Matrices y determinantes

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc
23CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
CAPITULO 2: MATRICES Y DETERMINANTES
Cuando los sistemas de ecuacioneslineales son extensos, mayormente se utiliza
matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se
usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el
cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de
derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma naturalen
geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin
embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas
mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales,
esta limitación puede ser en parte evitada.
2.1 Matriz: definición
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos
en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Gráfico 2-1
⎡ a11
⎢ a21
a12
a22
a13
a23
... a1n ⎤
... a2n
⎢
⎢ ⎢
A = ⎢
⎢
. . . ... . ⎢
. . . ... .
⎢ Filas de la matriz A
⎢ ⎢
⎢⎣am1 am2 am3 ... amn
Columnas de la matriz A
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =[aij], con i =1, 2,..., m; j =1, 2, ..., n.
Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota
la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de
la fila 2 y columna 5.

⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A( ) = 4
Matrices Iguales
Dos matrices son iguales cuando tienenla misma dimensión y los elementos que
ocupan elmismo lugar enambas son iguales.
Sean las matrices A y B, donde:
⎡ 9 a⎤
A(2x2)= ⎢−3 2⎢
⎡ 9 a⎤
B(2x2)= ⎢−3 2⎢
Entonces A = B
Análogamente
⎡3 −2 0⎤ ⎡3 −2 0⎤
Entonces, C = D (Note que
C y D no necesitan tener
C(2x3) = ⎢ ⎢ D(2x3) = ⎢ ⎢
una forma cuadrada o
⎣4 z 2⎦ ⎣4 z 2⎦
simétrica).
2.2 Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su
utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
2.2.1 Segúnla forma
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto
es de orden m x 1.
Ejemplo:
⎡ 3 ⎤
⎢ ⎢
3x1 ⎢ ⎢
−a
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden
1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). Por ejemplo: A(1x3) = [1 2 −3]
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es
decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n
(aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal

principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal
secundaria.

3x3 ⎢ ⎢
⎣ ⎦
0 0 ⎣ ⎦
En la matriz
⎡ 1 3 0⎤
A( ) =
⎢
−2 1 4
⎢
3 7 9
La diagonal principal está formada por [ 1 1 9 ] y la diagonal secundaria por [ 0 1 3 ]
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se
obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de
At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la
definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
⎡3 8 9⎤
⎡3 1⎤
t ⎢ ⎢
Ejemplo: A(2x3) = ⎢1 0 4⎢ entonces A(3x 2) =
⎢
8 0
⎢
⎢⎣9 4⎢⎦
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj
⎡2 1 3 ⎤
⎢ ⎢
Ejemplo: A = ⎢1 0 −2 ⎢ (Comprobar que A = At )
⎢
3 −2 7
⎢
⎣ ⎦
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si A = –At, es
decir aij= -aji.
⎡ 0 1 3 ⎤
Ejemplo: A = ⎢ −1 0 −2⎢
(comprobar que A = –At)
⎢ ⎢
⎢⎣−3 2 0 ⎢⎦
2.2.2 Segúnlos elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplo:
⎡0 0⎤
= ⎢ ⎢
⎣ ⎦
⎡0 0 0⎤
0 = ⎢
0 0 0
⎢

⎢ ⎢ ⎢ ⎢
0 1 ⎢ ⎢
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
⎡2 0 0⎤
A = ⎢0 −3 0⎢
⎢ ⎢
⎢⎣0 0 4⎢⎦
Matriz escalar: Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con
todos los elementos de ladiagonal iguales.
Ejemplo: A =
⎡3 0 0⎤
⎢0 3 0⎢
⎢⎣0 0 3⎢⎦
⎡1 0 0⎤
= 3 ⎢0 1 0⎢
⎢⎣0 0 1⎢⎦
= 3I
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal
principal iguales a 1. Se denota por elsímbolo I o In.
Ejemplo:
⎡1 0⎤
I2 = ⎢ ⎢
⎣ ⎦
⎡1 0 0⎤
I3 =
⎢
0 1 0
⎢
⎢⎣0 0 1⎢⎦
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que
están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser
de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son
todos nulos. Es decir, aj =0, i < j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son
todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i. Ejemplos:
Triangular Inferior Triangular Superior
⎡3 0 0 0⎤ ⎡3 0 3 1⎤
⎢4 −3 0 0⎢ ⎢0 −3 −9 z⎢
A(4x 4) = ⎢
0 2 8 0
⎢ A(4x 4) = ⎢ ⎢
⎢ − ⎢ ⎢0 0 −8 0⎢

⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎢
1 6 y 1
⎢ ⎢
0 0 0 1
⎢

3 4
A =
⎣ ⎦
2.3 Operaciones con matrices
2.3.1 Trasposición
Dada una matriz de ordenmxn, A = [ aij ], se llama matriz traspuesta de A y se
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o
viceversa) en la matriz A. Es decir:
⎡ a11 … a1n ⎤ ⎡a11 … am1 ⎤
A = ⎢
# % #
⎢ ⇒ At
= ⎢ # % # ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢⎣am1 " amn
⎢⎣a1n " amn
Propiedades delatrasposición dematrices
1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At)t = A.
2.3.2 Suma y diferencia
La suma de dos matrices A = [ aij ], B = [ bij ] de la misma dimensión, es otra matriz
S = [ sij ] de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij = aij + bij.
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas deben tener la misma dimensión. La
suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo: ⎡−2 f ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎦
B =
⎡ 4 d⎤
⎢−3 1⎢
Entonces ⎡(−2 + 4) (f + d)⎤ ⎡2 f + d⎤
A+B = ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣ (3− 3) (4 + 1)⎦ ⎣0 5 ⎦
Propiedades delas
1. A + (B + C) =
madematrices
(A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe elnombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.

5. La diferencia de matrices A y B se representa y se define como: A – B.

⎣ ⎦
2.3.3 Producto de una matriz por un escalar (número)
El producto de una matriz A = [ aij ] por un número real k es otra matriz B = [ bij ] de la
misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij
por k, es decir, bij = kaij.
Ejemplo:
A =
⎡−2 g −3⎤
k = 2 ⎢
4 5 1
⎢
entonces ⎡−2 g −3⎤ ⎡2 (−2) 2 (g) 2 (−3)⎤ ⎡−4 2g −6⎤
kA = 2⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣ 4 5 1 ⎦ ⎣ 2 (4) 2 (5) 2 (1) ⎦ ⎣ 8 10 2 ⎦
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se
le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades delproductodeunamatrizporunescalar
1. k(A + B) = kA + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k(h A) = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1·A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
1. A + C = B + C ⇒ A = B.
2. kA = k B ⇒ A = B si k es distinto de 0.
3. kA = h A ⇒ h = k si A es distinto de 0.
2.3.4 Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen
multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los
elementos de P son de la forma:
Pij = ∑ aij . bij

