Matematicas Financieras financieros para

¿Qué es la Matemática Financiera?
Es parte de la Matemática aplicada, conformada por una
serie de conceptos y técnicas de cálculo que nos permiten
analizar, plantear y resolver diversos casos que se
presentan en el Sistema Financiero.
Definiciones previas

Es un principio fundamental por el que se establece que “el
dinero tiene distinto valor a través del tiempo”, esto ocurre
como consecuencia de un costo de oportunidad o una tasa de
interés.
 Valor del dinero en el
tiempo

¿Qué importe obtendrá si invirtiera S/. 1.00 durante 200 años
a una tasa de interés del 10% ?
 Valor del dinero en el
tiempo
¿Qué tipo de modalidad de interés se aplica?
El interés simple afecta a todo en un mismo período de
tiempo

VA
1 n
2
I1 2
I
VF2
VA . i. n
VF1
VA . i. n
VA = VF1 = VF2 = 1 in = VA .i . n = 1 * 0.10 * 1 = 0.10
I = 200 * 0.10 = 20
VFn = 1 + 20 = 21
I

VF = VA + VA . i . n
VF = VA . ( 1 + i . n )
VF = 1 . ( 1 + 0,10 . 200 )
VF = 21

Interés Simple
 Se habla de interés simple cuando los intereses son calculados
tomando en cuenta la cantidad original invertida. También se
hablaría de interés simple si a pesar de reinvertir los intereses,
el banco ofreciera a pagar los intereses de cada periodo
calculándolos a partir de la cantidad original invertida.

Es una de las formas con las que se enfoca al dinero o capital.
Se refiere a toda cantidad de dinero que se asocia a una
determinada fecha o momento.
Stock
Según el contexto, se puede considerar de dos formas:
a) como VALOR ACTUAL (VA),
b) como VALOR FUTURO (VF)

 Flujo:
Es toda sucesión de cantidades monetarias que se
establecen a través del tiempo.
Cuando las cantidades son de igual valor y se producen
periódicamente, se tiene un flujo uniforme, llamado
también serie uniforme, o anualidad

Es el costo del dinero, es decir, aquello que se paga o se
cobra por la disposición del dinero en un plazo
determinado.
 Interés ( I )
Depósito (VA) :
S/. 400
Retiro en
total (VF):
S/. 425
0 9 meses
Se observa que la entidad está pagando 25
soles por haber hecho uso del dinero durante 9
meses
Ejemplo:

Diagrama de Tiempo - Valor
Es una herramienta auxiliar que nos permite representar
gráficamente todos los datos de un problema financiero que
estén relacionados en un determinado contexto: stocks;
flujo; tasa; periodos; y el horizonte Temporal.
Si se trata de una inversión:
Valor Actual
Valor Futuro
n
i (%)
Horizonte temporal
Tasa de interés

Si se trata de un préstamo:
Valor Actual
Valor Futuro
i (%) Tasa de interés
n
Horizonte temporal
Si se trata de un flujo:
VA
VF
3 5 6 10 12
meses

Si se trata de un flujo uniforme:
VA
VF
3 5 6 10 12
meses
P (pago)
préstamo
7 8 9 11
2
1 4
3 5 6 10 12
P (depósito)
7 8 9 11
2
1 4
meses
retiro

Capitalización
El interés compuesto es el que está basado en el proceso de
capitalización
Capitalización:
Es el proceso mediante el cual los intereses producidos por un
capital se adicionan a éste, al final de cada periodo, conformando
un nuevo capital para el siguiente periodo, repitiéndose el proceso
hasta finalizar el plazo.

En el Interés Simple la capitalización se da al término de la
operación.
En el Interés Compuesto la capitalización se realiza en cada
unidad de tiempo.
VA
I
I
I
0 1 2 3
Capital
Final (VF)
Capitalización
Capital
Inicial

Periodo de Capitalización:
Los períodos de capitalización se dan por medio de la frecuencia
de capitalización, que representa, en forma sencilla, el número
de capitalizaciones en un año.
Capitalización
Es el periodo de tiempo al cabo del cual se produce la adición de los
intereses al capital.

