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Sección 0104
CI:30754260
Números Reales
 Se puede definir a los números reales como aquellos números que
tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
periódica.
 Por ejemplo:
 a)
 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
 b)
 ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
 c)
 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333…
Conjunto de los números Reales
 El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, los números
irracionales.
 Los números racionales se clasifican:
 Números naturales
 De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el
infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.
 Todos los números están representados por diferentes combinaciones de los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9,
que reciben el nombre de dígitos.
 Números Enteros
 El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos, o sea, los quedan del
otro lado de la recta. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.
 Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
 Números Fraccionarios
 son aquellos números que se pueden expresar comocociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma
 a/b
 Con a, b enteros y b ≠ 0.
Propiedades de los números reales
 Los números reales tienen la propiedad de que con ellos se pueden hacer dos operaciones
básicas que se conocen como suma y producto (o multiplicación), y cumplen lo siguiente:
 La suma de dos números reales tiene como resultado otro número real, a esto se le conoce
como ser cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.
 La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.
 La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).
 La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.
 Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-
a)=0
 La multiplicación de dos números reales es cerrada: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.
 La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.
 El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)
 En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.
 Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso
multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.
 Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
Inecuaciones y desigualdades
 Inecuaciones y desigualdades
 Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:
 < Menor que 2x − 1 < 7
 ≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
 > Mayor que 2x − 1 > 7
 ≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
 La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.
 Inecuaciones equivalentes
 Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es
equivalente a la dada.
 3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <
 1Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide porun mismo número positivo, la inecuación
resultante es equivalente ala dada.2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o
divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.
 −x < 5 (−x) · (−1) > 5 · ( −1) x >−5
 Inecuaciones de primer grado
 Inecuaciones de primer grado con una incógnita1º Quitar corchetes y paréntesis.2º Quitar denominadores.3º Agrupar
los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.4º Efectuar las operaciones5º
 Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo
 que cambiará el sentido de la desigualdad.6º Despejamos la incógnita.7º Expresar la solución de forma gráfica y con un
intervalo.
 INECUACIONES RACIONALES
 Inecuaciones racionales
 Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola
incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador puede ser una inecuación lineal o
cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:
 Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la
desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.

PASOS:
1. Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son:
Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero.
2. Eliminar signos de agrupación (si los hay), en algunos casos aplicar operaciones con fracciones y reducimos
términos semejantes.
3. Verificar el grado de la inecuación en el numerador y en el denominador, si es de segundo grado
FACTORIZAMOS aplicando los diferentes casos, si es lineal sumamos términos semejantes si es posible.
4. Analizar cada factor, para ello, igualamos cada paréntesis a cero y establezcamos el punto crítico de cada
uno de ellos en el numerador y denominador.
5. utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los signos.
6. Expresar la solución en notación de intervalos y de inecuación.
Valor absoluto
 La noción de valor absoluto se utiliza para nombrar el valor que tiene un número
más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce
como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es
positivo o negativo.
 Ejemplos:
 |x| = {x, si x ≥ 0
 {-x, si x < 0
 x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo (x > 0). Por ejemplo:
|8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si el número es 0 (x = 0), el valor absoluto
será cero: |0| = 0, porque 0 = 0.-x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número
es negativo (x < 0). Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0),
entonces el resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.
Desigualdades de valor absoluto
 Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
 Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
 Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
 La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
 En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
 Ejemplo :
 | x – 7| < 3
 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta.
 x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
 –3 < x – 7 < 3
 Sume 7 en cada expresión.
 -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
 4 < x <10

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  • 2. Números Reales  Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica.  Por ejemplo:  a)  3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….  b)  ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….  c)  1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333…
  • 3. Conjunto de los números Reales  El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, los números irracionales.  Los números racionales se clasifican:  Números naturales  De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.  Todos los números están representados por diferentes combinaciones de los diez símbolos : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos.  Números Enteros  El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos, o sea, los quedan del otro lado de la recta. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos.  Por ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…  Números Fraccionarios  son aquellos números que se pueden expresar comocociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma  a/b  Con a, b enteros y b ≠ 0.