⎣ ⎦
=
Se requiere que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de
B para que esta multiplicación sea posible. Así, si A tiene dimensión mxn y B
dimensión nxp, la matriz P será de orden: mxp. Es decir:
n
Pij = ∑aik .bkj
k −1
En otras palabras, el elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz
C=AB se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y
sumando los resultados.
Ejercicio 14: Obtener C = AB
⎡0 −4 1⎤
⎢ − ⎢
Siendo:
A =
⎡−3 2 1 4 ⎤
B = ⎢
1 2 1
⎢
⎢ 2 5 3 −2⎢ ⎢2 0 2⎢
⎣ ⎦
⎢ ⎢
⎣3 2 1⎦
Solución. Primero, se comprueba que se pueda realizar el producto AB. Puesto que el
número de columnas de A es igual al número de filas de B, entonces la operación es
factible. La matriz resultante tendrá la dimensión 2x3, es decir, 2 filas y 3 columnas.
⎡0
⎡−3 2 1 4 ⎤
⎢1
−4 1⎤
−2 1⎢
⎡c c c ⎤
C= ⎢ ⎢
⎢ ⎢ 11 12 13
⎢ ⎢
⎣ 2 5 3 −2⎦ ⎢2 0 2⎢
⎢
3 2 1
⎢
⎣c21 c22 c23 ⎦
Luego, el elemento de la fila 1 y columna 1 de AB (es decir, c11 ) proviene de la
sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A por otro elemento de la
columna 1 de B, de la multiplicación:
c11 = a11.b11 + a12 .b21 + a13b31 + a14b41
c11 = (−3) ⋅0 + 2⋅1+ 1⋅2 + 4⋅3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16
El elemento de la fila 1 y la columna 2 de AB (o lo cual es igual, C) será igual a la

sumatoria del producto de un elemento de la fila 1 de A con otro elemento de la
columna 2 de B:

c12 = a11.b12 + a12 .b22 + a13 .b32 + a14 b42
c12 = (−3) ⋅(−4) + 2⋅(−2) + 1⋅0 + 4 ⋅2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16
El elemento de la fila 1 y la columna 3 de C proviene de la sumatoria del producto de
un elemento de la fila 1 de A con otro elemento de la columna 3 de B:
c13 = a11.b13 + a12 .b23 + a13 .b33 + a14 .b43
c13 = (−3) ⋅1+ 2 ⋅1+1⋅2 + 4 ⋅1= −3 + 2 + 2 + 4 = 5
Así, sucesivamente se obtiene:
⎡16 16 5 ⎤
C = ⎢ ⎢
⎣ 5 −22 11⎦
Propiedades delproductodematrices
1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo (AB no necesariamente
es igual a BA).
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal
que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de
A y se representa por A–1.
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es
decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Consecuencias delaspropiedades
1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0.
2. Si A·B=A·C no implica que B = C.
3. En general (A+B)2=A2 + B2 +2AB, ya que A·B ≠ B·A.
4. En general (A+B)·(A–B) = A2–B2, ya que A·B ≠ B·A.
Ejemplo: Una compañía tiene 4 fábricas, cada una emplea administradores (A),
supervisores (S) y trabajadores calificados (T) enla forma siguiente:

⎢ ⎢ ⎢ ⎢
Tipo de empleado Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4
Administradores (A) 1 2 1 1
Supervisores (S) 4 6 3 4
Trabajadores (T) 80 96 67 75
Si los administradores ganan S/. 350 (PA) a la semana, los supervisores S/. 275 (PB) y
los trabajadores S/. 200 (PT). ¿Cuál es la nómina de cadafábrica?
Solución. Lo que se pide es el monto pagado por cada fábrica el cual es igual al
número de cada empleado por su respectivo ingreso salarial. En general, será:
Ii = PAAi + PSSi + PTTi , donde Ii es el monto de la fabrica i. Por ejemplo, el monto de la
fábrica 1 será: I1 = PAA1 + PSS1 + PTT1 = 350*1 + 4*275 + 80*200 = 17450.
Con este sencillo cálculo puede obtenerse fácilmente los 3 montos restantes. Sin
embargo, si hubiera más tipos de empleados o un mayor número de fábricas el cálculo
se complicaría. Existe otra forma para calcular directamente los montos de todas las
fábricas. El cuadro anterior equivale a cantidades de especialistas de cada fábrica.
Entonces, si estas cantidades son multiplicadas por su salario respectivo debería
entonces obtenerse la nomina de cada fábrica. Llevando esto a matrices:
⎡ 1 2 1 1 ⎤ ⎡350⎤
⎢ 4 6 3 4 ⎢ ⎢275⎢
⎢⎣80 96 67 75 ⎢⎣200
Si se multiplica ambas matrices (en ese orden) debería obtenerse lo solicitado. Sin
embargo, esta multiplicación matricial no esta definida. Note que la primera matriz es
de orden 3x4 mientras la segunda es 3x1 (las cifras de negro debería ser iguales). La
solución es transponer la primera matriz a fin de obtener una matriz de orden 4x3 y
así, poderla multiplicar por la segunda (3x1), conlo cual es posible multiplicar ambas
matrices y la matriz resultante sería del orden 4x1, la cual brindaría los 4 montos
solicitados.
⎡1 4 80⎤ ⎡17450⎤
⎢2 6 96⎢ ⎡350⎤ ⎢21550⎢
⎢ ⎢ ⎢275⎢ = ⎢ ⎢
⎢1 3 67⎢ ⎢ ⎢
⎢
1 4 75
⎢ ⎢⎣200⎢⎦
⎢14575⎢
⎢

⎢
16450 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Así, los montos de la fábrica 1, 2, 3 y 4 son: S/. 17450, S/. 21550, S/. 14575, y S/.
16450, respectivamente.
2.3.5 Inversibilidad
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso
contrario recibe elnombre de singular.
Propiedades delainversión dematrices
1. La matriz inversa, si existe, es única
2. A-1A=A·A- 1 =I
3. (A·B) -1=B- 1A- 1
4. (A-1)- 1=A
5. (kA)-1=(1/k·A)- 1
6. (At)–1=(A- 1)t
Observación
Se puede encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A ≠ I, en tal caso,
podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A
"porla derecha". Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz
dada:
• Directamente:
⎡2 −1⎤
Dada la matriz A = ⎢ ⎢
⎣1 1 ⎦
buscar una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir:
⎡2 −1⎤ ⎡a b⎤ ⎡1 0⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣1 1 ⎦ ⎣c d⎦ ⎣0 1⎦
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
2a – c = 1 …(1)
2b – d = 0 …(2)
a + c = 0 …(3)
b + d = 1 …(4)

De la ecuación (3) despejar a en función de c (a = -c) y luego reemplazar en (1) y así
encontrar elvalor de a y c.
2 ( -c ) – c = 1 → c = −
1
y luego de reemplazar en(1) obtenemos a =
1
3 3
De la ecuación (4) despejar b en función de d ( b = 1 – d) y luego reemplazar en (2) y
así encontrar el valor de b y d.
2
2 ( 1 - d ) – d = 0 → d =
3
1
y luego reemplazando en(2) obtenemos b =
3
⎡
⎢
A −1
= ⎢
1 1 ⎤
3 3 ⎢
1 2
⎢
⎢ − ⎢
⎣⎢ 3 3 ⎢⎦
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil
comprobar que también cumple A-1·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.
• Usando determinantes (lo cual se verá mas adelante)
• Por elmétodo de Gauss-Jordan (elcual no será tratado aquí)
2.4 Determinantes
Un determinante es un número real o escalar asociado a una matriz, y su cálculo
depende del orden de lamatriz cuadrada enanálisis.
2.4.1 Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Orden 1 x 1: Es fácil comprobar que aplicando la definición: A = a11 ⇒ det (A) = a11.
Orden 2 x 2: se toma el producto de los dos elementos de la diagonal principal y se
substrae del producto de los dos elementos de la diagonal secundaria.
A =
⎡a11 a12 ⎤
⇒ det(A) =
a11 a12
= a a − a a
⎢ ⎢ 11 22 12 21
⎣a21 a22 ⎦ a21 a22

Orden 3 x 3: Regla de Sarros: solo para matrices de orden 3x3 se suele usar la Regla
de Sarrus, que consiste enun esquema gráfico para los productos positivos y otro
para los negativos:
⎡a11
Sea la matriz A =
⎢
a21
a12
a22
a13 ⎤
a23
⎢ , la multiplicación de diagonales es:
⎢ ⎢
⎢⎣a31 a32 a33
⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ a21
a22 a23 ⎢ ⎢ a21
a22 a23 ⎢
det(A ) = ⎢ a31 a32 a33
⎢ − ⎢a31 a32 a33
⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ a11 a12 a13 ⎢ ⎢ a11 a12 a13 ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎝ a21 a22 a23 ⎠ ⎝ a21 a22 a23 ⎠
o lo que es igual:
det(A) = (a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 ) − (a13 a22 a31 + a12 a21a33 + a11a23 a32 )
Ejercicio 15: Usando Sarros, obtener eldeterminante de lamatriz
⎡−3 1 4⎤
B = ⎢ 2 −2 0⎢
⎢ ⎢
⎢⎣−z 6 2⎢⎦
Solución. Primero, se grafica la matriz/determinante, en la cual las dos primeras filas
se repiten enla parte inferiorde tal matriz,
Caso 1 (por filas) ⎡−3 1 4⎤
⎢ 2 −2 0⎢
⎢ ⎢
−z 6 2

det(B) =
−3 1 4
2 −2 0

Luego, se procede a obtener los productos positivos (diagonales del medio hacia
abajo). En este caso, por tratarse de una matriz 3x3, serán 3 productos:
((-3).2.2) + (2.6.4) + ((-z) .1.0) = 60.
Luego, los tres productos negativos:
-[((-z).(-2).4) + ((-3).6.0) + (2.1.2)] = -4 – 8z
Así, el determinante será ∣ A ∣ = 60 - 4 - 8z = 56 – 8z
Otra forma es utilizando elmétodo de Sarrus por columnas.
⎡−3 1 4⎤ −3 1
Caso 2 (por columnas) → det(B) = ⎢ 2 −2 0⎢ 2 −2
⎢ ⎢
⎢⎣−z 6 2⎢⎦
2.4.2 Cálculo de un determinante de orden nxn: desarrollo por menores
Sea una matriz de orden 3 x 3 como
−z 6
A = ⎡⎣aij
⎡a11
=
⎢
a21
a12
a22
a13 ⎤
a23
⎢
⎢ ⎢
⎢⎣a31 a32 a33
Contiene otras submatrices tales como:
A =
⎡a22 a23 ⎤
(matriz obtenida al eliminar la primera fila y la primera columna)
11 ⎢ ⎢
⎣a32 a33 ⎦
A =
⎡a12 a13 ⎤
(matriz obtenida al eliminar la segunda fila y la primera columna)
21 ⎢ ⎢
⎣a32 a33 ⎦

A =
⎡a12 a13 ⎤
(matriz obtenida al eliminar la tercera filay la primera columna)
31 ⎢a a ⎢
⎣ 22 23 ⎦

⎢ ⎢
Ahora bien, se define eldeterminante de la matriz A mediante la formula:
det(A) = a
a22 a23
− a
a12 a13
+ a
a12 a13
11 21 31
a32 a33 a32 a33 a22 a23
o lo que es igual
det (A) = a11det(A1 1) – a21det(A2 1) + a31det(A31) (2.1)
En realidad, la expresión (2.1) tiene múltiples generalizaciones por lo que es necesario
formalizarlas. Finalmente, para el caso de una matriz (cuadrada) de orden n x n el
determinante será:
n
i+ j
det(A) = ∑(−1) (aij ) Mij
j=1
(2.3)
Nota: Esta regla rebajael orden del determinante que se pretende calcular en una
unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir la fila o
columna con mayor número de ceros.
Ejercicio16: Obtener el determinante de la matriz B.
⎡−3 1 4⎤
B = ⎢ 2 2 0⎢
−z 6 2
Solución. Calcular la matriz A por medio de menores.
det(A) = −3
−2 0 1
− 2
4 1 4
− z
6 2 6 2
det (A) = 12 – 4 +48 -8z = 56 -8z
−2 0

−3 2 3+3
Ejercicio 17: Sea la matriz A, obtener su determinante.
⎡ 2 4 −3⎤
A = ⎢ 3 −5 2 ⎢
⎢ ⎢
⎢⎣−1 3 2 ⎢⎦
Solución. En teoría el determinante resultará de usar alguna fila o columna al azar, en
este caso se usa la 3era fila (-1, 3, 2). Luego se forman los determinantes de las
submatrices correspondientes:
A = −1(−1)3+1 4
+ 3(−1)3+2 −3 2 4
+ 2(−1)
−5 2 3 2 3 −5
A = − (8 −15) − 3(4 + 9) + 2(−10 − 12)
A = −76
- Matriz de cofactores
Una matriz de cofactores es una matriz donde cada elemento es un determinante, en
la cual cada elemento aij es reemplazado por su cofactor ∣Cij∣. Una matriz adjunta es
la transpuesta de una matriz de cofactores. Para elcaso de una matriz:
⎡ C11 C12 C13 ⎤
⎢ ⎢
C = ⎢ C21 C22 C23 ⎢
C31 C32 C33
y su adjunta será, ⎡ C11 C21 C31 ⎤
t ⎢ ⎢
adj(A) = C = ⎢ C12 C22 C32 ⎢
C13 C23 C33
Cofactor de un componente
El cofactor de un componente aij denotado por Cij esta definido por:

∣Cij∣ = (-1)i+j ∣Mij∣ (2.2)
En otras palabras, el cofactor del componente Cij es el menor Mij
(-1)i+j. Por ejemplo, para el caso de una matriz 3 x 3
con signo prefijado

−2 0 2 0 2 −2
6 2 −z 2 −z 6
1 4 −3 4 −3 1
6 2 z 2 −z 6
1 4 −3 4 −3 1
−2 0 2 0 2 −2
1
−
2 1
+
2 3
2 4 2 4 1
⎢ ⎢
C = M
a21
=
a22
13 13
a31 a32
Menor de un componente
Si A es una matriz cuadrada de orden n x n, entonces el menor del elemento Cij se
denota por Mij y se define como eldeterminante de la submatriz (n-1)(n-1) de A la cual
se forma suprimiendo todos los elementos de la fila i y todos los elementos de la
columna j. Para la matriz del ejercicio 16, los menores que se pueden formar son:
C =
Ejercicio 18: Sea la matriz A, hallar su matriz de cofactores:
⎡2 3 1⎤
A = ⎢4 1 2⎢
⎢⎣5 3 4⎢⎦
Solución. Formar la matriz de menores para la matriz C (por ejemplo el menor C11 se
define como la determinante de la submatriz A que se forma suprimiendo todos los
elementos de la fila 1 y de la columna 1) y resolver cada menor:
⎡ 1 2 4 2 4 1 ⎤
⎢+ − + ⎢
⎢
3 4 5 4 5 3
⎢
⎢ ⎢ ⎡−2 −6 7 ⎤
3 1 2 1 2 3 ⎢ ⎢C = ⎢− + − ⎢ =
⎢
−9 3 9
⎢
⎢ 3 4 5 4 5 3 ⎢
⎢ ⎢ 5 0 −10
⎢+
3
⎢
1

