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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial ¨Andrés Eloy Blanco¨
Barquisimeto, Edo.- Lara
Nombre y Apellido:
Yuriancy Mora
C.I.: 28.454.008
Sección: 0203
Prof.: María Rodríguez
Febrero, 2023
PRESENTACIÓN DE LOS
NUMEROS REALES,
CONJUNTOS, VALOR
ABSOLUTO Y
DESIGUALDADES.
Definición de Conjuntos.
Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto
está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los
conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus
elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los
elementos).
Operaciones con conjuntos.
Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar conjuntos dentro de
otros:
1. Unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los
elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para
unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B).
2. Intersección: su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los
elementos que tienen en común los conjuntos dados.
3. Complemento: si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el
complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no
pertenecen a A.
4. Diferencia: partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A ,
formado por los elementos que solo se encuentren en A.
5. Diferencia simétrica: su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los
elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados.
6. Producto cartesiano: el conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se
consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b).
Números Reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y
pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más
infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que
los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse
expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
• Números naturales
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños.
Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario
(cero neutral).
Expresión:
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
Dominio de los números
reales.
Línea real.
• Números enteros
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los
números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
• Números racionales
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números
enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
• Números irracionales
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera
exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
Desigualdades.
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos
expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >,
menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas
expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea
para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
• Menor que <
• Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad
se mantiene.
• Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
• Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
• Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
• Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes.
Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser
incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación.
Por ejemplo: 3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo
que le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el
signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de
x:
|x| = x si x≥ 0
|x| = -x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el
valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo
delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10) =10. Así, debemos destacar que el valor
absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
• El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -
19 y 19 es el mismo: 19.
• El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los
valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y| ≤ |x| + |y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
a. |8+9| ≤ |8| + |9|
b. |17| ≤ 8+9
c. 17 ≤ 17
d. |12-25| ≤ |12| + |-25|
e. |-13| ≤ 12+25
f. 13 ≤ 37
g. |16+31-21| ≤ |16| + |31| + |-21|
h. |26| ≤ 16+31+21
i. 26 ≤ 68
• Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos
indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|xy| = |x|.|y|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
a. |3×4| = |3|x|4|
b. |12| = 3×4
c. 12 = 12
d. |6x-5| = |6|x|-5|
e. |-30| = 6×5
f. 30 = 30
• Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación
de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al
cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto,
siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que:
|x/y|=|x|/|y|
Podemos verlo en algunos ejemplos:
a. |60/5| = |60|/|5|
b. |12| = 60/5
c. 12 = 12
d. |-87/3| = |-87|/|3|
e. |-29| = 87/3
f. 29 = 29
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano
cartesiano.
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y siempre
será positivo, independientemente del valor de x.
Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos
de desigualdad. Por ejemplo, la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto
que contiene un símbolo mayor que.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a >
- b .
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b, entonces a > b O a < -
b.
Bibliografía
Definición y Operación De Conjuntos.
https://definicion.de/conjunto/
Numerous Reales
https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html
Desigualdades.
https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
Valor Absoluto.
https://economipedia.com/definiciones/valor-absoluto.html
Desigualdades con Valor Absoluto
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educación Superior Universidad Politécnica Territorial ¨Andrés Eloy Blanco¨ Barquisimeto, Edo.- Lara Nombre y Apellido: Yuriancy Mora C.I.: 28.454.008 Sección: 0203 Prof.: María Rodríguez Febrero, 2023 PRESENTACIÓN DE LOS NUMEROS REALES, CONJUNTOS, VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES.
  • 2. Definición de Conjuntos. Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos). Operaciones con conjuntos. Es posible realizar ciertas operaciones básicas que permiten hallar conjuntos dentro de otros: 1. Unión: se simboliza con una especie de U, y se trata del conjunto formado por los elementos que pertenezcan a cualquiera de los conjuntos que se propongan para unión (en el caso de A y B, el conjunto resultante será A U B). 2. Intersección: su símbolo es similar a una U rotada 180° y permite hallar los elementos que tienen en común los conjuntos dados. 3. Complemento: si un conjunto U contiene uno de nombre A, entonces el complemento de este último será aquel que contenga los elementos que no pertenecen a A.
  • 3. 4. Diferencia: partiendo de los conjuntos A y B, su diferencia será el conjunto A , formado por los elementos que solo se encuentren en A. 5. Diferencia simétrica: su símbolo es un triángulo y representa el conjunto de los elementos que pertenezcan tan solo a uno de dos conjuntos dados. 6. Producto cartesiano: el conjunto A x B es el producto cartesiano de A y B, y se consigue con pares ordenados de un elemento de A seguido de uno de B (a, b).
  • 4. Números Reales Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan mediante la letra Clasificación de los números reales Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales. • Números naturales Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral). Expresión: Primeros elementos del conjunto de números naturales. Dominio de los números reales. Línea real.
  • 5. • Números enteros Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos. Expresión: Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros. • Números racionales Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros. Expresión: Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales. • Números irracionales Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica. Expresión:
  • 6. Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales. Desigualdades. Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos. Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales. Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean: • mayor que > • Menor que < • Menor o igual que ≤ • Mayor o igual que ≥ Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual. Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como: • Menor que < • Mayor que > Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”. En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como: • Menor o igual que ≤ • Mayor o igual que ≥ Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”. La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
  • 7. 3x + 3 < 9 La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las expresiones. Propiedades de la desigualdad matemática • Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. • Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene. • Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene. • Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene. Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes propiedades: • Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. • Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo: 3 < 5 Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación puesto que no tiene incógnitas. Valor Absoluto El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que le preceda. El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este.
  • 8. Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x: |x| = x si x≥ 0 |x| = -x si x<0 Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1. Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10) =10. Así, debemos destacar que el valor absoluto siempre es positivo. Propiedades del valor absoluto Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes: • El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de - 19 y 19 es el mismo: 19. • El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que: |x+y| ≤ |x| + |y| Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos: a. |8+9| ≤ |8| + |9| b. |17| ≤ 8+9 c. 17 ≤ 17 d. |12-25| ≤ |12| + |-25| e. |-13| ≤ 12+25 f. 13 ≤ 37 g. |16+31-21| ≤ |16| + |31| + |-21| h. |26| ≤ 16+31+21 i. 26 ≤ 68 • Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente: |xy| = |x|.|y|
  • 9. Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos: a. |3×4| = |3|x|4| b. |12| = 3×4 c. 12 = 12 d. |6x-5| = |6|x|-5| e. |-30| = 6×5 f. 30 = 30 • Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al cociente de los valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es decir, se cumple que: |x/y|=|x|/|y| Podemos verlo en algunos ejemplos: a. |60/5| = |60|/|5| b. |12| = 60/5 c. 12 = 12 d. |-87/3| = |-87|/|3| e. |-29| = 87/3 f. 29 = 29 Valor absoluto en una gráfica A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano cartesiano. En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y siempre será positivo, independientemente del valor de x. Desigualdades con Valor Absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos de desigualdad. Por ejemplo, la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto que contiene un símbolo mayor que. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
  • 10. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b . Desigualdades de valor absoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es . Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b, entonces a > b O a < - b.
  • 11. Bibliografía Definición y Operación De Conjuntos. https://definicion.de/conjunto/ Numerous Reales https://economipedia.com/definiciones/numeros-reales.html Desigualdades. https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html Valor Absoluto. https://economipedia.com/definiciones/valor-absoluto.html Desigualdades con Valor Absoluto https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value- inequalities