Un espacio vectorial es el objeto básico de estudio en álgebra lineal. Se define como un conjunto no vacío sobre el cual se definen dos operaciones: la suma y el producto por escalares, que cumplen ciertas propiedades. Algunos ejemplos de espacios vectoriales son Rn y los polinomios Pn. Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que también cumple las propiedades de un espacio vectorial. La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquiera de sus bases.

1. Espacio Vectorial
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Escuela: Ing. Eléctrica
Sede: Barcelona – Edo. Anzoátegui
Bachilleres:
Jesus Areschider C.I 20,875,751
Profesor:
Prof. Ramón A. Aray L. Ing. de Sistemas.
Barcelona 13 de octubre de 2017

2. La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura
matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con
diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una
operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre
dicho conjunto y un cuerpo.
Introducción.

3. Definicion de espacio vectorial .
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la
rama de la matemática llamada algebra lineal. A los elementos de los espacios
vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse
dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación
entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un
conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas
de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo.
Un concepto importante es el de dimensión.

4. Ejemplos de espacios
vectoriales.

8. Definicion de subespacio vectorial .
• En algebra lineal, un subespacio vectorial se define como el subconjunto
de un espacio vectorial, que debe de cumplir con ciertas características
especificas.
• Sean V y S dos espacios vectoriales definidos en el campo K, entonces
S es un subespacio vectorial de V, si y solo si S es mayor que v.
• De hecho todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que
también son espacios vectoriales.

9. Combinacion lineal.
Una combinación lineal es una superposición de objetos: imagine que usted
tiene dos señales (discretas o continuas). Cuando usted las amplifica y/o
atenua para después mezclarlas, esta haciendo una combinación lineal.
Si x1, x2,. . . ,xk con vectores con n componentes, una combinación lineal con
ellos es una expresión de la forma:
c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk
donde los coeficientes c1,c2,. . . ,ck son escalares.
.

10. Este concepto no es del todo desconocido. En ecuaciones diferenciales lineales
y homog´eneas, teniendo la soluci´on general.
y(t) = c1 y1(t) + · · · + cn yn(t)
para obtener soluciones particulares se deben determinar los valores de las
constantes ci . Es decir, se escogen los coeficientes de una combinación lineal..

11. Dependencia e independiencia lineal.
Dado un conjunto finito de vectores, se dice que estos vectores son linealmente
independientes si existen números donde la ecuación .

12. se satisface únicamente cuando.
Son todos cero,
En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes.

13. Ejemplo.
En el espacio tridimensional usual:
 u y j son dependientes por tener la misma dirección.
 u y v son independientes y definen el plano P.
 u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
 u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una
combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano
P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son
dependientes ya que o = 0 · K
.

14. Ejemplo del uso de la fórmula f:
¿Son los tres vectores siguientes independientes?
Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:
Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:
Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son
independientes.

15. Base y dimensión de un espacio vectorial .
Base
En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de
vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro
vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.
La base es natural, estándar o canónica si los vectores v1, v2,…, vn forman
base para Rn.
Si S={v1, v2,…, vn} es una base para un espacio vectorial V entonces todo
vector v en V se puede expresar como:
 V = c1v1+ c2v2+…+ cnvn
 V = k1v1+ k2v2+…+ knvn
Restar 2-1
 0 = (c1- k1) v1+(c2- k2) v2+…+(cn- kn) vn
.

16. Dimensión
Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay
en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).
La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.
La dimensión de Pn con las operaciones normales es n+1.
La dimensión de Mm,n con las operaciones normales es mn.
Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se
puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es
menor o igual que n.
.

17. Espacio nulo de una matriz.
El espacio nulo de una matriz A de m x n, que se escribe Nul A, es el conjunto
de todas las soluciones de la ecuación homogénea Ax=0. En notación de
conjuntos
 Nul A={x: x está en R - n y Ax=0}
Cuando A tiene n columnas , las soluciones de Ax=0 pertenecen a R-n, y el
espacio nulo de A es un subconjunto de R-n..

18. Rango de una matriz.
El rango de una matriz Es el número de filas (o columnas) linealmente
independientes. Utilizando esta definición se puede calcular usando el método
de Gauss.
También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz
cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando
determinantes.
En general, los pasos a seguir para el cálculo del rango por determinates son:
 Descartamos las filas (o columnas) que cumplan las condiciones vistas anteriormente.
 Si al menos un elemento de la matriz no es cero su determinante no será nulo y, por
tanto, el rango será mayor o igual a 1.
 El rango será mayor o igual a 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal
que su determinante no sea nulo.
 El rango será mayor o igual a 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal
que su determinante no sea nulo.
 El rango será mayor o igual a 4 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 4, tal
que su determinante no sea nulo.

19. Conclusión.
Después de haber estudiado estos derivados de la algebra línea, se han visto
de una manera mas detallada y con mas exactitud los teoremas y propiedades
que hilan todos los temas propuestos en esta investigación y se ha se ha
llegado a la conclusión de que todos los temas están relacionados en cierta
forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se
han visto en temas anteriormente ya mencionados.

20. Referencias bibliograficas.
• Espacio Vectorial. 7 oct 2017 a las 22:11. Fundación Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
• Subespacio Vectorial. 27 jul 2017 a las 16:56. Fundación Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
• Subespacio Vectoriales. 19 may 2010. SlideShare. Por: Belén Calero.
https://es.slideshare.net/belencalero/subespacios-vectoriales
• Combinacion Lineal. 28 ago 2016 a las 19:55. Fundación Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal
• Dependencia Lineal. 18 de may de 2010. Slideshare. Por: Rosy.
https://es.slideshare.net/rosiestefania/dependencia-lineal
• Dependiencia Lineal. Vitutor.
https://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.ht
ml
• Dependencia y independencia Lineal. 26 sep de 2010 a las 10:19.
Fundacion Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal
• Dimencion de un spacio vectorial. 26 de abr de 2017. Fundacion
Wikipedia.
https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_un_espacio_vectorial