La matriz adjunta adj(A) será la transpuesta de C:

⎡−2 −9 5 ⎤
adj(A) = Ct
= ⎢−6 3 0 ⎢
⎢ ⎢
7 9 −10
Esta matriz será vista con mayor detalle enelpunto 2.4.4
2.4.3 Propiedades básicas de los determinantes
Propiedad 1. Si se permuta dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su
determinante cambia de signo con respecto al inicial:
a b
= ad - bc, pero con intercambiando las dos filas:
c d
c d
= cb – ad = - ( ad –bc )
a b
Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante
vale cero.
Propiedad 2. La multiplicación de una fila (columna) por un escalar cambia elvalor
del determinante k veces.
ka kb a b
= kad − kbc = k (ad − bc ) = k
c d c d
Propiedad 3. La suma (resta) de un múltiplo de una fila a otra fila dejará el valor del
determinante inalterado. Esto también es valido en elcaso de columnas.
Por ejemplo. Si en el determinante anterior, se suma k veces la fila superior a su
segunda fila, se obtiene eldeterminante original.
a b a b
= a(d + kb) − b(c + ka) = ad − bc =
c + ka d + kb c d

⎢
"
Propiedad 4. El intercambio de filas y columnas no afecta el valor del determinante. En
otras palabras, el determinante de una matriz A tiene el mismo valor que el de su
transpuesta: ∣A∣ = ∣At∣.Por ejemplo.
4 3 4 5
= = 9
5 6 3 6
a b a c
= = ad − bc
c d b d
2.4.4 Aplicaciones
Cálculo de la matriz inversa
Dada una matriz cuadrada A, su inversa será igual a la expresión 2.4, la cual es fácil
probarla ya que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus
adjuntos es elvalor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos
de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un
determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
A
−1
=
1
adj(A)
det(A) (2.4)
Solución de sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l)
Un sistema de ecuacioneslineales(s.e.l.) es un conjunto de m ecuacionescon n
incógnitas de la forma:
a11x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1 ⎫
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ⎢
⎬
⎢
am1x1 + am2 x2 + ... +amn xn = bm ⎭⎢
Donde aj son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. El
anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices
de la forma:
⎛ a11 a12 " a1n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛b1 ⎞
⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢
a21
a22 " a2n ⎢⎢
x2 ⎢ = ⎢
b2 ⎢
⎢ " "" " ⎢ ⎢" ⎢ ⎢" ⎢
⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎝ am1
am2 " amn ⎠⎝ xn ⎠ ⎝bm ⎠

A X = b
De modo simplificado suele escribirse Amxn Xnx1 = bmx1 , donde la matriz A se
denomina matriz de coeficientes. También se usará la matriz ampliada, que se
representa por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la
columna del término independiente:
⎛ a11 a12 … a1n b1 ⎞
⎢ ⎢
A'
= ⎢
a21
a22 " a2n b2 ⎢
⎢ " " " " " ⎢
⎢ ⎢
⎝ am1 am2 " amn amn ⎠
2..4.1 Aplicando la Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y
es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones se le llama un
sistema de Cramer). El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo
denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el
determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la
columna de los términos independientes:
Ai
xi =
A (2.5)
Ejercicio 19: Obtener el valor de las incógnitas del siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
2x1 + 4x2 - 3x3 = 12
3x1 - 5x2 + 2x3 = 13
-x1 + 3x2 + 2x3 = 17
Solución. El primer paso es ordenar el sistema de ecuaciones: cada columna debe
corresponder a una sola variable y todas las constantes deben pasar al lado derecho
de la igualdad. Una vez ordenado el sistema, se procede a calcular el determinante de
la matriz principal o matriz de coeficientes (A):

2 4 −3
A = 3 −5 2 = 2( -10 – 6 ) – 4 ( 6 + 2 ) – 3 ( 9 - 5 ) = -76
−1 3 2
Paso seguido, se obtienen las matrices especiales formadas del reemplazo de la
columna de coeficientes xi con el vector columna de constantes. Para las tres
variables, los determinantes de tales matrices son:
12 4 −3
A1 = 13 −5 2 = 12( -10 – 6 ) – 4 ( 26 - 34 ) – 3 ( 39 + 85 ) = -532
17 3 2
2 12 −3
A2 = 3 13 2
−1 17 2
2 4 12
= 2( 26 – 34 ) – 12 ( 6 + 2 ) – 3 ( 51 + 13 ) = -304
A3 = 3 −5 13 = -248 -256 -48 = -456
−1 3 17
Una vez obtenidos los determinantes, se procede fácilmente a obtener el valor de las
incógnitas:
A1
x1 =
A
=
−372
= 7
−76
A2
x2 =
A
=
−304
= 4
−76
A3
x3 =
A
=
−456
= 6
−76
2..4.2 Inversibilidad mediante la matriz de cofactores
Si AX = b , entonces X será equivalente a:
A-1.(A.X)=A- 1(b)
X = A-1(b)
(2.6)
Pero, conforme a (2.4), A-1 =
1
det(A)
[adj(A)]. Entonces X también será igual a:
1
X=
det(A)

[adj(A)]b
(2.7)

76
Por ello es necesario calcular no solo el determinante de A, sino la transpuesta de su
matriz de cofactores (llamada matriz adjunta). Esta forma de solución es aplicable si el
sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m). En el ejercicio
anterior será:
⎡ − 5 2 3 2 3 − 5 ⎤
⎢
3 2 − 1 2 − 1 3 ⎢
⎢ ⎢ ⎡ − 1 6 − 8 4 ⎤
4 − 3 2 − 3 2 4 ⎢ ⎢
C = ⎢ − + − ⎢ =
⎢
− 1 7 1 − 1 0
⎢
⎢ 3 2 − 1 2 − 1 3 ⎢
⎢ ⎢ − 7 − 1 3 − 2 2
⎢ +
4 − 3 2 − 3
− +
2 4 ⎢
− 5 2 3 2 3 − 5
Ahora la matriz adjunta es,
⎡−16 −17 −7 ⎤
adj (A) = Ct =
⎢
−8 1 −13
⎢
⎢ ⎢
4 −10 −22
Ordenando los resultados conforme a (2.4),
⎡−16 −17 −7 ⎤
A-1 =−
1 ⎢
−8 1 −13
⎢
76 ⎢ ⎢
4 −10 −22
Finalmente, poniendo los resultados según (2.6),
⎡ 192 +221+ 119 ⎤
⎡16 17
76 76
7 ⎤ ⎢
76 ⎡12⎤
⎢
⎡7⎤ ⎡ x ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1
X =⎢ 8 − 1 13 ⎢ ⎢
13
⎢
= ⎢ 96 −13 +221 ⎢ =
⎢
4
⎢
=
⎢
x
⎢
⎢ 76 76 76 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 76 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
− 4
76
10
76
22 17
76⎦
⎢
−48 +130 +374
⎢
6 x3

⎣ 76 ⎦
Entonces, los valores del vector X serán: 7 ,4 y 6.
Se debe tener en cuenta antes de realizar cualquier cálculo que la determinante de A
deba ser diferente de cero paraasí garantizar una solución al problema, en caso que
la determinante de una matriz resultará ser cero podría deberse a que alguna de las
ecuaciones del sistema podrían ser múltiplos de uno de ellos por lo que no podríamos
hallar la solución ya que hay solo n-1 ecuaciones para n incógnitas.

