Matemáticas financieras por Òscar Elvira: Conceptos básicos, herramientas, cálculo e interpretación de la TAE de una operación financiera, tipos de rentas, valoración de los tipos de rentas y métodos más usuales de amortiguación de capitales.

1. MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Subtítulo de la presentación
OSCAR ELVIRA

2. 2
INDICE
OBJETIVOS
1. Comprender los conceptos básicos de matemática financiera.
2. Conocer las herramientas básicas de valoración de inversiones.
3. Saber calcular e interpretar la TAE de una operación financiera.
4. Conocer los principales tipos de rentas y la valoración de las
mismas.
5. Conocer los métodos mas usuales de amortización de capitales.

3. 3
INDICE
METODOLOGIA
1. Clase presencial con casos prácticos.
2. Resolución de ejercicios con calculadora CASIO FC-100V.
3. Elaboración individual de casos prácticos con presentación en
clase.
4. Trabajo final.

4. 4
INDICE
TEMARIO
1. Conceptos básicos
2. Capital financiero
 Equivalencia financiera
 Operación financiera
 Factor financiero
 Capitalización y actualización
3. Regimenes financieros
 Régimen financiero simple
 Interés simple vencido
 Interés simple anticipado
 Régimen financiero compuesto
 Interés compuesto vencido

5. 5
INDICE
3. Análisis rentabilidad de inversiones
 CASH-FLOW NETO
 PAY-BACK
 TIR
 VAN
4. La TAE
5. Rentas
 Renta modelo
 Extensiones a partir de la renta modelo
 Rentas variables

6. 6
INDICE
TEMARIO
6. Préstamos
 Método francés
 Método alemán
 Método americano
 Cuotas amortización constantes
 Términos amortización crecientes
ANEXO 1. Casos prácticos
ANEXO 2. Ejercicios
ANEXO 3. Soluciones ejercicios

7. 7
INDICE
CALENDARIO
DIA 1 – 4 horas
 MODULO 1-4.
DIA 2 – 4 horas
 MODULO 5.
DIA 3 – 4 horas
 MODULO 6.

8. 8
INDICE
BIBLIOGRAFIA
 BRUN, X., ELVIRA, O. y PUIG, X. Matemática financiera y estadística básica.
Barcelona: Profit editorial, 2008.
 GIL PELAEZ, L. Matemática de las Operaciones Financieras. Madrid: AC,
1987.
 MENEU, V. y otros. Operaciones financieras en el mercado español.
Barcelona: Ariel, 1994.
 RUIZ, J.M. Matemática financiera. Madrid: Centro de formación del Banco de
España, 1991.
 TERCEÑO, A. y otros. Matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,
1997.
 VAZQUEZ, M.J. Curso de matemática financiera. Madrid: Ediciones Pirámide,
1993.
 VILLAZON, C; SANOU, L. Matemática financiera. Barcelona: Foro Científico,
1993.

9. 9
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITAL FINANCIERO
 Un capital financiero es una cantidad monetaria asociada a un determinado
 Hablar de 6.000,00€ no tiene sentido si no conocemos el referente temporal:
no es lo mismo 6.000,00€ el 01.11.2014 que 6.000,00€ el 01.11.2015.
C : capital
momento del tiempo.
 Se representa de la siguiente forma:
t : periodo C, t 
(C,t) (6.000 , 01.11.2014)
(C’,t’) (6.000 , 01.11.2015)

10. 10
1. CONCEPTOS BÁSICOS
EQUIVALENCIA FINANCIERA
 Dos capitales financieros son equivalentes si existe indiferencia
i : 10,00%
6.000,00€ 6.600,00€
C, t   C', t'
entre ambos.
0 1
• Se representa de la siguiente forma:

11. 11
1. CONCEPTOS BÁSICOS
OPERACIÓN FINANCIERA
 Una operación financiera es un intercambio no simultaneo de
capitales financieros. Es decir, el intercambio de capitales de
diferente liquidez, entendiendo por liquidez el valor temporal de un
capital en un momento del tiempo.
 EJEMPLO 1: Préstamo bancario
Acreedor (prestación): (C1, t1)
Deudor (contraprestación): (C2, t2), (C3, t3), …, (Cn, tn)
 EJEMPLO 2: Cuenta a plazo
Acreedor (prestación): (C1, t1)
Deudor (contraprestación): (C2, t2)

12. 12
1. CONCEPTOS BÁSICOS
OPERACIÓN FINANCIERA
 Según duración
 Corto plazo
 Medio plazo
 Largo plazo
 Según número capitales intercambiados
 Simple
 Compuesta
 Según forma de definición
 Predeterminada
 Postdeterminada
 Según la ley financiera utilizada
 Actualización
 Capitalización
 Según naturaleza de los capitales
 Cierta
 Aleatoria
 …

13. 13
1. CONCEPTOS BÁSICOS
FACTOR FINANCIERO
 Las equivalencias entre capitales financieros se pueden calcular de
diferentes formas. Cada una de ellas se conoce como REGIMEN
FINANCIERO y cada una de ellas utiliza un FACTOR FINANCIERO o
formula matemática para realizar dicho cálculo.
6.000,00€
6.600,00€
i : 10,00%
0 1
6.600,00 = 6.000,00 + 6.000,00 · i · t = 6.000,00 · (1 + i · t)
factor financiero: (1 + i · t)
régimen financiero: INTERES SIMPLE

14. 14
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITALIZACION y ACTUALIZACION
 CAPITALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en un
momento futuro.
i : 10,00%
C C’
0 t’
C’ = 6.000,00 · (1 + i · t’) = 6.600,00

15. 15
1. CONCEPTOS BÁSICOS
CAPITALIZACION y ACTUALIZACION
 ACTUALIZAR: calcular la cuantía de un capital equivalente en un
momento pasado.
i : 10,00%
C C’
0 t’
C = 6.600,00 / (1 + i · t’) = 6.000,00

16. 16
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES SIMPLE VENCIDO
 La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo el
plazo de la operación.
 La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.
 Solo el principal (C) produce intereses a lo largo del plazo.
C C’
0 t
 
C C Cit C it
'    1 
• Liquidación de cuentas corrientes y
 it
factor financiero 1
 
pólizas de crédito
• Letras del Tesoro y Pagarés

17. 17
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES SIMPLE ANTICIPADO
 La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo el
plazo de la operación.
 La devolución del principal se efectúa al final del plazo. Los
intereses se abonan al principio del mismo.
 Solo el nominal (C’) produce intereses a lo largo del plazo.
C C’
0 t
C  C  C it  C 
it
' ' '(1 )
1
(1 )
factor financiero
it


• Descuento comercial

18. 18
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
 La remuneración del capital es un porcentaje constante en todo el
plazo de la operación.
 La devolución del principal e intereses se efectúa al final del plazo.
 Los intereses se devengan al final de cada periodo de
capitalización y se acumulan al principal para generar nuevos
intereses durante el siguiente periodo.
C C’
0 t
 
 t
t
i
C C i
 
' 1
 
factor financiero 1
• Rentas
• Préstamos

19. 19
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
 Interés nominal: im
 siempre es anual
 m indica el numero de periodos de cobro en un año
 Interés efectivo: Im
 es el tipo de interés realmente aplicado para el periodo m.
 la relación con el nominal es:
i
I m
m 
 Ejemplo 3. Inversión de 20.000,00€ con una remuneración del 6,00% a cobrar
mensualmente.
m
0,50%
6,00%
6,00%
i i
 
   
12
12
12
12
12
i
m
I I
m

20. 20
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
 Relación entre efectivos. Efectivo anual.
C C’
0 1
C C I C I
'  (1  )  (1 
)
generalizando,
C I C I
(1  )  (1 
)
1
I I
(1  )  (1 
)
m
(1 ) 1
1
1
1 4
1
1 4
  
m
m
m
m
m
I I

21. 21
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
 Ejemplo 4. Equivalentes anuales del 10,00% a cobrar con
periodicidad m:
m im Im I1
12
6
4
3
2
1

22. 22
2. REGIMENES FINANCIEROS
INTERES COMPUESTO VENCIDO
 Ejemplo 4. Solución.
m im Im I1
12 10,00% 0,83333% 10,47131%
6 10,00% 1,66667% 10,42604%
4 10,00% 2,50000% 10,38129%
3 10,00% 3,33333% 10,33704%
2 10,00% 5,00000% 10,25000%
1 10,00% 10,00000% 10,00000%

23. 23
2. REGIMENES FINANCIEROS
RESUMEN
REGÍMEN CARÁCTERISTICAS
FACTOR
FINANCIERO
ACTUALIZAR CAPITALIZAR
SIMPLE
VENCIDO
SIMPLE
ANTICIPADO
COMPUESTO
VENCIDO

24. 24
3. VALORACION DE INVERSIONES
CASH-FLOW NETO
 Consiste en calcular el importe neto resultante de la inversión y los flujos
que genera.
 Escogeremos la inversión que genere un flujo positivo mayor.
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO
Inversión A -100 +60 +50 +25 +35
Inversión B -250 +100 0 +300 +150
Inversión C -50 +60 +40 +30 +80
 INCONVENIENTES:
1. No considera el valor temporal del dinero
2. Ni el momento en que se produce el cash flow
3. No considera el volumen de inversión
4. …

25. 25
3. VALORACION DE INVERSIONES
PAY-BACK
 Consiste en determinar en que año se recupera la inversión
realizada.
 Escogeremos la inversión que se recupera antes.
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 CF NETO
Inversión A -100 +60 +50 +25 +35
Inversión B -250 +100 0 +300 +150
Inversión C -50 +60 +40 +30 +80
 INCONVENIENTES:
1. No considera el tiempo de forma adecuada
2. No considera el volumen de inversión
3. …

26. 26
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 El VAN de una inversión es el valor actualizado de todos los flujos
esperados (ingresos – gastos).
 Ejemplo 5. Inversión inicial de 100 millones de €, para recibir, en
los próximos 5 años, de forma sucesiva 30, 30, 30, 30 y 50
millones de €. Tasa de actualización 10,00%.
0
30 30 30 30 50
1 2 3 4 5
-100
50
30
30
30
30
100 1 2 3 4 5 
         
26,14
1 0,10
1 0,10
1 0,10
1 0,10
1 0,10









VAN   

27. 27
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 Generalizando,
VAN A
  
A : inversión inicial
C 
P
n
  
i i
k

i
1 1
i : periodos de inversión (i=1,2,3,…n)
Ci : cobros periodo i
Pi : pagos periodo i
i
k : tasa de interés para la actualización de flujos

28. 28
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 Como se interpreta el VAN?
 medida del beneficio absoluto del proyecto
 “listón” a la inversión analizada: k (en el ejemplo 5 podemos interpretar que la inversión
ofrece una rentabilidad superior al 10,00% o lo que es lo mismo, supera el “listón” del
10,00%, por eso decimos que es aconsejable).
 Criterios de decisión. Un VAN positivo indica que el valor actual de
los flujos futuros es superior a la inversión inicial que realizamos.
Por lo tanto,
 Si VAN > 0  inversión ACONSEJABLE
 Si VAN = 0  inversión INDIFERENTE
 Si VAN < 0  inversión DESACONSEJABLE

29. 29
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 ¿Qué favorece un VAN positivo?
1. La inversión inicial
2. Los flujos de fondos futuros
3. La tasa de actualización k
 Supuestos implícitos en la definición:
1. Siempre se puede invertir a una tasa k
2. ETTI plana
3. …

30. 30
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 VAN y ETTI (Estructura Temporal de Tipos de Interés)
AÑO 0 AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3
Inversión A -100 62 50 28
Inversión B -100 48 52 44
Tipo Interés 21,00% 18,00% 16,00%
50
50
50
50
62
    
2 3
        
2 3
   
44
52
    
   
8,21
1,16
1,16
62
48
1,16
100
8,55
1,16
1,16
1,16
100
2 3
44
52
    
   
5,21
1,16
1,18
48
1,21
100
5,08
1,16
1,18
1,21
100
2 3

31. 31
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 Que tasa es k?
 Tipo de interés del mercado financiero (letras o bonos del Tesoro)
 Tasa de rentabilidad de la empresa o sector
 Coste financiero del pasivo
 Tasa subjetiva
 k = tipo interés libre de riesgo + prima riesgo
 Interpretación de k?
 Coste de oportunidad del dinero
 Exigimos al proyecto, para llevarlo a cabo, que produzca como
mínimo lo que el capital vinculado produciría en el uso alternativo al
que renunciamos.

