Este documento describe la importancia de las matrices en la resolución de problemas. Explica los tipos de matrices, operaciones matriciales como suma, diferencia y producto. Aplica las matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales y un problema de alimentación de ganado usando el software Derive. Concluye que las matrices proporcionan una solución exacta a problemas de la vida cotidiana.

1. “ IMPORTANCIA DE LAS MATRICES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS” MAESTRO: RAMIREZ FLORES ALEJANDRO. ALUMNOS: ANDRADE LOPEZ CARLOS ORTIZ SOLIS ANDRES Maestría en Admon de Sistemas de Calidad

2. CONTENIDO Introducción Definición de matriz Tipos de matrices Operaciones matriciales Suma Diferencia Producto Aplicaciones de las matrices Utilización del software Derive Conclusiones Bibliografía

3. INTRODUCCIÓN La gran diversidad de necesidades del ser humano, en cada uno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodos matemáticos que den una solución rápida y exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución optima a un sistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas de un planteamiento del problema. A su vez se hace más versátil y dinámico el emplear para su resolución un software (Derive). Es por ello la importancia en la gran resolución de problemas de diversos tópicos.

4. MATRIZ Es un arreglo rectangular de elementos de un conjunto dispuesto en filas y columnas. m = Número de renglones o filas n = Número de renglones o filas A = a ij mxn

5. 3x4 mxn MATRIZ a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1n a m1 a m2 … a mn A =

6. TIPOS DE MATRICES t t t t t Es aquella matriz cuya traspuesta es igual a ella misma solo que cambiada de signo A = -A Matriz antisimétrica Es aquella matriz que es igual a su matriz traspuesta, es decir A = A Matriz simétrica Una matriz es traspuesta de otra, cuando una fila m =a es igual en números a una columna n = a Matriz traspuesta Aquella matriz compuesta única y exclusivamente por ceros. Matriz nula EJEMPLO DEFINICIÓN TIPO DE MATRIZ

7. TIPOS DE MATRICES Es aquella matriz escalar cuyo elemento en la diagonal es el 1. Matriz identidad o unidad Es aquella matriz que presenta un triangulo de ceros en una de sus esquinas. Matriz triangular Es aquella matriz diagonal compuesta por elementos de la diagonal de un único tipo de escalar. Matriz escalar Es aquella matriz diagonal compuesta por elementos de la diagonal de diferentes tipos de escalar. Matriz diagonal EJEMPLO DEFINICIÓN TIPO DE MATRIZ

8. OPERACIONES MATRICIALES SUMA DIFERENCIA PRODUCTO

9. SUMA La suma de una matriz es una generalización de la de la suma de vectores. 12 11 13 23 22 21 12 11 13 23 22 21 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23

10. DIFERENCIA Se efectúa alterando los signos de la matriz restante. 12 11 13 23 22 21 12 11 13 23 22 21 11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 - - - - - - -

11. PRODUCTO El producto de dos matrices se realiza mediante la multiplicación de filas por columnas, la multiplicación de fila n de la primera matriz por la columna m de la segunda matriz y sumados los elementos obtenidos da lugar al elemento (n,m) de la matriz producto. 11 12 21 22 31 32 11 12 13 21 22 23 11 11 21 11 31 11 21 21 21 12 22 32 11 12 21 12 31 12 22 22 22 12 22 32 11 13 21 13 31 13 23 23 23 12 22 32

12. PRODUCTO

13. APLICACIONES Resolver mediante el uso de matrices el siguiente sistema de ecuaciones lineales. (1) 4X 1 + 2X 2 + X 3 = 15 (2) 20X 1 + 5X 2 – 7X 3 = 0 8X 1 – 3X 2 + 5X 3 = 24 La matriz aumentada es (1) (2) (3)

14. APLICACIONES Tómese el elemento a 11 como pivote. Para hacerlo 1 y a los otros elementos cero en la primera columna, realícense las siguientes operaciones elementales mostradas en orden para cada raíz: Réstese (20/4) [ecuación (1)] de la ecuación (2) Réstese (8/4) [ecuación (1)] de la ecuación (3) Multiplíquese la ecuación (1) por ¼. Para obtener (1a) (2a) (3a)

