matrices

1. TRABAJO DE METODOSTRABAJO DE METODOS
NUMERICOS GRUPO 8NUMERICOS GRUPO 8
CHARLY CALDERONCHARLY CALDERON
JEANJEAN
WILMER GOMEZWILMER GOMEZ

2. MATRIZMATRIZ
Definición.-Definición.- Se llamaSe llama
matrizmatriz de orden "mde orden "m ×× n"n"
a un conjunto a un conjunto
rectangular derectangular de
elementos aelementos aijij
dispuestos en m filasdispuestos en m filas
en n columnas.en n columnas.

3. denominadenomina dimensióndimensión
o tamaño, siendo m y no tamaño, siendo m y n
nú-nú-
meros naturales.meros naturales.
Las matrices se denotanLas matrices se denotan
con letras mayúsculas:con letras mayúsculas:
A, B, C, ...A, B, C, ...
y los elementos de lasy los elementos de las
mis- mas conmis- mas con
letras minúsculas yletras minúsculas y

4. Un elemento genéricoUn elemento genérico
que ocupe la fila que ocupe la fila ii y la y la
columna columna jj se escribe se escribe
aaijij ..
Si el elemento genéricoSi el elemento genérico
aparece entre paréntesisaparece entre paréntesis
también representa atambién representa a
toda la matriz : A = (toda la matriz : A = ( aaijij ))

6. .

8. MATRICES IGUALESMATRICES IGUALES
Dos matrices A= (Dos matrices A= ( aaijij ))mm××nn
y y
B = (B = (bbijij ))pp××qq son iguales, son iguales,
sí y solo si, tienen en lossí y solo si, tienen en los
mismo lugares elementosmismo lugares elementos
iguales, es decir :iguales, es decir :

9. CLASES DE MATRICESCLASES DE MATRICES
1)Matriz fila.-1)Matriz fila.- AquellaAquella
matriz que tiene una solamatriz que tiene una sola
fila, siendo su orden fila, siendo su orden
1×n.1×n.
Ejemplo.-Ejemplo.-

10. 2)Matriz columna.-2)Matriz columna.-
Aquella matriz que tieneAquella matriz que tiene
una sola columna, siendouna sola columna, siendo
su orden su orden m×1.m×1.
Ejemplo:Ejemplo:

11. 3)Matriz nula.-Si todos3)Matriz nula.-Si todos
sus elementos son cero.sus elementos son cero.
También se denominaTambién se denomina
matriz cero y se denotamatriz cero y se denota
por 0m×n.por 0m×n.
Ejemplo.-Ejemplo.-

12. 4)Matriz transpuesta.-4)Matriz transpuesta.-
Dada una matriz Dada una matriz AA, se, se
llama traspuesta dellama traspuesta de AA aa
la matriz que se obtienela matriz que se obtiene
cambiandocambiando
ordenadamente las filasordenadamente las filas
por las columnas.por las columnas.
Se representa por Se representa por AAtt
ó ó
AATT

14. PropiedadesPropiedades
Si A y B son matrices ySi A y B son matrices y
AAtt
yy
BBtt
son las transpuestas,son las transpuestas,
se verifica :se verifica :
a) (Aa) (Att
))tt
= A= A
b) (Ab) (A + B )+ B )tt
= A= Att
+ B+ Btt
c) (Ac) (A - B )- B )tt
= A= Att
- B- Btt
d) (cAd) (cAtt
) = cA) = cAtt
cc єє RR
e) (A B)e) (A B)tt
= B= Btt
AAtt

15. Aquella matriz que tieneAquella matriz que tiene
igual número de filas queigual número de filas que
de columnas, m = n,de columnas, m = n,
diciendose que la matrizdiciendose que la matriz
es dees de orden norden n..
Diagonal principalDiagonal principal :: sonson
los elementos alos elementos a1111 ,,
aa2222 , ..., a, ..., annnn
Diagonal secundariaDiagonal secundaria ::
son los elementos ason los elementos aij concon

16. Diagonal principal :Diagonal principal :
Diagonal secundaria :Diagonal secundaria :

17. 6)Matriz simétrica.-6)Matriz simétrica.- EsEs
una matriz cuadrada queuna matriz cuadrada que
es igual a su traspuesta.es igual a su traspuesta.
A = AA = Att
, , aaijij == aajiji
Ejemplo:Ejemplo:

18. 7)Matriz antisimétrica.-7)Matriz antisimétrica.-
Es una matriz cuadradaEs una matriz cuadrada
que es igual a la opuestaque es igual a la opuesta
de su traspuesta.de su traspuesta.
A = -AA = -Att
, , aaijij == -a-ajiji
Necesariamente aNecesariamente aiiii == 00
Ejemplo:Ejemplo:

19. 8)Matriz diagonal.-8)Matriz diagonal.- EsEs
una matriz cuadrada queuna matriz cuadrada que
tiene todos sustiene todos sus
elementos nulos exceptoelementos nulos excepto
los de la diagonallos de la diagonal
principal.principal.
Ejemplo:Ejemplo:

20. 9)Matriz escalar.- Es una9)Matriz escalar.- Es una
matriz cuadrada quematriz cuadrada que
tiene todos sustiene todos sus
elementos nulos exceptoelementos nulos excepto
los de la diagonallos de la diagonal
principal que sonprincipal que son
iguales.iguales.
Ejemplo.-Ejemplo.-

21. 10)Matriz identidad o10)Matriz identidad o
unidad.-unidad.-
Es una matriz cuadradaEs una matriz cuadrada
que tiene todos susque tiene todos sus
elementos nulos exceptoelementos nulos excepto
los de la diagonallos de la diagonal
principal que son igualesprincipal que son iguales
a 1. Tambien sea 1. Tambien se
denomina matriz unidad.denomina matriz unidad.

22. Ejemplo.-Ejemplo.-

23. 11)Matriz triangular11)Matriz triangular
superior.-superior.-
Es una matriz cuadradaEs una matriz cuadrada
que tiene todos losque tiene todos los
elementos por debajo deelementos por debajo de
la diagonal principalla diagonal principal
nulos.nulos.

24. 12) Matriz triangular12) Matriz triangular
inferior.-inferior.-
Es una matriz cuadradaEs una matriz cuadrada
que tiene todos losque tiene todos los
elementos por encima deelementos por encima de
la diagonal principalla diagonal principal
nulos.nulos.

25. Ejemplo.-Ejemplo.-

26. 1)Adición o suma de1)Adición o suma de
matrices.- La suma dematrices.- La suma de
dos matrices A =dos matrices A =
(a(aijij ))mm××nn y B = (b y B = (bijij ))pp××q q
de la misma dimen-de la misma dimen-
siónsión
(equidimensionales) : m(equidimensionales) : m
= p y n = q es otra= p y n = q es otra
matriz matriz C = A+B =C = A+B =

28. ·· AsociativaAsociativa : A+(B+C) =: A+(B+C) =
(A+B)+C(A+B)+C
·· ConmutativaConmutativa : A+B =: A+B =
B+AB+A
·· Elem. neutroElem. neutro : ( matriz: ( matriz
cero 0cero 0m×nm×n ) , 0+A = A+0 =) , 0+A = A+0 =
AA
·· Elem. simétricoElem. simétrico ::
( matriz opuesta -A ) , A( matriz opuesta -A ) , A

29. 2)Producto de un número2)Producto de un número
real por una matriz.real por una matriz.
Para multiplicar unPara multiplicar un
escalar por una matriz seescalar por una matriz se
multiplica el escalar pormultiplica el escalar por
todos los elementos detodos los elementos de
la matriz, obteniéndosela matriz, obteniéndose
otra matriz del mismootra matriz del mismo
orden.orden.

31. Propiedades:Propiedades:

32. matrices.matrices.
Dadas dos matricesDadas dos matrices AA yy
BB, tales que el número, tales que el número
de co-de co-
lumnas de la matrizlumnas de la matriz AA eses
igual al número deigual al número de
filas de la matrizfilas de la matriz BB; es; es
decir:decir:

33. la multiplicación dela multiplicación de AA
porpor BB, que se denota, que se denota A·BA·B,,
A×BA×B o simplementeo simplemente ABAB,,
está definida como:está definida como:
donde cada elementodonde cada elemento cci,ji,j
está definido por:está definido por:

35. Gráficamente, siGráficamente, si
y y
ll

36. (AB)C = A(BC).(AB)C = A(BC).
b)b)Propiedad distributivaPropiedad distributiva
por la derechapor la derecha ::
(A+B)C=AC + BC.(A+B)C=AC + BC.
C)C)Propiedad distributivaPropiedad distributiva
por la izquierdapor la izquierda ::
C(A+B)=CA+CB.C(A+B)=CA+CB.
d)El producto de dosd)El producto de dos
matri- cesmatri- ces
generalmente no es con-generalmente no es con-

37. INVERSA DE UNAINVERSA DE UNA
MATRIZ CUADRADAMATRIZ CUADRADA
Se llama matriz inversaSe llama matriz inversa
de una matriz cuadrada de una matriz cuadrada
An y la representamosAn y la representamos
por Apor A-1-1
, a la matriz que , a la matriz que
verifica la siguienteverifica la siguiente
propiedad :propiedad :
AA-1-1
·A = A·A·A = A·A-1-1
= I= I

38. Decimos que una matrizDecimos que una matriz
cuadrada es cuadrada es "regular""regular"
si su determinante essi su determinante es
distinto de cero, y es distinto de cero, y es
"singular""singular" si su si su
determinante es igual adeterminante es igual a
cero .Es decir:cero .Es decir:

39. Propiedades:Propiedades:

40. MÉTODOS PARA HALLARMÉTODOS PARA HALLAR
LA MATRIZ INVERSA :LA MATRIZ INVERSA :
a)Aplicando la definicióna)Aplicando la definición
b)Por el método deb)Por el método de
GaussGauss
c)Por determinantesc)Por determinantes

41. Método porMétodo por
determinantes.determinantes.
Ejemplo.-Ejemplo.- Hallar laHallar la
inversa de la matrizinversa de la matriz
primero calculamos elprimero calculamos el
determimante :determimante :

42. Ahora calculamos cadaAhora calculamos cada
uno de los adjuntos:uno de los adjuntos:

43. INVERSA DE UNAINVERSA DE UNA
MATRIZ.MATRIZ.
Este método consiste enEste método consiste en
ir efectuandoir efectuando
transformacio-transformacio-
nesnes
ELEMENTALES PELEMENTALES P11 ,P,P22 ,...,,...,
PPrr entre lasentre las
FILAS de la ma- trizFILAS de la ma- triz
inicial A para conseguirinicial A para conseguir

44. TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES
ELEMENTALES que seELEMENTALES que se
podrán realizar con laspodrán realizar con las
FILAS de la matriz AFILAS de la matriz A
serán:serán:
a) intercambiar filas.a) intercambiar filas.
b) multiplicar una filab) multiplicar una fila
por un escalar.por un escalar.
c) sumar a una fila unac) sumar a una fila una
combinación lineal decombinación lineal de

45. La idea consiste en irLa idea consiste en ir
aplicando a la matriz Aaplicando a la matriz A
una serie deuna serie de
transformacionestransformaciones
encaminadas a conseguirencaminadas a conseguir
obtener la matrizobtener la matriz
identidad, es decir:identidad, es decir: