matematicas

1. Unidad 2, Semana 3:
Razones y Proporciones

2. Razones y proporciones
Magnitud: magnitud son aquellas propiedades que pueden medirse y expresar su resultado mediante un
número y una unidad.
Cuando se comparan dos magnitudes mediante una división, se dice que esas dos magnitudes se encuentran
en una razón.
Sean a y b dos cantidades, entonces una razón entre a y b es: a : b =
La igualdad entre dos razones es una proporción.
Se lee: a es a b como c es a d, también puede escribirse a : b= c : d, en toda proporción se tiene:
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, esta relación se conoce
como Teorema fundamental de la proporción, es decir:

3. Proporcionalidad directa e inversa
Cantidades proporcionales: es una razón constante entre diferentes magnitudes que se pueden medir. Si una aumenta
o disminuye la otra también aumenta o disminuye proporcionalmente.
Proporcionalidad directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas
por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.
Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una de las variables es directamente
proporcional con el inverso multiplicativo de la otra.

4. Proporcionalidad directa e inversa
Ejemplos Proporcionalidad directa:
-Si aumentan los litros de leche, aumenta el dinero que cuestan
-Si aumenta el número de kilómetros recorridos, aumenta los galones de combustible que gasta.
-Si disminuyen los robots empacadores, menos unidades de producción se tendrán.
Ejemplos Proporcionalidad inversa:
- Si aumentan los obreros en la construcción, disminuye el número de días que tardan.
- A menor resistencia de un conductor de energía, mayor cantidad de corriente circula por él.

5. Razones y proporciones
Razón: una razón es la comparación por cociente (división) de dos números, un antecedente y un
consecuente.
Una razón es un par ordenado de cantidades o magnitudes, cada una de esas cantidades vienen
expresadas mediante un número real y una unidad de medida, es decir, son cantidades diferentes de
magnitudes medibles y con sus respectivas unidades, como pueden ser dos manzanas por 500 pesos.

6. Razones y proporciones
Una proporción es la equivalencia que le corresponde a dos razones, es decir:
En una proporción, a los términos a y d se les llama extremos, b y c se les llama medios.
Dos razones forman una proporción, solamente si el producto de sus extremos es igual al producto de sus
medios. Este enunciado es conocido como la propiedad fundamental de las proporciones.
sí y solo sí, ad = bc, con b y d diferentes de cero.

7. Razones y proporciones
Ejemplo 1:
- La edad de 2 personas están en la relación de y la suma de ellas es 84. Hallar las edades.
- Lo primero que sabemos es que a + b = 84, donde a es la edad de una persona y b es la edad de otra.
- Luego trabajamos con una incógnita x , que multiplica tanto al antecedente como al consecuente:
- Como a + b = 84, entonces 5x + 9x = 84 y sumando las x, se obtiene 14x = 84
- Al despejar la x se obtiene
- Si cambiamos las x por 6, se obtiene:
Las edades de las personas son a=30 y b=54.

8. Regla de tres simple
Como su nombre lo indica, una regla de tres simple, se presentan tres datos conocidos, dos de ellos de una
misma magnitud. Para resolver un problema de regla de tres simple, trabajaremos el método de los signos,
positivo (+) o negativo (-),estos signos se colocan de acuerdo al resultado del análisis de la proporcionalidad,
es decir, al sentido de las flechas en la siguiente tabla de proporcionalidad

9. Regla de tres simple
Para desarrollar reglas de tres por el método de los signos se tienen los siguientes pasos.
1. Identificar las magnitudes.
2. Construir las proporciones.
3. Analizar la proporcionalidad por el método de los signos de acuerdo a la tabla de proporcionalidad:
para magnitudes directamente proporcionales, la razón en su numerador lleva un signo menos (-),
mientras que el denominador le coloca un signo más (+) , para magnitudes inversamente
proporcionales, se coloca un signo más (+) en el numerador y un sigo menos (-) en el denominador.
4. Se multiplican las cantidades con signo positivo y se multiplican las cantidades con signo negativo.
5. Se realiza la división del resultado anterior con al menos un decimal.

10. Regla de tres simple
Ejemplo1:
4 obreros hacen una obra en 3 días, ¿Cuántos días tardaran 7 obreros en hacer la misma obra?
Solución:
1. Se identifican las magnitudes, lo que se está contando: obreros y días.
2. Se identifican las magnitudes, lo que se está contando: obreros y días.
O D
3. Se analiza la proporcionalidad y se compara con la de la tabla de proporcionalidad para colocar los signos
correctamente.
O D
inversa: si aumentan los obreros, disminuyen los días en obra.

11. Regla de tres simple
Ejemplo2:
Un vehículo recorre 250km con 3 galones de combustible, ¿cuántos km recorrerá con 7,5 galones de combustible?
Solución:
gl km
Directa: si aumentan los galones de combustible, aumentan los km recorridos.

12. Regla de tres compuesta
Se le llama compuesta por que consta de más de dos magnitudes. Para resolver una regla de tres compuesta se sigue el
mismo procedimiento que para la regla de tres simple, solo que hay que repetirlo más de una vez.
Ejemplo 1:
4 obreros hacen una obra en 3 días trabajando 8 horas diarias, ¿Cuántos días tardaran 7 obreros, trabajando solo 4
horas al día en hacer la misma obra?
Solución:
se analiza la primera proporción
O D H
Inversa, al aumentar los obreros, disminuyen los días, lleva entonces mas (+) arriba y menos (-) abajo.
Se analiza la proporción faltante:
O D H
Inversa, al disminuir las horas de trabajo diarias, aumenta los días en los que se hace.

13. Porcentajes
El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones y razones.
Representa un valor determinado dividido en 100 partes.
Para determinar un porcentaje basta con multiplicar el valor dado por el porcentaje pedido. Luego este
resultado se divide por cien.
Ejemplo 1:
Un comerciante compra la siguiente mercancía:
50 pares de zapatos a 12.000 pesos cada par con 8% de descuento.
30 camisas por 52.000 pesos con 10% de descuento.
12 correas de cuero cada una a 6.000 pesos con 12% de descuento.
¿Cuánto dinero pagó por su compra?

14. Porcentajes
Ejemplo 1: continuación
Primero hallamos el valor total de cada prenda.
zapatos 12.000 x 50 = 600.000
⟶ camisas 52.000
⟶ correas 6.000 x 12 = 72.000
⟶
Luego hallamos el descuento en cada prenda
Luego sumamos todos los descuentos y se los restamos al valor total de la mercancía:
48.000 + 5.200 + 8.640 = 61.840 pesos
724.000 pesos – 61.840 pesos = 662.160 pesos