15. APLICACIONES Efectúense las operaciones elementales para hacer el elemento pivote a 22 igual 1 y los otros elementos en la segunda columna iguales a cero: (a) Réstese [(1/2)/-5] [ecuación (2a)] de la ecuación (1a) Réstese (-7/-5) [ecuación (2a)] de la ecuación (3a) Multiplíquese la ecuación (2a) por (-7/-5). Para obtener (1b) (2b) (3b)

16. APLICACIONES Otra serie de operaciones elementales conduce a un 1 para el elemento a 33 y ceros para los otros dos elementos en la tercera columna: La solución para el sistema es: x 1 = 1 x 2 = 3 x 3 = 5

17. APLICACIONES Mediante este método se puede resolver problemas de la vida cotidiana y con ello dar una solución adecuada y óptima a la problemática. Con la ayuda de un software de matemáticas ( derive ) se hace más fácil dicha resolución.

18. APLICACIONES Un granjero da de comer a su ganado un a mezcla de 2 tipos de alimento. Una unidad estándar del alimento tipo A proporciona a un novillo 10 % del requerimiento diario de proteínas y 15 % de carbohidratos. Una unidad estándar del alimento B contiene 12 % del requerimiento diario de proteínas y 8 % del de carbohidratos. Si el granjero requiere alimentar a su ganado con el 100% de los requerimientos mínimos diarios de proteínas y carbohidratos, ¿Cuántas unidades de cada tipo de alimento debe de dar a un novillo al día? Planteamiento del problema

19. APLICACIONES Para dar solución a al problema se debe obtener el modelo matemático, es decir el sistema de ecuaciones lineales. Modelo matemático 10X 1 + 12X 2 = 15 (2) 15X 1 + 8X 2 = 0 50 8 15 CARBOHIDRATOS 50 12 10 PROTEINA REQUERIMIENTO DIARIO (%) B (%) A (%)

20. La matriz aumentada es APLICACIONES La solución al sistema es Transformación a un modelo matricial

21. Interpretación APLICACIONES La solución para el sistema es: x 1 = 2 x 2 = 5/2 Es decir se requieren 2 unidades del alimento A y 5/2 del alimento B que se deben de dar a un novillo por día.

22. Utilización del software DERIVE APLICACIONES 1. Seleccionar la matriz con respecto al número de filas y columnas del sistema mediante el comando author matriz .

23. Utilización del software DERIVE APLICACIONES 2. Dar los valores correspondientes a cada casillero

24. Utilización del software DERIVE APLICACIONES 3. Dar la orden de que haga la reducción de columnas con el comando autor mediante la siguiente acción row_reduce indicando el número de la matriz a resolver.

25. Utilización del software DERIVE APLICACIONES 4. Dar click en el simbolo de igual (=) para obtener la solución exacta de la matriz.

26. Utilización del software DERIVE APLICACIONES 5. Interpretación de resultados. La solución para el sistema es: x 1 = 2 x 2 = 5/2 Es decir se requieren 2 unidades del alimento A y 5/2 del alimento B que se deben de dar a un novillo por día.

27. CONCLUSIONES Mediante el uso de las matrices se resolvió un sistema de ecuaciones lineales, además se encontró la importancia que tienen en la resolución de problemas de la vida cotidiana con lo cual se llega a dar una solución exacta para dar mejores resultados en un determinado proceso. El empleo de estas herramientas matemáticas se hacen más interesantes y útiles mediante el uso de un software que en este caso empleamos el DERIVE, con ello nos da a mostrar cual tan importantes son las matemáticas en la resolución de problemas.

28. BIBLIOGRAFÍA Grossman Stanley I. Algebra Lineal, McGraw-Hill. Quinta Edición. México. 2000. Miller Irwing R., Freund John E. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice-Hall. México. 1992. Baldor A. Algebra. Publicaciones Cultural. México. 2002.