Este documento define y explica los conceptos básicos de las matrices. Resume que una matriz es una tabla rectangular de números reales con filas y columnas, donde cada elemento se identifica por su fila y columna (aij). Explica los tipos básicos de matrices como cuadradas, diagonales, triangulares, columna, fila, así como conceptos como igualdad, traspuesta, traza, operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, presenta métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como descomposición LU y Gauss-Jordan.

1. Matrices: Una matriz m×n es una tabla o arreglo rectangular A de números reales con m
reglón (o filas) y n columnas. (Reglones son horizontales y columnas son verticales.) Los
números m y n son las dimensiones de A. Los números reales en la matriz se llaman sus
entradas. La entrada en reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Ejemplo:
Elemento de una Matriz: un elemento genérico de la matriz A se designa mediante aij
donde el primer subíndice i hace referencia a la fila en que está situado el elemento,
mientras que el segundo subíndice j hace referencia a la columna.
Ejemplo:
Igualdad de Matrices: dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada
elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es
decir:
Ejemplo:
Matriz Columna: es una matriz de dimensión m x 1.
Ejemplo:
Matriz Fila: es una matriz de dimensión 1 x n.
Ejemplo:
Matriz Cuadrada: es aquella que tiene igual no de filas que de columnas. En una matriz
cuadrada, los elementos , con forman la diagonal principal mientras que se
llama diagonal secundaria a los elementos , que verifican que: .
Ejemplo:
Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos no nulos son los de la
diagonal principal.
Ejemplo:

2. Matriz Triangular: es una matriz cuadrada que tiene nulos los elementos que están a
un mismo lado de la diagonal principal. Una matriz triangular puede ser de dos tipos:
 Triangular superior: Si los elementos nulos están debajo de la diagonal principal:
Ejemplo:
 Triangular inferior: Si los elementos nulos están encima de la diagonal principal:
Ejemplo:
Matriz Escalar: se dice que una matriz diagonal es escalar cuando todos los elementos de la
diagonal principal son idénticos. Es decir, en una matriz escalar se verifica que aii = k para todo i.
Ejemplo:
Matriz Identidad: es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal
principal iguales a 1.
Ejemplo:
Traza de una Matriz: sea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz
A y se denota por tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal
principal, es decir:
Ejemplo:
Matriz Traspuesta: AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por
las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la
matriz n×m con bij = aji.
Ejemplo:

3. Matriz Simétrica: es toda matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, ,
o también,
Ejemplo:
Matriz Anti-simétrica: es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su
traspuesta: , es decir: . Como es natural, los elementos de la diagonal
principal deben ser todos nulos.
Ejemplo:
Operaciones con Matrices:
Suma de Matrices: sean dos matrices dimensión m x n. La suma de A con B
es otra matriz C también de dimensión m x n definida por:
Ejemplo:
Resta de Matrices: la resta de matrices consiste en restar las entradas que son
correspondientes.
Ejemplo:
[ 5 0 8 -2 3 1 ] - [ 1 2 1 4 1 0 ] = [ 5-1 0-2 8-1 -2-4 3-1 1-0 ] = [ 4 -2 7 -6 2 1 ]
Producto de un Escalar por una Matriz: consiste en multiplicar el escalar por cada una
de las entradas de la matriz. Un escalar es un número real, constante o complejo que sirve
para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin dirección.
Ejemplo:
Multiplica el escalar 7 por la matriz
7 × [ 5 0 8 -2 3 1 ] = [ 7 × 5 7 × 0 7 × 8 7 × -2 7 × 3 7 × 1 ] = [ 35 0 56 -14 21 7 ]
Producto de Matrices: Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con
dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimensiones m×p. La
entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por
multiplicar sus entradas correspondientes y sumar los resultados.
Ejemplo:
Propiedades de las operaciones con Matrices: Sean A, B y C matrices y α, β y γ escalares:

4. Matrices no Singulares: matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz
singular no tiene matriz inversa.
Ejemplo:
Matrices invertibles: una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no
singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz
inversa de A y representada como A−1, tal que: donde In es
la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una
matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo
si su determinante es nulo. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz
inversa de una matriz dada.

5. Operaciones elementales por fila de una matriz: para una matriz A se definen tres
operaciones elementales por renglones (o columnas), nos remitiremos a las operaciones por
renglones. Cuando se efectúan las operaciones elementales se obtiene una matriz
equivalente y se utiliza el símbolo de equivalencia.
Ejemplo:
Matrices Particionadas: Existenrazonesparaquererparticionaruna matriz A, algunas de ellas
son: (i). La partición puede simplificar la escritura de A. (ii) La partición puede exhibir detalles
particularese interesantesde A.(iii) Laparticiónpuede permitirsimplificarcálculosque involucran
la matriz A. Submatrices Operaciones con matrices particionadas: A veces es necesario
considerar matrices que resultan de eliminar algunas filas y/o columnas de alguna matriz
dada, como se hizo por ejemplo, al definir el menor correspondiente al elemento aij de una
matriz A= [aij]m×n
Ejemplo:

6. Descomposición LU: pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de
descomposición LU:
 Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
 Resolver Ly = b (para encontrar y).
 El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
 Realizar Ux = y (para encontrar x).
 El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda
los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
Ejemplo:
Método de Gauss Jordan: determina las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Este se resuelve cuando se obtienen sus soluciones mediante
la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. Transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior.
Ejemplo: