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Matrices y
Determinantes
Concepto de matriz. Igualdad de matrices
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les
denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero
indica la fila y el segundo la columna
Dimensión de la matriz nm
2ª columna
3ª fila













a11 a12 a13 ...... a1n
a21 a22 a23 ...... a2n
a31 a32 a33 ...... a3n
.. .. .. .. ..
am1 am2 am3 ...... amn
= (aij)
Dos matrices son iguales cuando tienen la
misma dimensión y los elementos que
ocupan la misma posición en cada una de
ellas son iguales.
Definición de matríz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos
en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2,
..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero
denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el
elemento de la fila 2 y columna 5.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





321
3333231
2232221
1131211
A = (ai,j)=
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
2.- Suma y diferencia de matrices
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la
opuesta de B : A–B = A + (–B)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
Operaciones con matrices II
Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los
correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij)
A + B = (aij) + (bij) =







a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
+







b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
=
=







a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24
a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34
= (aij + bij )
Suma de matrices: ej de orden 3
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Conmutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
• Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0
La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden.
Propiedades de la adición de matrices
• Distributiva I: k(A + B) = kA + kB
• Distributiva II: (k + h)A = kA + hA
• Elemento neutro: 1 · A = A
• Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un
escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial
Propiedades con la suma y el producto por un número
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen
multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas).
De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de
B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x
p,
no se pueden multiplicar
Ejemplos:
Pij = aik · bkj con k=1,….n
Operaciones con matrices
2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto?
(aij)2,3
. (bij)3,3 =
producto
posible
(cij)
2, 3
A · B =








2 1 –1
3 –2 0
.







1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
=








3 3 –1
1 6 6
1. El producto de A= 




2 1 –1
3 –2 0 por la matriz B =





1 2 0
1 0 –3
0 1 –2
cada fila de A por cada columna de B.
se obtiene multiplicando
Ejemplo: producto de matrices
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de
los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí
misma.
An = A . A . ........... . An veces
Ejemplo:






=
10
11
A






=











==
10
21
10
11
10
11
AAA2






=











==
10
31
10
21
10
11
AAA 23






=











===
10
41
10
31
10
11
AAAAAAA 34






=




 -






===
10
1
10
11
10
11
AAAAA 1-
veces-
nnn
n
n
321L
Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz
unidad. La matriz inversa se representa por A–1.
Y de aquí se deduce que:
Ejemplo: Dada A = 







2 –1
1 1 para obtener A -1
= 







x y
z t se ha de cumplir








2 –1
1 1
.








x y
z t =








1 0
0 1








2x– z 2y– t
x + z y + t =








1 0
0 1

2x – z = 1
x + z = 0
2y – t = 0
y + t = 1

x = 1/3
y = 1/3
z = –1/3
t = 2/3
Por tanto A-1
=







1
3
1
3
– 1
3
2
3
Inversa de una matriz (directamente)
Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos
que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz
tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación
superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea
de ceros, la matriz no tiene inversa.
El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se
basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le
quiere calcular la inversa.
Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar
la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B).
La matriz B será la inversa de A.
Las transformaciones elementales son las siguientes:
Permutar 2 filas ó 2 columnas.
Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Suprimir las filas o columnas que sean nulas,
Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos
haciendo son las siguientes multiplicaciones:
A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B
Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a
multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:










-- 211
112
011










-
-
220
110
011
F2 – 2F1 g F2
F1 + F3 g F3










-
-=










--











-
220
110
011
211
112
011
101
012
001
Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación:
Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan I
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la
signatura de la permutación)
Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los
productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de
la permutación que indican sus filas y columnas.
Determinantes
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.
a11
a12
a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =





a11 a12
a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det (A) o |A|, al número real siguiente:Se llama determinante de A,
Dada una matriz cuadrada de segundo orden:
 a a
aA =



11 12
a21 22
se llama determinante de A al número real:
Det( A) = |A| =
aa 11 12
a 21 a 22
= a11 · a22 – a12 · a21
Ejemplo: 3 2
2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1
Determinantes de orden 2 y 3
La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del
determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con
su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.
Regla de Sarrus
24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77
det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =
El determinante de la matriz A =











