Este documento trata sobre los números reales y las desigualdades. Explica que los números reales incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales y se representan con la letra R. También define las operaciones básicas con números reales como la suma, multiplicación y potencias. Además, explica conceptos como el valor absoluto, desigualdades y operaciones con conjuntos de números. Finalmente, incluye ejercicios para practicar estos conceptos.

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad politécnica territorial Del estado Lara Andrés Eloy Blanco
(UPTAEB)
Números Reales , desigualdades
Entre otras
Asignatura : matemáticas
Nombre y apellido : Emily Piña CI 30550150

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Sección : CO123
introducción
En la enseñanza de la matemática, desde la etapa elemental
hasta la superior, es necesario adoptar algún concepto de nú
mero real de acuerdo con el nivel de estudios. La forma
compleja del concepto de números real plantea problemas did
ácticos difíciles.
Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen
libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias
internacionales de problemas aparecen con frecuencia. Todo solucionista
experto debe estar familiarizado con varias de ellas y con las técnicas
generales para su manejo.

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Números Reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e
irracionales. Se representa con la letra R.
Los números reales son los que pueden ser expresados por un número entero (3, 28, 1568) o decimal
(4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere decir que abarcan a los números racionales (que pueden
representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con
denominador diferente a cero).
Por Ejemplo;
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000..
b)½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000...
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333....
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097....
e) 0,1234567891011121314151617181920212223.....Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001....
Conjunto de los números Reales
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los
números racionales, los números irracionales. A su vez, los números racionales se clasifican en

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a) Números Naturales (N), los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3,
4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11,
b) Números Enteros (Z), son los números naturales, sus negativos y el cero.
Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..
c) Números Fraccionarios, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos es
decir, son números de la forma a/b con a, b enteros y b # 0. Números enteros,
d) Números Algebraicos, son aquellos que provienen de la solución de alguna ecuación algebraica y
se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo, v3
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; at0=a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b € R, entonces a
.bE R.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
8. El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b.c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a. 1= a.
10. Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el
inverso multiplicativo, tal que: a . a.1 = 1
11. Si a, b y c e R, entonces a(b+c)= (a. b) + (a .c)
Ejercicios de números reales
n•1
Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:
-3 2,7 3/7 √4 √7 3√9 1,020020002...
solución :

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• Naturales : √4
• Enteros : -3 √4
• Racionales : -3 2,7 3/7 √4
• Reales : Todos
N•2
Considera los siguientes números:
-3/2 2/3 1,5 3√8 √2 3√2
Clasifícalos según sean naturales, enteros, racionales o reales.
solución:
• Naturales : 3√8
•Enteros : 3 √8
• Racionales : -3/2 2/3 1,5 3√8
• Reales : Todos
N•3
Considera los siguientes números :
23/13 8/4 -9 √15 3√15 2,3 2,838383...
Solución :
•Naturales : 8/4
•Enteros : 8/4 -9
•Racionales : 23/13 8/4 -9 2.3 2,838383…

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•Reales : Todos
Potencias de exponente fraccionario
Ejercicio
n• 1
Escribe en forma de potencia de exponente ,afectua las opreraciones y simplifica:
a) 3√a. √a7
Solución:
3√a.√a7 =a1/3.a7/2 =a23/6 =a3 6√a5
Operaciónes con conjuntos
Las operaciones con conjuntos son agrupaciones de números que guardan
una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en
aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales,
con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que
contiene elementos de A y B.

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 Intersección o complemento. La intersección de
dos conjuntos o complemento de un conjunto es la parte que tienen en
común.
 La diferencia es la parte que no comparten.
 Ajenos: En matemáticas, dos conjuntos son ajenos si no tienen
ningún elemento en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {a, b, c}
son conjuntos ajenos.
Ejercicio 1
operaciones con conjuntos:
Sí A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9}.
Determinar A-B= ? y B-A= ?
Para poder resolver la diferencia A-B, sabiendo que siguiente ejercicio
A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9} se debe determinar todos los números que
existen en el conjunto A que no existan en el conjunto B por lo que la
diferencia será de A-B= {3,4,5}.
Por otra parte, de la misma forma para poder resolver la diferencia B-A,
sabiendo que siguiente ejercicio B= {6,7,8,9} y A= {3,4,5,6,7} se debe
determinar todos los números que existen en el conjunto B que no existan
en el conjunto A por lo que la diferencia será de B-A= {8,9}.

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Ejercicio 2
operaciones con conjuntos:
Sí A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9}. Determinar A ∪ B = ? y A ∩ B= ?
Para poder resolver la unión A ∪ B, sabiendo que siguiente ejercicio A=
{3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9} se debe determinar todos los números que
existen en el conjunto A y adicionar los valores del conjunto B que no se
repiten por lo que la unión de A ∪ B será de A ∪ B = {3,4,5,6,7,8,9}. .
Por otra parte, para poder resolver la intersección de A ∩ B, sabiendo
que siguiente ejercicio A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9} se debe determinar
todos los números que existen en el conjunto A y B y establecer que
valores no son iguales entre ambos conjuntos por lo que la intersección A
∩ B será de A ∩ B= {6,7}.
Ejercicio 3
Operaciones Sí A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9}.
Determinar A’= ? y B’= ?
Para poder resolver el complemento de A’ debemos conocer el universo o
el total de valores de los conjuntos que son los valores del conjunto A y B;

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es decir U= {3,4,5,6,7,8,9}.Ahora el complemento de A es que valores
existen en el universo que no están en el conjunto A. Por lo que el
complemento de A’ será igual a A’= {8,9}.
Para poder resolver el complemento de B’ debemos conocer el universo o
el total de valores de los conjuntos que son los valores del conjunto A y B;
es decir U= {3,4,5,6,7,8,9}.Ahora el complemento de B es que valores
existen en el universo que no están en el conjunto B. Por lo que el
complemento de B’ será igual a B’= {3,4,5}.
Desigualdades
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de
desigualdad son:
‡ no es igual
< menor que
>mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen
algunas consecuencias, a saber:
1° Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo; 5 > 0 ; porque 5 - 0 = 5

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2° Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
-9 < 0 ; porque -9-0 = -9
3° Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor
absoluto;
Ejemplo:
-10 > -30; porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos:
3 <4,
4 > 3
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real x, denotado por Ixl, es el valor no negativo de x, sin importar el
signo, sea este positivo o negativo, así 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto de un número a, representado como la|, es su valor numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
-1 = 1
1-31=3
0= 0
2.9 = 2.9
Notemos que:

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• si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
• si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con
signo positivo)
•si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales
I.E:R-→R
X→(x)
y se define como una función a trozos:
(x)=5 *, x≥0
(-x, X < 0
Esta función es continua en los reales y derivable en
R- {0}
La gráfica de la función es:
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los
positivos es la de y = x.

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Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | × | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los simbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualquier número realayb, si la| <b, entonces a < b Y a >-b.
Ejemplos
Resuelva y grafique.
(x – 7) < 3

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Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
Plano Numérico (Distancia, Punto medio)
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen
o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual
esta representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la
parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría
analítica.

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El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés
René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de
coordenadas.
Partes del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes coordenados, el
origen, los cuadrantes y las coordenadas
Ejes de coordenados
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan en un punto del
plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.

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• Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica con la letra "x".
• Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se representa con la letra "y".
Origen o punto 0
Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes "x" y "y", punto al cual se le asigna el valor
de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje representa una
escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje "X" es positivo, mientras que el
izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente del eje "" es positivo, mientras
que el segmento descendente es negativo.
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas perpendiculares.
Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
• Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.

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• Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
Representación gráfica de las cónicas (circunferencia,
parábola, elipse, hipérbola
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta 9, que llamamos generatriz, alrededor
de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
• 9 = la generatriz
• e = el eje
• V = el vértice
Elementos de las cónicas
•Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta
alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
• Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
• Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie
cónica de revolución.
• Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa
por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (cx)y la inclinación
del plano respecto del eje del

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cono (B) pueden obtenerse diferentes secciones conicas.
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje,
que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje
y generatriz.
a < B < 90°
La elipse es una curva cerrada.
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
3 = 90°
La circunferencia es un caso particular de elipse.

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La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, siendo paralelo a la generatriz.
a = 3
La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos
hojas de la superficie cónica.
a > 3
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.
EJERCICIOS :
-DESIGUALDADES LINEALES
3 (2X-1) > 4+5 (X-1)
6X-3 > 4 + 5X-5
6X-3 > -1+5X
6X-5X > -1+3

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X > 2
valor absoluto :
(5-7)= 1-21 =2
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO:
(X+5) ≥ 3
X+5≤-3 U X +5 ≥ 3
X≤-3-5 U X≥ 3-5. X≤-8 U X≥ -2
Bibliografías
•. Paula Rodó, 06 de noviembre, 2019
Números reales. Economipedia.com
•. Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). Introduction to Inequalities, Random House Inc.ISBN
0-394-01559-2.
•. Espinoza R. Eduardo (2002). Matemática
Básica: Valor Absoluto.4° Edición.
Editorial "Servicios graficos J.J.
Perú
• Figueroa G. (1996).Matemática Básica
1: Valor Absoluto de los números reales. 6°
Edición.Editorial "RFG".Lima- Perú, p
276-298.
•.http//www.Gráficas/parábolas/circunferencias/parábolas.monografías.com.shtml
•. http//Economipedia.matemáticas.com.enseñanzas