1. “VIVE TAL CUAL SI FUESES A MORIR MAÑANA,
APRENDE COMO SI FUERAS A VIVIR SIEMPRE”
MAHATMA GANDHI
EJERCICIOS
PARA EL EXAMEN DE INGRESO 2012
CONTENIDOS PARA EL EXAMEN DE INGRESO
1. Conjunto: nociones básicas.
2. Conjuntos numéricos: Conjuntos de números Reales: Números enteros. Números
racionales: Expresiones decimales periódicas. Notación científica. Radicales.
3. Razones y proporciones
4. Expresiones algebraicas enteras. Polinomios. Factores de expresiones algebraicas.
Expresiones algebraicas fraccionarias
5. Ecuaciones. Ecuaciones de 1º grado, Ecuaciones de 2º grado. Sistemas de ecuaciones
6. Medida: perímetros de distintas figuras geométricas. Cálculo de áreas y volúmenes
7. Análisis dimensional en distintas expresiones
Ejercicios y Problemas de aplicación de todos los temas (disponibles por ejemplo en
www.fisicanet.com.ar)
Bibliografía:
Todos los textos utilizados en la escuela media - polimodal

2. Algunas cosas importantes para recordar cuando estás aprendiendo Matemática. Aprender
Matemática es como aprender un idioma, al principio cuesta, pero progresivamente se irá haciendo
más fácil. Los conceptos están relacionados entre sí, así que saber uno ayuda a entender los otros.
Sentirse frustrado no es un problema, es parte del proceso natural del aprendizaje, así que ¡no te des
por vencido!
TE RECOMENDAMOS
1. Créate tiempo de estudio. Asegúrate al menos una hora al día para dedicarte a estudiar
matemática.
2. Acostúmbrate con el vocabulario. Podrías ir armando un “diccionario matemático” que esté
siempre a tu lado mientras estudias. Muchas áreas de la matemática requieren saber una cierta
cantidad de vocabulario matemático y es menos frustrante el poder revisar rápidamente los
significados.
3. Conseguí al menos dos libros de referencia en teoría. De esta forma, tendrás dos diferentes
explicaciones y una de ellas puede que para vos tenga mejor sentido que el otro, o una
combinación de ambos te pueden ayudar a entenderlo más fácilmente.
4. Aborda los temas junto a sus prerrequisitos. Como los conceptos están relacionados, saber uno
te puede ayudar a entender el otro. Si no entendiste el concepto de algo como deberías haberlo
hecho, entonces, dedícate un tiempo para revisitar los apuntes anteriores y aprender un poco
más y luego combínalo con el concepto nuevo. Generalmente, el concepto nuevo ayudará al
concepto antiguo a que quede en tu mente.
5. Progresa a través de los niveles de la matemática. Hay un camino hacia la matemática avanzada
a través de este progreso: Algebra Básica, Geometría Básica, Cálculos Básicos, Algebra
Intermedio, Cálculos Regulares, Teoría de los Números, Algebra Lineal, Algebra avanzada,
Combinatorias, Análisis, Topología.
6. Practica con muchos problemas y ejercicios. Haz todos los problemas que puedas y que tengas
en tu disposición - incluso los problemas más avanzados de tu nivel.
7. SIEMPRE PEDÍ AYUDA SI NO SABÉS COMO HACER ALGO.
8. Y NUNCA TE DETENGAS A INTENTAR APRENDER ALGO, SOLO PORQUE PIENSAS QUE ES DIFICIL.
2

3. ¿POR QUÉ MATEMÁTICA?
Porque con matemática: podemos “describir la
posición de cualquier punto de La Tierra con dos
números...”
Dibujar un mapa del mundo.
Modelizar cuerpos geométricos
Resolver problemas
“En un cajón hay 28 calcetines negros y 28 calcetines
blancos. El cuarto está totalmente a oscuras.
¿Cuántos calcetines hay que tomar para asegurarse
que haya al menos un par del mismo color?”
Se hace un agujero cilíndrico de 6cm de largo en una esfera sólida. ¿Cuál es
el volumen de esfera remanente?
Aplicar a la medicina
a0
Sf (t ) an cos nwt bn sin nwt
2 n 1
2 2
con: T 0.8 y
T 0.8
Ayudar al hombre a ser “persona”, a desarrollar su pensamiento, ser
crítico, ser solidario, descubrir y apreciar la belleza del mundo, etc.
3

4. CONJUNTOS
Conjunto, elemento, pertenencia son conceptos primitivos, no se definen se dan.
Un conjunto puede determinarse de dos formas:
Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.
Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los
elementos del conjunto y solamente de ellos.
OPERACIONES
Unión de conjuntos: dado dos conjuntos A y B. se llama unión ( ) a otro conjunto tal que sus
elementos pertenezcan a A o a B .
Intersección de conjuntos: dado dos conjuntos A y B. se llama intersección ( ) a otro conjunto
tal que sus elementos pertenezcan a A y a B .
Complemento de un conjunto: Si A es un subconjunto de B, se llama complemento de A y se
representa por: , al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no
pertenecen a A.
1) Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si una moneda cae
cara se anota 1, y si cae sello se anota 0. Formar el conjunto cuyos elementos son los posibles
resultados del experimento.
Con relación al ejercicio anterior, determinar por extensión los siguientes subconjuntos:
S1 : Se dan más caras que sellos.
S 2 : Se obtienen al menos dos caras.
S 3 : Se obtiene el mismo resultado en las tres monedas.
C
Determinar con los conjuntos S1 , S 2 , S 3 : S2 , S2 S 3 , S1 S3 , S2 S3 S1
2) Sean los conjuntos: A x Z/ x 3 B x Z / x2 7
;
Determinar: A B, A B, A B, B A
1 3
Dados: A x R/ x 2 B x R / x 1
2 ; 2
c
Obtener: A B, A B, B
3) Siendo: A x R / x2 1 0 ; B x R/ x 1
Obtener: A B, ( A B) c
4) Sean los conjuntos: A x Z/ x 4 B x Z/ x 6
;
Determinar: A B, A B, A B, B A
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Revisaremos los diferentes conjuntos numéricos con los que has trabajado en tu escuela.
4