Períodos de Capitalización Frecuencia
Anual
Diaria
Quincenal
Mensual
Bimestral
Trimestral
Cuatrimestral
Semestral
1
360
24
12
6
4
3
2
Capitalización

VA
VA . i
1 n
2
VF1
Fórmula del monto o Valor Futuro
I1
VF1 = VA + I1
= VA + VA. i
. n
VF1 = VA (1 + i )
2
I
VF . i
VF2
1
VF2 = VF1 + I2
= VF1 + VF1. i VF2 = VF1 (1 + i )
Como
VF1 = VA ( 1 + i ), reemplazamos en VF2

VF2 = VA (1 + i ) (1+ i ) VA (1 + i )²
.
.
.
1 n
2
VF
I1
1
2
I
VF
2
. . .
VF
n
VFn = VA ( 1 + i )n
VA
In
Factor Simple de Capitalización (FSC)

Notas importantes
• Para las conversiones de períodos o tasas, se considera el
año bancario, de modo que:
1 año = 2 semestres = 3 cuatrimestres
= 4 trimestres = 6 bimestres = 12 meses
= 24 quincenas = 360 días.
• Cuando se trabajen con fechas, se contabilizarán días
calendario.
• El periodo del tiempo y el periodo de la tasa
siempre deben ser iguales.

Fórmulas para interés compuesto
En los problemas de interés compuesto, i y n deben
expresarse en la misma unidad de tiempo, efectuando las
conversiones apropiadas cuando estas variables
 n
i
VF
VA


1
1
1








n
VA
VF
i
 
i
VA
VF
n








1
log
log
 n
i
VA
VF 
 1

VF = 1 . ( 1 + 0,10 )200
VF = 189 905 276

Representa el interés cobrado o pagado por cada unidad
monetaria y por unidad de tiempo. Se representa en
términos porcentuales.
 Tasa de Interés (
i )
Definiciones

Sistema Financiero
Tasas Activas Tasas Pasivas
Son aquellas que los bancos o financieras
Aplican a las captaciones que efectúan del
público
Son aquellas que los bancos o financieras aplican a
Las colocaciones a sus clientes por créditos de
Corto o mediano plazo.
- Préstamos
-Descuentos
- Sobregiros
-Depósito de Ahorros
-Depósitos a Plazo
-Emisión de Bonos y Certificados
Tasas Nominales Tasas Efectivas
Definiciones

Tasa Nominal (T.N.)
• Es aquella tasa que siempre va acompañada por el plazo y
el periodo de capitalización.
• Es una tasa de referencia.
• Es una tasa que se anuncia para un periodo de tiempo determin
• No se puede utilizar directamente en los cálculos de
régimen de interés compuesto, previamente hay que
“convertirla” en tasa efectiva.
Definiciones

Tasa Efectiva (T.E.)
• Es aquella que se aplica directamente para el periodo para
la cual está dada, o se puede convertir en otra tasa efectiva
con distinto periodo.
• Tasa que efectivamente se cobra o se abona ya que
determina el costo efectivo del dinero como consecuencia
de los períodos de capitalización.
Definiciones

Tasas
Equivalentes
Son tasas que teniendo distinto periodo de
capitalización, originan los mismos intereses a partir de
un mismo capital y en un mismo plazo, es decir:
0 2 4 6 8 10 12
i (anual)
i (sem)
i (bim)
i (anual) i (sem) i (bim) ……etc
≡ ≡
VA V
F
meses
Definiciones
2 6

Fórmulas para las Tasas Nominales
Tasa Nominal ( j ) = Tasa del periodo ( i ) x
m
frecuencia de capitalización
Ejemplos:
 Si i = 2.50% mensual, Hallar la TNA.
TNA (j anual) = 0.025 x 12 = 0.30 30%
 Dada i = 4.83% bimestral, Hallar la TNS.
TNA (j semestral) = 0.0483 x 3 = 0.1449 14.49%
Conversión de tasas

Tasa del periodo ( i )
Tasa Nominal ( j )
m
=
= Tasa del periodo ( i ) x
m
Tasa Nominal ( j )
De:
Ejemplos:
1. Dada i = 6.75% anual con capitalización mensual
Hallar la tasa del periodo
NOTA: La tasa de periodo siempre será la del periodo de capitalización
Tasa del periodo = i =
del periodo i mensual =
0.0675
12
= 0.005625
= 0.56%
Efectiva
1
2