2
1 2
1 2
2.4.5 El Jacobiano
Es un determinante especial que sirve para testear la dependencia funcional, tanto
lineal como no lineal. Un determinante jacobiano esta compuesto por todas las
primeras derivadas parciales. Por ejemplo, dadas las siguientes funciones,
y1 = f1 ( x1, x2… xn)
y2 = f2 ( x1, x2… xn)
#
yn = f3 ( x1, x2… xn)
El (determinante) Jacobiano será igual a:
∂y1
∂x1
∂y2
∂y1
"
∂x2
∂y2
∂y1
∂xn
∂y2
J =
∂y1,∂y2 ",∂yn
= ∂x
"
∂x ∂x
1 2 n
∂x1,∂x2 ",∂x3 " " " "
∂yn
∂x1
∂yn
∂x2
"
∂yn
∂xn
Note que los elementos de cada fila son las primeras derivadas parciales de una
función yi con respecto a cada una de las variables independientes (x1, x2, x3),
mientras que loselementos de cada columna son las primeras derivadas parciales de
cada una de las funciones y1, y2, y3 respecto a una de las variables independientes,
x j . Si J = 0, las ecuaciones son funcionalmente dependientes. Caso contrario (a),
son independientes.
Ejemplo : Usar elJacobiano para testear la dependencia funcional de:
y1 = 5x1 + 3x2
y2 = 25x1
2 + 30 x1x2 + 9x2
Solución. Primero, se toma las derivadas parciales de primer orden:
∂y1
= 5
∂y1
= 3
∂y2
= 50x + 30x
∂y2
= 30x + 18x

∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

⎡ 1 1 1 0 ⎤
⎢
−1 0 1 0
⎢
⎢ 2 1 1 −1⎢
⎢ 0 1 0 ⎢
Luego se plantea elJacobiano,
5 3
J =
50x1 + 30x2 30x1 + 18x2
∣J∣ = 5 ( 30x1 + 18 x2)- 3 (50x1 + 30x2) = 0
Así, puesto que J = 0, existe dependencia funcional entre ambas ecuaciones. Esto
es fácil de corroborar ya que: (5x1 + 3x2)2 = 25x1
2 + 30 x1x2 + 9x2
2.
2.5 Problemas Resueltos
Ejercicio 20: Sean las matrices:
⎡ x 2 −1 1 ⎤
⎢ 0 4 1 2a⎢
A = ⎢ ⎢ B = ⎢ ⎢
⎢−1
⎢
−x 3x 0 ⎢
⎢ ⎢ ⎢
⎣ 0 −1 1 2 ⎦
y. Si C = ( 2AB)t, obtenga la suma S = c21 + c32 + c33
Solución. Multiplicar la matriz A y B y luego por elescalar 2.
⎡2x − 10 2x − 2 2x + 4 2 ⎤
⎢−4a − 4 2 4a +10 −2 ⎢
2AB = ⎢ ⎢
⎢14x − 2 6x − 2 4x − 2 −6x⎢
⎢
2 2 4 −2
⎢
⎣ ⎦
Entonces, ⎡2x −10 −4a − 4 −14x − 2 2 ⎤
⎢ 2x − 2 2 6x − 2 2 ⎢
(2AB)t
= ⎢ ⎢
⎢ 2x + 4 4a + 10 4x − 2 4 ⎢
⎢
2 −2 −6x −2
⎢
⎣ ⎦

c21 = 2x – 2, c32 = 4a +10, c33 = 4x - 2 Entonces S = 6x + 4a + 6

⎢ ⎢
Ejercicio 21: Se tienen las siguientes matrices:
⎡ 3 ⎤
⎡−2a 3b⎤ ⎢− ⎢
A = ⎢ 2 b ⎢ C = ⎢
4
⎢
⎢ ⎢ ⎡ 2 −4 2 −6⎤ ⎢6a⎢
−5 8 B = ⎢
−1 b −5 1
⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎦ ⎣−2⎦
Obtenga:
a) D = ABC y
b)si a = 0, ¿como cambia D enrelación a la pregunta a?
Solución.
a) Primero multiplicamos las matrices A(3x2) y B(2x4) por que cumplen con las
dimensiones, resultando la matriz AB(2x4) y luego multiplicarlo con la matiz C(4x1).
⎡−4a − 3b 8a + 3b2
−4a −15b 12a + 3b⎤
AB = ⎢ 4 − b b2
− 8 4 − 5b b −12 ⎢
⎢ ⎢
−18 8b + 20 −50 38
⎡−24a2
− 2a(45b + 34) − 3b(4b + 5)⎤
ABxC = D = ⎢ 6a(4 − 5b)− 4b2
− 5b + 68 ⎢
⎢ ⎢
−300a − 2(16b +105)
b) Simplemente, se reemplaza elvalor 0 de a en la matriz resultante D,
⎡ −3b(4b + 5) ⎤
D =
⎢
−4b
2
− 5b + 68
⎢
−2(16b + 105)
Ejercicio 22: Dada la matriz H y H-1 = D, obtenga “a ” sabiendo que d22=1
⎡−3a −1 a ⎤

H =
⎢
1 4 1
⎢
⎢ ⎢
−2 −3 −1

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
Solución. Hallar la inversa de lamatriz H
⎡
−
1
−
3a+1
−
4a+1⎤
⎢ 8a +1 8a + 1 8a +1⎢
⎢ ⎢
H
−1
= D = ⎢−
1 5a 4a ⎢
⎢ 8a +1 8a +1 8a + 1 ⎢
⎢ 5 2 − 9a 1− 12a ⎢
⎢ ⎢
⎣ 8a + 1 8a +1 8a + 1 ⎦
Por condición:
d22
=
5a
= 1
8a + 1
entonces, 1a = −
3
Ejercicio 23: Una tienda vende 1000 hamburguers, 600 chessburguers, y 1200 milks
en una semana. El precio de la hamburguer es 45 centavos (c), una chessburguer 60
c, y el milk 50 c. El costo de vender una hamburguer es 38c, una chessburguer es 42c
y un milk es 32c. Encuentre el ingreso, costo y beneficio semanal de la firma.
Definiendo y ordenando:
⎡1000 ⎤
Q = ⎢ 600 ⎢
⎢⎣1200⎢⎦
⎡0.45⎤
P = ⎢0.60⎢
⎢⎣0.50⎢⎦
⎡0.38⎤
C = ⎢0.42⎢
⎢⎣0.32⎢⎦
El ingreso total será: PQ, pero esta operación no esta definida. Entonces se aplica la
transpuesta de P. Solo así es posible la multiplicación:
⎡1000⎤
I = PtQ = [ 0.45 0.60 0.50] =
⎢
600
⎢
=1410
⎢
⎣1200⎢
⎦
Similarmente, elcosto total será:
⎡1000⎤
C = CtQ = [ 0.38 0.42 0.32]=
⎢
600
⎢
=1016
⎢ ⎢ Entonces, B=1410 -1016 = 394
⎣1200⎦

