0,42 2020 0,84 2040 1,26 2060 1,68 2080 2,10 Año Aumento de temperatura (°C) 1980 0 2000 0,42 2020 0,84 2040 1,26 2060 1,68 2080 2,10 p Tabla 12 Chapov, 2013. p Efecto del cambio climático.
- 172. 283 En síntesis Álgebrayfunciones Estadística yProbabilidad Shutterstock, (2020). 160223924 Shutterstock, (2020). 153149813 Polinomios realescon coeficientes en Probabilidad • Experimen- tos y eventos • Concepto de probabilidad • Axiomas de probabilidad • Uso de TIC • Operaciones con sucesos • Unión, intersección, diferencia y complemento • Leyes de De Morgan • Factorial de un número • Coeficiente binomial • Binomio de Newton • Demostra- ción del binomio de Newton • Teorema del residuo • Raíces de polinomios • División de polinomios de grado menor o igual a 4 • Aplicación de los polinomios en la informáti- ca: sistemas de numeración • Modelos matemáticos con funciones polinomiales pBolsa de valores. p Fábrica de hierro y acero.
- 173. Evaluación sumativa 284 M.5.3.9. Realizaroperaciones con sucesos: unión, intersección, diferencia y complemento, leyes de Morgan, en la resolución de problemas. xxxxxx En cada ítem se definen tres subcon- juntos A, B, C del conjunto referencial E = {j ∈ ⎮ |j| ≤ 500}. En palabras, indi- ca qué representa cada conjunto dado. Demuestra que A ∩ B = C y determina el número de elementos de A, B y C. M.5.1.40. Aplicar las operaciones entre polino- mios de grados ≤ 4, esquema de Hörner, teorema del residuo y sus respectivas propiedades para factorizar polinomios de grados ≤ 4 y reescribir los polinomios. 4 Heteroevaluación a) d(x) = 4x3 – 8, ∀x ∈ . C(x) = 3x + 9, ∀x ∈ . r(x) = 2x – 12, ∀x ∈ . ¿Cuál es el polinomio D(x)? a) A = {3 m | m ∈ E}, B = {7 n | n ∈ E}, C = {21 p | p ∈ E}. b) A = {2 m | m ∈ E}, B = {11 n | n ∈ E}, C = {22 p | p ∈ E}. b) D(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1, d(x) = x2 + 1, C(x) = x2 – 4. ¿Cuál es el polinomio del residuo r(x)? Completa el término que se pide en cada división, en donde el polinomio D(x) es el dividendo, d(x) es el divisor, C(x) es el cociente y r(x) es el residuo. 2 a) P(x) + Q(x). b) P(x) + R(x). c) Q(x) · R(x). d) P(x) · Q(x). e) P(x) : R(x). f) Q(x) : R(x). g) El resto de la división de P(x) por x – 1. h) P(–1). i) P(–2) + [Q(–2)]². Determina el resto sin necesidad de hacer la división: 3 M.5.3.10. Calcular el factorial de un número na- tural y el coeficiente binomial para determinar el binomio de Newton. Calcula. 5 a) 2! + 4! + 6! + 8! a) + − 1 2 . 3 2 . 5 5 a a . b) + − 1 2 . 3 2 . 5 5 a a . Aplica el proceso de la división y deter- mina el cociente c de dividir p(x) para q(x). 7 Sea a R. Escribe el desarrollo del bi- nomio de Newton. 6 a) x + 1. b) x – 1. c) x – 2. d) x + 3. e) 2x + 1. a) x – 2. b) x + 3. c) 2x – 1. d) 2x + 1. e) x + 7. Dados los polinomios: P(x) = 4x² – x + 2; x ∈ . Q(x) = x³ + x – 1; x ∈ . R(x) = 2x – 1, x ∈ . Halla: 1 b) + + + 1 2! 1 3! 1 4! 1 5! . i. p x x x q x x p x x x q x x ( ) =2 6, x , ( ) =2 1, x . ( ) =3 7 5, x , ( ) =3 1, x . 2 2 − + ∀ ∈ + ∀ ∈ − − ∀ ∈ − ∀ ∈ ii. p x x x q x x p x x x q x x ( )=2 6, x , ( )=2 1, x . ( )=3 7 5, x , ( )=3 1, x . 2 2 − + ∀ ∈ + ∀ ∈ − − ∀ ∈ − ∀ ∈ a) (x3 – 3x2 + 2) (x + 3) . b) (x4 – 6x3 + 3x2 – 1) (x + 2) (3x3 – x + 5) (x – 2) c)
- 174. 285 Coevaluación Siempre A vecesNunca En los trabajos colaborativos todos aportamos con ideas sustentables para determinar la solución de las situaciones planteadas. Cuando trabajamos en equipo aprendemos más y mejor. a) De esta unidad, ¿qué tema te pareció más importante? ¿por qué? ____________________________________________________________________________________________________ b) ¿Crees que te servirán estos conocimientos en cursos superiores? ____________________________________________________________________________________________________ Autoevaluación Siempre A veces Nunca Resuelvo operaciones entre polinomios de forma rápida y precisa. Calculo el factorial de un número. Aplico el binomio de Newton para resolver problemas y ejercicios. Realizo operaciones con sucesos empleando la unión, la intersección. Utilizando el teorema del resto, deter- mina el residuo sin efectuar la división de p(x) para q(x). 8 9 El coeficiente binomial de 6 3 , si tene- mos k = 3 y n = 6 , y k ≤ n es: 10 El siguiente binomio (1 + x)5 para x ∈ con x ≠ 0, aplicando el binomio de Newton, se expresa de la siguiente manera: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 9 a) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) + = + + + + + = + + + x x x x x x x x x 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! 1 1 5 10 5 . 5 2 3 4 5 2 4 b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ( ) + = + + + + = + + + + 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5– 4! 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ( ) + = + + + + = + + + + 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5– 4! 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) + = + + + + + = + + + + 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! 