Este documento trata sobre conceptos matemáticos como conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Define conjuntos como colecciones de elementos que comparten propiedades. Explica operaciones básicas con conjuntos como unión e intersección. Luego, describe los números reales y su representación en la recta real. Posteriormente, define desigualdades matemáticas y los diferentes signos utilizados. Finalmente, introduce el concepto de valor absoluto y cómo se aplica a desigualdades.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL“ANDRES ELOY BLANCO”.
BARQUISIMETO – EDO LARA.
Conjuntos. Operaciones con conjuntos. Números reales, Desigualdades.
Valor Absoluto y Desigualdades con Valor Absoluto
ESTUDIANTE:
ALEIDYS CAROLINA ESCALONA DOMINGUEZ
C.I; 27.816.979
SECCIÓN: 0152
FEBRERO, 2023

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS.
Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como
un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas,
números, colores, letras, figuras, etc.
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad
de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre
sí características y propiedades semejantes.
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de
conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener
otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Además de relacionar los conjuntos a través de la contenencia y la igualdad,
podemos crear unos nuevos a través de las operaciones entre conjuntos. Aquí
aprenderás de qué se trata.
Unión de conjuntos

3. Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en
la siguiente figura: Ejemplo 1
Podemos crear otro conjunto conformado con los elementos que pertenezcan a
M o a N. A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N, y lo notamos de
la siguiente manera: M U N. En la imagen de abajo puedes observar el resultado
de unir los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes
preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado
de la operación será el conjunto conformado por todos los elementos del
conjunto universal U, que cumplan la condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso: M U N = [a, c, b, g, e, 1] : Ejemplo 2

4. NUMEROS REALES.
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ) incluye
tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números
irracionales;1
y en otro enfoque, a los trascendentes y a los algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes2
no se pueden expresar mediante
una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como , π, o el número real , cuya trascendencia fue
enunciada por Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples, aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de las
matemáticas, y otras más complejas, pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Durante los siglos siglo XVI y siglo XVII el cálculo avanzó mucho aunque
carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y
fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se
usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición
precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron
evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, que
consistió en definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del
concepto de número real.3
En una sección posterior se describirán dos de las
definiciones precisas más usuales actualmente: clases de
equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortes de
Dedekind.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera
accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.

5. DOMINIO DE LOS NÚMEROS REALES.
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números
comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos
infinitos en el conjunto.
Dominio de los números reales.
NÚMEROS REALES EN LA RECTA REAL
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella
todos los números reales.
Línea real.
DESIGUALDADES.
Es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos
valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos
elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o
bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser
expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el
menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad
matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades
matemáticas posibles en los cinco siguientes:

6.  Desigual a: ≠
 Menor que: <
 Menor o igual que: ≤
 Mayor que: >
 Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos. De modo que
implicaría que a es menor a b, mientras que “a>b” significa que a es mayor a b.
En el caso de “a≠b”, leeremos la expresión como a es desigual a b, “a≤b”; a es
menor o igual a b, y “a≥b” implica que a es mayor o igual a b.
Es también importante conocer que la expresión de desigualdad matemática
“a≠b” no es excluyente con las expresiones “a” y “a>b”, de modo que, por
ejemplo, “a≠b” y “a>b” pueden ser ciertas al mismo tiempo. Por otro lado,
tampoco son excluyentes entre sí las expresiones “a≥b” y “a>b” o “a≤b” y “a”.
Ejemplos
Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por
dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del
símbolo y el otro a la derecha.
Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces
nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el
elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números
naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
Ejercicio 1 Ejercicio 2

7. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO.
Se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un
número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que
también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin
importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5
positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo
en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar
que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto,
la notación correcta es |5|
Indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo.
Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los
números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor
absoluto: |8|.

8. También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre
el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a
la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos números reales, por otra parte, es el valor
absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta
diferencia tiene un valor absoluto de |3|.
Ejercicio 1
|-107| = 107 (el valor absoluto de -107 es 107)
Ejercicio 2
|2,34353| = 2,34353 (el valor absoluto de 2,34353 es 2,34353)
Ejemplos de valor absoluto en operaciones
|45 + 17| – 12 = |62| – 12 = 62 – 12 = 50
|119 – 200| = |-81| = 81
200 * |-2| = 200 * 2 = 400
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO.
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es.
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.

9. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejercicio 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesto.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b , entonces
a > b O a < - b .
Ejercicio 2:

10. Resuelva y grafique.