proyecto final de álgebra lineal, UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA

1. UNIVERSIDAD MARIANO
GALVEZ
Integrantes:
Ronald Migdael Gómez Rivas 12-9346
Juan Carlos Gómez Rivas 13-13883
PROYECTO DE ALGEBRA LINEAL

2. ALGEBRA
LINEAL

3. SUMA DE MATRICES
PARA PODER SUMAR MATRICES, ÉSTAS DEBEN TENER EL MISMO NÚMERO
DE FILAS Y DE COLUMNAS. ES DECIR, SI UNA MATRIZ ES DE ORDEN 3 ´ 2 Y
OTRA DE 3 ´ 3, NO SE PUEDEN SUMAR NI RESTAR. ESTO ES ASÍ YA QUE,
TANTO PARA LA SUMA COMO PARA LA RESTA, SE SUMAN O SE RESTAN LOS
TÉRMINOS QUE OCUPAN EL MISMO LUGAR EN LAS MATRICES.

4. La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos
matrices que ocupan la misma posición.
EJEMPLO:

5. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide
con el número de filas de B.
Resultado de la matriz A y
B.

6. SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES

7. SISTEMAS LINEALES GAUSS
El método de Gauss consiste en reducir filas y columnas a 0 en una
Matriz con el objetivo de resolver un sistema lineal por medio del
método de sustitución hacia atrás. La resolución de filas y columnas a ceros tienen que ir apegado
a las reglas siguientes:
1. Cualquier fila del Sistema puede ser intercambiada una con otra
sin cambiar el valor de las variables.
2. Cualquier fila podrá ser multiplicado por un número diferente de
0, esto tampoco alteraría el valor de la variable
3. Se pueden sumar filas o restar filas entre si.
4. Si se van a reducir a ceros elementos de la columna uno, la fila
pivote será la fila uno, si se van a reducir a ceros elementos de la
columna dos, la fila pivote será la fila dos, así sucesivamente.

8. EJEMPLO:
Realizamos operaciones elementales fila para obtener la matriz en forma escalonada reducida
Multiplicamos la primera fila por 1/5 y la segunda por 1/3
Sumamos a la segunda fila la primera
Multiplicamos la segunda fila por 5/7
Sumamos a la primera fila la segunda fila multiplicada por -2/5
Calculamos los rangos

9. TRANSPUESTA DE UNA
MATRIZ

10. TRANSPUESTA DE UNA
MATRIZ
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz (AT)que se obtiene
cambiando ordenadamente las filas por las columnas
 Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y
 que es antisimétrica,si AT = -A.
Ejemplo:

11. DETERMINANTES

12. DETERMINANTES
LA DETERMINANTE DE LA MATRIZ A ES: 53

13. MÉTODO
DE
LAPLACE

14. Para utilizar el método de Laplace se debe identificar la fila o la columna que más ceros
tenga y esas se trabaja elemento por elemento
En este ejemplo miraremos una matriz de 3*3
A=
2 1 0
2 0 3
−1 4 2
(-1)²⁺¹(2)
1 0
4 2
+ (-1)2+3 (3)
2 0
−1 2
(-1)(2+0)+(-1)(4+0)= -6

15. INVERSA DE
COFACTORES
Para calcular la Matriz Inversa es de la siguiente manera:
A^-1 = 1/DA x (Matriz adjunta de A)
Determinante de la Matriz A tiene que ser Diferente de 0.
Matriz Adjunta de A: Transpuesta de la matriz de cofactores de A.
Transpuesta: Cambiar las filas por columnas de la matriz.

16. Determinante de la
matriz A

17. MÉTODO DE
KRAMER

18. A= 3x+5y-2z=8
5x-8y- z= 11
9x+11y+7z=15
MÉTODO DE KRAMER
|A|=-168-45-110-144+33-174= -609
Se multiplica como se mira en el ejemplo de la
matriz original
X= 8 5 -2 8 5
Matriz original
11 -8 -1 11 -8 |X|= -448-75-242-240+88-385= -1302
1 15 11 7 15 11
Y= 3 8 -2 3 8
5 11 -1 11 -8 |Y|= 231-72-150+198+45-280= -28
9 14 7 9 15
Z= 3 5 8 3 5
5 -8 11 5 -8 |Z|= -360+495+440+576-363-375= 413
9 11 15 9 11

19. dividir el resultado de la determinante original entre el det (X) para hallar el
valor de la primera incógnita, y así sucesivamente con X y Y
para x para Y para Z
1302 = 62 -28= 4 413= -59
-609 29 -609 87 -609 87

20. VECTOR UNITARIO
Un vector unitario es un vector con longitud a 1.
Ejemplo:

21. VECTOR EN R2 MAGNITUD
Para calcular la magnitud o longitud de un vector se eleva al
cuadrado cada una de sus componentes luego se suman y se
calcula su raíz cuadrada. De forma general se representa así:
-encuentre la magnitud de V=5i-5j
|V|= (5)2+(−5)2
|V|= 25+25
|V|= 50
|V|=7

22. PRODUCTO CRUZ DE DOS
VECTORES
es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El
resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo
tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un
vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo
formado entre estos dos vectores
El producto cruz de dos vectores servirá para calcular el área de
paralelogramos. Para calcular el producto cruz de dos vectores se
realiza a través de una determinante entre los vectores unitarios y los
vectores a los cuales se calculará el producto cruz.
Ejemplo:
Calcule el producto cruz de ૫ = 2i + 4j – 5k
+ - + V = -3i – 2j + k
i j k
① ૫ * V = 2 4 -5 = -6i + 13j + 8k
-3 -2 1
4 -5 2 -5 2 4
= -6 = -13 = 8
-2 1 -3 1 -3 -2

23. 15. VECTOR EN R3
CARDINALIDAD
Para encontrar la dirección se calcula el vector unitario y cada
elemento del vector unitario va a formar un coseno
Ejemplo. Calcule la cardinalidad de V = ( 1 , 3 , -2 )
lVl = (1)2+(3)2+(−2)2 =3.74
Angulo= Cos-1 풊
= 74.50
ퟑ.ퟕퟒ
Angulo=Cos-1 ퟑ풋
ퟑ.ퟕퟒ
= 36.60
Angulo=Cos-1−
ퟐ풌
ퟑ.ퟕퟒ
= 122.30

24. PARAMÉTRICA
 Ejemplo:
P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )
Se saca la ecuacion vectorial
PQ=(3i, j , -3k)
Para el valor final de X ,y, Z sera igual al valor de cada elemento del primer punto
acompañada de los elementos de la ecuación vectorial que se obtuvo y se agrega a la letra
t.
parametrica
X= 1+3t
Y= 1+t
Z= 2-3t

25. SIMETRICA
Ejemplo:
P = ( 1 , 1 , 2 ) & Q = ( 4, 2 , -1 )
PQ=(3i, j , -3k)
X-1 Y-1 Z -2
3 1 -3
 Se le saca la ecuacion
vectorial
 Se niegan cada elemento del
primer punto con su
incognita: X,Y,Z
 Esto se divide dentro de la
ecuacion vectorial que se
obtubo