1 5 10 10 5 . 5 2 3 4 5 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x c) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ( ) + = + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5– 4! 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) + = + + + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! . 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + = + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 4! 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x a) b) 6! 3! 6–3 ! . 5! 3! 5–3 ! . 4! 3! 4–3 ! . 3! 3! 3–3 ! . ( ) ( ) ( ) ( ) 6! 3! 6–3 ! . 5! 3! 5–3 ! . 4! 3! 4–3 ! . 3! 3! 3–3 ! . ( ) ( ) ( ) ( ) 6! 3! 6–3 ! . 5! 3! 5–3 ! . 4! 3! 4–3 ! . 3! 3! 3–3 ! . ( ) ( ) ( ) ( ) 6! 3! 6–3 ! . 5! 3! 5–3 ! . 4! 3! 4–3 ! . 3! 3! 3–3 ! . ( ) ( ) ( ) ( ) c) d) x x x x q x x )=2 3 2 2, x , ( )= 1, x . 3 2 + − + ∀ ∈ − ∀ ∈ p x x x x q x x ( )=2 3 2 2, x , ( )= 1, x . 3 2 + − + ∀ ∈ − ∀ ∈ ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + = + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 4! 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) + = + + + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! . 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) + = + + + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 5–3 4! . 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 4 5 6 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) + = + + + + + = + + + + + 1 1 5 5 5–1 2! 5 5–1 5–2 3! 5 5–1 5–2 4! 1 1 5 10 10 5 . 5 2 3 5 2 3 4 5 x x x x x x x x x x d)
- 175. 286 Respuestas a lasevaluaciones sumativas Unidad 1 (páginas 78 - 79) 1. a) S = 2(x2 + 1), S = 12 5 . b) S = –x2 + 7x – 5, S = –242. 4. a) A B= 1 3 ,0 . A B= 10,9 ] ]. A B= 1 3 ,0 . A B= 10,9 ] ]. b) 6. a) x = 1 2 , y = –1 2 b) x = 0, y = 2 3. 7. a) El sistema de ecuaciones no tiene solución. b) a = –1 041 9 , b = –57 90 . 8. Media aritmética = 67,06 Mediana = 67,5 Moda = 68,3 9. b 10. b 11. d 12. a) Respuesta A = 2 b) Respuesta C = 1 c) Respuesta C = 2 4. a) F(–1) = –5, F(1) = 5, pendiente m = 5, F(x) es creciente. b) F(–1) = 3, F(1) = 1, pendiente m = –1, F(x) es decreciente. c) F(–1) = –3 4 , F(2) = –9 2 , pendiente m = –5 4 , F(x) es decreciente. 5. a) fog ( ) x ( ) = f g x ( ) ( )= f x 3 2 =2 x 3 2 +3= x, x . C(x)= C0x, si 0 x 50, C0x 0,01x, si 50 x 100, C0x 0,15x si x 100. C(x)= 2x, si 0 x 50, 2x 0,01x, si 50 x 100, 2x 0,15x si x 100. fog ( ) x ( ) = f g x ( ) ( )= f x 3 2 =2 x 3 2 +3= x, x . C(x)= C0x, si 0 x 50, C0x 0,01x, si 50 x 100, C0x 0,15x si x 100. C(x)= 2x, si 0 x 50, 2x 0,01x, si 50 x 100, 2x 0,15x si x 100. 6. a) fog ( ) x ( ) = f g x ( ) ( )= f x 3 2 =2 x 3 2 +3= x, x . C(x)= C0x, si 0 x 50, C0x 0,01x, si 50 x 100, C0x 0,15x si x 100. C(x)= 2x, si 0 x 50, 2x 0,01x, si 50 x 100, 2x 0,15x si x 100. b) fog ( ) x ( ) = f g x ( ) ( )= f x 3 2 =2 x 3 2 +3= x, x . C(x)= C0x, si 0 x 50, C0x 0,01x, si 50 x 100, C0x 0,15x si x 100. C(x)= 2x, si 0 x 50, 2x 0,01x, si 50 x 100, 2x 0,15x si x 100. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ = u v w u w v w u w v u v v w u w u w u u w w v w u u v v u v v w u w 15 2 . 10,5 2 . 22,75. 2 3 2 3 2 6 . 4 67,5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ = u v w u w v w u w v u v v w u w u w u u w w v w u u v v u v v w u w 15 2 . 10,5 2 . 22,75. 2 3 2 3 2 6 . 4 67,5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ = u v w u w v w u w v u v v w u w u w u u w w v w u u v v u v v w u w 15 2 . 10,5 2 . 22,75. 2 3 2 3 2 6 . 4 67,5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ = u v w u w v w u w v u v v w u w u w u u w w v w u u v v u v v w u w 15 2 . 10,5 2 . 22,75. 2 3 2 3 2 6 . 4 67,5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ = ⋅ + ⋅ = − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − + ⋅ − = ⋅ − ⋅ =− + ⋅ − = ⋅ − ⋅ + − ⋅ = u v w u w v w u w v u v v w u w u w u u w w v w u u v v u v v w u w 15 2 . 10,5 2 . 22,75. 2 3 2 3 2 6 . 4 67,5. 2. a) b) c) d) 3. a) − = + − u v u v ( ). 7. a 8. a 9. d C(48) = $96. C(51) = $101,49. C(100) = $199. C(150) = $277,5. C(200) = $370. Unidad 3 (páginas 174 - 175) 1. a) Falso. b) Verdadero. c) Falso. d) Falso. 2. a) a = 25 000; b = 1 375; c = 62,5. b) P(t)=25000+1375(t–1950) + 62,5(t – 1 950)2 . Para t ≥ 1 950, t – 1 950 ≥ 0, si 1 950 ≤ t1 t2 , resulta 0 ≤ t1 – 1 950 ≤ t2 – 1 950, 0 ≤ (t1 – 1 950)2 ≤ (t2 – 1 950)2, de donde P(t1) P(t2). c) P(2007) = 306 437,5; P(2020) = 427 500. 5. a) ( ) ( ) ( ) = = − = − u u u 40,63 . 46,38 . 17,11 . b) c) 6. Perímetro: + 4 2 29. 7. b) 4 3 , 4 3 , 3 4 , 3 4 , 8. a) −1 2 , 3 4 9. c) , 1 2 , 1 2 , 3 4 , 3 4 10. d) x = 20. 11. d) x = 10. Unidad 2 (páginas 118 - 119) 1. a) α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. ángulo de α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. + α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. con la hori- zontal 90° + α con: b) β α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − = − = − = = ⋅ ∀ ∈ ≠ u v u w v w sen u v u v . . 