5. Números naturales son aquellos que utilizaste desde pequeño para contar: N={1,2,3,4...}
Números enteros es el conjunto formado por los negativos, los positivos y el cero, que no es
positivo ni negativo: Z= {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Números racionales son todos aquellos que se pueden expresar como cociente entre números
a
enteros: Q= { / a, b Z y b 0}
b
Ejemplos de racionales, son:
Los números naturales:
Los números enteros:
Los números decimales finitos o decimales periódicos, de período cero :
Los números decimales infinitos periódicos:
Los números decimales infinitos de período mixto:
Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cociente entre dos
números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se
designa con la letra .
¸ ,
Números reales: definen el conjunto formado por los números racionales e irracionales. Este
conjunto se designa con la letra R.
UN POCO DE TEORÍA SOBRE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Números naturales ( )
Los primeros números que el hombre inventó fueron los números naturales, los cuales se utilizaban
y aún se utilizan para contar elementos de un conjunto. Los números naturales sirven para contar y
ordenar fundamentalmente.
5

6. El nombre “Números Naturales” seguramente surge debido a que estos números son los que
aparecen por primera vez en el proceso natural de contar o enumerar los objetos de un conjunto.
Los números naturales son un conjunto de números de la forma: 1, 2, 3,…. que denotaremos con el
símbolo , esto es:
Si al conjunto de los números naturales se le une el número cero, este nuevo conjunto se denota
con el símbolo IN0, esto es
Es posible establecer una correspondencia entre los números naturales y los puntos de una recta
(recta numérica) de la siguiente manera.
Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero y otro punto
a la derecha del cero para representar el uno , a este segmento le llamamos segmento unidad.
Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento unidad,
para así representar los números (en este orden) que se encontrarán a la derecha del
cero.
En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen. Una
representación gráfica de 0 en la recta numérica se muestra en la figura:
De y se pueden formar variados subconjuntos, entre ellos se encuentran:
• El Conjunto de los números pares:
• El Conjunto de los números impares:
Estos dos conjuntos no tienen elementos en común y si se unen ambos, forman el conjunto
• El conjunto de los Múltiplos de un número: Se llaman múltiplos de un número a todos los
números que resultan de la multiplicación de ese número con cada uno de los naturales. Los
múltiplos de un número n pertenecen al conjunto formado por:
• El conjunto de los Divisores de un número es un subconjunto de : Llamamos divisores de un
número x, a todo el conjunto de números que lo divide exactamente.
• El Conjunto de los Números Primos es un subconjunto de IN: El número natural p>1 es un número
primo si sus únicos divisores son 1 y p.
Algunos números primos son:
Números enteros
Si se requiere dar solución a la sustracción , es necesario encontrar un número que sumado a
de cómo resultado . Este número no existe en . Para que la sustracción tenga siempre solución,
6

7. se extiende la recta numérica hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un
número natural le corresponde un punto simétrico a él, ubicado a la izquierda del cero.
Cada uno de estos nuevos puntos ubicados a la izquierda de la recta numérica, respecto al cero,
representa un número negativo.
Entonces, el conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el
cero y los números negativos. Este conjunto se denota por , donde:
Cada número negativo es considerado el opuesto o inverso aditivo de su simétrico positivo y, cada
número positivo, es el opuesto de su simétrico negativo. Por ejemplo, es el opuesto o inverso
aditivo de .
La distancia que existe entre un número a y el cero la representaremos a través del valor absoluto y
se expresará como . Como se refiere a una distancia, el valor absoluto de un número siempre es
positivo.
Por ejemplo, la distancia entre y en la recta numérica es de unidades, entonces .
Ahora, las distancia entre y , también es de unidades en la recta numérica, luego
.
Ahora que conocemos los números enteros, podemos utilizarlos para representar situaciones como:
Seis grados bajo cero o una deuda de tres mil pesos
2.1. Regularidades numéricas
Al realizar ciertas operaciones aritméticas entre los números enteros, es posible encontrar
propiedades que resultan curiosas e interesantes por presentarse como patrones o regularidades
numéricas.
Estas regularidades son sucesiones de números que forman un conjunto que siguen cierta regla de
formación. La sucesión la denotaremos por , con donde es el término general de la
sucesión. Por lo tanto, se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a
continuación de otro.
El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado
término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por convención, al término
general de una sucesión se le denota por y se hablará de término -ésimo.
Ejemplos de sucesiones son:
7

8. 3. Números racionales
Si tratamos de resolver una ecuación como , sólo conociendo el conjunto , nos damos
cuenta que carecemos de dicha solución. Debido a esto, se ha hecho necesario encontrar un
conjunto que “extienda” a . Dicho conjunto está formado por los números racionales que
denotaremos por .
Decimos que es un número racional, si es posible expresarlo de la forma: , donde
. a es llamado numerador y b es el denominador de la
fracción.
El conjunto de los racionales es denso porque entre dos números racionales siempre podemos
encontrar otro número racional.
Si , se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de
fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.
Recordemos además que si , el número racional a/b se puede considerar como el
cociente que se obtiene al dividir a por b; en donde b indica el número de partes en que se divide la
unidad y a el número de partes que se toman de esta división. De esta manera, si se divide en dos
partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números
racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador como se muestra en el
ejemplo siguiente.
De igual manera, si se divide en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos
representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador ,
como se muestra en el ejemplo siguiente.
3.1. Representación decimal de un número racional:
Toda fracción puede expresarse como decimal periódico, dividiendo el numerador por el
denominador. Se dice que la fracción genera el número decimal. Un número decimal periódico es
un número racional que puede ser representado por una fracción decimal.
8

9. Ejemplos:
Número decimal exacto o de período cero es un número racional ya que
pues .
Números decimales periódicos
Los números decimales periódicos puros o periódicos-mixtos también son números racionales ya
que pueden ser escritos como fracciones.
3.2. Transformación de un número decimal finito a una fracción decimal:
Para realizar este proceso basta con escribir una fracción cuyo numerador sea el número completo
sin la coma decimal y su denominador sea una potencia de que tiene tantos ceros como cifras
tiene la parte decimal, es decir, tantos ceros como la cantidad de cifras después de la coma.
Observemos un ejemplo: es igual a o bien
3.3. Transformación de un número decimal periódico a una fracción decimal:
Todo número decimal periódico o de período mixto puede escribirse como una fracción. se dice
también que la fracción genera el número decimal periódico. A través de un ejemplo
determinaremos la fracción generadora de .
Expresa como fracción el número decimal
Sea la fracción que genera el decímalo entonces
(1)
Multiplicamos por 100 ambos miembros de la igualdad y obtenemos
(2)
Contamos ahora con las ecuaciones (1) y (2)
Restando miembro a miembro tenemos:
(3)
Multiplicando por ambos miembros obtenemos:
9