2. Dada TNA = 2,50% capitalizable semestralmente
Hallar la i periodo
3. Dada j = 10,50% A / C, Hallar la i periodo
Plazo Periodo de
capitalización
anual
cuatrimestral
i =
del periodo i semestral =
0.0250
2
= 0.0125 = 1.25%
i =
del periodo i cuatrimestral =
0.1050
3
= 0.035 = 3.50%

SIGAMOS
RECORDANDO
TNA = Tasa Nominal Anual = 360 días
TNS = Tasa Nominal Semestral = 180 días
TNC = Tasa Nominal Cuatrimestral = 120 días
TNT = Tasa Nominal Trimestral = 90 días
TNB = Tasa Nominal Bimestral = 60 días
TNM = Tasa Nominal Mensual = 30 días
TNQ = Tasa Nominal Quincenal = 15 días
TND = Tasa Nominal Diaria = 1 día

Calcule la tasa efectiva a partir de una tasa nominal anual
del 60% capitalizable mensualmente para un depósito de S/.
1
VF = 1 . ( 1 + 0,05 )12
VF = 1 . ( 1 ,7958563)
1+ 0,7958563 = (1+ 0,05)12

Tasas Equivalentes:
1+ 0,7958563 = (1+ 0,05)12
A esto se llama Tasa efectiva
anual
A esto se llama Tasa nominal con
capitalización mensual.
0,05 = 0,60/12 = J/m

Fórmulas para las Tasas Efectivas

 TE
1
n
m
j







1

RECUERDAS?
TEA = Tasa Efectiva Anual = 360 días
TES = Tasa Efectiva Semestral = 180 días
TEC = Tasa Efectiva Cuatrimestral = 120 días
TET = Tasa Efectiva Trimestral = 90 días
TEB = Tasa Efectiva Bimestral = 60 días
TEM = Tasa Efectiva Mensual = 30 días
TEQ = Tasa Efectiva Quincenal = 15 días
TED = Tasa Efectiva Diaria = 1 días

TANTOS
PERIODOS
ANUALES QUE
CORRESPONDA
N AL PERÍODO
DE
CAPITALIZACIÓ
N
DE LA TASA
EFECTIVA
TANTOS
PERIODOS
ANUALES QUE
CORRESPONDA
N AL PERÍODO
DE
CAPITALIZACIÓ
N DE TASA
NOMINAL
 n
i

1
  

n
i
1
TASA EFECTIVA
PERIODO ANUAL
TASA NOMINAL
PERIODO ANUAL

Convertir una TNA del 18 % capitalizable mensualmente, en
una TE semestral
Conversión de tasas TN a TE
Determinar el plazo de
la TN
TNA ( 360 días )
Determinar el plazo del
periodo de
capitalización
30 (días )
Hallar los m períodos
capitalizables
m = 360 /30 = 12

12
12
18
.
0
1 





  2
1 i


2
12
12
18
.
0
1 





  
i

 1
  09344326
.
0
1
015
.
0
1
6




Convertir una TEA del 18 % , en una TNT capitalizable
mensualmente
Conversión de tasas TE a TN
Determinar el plazo de
la TN
TNT ( 90 días )
Determinar el plazo del
periodo de
capitalización
30 (días )
Hallar los m períodos
capitalizables
m = 90/30 = 3

 1
18
.
0
1  12
1 i


 12
1
18
.
0
1  
i

 1
  

 1
18
.
0
1 12
1
i
01388843
.
0

i
04166529
.
0
3
01388843
.
0 
 x
i

Del 24 % TNA capitalizable anualmente, encuentre la TNT con
capitalización semestral
Conversión de tasas TN a TN con diferentes
Períodos de capitalización
TE en donde el plazo
coincida con el periodo
de capitalización es igual
a la TN
TEA cap. anualmente = 24
%
Calculo la TES con
capitalización semestral
= (1 + 0.24)1/2 -1
=0.11355287