  • 4. Propiedades de los números reales  Los números reales tienen la propiedad de que con ellos se pueden hacer dos operaciones básicas que se conocen como suma y producto (o multiplicación), y cumplen lo siguiente:  La suma de dos números reales tiene como resultado otro número real, a esto se le conoce como ser cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ.  La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a.  La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c).  La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a.  Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(- a)=0  La multiplicación de dos números reales es cerrada: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ.  La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a.  El producto de números reales es asociativo: (a.b).c= a.(b .c)  En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1= a.  Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a . a-1 = 1.  Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a(b+c)= (a . b) + (a . c)
  • 5. Inecuaciones y desigualdades  Inecuaciones y desigualdades  Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de estos signos:  < Menor que 2x − 1 < 7  ≤ Menor o igual que 2x − 1 ≤ 7  > Mayor que 2x − 1 > 7  ≥ Mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7  La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.  Inecuaciones equivalentes  Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.  3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x <  1Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide porun mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente ala dada.2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.  −x < 5 (−x) · (−1) > 5 · ( −1) x >−5  Inecuaciones de primer grado  Inecuaciones de primer grado con una incógnita1º Quitar corchetes y paréntesis.2º Quitar denominadores.3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.4º Efectuar las operaciones5º  Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo  que cambiará el sentido de la desigualdad.6º Despejamos la incógnita.7º Expresar la solución de forma gráfica y con un intervalo.  INECUACIONES RACIONALES
  • 6.  Inecuaciones racionales  Una inecuación racional es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que tienen una sola incógnita, la cual APARECE en el DENOMINADOR. El numerador puede ser una inecuación lineal o cuadrática, y en el denominador también, Ejemplos:  Resolver una inecuación racional en una variable significa encontrar el conjunto de números reales (Intervalo) que satisface la desigualdad. Para ello, recurrimos a las propiedades básicas de las desigualdades.  PASOS: 1. Algunas recomendaciones que debes tener en cuenta al resolver inecuaciones cuadráticas son: Hacer uno de los miembros de la inecuación igual a cero. 2. Eliminar signos de agrupación (si los hay), en algunos casos aplicar operaciones con fracciones y reducimos términos semejantes. 3. Verificar el grado de la inecuación en el numerador y en el denominador, si es de segundo grado FACTORIZAMOS aplicando los diferentes casos, si es lineal sumamos términos semejantes si es posible. 4. Analizar cada factor, para ello, igualamos cada paréntesis a cero y establezcamos el punto crítico de cada uno de ellos en el numerador y denominador. 5. utilizar el método del cementerio para hallar los intervalos solución, aplicando la ley de los signos. 6. Expresar la solución en notación de intervalos y de inecuación.
  • 7. Valor absoluto  La noción de valor absoluto se utiliza para nombrar el valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.  Ejemplos:  |x| = {x, si x ≥ 0  {-x, si x < 0  x, si x ≥ 0. El valor absoluto es positivo si el número es positivo (x > 0). Por ejemplo: |8| = 8, porque 8 > 0 (8 es mayor que 0). Si el número es 0 (x = 0), el valor absoluto será cero: |0| = 0, porque 0 = 0.-x, si x < 0. El valor absoluto es positivo si el número es negativo (x < 0). Por ejemplo: |-8| = 8, porque -8 < 0 (-8 es menor que 0), entonces el resultado del valor absoluto es -x = -(-8) = 8.
  • 8. Desigualdades de valor absoluto  Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.  Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.  Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.  La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.  En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .  Ejemplo :  | x – 7| < 3  Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta.  x – 7 < 3 Y x – 7 > –3  –3 < x – 7 < 3  Sume 7 en cada expresión.  -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7  4 < x <10