10. Realizando estas operaciones se puede obtiene “la regla” para transformar un decimal periódico en
fracción.
“El número proviene de una fracción que tiene por numerador la diferencia entre el número
dado sin la coma decimal con el número que resulta al suprimir el período 1 y como denominador
tantos nueve como cifras tiene el período seguido de tantos ceros como cifras tiene el no período.
3.4. Orden en:
Dados dos números racionales siempre se cumplirá sólo uno de los tres casos:
I. Los números son iguales si se cumple que
II. El número es mayor que si se cumple que
III. El número es menor que si se cumple que
Números irracionales ( )
Un número irracional es un decimal infinito no periódico, es decir no es generado por una fracción,
por lo tanto no puede ser representado como un número racional.
Ejemplos: ,
Todas las raíces inexactas son números irracionales.
Como los números irracionales no pueden ser representados como cocientes de números enteros
(ya que no son racionales), no es posible escribir explícitamente su forma decimal, pero sí tienen la
importante propiedad de poder ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.
La resta y el producto de números irracionales puede no ser un número irracional, por ejemplo:
I. , donde pero
II. , donde pero
III. , donde pero
Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos
alguno:
- La diagonal del cuadrado de lado unidad es:
- Si p no es cuadrado perfecto, es irracional.
- En general, si p es un número entero y no es un número entero (es decir, p no es una potencia
n-ésima), entonces es irracional.
- La diagonal de un pentágono de lado unidad: (“fi”: Número áureo)
- La relación entre la longitud de una circunferencia y su radio: (“pi”)
10

11. 4. Números reales ( )
El conjunto de los números reales se denota por la letra y está conformado por la unión del
conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales I:
-93
-8
2
17 1
3 3
2
0
¿Nos acordamos? ¿Entendimos?
Ejercicios de revisión
1)
a. Clasifique los siguientes números en racionales o irracionales. Explique.
b. Si es racional, diga a qué subconjunto pertenece.
1 35
a) b) 7 c) 0 d)
3 7

e) 0,6 f) -56 g) 0,123456… h) e

i) – 2,341341 j) k) -4,285 l) 4,285
3
m) 8 n) 2,010010001…
a) Diga en qué subconjunto de los números reales está incluido cada uno de los siguientes
conjuntos:
3
5 27
A= 3; 3 7 ; ; e; B= 4 ; 1;3; ; 22
5 3
2 5 4
C = 1; 2; 3; 4; 5; 6 D = 0; ;4; ; 8;
3 2 4
 
E= 9; 7; 5; 3; 1 F= 0,2; 0,27; 1,025; 2,7; 2,9
b) ¿Todo número racional es un número entero? Justifique su respuesta.
3) Califique con V (Verdadero) o F (Falso) las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.
a. e. Q
b. f. Q  Q
c. Si a Q a
d. 81 g. 
11

12. h. Si a a 0 k. Si a a Q
i. Si a a Q l. 0,12012000...
j. Q
NÚMEROS ENTEROS
1) Completa el cuadro con los valores correspondientes:
a b a+b b–a a. b a. b b. (a – b)
-4 2
-4 16
-8 0
-15 -5
-6 1
2) Resuelve los siguientes ejercicios combinados:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3) Resuelve aplicando propiedades de potencia:
a. d.
b. e.
c. f.
4) Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando tu elección:
a. 3
a 3 .b 3
a.b a.b
f.
b.
g. 3 9 27 3
c.
( 2).( 2) 4 2
d. h.
e. 3
a 5
a
EJERCICIOS
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
1) 2)
3) 4)
12

13. 5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
25) 26)
27)
28)
29) 30)
NÚMEROS RACIONALES
1) Suprime paréntesis, corchetes y llaves y resuelve:
1 1 3 2 1 7
a. 1
2 3 4 9 2 4
5 1 2 5 1 5
1
6 9 3 3 6 3
b.
4 1 3 3 4
c. 1 1
5 2 5 2 5
13

14. 2) Completa el siguiente cuadro:
y
x y z k x.y.z x:z x.y+z:k x.z:k+y
z
1 4
1,5
4 3 -0, 8
3 5 15
- -0,75
5 6 8
3) Separa en términos y resuelve:
7 13 15
a. : 0,25 0, 3 0,3 6 .
8 4 d. 22
2
4 1
b. 0,0 2 .15 : 1 1, 3 1,3.0,5
5 e. 20
21 3 7 50
c. . 2, 2 0, 3 0,12 3 0, 1 .
3 10 f. 3 3
4) Aplica propiedades y resuelve:
5 4
3 3 27 125
a. . d. 3 .
10 10 8 64
5
2 81
b. 2 e.
2 16
32 144 36
c. 35. f. :
310 81 25
5) Completa con el número que verifique las igualdades:
a. f.
b. g.
c. h.
d. i.
e.
6) Resuelve:
2 3 1
1 1 1 1 2
a. 3 : 2 3
2 5 2 5 3 1
2
c. .2
7 1 3 1 2
b. 3 1 1 3 5.2 1.
8 2 4 7
2
1 3 3 1 7
d. 5 2 :8 .
4 16 4 2 8
14

15. 3
1 1
8 2 .
2 2. 3 1 3 2 2 2
3 1 g. . 3 2
e. 2 2 4 3 2
1 2
1 3
3
1 1
1
1 1 6
f. 3 . 2 2
4 13 1 1
2 .7
4
EJERCICIOS
Suma los siguientes radicales:
1. 9.
2. 10.
3.
11.
4.
12.
5.
6. 13.
7. 14.
8. 15.
EXPRESIONES DECIMALES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
1. Coloca la coma en cada producto, agregando ceros, cuando sea necesario:
a. 17,5. 0,1 =……..175
b. 9,286.0,01=………..9286
c. 1357.0,001=…………1357
d. 7. 0,000001=…………..7
e. 10,45.0.00001=………….1045
2. Calcula cociente y resto de:
a) 4:17 con 0,01 b) 15,91:54 con 0,0001 c) 0,387:21 con 0,001
d) 30,7:0,00167 con 0,1 e) 160,428: 2,58 con 0,01 f) 7,13 : 0,056 con 0,01
3. Separa en términos y resuelve:
2
a. 0,7 0,13 : 0,4 (0,1 0,9) 2 0,5.0,03
0,02 0,13 0,016
b. 3 0,45.1,5
0,5 2
15

16. 0,004 : 0,1
c. 0,15 : 1,5 (0,9 1) 3 : 0,02
4
0,2. 0,2 0,5 2 0,3.0,8
d.
0,05 1,2 0,6 0,4
e. 0,25 1,5. 2,25 1 0,5 . 0,01 5,6.0,4
(Realiza todos los cálculos con los decimales, sin usar calculadora)
4. Calcula aplicando notación científica:
a.
b.
c. 0,0000000437. 0,0005165=
d.
e.
f.
g.
5. Halla el valor de x:
x.6.104.1,4.105 10x.6.1014
a. 6.1017 b. 1028
7.106.2,5.10 18 10 4.3.10 17.2.102
6. La superficie que ocupan todos los continentes e islas de la Tierra es
a. Expresa esta cantidad en notación científica.
b. Las islas ocupan las 2/5 partes, expresaras esta cantidad en notación científica.
7. El período de revolución de la tierra, (tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor
del Sol), es 365días. Calcula este tiempo en segundos y exprésalo en notación científica.
8. Un cartón de cigarrillos tiene 10 atados de 20 cigarrillos cada uno; cada cigarrillo mide 10 cm. Se
colocan todos los cigarrillos de 10 cartones en “fila india” sin dejar espacios. Marca cuál es la
longitud de la fila de cigarrillos:
………… ………… ………… …………
9. Calcula aplicando notación científica:
16

17. 10. Halla la expresión algebraica irreducible de cada expresión decimal y resuelve:
b.
a.
c. d.
e. f.
g.
EJERCICIOS
Introducir dentro del radical todos los factores posibles:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
19) 20)
21) 22)
23) 24)
PROBLEMAS
a) Una persona adulta, en reposo, absorbe a cada respiración litros de aire y realiza 160
respiraciones en de hora. Averigua la cantidad de aire que pasa por sus pulmones en de
hora.
17

18. b) Los socios activos de un club representan los del nº total, siendo los menores los restantes.
¿Cuántos activos y menores son si el total es de 9450 socios?
c) Un estanciero poseía 2100 cabezas. Compró una cantidad igual a los de aquellas y recibió
luego una remesa equivalente a los del total que entonces tuvo.¿ Cuántos animales reunió?
d) El dueño de un supermercado reparte $3300, en concepto de premios a sus 4 encargados,
dando al primero del total, al segundo de lo que recibe el primero, al tercero del total y al
cuarto el resto. ¿Cuánto recibió cada uno?
e) Un señor gana $ 1800 por mes y los distribuye así: para alimentos, para alojamiento, para
ropa y para gastos varios. ¿Cuánto dinero le queda disponible?
f) Una señora que había salido de compras se encuentra con que después de gastar los del
dinero que había llevado, le quedan $ 140. ¿Cuánto dinero tenía al salir?
g) Los de la superficie total de una plaza están cubiertos de césped y árboles, está ocupado
por un patio de juegos infantiles y por una fuente, quedando 4160 para caminos y
veredas. ¿Cuál es el área de la plaza y de cada parte?
h) Un dibujante adquirió un tablero, gastando de cierta suma de dinero; con los de lo que
restaba, compró un sillón, quedándole $560. ¿De cuánto dinero disponía?
i) Un tonel de vino es llenado por una canilla en 5 horas y por otra mayor en 8 horas. Si ambas
funcionan juntas ¿qué parte del tonel llenarían en 2 1/2horas?
j) Preguntando la edad a un señor, respondió: “la 8º parte de los años que tengo, más los del
total, más los del total, más 7 años, esa es mi edad” ¿Cuántos años tiene?
k) Una pista de ciclismo circular tiene un radio de 50m ¿Cuántos km se recorren en 35 vueltas?
l) Para preparar el decorado de una obra de teatro en una escuela, se designan 6 alumnos que
tardarán 4 días en terminarlo. Si se estrena en 3 días ¿Cuántos alumnos habrá que agregar?
m) ¿Cuál es la cantidad cuyo 15% es 60?
n) El 50% de un nº es 45¿cuál es el nº?
o) Qué porcentaje de 189 es 17,8?
p) Cuál es el 25% del 25% de 100? Una empresa reparte un premio por presentismo de $620 entre
tres empleados que faltaron 2 días, 3 y 5 respectivamente ¿Cuánto le corresponde cobrar a
cada uno?
18

19. PROPORCIONALIDAD
a c
1. Completa los cuadros, sabiendo que: “a ,b ,c y d forman una proporción: , se verifica que
b d
el producto de los medios es igual al producto de los extremos”
a.
a b c d
6 30 40
-1 -1,6 8
4,5 3 0,9
1,5 -2,4 12
b.
a b c D
0,5 0,3 2,5
-12 -3 5
-3/4 -2/15 1/2
-0,5 -1/2 -4
2. Determina el extremo o medio desconocido:
x 0,2 2 x 0,75 0,4
1. 2.
2 0,1 0,008 0,75 0,4 (0,5 1) 2
2
3 1 2 2 2 1 11 2 1
. 3 .
5 4 3 3 3 15 5 6
3. 2
4.
1 x x 1
5. (0,5) 2 .
2 3
3 1
0,3 5.( 9) x
4 2 x 6.
5. x 2
( 5) ( 4 1)
0,3 1 3
2.
2 2
2
1 1
6 3 0,0 1 .0,0 3 x
0, 4 .0,3 2 3
7. 7 10 8. 2
2 1 1
2 x 0,3 1. 5.
1, 2 5 2
3
2x 1 0,5 x 1 0,36
9. 10.
2 1 1
0, 1
3 2 5
2 3
1
5
2x 1 3
11. 1 0, 6 x
1 12.
0, 2 1, 5 1 2
3 x 1 0,5
1 1
2
6
19

20. 3 1 8 49
2 5 14.
x 1 5 1 x 3
1
13.
3 1 7
2
16.
1 6, 4 6.(1, 3 1)
15. x
1
x 3
1 0,936 1 : 25
Nº REALES y RADICALES
1) Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las propiedades:
1. 4
8 by 4 b 2 . y
2.
b 3 .6 bx 5
3. 5 4. x.3 x 2 .3 x 2
2) Realiza las siguientes operaciones:
6
1. 80 45 8000 2. 3
1728 3
36864
3. 1 2 3 .1 5 3 4. 0,4 0,16 3
0,001
1 4
5. 6 512
128
3) Simplifica las siguientes expresiones:
z z2 8
a.
6
a 6 b6a 6 b.
z2 8 z
4) Resuelve la ecuación:
2
a. 2. 1 2 2x 2 18 b. 8. x 8 72. 2 2
5) Racionaliza:
2 2 2
a) b)
5 3 2 2
32 3 3 5 2
d)
c) 3 2 5
2. 2
6) Obtiene la mínima expresión posible simplificando:
x 3 x 3
f)
e) 3
x 3
x 3
1
x 1 1 h) a.b
g) 3
2a 2 b 4
x 2
1 1/ 2
x x z z x z 3 xz
i)
x z
20