 1
24
.
0
1  2
1 i


 2
1
24
.
0
1  
i

 1
  

 1
24
.
0
1 2
1
i
011355287
.
0

i
056
.
0
)
6
/
3
(
011355287
.
0 
 x
i

Del 2.1 % TEM, encuentre la
TET
Conversión de tasas TE a TE
 12
021
.
0
1  4
1 i


 4
12
021
.
0
1  
i

 1
064332
.
0

i

TASAS DE INTERÉS
UTILIZADAS EN EL SISTEMA
FINANCIERO

Tasa de Interés
Activa:
Son aquellas que los bancos o financieras aplican a las colocaciones
a sus clientes por créditos o préstamos de corto, mediano y largo
plazo. Usualmente, se expresa en como una tasa efectiva.
Algunos ejemplos de tasas activas son: los préstamos personales,
tarjetas de créditos, créditos hipotecarios, descuentos de letras,
pagarés, sobregiros de cuentas.
Tasas de Interés

Tasa de interés
Pasiva:
Son aquellas que los bancos o financieras aplican a las captaciones
que realizan del público en general o de empresas. También este
tipo de tasas se expresan como tasas efectivas.
Algunos ejemplos son: las cuentas de ahorro, depósitos a plazo,
certificados bancarios, CTS.
Tasas de Interés

Tasa de interés
vencida:
Es aquella tasa que se aplica a un valor actual (VA) o capital
inicial, la cual se hace efectivo al concluir el tiempo de depósito
o préstamo (horizonte temporal).
Es importante indicarte que las fórmulas financieras están
basadas con este tipo de tasa.
Tasas de Interés

Tasa de interés
adelantada:
Es aquella tasa que nos permite conocer la cantidad que tiene
que pagarse o depositarse por haber contraído una deuda,
antes de la fecha de vencimiento pactada.
La tasa de interés adelantada calcula en cuánto disminuye el
precio o valor nominal de un título valor, por ejemplo: letra,
pagaré.
Tasas de Interés

La tasa adelantada considera el tiempo entre la fecha que se
anticipa el pago y la fecha de su vencimiento.
De acuerdo a lo tratado en temas anteriores, la tasa adelantada
es aquella que multiplicada por el valor futuro (VF) o monto
final, lo disminuye, para hallar el Valor Actual o capital inicial.
Tasas de Interés

Tasa de interés
compensatoria:
Es aquella que constituye la retribución por el uso del dinero o de
cualquier otro bien y /o servicio.
En transacciones u operaciones bancarias la tasa de interés
convencional compensatoria esta representada por la tasa de
interés activa para las colocaciones y por la tasa de interés pasiva
para las captaciones.
Tasas de Interés

De acuerdo a lo establecido en la Ley General del Sistema
Financiero, de Seguros y Orgánica de la Superintendencia de Banca,
Seguros y AFP (SBS), esta tasa es fijada por el mercado libremente
en función a la oferta y la demanda.
Este interés se cobra desde el momento del préstamo del dinero,
hasta su cancelación definitiva. Se puede aplicar en forma vencida,
al término de la operación o en forma adelantada, al inicio de la
operación.
Tasas de Interés

Tasa de interés
moratoria:
Constituye la indemnización por incumplimiento del deudor en la
devolución o reembolso del préstamo (VA) o capital y del interés
compensatorio pactado, en la fecha de vencimiento.
El interés moratorio se cobra sólo cuando se haya pactado para la
operación y se calcula solamente sobre el valor del préstamo,
adicionalmente a la tasa de interés compensatoria o a la tasa de
interés legal, cuando se haya pactado.
Tasas de Interés

En los casos en que la devolución del préstamo se efectúe por
cuotas, el cobro del interés moratorio se realiza únicamente sobre
la parte que corresponde al capital de las cuotas vencidas
insolutas, mientras subsista esta situación.
Su cobro siempre se efectuará en forma vencida, es decir al
momento en que la deuda vencida es definitivamente cancelada.
Tasas de Interés

Tasas de interés promedio del
mercado.
Las tasas de interés que publica actualmente la SBS reflejan el
interés promedio que los bancos pagan por el saldo vigente de
depósitos o reciben por el saldo vigente de créditos. Estos son:
TAMN: Tasa Activa en Moneda Nacional. 18,98 %
TIPMEX: Tasa de Interés Pasiva en Moneda Extranjera. 0,54 %
TAMEX: Tasa Activa en Moneda Extranjera. 7,43%
TIPMN: Tasa de Interés Pasiva en Moneda Nacional. 0,90 %
Tasas de Interés