32. 32
3. VALORACION DE INVERSIONES
VAN (Valor Actual Neto)
 Inconvenientes del VAN
1. Estimación de las variables del proyecto: horizonte temporal, flujos
futuros de la inversión, …
2. Volúmenes de inversión diferentes entre proyectos a comparar
3. Diferentes horizontes temporales de los proyectos a comparar
4. …

33. 33
3. VALORACION DE INVERSIONES
TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)
 Con el cálculo del VAN no conocemos la tasa de rentabilidad del
proyecto. Solo sabemos si el proyecto tiene una rentabilidad
superior o inferior a la tasa de actualización utilizada.
 La TIR (o Tasa Interna de Rentabilidad) de un proyecto es aquella
tasa de actualización que hace que el VAN se iguale a cero.
 En el ejemplo anterior,
k  ?
         
0
1
50
1
30
1
30
1
30
1
30
100 1 2 3 4 5 









  
k k k k k
VAN
SOLUCION:
• Iteraciones sucesivas
• CASIO FC – 100V
• Excel
PROBLEMA CALCULO:
• Polinomio de grado n
(en este caso 5)
k 19,05%

34. 34
3. VALORACION DE INVERSIONES
TIR (Tasa Interna de Rentabilidad)
 Relación TIR y VAN
 Si VAN > 0  TIR > k
 Si VAN = 0  TIR = k
 Si VAN < 0  TIR < k
VAN
k
€
VAN = 0  k = TIR

35. 35
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 La TIR nos da la tasa interna de rentabilidad de un proyecto, pero
esta TIR no tiene porque ser necesariamente de un periodo anual.
 La TAE es la TIR anualizada. Cuando una operación financiera no
tiene períodos anuales de liquidación de intereses, entonces
debemos realizar una transformación de la TIR resultante
(mensual, trimestral, semestral, …) en una TIR anual o TAE.
 La anualización de una TIR se realiza mediante la fórmula
siguiente:
 
365
TAE TIR d
  
 dias de la TIR
d
d 1 1

36. 36
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Porque la TAE?
 Método de comparación
 Multitud de operaciones
 Diferentes tipos de interés
 Diferentes formas de pago
 Diferentes periodos
 …
 Transparencia: obligación legal
 Orden 12.12.1989
 Circular Banco de España 8/1990

37. 37
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
•Porque la TAE? Método de comparación:
•OPCION 1.
•PRODUCTO: Imposición a plazo
•Interés nominal: 10,00%
•Pago intereses semestral
•Durante 2 años
•OPCION 2.
•PRODUCTO: Seguro de ahorro
•Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la aportación.
•Pago intereses final periodo

38. 38
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Porque la TAE? Método de comparación:
 OPCION 1.
 PRODUCTO: Imposición a plazo
 Interés nominal: 10,00%
 Pago intereses semestral
 Durante 2 años
 OPCION 2.
 PRODUCTO: Seguro de ahorro
 Importe garantizado a 5 años: 155,00% de la
aportación.
 Pago intereses final periodo
TAE: 10,25%
TAE: 9,16%

39. 39
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Orden 12.12.1989, sobre tipo de interés y comisiones, normas de
actuación, información a clientes y publicidad de las Entidades de
Crédito.
CAPITULO I. Tercero. 3.
Los tipos de interés ……… se expresaran, cualquiera que sea
su tipo nominal y forma de liquidación, en términos de coste
efectivo equivalente de una operación con intereses anuales
postpagables.

40. 40
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia de
las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 2.
Para la confección y publicación del tipo de interés, coste o
rendimiento efectivo, …., las entidades deberán atenerse a
las siguientes reglas, que se desarrollaran
matemáticamente mediante la formula contenida en el
anexo V.
a) Los tipos de interés, costes o rendimientos se expresarán en
tasas porcentuales anuales pagaderas a término vencido.
b) La tasa porcentual equivalente es aquella que iguala en
cualquier fecha el valor actual de los efectivos recibidos y
entregados a lo largo de la operación, por todos los conceptos,
incluido el saldo remanente a su término, con las excepciones
e indicaciones que se recogen en los siguientes apartados.