21. 1 7 1
7) Sabiendo que a calcula a
7 1 a
8) Une con flechas:
1 x 1
2 3
2
2 a
x 1 x 1
x 1 x 1. x 1 x 1 x 2 x 1
2
a con a 0 2x x2 1
2 5 2 5 3
3 1 3 1 2
5 2 2 5 2
5 1. 5 1
9) Realiza las siguientes operaciones:
3
0,001 5 15 6 45 125 500
a. b. a a 35 a c.
12 3 64 2 1 3
10) Si a 3 1 ; b= 2 2 3 y c= - 3 1 , decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o
falsas. Justifica.
a) a b es un nº irracional.
b) a c es un nº irracional
c) a. c es un nº entero.
a
d) es un nº racional.
c
11) Aplica propiedades y resuelve:
5 9
3 1 1 4 2 11
5
4 2 5 10
a) 2 2 . 2 2 b) 0,1 3 :10 :100
12) Transforma las expresiones siguientes en potencias de base 3:
5 3
2 4
1 1
a) 9 b) 81 c) 5
d) 3
81 243
13) Expresa en potencias y resuelve:
1/ 3
15 3 1001 / 2
a) 2 2 2 b)5 3
5: . 25 c) 6 .4 12 : 181 / 2 d)
5 3
10 : 0,001
5
3 4
2/3 5
14) Simplifica todo lo posible: x Halla su valor, después, para x= 0,0001
21

22. FACTOREO
1) Encuentra el factor común:
4 2 8 3 16 7 2 5
a) 3a-2an+6 a-3ab= b) n n n n c) 3(a b) x(a b) x 2 (a b)
3 9 15 3
d) 2(x2-2x+3)+ x(3+x2 -2x)- (x2 +3-2x)=
2) Extrae el factor común indicado:
1 3 2 1 3 1
a) 4x3 +2x2 +30x=2x (x) b) a a a a (a)
2 4 8 8
3) Factorea encontrando el factor común en grupos:
a)6 a3 -4 a2x-3ax+2x2= b)ax-ay+bx-by-cx+cy= c)4ax-6ay+6bx-9by=
4) Factores los Trinomios cuadrados perfectos
4 4 2 4 2 1 2 2
a) 4 a2 b4 -4 a2 b5 +a2 b6 = b) 25x2 -30xy+ 9 y2= c) a b a bxy x y
9 15 25
5) Factores los Cuatrinomios cubos perfectos:
1
a) 27b3 +108ab3 +144 a2 b3 +64 a3 b3= b) 64 x3 y3 -24x2 y2 +3xy-
8
c) x3 -12b3 x2 +48 b6 x-64 b9 =
6) Transforma en producto, cuando sea posible aplica diferencia de cuadrados:
1 6 1 2 4
j) n 1 k) x y 0,81x 2
9 4
1 2
1 2 m) a b4
l) n n4 81
4
o) 1 49c 4
n) n2 x2
7) Transforma en producto la siguientes sumas o diferencias de potencias de igual grado:
1
a) a3 -64= b) x5 +32= c) 8 a3 +1= d) x4 -
81
EJERCICIOS
1) 1)
2) 3)
4) 5)
22

23. 6) 7)
8) 9)
10) 11)
12) 13)
14) 15)
16) 17)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
Efectúa las siguientes operaciones:
1 1 x x 10 2x 4
1. 2
1 2.
x 1 x 2x 1 ( x 1) 2 x2 4 2
x 4x 4
x 2 x 3
2
4x
x2 4.
3. x 3 6x 9 9 3
x 2
x 3
c 3 m 3 2c 3 6c 2 m 6cm 2 2m 3 1 6a 3 16ab a
5. 6.
(c m) 3 ac am bc bm c2 cm c 2 10ab 15b 2 20ab 30b 2
3z 2 3x 2 (z 2 x 2 ).( z m) 2 3 5
7. 8. 4
zm xm zn xn z 2 m2 a 2
4) a 2 a 2
2x 1 2a 11 4 x 3x
9. 3a 6 x 3 a x x2x 8 2
a a 10.
x 2 4x 8
a 2x a 2x 2
x 4x 4 2x
x 2 5 x ax 5a x 2 a 2 x 1
2
1 x2 1
11. ( x 5) 12. 4 ( x 1)
x 2 25 10x ( x a) 3 x 1 x2 1
2 3 1 14.
13.
9 x 2 16 3x 4 3x 4
15. 16.
17.
18.
23

24. 19. 20.
21. 22.
24.
23.
25. 26.
27.
28.
29.
30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
40.
39.
ECUACIONES DE 1º GRADO
1) Resuelve las siguientes ecuaciones:
2 5 1 7 3 1 4x 8 5x 9 2 3 x 3 7
a) b) c) d) e)
x x 2 4x x 4 3 6 x 1 2x 7 x 1 3
24

25. 3 1 1 5
f) 3 0 g) 7.( x 3) 6.(2x 9) 6.( x 3) h)2x x x
4 8x 3 3
5 x 2x 1 2
i)9x x 1 .12 0 j)2x 4 k) x 5 x 3 7 4 x 12
4 6 9
2x 3 x 1 3x 1 1
l) 2 x m) (x 3) x
4 3 2 4 2
2) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias con coeficientes literales:
m n 2x a b 2x a2 b2
a) .x (an bm) x ab b)
a b b a ab
a 5b c 2b 2 5 x m x m x ax b
c) d) 2 e) 2
5x 2x c a a m a m x b x a
ax bx b x a m m aa 2 2( x a) m a m a
f) 1 g) h)
b.(a x ) a.(a x ) a x a x a m a m a
Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) La suma de dos números consecutivos es79.¿Cuáles son los números?
b) La edad de A es el triple de la edad de B. Si al sumar las edades da 128.¿Cuáles son las edades de A y
B?
c) Juan tiene 500 estampillas más que Pedro. Si entre los dos poseen 1244 estampillas ¿Cuántas posee
cada uno?
d) La diferencia entre dos ángulos complementarios es 20°¿Cuánto mide cada ángulo?
e) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. Si el menor de los ángulos mide la
mitad del mayor y 14° grados menos que el intermedio.¿Cuál es la medida de cada ángulo?
f) Entre A, B, y C se tienen que repartir $ 126000. La parte de B es el doble de la parte de A y la parte de C
es el triple de la de B.¿ Cuánto le corresponde a cada uno?
g) El perímetro de un triángulo es 38 m. Uno de los lados mide 2 m más que el segundo y 5 más que el
tercero ¿Cuánto mide cada lado?
h) Ramiro ha resuelto 2n+3 problemas de ecuaciones, Rodrigo 4n-5 y Sebastián 3n+4. Si en total han
resuelto 47 ejercicios,¿cuántos resolvió cada uno?
I) Las dos quintas partes de un nº más cinco, es igual a la mitad de dicho nº ¿cuál es el número?
j)El denominador de una fracción es cuatro unidades mayor que el numerador. Si a cada término de la
fracción se agrega 5, la fracción resultante es equivalente a 2/3.Halla la fracción.
k) La mitad de un nº más la tercera parte de su consecutivo es 7.¿Cuál es el nº?
l) La tercera parte de la suma de dos nº consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son
los nº?
ECUACIONES DE 2º GRADO
Resuelve las siguientes ecuaciones:
x 1 x 1 x 0,13 x2 3x 1
a) R: b) 3 R:x 2
x 2 2x 3 x 7,87 x 1
25

26. x x x 0 1 1 x 0
c) 0 R: d) 4 x . 4x 0,25 2x R: 1
3 x 5 x 2 2 2 x
2
1
3x .3
1 1 3 2x 1
e) x 2. 2 x 0 R:x 4 f) R : x1 x2
2 2 x 1 3x 1 5
x 2 x 2 x 161
, x 1 1 x 0
g) 2 R: h) R:
x 1 x 1 x 0,61 x 1 x 1 x 3
1
x 2 x x 0
x 1 1 x 6
i) 1 R: 1 j) 2 2 R: 5
3x 2 x 3x 1 2x 3 x
3 22
2 1
x x 2
3.( 3 x 4) 2 x
k) R: 3 l) 3 R:x 3i
2 x 2 x 1 x 3
x
3
x 1 2x 1 2x x 1
m)2x.(7x 5) 10 3x.(5x 9) 8 R: n) 1 R: 1
x 18 x 2 2x 1 x 4
1 x 1 1,22i ( x 1).( x 3) x 2
ñ)4. x x2 2x 2 3 R: o) 15
, R: 3
2 x 1 1 22i
, x x
2
x 2 x 0 7x
p) 2 R: q)2x 3 R:x 3i
x 2 x 1 x 5 x 2
Analiza la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones, sin resolverlas:
a) x2- 8x+12=0 b) 4y2 -12y+4=0 c) 3x2 -2x= 2x2 -6
25 2
d) 3 y 10 e) 4x2-4x+9=0 f) x 2 5x 1 0
y
3) Determina el o los valores de “K” en las ecuaciones para que sus raíces sean iguales:
a) x2 +4x-K=0 b) x2 +2(K-2)x-8K=0 c) 3x2 -2Kx+3=0 d) (3x+6).x+6x+K=0
4) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
a) 4 x x 4 b) x 2 / 3 3x1 / 3 10 0 c) x 2 6x 4 d ) 5x 4 x 2
e) x x 6 f )x 2 x2 9 3 g) x 1 x 1 h)2. 2 x 3 3x 2 x 2
i) 2 x 2 2x 1 2x 3 0 j ) x 9 x1 / 2 14 0
26

27. 5) Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado con coeficientes literales:
ax x a 1
a) a x a b) b x 2 ( a b) c) x 2 (m n) x mn
x a 2 2
x a x a a ( x 2 1) 1
d) 1 e) a. x f ) 5 x 2 (2 x a ) 2 0
x a x a 2 2
g) x (2x+ab)=(ab)2 h) 2x2 +bx =-b(x+b)
6) Reconstruye las ecuaciones sabiendo que sus raíces son:
3 6 2 5 2
x1 x1 x1 x1 1 i
5 b) 3 c) 3 d) 3
4 6 2 5 2
x2 x2 x2 x2 1 i
5 3 3 3
a)
7) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
x4 9
5 x2 1
a) x4-2x2=8 b)x4 = 2x2 +99 c) 2 x 4 x 2 d) 5 5
8
2
e) 2x3. (x-5) +24 .32 = ( x2 -5x)2 f) - x 2 1
x2
x 2 x3 1 4x 3 3x 2 2
g) x2 (2-3x2)-7x2= (6+2x2).(6-2x2) h) 2 x 2( x 2)
Plantea y resuelve los siguientes problemas
a) Halla dos enteros consecutivos cuyo producto sea 552.
b) Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195.
c) Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 728.
d) Si del cuadrado de un número se resta 54 se obtiene el triplo del número. ¿Cuál es el número?
e) Si al cuadrado de un número se agrega ¼ se obtiene el mismo número. ¿Cuál es éste?
f) Un número excede a otro en 4 unidades. Si el producto de ambos es 285. ¿Cuáles son?
g) Si de un número se resta su recíproco se obtiene 4,8. ¿Cuál es el número?
h) La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual al mayor más 10 veces la
suma de ambos. ¿Cuales son los números?
i) Halla tres números positivos enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 365.
j) El quíntuplo de un número es igual a la mitad de su cuadrado, aumentado en 12 unidades.¿Cuales
son los números que cumplen esa condición ?
k) La edad de Juan Pablo elevada al cuadrado es igual a 5 veces la edad que tendrá dentro de 10 años.
¿Qué edad tiene Juan Pablo?
l) El área del rectángulo de la figura es 18 cm2.Calcula su perímetro
27

28. m) Calcula x sabiendo que el triángulo es rectángulo en A .
i) Calcula el perímetro suponiendo que los lados están
expresados en cm.
ii) Calcula su área.
n) El producto de dos números pares consecutivos es 360 ¿Cuáles son los números?
o) Divide el nº 24 en dos partes positivas cuyo producto sea igual a 128.
p) Si se multiplica un nº por 2, al resultado se suma 4; la suma se multiplica por el triplo de dicho nº; el
producto se divide por 8, se obtiene el cuádruplo del nº menos ¾.¿Cuál es dicho nº? ¿El resultado es
único?
q) La diferencia de dos nº es 3. Seis veces el cuadrado del nº menor menos el cuadrado del nº mayor es
igual a -1. Determina cuáles son esos nº?
r) La suma de los cuadrados de tres nº consecutivos es igual a 110. Halla dichos nº.
s) Encuentra tres nº enteros consecutivos tales que el cociente del primero de los nº por el tercero sea
igual a la sexta parte del segundo de los nº. ¿Cuáles son los nº?
t) Una empresa paga $ 60000 entre varios obreros por salarios. Si los obreros fuesen dos más, cada
uno recibiría $ 1000 menos. ¿Cuál es el nº de obreros?
u) La superficie de un rectángulo es igual a 4096 m2 y su perímetro igual a 320m. determina la base y la
altura del mismo.
v) Si un péndulo de 24 cm de longitud tiene, en el vacío y sin rozamiento, un período de oscilación de 2
seg. ¿en cuánto aumentará el período de oscilación, para la misma amplitud, si la longitud aumentase en
T1 l1
13,5 cm?
T2 l2
w) Al cabo de cuánto tiempo un cuerpo que cae verticalmente, sin velocidad inicial y en el vacío,
1 2
descenderá un trayecto de 122,5 m? e g .t
2
x) Un móvil que posee una velocidad inicial de 50m/seg se mueve con una aceleración de 4 m/seg2
1 2
¿Qué tiempo empleará para recorrer un trayecto de 5,2 km? e v0 t a.t
2
y) Un automovilista recorre con una velocidad uniforme una distancia de 300 km en un determinado
tiempo. Si aumentara la velocidad en 25 km por hora, tardaría dos horas menos para recorrer el mismo
camino.¿Cuál es el tiempo empleado.(sugerencia: designa con x al tiempo empleado)
SISTEMAS DE ECUACIONES
1) Resuelve los siguientes sistemas, por el método apropiado:
Métodos de resolución:- método de sustitución- método de reducción- método de igualación
x 2y 3 x y 10 2x 3 y 8 x y 0 3x y 6
a) b) c) d) e)
2x 4 y 6 x y 2 3x y 10 2.( x 1) y 8 6 x 2y 9
28

