Este documento habla sobre grafos y define un grafo como un conjunto de puntos llamados vértices unidos por líneas llamadas aristas. Explica que los grafos se pueden usar para representar problemas de la vida cotidiana como organización de tareas o redes de transporte. También define diferentes tipos de grafos como dirigidos, no dirigidos, eulerianos y hamiltonianos y sus aplicaciones.

1. NOMBRE: ángel
APELLIDSO: Suarez
C.I:19324697
PROF: domingo

2. ¿QUE SON GRAFOS?
 El origen de la palabra grafo es griego y su
significado etimológico es "trazar". Aparece
con gran frecuencia como respuesta a
problemas de la vida cotidiana, algunos
ejemplos podrían ser los siguientes: un
gráfico de una serie de tareas a realizar
indicando su secuenciación (un
organigrama),grafos matemáticos que
representan las relaciones binarias, una
red de carreteras, la red de enlaces
ferroviarios o aéreos o la red eléctrica de
una ciudad.(Véase la figura 1).En cada caso,
es conveniente representar gráficamente el
problema dibujando un grafo como un
conjunto de puntos(vértices)con líneas
conectándolos (arcos).

4.  De aquí se podría deducir que un grafo es
básicamente un objeto geométrico aunque en
realidad sea un objeto combinatorio, es decir,
un conjunto de puntos y un conjunto de líneas
tomado de entre el conjunto de líneas que une
cada par de vértices. Por otro lado, y debido a
su generalidad y a la gran diversidad de
formas que pueden usarse, resulta complejo
tratar con todas las ideas relacionadas con
un grafo.
 Para facilitar el estudio de este tipo de dato,
a continuación se realizará un estudio de la
teoría de grafos desde el punto de vista de
las ciencias de la computación. Considerando
que dicha teoría es compleja y amplia, aquí
sólo se realizará una introducción a la misma,
describiéndose el grafo como un tipo de dato y
mostrándose los problemas típicos y los
algoritmos que permiten solucionarlos usando
un ordenador.

5.  Los grafos son estructuras de datos no lineales
que tienen una naturaleza generalmente
dinámica. Su estudio podría dividirse en dos
grandes bloques:
 Grafos Dirigidos.
 Grafos no Dirigidos (pueden ser considerados un
caso particular de los anteriores).
 Un ejemplo de grafo dirigido lo constituye la red
de aguas de una ciudad ya que cada tubería sólo
admite que el agua la recorra en un único
sentido. Por el contrario, la red de carreteras
de un país representa en general un grafo no
dirigido, puesto que una misma carretera puede
ser recorrida en ambos sentidos. No obstante,
podemos dar unas definiciones generales para
ambos tipos.
 A continuación daremos definiciones de los dos
tipos de grafos y de los conceptos que llevan
asociados.

6. .
¿MATRICES ASOCIADAS A UN GRAFO. GRADO DE UN
VÉRTICE?
 Una forma muy ´útil de representar
un grafo G = (V , A) es mediante su
matriz de
 vecindades (o matriz de
adyacencia). La idea, an´aloga a la
que ya usamos en la sección 3.5
 dedicada a las relaciones, es
formar una matriz de ceros y unos. Si
el conjunto de vértices es
 V = {v1, . . . , vn}, el grafo se puede
describir mediante una matriz n × n

7. GRÁFICAMENTE ESTAS TRES ESTRUCTURAS DE
VÉRTICES Y ARCOS SE PUEDEN REPRESENTAR DE LA
SIGUIENTE MANERA:

8. ¿REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE
GRAFOS?
 Dados G = {V, A,j} y D = {V, A,j} con | A |
= m y | V | = n. Se definen:
 MATRIZ DE ADYACENCIA
 Ma(G) = [bij]nxn / bij: cantidad de
aristas con extremos {vi,vj}
(cuadrada simétrica).
 Ma(D) = [bij]nxn / bij: cantidad de
aristas con extremos (vi,vj)
(cuadrada y no
 Necesariamente simétrica).

9.  MATRIZ DE ADYACENCIA BOOLEANA
 Ma(G) = [bij]nxm = 1 si $a Î A :j (a) =
{vi, vj}
 0 en otro caso
 Ma(D) = [bij]nxm = 1 si $a Î A :j (a) =
(vi, vj)
 0 en otro caso
 Grafos – Definiciones Matemática
Discreta – FI .

10.  MATRIZ DE INCIDENCIA
 2 si aj es lazo con extremo en vi
 Mi(G) = [bij]nxm / bij= 1 si vi y aj son
incidentes y aj no es lazo
 0 si vi y no aj son incidentes
 siaj es lazo con extremo en vi ,con * _0
 Mi(D) = [bij]nxn / bij: = 1 si aj incide
positivamente en vi y aj no es lazo
 -1 si aj incide negativamente en vi y aj
no es lazo
 0 si vi y aj no son incidentes

11. PROPIEDAD
Sea un grafo o digrafo con matriz de
adyacencia Ma, entonces el total de
caminos
 Diferentes de longitud kw desde vi a
vj es igual al elemento i,j de la
matriz M(a)

12.  MATRIZ DE CONEXIÓN:
 Dados G = {v,A,j} con | A | = m y | V | = n.
 Se define la siguiente relación:" v ,w Î V vR
w _ (v= w Ú $ un camino de v a w)
 Mc (G) = [bij]nxn = 1 si vR w0 en otro caso

13. ¿GRAFOS EULERIANOS?
 Informalmente, un grafo (dígrafo) euleriano
es aquél en que pueden recorrerse todas sus
las aristas (arcos) de manera consecutiva y
sin repetirlas. ¿Puede dibujarse cierta figura
de un solo trazo?, ¿puede un cartero efectuar
su reparto sin tener que pasar dos veces por
la misma calle? son ejemplos de uso de este
tipo de grafos. Y por supuesto el problema de
los puentes de K¨onigsberg que, como
comentamos en la introducción, dio inicio a la
teoría de grafos.
 Muchas de las situaciones de aplicación de
estas cuestiones se plantean sobre
multígrafos (multidigrafos),por lo que
debemos recordar que en ´estos pueden existir
varias aristas (arcos) entre los mismos
vértices y lazos.

14.  Puntualicemos además, que:
 Definición 19.- La matriz de adyacencia
o matriz de un multígrafo G = (V,A) con
vértices V =
 {x1, x2, . . . , xn}, es una la matriz
cuadrada M = (mij)n×n donde mij = “no de
aristas entre xi y xj ”.
 La matriz de adyacencia o matriz de un
multidigrafo D = (V,A) con vértices V =
{x1, x2, . . . , xn},es una la matriz
cuadrada M = (mij)n×n donde mij = “no de
arcos desde xi a xj
 Observaciones 21.- 1.- La matriz MG es
simétrica. Si G no tiene lazos la
diagonal principal es nula,

15. y si G es simple, MG está formada
´únicamente por ceros y unos.
 2.- El grado de un vértice xi es la suma
de los elementos de la fila (o columna)
i -´esima más el número de lazos en ese
vértice. Es decir, gr(xi) =Pnk=1mik
+mii_=Pnk=1mki + mii_(cada lazo cuenta
1 en la matriz, pero cuenta 2 en el
grado del vértice).
 3.- El ingrado de un vértice vi es la
suma de los elementos de la columna i -
´esima de la matriz MD, yel ex grado la
suma de los elementos de la fila: ing(vi)
=Pnk=1mki y exg(vi) =Pnk=1mik .
 Naturalmente, gr(vi) = ing(vi) + exg(vi).

