Teoria de Conjuntos

1. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
TEORÍA DE CONJUNTOS
Definición de Spiegel
Un conjunto es una colecciónde objetos llamados miembros o elementos delconjunto.Algunos
sinónimos de conjunto son:clase, grupo y colección.
Definición de Marques
Un conjunto es un agregado o coleccióndeobjetos de cualquiernaturaleza con características bien
definidas demanera que se puedan distinguir todos sus elementos.
Un conjunto sedenota con letras mayúsculas (A, B, C, …) y elelemento por letras minúscula (a, b, c, …).
A los elementos seles encierra entre llaves y seseparanpor comas.
Ejemplos:
1. El conjunto detodos los números que aparecenallanzar un dado.
𝑫 = {𝟏, 𝟐,𝟑,𝟒, 𝟓,𝟔}
2. El conjunto dedías dela semana.
𝑺 = {𝒍𝒖𝒏𝒆𝒔,𝒎𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔,𝒎𝒊é𝒓𝒄𝒐𝒍𝒆𝒔,𝒋𝒖𝒆𝒗𝒆𝒔,𝒗𝒊𝒆𝒓𝒏𝒆𝒔,𝒔á𝒃𝒂𝒅𝒐,𝒅𝒐𝒎𝒊𝒏𝒈𝒐}
3. El conjunto delas vocales.
𝑽 = {𝒂, 𝒆,𝒊, 𝒐,𝒖}.
4. El conjunto delos enteros positivos menores que10.
𝑷 = {𝟏,𝟐,𝟑, 𝟒,𝟓,𝟔, 𝟕,𝟖,𝟗}
MÉTODOS PARA DEFINICIÓN DECONJUNTOS
Al definir un conjuntosepuedehacer dedos formas:
Método de Extensión o Numeración
En este métodosehaceun listadodesus elementos, si esto es posible.
Ejemplos:
1. El conjunto delas vocales en elalfabeto.
𝑽 = {𝒂, 𝒆, 𝒊,𝒐, 𝒖}
2. Números posibles que aparecenen unlanzamientode undado.
𝑫 = {𝟏, 𝟐,𝟑,𝟒, 𝟓,𝟔}
Método de Comprensión o Descripción
Se describealguna propiedad conservada por todos sus miembros y porlos no miembros. Ejemplos:
1. El conjunto delas vocales en elalfabeto.
𝑽 = {𝒙|𝒙 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒐𝒄𝒂𝒍}
Se lee “El conjunto de los elementos x tales que x es una vocal”
2. Lanzamiento de un dado.
𝑫 = {𝒙 ∈ 𝑵| 𝒙 ≤ 𝟔}
Se lee “El conjunto de los elementos de x que pertenecen a los números naturales tal que x es
menor o igual a seis”
Tiposde conjuntos
Según la cantidaddeelementos que tenga un conjunto, éstos se pueden clasificar dela siguientemanera:
 Conjuntos Finitos
 Conjuntos Infinitos
 Conjunto universal
 Conjunto vacío
ConjuntosFinitos
Son los que tienen un número conocido de elementos.
Ejemplos:
 El conjunto de números que aparecen al lanzar un dado.
 El conjunto de días de la semana.
 El conjunto de las vocales.
 El conjunto de los enteros positivos menores que 10.
ConjuntosInfinitos
Son lo que tienen un número ilimitado de elementos.
Ejemplos:
• El conjunto de los números reales.
• El conjunto de los números reales entre 2 y 5.
Conjunto universal
Es el conjunto de todos los elementos considerados en un problema o situación dada.
Ejemplos:
• Si solo se desea trabajar con los números reales positivos, el conjunto universal será
𝑼 = 𝑹+
= (𝟎,+∞)