RENTAS Y ANUALIDADES
SESIONES 10-11

Se refiere a toda sucesión de cantidades iguales de
dinero (P) que se producen con la misma frecuencia de
tiempo. Se le denomina también Serie o Flujo Uniforme.
Definiciones
Clasificación:
1. Según su duración:
a) Temporales:
b) Perpetuas:

VA
3 5 6 10 12
meses
P
préstamo
7 8 9 11
2
1 4
Ejemplo: Préstamo bancario a 12 meses.
Inicio del
flujo
Fin del
flujo
a) Temporales: Son aquellas cuando se conoce el
inicio como el final del flujo.
Definiciones

b) Perpetuas: Son aquellas en las cuales se conoce el
inicio pero no el final del flujo.
3 5
meses
P
2
1 4
Ejemplo: Pensiones de Jubilación, pensiones de sobrevivencia,
rentas vitalicias.
Fin del
Flujo = ?
. . . ∞
Inicio del
flujo
Definiciones

2. Según el inicio de la primera renta:
a) Inmediatas:
b) Diferidas:
Compra
3 5 6 22 24
meses
Pago
23
2
1 4
Ejemplo: Compras al crédito (en 24 meses).
a) Inmediatas: Son aquellas en la cual el primer pago o
depósito se establece desde el primer
periodo.
. . .
. . .
Definiciones

Compra
3 5 6 22 24
Pago
23
2
1 4
Ejemplo: “ Compre hoy, pague dentro de 90 días “
b) Diferidas: Son aquellas en la cual el primer pago o
depósito se establece después del primer
periodo.
. . .
. . .
meses
Periodo de gracia
o diferido
Definiciones

3. Según cuando se produce la renta:
a) De pago vencido
b) De pago anticipado:
a) De pago vencido: Son aquellas en la cual los pagos
o depósitos (renta) se producen
al final de cada periodo.
VA
3 5 6 n
períodos
P
crédito
n -1
2
1 4
Ejemplo: Créditos personales, hipotecarios, tarjetas de crédito.
. . .
Definiciones

b) De pago anticipado: Llamados también
imposiciones, son aquellas en
que el pago o depósito (renta) se
produce al inicio de cada
periodo.
VA
3 5 6 n
períodos
P
póliza
n -1
2
1 4
Ejemplo: Alquileres, pólizas de seguro.
. . .
Definiciones

Circuito Financiero
VF
FSC
FRC FCS
FAS FDFA
FSA
P
VA
Representa todas las posibles equivalencias o
transformaciones que se pueden establecer entre
los stocks y los flujos.
Definiciones

VF
3 5 6 n
períodos
P
n -1
2
1 4
. . .
F.C.S.
Factores Financieros
1. Factor de Capitalización de una Serie (FCS):
Se aplica cuando se requiere conocer el valor
futuro originado por la serie de pagos o depósitos.
VF= P
i
1
n
)
i
(1 

FCS

2. Factor de Depósito a un Fondo de Amortización (FDFA):
Se aplica cuando se requiere conocer el pago o depósito
(Renta) que debe generar un Valor Futuro establecido
(conocido). VF
3 5 6 n
períodos
P
n -1
2
1 4
. . .
F.D.F.A.
P = VF
1
n
)
i
(1
i


FDFA

VA
3 5 6 n
períodos
P
n -1
2
1 4
. . .
F.A.S.
3. Factor de Actualización de una Serie (FAS):
Se aplica cuando se requiere conocer el valor presente
originado por la serie de pagos o depósitos (Rentas).
VA = P n
)
i
(1
.
i
1
n
)
i
(1



FAS

VA
3 5 6 n
períodos
P
n -1
2
1 4
. . .
F.R.C.
4. Factor de Recuperación de Capital (FRC):
Se aplica cuando se requiere conocer el pago o depósito
(Renta), que debe fijarse a partir de un Valor Actual.
P = VA
1
n
)
i
(1
n
)
i
(1
.
i