41. 41
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia de
las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. 4.
En la información sobre el coste efectivo de las operaciones
activas, se aplicarán las reglas siguientes:
a) En el cálculo del coste efectivo se incluirán las comisiones y
demás gastos que el cliente este obligado a pagar a la entidad
como contraprestación por el crédito recibido o los servicios
inherentes al mismo. No se considerarán a estos efectos las
comisiones o gastos que se indican a continuación, aun cuando
debe quedar expresa y claramente indicado que la tasa anual
equivalente no los incluye:
1. Los gastos que el cliente pueda evitar …
2. Los gastos a abonar a terceros, en particular los corretajes, gastos
notariales e impuestos.
3. Los gastos por seguros o garantías. No obstante, se incluirán las
primas de los seguros que tengan por objeto garantizar a la Entidad el
reembolso del crédito en caso de fallecimiento, invalidez, o
desempleo de la persona física que haya recibido el crédito, siempre
que la Entidad imponga dicho seguro como condición para conceder
el crédito.

42. 42
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia de
las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.
CALCULO DE LAS TASAS DE COSTE O RENTABILIDAD DE
OPERACIONES.
1. La equivalencia financiera a que se refiere el apartado 2
de la norma octava de esta circular, tiene la siguiente
expresión matemática.
m
     
D 1 i n R 1
i
m 


   
m
t
m k
n
n
t
n k
1 1

43. 43
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia
de las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.
(continuación)
siendo,
: disposiciones
D
: pagos por amortización, intereses u otros gastos incluidos
en el coste o rendimiento efectivo de la operación
R
: número de entregas
: número de los pagos simbolizados por R
: tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida
hasta la de la disposición n
: tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida
hasta la de la disposición m
n
m
n
m
t
t

44. 44
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Circular 8/1990 del BE, de 7 de septiembre, sobre transparencia
de las operaciones y protección de la clientela. NORMA 8. Anexo V.
(continuación)
Por su parte, el tipo anual equivalente i (TAE) a que se
refiere la indicada norma octava es el siguiente:
siendo,
: el número de veces que el año contiene al período elegido
m
 (1 ) 1 m
m i i

45. 45
4. VALORACION DE INVERSIONES
TAE (Tasa Anual Equivalente)
 Relación TAE – TIR – Interés nominal – Interés efectivo
i



   
    

    
número de periodos de capitalización en un año
TAE I
siendo,
dias de la TIR
:
:
365
1 1 1 1 1
365
1 1 1
1
365
365
365
d
d
m
I
m
d
i
TAE TIR m
m
m
m
d
d
d
d


    




 


46. 46
5. RENTAS FINANCIERAS
DEFINICIÓN
 Conjunto de capitales financieros que presenta periodicidad en el
tiempo.
C1 C2 C3 C4 C5 Cn …
tttttt1 2 3 4 5
n

47. 47
5. RENTAS FINANCIERAS
CLASIFICACIÓN
 Según periodicidad
 Anual
 Semestral
 Trimestral
 Mensual
 …
 Según situación termino
 Vencida
 Anticipada
 Según inicio
 Inmediata
 Diferida
 Según horizonte temporal
 Temporal
 Perpetua
 Según termino
 Constante
 Variable

48. 48
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 Definimos la renta modelo como la renta tiene las siguientes
características:
 inmediata
 vencida
 temporal
• para generalizar el modelo de valoración,
empezaremos trabajando con una renta
constante

49. 49
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 Valor ACTUAL: valor de la renta en el momento origen de la misma.
C C C C C C
0 1 2 3 4 5
6
6 6
1 2 6 1 1
     
       
 
m
m
 1   1   ...  1   1
 
t
t
m m m m I
I
Va C I C I C I C I C
1



50. 50
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 Valor FINAL: valor de la renta en el momento del último término.
C C C C C C
0 1 2 3 4 5
6
6 6
5 4 0 1  
       
 
1 1
m
m
          
Vf C 1 I C 1 I ... C 1 I C 1
I C
t
t
I
m m m m I
1


51. 51
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 En general,
 
m
n
m
I
I
Va C
  

1 1
 
C C C C … C
0 1 2 3 4 … n
m
n
I
m
I
Vf C
1 1

 n
m Vf Va 1 I

52. 52
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 Demostración formula valor actual.
 1  2  3  4