⎢ ⎢
Ejercicio 24: En una página deteriorada de un libro se encuentra que la matriz
⎡1 x 0⎤
A = ⎢0 0 y ⎢
⎢⎣0 0 z⎢⎦
y del producto A2At solo se puede leer la última columna
⎡D D
⎢D D
−6⎤
2 ⎢
⎢ ⎢
⎢⎣D D −1⎢⎦
Obtenga x + y + z.
Solución. Por condición, la matriz del producto
⎡x2
+ 1 xy2
xyz⎤
A2
At
=
⎢
0 y2
z yz2 ⎢
⎢ ⎢
0 yz2
z3
Debe ser igual a una matriz cuyos datos visibles son
⎡D D
⎢
D D
−6⎤
2
⎢
⎢ ⎢
⎢⎣D D −1⎢⎦
Esta última columna se puede igualar conla última columna de la primera matriz. De
eso, se obtiene fácilmente que z = -1, x = 3, y = 2. Entonces, x + y + z = 4
Ejercicio 25: Hallar a, b, c y d si se cumple que:
⎡1 0 2 0⎤
⎡a b c d⎤
⎢0 0 1 1⎢
⎡1 0 6 6⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣1 4 9 2⎦ ⎢0 1 0 0⎢
⎢ ⎢
⎣0 0 1 0⎦
⎣1 9 8 4⎦

Solución. El resultado de la multiplicación de las matrices del lado izquierdo es:
⎡a c 2a+b+d b⎤ ⎡1 0 6 6⎤
⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣1 9 8 4⎦ ⎣1 9 8 4⎦
de donde, por igualdad de matrices: a = 1, b = 6, c = 0 y d = -2
Ejercicio 26: Sea la matriz A y su determinante enfunción de y. Hallar:
⎡−4 0 −5 4 ⎤
⎢−5 −3 −4 2y ⎢
A = ⎢ ⎢
⎢−2 −2 2 0 ⎢
⎢
det(A) = −4(9y
2
− 2y − 43)
⎢
4 −y 1 −1
⎣ ⎦
a) La det(At)
b) Que valor(es) tomará y paraque el sistema At sea singular (es decir, paraque NO
tenga solución única)
Solución.
a) Por propiedad, det(A) = det(At)
b) Para que el sistema sea singular es necesario que det(A) = det(At) = 0.
det(A) = -4(9y2 - 2y – 43 )
-4(9y2 - 2y – 43 ) = 0
−(−2) ± (−2)
2
− 4x9x(−43)
Resolvemos esta ecuación cuadrática y =
2x9
y1 = 2.3 y2= -2.07
Ejercicio 27: Conforme al modelo
-4x – 5y + 23z +11w = 0
31z +21y +4w = -23
69z – 12x +33w – 15y = 0

23y + 42w -21x -2z = -3
Determinar los valores únicos de x, y, z, w usando elmétodo de Cramer.

⎢ ⎢
⎢ ⎢
Solución. Claramente la 3era ecuación del sistema, es 3 veces la primera ecuación, es
decir, una combinación lineal de la primera. Por ello, el sistema no tendrá solución
única y se puede verificar porque la determinante de la matriz formada por las cuatro
ecuaciones resulta ser cero.
Ejercicio 28: Si, B=A-1 y la matriz A es la siguiente:
⎡ 3 1 1 ⎤
A = ⎢−2 2 2 ⎢
−1 (x − y) −1
a) Obtenga la matriz B
b)Si b23=1/9 y además x = 3, obtenga el valor de y.
Solución.
a) El primer paso es hallar la determinante de lamatriz A eligiendo la fila 3 ya que sus
menores serán números reales:
1 1 3 1 3 1
det(A) = −1
2 2
− (x − y)
−2 2
+ (−1)
−2 2
= −8(x − y + 1)
Después hallar la matriz de cofactores
⎡ 2 2 −2 2 −2 2 ⎤
⎢ + − + ⎢
⎢ x − y −1 −1 −1 −1 x − y ⎢
⎢ ⎢ ⎡ −2( x − y + 1) −4 −2(x + y + 1) ⎤
C = ⎢ − + − ⎢ =
⎢
x − y + 1 2 −(3x − 3y + 1)
⎢
⎢ x − y −1 −1 1 −1 x − y ⎢
⎢ ⎢ 0 −8 8
1 1
+
⎣⎢ 2 2
3 1
−
−2 2
3 1
+
−2 2 ⎢⎦
Luego hallar la matriz adjunta que es la transpuesta de lamatriz de cofactores:
⎡−2(x − y +1) x − y + 1 0 ⎤
adj(A) = Ct
= ⎢ −4 2 −8⎢
⎢ ⎢

−2(x + y + 1) −(3x − 3y + 1) 8
Por ultimo multiplicar la matriz adjunta por la inversa de ladeterminante de la matriz A.

⎢ ⎢
⎣ ⎦
A-1=
1
det(A)
adj(A)
⎡ −2(x −y+1) x−y+1
0
⎤
⎢
− 8( x − y + 1) − 8( x − y + 1)
⎢
⎢ ⎢
B = A −1
=
⎢ − 4 2 − 8 ⎢
⎢ − 8( x − y + 1) − 8( x − y + 1) − 8( x − y + 1) ⎢
⎢ ⎢
⎢ − 2( x + y + 1) −(3 x − 3y + 1) 8 ⎢
⎢ − 8( x − y + 1) − 8( x − y + 1) − 8( x − y + 1) ⎢
⎣ ⎦
⎡ 1
−
1
0
⎤
⎢ ⎢
⎢ 4 8 ⎢
B =
⎢ 1 1 1 ⎢
⎢
2( x − y + 1) 4( x − y + 1) x − y + 1
⎢
⎢ x− y−1 3x −3y+1
−
1 ⎢
⎢
4( x − y + 1) 8( x − y + 1) x − y + 1
⎢
b) Al igualar b23=1/9, se obtiene una ecuación con dos incógnitas (x e y), pero
adicionalmente se tiene el valor que toma la variable x=3 por lo cual la variable
y es -5.
b23 =
1
=
1
⇒ x − y = 8 , pero si x = 3 ⇒ y = -5 x
− y + 1 9
Ejercicio 29: Dada la matriz A y B, obtenga el valor x, si AB-3B=D y además d32 = 13
⎡ 3 y
A = ⎢−1 2
−1⎤
−2⎢
⎡ y x
B = ⎢ 3 0
−2⎤
−1⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
x 1 −1⎢⎦ y ⎢⎣−1 −1 1
Solución: Primero procedemos a multiplicar la matriz A por B donde el primer elemento
de la matriz AB se obtiene de la suma del producto de cadaelemento de la primera fila
de la matriz A por los elementos de la primera columna de la matriz B, obteniéndose
3y+3y+1=6y+1 y así para los demás elementos de la matriz AB.
⎡6y + 1 3x + 1 −y − 7 ⎤
⎢ ⎢