3 5 1
4 –2 –1
2 –3 –4
es
Aplicaciones a la regla de Sarrus
Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3
Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
.(-1)1+1
a
22
a
23
a
32
a
33
+ a
21
.(-1)2+1
a
12
a
13
a
32
a
33
+ a
31
.(-1)3+1
a
12
a
13
a
22
a
23
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
31
.(-1)3+1
a
12
a
13
a
22
a
23
+ a
32
.(-1)3+2
a
11
a
13
a
21
a
23
+ a
33
.(-1)3+3
a
11
a
12
a
21
a
22
Ejemplos: desarrollos de un
determinante de orden 3
–3 5
–1 –1
= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34
El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de
una fila o columna por sus respectivos adjuntos:
det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila
det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna
Por ejemplo:
2 –1 1 2
1 6 1 0
3 –1 –1 3
2 –1 0 1
= 1 · (–1)2+1
–1 1 2
–1 –1 3
–1 0 1
+ 6 · (–1)2+2
2 1 2
3 –1 3
2 0 1
+
+ 1 · (–1)2+3
2 –1 2
3 –1 3
2 –1 1
+ 0 · (–1)2+4
2 –1 1
3 –1 –1
2 –1 0
=
Determinante de cualquier orden
• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o
columna por sus adjuntos.
• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los
elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1,
para simplificar los cálculos.
• 2ª fila por (–3) + 1ª fila
• 2ª fila por (–2) + 3ª fila
• 2ª fila por (–3) + 4ª fila
desarrollo por 1ª
columna
• 1ª fila por 1 + 3ª fila
desarrollo por 1ª
columna
–18
Ejemplo :
3 5 – 2 6
1 2 – 1 1
2 4 1 5
3 7 5 3
=
0 – 1 1 3
1 2 –1 1
0 0 3 3
0 1 8 0
= –1.
– 1 1 3
0 3 3
1 8 0
=–1 .
– 1 1 3
0 3 3
0 9 3
=
= (–1) .
(–1)
3 3
9 3 =
Cálculo de determinantes por el
método de Gaus
Bibliografia
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/Temas_PDF/MatricesDetermin.pdf
https://books.google.co.ve/books?id=TyRUwQ4pKLMC&pg=PA385&lpg=PA385&dq=fundamentos+de+matrices+y+determinantes
&source=bl&ots=mgTET3bAaa&sig=CfMmJFU4Y7FCyEUC7fSv5qP7o3o&hl=es&sa=X&ved=0CEQQ6AEwB2oVChMIvYrMxsrryAIVi9
UeCh1SkQVq#v=onepage&q=fundamentos%20de%20matrices%20y%20determinantes&f=false
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Fundamentos matrices y determinantes