         
Va C I C I C I C I C I
 1   1   1   1   ...  1
 
   1    2
  

Suma de una progresión geométrica:
de terminos
 
 
-
             
a q
a a q

1
         n
m
   m
   
m
n
m
m
m
 
I I
1 1 1
  
m
n
m m
I I
1 1 1
  
m
n
m m
n
-
m
I
I
1 1
 
I
I
I
I
I
I
n n
PG
q I
n
n
m m m
n
m m m m m
1

C C C C
q
q
C I I I S
 


 

 
 

 
   










        
1 1
(1 ) 1
1
1 (1 )
1 (1 )
1 1 1
- 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 ... 1
              
de razon
primera y última
demostración !

53. 53
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTA MODELO
 Ejemplo 6. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

54. 54
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Diferida
0 1 2 3 4 5 6 7 8

 
C C C C C C
    d
m
d
m
m
n
1 1
D m I Va I
I
I
Va C    

 
 1 1
 
Vf
I
 
I
Vf C
m
n
D 
m 
1 1
en momentos
diferentes!
d

55. 55
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Ejemplo 7. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

56. 56
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Anticipada
 
C C C C C
 m   m 
 
m
n
A m I Va I
I
I
Va 
C   

1 1
1 1
0 1 2 3 4 5
6
C
 
Vf
I
 
I
Vf C
m
n
A 
m 
1 1
en momentos
diferentes!

57. 57
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Ejemplo 8. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

58. 58
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
 Perpetua
C C C C C C
 
n
m
C

 
  
n I
m m
I
I
Va C
1 1 1
lim 

 





0 1 2 3 4 5
6
C …
7 …
 ?  Vf

59. 59
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Ejemplo 9. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

60. 60
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
 Diferida
 Anticipada
 
   
  1
,
1
1 1
1 1
 


 
  
 

d
m
m
d
m
m
n
D A m
Va I
I I
I
I
Va C
C C C C C C
0 1 2 3 4 5 6 7 8
 
Vf
I
1  
1 ,
I
Vf C
m
n
D A 
m 
en momentos
diferentes!
d

61. 61
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENTA MODELO
 Ejemplo 10. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

62. 62
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
 Diferida
 Anticipada
 Perpetua
D,A,  Va
 D,A, Vf
EJERCICIO VOLUNTARIO

63. 63
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
 Diferida
 Anticipada
 Perpetua
 


 
   
 
m
d
m
m
d
m
m
n
m
n
D A
I
I
I I C
I
I
Va C
1
, , 1
1 1
1 1
lim
 










 
 

no existe , ,  D A  Vf

64. 64
5. RENTAS FINANCIERAS
EXTENSIONES A PARTIR DE LA RENDA MODELO
TEMPORAL
lim
RENTA MODELO
VENCIDA IMMEDIATA
m I    1 m 1 I
  n d
ANTICIPADA DIFERIDA PERPETUA
  d
m I  1
lim
n
Valor actual

65. 65
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
 Geométrica
  r
1
Cr C q
1
C1 C2 C3 C4 C5 Cn …
0 2 3 4 5
1 n
 
I q
q I
1 1
Va C
1
Va  C n  1  I
  1
1 m  
m
n
m
n
 


1
q

I q
Vf C
m
n
 

1
1
1
 
m
1 1    n
m I q Vf C n I
  1
I q
 
m
si 1
si 1

66. 66
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
 Ejemplo 11. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

67. 67
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
 Lineal
C1 C2 C3 C4 C5 Cn …
0 2 3 4 5
1 n
 
n
m
nh

h
  

  



Va C 
m I
m m
I
I
nh
I










 1 1
1
( 1) 1 C  C  h r  r
n
 
  
m
nh
I
h





 


Vf C 
m I
m m
I
I








1 1
1

68. 68
5. RENTAS FINANCIERAS
RENTAS VARIABLES
 Ejemplo 12. Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:

69. 69
6. PRÉSTAMOS
DEFINICIÓN
 Operación financiera que consiste en la devolución de un capital
inicial (C0: nominal o principal del préstamo) a través de uno o
varios capitales financieros, generalmente periódicos.
1 2 3 4 5 n …
0 2 3 4 5
1 n
C0
C  t  r n r r , 0   con 1,2, ...