15 2 2 , 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 . . 0 , con 0. Ángulo que forma α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. – α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. con la horizontal 90° – β con: α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. α ( ) ( ) + = + = + + = = = v w sen u v w u v u w 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 , . ( ) 15 2 2 , . 0, . 15 2 2. β α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − = − = − = = ⋅ ∀ ∈ ≠ u v u w v w sen u v u v . . 15 2 2 , 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 . . 0 , con 0. Unidad 4 (páginas 214 - 215) 1. a) Ecuación vectorial: u t t x t y t t y ( ) (0, 1), t . ( ) 0 ( ) 1, t . . = − ∈ = = − ∈ ∀ ∈ Ecuaciones paramétricas: u t t x t y t t y ( ) (0, 1), t . ( ) 0 ( ) 1, t . . = − ∈ = = − ∈ ∀ ∈ Ecuación cartesiana: x = 0, u t t x t y t t y ( ) (0, 1), t . ( ) 0 ( ) 1, t . . = − ∈ = = − ∈ ∀ ∈ b) Ecuación vectorial: u t t t x t t y t t x y x y ( ) ( 3 2, 1), t . ( ) 3 2 ( ) 1, t . ( , ) tal que 3 1 0. 2 = − − + ∈ =− − = + ∈ ∈ + − = Ecuaciones paramétricas: u t t t x t t y t t x y x y ( ) ( 3 2, 1), t . ( ) 3 2 ( ) 1, t . ( , ) tal que 3 1 0. 2 = − − + ∈ =− − = + ∈ ∈ + − = Ecuación cartesiana: u t t t x t t y t t x y x y ( ) ( 3 2, 1), t ( ) 3 2 ( ) 1, t . ( , ) tal que 3 1 2 = − − + ∈ =− − = + ∈ ∈ + − u t t t x t t y t t x y x y ( ) ( 3 2, 1), t . ( ) 3 2 ( ) 1, t . ( , ) tal que 3 1 0. 2 = − − + ∈ =− − = + ∈ ∈ + − = c) Ecuación vectorial: u t t t x t t y t ( ) 1 3 2, 2 1 , t . ( ) 2 1 3 , ( ) 1 2 t, t . = + − ∈ = + =− + ∈ α α α α ( ) ( ) = = ⋅ ∀ ∈ ≠ u v u v . 0 , con 0. α α α ( ) = = ⋅ ∀ ∈ ≠ v u v . 0 , con 0. c) β α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − = − = − = = ⋅ ∀ ∈ ≠ u v u w v w sen u v u v . . 15 2 2, 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 . . 0 , con 0. β α α α ( ) ) ( ) − = − = − = − = = ⋅ ∀ ∈ ≠ u w w v u v . 15 2 2, 41 20 2 , 5 2 2 41 20 2 . . 0 , con 0. d) t = 2020,236 82 ó t = 2020 mes de marzo. 3. Por definición ⋅ = + = + = ⋅ A B a a b b a a b b B A 1 2 1 2 2 1 2 1 4. a) λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2. λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2. b) λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2. λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2. c) λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2 λ λ λ λ λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = + − = − = − + = − + + = u v w u v u v w u v u xv u xv w 2 1, 3 ; 2 ; para = 4. 2 3 5, 1 ; 2 3 ; para = 1 5 . 3 3 x,3 x ; 3 = 2.
- 176. 287 Ecuaciones paramétricas: ut t t x t t y t x y x y ( ) 1 3 2, 2 1 , t . ( ) 2 1 3 , ( ) 1 2 t, t . ( , ) tal que 3 2 6 2 1. 2 = + − ∈ = + =− + ∈ ∈ − = + Ecuación cartesiana: u t t t x t t y t x y x y ( ) 1 3 2, 2 1 , t . ( ) 2 1 3 , ( ) 1 2 t, t . ( , ) tal que 3 2 6 2 1. 2 = + − ∈ = + =− + ∈ ∈ − = + u t t t x t t y t x y x y ( ) 1 3 2, 2 1 , t . ( ) 2 1 3 , ( ) 1 2 t, t . ( , ) tal que 3 2 6 2 1. 2 = + − ∈ = + =− + ∈ ∈ − = + 2. a) x y x y u t t t u a a ( , ) tal que 2 ( ) (0, 5) 1, 3 2 , . ( ) (0,1) a(1, 2), . 2 ∈ − =− = − + ∈ = + − ∈ b) x y x y u t t t u a a ( , ) tal que 2 ( ) (0, 5) 1, 3 2 , . ( ) (0,1) a(1, 2), . 2 ∈ − =− = − + ∈ = + − ∈ x y x y u t t t u a a ( , ) tal que 2 ( ) (0, 5) 1, 3 2 , . ( ) (0,1) a(1, 2), . 2 ∈ − =− = − + ∈ = + − ∈ c) 3. a) m = 0; y = 1, x∈. b) m = 1; (x, y) ∈2 tal que y = x. Unidad 5 (páginas 246 - 247) 1. S x y S x S S : 2, . : y 2, . . 1 2 1 2 = ∀ ∈ = ∀ ∈ ⊥ Las rectas son ortogonales: S x y S x S S : 2, . : y 2, . . 1 2 1 2 = ∀ ∈ = ∀ ∈ ⊥ x y x y x y x y , tal que 1 1 5 2 0. , tal que 1 1 5 2 4 4 5 . 2 2 ( ) ( ) ∈ − − = ∈ − + − = − + x y x y x y x y , tal que 1 1 5 2 0. , tal que 1 1 5 2 4 4 5 . 2 2 ( ) ( ) ∈ − − = ∈ − + − = − + x y x y x y x y , tal que 1 1 5 2 0. , tal que 1 1 5 2 4 4 5 . 2 2 ( ) ( ) ∈ − − = ∈ − + − = − + b) 2. a) Unidad 6 (páginas 284 - 285) 1. a) P(x)+Q(x)=x3+4x2+1, tR. b) P(x)+R(x)=x2+x+1, tR. c) Q(x)•R(x)=2x4–x3+2x2–3x+1, tR. d) P(x)•Q(x)=4x5–x4+6x3–5x2+ 3x–2, tR. 5. a) Q h h h a m Q Q Q Q Q d m Q h Q h m h h h ( ) 1 2,5(2,5 ) , 0, = 2,5, 1 6,25 0,16. (0,05) 0,156 862 745 (0,002) 0,159 872 102 3 (0,000 1) 0,159 993 600 3 (0,000 04) 0,159 997 44 (0,000 001) 0,159 999 936 ( , ( )) ( ) 6,25 2,5 0; 0. =− + ≠ =− =− =− =− =− =− =− = − = + → → 6. a) secante 7. c) y = –3x + 5, xR. Q h h h h h m Q Q Q Q Q d m Q h Q h m h h h ( ) 1 , 0, 1, 0. (0,05) 0,047 619 047 6 (0,002) 0,001 996 007 98 (0,000 1) 0,000 099 99 (0,000 04) 0,000 039 99 (0,000 001) 0,000 000 999 9 ( , ( )) ( ) 1 0; 0. = + ≠ ≠− = = = = = = = − = + → → Q h h h a m Q Q Q Q Q d m Q h Q h m h h h ( ) 1 2,5(2,5 ) , 0, = 2,5, 1 6,25 0,16. (0,05) 0,156 862 745 (0,002) 0,159 872 102 3 (0,000 1) 0,159 993 600 3 (0,000 04) 0,159 997 44 (0,000 001) 0,159 999 936 ( , ( )) ( ) 6,25 2,5 0; 0. =− + ≠ =− =− =− =− =− =− =− = − = + → → Se aproxima a m = –0,16 b) Q h h h h h m Q Q Q Q Q d m Q h Q h m h h h ( ) 1 , 0, 1, 0. (0,05) 0,047 619 047 6 (0,002) 0,001 996 007 98 (0,000 1) 0,000 099 99 (0,000 04) 0,000 039 99 (0,000 001) 0,000 000 999 9 ( , ( )) ( ) 1 0; 0. = + ≠ ≠− = = = = = = = − = + → → b) (P–Q)2(t)=9–18t+33t2–24t3+16t4, tR. (P2–2PQ+Q2)(t)=9–18t+33t2–24t3 + 16t4, tR. c) [(P + Q)2 – (P – Q)2](t) = 12t – 56t2 + 32t3, tR. (4PQ)(t) = 12t – 56t2 + 32t3, tR. 9. b) 5 cm. 10. a) 10 u2. 