2. • Si se quiere trabajar con los números que aparecen en un dado, el conjunto universal será
𝑼 = {𝟏,𝟐,𝟑, 𝟒,𝟓,𝟔}
Se puede notar que el conjunto universal no es único, depende de la situación.
Conjunto vacío
Un conjunto que no tiene elementos y se denota por ∅ ó {}
Ejemplos:
• El conjunto 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑹 | 𝒙 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎} es un conjunto vacío porqueno hay ningún número
real que satisfaga 𝒙 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎.
• El conjunto de los meses del año con 27 días.
DIAGRAMAS DEVENN
Cualquier figura geométrica cerrada (círculos,rectángulos,triángulos, óvalos, etc.) sirve para representar
gráficamente las operaciones entre conjuntos, estos gráficos son llamados Diagramas de Venn.
Normalmente,al conjunto universal sele representa conun rectángulo y los conjuntos con un círculoo
elipse, tal y como se muestra en la siguiente figura:
Los diagramas de Venn permiten tener una visión intuitiva de la relación que puede existir entre los
conjuntos.
OPERACIONES DECONJUNTOS
Unión
El conjunto detodos los elementos que pertenecen a Ao a B, o tanto a A como a B, se llama la unión deA
y B y se escribe:
𝑨 ∪ 𝑩
Intersección
El conjunto detodos los elementos quepertenecen simultáneamentea Ay B se llama la intersección deA
y B y se escribe A∩ B. (Área sombreada).
Diferencia El conjunto que consiste en todos los elementos de Aque no pertenecen a B se llama la
diferencia de Ay B y se escribe A –B. (Área sombreada).
Complemento
Son todos los conjuntos no en Ay se escribe A’. (Área sombreada).

3. Establecer la fórmula de las combinaciones 𝐶 con base a la ecuación de las permutaciones 𝑃.
a) 𝐶𝑟
𝑛
= 𝑃𝑟
𝑛
𝑟!
b) 𝐶𝑟
𝑛
=
𝑃 𝑟
𝑛
𝑛!
c) 𝐶𝑟
𝑛
=
𝑃 𝑟
𝑛
𝑟 !
d) 𝐶𝑟
𝑛
= 𝑃𝑟
𝑛
𝑛!
Encontrar los elementos del siguiente espacio muestral: 𝑠 = { 𝑥|𝑥2
+ 2𝑥 − 3 = 0}
a) {-3,1}
b) {-2,2}
c) {0,1}
d) {0,2}
En una empresa fabricantede autopartes, se sabe que, en un lotede 12 piezas, 4 son defectuosas. Un
inspector selecciona al azar la mitad del lote. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar 3 piezas
defectuosas?
a) 56
b) 112
c) 336
d) 448
Una persona que seestá arreglando para ir al trabajotiene,en un cajón de su clóset, bolas de calcetienes,
tiene 6 decolor negro, 5 en color azulmarinoy 6 en color gris.Encontrar la probabilidad deque la persona
extraiga calcetines en el orden negro, azul y gris, si cada bola de calcetines no se repone.
a)
6
17
b)
6
5
c)
1
68
d)
3
68
Determinar los números de2 dígitos que se pueden obtener, sisepermitela repetición, con los números
2, 3, 4, 5 y 6.
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
En la sala de juntas de la empresa “Alfa”, sepueden sentar10 personas, enuna reuniónparticiparán los
10 gerentes. La mesa tiene forma de“U”. En esta reunión estarán 6 hombres y 4 mujeres. Determinar de
cuántas formas se pueden acomodar en la sala.
a) 210
b) 4320
c) 8640
d) 17280
Determinar de cuántas maneras sepuedenformar equipos de5 personas queincluyan a 2 hombres y 3
mujeres, si enun grupo hay 7 hombres y 8 mujeres y, además, cualquier hombre y mujer puedeincluirse.
a) 56
b) 112
c) 588
d) 1176
En la escuela secundaria, hay un grupode alumnos que practica deporte como elkaratey el taekwondo.
Existen 5 alumnos destacados en elkarate y 8 alumnos conbuen desempeño enel taekwondo. Debido a
un torneo queorganizará elgobierno estatal,sedebe formar un equipoconsolo 2 alumnos para karatey
4 para taekwondo.Determinarde cuántas maneras sepuedeformarelequipo, siun alumnoen particular
de taekwondo debe estar en el equipo.