70. 70
6. PRÉSTAMOS
DEFINICIÓN
 Cuadro de amortización
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0 I0 A0 R0 M0
1 1 I1 A1 R1 M1
2 2 I2 A2 R2 M2
3 3 I3 A3 R3 M3
… … … … … …
n-1 n-1 In-1 An-1 Rn-1 Mn-1
n n In An= Rn-1 Rn=0 Mn=R0

71. 71
6. PRÉSTAMOS
CLASIFICACIÓN
 Según tipo de operación
 Simple
 Compleja
 Según inicio devolución del nominal
 Sin carencia
 Con carencia parcial
 Con carencia total
 …

72. 72
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
 El término de amortización es constante y equivale al termino
resultante de una renta modelo con valor actual igual al nominal
del préstamo, y periodo de constitución igual al periodo de
amortización.
 Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente
de amortizar (INTERES COMPUESTO).
     
0 1 2 3 4 …
n
C0
 
1 1 0
 

 

  
 




 

  
 




m
n
n
m
m m
I
I
C
I
I
C
1 1
0  

73. 73
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00

74. 74
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.952,28 700,00 2.252,28 7.747,72 2.252,28
2 2.952,28 542,34 2.409,94 5.337,78 4.662,22
3 2.952,28 373,64 2.578,64 2.759,14 7.240,86
4 2.952,28 193,14 2.759,14 0,00 10.000,00

75. 75
6. PRÉSTAMOS
METODO FRANCES
 Generalizando,
 
 
 
  
I R
r m r
 
A
r r
R  R 
A
r r 
r





 

 

 
r
r r
s
m
n
m
r
M A
I
I
C
1
1
1
0
1 1


76. 76
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
 La única diferencia con el METODO FRANCES es que los intereses se pagan
anticipadamente, de manera que la primera cuota de interés se deduce del
nominal del préstamo y el último termino amortizativo no tiene intereses.
Yn - Y = 0 1
     = A n
 Para calcular el cuadro de amortización utilizaremos la relación existente
entre interés vencido (Im) e interés anticipado (I’m):
'
'
m
I
m I
1 m
I

con 
0 1 2 3 4 …
n
C0
 
1 1 0
 
 
  m
  
m
n
m
 
0 m
  
m
n
m
I
I
I
C
I
I
I
C

  

 

  

 

 




1
1 1
1

77. 77
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0,00 0,00
1
2
3
4 0,00 0,00 10.000,00

78. 78
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés anticipado (i’1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
1 2.778,35 543,56 2.234,79 7.765,21 2.234,79
2 2.778,35 375,36 2.403,00 5.362,22 4.637,78
3 2.778,35 194,48 2.583,87 2.778,35 7.221,65
4 2.778,35 0,00 2.778,35 0,00 10.000,00

79. 79
6. PRÉSTAMOS
METODO ALEMAN
 Generalizando,
 
 
 

1
 
 
 
 
  
I R
r r
 
A
r r
r s


r r





1 1
 
 
  
  

 

 
r
s
n
m
n r
m
r
s
m
m
n
m
r
M A
I
I
R C A C
I
I
I
C
m
1
( )
0
1
'
0
1 1
1 1


80. 80
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
 El principal del préstamo se devuelve a vencimiento.
 Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar
(INTERES COMPUESTO).
Yn
1 2 2 4 … n
0 1 2 3 4 …
n
C0
An
solo intereses:
r =  = Yr =CIm

81. 81
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 700,00
2 700,00
3 700,00
4 700,00 0,00 10.000,00

82. 82
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
2 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
3 700,00 700,00 0,00 10.000,00 0,00
4 10.700,00 700,00 10.000,00 0,00 10.000,00

83. 83
6. PRÉSTAMOS
METODO AMERICANO
 Generalizando,
A Y
 
r r r
 
I R
r m r
A r n
  
A 
C
R  R 
A
r
r r r

r r




r
s
n
M A
1
1
0
1
0 para 1,2,... 1


84. 84
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
 La cuota de amortización es constante y equivale a dividir el nominal
del préstamo por el número de periodos de amortización.
 Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de
amortizar (INTERES COMPUESTO).
1 2 2 4 … n
0 1 2 3 4 …
n
C0
A A A A A A
C
A 0 
n

