MÓDULOS 2019-2020

1. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
Segundo curso BGU
Módulo pedagógico 1
de Matemática
1
Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss nació en Alemania en 1777. Des-
de niño demostró su genialidad para la matemática.
Cuando tenía 7 años, su profesor pidió que sumaran
los números del 1 al 100. Mientras sus compañeros
llenaban sus hojas con números para encontrar el
resultado, Gauss rápidamente escribió la respuesta:
5 050. Se dio cuenta de que el conjunto de números
de 1 a 100 estaba formado por 5 pares de enteros
cuya suma siempre daba como resultado 101, así: 1
+ 100, 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97… 51 + 50. Por lo que
multiplicó 50 ∙ 101 y obtuvo el resultado. A sus 10
años, Gauss ya había desarrollado dos métodos para
calcular las raíces cuadradas de hasta cincuenta ci-
fras decimales. Entre teoremas y principios mate-
máticos, Gauss realizó grandes aportes, uno de ellos
es el método para resolver sistemas de ecuaciones
lineales, el cual estudiaremos en este módulo. Gauss
dedicó su vida a la investigación de la Matemática,
que para él era la reina de las ciencias. Es conside-
rado uno de los más grandes matemáticos de todos
los tiempos por sus aportes a la teoría de números,
geodesia, astronomía, óptica y electromagnetismo.
8 7 6Internet sano, seguro
y constructivo
Ciudadanía
democrática
Responsabilidad
social
Bloque curricular: Álgebra y funciones
¿Cómo creemos que se estudiaba Matemática en las escuelas del siglo XVIII? ¿Qué otras
personas conocemos que hayan realizado aportes importantes en el siglo XVIII?
3
Matrices y
operaciones
con matrices
1
Sistemas de
ecuaciones
lineales
2
Matrices
en el
diario vivir
M
atem
ática
EstudiosSociales
EstudiosSociales
Lengua
yLiteratura
Valores
Educación para
la ciudadanía
4
Emprendimiento
y gestión
5
Producción
de un ensayo
Matrices
Mineduc

2. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
2
¿Qué entendemos por matriz?
A. Igualdad de matrices
Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y
cada elemento es igual. Sean A y B las matrices, A = B,
si aij
= bij
, para cada i, j.
Ejemplo
a. A =
2 0
5 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , B =
2 0
5 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
Una matriz de orden m ∙ n es un arreglo rectangu-
lar de números organizados en m filas y n columnas.
Para nombrar las matrices se utilizan, generalmente,
letras mayúsculas. Las filas se enumeran desde arriba
hacia abajo y las columnas, de izquierda a derecha.
Para una matriz A, el elemento ai,j
se refiere al número
que está en la fila i y la columna j.
Matrices y operaciones con matrices
Tipos de matrices Ejemplos
Matriz fila
Esta matriz tiene una sola fila.
Tiene un orden 1 ∙ n.
( )=A 3 4 2
Matriz columna
Esta matriz tiene una sola
columna. Tiene un orden m ∙ 1.
A =
5
2
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz rectangular
En esta matriz, el número de
filas es diferente al número de
columnas, m ≠ n.
A =
4 2 7
3 4 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Matriz cuadrada
En esta matriz, el número de filas
es igual al número de columnas,
m = n.
En una matriz cuadrada, la
diagonal principal contiene a los
elementos [A]i,j
, donde i = j.
A =
3 4 5
2 6 1
1 0 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Elementos de la
diagonal principal:
3, 6 y 2.
Matriz triangular superior
Es una matriz cuadrada en la que
todos los elementos que están
bajo la diagonal principal son
iguales a cero.
A =
3 4 5
0 6 1
0 0 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz triangular inferior
Es una matriz cuadrada en la que
todos los elementos que están
sobre la diagonal principal son
iguales a cero.
A =
3 0 0
2 6 0
1 3 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
diagonal
Matriz nula
Cuando todos los elementos de
la matriz son iguales a cero.
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz diagonal
Cuando todos los elementos
fuera de la diagonal principal
son iguales a cero.
A =
5 0 0
0 8 0
0 0 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz escalar
Cuando en una matriz diagonal
todos los elementos de la diago-
nal principal son iguales entre sí.
A =
3 0 0
0 3 0
0 0 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz identidad
Cuando en una matriz diagonal
todos los elementos de la diago-
nal principal son iguales a uno.
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Observamos la siguiente matriz: A =
3 1 2
4 5 0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Esta matriz tiene dos filas, entonces m = 2, y tres co-
lumnas n = 2. Por lo tanto, es una matriz de orden 2 ∙ 3.
Así, el elemento a2,1
= 4, en tanto que a1,2
= 1.
Entonces A = B.
b. A =
3 7
1 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ , B =
3 7
1 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
Entonces A ≠ B, pues a2,2
≠ b2,2
El álgebra lineal es la matemática de los datos, en
donde las matrices y los vectores son el lenguaje
de los datos. Esta rama de la matemática tiene
múltiples aplicaciones en la ingeniería, el estudio
de redes, la economía, la computación, entre
otras.
Recordemos

3. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
3
B. Operaciones con matrices
B.1 Multiplicación de una matriz por un
escalar
Dados una matriz A de orden m ∙ n, y k un número real,
el producto k A se define por:
k A =
ka11 ka12 … ka1n
ka21 ka22 … ka2n
! ! " !
kam1 kam2 … kamn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Lo que quiere decir que cada elemento de A se multi-
plica por k.
Ejemplo
Dada la matriz A =
3 6 2
2 3 7
5 1 4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
calculamos 4A.
Multiplicamos cada elemento de la matriz A por 4.
4⋅3 4⋅6 4⋅2
4⋅2 4⋅3 4⋅7
4⋅5 4⋅1 4⋅4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Obtenemos la siguiente matriz:
12 24 8
8 12 28
20 4 16
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
B.2 Adición de matrices
Solo se pueden sumar matrices del mismo orden. La
suma de las matrices A y B es igual a la matriz que se
obtiene al sumar cada elemento que está en la misma
posición. Así, A + B = (aij
+ bij
)mn
A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
! ! " !
am1 am2 … amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
B =
b11 b12 … b1n
b21 b22 … b2n
! ! " !
bm1 bm2 … bmn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 … a2n + b2n
! ! " !
am1 + bm1 am2 + bm2 … amn + bmn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Ejemplo
Encontramos la suma de las siguientes matrices.
A =
3 4 1
2 6 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ B =
4 5 3
0 1 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Sumamos cada elemento según su posición:
A+ B =
3+ 4 4+5 1+3
2+0 6+1 5+2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
El resultado es: 7 9 4
2 7 7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
B.3 Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices se puede realizar única-
mente cuando el número de columnas de la primera
matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.
El producto es igual a la suma de los productos de los
elementos aik
∙ bkj
.
Dada la matriz C = A ∙ B, cij
= ai1
b1j
+ ai2
b2j
+ … + ain
bnj
.
Ejemplo
A =
3 4 1
2 6 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ B =
1 5
8 3
0 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
A ∙ B = C
Para obtener el primer elemento de la matriz C, mul-
tiplicamos todos los elementos de la primera fila de la
matriz A por los elementos de la primera columna de
la matriz B, así:
3 4 1
2 6 5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
1 5
8 3
0 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= ⋅ + ⋅ + ⋅C 3 1 4 8 1 011
Repetimos el procedimiento para los demás elementos.
C =
3⋅1+ 4⋅8+1⋅0 3⋅5+ 4⋅3+1⋅2
2⋅1+6⋅8+5⋅0 2⋅5+6⋅3+5⋅2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Calculamos los productos.
C =
3+32+0 15+12+2
2+ 48+0 10+18+10
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Sumamos para obtener la matriz resultante.
C =
35 29
50 38
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

4. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
4
La matriz A del ejercicio anterior es de orden 2 ∙ 3, la
matriz B es de orden 3 ∙ 2, y el número de columnas
de A es igual al número de filas de B. El resultado de la
multiplicación es de orden 2 ∙ 2. Es decir que, al mul-
tiplicar una matriz de orden m ∙ q por una matriz de
orden q ∙ n, el resultado es una matriz de orden m ∙ n.
Se debe tener en cuenta que el producto de matrices no
es conmutativo.
B.4 Transposición de matrices
Dada una matriz A de orden m ∙ n, la matriz transpues-
ta de A es AT
y está formada por los elementos de A,
intercambiando las filas por las columnas. Por lo que
AT
es de orden n ∙ m.
Operación Propiedad
Adición de matrices
Asociativa (A + B) + C = A + (B + C)
Conmutativa A + B = B + A
Elemento neutro A + 0 = 0 + A = A
Elemento opuesto o inverso aditivo A + (-A) = 0
Multiplicación
por un número real
Asociativa k (hA) = (kh) A
Conmutativa kA = Ak
Distributiva
k (A + B) = kA + kB
(k+h) A = kA + hA
Elemento neutro 1A = A
Multiplicación
de matrices
Asociativa A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C
Distributiva
A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
(A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
No conmutativa A ∙ B ≠ B ∙ A
Elemento neutro para matrices cuadradas de orden n,
dada la matriz identidad I de orden n
A ∙ I = I ∙ A = A
Transposición
de matrices
Involución de doble transposición (AT
)T
= A
Transposición de suma (A + B)T
= AT
+ BT
Transposición de multiplicación por escalar (k A)T
= k AT
Transposición de multiplicación entre matrices (AB)T
= BT
AT
Ejemplo
A =
7 1 5
3 4 6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ AT
=
7 3
1 4
5 6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Matriz simétrica
Una matriz cuadrada es simétrica si AT
= A.
Matriz asimétrica
Una matriz cuadrada es asimétrica si AT
= –A.
B.5 Propiedades de las operaciones de matrices
Se consideran A, B y C matrices del mismo orden m ∙ n, 0 matriz nula de orden m ∙ n, k y h números reales.
Aplicamos la propiedad distributiva.
2D⋅F + E⋅F = 2D+ E( )⋅F
Reemplazamos las matrices.
2
2 0
5 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
4 3
2 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⋅
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Ejemplo
Dadas las siguientes matrices:
D =
2 0
5 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,
E =
4 3
2 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ F =
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Calculamos 2D⋅F + E⋅F

5. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
5
B.6 Matriz inversa
La matriz inversa de la matriz cuadrada A es A-1
, tal
que A ∙ A-1
= I. Se debe recordar que I es la matriz iden-
tidad, en donde los elementos de la diagonal principal
son iguales a 1.
Es posible encontrar la matriz inversa siguiendo esta
definición. Por ejemplo, calculamos la inversa de A para:
A =
4 −6
5 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Entonces, debemos buscar los valores a, b, c y d, tal que:
4 −6
5 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
a b
c d
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1 0
0 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Para ello, desarrollamos el producto:
4a−6c 4b−6d
5a+3c 5b+3d
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1 0
0 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Aplicamos la condición de igualdad de matrices e igua-
lamos cada término. Obtenemos los siguientes siste-
mas de ecuaciones.
4a−6c = 1
5a+3c = 0
⎧
⎨
⎩⎪
4b−6d = 0
5b+3d = 1
⎧
⎨
⎩⎪
Para el primer sistema de ecuaciones, despejamos a y
reemplazamos en la segunda ecuación.
=
+
= +a
c
c
1 6
4
1
4
3
2
5
1
4
+
3
2
c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +3c = 0
Calculamos el producto de 2 por la matriz D.
4 0
10 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
4 3
2 1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⋅
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Sumamos las matrices
8 3
12 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Multiplicamos aplicando el procedimiento.
8⋅3+3⋅4 8⋅1+3⋅0 8⋅5+3⋅2
12⋅3+3⋅4 12⋅1+3⋅0 12⋅5+3⋅2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Obtenemos el resultado:
36 8 46
48 12 66
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ + =c c
5
4
15
2
3 0
=
−
c
21
2
5
4
=
−
c
5
42
a =
1
4
+
3
2
c =
1
4
+
3
2
−5
42
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
4
−
15
84
=
6
84
=
1
14
Para el segundo sistema de ecuaciones, despejamos
b y reemplazamos en la segunda ecuación.
= =b
d
d
6
4
3
2
5
3
2
d
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +3d = 1
+ =d d
15
2
3 1
=d
2
21
¿Para qué nos sirve determinar una matriz inversa en la vida práctica?
Freepik
= = =b d
3
2
3
2
2
21
3
21
Entonces, la matriz inversa es:
4 −6
5 3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−1
=
1
14
3
21
−5
42
2
21
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
B.7 Propiedades de la matriz inversa
Si A y B son matrices cuadradas de orden m ∙ n y k es un
número real, se cumplen las siguientes propiedades:
Involución de la
doble inversa
(A–1
)–1
= A
Inversa de la
transposición (AT
)-1
= (A-1
)T
Inversa de la multiplicación
por un número real
(kA)-1
= k-1
∙ A-1
Inversa de la multiplicación
entre matrices (AB)–1
= B–1
∙ A–1
Valor: Responsabilidad social
Los sistemas de ecuaciones
demandan un proceso de
resolución ordenado que
puede ser extenso. Por ello,
la persistencia y la paciencia
son importantes para llegar a
la solución correcta. Lo que,
además, ayuda a tener un
sentido de responsabilidad.

6. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
6
M +
1
2
M = M 1+
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ M =
3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
4 1
6 5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
3
2
⋅4
3
2
⋅1
3
2
⋅6
3
2
⋅5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
6
3
2
9
15
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2 Encuentro Q QT
QT
=
6 4 2
2 1 0
5 3 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
6 2 5
4 1 3
2 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
6 4 2
2 1 0
5 3 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
12 6 7
6 2 3
7 3 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 Calculo P – NT
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
3 4
1 0
5 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 − 3 5 − 4
4 −1 2 − 0
2 − 5 0 − 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
0 1
3 2
−3 −2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 Decido quién tiene la razón.
Las calificaciones del proyecto de ciencias de Pablo,
Juliana, Mario, Andrea y Mateo se han organizado
en la matriz P, en donde cada columna correspon-
de a los criterios evaluados: contenido e investiga-
ción sobre el tema (40 %), presentación (30 %) y
trabajo en equipo (30 %).
1 Dadas las matrices:
M =
4 1
6 5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ N =
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ P =
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
y Q =
6 2 5
4 1 3
2 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 1 5
4 0 2
⎞
⎠
⎟ P =
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
y Q =
6 2 5
4 1 3
2 0 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Determino cuánto es M M
1
2
Practiquemos
4 Determino NT
+
1
2
P
a. Pablo dice que las
notas finales son las
siguientes:
9,04
8,26
8,80
8,98
8,85
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Trabajo en
equipo
Presentación
Contenido
b. Andrea dice que las
notas finales son las
siguientes:
8,98
8,22
8,83
9,08
8,86
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c. Mateo dice que las notas finales son las siguientes:
Notas
finales =
Notas
finales =
3 +
3
2
4 +
5
2
1+ 2 0 +1
5 +1 2 + 0
=
9
2
13
2
3 1
6 2
5 Encuentro N ∙ P
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
T
+
1
2
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 4
1 0
5 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
3
2
5
2
2 1
1 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3 4
1 0
5 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
3
2
5
2
2 1
1 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=
Notas
finales =
9,08
8,32
8,77
9,04
8,89
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Razonemos
3 1 5
4 0 2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
3 5
4 2
2 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
3⋅3 +1⋅4 + 5⋅2 3⋅5 +1⋅2 + 5⋅0
4⋅3 + 0⋅4 + 2⋅2 4⋅5 + 0⋅2 + 2⋅0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
23 17
16 20
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
P =
9,5 8,5 9,1
8,8 7,8 8,2
8,5 9,1 8,8
9,1 9,5 8,5
9,1 8,8 8,7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟

7. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
7
Combo1
Combo2
Combo3
Supongamos que para una elección de prefecto de la
provincia de Santa Elena hay tres candidatos y se tiene
información sobre las preferencias de los electores en
sus tres cantones. En la matriz V se muestran los por-
centajes de las preferencias de cada cantón por cada
candidato.
En la matriz E se muestra el número de electores por
cantón que están registrados en el Consejo Nacional
Electoral.
En la matriz V, se puede observar que el candidato 1 tie-
ne el 22 % de preferencia de voto en el cantón Salinas;
el candidato 2 tiene el 40 % y el candidato 3, el 38 %. De
esta forma, es posible hacer una proyección de resul-
tados si se conoce cuántos ciudadanos votan.
V =
0,45 0,22 0,37
0,30 0,40 0,31
0,25 0,38 0,32
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
La Libertad
Salinas
Candidato 1
Candidato 2
Candidato 3
Sta. Elena
La Libertad
Salinas
Sta. Elena
Educación para la ciudadanía
Estudios Sociales
8 2 10 14
17 9 16 3
6 18 12 10
11 10 12 11
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
−7 2 −2 −13
−19 −6 −8 −3
−12 −12 −24 10
−19 7 −6 −1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
12 −2 6 22
31 11 16 5
18 22 36 −10
29 −6 12 5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
8 17 6 11
2 9 18 10
10 16 12 12
14 3 10 11
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
El resultado de las elecciones puede proyectarse multi-
plicando las matrices: V ∙ E
0,45 0,22 0,37
0,30 0,40 0,31
0,25 0,38 0,32
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⋅
75 060
53 450
110 918
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
86 575
78 282
74 569
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
De esta manera, se puede estimar que el candidato con
mayor probabilidad de triunfo es el candidato 1, pues-
to que, según las preferencias de voto registradas, es el
que tendrá más votos.
1 Dadas las matrices
A =
5 0 4 9
12 5 8 2
6 10 12 0
10 1 6 4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
B =
3 2 6 5
5 4 8 1
0 8 0 10
1 9 6 7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Calculamos:
a. A + B
Solución
b. B – 2A
Solución
c. 3A – B
Solución
d. AT
+ BT
Solución
Ejercicios propuestos
2 En un restaurante se han registrado las ventas
de enero, febrero, marzo y abril de tres combos.
Ventas =
120 150 142
240 180 200
280 220 324
240 125 160
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
Si el precio del combo 1 es de $ 2,50, el combo 2
de $ 3 y el combo 3 de $ 3,25, ¿cuál fue el ingreso
por ventas de estos productos que tuvo el restau-
rante cada mes?
Solución
1211,5
1790
2 413
1495
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3 Dadas las matrices: M =
5 −7
−2 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ N =
3 7
2 5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Indicamos si las siguientes afirmaciones son verda-
deras o falsas.
a. M = N – 1
b. M – 1 = N
E =
75 060
53 450
110 918
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Valor: Ciudadanía democrática

8. Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación
8
¿Para qué nos sirven las matrices en Matemática?
Determinado: existe una solución.Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de
ecuaciones en el cual todas las incógnitas son de pri-
mer grado, lo que quiere decir que pueden ser repre-
sentadas por una línea recta.
El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se
presenta así:
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2
!
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn = bm
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
Las incógnitas son x1
, x2
,… xn
y la solución debe cum-
plirse para todas las m ecuaciones simultáneamente.
Los coeficientes del sistema de ecuaciones son a11
,
a12
,… amn
, mientras que b1
, b2
,… bm
son las variables in-
dependientes.
Según las soluciones que tenga un sistema de ecuacio-
nes, este puede ser:
Sistemas de ecuaciones lineales
Indeterminado: existe más de una solución.
Inconsistente: no existe solución.
Observemos el siguiente sistema de ecuaciones en el
que no existe una única solución, puesto que, al gra-
ficar las ecuaciones, no hay un punto común para las
tres rectas.
Cuando el sistema de ecuaciones
tiene una única solución se deno-
mina consistente determinado. En el
ejemplo, el punto común de las tres
rectas es la solución del sistema.
2x +3y = −1
2x + y = 5
x + y = 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Cuando un sistema tiene más de
una solución, se denomina consis-
tente indeterminado y las gráficas
de cada ecuación coinciden en la
misma recta.
x − y = −3
2x −2y = −6
−x + y = 3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0–2–4–6
2
3x – y = 62x + y = 3
x – y = 1
–2
–4
–6
4
6
X
Y
2 4
Freepik
Y
2x + 3y = –1
2x + y = 5
x + y = 1
2
–2
–4
–6
–8
4
0–2–4 X2 64 8
–x + y = 3
2x – 2y = –6
x – y = –3
Y
2
6
–2
–4
4
8
0–2–4 X2 64
3x − y = 6
2x + y = 3
x − y = 1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪

9. 9
Los sistemas de ecuaciones pueden resolverse usando
matrices:
a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2
!
am1x1 + am2x2 +…+ amnxn = bm
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
El sistema de ecuaciones se presenta usando matrices
de la siguiente forma:
A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
! ! " !
am1 am2 … amn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
X =
x1
x2
!
xn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
B =
b1
b2
!
bm
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
donde A ⋅ X = B
Si la matriz A tiene una matriz inversa, se puede resol-
ver el sistema de ecuaciones con la matriz inversa de A.
X = A–1
B
A. Resolución de sistemas de
ecuaciones lineales por el
método de Gauss-Jordan
Para resolver el sistema, se utiliza la matriz ampliada
asociada al sistema y se realizan operaciones en forma
similar al método de Gauss, hasta obtener la matriz
identidad a la izquierda y las incógnitas a la derecha.
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
! ! " !
am1 am2 … amn
|
b1
b2
!
bm
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
→ A =
1 0 … 0
0 1 … 0
! ! " !
0 0 … 1
|
x1
x2
!
xn
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Ejemplo
Hallamos las incógnitas del siguiente sistema de ecua-
ciones aplicando el método de Gauss-Jordan.
3x + y+ z = 3
x +2z = 2
x − y+3z = 4
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
La matriz ampliada es:
3 1 1
1 0 2
1 −1 3
|
3
2
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1 /3
f2
f3
1 1/3 1/3
1 0 2
1 −1 3
|
1
2
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1
f2 − f1
f3 − f1
1 1/3 1/3
0 −1/3 5/3
0 −4 /3 8/3
|
1
1
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1
−3f2
f3
1 1/3 1/3
0 1 −5
0 −4 /3 8/3
|
1
−3
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1
f2
f3 + 4f2 /3
1 1/3 1/3
0 1 −5
0 0 −4
|
1
−3
−1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1
f2
−f3 /4
1 1/3 1/3
0 1 −5
0 0 1
|
1
−3
1/4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1
f2 +5f3
f3
1 1/3 1/3
0 1 0
0 0 1
|
1
−7 /4
1/4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
→
f1 −
f2
3
−
f3
3
f2
f3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
3/2
−7 /4
1/4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
El resultado, entonces, es:
x =
3
2
; y = −
7
4
; z =
1
4
B. Determinantes
Para un sistema de ecuaciones con dos incógnitas:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
El sistema en notación matricial está dado por:
A =
a11 a12
a21 a22
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
X =
x1
x2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
B =
b1
b2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
Donde la solución del sistema es:
x1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21
, x2 =
b2a11 − b1a21
a11a22 − a12a21
con a a a a 011 22 12 21− ≠
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10. 10
El determinante de la matriz es el denominador de las
incógnitas del sistema y es igual a la diferencia entre el
producto de todos los elementos de la diagonal princi-
pal, menos el producto de los elementos de la segunda
diagonal.
El determinante de A se escribe como A , donde:
A =
a11 a12
a21 a22
= a a a a11 22 12 21−
Ejemplo
Calculamos el determinante:
4 −3
3 1
= 4⋅1− −3( )⋅3= 4+9 = 13
Propiedad Ejemplo
El determinante de una matriz no varía
al transponer dicha matriz.
A =
2 6 −3
−1 3 4
5 8 2
=
2 −1 5
6 3 8
−3 4 2
= 149
Si todos los elementos de una fila de la
matriz son ceros, su determinante es
igual a cero.
B =
3 −9 3
0 0 0
7 5 −2
= 0
Si en una matriz se intercambian dos
filas, el resultado del determinante
cambia de signo.
7 0 −2
2 1 9
6 3 −4
= −217→
6 3 −4
2 1 9
7 0 −2
= 217
Si una matriz tiene dos filas iguales,
su determinante es cero.
C =
1 −5 4
1 −5 4
−2 3 8
= 0
Si todos los elementos de una fila o
columna se multiplican por un número
real, el determinante queda multiplicado
por ese número.
1 6 −4
3 4 2
−2 3 1
= −112 →
1 6 −4
3 4 2
−4 6 2
= −224 Se multiplicó
a f3
por 2
Si una matriz tiene dos filas
proporcionales, su determinante es cero.
E =
3 −9 3
1 −3 1
−2 0 8
= 0 porque f1 = 3f2
Si una de las filas de una matriz es el
resultado de la combinación lineal de las
demás filas, su determinante es cero.
F =
2 −1 4
5 4 0
1 6 −8
= 0 porque f3 = f2 −2f1
El determinante de una matriz no
cambia al realizar operaciones entre filas.
G =
−3 1 2
2 0 6
−4 5 −2
= 90 → H =
−3 1 2
−4 2 10
−4 5 −2
= 90
La segunda fila de H
se forma sumando la
segunda fila de G con el
doble de la primera fila
de G.
Si la matriz es triangular superior o
inferior, entonces su determinante es
igual al producto de los elementos de la
diagonal principal.
|I|=
−2 1 7
0 4 6
0 0 5
= −40
B.1 Propiedades de los determinantes
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11. 11
Se puede observar que, en los dos casos, el denomina-
dor de la solución es el determinante de coeficientes.
Este método se puede aplicar siempre que este deter-
minante sea diferente de cero.
De manera general, para cualquier sistema de ecuacio-
nes, la regla de Cramer dice que el valor de xn
se obtie-
ne con la siguiente fórmula:
x
∆
∆
1
1
= , x
∆
∆
2
2
= , …, x
∆
∆
n
n
=
Ejemplo
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
x + y+ z = 6
x − y+ z = 2
2x − y+3z = 6
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
En notación matricial, el sistema es equivalente a:
1 1 1
1 −1 1
2 −1 3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
x
y
z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
6
2
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Aplicamos la regla de Cramer:
x =
6 1 1
2 −1 1
6 −1 3
1 1 1
1 −1 1
2 −1 3
y =
1 6 1
1 2 1
2 6 3
1 1 1
1 −1 1
2 −1 3
z =
1 1 6
1 −1 2
2 −1 6
1 1 1
1 −1 1
2 −1 3
Encontramos que el denominador es igual al determi-
nante de coeficientes, aplicando la fórmula de cofactores.
1 1 1
1 −1 1
2 −1 3
= 1
−1 1
−1 3
−1
1 1
2 3
+1
1 −1
2 −1
= −3+1( )− 3−2( )+ −1+2( ) = −2−1+1 = −2
Reemplazamos y calculamos los numeradores.
x =
6 1 1
2 −1 1
6 −1 3
−2
=
6
−1 1
−1 3
−1
2 1
6 3
+1
2 −1
6 −1
−2
=
6 −3+1( )− 6−6( )+ −2+6( )
−2
=
−12−0+ 4
−2
=
−8
−2
= 4
Realizando el mismo proceso obtenemos y = 2; z = 0.
Podemos comprobar la solución introduciendo estos
valores en las ecuaciones originales.
a. Para encontrar una fórmula que permita calcular x1
,
se realiza el siguiente procedimiento:
x1
a11 a12
a21 a22
=
a11x1 a12
a21x1 a22
Por la propiedad
de determinantes.
=
a11x1 + a12x2 a12
a21x1 + a22x2 a22
Se suma a la primera
columna x2
, multiplicada
por la columna 2.
=
b1 a12
b2 a22
Se reemplazan los valores del
sistema de ecuaciones dado.
Entonces: x1
a11 a12
a21 a22
=
b1 a12
b2 a22
Se despeja x1 =
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
b. Para encontrar una fórmula que permita calcular x2
,
se realiza el mismo procedimiento.
x2
a11 a12
a21 a22
=
a11 a12x2
a21 a22x2
Por la propiedad
de determinantes.
=
a11 a11x1 + a12x2
a21 a21x1 + a22x2
Se suma a la segunda
columna x1
, multiplicada
por la columna 1.
=
a11 b1
a21 b2
Se reemplazan los valores del
sistema de ecuaciones dado.
Entonces x2
a11 a12
a21 a22
=
a11 b1
a21 b2
Se despeja x2 =
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
¿Podemos utilizar los sistemas de tres ecuaciones con tres variables en la vida diaria? ¿En qué situaciones?
Enunsistemadenecuacioneslinealesconnincógnitas,si
el determinante de la matriz de coeficientes A es diferen-
te de cero, entonces el sistema tiene una única solución,
que se puede calcular a partir de
su determinante. Se revisará el
caso para el siguiente sistema
de ecuaciones.
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
C. Regla de Cramer
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12. 12
• Calculo la solución de los siguientes sistemas
de ecuaciones usando el método de Gauss-
Jordan.
• Calculo la solución de los siguientes sistemas
de ecuaciones usando el método de Cramer.
1 Resuelvo el sistema de ecuaciones propuesto
usando el método de Gauss para hallar la matriz
inversa.
x − 2z = 1
4x − 2y + z = 2
x + 2y −10z = −1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
2 Con las siguientes matrices, demuestro que
A A T
= .
M =
6 −2
5 8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , N =
2 3 0
4 −2 6
−1 0 −5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 Resuelvo el sistema de ecuaciones usando el mé-
todo de Gauss-Jordan.
2x +3y+2z = 10
y+2z = 2
3x −3z = 9
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
4 Encuentro la solución del siguiente sistema
de ecuaciones usando el método de Cramer.
x + y+ z = 2
2x − y+ z = 9
2x +3y+ 4z = 4
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Practiquemos
1 Mariana, Rosa y Miguel están analizando el siguiente
sistema de ecuaciones:
x + y + z = 1
2x + y + z = −1
x − y + 2z = 1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
a. Mariana dice que el sistema no tiene solución.
b. Rosa dice que no es posible calcular el determi-
nante de la matriz de coeficientes.
c. Miguel dice que el sistema se puede resolver
usando el método de Cramer.
¿Quién tiene razón?
Razonemos
Utiliza la función MINVERSA() para calcular la matriz
inversa en un programa de hoja de cálculo.
1 Obtenemos los determinantes de las siguientes
matrices.
a. A =
6 4
7 5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b. B =
8 4
7 −5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
c. C =
a 2a
3 −1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
d. D =
2 3 0
4 6 0
−1 0 −5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
e. E =
3 3 0
5 6 1
−2 3 −4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2 Resolvemos los siguientes sistemas de ecuaciones.
a.
2x + y = 6
3x −5y = 22
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
b.
2x + y− 4z = 14
5y− x − z = 1
2x − 4y+5z = 13
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
c.
y + z = 1
x + y = 2
2x + 3y + 3z = 7
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
Ejercicios propuestos
a.
5x − 8y = 19
2x − 2y = 10
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
b.
2x − 3y + z = −2
x − 6y + 3z = −2
3x + 3y − 2z = 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
a.
6x − 4y = 12
x + 5y = 8
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
b.
3x − y = 5
x − 2y + 3z = −2
2x + y − 2z = 6
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
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13. 13
Lengua y Literatura
Producción de un ensayo
En internet existen múltiples herramientas que
facilitan los cálculos matemáticos. Visitamos las si-
guientes páginas web, que permiten realizar cálculos
con matrices:
https://bit.ly/2dpzMmP
https://bit.ly/2Nd4Ius
https://bit.ly/33IoBiP
1. Navegamos por estas páginas web y realizamos
la comprobación de algunos ejercicios que hemos
resuelto en las páginas anteriores.
2. Analizamos la estructura de las páginas, la facili-
dad de uso, el contenido que presentan, quiénes
son los autores, y si tienen o no publicidad.
3. Luego, escribimos un ensayo en el que debemos
exponer un análisis comparativo de las tres pági-
naswebanalizadas,susventajas,desventajasyre-
comendacionesdeusodeestetipodecalculadoras
en línea.
Un emprendedor de artículos deportivos considera que hará un total de
24 eventos para promocionar su nuevo negocio. Participará en eventos
deportivos, ferias y conferencias especializadas. El emprendedor considera
que lo ideal sería participar en el doble de eventos deportivos que de ferias.
También cree que el número de eventos deportivos en los que participe la
empresa debería ser igual al número de ferias y conferencias especializadas.
Se considera f como ferias, e como cantidad de eventos deportivos y c
como conferencias.
El sistema de ecuaciones es:
f + e+ c = 24
−2f + e = 0
f −2e+ c = 0
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Utilizamos la regla de Cramer para determinar el número de eventos de-
portivos en los que el emprendedor debe participar.
e =
1 24 1
−2 0 0
1 0 1
1 1 1
−2 1 0
1 −2 1
=
1
0 0
0 1
−24
−2 0
1 1
+1
−2 0
1 0
1
1 0
−2 1
−1
−2 0
1 1
+1
−2 1
1 −2
=
48
6
= 8
El emprendedor debería asistir a 8 eventos deportivos.
Emprendimiento y gestión
Estudios Sociales
macrovector/Freepik
Valor: Internet sano, seguro
y constructivo
El emprendedor puede tam-
bién utilizar muchas aplicacio-
nes tecnológicas para poder
promocionar su negocio por
medio de internet, pero siem-
pre teniendo mucho cuidado
en no brindar información
confidencial de su entorno o
de su familia, para evitar esta-
fas y/o ser víctima de la ciber-
delincuencia.
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14. 14
Actividades evaluativas
Nivel de logro 1 - Comprensión
Actividad individual
¿Cuántas unidades del producto 3 se vendie-
ron en el Local B?
a. 64 en enero, 35 en febrero y 48 en marzo.
b. 21 en enero, 102 en febrero y 64 en marzo.
c. 51 en enero, 80 en febrero y 72 en marzo.
d. 42 en enero, 68 en febrero y 52 en marzo.
1
¿Cuál es la matriz transpuesta que represen-
ta los productos vendidos por cada local en el
mes de febrero?
a.
Local A
Local B
Local C
58 44 80
40 68 102
18 28 35
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
b.
Local A
Local B
Local C
80 44 58
102 68 40
35 28 18
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
c.
Local A
Local B
Local C
32 51 45
38 42 54
51 21 64
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
d.
Local A
Local B
Local C
58 40 18
44 68 28
80 102 35
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
¿Cuál es la matriz que indica la cantidad total
vendida de cada producto en el primer tri-
mestre de 2019?
a.
Local A
Local B
Local C
140 162 147
127 124 203
137 118 187
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
b.
Local A
Local B
Local C
140 124 203
137 162 187
127 118 147
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
c.
Local A
Local B
Local C
137 162 187
127 118 147
140 124 203
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
d.
Local A
Local B
Local C
203 124 140
187 162 137
147 118 127
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3
¿Cuál es la diferencia de ventas entre los
meses de enero y febrero?
a.
Local A
Local B
Local C
11 −6 81
26 −26 −29
−27 26 81
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
b.
Local A
Local B
Local C
−26 −6 29
11 −26 81
27 26 29
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
c.
Local A
Local B
Local C
26 6 29
−11 26 81
−27 −26 −29
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
d.
Local A
Local B
Local C
26 29 6
−11 81 26
−27 −29 −26
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
4
Una pequeña empresa, que tiene tres locales, registró las ventas de tres productos en los tres primeros meses
de 2019.
Local A
Local B
Local C
32 38 51
51 42 21
45 54 64
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Local A
Local B
Local C
58 44 80
40 68 102
18 28 35
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Local A
Local B
Local C
50 42 72
46 52 64
64 36 48
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
Enero
Producto
1 2 3
Febrero
Producto
1 2 3
Marzo
Producto
1 2 3
Mineduc
Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación

15. Módulo pedagógico
15
Marco con el aprendizaje alcanzado
Reflexiones
Sí, lo hago muy
bien
Sí, pero puedo
mejorar
Lo hago
con dificultad
Necesito ayuda
para hacerlo
¿Puedo identificar los tipos de matrices, los elementos
de una matriz y las operaciones entre matrices y
determinantes?
¿Realizo operaciones con matrices y determinantes
identificando las propiedades?
¿Reconozco situaciones que pueden solucionarse por
medio de matrices y valoro su importancia?
Autoevaluación
Realizo mi autoevaluación a partir de lo estudiado en el módulo.
Nivel de logro 3 - Innovación
Actividad colectiva
Proponemos un problema de la vida cotidiana en el que sea nece-
sario establecer un sistema de al menos dos ecuaciones, con dos
incógnitas, para ser resuelto con el método de Cramer. Desarro-
llamos el proceso de resolución y encontramos los resultados.
7
Nivel de logro 2 - Resolución de problemas
Actividad individual
Si el precio de los productos está dado en la siguiente matriz, ¿cuál es el total de
ventas que la empresa tuvo en su primer trimestre, por cada local?
5
Matrices
Mineduc
a. 104 personas
b. No hay diferencia
c. 98 personas
d. 26 personas
En una encuesta a 260 personas, se obtuvie-
ron los siguientes datos sobre las preferen-
cias para viajar en vacaciones.
Playa
Amazonía
Ríos y montañas
0,6 0,4 0,3
0,2 0,3 0,3
0,2 0,3 0,4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
6
Verano
Navidad
Feriados
cortos
Producto 1
Producto 2
Producto 3
11,75
22,50
12,25
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
a.
Local A
Local B
Local C
7 545,50
5 948,00
6 921,75
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
b.
Local A
Local B
Local C
5 948,00
6 921,75
7 545,50
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
c.
Local A
Local B
Local C
6 921,75
7 545,50
5 948,00
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
d.
Local A
Local B
Local C
6 921,50
7 545,00
5 948,75
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de
personas encuestadas que prefieren ir a la
playa en verano y las que prefieren ir a la
Amazonía?
Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación

16. 16
Fuentes
Para enriquecer nuestra cultura, ¡LEAMOS!
• Brownlee, J. y Gentle, A. (2018). Introduction to Linear
Algebra. Machine Learning Mastery. Recuperado el 5 de junio de
2019, de https://bit.ly/2ZckXuA.
• Budnick, F. (1990). Matemáticas aplicadas para administración,
economía y ciencias sociales. México D.F., México: McGrawHill.
• Galindo, E. (2015). Matemáticas Superiores, teoría y ejercicios.
Primera parte: Álgebra, Trigonometría, Geometría Analítica y
Matrices. Quito, Ecuador: Prociencia Editores.
• Hawking, S. (2007). Dios creó los números. Los descubrimientos
matemáticos que cambiaron la historia. Barcelona, España:
Crítica.
• Haeussler, E. y Paul, R. (1997). Matemáticas para administración,
economía, ciencias sociales y la vida. México D.F., México: Pearson.
• ICM-ESPOL. (2006). Fundamentos de matemáticas para bachi-
llerato. Guayaquil, Ecuador: ESPOL.
Carta de amor
a un trapezoide
Por: Claudi Alsina
Querido trapezoide:
Le sorprenderá que por primera vez alguien le haga
una declaración de amor y esta no provenga de una
figura plana. Su pertinaz vivencia en el plano le ha
mantenido siempre al margen de lo que ocurre por
arriba o por abajo, enfrente o detrás.
Digámoslo claramente: yo le conocí hace años pero
usted aún no se había enterado, hasta hoy, de mi pre-
sencia. Debo, pues, empezar por el principio y darle
noticia de cómo fue nuestro primer encuentro.
Ocurrió una tarde de otoño lluviosa. Una de esas tar-
des de octubre en que llueve a cántaros; los cristales
de los colegios quedan humedecidos y los escolares sin
recreo. Usted estaba quieto en una página avanzada
de un libro grueso que era nuestra pesadilla continua.
Aún me acuerdo perfectamente: página 77, al final ha-
cia la derecha. Fue al abrir esta página, siguiendo la or-
den directa de la señorita Francisca, nuestra maestra,
cuando le vi por primera vez. Allí estaba usted entre
los de su familia, un cuadrado, un rectángulo, un pa-
ralelogramo, un trapecio, un rombo, un romboide…,
y ¡el trapezoide!
Un perfil grueso delimitaba sus desiguales lados y sus
extraños ángulos. La señorita Francisca se fue exaltando
a medida que nos iba narrando las grandes virtudes de
sus colegas cuadriláteros…, que si igualdades laterales,
que si paralelismos, que si ángulos, que si diagonales...,
y el rato fue pasando y la señorita seguía sin decir nada.
Como las señoritas acostumbran a no explicar lo más in-
teresante, a mí se me ocurrió preguntarle:
—Señorita…, ¿y el trapezoide? —Este —replicó la
maestra—, este es el que no tiene nada. —¿Nada de
nada? —le repliqué. —Sí, nada de nada —me contes-
tó—, y sonó el timbre. Quedé fascinado: usted era un
pobre, muy pobre cuadrilátero. Estaba allí, tenía nom-
bre, pero nada más. Por eso a la mañana siguiente vol-
ví a insistir en el tema a la señorita.
—Así debe ser muy fácil trabajar con los trapezoides
—le dije—, ya que como no tienen nada de nada no se
podrá calcular tampoco nada de nada.
—¡Al contrario! Estos son los más difíciles de calcular.
Ya lo verá cuando sea mayor.
Durante aquella época yo creí intuir que la Matemática
y la sexualidad debían tener algo en común, pues siem-
pre se nos pedía esperar a ser mayores para “verlo”. A
usted ya no le vi más hasta Bachillerato, cuando don
Ramiro nos obsequió con una fórmula muy larga para
calcular su área. Esto me enfadó enormemente. Usted
había pasado del “nada de nada” al “todo de todo”. A
partir de entonces empecé a pronunciar su “oide” final
con especial desprecio “¡trapez-OIDE!”.
Fuente: https://bit.ly/2OUvczV (17/01/2018)
Claudi Alsina (1952). Escritor de temas matemáticos.
Matemático, divulgador y profesor con larga
trayectoria docente y de investigación.
Prohibidasuventa.MinisteriodeEducación