29. x y x y x y 1
4.( x 2) 8( y 1) 2 2x 3 5 y
f) g) 2 3 h) 6 4 3 i)
6x 3 3( y 1) x y 2x y 3 x 2y 3x y 4( y 2
5
4 2 8 2 2
5x 3y 2 77 y
1 y 1 x
2x 3 ( y 2) 3 5 45 3
j) 2 k) l)
10 x 6y 1 2 89 3x
4x 4 y x y
4 5 7 35 5
2) Resuelve por el método de determinantes:
1
4x y 3 2x 3 y 8 2x y
a) 1 b) c) 3
3x y 4 x 5y 4 1
2 5x y 3
3
1 1
3) Resuelve los siguientes sistemas en y y luego calcula x e y:
x y
3 1 3 2 9 5 10 9
18 14 1 1
x y x y x y x y
a) b) c) d)
2 3 6 3 3 10 5 6
5 7 5 3
x y x y x y x y
2 1 6 5
1 3
x y x y
e) f)
2 1 9 20
11 1
x y x y
4) Resuelve los siguientes sistemas, reduciendo las ecuaciones dadas a la forma entera:
x 1 y 1 y 2
3 0 2x 3 y 1
y x 1 x x 2
a) b) c ) 2x y 2
x 1 3 y 2 xy y2 x
x 2y 11
y 1 2 2 2 2( x y ) 2y 2x
x y 2 x 1 1 3 3 7
0,7 x 0,9 y
1 y 3 y 1 3 50 3y x 3x y
d) e) f) g)
2( x y ) 1 x 1 6 9 5
3 3 11x
, 0,12y
y y y 1 5 4x 3 4y 3
2x 16
, 0,2y
h) 5 1 2y
, 7,4
x x2 x2
29

30. 5) Sistemas de ecuaciones con coeficiente literales:
x y
2ab ax by 2a
a b a b
a) a b R:x a 2b y ab 2 b) x y 2 R:x y
x y a b
a b b a a
ab ab
x y a a b a b x2 y 2 2ab b2
c) R:x y d) R: x a b y a
x2 y 2 ab 2 2 x y b
Plantea y resuelve los siguientes problemas por el método más conveniente:
a) En un corral hay gallinas y chanchos. Si se cuentan 30 cabezas y 94 patas. ¿Cuántas gallinas y
chanchos hay?
b) La suma de dos números es 13 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números?
c) El perímetro de un rectángulo es de 24cm. La diferencia entre la base y la altura es 2cm. Calcula su
área.
d) En una juguetería donde se venden bicicletas y triciclos, Juan Pablo dijo: Hay 60 ruedas, Javier
agregó: hay 5 bicicletas más que triciclos. ¿Cuántas hay de cada una?
e) Cecilia dice: cuando yo nací Victoria tenía dos años .La suma de nuestras edades es 8 años. ¿Cuántos
años tenemos?
f) La mitad de un número es igual a la tercera parte del otro. ¿Cuáles son dichos números si su suma es
igual a 10?
g) En una alcancía hay 20 monedas de $1 y de $0,50. Si hay en total $19. ¿Cuántas monedas hay de cada
clase en la alcancía?
h) En un bar hay 120mesas de 3 y 4 patas. ¿Cuántas mesas hay de cada clase si se cuentan 430 patas?
i) El promedio de las clasificaciones de Diana y Susana es 7,50. Si la calificación de Susana es la cuarta
parte de la de Diana más cinco. ¿Qué calificación tiene cada una?
j) La suma entre el doble de un número y la mitad del opuesto de otro es 9. La razón entre la suma de
ambos y 1/3, es igual a la razón entre el doble de su diferencia y -1. ¿De qué número se trata?
k) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble de la menor y su perímetro es de 42 cm. Si cada
uno de los lados iguales es 3/10 de la base mayor.¿Cuánto mide la base media del trapecio? (b m=
B b
)
2
l) Encontrar dos nº tales que dos veces el primero más tres veces el segundo sea igual a 105 y tres
veces el primero más dos veces el segundo sea igual a 95.
m) Si a la mitad de un nº le agrego la tercera parte de otro, la suma es igual a 13; y si la mitad del
segundo se resta de un tercio del primero, la diferencia es igual a 0. ¿Cuáles son los nº?
n) En una reunión de 42 personas se hace una colecta y se juntan $1890, habiendo contribuido cada
adulto con $60 y cada menor con $25. ¿Cuántos adultos y cuántos menores había en la reunión?
11
o) Compré dos objetos cuyos costos son tales que su suma es igual a los 2 de su diferencia. Por otra
parte, el más caro cuesta el doble que el otro menos $20.¿Cuánto costó cada objeto?
30

31. p) Dos termómetros, uno Celsius y otro Reaumor, se sumergen en una vasija con agua. La suma de las
temperaturas que marcan los dos termómetros es 63º. Se sabe que los grados centígrados y
Reaumor están en la relación 5/4. ¿Cuántos grados marca cada termómetro?
q) El perímetro de un rectángulo es 140cm y la base es 20cm más larga que la altura. ¿Cuál es la
superficie del rectángulo?
r) La diferencia entre el doble de un nº y otro es -1, y la suma entre la mitad del 1º y el 2º es 11. ¿Cuáles
son los números?
s) Un padre tiene 24 años más que su hijo y su edad es el cuádruple que la de éste. ¿Qué edad tiene
cada uno?
MEDIDA
PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS
1) La superficie de este cuadrado es de 36cm2 ¿Cuál es la longitud de su lado?
Si lo dividimos en cuadraditos de 1 cm de lado, que luego colocamos uno al
lado de otro, ¿qué longitud cubrirían?
2) De una chapa cuadrada de 17cm de lado, se cortan dos triángulos como
indica la figura. ¿Cuántos cm2 ocupa el triángulo sobrante
3) Calcula la superficie sombreada en el dibujo
4) Dibuja un cuadrado de 4 cm de diagonal, y calcula su área de dos modos diferentes:
a) Dividiéndolo en triángulo.
b) Recordando que todo cuadrado es rombo
5) De un cuadrado de cartón de 32 cm de lado, se corta en cada esquina
un cuadrado de 32 cm de perímetro, para construir una caja sin tapa.
Calcula:
a) el perímetro de la figura que queda después de cortar los
cuadraditos.
b) el área del cartón que se emplea para hacer la caja.
6) Diego y Claudia tienen un terreno con las dimensiones que indica la
figura. Quieren saber: a) ¿Cuál es el perímetro del terreno? b) ¿Cuál es el
área del terreno? c) Si desean edificar una casa de 210m2 y colocar una
pileta rectangular de 4m por 12m. ¿Cuánto terreno libre para jardín y
senderos les quedará?
7) ¿Cuál es el área de un pentágono regular de 50 cm de perímetro y 6,88 cm de apotema?
8) Calcula el área sombreada, sabiendo que el hexágono regular de 2 cm de lado y
1,73 cm de apotema, se halla inscripto en una circunferencia de 4 cm de diámetro
31

32. 9) Analía sostiene a su hermano bebé, sobre un caballito que está junto al borde de una calesita circular
de 8,70 m de diámetro. Si con cada ficha la calesita gira 12 vueltas. ¿qué distancia habrá recorrido el
nene con su caballito usando una ficha?
10) La figura muestra dos pistas de atletismo. Una de ellas es circular y mide 100m de diámetro. Matías
corre 5 vueltas por la pista interior, y Leonardo 4 vueltas por la pista exterior. Calculen:
a) ¿Cuántos km corrió cada chico?
b) ¿Cuál de ellos corrió más rápido, si comenzaron y finalizaron al mismo
tiempo?
(Recuerda que la rapidez se puede calcular dividiendo la longitud del camino
recorrido en el tiempo empleado)
11) Los alumnos de la escuela 14 quieren saber cuánto mide el diámetro del árbol centenario que está en
la plaza. Con una cinta métrica, miden su contorno: 6,35m. ¿Cuánto mide su diámetro?
12) ¿Cuántos km recorre un ciclista que da 30 vueltas al circuito que
indica la figura?
13) Calcula el área de cada uno de los siguientes cuadriláteros:
Recuerda trabajar siempre en una misma unidad de medida. ¿Qué se puede afirmar de los tres
cuadriláteros?
14) Para calcular el área del rombo ABCD, se calculó las áreas
de los triángulos ABC y ACD y luego se las sumó.¿Está bien lo
que se hizo?¿Cómo se pudo conocer la altura de cada
triángulo?
15) Una pileta de natación de forma circular y 12 m de diámetro,
está rodeada totalmente por una vereda de 1,5 m de ancho. En
una figura de análisis, escribe los datos del problema.
a) ¿Cuál es la medida de la superficie de la pileta?
b) Calcula el área de la vereda que circundan la pileta
c) Calcula el perímetro de la vereda.
16) El patio de una casa está formado por dos cuadrados, cuya superficie total
es 80 m2. El lado del cuadrado grande es el doble del lado del cuadrado chico.
Calcula:
a) el área de cada cuadrado
32

33. b) el perímetro del patio
c) Qué porcentaje de todo el patio representa el cuadrado chico
17) El cuadrado más grande mide 64 m de perímetro.
a) Calcula las áreas del cuadrado grande y del cuadrado chico
b) ¿Qué parte del cuadrado grande ocupa el cuadrado chico?
18) Este rombo tiene 20 cm de perímetro. Calculen la medida de su superficie.
FÓRMULAS Y PROBLEMAS
I ) Despeja la variable indicada
v x
1) 1 “V” 2) 2x 3t h2 “t”
a y
5 t 2v
3) 3h “v” 4) 2 x 2t 3h 6 “h”
6
v 6h
5) 5 t 2x 2h 5 “t” 6) y “h”
5t
7) 2h2 5y z a “z” 8) zh2 5x 3a “h”
1 1 1
9) z x 5t 2b “z” 10) “f”
f x x´
1 2
11) v v0 at “t” 12) d v0t at “a”
2
vf v0 vf v0
13) a “t0” 14) a “v0”
tf t0 tf t0
15) F f ma “f” 16) F N ma “ ”
1 1 1 1
17) V IR1 IR 2 IR 3 IR 4 “I” 18) “R”
R R1 R2 R3
1 2
19) d v0t at “v0” 20) v 2
f
2
v0 2gh “h”
2
q1q2
21) F K “d” 22) v f a tf t0 v0 “tf”
d2
33

34. 1 1
23) Ec mv 2 “m”; 24) E mv 2 mgh “m”
2 2
25) Ep mgh “m”; 26) Q Ce.m t f t 0 ................”m”
II) Despeja las variables indicadas en cada caso
(B b).h
a) A b ? h ? b )x 2 y2 z2 z ? y ?
2
n m 1
c )cx by a 0 a ? y ? x ? d) p ? n ?
p m
t x
e)p qx x q p ? q ? f )m x t ? m ?
m
x y
g) 2 x ? y ? h)ab bc a 0 a ? b ? c ?
x y
x l
i) z K z ? x ? y ? j)t 2 l ? g ?
y g
2xy 1 1 1
k )H x ? y ? l) a ? b ?
x y a b c
III ) Resuelve los siguientes problemas:
a) La fórmula v= u+a.t representa la velocidad final de un vehículo, siendo u : velocidad inicial, a:
aceleración y t: tiempo :
Halla la velocidad al cabo de 30 seg, si su velocidad inicial es 15 m/seg y su aceleración 0,2
m/seg2
Si el vehículo aumenta su velocidad de 12 m/seg a 36m/seg en 30 seg. ¿Cuál es su
aceleración?
Cuánto tiempo tarda un vehículo en aumentar su velocidad de 10m/seg a 90m/seg., si su
aceleración es 4m/seg2.
L
b) La fórmula T= 2 representa el período T de un péndulo simple, en la que L es la longitud del
g
péndulo y g la aceleración de la gravedad. Halla el período en un péndulo de 0,65 m de largo,
considerando g= 9,8 m/seg2 y 3,14
E
c) La ecuación de Einstein, que relaciona la energía, la masa y la velocidad de la luz es m = . Calcula
c2
la energía de una partícula cuando m= 1. 10-4 kg y c= 3. 105 km/seg.
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