  • 2. Concepto de matriz. Igualdad de matrices Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz. Cada elemento tiene dos subindices, el primero indica la fila y el segundo la columna Dimensión de la matriz nm 2ª columna 3ª fila              a11 a12 a13 ...... a1n a21 a22 a23 ...... a2n a31 a32 a33 ...... a3n .. .. .. .. .. am1 am2 am3 ...... amn = (aij) Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son iguales.
  • 3. Definición de matríz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se representa por m x n.                 nnnnn n n n aaaa aaaa aaaa aaaa      321 3333231 2232221 1131211 A = (ai,j)=
  • 4. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico S = (aij + bij). La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo 2.- Suma y diferencia de matrices Sin embargo, no se pueden sumar. La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B) Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. Operaciones con matrices II
  • 5. Para sumar dos matrices A y B con las mismas dimensiones se suman los correspondientes elementos: si A = (aij) y B = (bij) entonces A + B = (aij + bij) A + B = (aij) + (bij) =        a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 +        b11 b12 b13 b14 b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 = =        a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a14 + b14 a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a24 + b24 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 a34 + b34 = (aij + bij ) Suma de matrices: ej de orden 3
  • 6. • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Conmutativa: A + B = B + A • Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula. • Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0 La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A. Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Propiedades de la adición de matrices
  • 7. • Distributiva I: k(A + B) = kA + kB • Distributiva II: (k + h)A = kA + hA • Elemento neutro: 1 · A = A • Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales. El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial Propiedades con la suma y el producto por un número
  • 8. Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir estas). De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p, no se pueden multiplicar Ejemplos: Pij = aik · bkj con k=1,….n Operaciones con matrices
  • 9. 2. ¿Qué dimensiones tiene la matriz producto? (aij)2,3 . (bij)3,3 = producto posible (cij) 2, 3 A · B =         2 1 –1 3 –2 0 .        1 2 0 1 0 –3 0 1 –2 =         3 3 –1 1 6 6 1. El producto de A=      2 1 –1 3 –2 0 por la matriz B =      1 2 0 1 0 –3 0 1 –2 cada fila de A por cada columna de B. se obtiene multiplicando Ejemplo: producto de matrices
  • 10. Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma. An = A . A . ........... . An veces Ejemplo:       = 10 11 A       =            == 10 21 10 11 10 11 AAA2       =            == 10 31 10 21 10 11 AAA 23       =            === 10 41 10 31 10 11 AAAAAAA 34       =      -       === 10 1 10 11 10 11 AAAAA 1- veces- nnn n n 321L Producto: Potencia de una matriz
  • 11. Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si A . B = B . A = I, siendo la matriz unidad. La matriz inversa se representa por A–1. Y de aquí se deduce que: Ejemplo: Dada A =         2 –1 1 1 para obtener A -1 =         x y z t se ha de cumplir         2 –1 1 1 .         x y z t =         1 0 0 1         2x– z 2y– t x + z y + t =         1 0 0 1  2x – z = 1 x + z = 0 2y – t = 0 y + t = 1  x = 1/3 y = 1/3 z = –1/3 t = 2/3 Por tanto A-1 =        1 3 1 3 – 1 3 2 3 Inversa de una matriz (directamente)
  • 12. Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangulación superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangulación inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa. El método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangulación superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa. Dada una matriz A de orden n, para calcular su inversa hay que transformar la matriz (A I In) mediante transformaciones elementales por filas en la matriz (In I B). La matriz B será la inversa de A. Las transformaciones elementales son las siguientes: Permutar 2 filas ó 2 columnas. Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo. Sumar o restar a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo. Suprimir las filas o columnas que sean nulas, Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa
  • 13. En consecuencia al transformar (A I In) en (In I B) realmente lo que estamos haciendo son las siguientes multiplicaciones: A-1·A= In y A-1 · In = A-1=B Si hacemos transformaciones elementales en una matriz, esto es equivalente a multiplicarla por otra matriz dada. Ejemplo:           -- 211 112 011           - - 220 110 011 F2 – 2F1 g F2 F1 + F3 g F3           - -=           --            - 220 110 011 211 112 011 101 012 001 Esta transformación es equivalente a la siguiente multiplicación: Cálculo de la Matriz Inversa por el método de Gauss – Jordan I
  • 14. Dada una matriz cuadrada se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número: con (Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación) Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas. Determinantes
  • 15. = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33. a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a31 a32 a33 Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =      a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 det (A) o |A|, al número real siguiente:Se llama determinante de A, Dada una matriz cuadrada de segundo orden:  a a aA =    11 12 a21 22 se llama determinante de A al número real: Det( A) = |A| = aa 11 12 a 21 a 22 = a11 · a22 – a12 · a21 Ejemplo: 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1 Determinantes de orden 2 y 3
  • 16. La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo. Regla de Sarrus
  • 17. 24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77 det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] = El determinante de la matriz A =            3 5 1 4 –2 –1 2 –3 –4 es Aplicaciones a la regla de Sarrus
  • 18. Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3 Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 .(-1)1+1 a 22 a 23 a 32 a 33 + a 21 .(-1)2+1 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 .(-1)3+1 a 12 a 13 a 22 a 23 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 31 .(-1)3+1 a 12 a 13 a 22 a 23 + a 32 .(-1)3+2 a 11 a 13 a 21 a 23 + a 33 .(-1)3+3 a 11 a 12 a 21 a 22 Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3
  • 19. –3 5 –1 –1 = 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34 El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos: det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna Por ejemplo: 2 –1 1 2 1 6 1 0 3 –1 –1 3 2 –1 0 1 = 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1 + 6 · (–1)2+2 2 1 2 3 –1 3 2 0 1 + + 1 · (–1)2+3 2 –1 2 3 –1 3 2 –1 1 + 0 · (–1)2+4 2 –1 1 3 –1 –1 2 –1 0 = Determinante de cualquier orden
  • 20. • El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos. • El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos. • 2ª fila por (–3) + 1ª fila • 2ª fila por (–2) + 3ª fila • 2ª fila por (–3) + 4ª fila desarrollo por 1ª columna • 1ª fila por 1 + 3ª fila desarrollo por 1ª columna –18 Ejemplo : 3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3 = 0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0 = –1. – 1 1 3 0 3 3 1 8 0 =–1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3 = = (–1) . (–1) 3 3 9 3 = Cálculo de determinantes por el método de Gaus