AB = ⎢ 8 − y 2 − x −2 ⎢
⎢
xy + 4 x2
+ 1 −2x − 2
⎢
⎣ ⎦

⎢ ⎢
⎣ ⎦
Luego procedemos a multiplicar la matriz B por un escalarque en este caso es 3 y
por ultimo restamos la matriz 3B a la matriz AB, obteniéndose D.
⎡3y 3x
3B = ⎢ 9 0
−6⎤
−3⎢
⎢ ⎢
⎢⎣−3 −3 3
⎡3y +1 1 −y −1 ⎤
⎢ ⎢
AB − 3B = ⎢−y −1 2 − x 1 ⎢ = D
⎢
xy + 7 x2
+ 4 −2x − 5
⎢
⎣ ⎦
De donde d32 = 13 = x2 + 4 ⇒ x = ± 3
Ejercicio 30: Sea
⎡ 1 1 −1⎤ ⎡ x −1 1 ⎤
A = ⎢−2 x −1⎢ B = ⎢ 3 2 x ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
−1 3 1 −2 −1 −1
a) Obtenga AB
b)Si det (AB)=0 calcule elvalor de x
c) Muestre que AB=BA, se cumple o no.
Solución.
a) La matriz AB se obtiene de la suma del producto de cada elemento de la primera
fila de la matriz A por los elementos de la primera columnade la matriz B,
obteniéndose x+ 3 + 2 = x + 5 y así para los demás elementos de lamatriz AB.
⎡x + 5 2 x + 2 ⎤
AB =
⎢
x + 2 2x + 3 x
2
− 1
⎢
⎢7 − x 6 3x − 2⎢
b) La det(AB)=12x2-24, entonces, 12x2
− 24 = 0 ⇒ x ± 2

c) Bastará mostrar que un elemento de BA no es igual a AB, por ejemplo:
AB11 ≠ BA11 . BA11 = x(1) – 1(x) – 1(1) = x - 1, pero AB11 = x + 5: por ello BA ≠ AB

t 2
⎣ ⎦
Ejercicio 31: Si C = AB y c33=m, obtenga el valor de z, si la menor solución de m es
igual a 0, siendo:
⎡ 3 4 −q 4⎤ ⎡−4 3 1 a ⎤
⎢−2 a e 3⎢ ⎢−3 2 −1 −1⎢
A = ⎢ ⎢ B = ⎢ ⎢
⎢ 3 z m 2⎢ ⎢−2 −1 5m 0 ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ 1 m 1 1⎦ ⎣ −1 0 4 −2⎦
Solución. Al hallar elproducto de la matriz AB se extraer elelemento c33 de la matriz
AB (en función de m y z).
C33 = 3 (1) – 1(z) + m(5m) + 2(4) = 3 – z +5m2 + 8
Por condición:
c33 = m ⇒ 5m2 – m + ( 11 – z ) = 0 1±
m =
de donde la menor solución será:
1− 20(11− z)
10
1− 1− 20(11− z)
10
= 0 ⇒ z = 11
Ejercicio 32: Si
Dt
=
⎡2 −4⎤ calcule (D−1
)
t
⎢ ⎢
⎣ ⎦
Solución. Por propiedad: (D
t
)
−1
= (D
−1
)
t
, de donde (D
t
)
−1
=
1 ⎡ 1/ 2 −1 ⎤
(t +1)
⎢
−t / 4 1/ 2
⎢
Ejercicio 33: Sea el sistema de ecuaciones:

ax + by = c
a2 x + dy + ez = f
hz + gx = i

⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣ ⎦
2
¿Qué requisito(s) debe cumplir “a” –si es posible- para que dicho sistema tenga
solución única?
Solución. Ordenando elsistema entérminos matriciales:
⎡ a b 0⎤ ⎡x ⎤ ⎡c ⎤
⎢ ⎢
a d e y = f
o AX = b
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ g 0 h⎢ z i
Para que el sistema tenga solución única, bastará que el determinante del sistema sea
diferente de cero. Obteniendo
hd ±
det(A) ≠ −a2
bh + adh+ beg . Haciendo “a” como
(hd)
2
+ 4(bh)(beg)
variable se tendrá que: a ≠
2bh
Ejercicio 34: Sea el sistema de ecuaciones:
-2x + 3y +w = t bx
+ 2w +4z = 5t
w – 3y + x = -3
-2y – x +bz +4w = 9
Donde t es una constante, identifique formalmente la condición que debe reunir “b ”
para que elsistema tenga solución única.
Solución. Sea elsistema de ecuaciones matricialmente:
⎡−2 3 0 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ t ⎤
⎢ b 0 4 2⎢ ⎢ y ⎢ ⎢ 5t ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎢ 1 −3 0 1⎢ ⎢ z ⎢ ⎢−3⎢
⎢
−1 −2 b 4
⎢ ⎢
w
⎢ ⎢
9
⎢
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Bastará con que el determinante sea diferente de cero. Para ello, se elige la 3era

columna como pivote y se procede a usar la técnica de los menores (sección 2.4.2).
b 3 1 −2 3 1 −2 3 1 −2 3 1
det(A) = 0(−1)1+3
1 0 2 + 4 (−1)2+3
1 −3 1 + 0 (−1)3 +3
b 0 2 + b (−1)4 +3
b 0 2
−1 −2 4 −1 −2 4 −1 −2 4 1 −3 1

−2 3 1 −2 3 1
det(A) = 4 (−1)2+3
1 −3 1 + b (−1)4+3
b 0 2
−1 −2 4 1 −3 1
det(A) = −4(0) − b[−6b − 6] .... det(A) = 6b(b + 1) .
Entonces, 6b ( b + 1 ) ≠ 0 ⇒ b ≠ 0 ⋀ b ≠ -1
Ejercicio 35: Resolverel siguiente sistema de ecuaciones por Cramer y corroborar el
resultado mediante elproceso X = A-1b, siendo X el vector solución.
3x – 4y – 6z = -16
4x – y – z = 5
x -3y – 2z = -2
Solución. Ordenando matricialmente:
⎡3 −4 −6⎤ ⎡x ⎤ ⎡−16⎤
⎢4 −1 −1⎢ ⎢y ⎢ = ⎢ 5 ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢⎣1 −3 −2⎢⎦ ⎢⎣z ⎢⎦ ⎢⎣ −2 ⎢⎦
El determinante general será: 35.
Aplicando Cramer:
−16
5
−2
−4 −6
−1 −1
−3 −2 70
x = = = 2
35 35
3 −16 −6
4 5 −1
1 −2
y =
−2
=
−70
= −2
35 35
3 −4 −16

4 −1 5
1 −3 −2 175
z = = = 5
35 35

⎢ ⎢
⎣ ⎦
Aplicando X = A-1b: La matriz de cofactores será:
⎡ −1 −1 4 −1 4 −1 ⎤
⎢+ − + ⎢
⎢ −3
⎢ −4
−2 1
−6 3
−2 1
−6 3
−3 ⎢
−4 ⎢ ⎡ −1 7 −11⎤
C = ⎢− + − ⎢ , lo que es igual C = ⎢10 0 5 ⎢
⎢ −3 −2 1 −2 1 −3 ⎢ ⎢ ⎢
⎢
−4 −6 3 −6 3 −4
⎢ −2 −21 13
⎢+ − + ⎢
−1 −1 4 −1 4 −1
⎡ −1 10 −2 ⎤
Ct
= ⎢ 7 0 −21⎢ = Adj(A)
⎢ ⎢
⎢⎣−11 5 13 ⎢⎦
pero recordando que: X =
1
det(A)
adj(A)b, entonces:
⎡ −1 10 −2 ⎤ ⎡−16⎤
X =
1 ⎢
7 0 −21
⎢ ⎢
5
⎢
35 ⎢ ⎢⎢ ⎢
−11 5 13 −2
lo cual operando apropiadamente:
⎡ 2 ⎤
X = ⎢−2⎢
5
Ejercicio 36: Obtenga la det(A) si
⎡1 1 1 1⎤
⎢
2 0 5 0
⎢
A = ⎢ ⎢
⎢3 9 2 3⎢
⎢
4 6 5 6
⎢

Solución. El determinante puede resolverse por diversas formas. La forma más
sencilla es usar la segunda fila ya que tiene dos ceros y con ello los subdeterminantes
respectivos también serán cero, reduciendo los cálculos. Así:

1 1 1 1 1 1
det(A) = −2 9 2 3 − 5 3 9 3
6 5 6 4 6 6
= −2(−6) − 5(12) = −48
Los determinantes de 3x3 pueden resolverse por Sarrus o por cofactores.
Ejercicio 37: Dado el siguiente modelo, donde T=impuestos y t=tasa impositiva sobre
la renta, obtenga elingreso de equilibrio, Ye usando determinantes (Cramer).
Y = C + I0 + G0
C = a + b ( Y – T ) (a > 0, 0 < b < 1)
T= d + tY (d > 0, 0 < t < 1)
Solución. Es un sistema de 3 ecuaciones, pero se pueden reducir a 2 variables
endógenas, entonces solo se requiere 2 ecuaciones. Si se dejan 3 ecuaciones, con
variables endógenas, Y, C y T, el resultado es el mismo. Incorporando la tercera
ecuación en la segunda se tiene:
btY – bY + C = a – bd
Y – C = I0 + G0
En notación matricial:
⎡(bt − b) 1 ⎤ ⎡Y⎤ ⎡ (a − bd) ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢
⎣ 1 −1⎦ ⎣C⎦ ⎣(I0 + G0 )⎦
(a − bd) 1
Y =
(I0 +G0) −1
=
(bd−a)−(I0 +G0)
b − bt − 1 b(1− t) −1
Ejercicio 38: Determine “a” (resolver para “a”) de tal forma que el sistema no tenga
solución única, siendo:
⎡−2 1 −4 −2⎤
⎢ −1 a 0 −3⎢
A = ⎢ ⎢
⎢ a −1 −2 1 ⎢
⎢
4 2 −1 4
⎢
⎣ ⎦

4 4
⎢⎢
Solución. Eligiendo la columna 3 como pivote:
⎡−1 a −3⎤ ⎡−2 1 −2⎤ ⎡−2 1 −2⎤
det(A) = −4(−1)1 +3 ⎢ a −1 1 ⎢ + 0(−1)5
[...] + (−2)(−1)3 +3 ⎢−1 a −3⎢ + (−1)(−1)4 +3 ⎢−1 a −3⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢⎣ 4 2 4 ⎢⎦ ⎢⎣ 4 2 4 ⎢⎦ ⎢⎣ a −1 1
det(A) = -4 [-2(2a2+ a + 3 ) ] + (-2)[-16] + [2a2 - 5a + 5]
det (A) = 18 a2 + 3 a + 61
Se requiere que det(A)=0 entonces:
Usando: −b± b
2
−4ac
2a
se tiene que: a =
−3± 4383i
36
Ejercicio 39: Usando inversión de matrices y Cramer, resolver elsiguiente sistema:
2x1 + 4x2 - 3x3 =12
3x1 - 5x2 + 2x3 =13
-x1 + 3x2 + 2x3 =17
Solución. El primer paso es averiguar si el determinante es diferente de cero. De ser
así, existirá solución única y se puede proceder con los cálculos.
⎡ 2 4 −3⎤
det(A) = ⎢ 3 −5 2 ⎢ = −76 ≠ 0
⎢ ⎢
⎢⎣−1 3 2 ⎢⎦
Entonces, usando la inversa
1
X =
det(A) adj(A)b = A-1b
X= A-1b
Si:
⎡ 17 7 ⎤
⎢ 4 4 ⎢
⎢ ⎢
⎡ 17 7 ⎤
⎢ 4 4 ⎢
⎡12⎤ ⎡133⎤ ⎡7⎤
A −1
=
1 ⎢ 2 −
1 13 ⎢ X =
1 ⎢ 2 −
1 13 ⎢ ⎢
13
⎢
=
1 ⎢
76
⎢
=
⎢
4
⎢
19 ⎢ 4 4 ⎢ entonces 19 ⎢ 4 4 ⎢ ⎢ ⎢ 19 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣17 ⎢⎣114 ⎢⎣6

⎢−1
⎢⎣
5 11
⎢
2 2 ⎢⎦
⎢−1
⎢⎣
5 11
⎢
2 2 ⎢⎦

Usando Cramer:
12 4 −3
13 −5 2
17 3 2
x1
= =
det(A)
−532
= 7
−76
2 12 −3
3 13 2
−1 17 2 −304
x2 = = = 4
det(A) −76
2 4 12
3 −5 13
−1 3 17 −456
x3 = = = 6
det(A) −76
Ejercicio 40: En elsiguiente sistema, encontrar:
a) La condición para que elsistema tenga solución.
b)Determine x2.
Solución.
2x1 + ax2 - 3x3 =12
3x1 - ax2 + 2x3 = a
-x1 + 3x2 + 2x3 =17
a) Para que elsistema tenga solución única debe cumplirse que la det(A) ≠ 0
2 a −3
det(A) = 3 −a 2 = −9a − 39
−1 3 2
Si det (A) ≠ 0 ⇒ -9a -39 ≠ 0 ⇒ a ≠ -39/9. Esta es la condición.

b)Para encontrar x2, bastara aplicar CRAMER: x =
det(x2 )
2
det(A)

2 12 −3
det(x2 ) = 3 a 2
−1 17 2
= a − 317
entonces x =
a−317
2
−9a − 39
2.6 Problemas Propuestos
1. Hallar la solución del siguiente sistema:
7x1 - x2 - x3 = 0
10x1 + 2x2 + x3 = 8
6x1 + 3x2 - 2x3 = 7
2. Obtenga los precios de equilibrio de:
c1P1 + c2P2 = -c0
ƴ1P1 + ƴ2P2 = -ƴ0
3. Dado el siguiente modelo, donde T=impuestos y t=tasa impositiva sobre la renta,
obtenga elingreso de equilibrio, Ye.
Y = C + I0 + G0
C = a + b ( Y – T ) (a > 0, 0 < b < 1)
T= d + tY (d > 0, 0 < t < 1)

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