11. b) grado (P) = 3. 12. a) –P(t)=–1–2t+3t2. 4. Opuestos aditivos –P, –Q dados como: (–P)(t)= –2 + 4t + 9t2 , t∈R, (–Q)(t)= 1 – 2t2 + t4 , t∈R, a) (P + Q)(t) = 1 + 4t – 7t2 + t, t∈R. b)(P–Q)(t)=3–4t–11t2 +t4 , t∈R. c)(Q–P)(t)=–3+4t+11t2 –t4 , t∈R. 3. a) Recta que pasa por (1/3,0) y es paralela al vector (0, 1). Recta que pasa por (0, 1/a) y es paralela al vector (1, –3). x L y y x y a L a x x 1 3 , y . 1 3 ,0 (0,1) 3 1 . 0, 1 (1, 3) = ∀ ∈ = + ∈ + = = + − ∈ b) x L y y x y a L a x x 1 3 , y . 1 3 ,0 (0,1) 3 1 . 0, 1 (1, 3) = ∀ ∈ = + ∈ + = = + − ∈ 5. a) grado (P) = 2 b) Si P(t) = a + bt + ct2, entonces a = 0, b = 5, c = –8. c) P(t) = t(5 – 8t), P(3,5) = 3,5(5 – 8(3,5)) = –80,5. 6. (2P–3Q)(t)=20–8t–5t2, tR. (2P – 3Q)(1) = 7. 7. a) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = ≠ + − = + + ≠ P a h P a h h P a h P a h a h h –5; 0. –3 4 ; 0. b) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = ≠ + − = + + ≠ P a h P a h h P a h P a h a h h –5; 0. –3 4 ; 0. 8. a) (P2 – Q2)(t) = 9 – 12t + 3t2 + 8t3 – 16t4, tR. (P + Q)(P – Q)(t) = 9 – 12t + 3t2 + 8t3 – 16t4, tR. e) P(x)–R(x)=4x2–3x–1, tR. f) Q(x)–R(x)=x3–x, tR. g) Resto de la división: 5. + = + + ≠ x x x x x x –4 2 –1 4 3 5 –1 , 1. 2 h) P(–1) = 7 i) P(–2) + [Q(–2)]2 = 141. 2. a) D(x)=12x4+36x3–22x–84, tR. b) r(x)=x+3, tR. 3. a) –52. b) 75. c) 27. 4. a) A conjunto de múltiplo de 3 de elementos de E. B conjunto de múltiplo de 7 de elementos de E. C conjunto de múltiplo de 21 de elementos de E. Ten presente x∈A ∩ B, x∈A o sea x = 3m con m∈E, x∈B con x = 7n, n∈E. Luego 3m = 7n. Esta igualdad es verdadera si m es múltiplo de 7 y n múltiplo de 3, así x es múltiplo de 21. b) A conjunto de números pares de elementos de E. B conjunto de números múlti- plos de 11 de elementos de E. C conjunto de números múlti- plos de 22 de elementos de E. De la igualdad 2m = 11n con m, n∈E, se sigue que m múltiplo de 11 y n par, o sea 11n es múlti- plo de 22. 5. a) 41 066; 2! + 4! + 6! + 8! = 2(1 + 12(1 + 30(1 + 56))). b) 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! = 1 2 1+ 1 3 1+ 1 4 1+ 1 5 = 43 60 . 7. i) b) x – 1 ii) a) x – 2 8) d) 5. 9) a) 6! 3!(6 – 3)! 10) c) a+ 1 2 5 = a5 + 5 2 a4 + 5 2 a3 + 5 4 a2 + 5 16 a+ 1 32 . a+ 3 2 5 = a5 + 15 2 a4 + 45 2 a3 – 135 4 a2 + 405 16 a– 243 32 . a+ 1 2 5 =a5 + 5 2 a4 + 5 2 a3 + 5 4 a2 + 5 16 a+ 1 32 . a+ 3 2 5 =a5 + 15 2 a4 + 45 2 a3 – 135 4 a2 + 405 16 a– 243 32 . 6. a) b) 4. a) b) h h h h h h 0 ... 0 ... 3 2 1 3 2 1 h h h h h h 0 ... 0 ... 3 2 1 3 2 1 X0 – h1 X0 – h2 X0 – h3 X0 X0 + h3 X0 + h2 X0 + h1 X0 X0 – h1 X0 – h2 X0 – h3 X0 X0 + h3 X0 + h2 X0 + h1 X0
- 177. Bibliografía 288 Benalcázar, H. (2008).Curso elemental de Geometría. Quito: PDF publi- cado por el autor en la Facultad de Ingeniería, Universidad Central del Ecuador. ------------------- (2012a). Matemática para Bachillerato. Tomo 2 y tomo 3. Quito: Preprinter (por publicarse). Castro, L. (2013). Matemática. Quito: Archivo editorial C. Ltda. Galindo, E. (2015). Estadística, métodos y aplicaciones. Quito: Procien- cia Editores. Gómez, R., Wills, D., Guarin, H. y Londoño, N. (1976). Matemática moderna estructurada (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Norma. Lara, J. y Benalcázar, H. (1991). Fundamentos de análisis matemático (Vols. I-III). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador. Leithold, L. (1994). El cálculo (7.a ed.). México D. F.: Grupo Mexicano Mapasa, S. A. de C. V. Negro, A., Pérez, S., Cacho, S. y Thio de Pol, S. (1977). Cerca de la Mate- mática (3). Madrid: Editorial Alhambra. Pérez, J., Caro, V. y Obonaga, E. (1986). Matemática (Vols. 1-6). Bogotá: Editorial Pime Editores S. A. Sáenz, R., Lara, J., Benalcázar, H. y León, H. (2003). Matemática bási- ca (2.a ed.). Quito: Editorial Centro de Matemática, Universidad Central del Ecuador. Zemansky, M. (1967). Introducción al álgebra y análisis moderno. Barcelona: Editorial Montaner y Simón, S. A. Webgrafía Funciones como modelos matemáticos (s. f.), [en línea]. Departamento de Matemática de la Universidad de Sonora. Disponible en: http:// www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/4-funciones-mode- los-jl.pdf [2016, 8 de junio]. Matemática. Función cuadrática, parábolas y ecuaciones de segundo grado (2014), [en línea]. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Mi- nisterio de Educación. Disponible en: http://www.buenosaires.gob.ar/ areas/educacion/curricula/pdf/matematica_cuadratica_13_06_14. pdf [2016, 7 de abril]. Probabilidad (s. f.), [en línea]. Instituto Nacional de Tecnologías Edu- cativas y de Formación del Profesorado. Disponible en: http://sauce. pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T02.pdf [2016, 7 de junio].
- 178. Bachillerato General Unificado Matemática Primercurso P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 179. Adrián Paenza Uno puedehacerse pasar por adivino o por una persona muy entrenada en predecir el futuro o aventurar lo que va a pasar en la Bolsa de Valores: basta con aprovechar la rapidez con la que crecen las potencias de un número. Este es un ejemplo muy interesante. Supongamos que tenemos una base de datos de 128 000 personas. (Por las dudas, no crean que sean tantas, ya que la mayoría de las grandes empresas las tienen, las compran o las averiguan). De todas formas, para lo que quiero invitarles a pensar, podríamos empezar con un número más chico, e igualmente el efecto sería el mismo. Supongamos que uno elige alguna acción o algún commodity cuyo precio cotice en la Bolsa. Digamos, para fijar las ideas, que uno elige el precio del oro. Supongamos también que ustedes se sientan frente a su computadora un domingo por la tarde. Buscan la base de datos que tienen y seleccionan las direcciones electr nicas de todas las personas que allí figuran. Entonces, a la mitad de ellas (64 000) les envían un mail diciéndoles que el precio del oro va a subir al día siguiente (lunes). Y a la otra mitad les envían un mail diciéndoles lo contrario: que el precio del oro va a bajar. (Por razones que quedarán más claras a medida que avance con el ejemplo, excluiremos los casos en los que el oro permanece con el precio constante en la apertura y el cierre.) Cuando llega el lunes, al finalizar el día, el precio del oro o bien subió o bien bajó. Si subió, hay 64 000 personas que habrán re- cbido un mail de ustedes diciéndoles que subiría. Claro, qué im- potancia tendría. Haber acertado un día lo que pasaría con el oro iene poca relevancia. Pero sigamos con la idea. El lunes a la noche, de las 64 000 personas que habían recibido su primer mail diciéndoles que el precio del oro subiría, ustedes seleccionan la mitad (32 000) y les dicen que el martes volverá a subir. Y a la otra mitad, los otros 32 000, les envían un mail diciéndoles que va a bajar. Cómo conseguir un contrato como consultor [...] P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 180. Llegado el martespor la noche, ustedes están seguros que hay 32 000 para los cuales ustedes no solo acertaron lo del martes, sino que ya habían acertado el lunes. Ahora repitan el proceso. Al dividir por la mitad, a 16 000 les dicen que va a subir y al resto, los otros 16 000, que va a bajar. Resultado: el miércoles ustedes tienen 16 000 personas a las que les avisaron el lunes, el martes y el miércoles lo que pasaría con el precio del oro. Y acertaron las tres veces (para este grupo). Repítanlo una vez más. Al finalizar el jueves, ustedes tienen 8000 para los que acertaron cuatro veces. Y el viernes por la noche, tienen 4 000. Piensen bien: el viernes por la noche, ustedes tienen 4 000 personas que los vieron acertar todos los días con lo que pasaría con el precio del oro, sin fallar nunca. Claro que el pro- ceso podría seguir a la semana siguiente, y podrían tener 2 000 al siguiente lunes, 1 000 al martes y, si queremos estirarlo aún más, el miércoles de la segunda semana, tendrán 500 personas a las que les fueron diciendo, día por día, durante diez días, lo que pasaría con el precio del oro. Si alguno de ustedes pidiera a estas personas que lo contrataran como consultor pagándole, digamos, mil dólares por año (no lo quiero poner por mes, porque tengo cierto pudor… aún) ¿no creen que contratarían sus servicios? Recuerden que ustedes acertaron siempre por diez días consecutivos. Con esta idea y empezando con una base de datos bien más gran- de o más chica, o parando antes en el envío de correos electróni- cos, ustedes se pueden fabricar su propio grupo de personas que crean en ustedes o que crean sus predicciones. Y ganar dinero en el intento. Tomado de https://goo.gl/xyX7eq (19/02/2018) . Adrián Paenza (1949). Periodista, matemático y profesor argentino especializado en la divulgación Matemática. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 181. Poesía Matemática Millôr Fernandes Enlas muchas hojas del libro de Matemáticas un Cociente se enamoró un día dolorosamente de una Incógnita. La vio con su mirada innumerable y la vio desde el ápice a la base: una figura impar; ojos de robot, boca de trapecio, cuerpo rectangular, senos esferoides. Hizo de la suya una vida paralela a la de ella, hasta que se encontraron en el infinito. “¿Quién eres tú?” —indagó ella con ansia radical. “Pero puedes llamarme hipotenusa”. Y de hablar descubrieron que eran (lo que en Aritmética corresponde a las almas hermanas) primos entre sí. Y así se amaron al cuadrado de la velocidad de la luz, en una sexta potencia trazando, al sabor del momento y de la pasión, rectas, curvas, círculos y líneas sinusoidales en los jardines de la cuarta dimensión. Escandalizaron a los ortodoxos de las formas euclidianas y a los exégetas del universo infinito. Rompieron convenciones newtonianas y pitagóricas. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 182. Y en finresolvieron casarse, constituir un hogar, más que un hogar, una perpendicular. Invitaron como padrinos al Polígono y a la Bisectriz. E hicieron planos y ecuaciones y diagramas para el futuro soñando con una felicidad integral y diferencial. Y se casaron y tuvieron una secante y tres conos muy graciosillos. Y fueron felices hasta aquel día en que todo se vuelve al fin monotonía. Fue entonces cuando surgió el Máximo Común Divisor. Ofrecióle, a ella, una grandeza absoluta y la redujo a un denominador común. Él, Cociente, percibió que con ella no formaba un todo, una unidad. Era un triángulo, llamado amoroso. De ese problema él era una fracción, la más ordinaria. Pero fue entonces cuando Einstein descubrió la Relatividad. Y todo lo que era espurio pasó a ser moralidad como en cualquier sociedad. Tomado de https://goo.gl/4wgHnQ (04/02/2018) Millôr Fernandes (1923-2012). Dibujante, humorista, traductor, escritor y dramaturgo brasileño, nacido en el barrio del Méier, en Río de Janeiro. Fue un artista con múltiples funciones y actividades. Escribió en las revistas El Cruzeiro y El Pasquim. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 183. Romance de laderivada y el arcotangente Autor desconocido Veraneaba una derivada enésima en un pequeño chalet situado en la recta del infinito del plano de Gauss, cuando conoció a un arcotangente simpatiquísimo y de espléndida representación grá- fica, que además pertenecía a una de las mejores familias trigo- nométricas. Enseguida notaron que tenían propiedades comunes. Un día, en casa de una parábola que había ido a pasar allí una temporada con sus ramas alejadas, se encontraron en un punto aislado de ambiente muy íntimo. Se dieron cuenta de que con- vergían hacia límites cuya diferencia era tan pequeña como se quisiera. Había nacido un romance. Acaramelados en un entorno de radio épsilon, se dijeron mil teoremas de amor. Cuando el verano pasó, y las parábolas habían vuelto al origen, la derivada y el arcotangente eran novios. Entonces empezaron los largos paseos por las asíntotas, siempre unidos por un punto co- mún, los interminables desarrollos en serie bajo los conoides llorones del lago, las innumerables sesiones de proyección ortogonal. Hasta fueron al circo, donde vieron a una troupe de funciones logarítmicas dar saltos infinitos en sus discontinuidades. En fin, lo que eternamente hacían los novios. Durante un baile organizado por unas cartesianas, primas del arcotangente, la pareja pudo tener el mismo radio de curvatura en varios puntos. Las series melódicas eran de ritmos uniforme- mente crecientes y la pareja giraba entrelazada alrededor de un mismo punto doble. Del amor había nacido la pasión. Enamorados locamente, sus gráficas coincidían en más y más puntos. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 184. Con el beneficiode las ventas de unas fincas que tenía en el campo complejo, el arcotangente compró un recinto cerrado en el plano de Riemann. En la decoración se gastó hasta el último infinitésimo. Adornó las paredes con unas tablas de potencias de e preciosas, puso varios cuartos de divisiones del término independiente que costaron una burrada. Empapeló las habitaciones con las gráfi- cas de las funciones más conocidas, y puso varios paraboloides de revolución chinos de los que surgían desarrollos tangenciales en flor. Y Bernoulli le prestó su lemniscata para adornar su salón durante los primeros días. Cuando todo estuvo preparado, el ar- cotangente se trasladó al punto impropio y contempló satisfecho su dominio de existencia. Varios días después fue en busca de la derivada de orden n y cuando llevaban un rato charlando de variables arbitrarias, le es- petó, sin más: —¿Por qué no vamos a tomar unos neperianos a mi apartamento? De paso lo conocerás, ha quedado monísimo. Ella, que le quedaba muy poco para anularse, tras una breve dis- cusión del resultado, aceptó. El novio le enseñó su dominio y quedó integrada. Los neperianos y una música armónica simple hicieron que entre sus puntos exis- tiera una correspondencia unívoca. Unidos así, miraron al espacio euclideo. Los astroides rutilaban en la bóveda de Viviani... ¡Eran felices! —¿No sientes calor? —dijo ella. —Yo sí. ¿Y tú? —Yo también. —Ponte en forma canónica, estarás más cómoda. Entonces él le fue quitando constantes. Después de artificiosas operaciones la puso en paramétricas racionales... —¿Qué haces? Me da vergüenza... —dijo ella. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 185. —¡Te amo, yoestoy inverso por ti...! ¡Déjame besarte la ordenada en el origen...! ¡No seas cruel...! ¡Ven...! Dividamos por un momento la nomenclatura ordinaria y tendamos juntos hacia el infinito... Él la acarició sus máximos y sus mínimos y ella se sintió descom- poner en fracciones simples. (Las siguientes operaciones quedan a la penetración del lector). Al cabo de algún tiempo, la derivada enésima perdió su periodici- dad. Posteriores análisis algebraicos demostraron que su variable había quedado incrementada y su matriz era distinta de cero. Ella le confesó a él, saliéndole los colores: —Voy a ser primitiva de otra función. Él respondió: —Podríamos eliminar el parámetro elevando al cuadrado y res- tando. —¡Eso es que ya no me quieres! —No seas irracional, claro que te quiero. Nuestras ecuaciones for- marán una superficie cerrada, confía en mí. La boda se preparó en un tiempo diferencial de t, para no dar de qué hablar en el círculo de los 9 puntos. Los padrinos fueron el padre de la novia, un polinomio lineal de exponente entero, y la madre del novio, una asiroide de noble asíntota. La novia lucía coordenadas cilíndricas de Satung y velo de puntos imaginarios. Ofició la ceremonia Cayley, auxiliado por Pascal y el nuncio S.S. monseñor Ricatti. Hoy día el arcotangente tiene un buen puesto en una fábrica de series de Fourier, y ella cuida en casa de 5 lindos términos de me- nor grado, producto cartesiano de su amor. Tomado de https://goo.gl/4fz6od (07/07/2017) P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 186. La bisabuela Juana(fragmento) Daniel del Olmo y Abedul Dante debió equivocarse al describir el infierno. No conocía la casa de mi bisabuela Juana; una antigua casa rural, rodeada de vacas, gallinas, álamos, girasoles y la más absoluta nada. La po- blación más cercana se halla a unos cien kilómetros, así que, hay poco con lo que una persona de ciudad pueda entretenerse, apar- te del sofocante calor y los pozos secos. En el fondo, mi bisabuela es un ser extraño. Con sus ciento cuatro años, vive separada del mundo moderno; sin radio, sin periódicos y sin vecinos. Y lo que más fascina, no es su hogar sin ningún tipo de modernidad; es su vitalidad, que tiene anonadada a toda la comarca. Hace años que el médico está idiotizado por su juventud interior, y la flexibilidad de sus movimientos, y no es para menos, ya que ordeña sus vacas y recoge la mies, duro trabajo para una espalda encorvada como la de la bisabuela Juana. “Ya es hora de que pongas a reflexionar esa cabezota que algún dios te ha dado”, me dijo una soleada mañana mientras desayu- naba plácidamente, a la sombra de un álamo. La acompañé a la biblioteca, y allí sacó una caja de unos noventa centímetros por setenta, y sesenta de alto. Era extraordinaria. La madera con la que estaba hecha era de sándalo por el leve aroma que despedía, de ébano, caoba y de roble. La tapa contenía dibujos geométri- cos en madreperla y estaba rodeada de inscripciones y frases en griego, latín, árabe, jeroglíficos precolombinos y egipcios, escritu- ra cuneiforme, e ideogramas chinos o japoneses, no hubiese sabi- do diferenciarlos. “Esta caja te dirá lo que es más importante en la vida. Tómate tu tiempo, y resuelve el enigma. Las prisas acortan la vida, recuérdalo”, y me dejó ante la caja, que abrí en el mismo instante en que mi bisabuela abandonaba la sala. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 187. Estaba dividida interiormenteen otra caja, con un pequeño com- partimento con letras en varias lenguas antiguas, y una balanza de pequeñas dimensiones. Tomé la tapa de la caja interior y la abrí. Era de cristal negro, robusto, pero de tacto frágil. Contenía un trozo de madera, virutas de mineral de hierro, un sello confor- ma flamígera, un saquito de tierra y una botella de agua. ¿Qué debía descubrir con esto? Son cinco cosas, cinco materias. La tierra contiene a la madera, el metal, el agua y el fuego. El agua apaga el fuego, al igual que la tierra puede extinguir un fuego. El metal nace de la tierra. El fuego nace en la madera, y la madera nace de la tierra. El fuego funde el metal. Los cinco es- tán conectados. No tiene sentido alguno. ¿Qué querrá significar? “Naturaleza”, “medio ambiente”, “elemento”. Probé todas ellas en la balanza, y ninguna dio resultado. De lo que sí me percaté fue que cada letra tenía un peso específico, así que determinado peso debía abrir algún mecanismo interno. Pero aún sabiendo esto, es- taba como al principio. Agua, metal, tierra, madera, fuego. Tengo la cabezota oxidada, hacía tiempo que no resolvía ningún enigma así. Yo, estudiante de retórica, estaba atascado en la primera fase. Un tanto deshonroso para mi ego. El tiempo pasa, y sigo en el mismo punto inicial. Tierra, madera, metal, fuego y agua. Y si… los cinco pueden vivir en armonía, puesto que unos de los otros son hacedores y destructores a un tiempo. Si son capaces de vivir en “paz”, los cinco podrán coexistir. Como las personas han de con- vivir. Puede ser que “paz” sea la palabra y el concepto que andaba buscando. Busqué las letras y las puse sobre la balanza y… chas— chas—rum. El mecanismo se activó, dejando al descubierto una segunda caja interior que estaba debajo, escondida, de la primera de cristal negro. Fabuloso, la primera fase estaba resuelta. Y solo habían pasado, ¡vaya!, cinco horas, que fueron todo un desgaste para mi mohoso cerebro. La segunda caja era de plata, brillaba con el sol del amanecer, tras una vivificante noche de descanso cerebral. Su interior con- tenía solo una tablilla con un símbolo: VI. Podía ser un número P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 188. tal cual; unsiglo, un mes, un año; una V y una I, y ser un verbo… Como en la primera caja, podía ser cualquier cosa. Lo que sí esta- ba claro, es que se acotaba a algo latino, de la antigua Roma. ¿Su- cedió algo que implicase ese símbolo? Si era un mes, se trata de junio, pero el calendario que empleamos ahora no coincide con el de los romanos, así que podía descartarse momentáneamente. Si era un número, podía ser en referencia al cuerpo humano; brazos, piernas, cabeza y tronco. Sería “cuerpo” lo que buscaba, o quizá “calendario”, “primavera”, “estaciones”. Como hice el día anterior, busqué las letras pertinentes y las puse en la balanza y ninguna funcionó. Desesperanzado probé con otras materias, puesto que “Medicina”, “Conocimiento General”, y “Ciencias Naturales”, no ha- bían funcionado. A lo mejor era algo relacionado con la Matemá- tica, lo que me hizo recordar el famoso teorema del hexágono de Pappus de Alejandría. El teorema de Pappus no hace referencia a alguna medida; es por tanto, de pura incidencia, pero se demuestra usando los axiomas de congruencia de segmentos. Así que VI puede referirse a una incidencia, en un siglo. Bueno, si tomamos como verdad, que lo que buscamos es una incidencia dentro del mundo romano en el siglo VI, coincidiría con el gobierno del emperador Justiniano, durante el cual se produjo el brote epidémico de peste negra más largo, puesto que duró sesenta años, y más antiguo referenciado por los textos históricos. La palabra tiene que ser “enfermedad”. Puse las letras en la ba- lanza y… nada. Ni un ruido, ni movimiento, nada. Y estaba conven- cido de que esa era la palabra. Probaremos con la opuesta, “salud”, ya que quizá sea lo contrario lo que la caja desea. La balanza contenía las letras, y ¡bingo! El mecanismo se accionó, dejando ver una nueva caja, más pequeña que las anteriores, pero con el mismo sistema que la preliminar. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 189. La tercera cajaera de cerámica azul cobalto con dibujos serpen- teantes en marfil. De manufactura fina y delicada, parecía a pun- to de romperse si la tocabas. Y un nuevo enigma para resolver. Era por la tarde, y me había olvidado de comer. Mi bisabuela vino a ver mis progresos, y quedó sorprendida cuando descubrió que ya había abierto dos cajas, e iba a iniciar la tercera (…). Ahora, estamos ante la tercera llave. Esta caja de porcelana con- tenía un pergamino enrollado con el símbolo ∞. Este será sencillo, pensé para mis adentros con regocijo, es el símbolo de infinito. Busqué las letras y puse “infinito” en la balanza, y… nada. Era de esperar, no podía ser tan fácil. Infinito es infinito, el más allá, lo más lejano. Lo que no es finito. ¿Qué puede ser infinito? La luz, la pesadez de mi hermana, la estupidez del hombre… infinito. En algunos aspectos buscamos el infinito, como en el amor o el cari- ño, o en que las cosas buenas duren por siempre, pero al infinito no se llega nunca. A lo mejor, que la “paz” y la “salud” duren por siempre, sean infinitas, pero para ello tendríamos que vivir sin fin, ser inmortales. Imposible, nadie puede vivir por siempre, ser inmortal, solo son inmortales aquellos que son recordados, como escritores, músicos, científicos, matemáticos o políticos. Seguro que la palabra es “inmortal”, no hay lugar a dudas. Al poner las letras en la balanza, nuevo fracaso, a los que ya me estaba habi- tuando, para qué voy a negarlo. Pensándolo más detenidamente, “inmortal” no puedes ser físicamente, pero “longevo” sí. Quizá, por una extraña pirueta retórica, infinito sea inmortal, y este se refie- ra a longevidad, como mi bisabuela, que ha enterrado a tres hijos y a dos nietos, y ha vivido en dos siglos. Puse las letras de “lon- gevidad” en la báscula y… chas—chas—rum. Increíble, es “longevi- dad”. Infinito es longevidad. En el exterior hace tiempo que el sol se marchó, serían las dos o tres de la mañana, y estaba exultante por haber hallado la tercera palabra. Y como no, una nueva caja me esperaría mañana. Ahora mis se- sos necesitaban un nuevo descanso; el moho que los recubría es- taba desapareciendo, y eso me hacía estar contento. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 190. Aquella mañana fuehúmeda. Había llovido persistentemente du- rante la madrugada y el calor matinal creaba condensaciones que te hacían sudar más de lo que era habitual a esas horas. Desayu- né tranquilamente un gran tazón de leche de cabra con unos pi- catostes fríos del día anterior. Mi bisabuela me miraba de soslayo, con cierta impaciencia quizá, era difícil saber qué pensaba. Me marché a la biblioteca para enfrentarme al nuevo reto, la cuarta caja. Esta caja era de cuarzo rosa, pesada y algo basta. De gruesas paredes que no permitían el paso de la luz. En su interior sólo había un papiro con el símbolo π. Como en el caso anterior, enseguida me vino a la cabeza 3,14, que es su correspondiente numérica, pero no podía ser, puesto que no había números en las piezas de la balanza. Así que debía ser otra cosa. Este símbolo tiene siglos de antigüedad: ya lo usaban los chinos, los mesopo- támicos, e incluso los egipcios. El papiro de Ahmes, de 1900 a.C, hallado en Egipto, es la primera referencia a este concepto. π se emplea en Matemática, en Ingeniería, en Física, y en otras tantas materias. Es una constante, irracional. Teniendo en cuenta mi experiencia con las anteriores cajas, sé que tengo que encontrar un concepto intangible, como paz, salud o longevidad. El propio soporte de la pista puede ser una pista. π puede ser una casa, un barco, un melocotón, puede encontrarse en todo lo que nos rodea, incluso en las personas. Es irracional, como para los egipcios la muerte, el dolor o la felicidad. Eso era, “felicidad”, esta es la palabra, el concepto que busco. Introduje las letras en la balanza y la caja reaccionó. Pero ya no había más ca- jas. La de cuarzo era la última, y solo tenía cuatro palabras. Tomado de https://goo.gl/ivGJiW (05/03/2018) Daniel del Olmo y Abedul. Alumno del Departamento de Matemática e Informática aplicadas a la Ingeniería Civil, de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Cami- nos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 191. Armonía, belleza yprecisión Juan Manuel Sánchez Panta La esplendida serie de números son joyas de mi jardín, el horizonte de la Matemática es brillante, es como saborear sabiduría dentro de un cuadrante mi inspiración crece lozana como un jazmín. La creación y la solución de problemas es mi universo, la rigidez en el cálculo activa mi memoria, las ecuaciones polinomiales son parte de mi historia, la armonía de las sucesiones embellecen mis versos. Describo las rectas, con inusitada pasión, las coordenadas de los puntos las llevo a los cuadrantes, el movimiento de las figuras vibra en un sol radiante, la Matemática es belleza y precisión desde el místico Pitágoras el inmortal, hasta los brillantes Leignit y Newton con su función y ecuación diferencial, la Matemática se cubre de gloria. Puntos, rectas y planos, están en sintonía, con el místico y complejo mundo de la geometría, todo vibra con una real simetría la convexidad y la concavidad es virtud de la materia. Los números reales son densos e inmensos, las expresiones notables son factorizables, algunas expresiones son derivables e integrables, el álgebra de los anillos cuerpos y campos son hermosos. El mundo de los números devoran mi imaginación, estudio teoremas, propiedades, y leyes con plenitud el talento que Dios me ha dado es una virtud pasar del espacio tridimensional a la cuarta dimensión es mi obsesión. Tomado de https://goo.gl/Tuq3G0 (26/03/2018) JuanManuelSánchezPanta. Divulgador de conocimientos matemáticos en obras literarias. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 192. Una confusión cotidiana FranzKafka Un problema cotidiano, del que resulta una confusión cotidiana. A tiene que concretar un negocio importante con B en H, se tras- lada a H para una entrevista preliminar, pone diez minutos en ir y diez en volver, y en su hogar se enorgullece de esa velocidad. Al día siguiente vuelve a H, esa vez para cerrar el negocio. Ya que probablemente eso le insumirá muchas horas, A sale temprano. Aunque las circunstancias (al menos en opinión de A) son pre- cisamente las de la víspera, tarda diez horas esta vez en llegar a H. Lo hace al atardecer, rendido. Le comunicaron que B, inquieto por su demora, ha partido hace poco para el pueblo de A y que deben haberse cruzado por el camino. Le aconsejan que aguarde. A, sin embargo, impaciente por la concreción del negocio, se va inmediatamente y retorna a su casa. Esta vez, sin prestar mayor atención, hace el viaje en un rato. En su casa le dicen que B llegó muy temprano, inmediatamente des- pués de la salida de A, y que hasta se cruzó con A en el umbral y quiso recordarle el negocio, pero que A le respondió que no tenía tiempo y que debía salir en seguida. Pese a esa incomprensible conducta, B entró en la casa a esperar su vuelta. Ya había preguntado muchas veces si no había regre- sado todavía, pero continuaba aguardando aún en el cuarto de A. Contento de poder encontrarse con B y explicarle lo sucedido, A corre escaleras arriba. Casi al llegar, tropieza, se tuerce un tobillo y a punto de perder el conocimiento, incapaz de gritar, gimiendo en la oscuridad, oye a B —tal vez ya muy lejos, tal vez a su lado— que baja la escalera furioso y desaparece para siempre. Tomado de https://goo.gl/5921yo (23/03/2018) Franz Kafka (1883-1924). Escritor nacido en Praga, en el seno de una familia acomoda- da perteneciente a la minoría judía de lengua alemana. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 193. Examen de Estadística Josédel Río Sánchez ¿Qué es la Estadística? Es una ciencia fotográfica y adivinatoria que procede en primera instancia como una película, donde graban sus números la realidad y la apariencia. Cruza después al otro lado para vaticinar el éxito o embalsamar la ruina, pues el oráculo de sus campanas siempre se puede modular eligiendo los prismáticos adecuados ¿Para qué sirven las estadísticas? Para generar hambres y vender tapaderas, para dictar la norma e imponer su razón. Con ellas se averigua cómo y cuándo llamar a la oración y al voto, a la guerra y a la trashumancia, a la risa y al tributo. Ni las ovejas negras pueden huir de sus dominios Tomado de https://goo.gl/h3SbRg (26/03/2018) José del Río Sánchez (1960). Escritor y matemático, quien ha argumentado que en las grandes obras de la literatura universal, como en El Quijote de la Mancha, se ha emplea- do las Matemáticas. Publicó el libro También los novelistas saben Matemáticas. P r o h i b i d a s u c o m e r c i a l i z a c i ó n
- 194.