Magnitudes proporcionales direc e inv

MAGNITUDES PROPORCIONALES REGLAS DE TRES 1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA2.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES3.- REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA4.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES5.- REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA6.- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES 11. La variaci�n proporcional Corresponde a la sesi�n de GA 2.11 LA PROPORCI�N DEL SUBE Y BAJA La variaci�n proporcional tiene gran aplicaci�n en situaciones cotidianas, por citar algunos ejemplos: cuando se prepara un pastel, es necesario que todos sus ingredientes guarden una proporci�n, esto es, la leche con la harina y los huevos; al preparar mezclas de materiales para la construcci�n de un cuarto, se debe guardar una proporci�n entre la arena, la grava, el cemento y la cantidad de agua necesaria. Dentro de la variaci�n proporcional se tienen dos tipos: la directa y la inversa. Estas se explican con los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: En un laboratorio de fisiologia, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el coraz�n de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos: En la tabla se observa que, cuando aumenta el tiempo, tambi�n aumenta el n�mero de litros de sangre que bombea el coraz�n; esto se ve de izquierda a derecha; ahora, si se ve la tabla de derecha a izquierda, tenemos que, al disminuir los litros de sangre que bombea el coraz�n, tambi�n disminuye el tiempo que tarda en bombear la sangre. Al expresar las razones de la tabla y obtener sus cocientes se tiene: como sus cocientes son constantes, las razones son directamente proporcionales. Aplicando la ley fundamental de las proporciones se tiene: Con base en este ejemplo, se observa que: Dos o m�s cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual. Ejemplo 2: Un dep�sito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual di�metro. �En cu�nto tiempo se llenar�, si primero se utiliza una llave y luego tres? En la tabla se observa que, al disminuir el n�mero de llaves de agua, aumenta el tiempo necesario para llenar el dep�sito. Al expresar las razones de la tabla y obtener el producto de los t�rminos de cada raz�n, se tiene lo siguiente: como los productos son iguales, las razones son inversamente proporcionales. Para encontrar un t�rmino desconocido en una proporci�n, cuando es una variaci�n inversa, se multiplican los t�rminos de las dos razones, y el producto se divide entre el t�rmino conocido de la otra raz�n. Retomando el segundo ejemplo, para encontrar el tiempo en el que se llena el dep�sito con tres llaves de agua, se tiene la siguiente proporci�n: Como ya se mostr� anteriormente, se trata de una variaci�n inversamente proporcional porque los productos de las razones son iguales, aqu� no se aplica la. propiedad fundamental de las proporciones, sino el procedimiento que se tiene en el recuadro, esto es: esto indica que, al emplearse tres llaves de agua para llenar el dep�sito, se requieren 3.75 horas. Con base en este ejemplo se observa que: Dos o m�s cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los t�rminos de cada una de las razones son iguales entre s�. Aplicando lo anterior, se tiene lo siguiente: De manera general, se tiene lo siguiente: La variaci�n directamente proporcional consiste en que si se tienen dos cantidades y una de ellas aumenta o disminuye un cierto n�mero de veces, la otra tambi�n se incrementa o disminuye en igual cantidad. En cambio, cuando aumenta una de esas cantidades y la otra disminuye en igual n�mero, o al disminuir la primera, se incrementa la segunda, entonces se da una variaci�n inversamente proporcional. RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA  Razón entre dos números Razón entre dos números a y b es el cociente Por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5, ya que Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es  Proporción numérica Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.Es decir Se lee “a es a b como c es a d” Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. Es decir En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios. La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. Así en la proporción anterior se cumple que el producto de los extremos nos da 2x20=40 y el producto de los medios nos da 5x8=40 EN GENERAL MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:Magnitud 1ªabcd...Magnitud 2ªa’b’c’d’...son directamente proporcionales si se cumple que: Ejemplo Un saco de patatas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Número de sacos123...26...Peso en kg204060...520... Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20 Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20 Observa que Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo 1 En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales. Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla: Litros de agua50xGramos de sal13005200 Se verifica la proporción: Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta: 50.5200=1300.x Es decir En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa. Ejemplo 2 Un auto gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si en el tanque de la gasolina hay 18 litros, de combustible ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el auto? Luego con 18 litros el auto recorrerá 360 km MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden según la siguiente tabla:Magnitud 1ªabc...Magnitud 2ªa’b’c’... son inversamente proporcionales si se verifica que:a.a’ = b.b’ = c.c’ = ... Ejemplo Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto las magnitudes son inversamente proporcionales. Formamos la tabla: Hombres369...18Días24128...? Vemos que los productos 3.24=6.12=9.8=72 Por tanto 18.x=72 O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Ejemplo 1 Un ganadero tiene pienso suficiente, en su finca, para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pasto a 450 vacas? Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudes inversamente proporcionales. x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas Nº de vacas220450Nº de días45x Se cumple que: 220.45=450.x, de donde En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo: Luego 450 vacas podrán comer 22 días Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa. Ejemplo 2 Para envasar cierta cantidad de agua se necesitan 8 tanques de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de agua empleando 32 tanques. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos tanques? Pues la cantidad de agua=8.200=32.x Debemos tener 32 tanques de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de agua. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA DE MAGNITUDES  Regla de tres compuesta. Método de reducción a la unidad Ejemplo 1: Proporcionalidad directa Cuatro chicos en una acampada de 10 días han gastado en comer 25000 ptas. En las mismas condiciones ¿cuánto gastarán en comer 6 chicos durante una acampada de 15 días?  Doble número de chicos acampados el mismo número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de chicos y dinero gastado son directamente proporcionales.  El mismo número de chicos, si acampan el doble número de días gastarán el doble. Luego las magnitudes número de días de acampada y dinero gastado son directamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de chicos y nº de días con la cantidad desconocida, gasto. SABEMOS QUEREDUCCIÓN A LA UNIDADBÚSQUEDA DEL RESULTADO Ejemplo 2: Proporcionalidad inversa 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo. ¿Cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?  Doble número de obreros trabajando el mismo número de días trabajarán la mitad de horas al día para realizar el trabajo. Por tanto el número de obreros y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales.  Doble número de horas diarias de trabajo el mismo número de obreros tardarán la mitad de días en realizar el trabajo. Luego el número de horas diarias de trabajo y el número de días de trabajo son inversamente proporcionales. Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas, nº de obreros y nº de horas diarias de trabajo, con la cantidad desconocida, nº de días de trabajo. SABEMOS QUEREDUCCIÓN A LA UNIDADBÚSQUEDA DEL RESULTADO Por tanto, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33.75 días. EJEMPLOS DESARROLLADOS DE REGLA DE TRES SIMPLE 1 Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de gasolina, antes de viajar a Santa Fe por la autopista, llené el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volví a llenar el tanque de gasolina,. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de gasolina. Sabiendo que la distancia entre Rosario y Santa Fe es de 160 km, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido? Solución Si el auto necesitó 15 litros de gasolina, para recorrer 160 km, y yo quiero averiguar cuántos kilómetros recorrió con cada litro, debo realizar el siguiente cálculo:15 litros________________160 km1 litro________________X kmComo se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 160 y dividir el resultado por 15. El resultado es: 10,66 km por litro.2. Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.? Solución Si la legión necesita 1 día para recorres 35 km, para saber cuántos días le tomaría recorrer 1050 km debo realizar el siguiente cálculo:35 km________________1 día1050 km________________X díasComo se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 1050 y dividir el resultado por 35. El resultado final es: 30 días.3 En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilómetros de la Ciudad de San Carlos de Bariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin del último de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero ese traslado le toma 40 minutos, ¿cuánto tiempo demorá en llegar hasta arriba un grupo de 40 personas? SoluciónSi a una persona le toma 40 minutos transitar los tres tramos de la aerosilla y a un contingente de 100 personas le insume 60 minutos realizar ese ascenso, debo considerar entonces que un grupo de 100 personas tiene una demora de 20 minutos respecto del ascenso individual (60-40). Luego tengo que averiguar cuál será la demora correspondiente a un grupo de 40 personas. Para ello, hago el siguiente cálculo:100 personas________________20 minutos40 personas________________X minutosComo se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 40 x 20 y dividir el resultado por 100. Esto me da por resultado 8 minutos de demora. Ahora bien, en el ejercicio no se me preguntaba por la demora sino por el tiempo total que insumiría a un grupo de 40 personas ascender por la aerosilla. Para responder eso, debo sumar a estos ocho minutos de demora los cuarenta que implica el ascenso individual. El resultado final es: 48 minutos.4. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes. El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo? Solución Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe $480 mensuales, para saber cuánto cobrará por trabajar 8 horas diarias debo realizar el siguiente cálculo:6 horas________________$4808 horas ________________$XComo se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 8 x 480 y dividir el resultado por 6. El resultado final es: $640.

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