16. GRAFOS DIRIGIDOS GRAFOS CONEXOS

17. ¿GRAFOS HAMILTONIANOS?
 En el campo matemático de la teoría de
grafos, un camino hamiltoniano en un
grafos grafos es un camino, una
sucesión de aristas adyacentes, que
visita todos los vértices del grafo una
sola vez. Si además el último vértice
visitado es adyacente al primero, el
camino es un ciclo hamiltoniano.
 El problema de encontrar un ciclo (o
camino) hamiltoniano en un grafo
arbitrario se sabe que es np-completo.

18. ARBOLES GRAFOS

19.  Un árbol es un grafo simple
unidireccional G que satisface alguna
de las siguientes condiciones
equivalentes:
 G es conexo y no tiene ciclos simples.
 G no tiene ciclos simples y, si se añade
alguna arista se forma un ciclo simple.
 G es conexo y si se le quita alguna
arista deja de ser conexo.
 G es conexo y el grafos completos de 3
vértices K3 no es un menor de G.
 Dos vértices cualquiera de G están
conectados por un único camino simple

20.  Si G tiene muchos vértices, n,
entonces las definiciones anteriores
son también equivalentes a
cualquiera de las siguientes
condiciones:
 G es conexo y tiene n − 1 aristas.
 G no tiene aristas simples y tiene n −
1 aristas.
 La cantidad de hojas de un árbol
siempre es mayor o igual a la mitad
de la totalidad de los nodos.

21.  Un grafo unidireccional simple G es
un bosque si no tiene ciclos simples.
 Un árbol dirigido es un grafo dirigido
que sería un árbol si no se
consideraran las direcciones de las
aristas. Algunos autores
restringen la frase al caso en el
que todos las aristas se dirigen a un
vértice particular, o todas sus
direcciones parten de un vértice
particular.

22. árbol recibe el nombre de árbol
 Un
con raíz si cada vértice ha sido
designado raíz, en cuyo caso las
aristas tienen una orientación
natural hacia o desde la raíz. Los
árboles con raíz, a menudo con
estructuras adicionales como orden
de los vecinos de cada vértice, son
una estructura clave en
informática; véase árbol
(programación)

23.  Un árbol etiquetado es un árbol en
el que cada vértice tiene una única
etiqueta. Los vértices de un árbol
etiquetado de n vértices reciben
normalmente las etiquetas {1,2, ...,
n}.
 Un árbol regular u homogéneo es un
árbol en el que cada vértice tiene
el mismo grado.

24. ¿ÁRBOL?
Árbol etiquetado con 6
vértice y 5 aristas. El
único camino simple que
conecta los vértices 2 y
6 es 2-4-5-6.
vértices
v
ARTISTA v-1
NUMERO 2 si v> 1
CROMATICO
BIPARTITO,EXPANDIBLE y
PROPIEDADES:
PLANO(si el conjunto de
vértices es NUMERABLE)

26. ¿APLICACIONES DE GRAFOS?
 Gracias a la teoría de grafos se
pueden resolver diversos problemas
como por ejemplo la síntesis de
CIRCUITOS secuenciales, contadores o
sistemas de apertura. Se utiliza para
diferentes áreas por ejemplo, Dibujo
computacional, en toda las áreas de
Ingeniería.
 Los grafos se utilizan también para
modelar trayectos como el de una
línea de autobús a través de las
calles de una ciudad, en el que podemos
obtener caminos óptimos para el
trayecto aplicando diversos
ALGORITMOS como puede ser el
algoritmo de FLOYD.

27.  Para la administración de
proyectos, utilizamos técnicas como
PERT en las que se modelan los
mismos utilizando grafos y
optimizando los tiempos para
concretar los mismos.
 La teoría de grafos también ha
servido de inspiración para las
ciencias sociales, en especial para
desarrollar un concepto no
metafórico de RED SOCIAL que
sustituye los nodos por los actores
sociales y verifica la posición,

28.  centralidade importancia de cada
actor dentro de la red. Esta medida
permite cuantificar y abstraer
relaciones complejas, de manera
que la estructura social puede
representarse gráficamente. Por
ejemplo, una red social puede