FRC

Muy Importante:
1.- Todas las fórmulas que involucran anualidades se aplican a
los casos de anualidades temporales, inmediatas y de pago
vencido, ya que fueron deducidas de acuerdo a esas
condiciones.
Por lo tanto, se aplicarán en los casos cuyo diagrama de
tiempo valor sea similar al que se muestra a continuación.
3 5 6 n
períodos
P
n -1
2
1 4
. . .
VF
P P P P P
P P P P
VA
El VA está un periodo
antes que el primer P
El VF está en la misma
posición que el último P

2.- En las mismas fórmulas, el valor de “ n “ estará dado por
el número de rentas consideradas; mientras que la tasa “ i “
deberá tener un periodo similar a la frecuencia de los pagos
o depósitos.
3.- Cualquier situación o problema que no cumpla con las
condiciones señaladas en el punto “1.-”, deberá
“adaptarse”, aplicando los conceptos necesarios.
Muy Importante:

Se refiere a todo cuadro de servicio de una deuda y que
usualmente muestra en detalle el proceso de amortización con
los siguientes rubros:
Interés: que se calcula aplicando la tasa del periodo sobre el
saldo deudor del periodo anterior
I(n) = i . Saldo Deudor n-1
Periodo: se muestran las fechas de vencimiento, o los
períodos, detalladamente.
Cronogramas de
Pago
Definici
ón
n = periodo de cálculo ; n-1 = periodo anterior
Elementos

Amortización: se refiere a la cantidad que se paga a cuenta
del saldo deudor y se calcula según el tipo de
cronograma:
Amortización n = Cuota – Interésn
Amortizaciónn = Principal / N° de períodos
Cronograma de
cuotas iguales
Cronograma
de cuotas
decrecientes
Cronogramas de
Pago
- Cuotas iguales (cuota fija).
- Cuotas Decrecientes (amortizaciones iguales).

Cuota: representa el desembolso de efectivo que se
realiza durante cada periodo.
Cuota = Amortización n + Interés n
Saldo Deudor: llamado Saldo del Principal, representa el
monto que se adeuda hasta un determinado
periodo.
Saldo n = Saldo n-1 - Amortización n
3
Cronogramas de
Pago

4
Método de interés al rebatir
Proceso financiero mediante el cual una deuda (préstamo o
compra de un bien o servicio), así como los intereses que
generan, se cancelan progresivamente por medio de pagos o
depósitos periódicos (servicios parciales).
De cada pago o cuota, una parte se aplica cubrir el interés
generado por el saldo de la deuda, (cuota de interés) y el resto
a disminuir el saldo por pagar (cuota de amortización).
Cronogramas de
Pago

Un cronograma de pagos pueden elaborarse de varias formas
siendo las usuales o de aplicación más frecuente:
Cronogramas de
Pago
Formas de pago de un préstamo
* De cuotas iguales (fijas o constantes)
* De cuotas decrecientes (amortizaciones iguales)

5
Fecha de Saldo
vencimiento Deudor
08/05/2009 10,000.00
08/06/2009 500 1,470.17 1,970.17 8,529.83
08/07/2009 426.49 1,543.68 1,970.17 6,986.14
08/08/2009 349.31 1,620.87 1,970.17 5,365.27
08/09/2009 268.26 1,701.91 1,970.17 3,663.36
08/10/2009 183.17 1,787.01 1,970.17 1,876.36
08/11/2009 93.82 1,876.36 1,970.17 0
Totales 1821.1 10,000.00 11,821.02
Interés Amortización Cuota
Cronograma de cuotas
iguales (FRC)
Cronogramas de Pago

6
Cronograma de
cuotas decrecientes
Saldo
Deudor
0 12 000
1 363,61 1 500 1 863,61 10 500
2 318,16 1 500 1 818,16 9 000
3 272,71 1 500 1 772,71 7 500
4 227,26 1 500 1 727,26 6 000
5 181,81 1 500 1 681,81 4 500
6 136,35 1 500 1 636,35 3 000
..... ...... ..... .... ......
Periodo Interés Amortización Cuota
Cronogramas de Pago

Matematicas Financieras financieros para

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Matematicas Financieras financieros para

Similar a Matematicas Financieras financieros para (20)

Último

Último (20)

Matematicas Financieras financieros para