85. 85
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.500,00
2 2.500,00
3 2.500,00
4 2.500,00 0,00 10.000,00

86. 86
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 0,00 0,00 0,00 10.000,00 0,00
1 3.200,00 700,00 2.500,00 7.500,00 2.500,00
2 3.025,00 525,00 2.500,00 5.000,00 5.000,00
3 2.850,00 350,00 2.500,00 2.500,00 7.500,00
4 2.675,00 175,00 2.500,00 0,00 10.000,00

87. 87
6. PRÉSTAMOS
CUOTAS AMORTIZACIÓN CONSTANTES
 Generalizando,
A Y
 
r r r
 
I R
r m r

C
n
A
R  R 
A
r r 
r



r
r r
s
r
M A
1
1
0
1


88. 88
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
 Los términos de amortización son crecientes y equivalen al termino de una
renta modelo creciente de forma geométrica.
 Los intereses se pagan periódicamente sobre el capital pendiente de amortizar
(INTERES COMPUESTO).
1 1q 1q2 1q3 … 1qn-1
0 1 2 3 4 …
n
C0
C
 
 
q I
1 1
 
C
 
  m
m
m
m
n
m
n
q I

n I
q I
I q
 


 

 

 

 



si 1
1
si 1
1
1
0

1
0
1


89. 89
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
 Crecimiento: 3,00% anual  q=1,03
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00

90. 90
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
 Crecimiento: 3,00% anual  q=1,03
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.829,76 700,00 2.129,76 7.870,24 2.129,76
2 2.914,65 550,92 2.363,74 5.506,50 4.493,50
3 3.002,09 385,46 2.616,64 2.889,87 7.110,13
4 3.092,16 202,29 2.889,87 0,00 10.000,00

91. 91
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES GEOMETRICAMENTE
 Generalizando,
C
 
 
q I
1 1
 
C
 
 

 

 

q
I R
r m r
1
A  
Y
r r r
R  R 
A
r r r

r r







 


 







 

r
s
r
r
m
m
m
m
n
m
n
M A
q I
n I
q I
I q
1
1
1
1
1
0
1
0
1
si 1
1
si 1
1



92. 92
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
EJERCICIO
VOLUNTARIO
 Crecimiento: 3,00% anual  h=300,00€
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1
2
3
4 0,00 10.000,00

93. 93
6. PRÉSTAMOS
TERMINOS AMORTIZACIÓN CRECIENTES LINEALMENTE
 Nominal: 10.000,00€
 Duración: 4 años
 Tipo de interés (i1): 7,00%
 Pagos anuales
 Crecimiento: 3,00% anual  h=300,00€
PERIODO
TERMINO
AMORT.
CUOTA
INTERÉS
CUOTA
AMORTIZACIÓN
CAPITAL
PENDIENTE
CAPITAL
AMORTIZADO
r r Yr Ar Rr Mr
0 - - - 10.000,00 0,00
1 2.244,51 700,00 1.544,51 8.455,49 1.544,51
2 2.744,51 591,88 2.152,63 6.302,86 3.697,14
3 3.244,51 441,20 2.803,31 3.499,54 6.500,46
4 3.744,51 244,97 3.499,54 0,00 10.000,00

94. 94
6. PRÉSTAMOS
COSTE DE UN PRESTAMO
 Ejemplo 13. El Sr. MOROSO pide un préstamo a la CAJA VACIA con
la siguientes condiciones: 5.000,00€ de nominal, a amortizar
anualmente en 10 años a un tipo de interés del 8,00% (método
frances). Además el préstamo lleva incluidos los siguientes gastos:
comisión apertura 1,00%, comisión de estudio 0,25% y gastos
notario 100,00€.
 La TAE de este préstamo es 8,28% y se calcula a partir de la formula:
1  1 
TAE  10
 
TAE
5.000,00  50,00  12,50 
745,15
 El COSTE REAL para el cliente es del 8,74% y se calcula a partir de la formula:
CR 10 1 1
 
CR
5.000,00 50,00 12,50 100,00 745,15
  
   

95. 95
6. PRÉSTAMOS
EXTENSIONES
 CARENCIA
 TIPO VARIABLE
 ASPECTOS COMERCIALES
 ASPECTOS FISCALES

96. 96
Oscar Elvira Benito
oscar.elvira@upf.edu