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MATRICES
1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser
números ordenados en filas y columnas.

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m
filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo
m y n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras
minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe
la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz: A = (aij)


                                                                         ………..                        Fila
Por comodidad se escribirá    A =            =                           ………..
                                                                         ………..
                                                     :           :       :               :
                                                                         ………..
ORDEN DE UNA MATRIZ
                                                                                                      Columna
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.

mxn

                     número de filas

numero de columnas

Amxn           A Є Mmxn

Ejemplos:

                                                                     4       3      1
                                                            D=
                                                                     0       2      5
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ:               aij
A=   (aij)mxn                                 a ij
                                                                       posición columna

                                                       posición fila

Ejemplo:

                                                                                          ………..
            -2       3       1                                   =                        ………..
A=          0        2       1                                                            ………..
            0        4       -3                                               :       :   :       :
                                                                                          ………..

           a11= -2
           a23=1



DIAGONAL DE UNA MATRIZ

En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados
desde a1x1 hasta anxn.



Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.

                                               j
                                      ………..
           =                          ………..
                                      ………..
                         :        :   :            :
                                      ………..

                              j
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
Ejercicios:
Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:




                                                  A=




                                                   A=



CLASES DE MATRICES

Tipo de matriz                        Definición                        Ejemplo
                           Aquella matriz que tiene una sola fila,
 FILA
                           siendo su orden 1×n

                           Aquella matriz que tiene una sola
 COLUMNA                   columna, siendo su orden m×1




                           Aquella matriz que tiene distinto
 RECTANGULAR
                           número de filas que de columnas,
                           siendo su orden m×n ,

                           Dada una matriz A, se llama
                           traspuesta de A a la matriz que se
                           obtiene cambiando ordenadamente
 TRASPUESTA
                           las filas por las columnas.
                           Se representa por At ó AT
La matriz opuesta de una dada es la
                 que resulta de sustituir cada
 OPUESTA
                 elemento por su opuesto. La opuesta
                 de A es -A.




                 Si todos sus elementos son cero.
 NULA            También se denomina matriz cero y
                 se denota por



                 Aquella matriz que tiene igual
                 número de filas que de columnas, m =
                 n, diciéndose que la matriz es          Diagonal principal
                 de orden n.

                 Diagonal principal : son los
                 elementos a11 , a22 , ..., ann
                                                         Diagonal secundaria
 CUADRADA        Diagonal secundaria : son los
                 elementos aij con i+j = n+1

                 Traza de una matriz cuadrada : es la
                 suma de los elementos de la diagonal
                 principal, notada por




                 Es una matriz cuadrada que es igual a
SIMÉTRICA        su traspuesta.
                 A = At , a ij = a ji


                 Es una matriz cuadrada que es igual a
                 la opuesta de su traspuesta.
ANTI SIMÉTRICA
                 A = -At , aij = -aji
                 Necesariamente aii = 0
Es una matriz cuadrada que tiene
              todos sus elementos nulos excepto los
              de la diagonal principal, es decir:
DIAGONAL
              Sea la Matriz A=   (aij)mxn
              ssi:




              Es una matriz cuadrada que tiene
              todos sus elementos nulos excepto los
ESCALAR
              de la diagonal principal que son
              iguales

              También se denomina matriz unidad.
              Es una matriz cuadrada que tiene
              todos sus elementos nulos excepto los
              de la diagonal principal que son
IDENTIDAD     iguales a 1. Es decir:
              Sea la Matriz I=   (aij)mxn
              I es matriz identidad ssi:




              Matriz triangular Superior
              Sea la Matriz A=   (aij)mxn
              ssi:
                                                      T. superior
TRIANGULAR    Matriz triangular Inferior

              Sea la Matriz A=   (aij)mxn
              ssi:
                                                      T. inferior

              Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
              Nota: La identidad no es la única
              idempotente
Una matriz ortogonal es
             necesariamente cuadrada e
             invertible: A-1 = AT
             La inversa de una matriz ortogonal es
ORTOGONAL    una matriz ortogonal.
             El producto de dos matrices
             ortogonales es una matriz ortogonal.
             El determinante de una matriz
             ortogonal vale +1 ó -1.


             Una matriz es normal si conmuta con
             su    traspuesta.   Las     matrices
NORMAL       simétricas,   anti   simétricas    u
             ortogonales son necesariamente
             normales.

             Es una matriz cuadrada ( tiene igual
             número de filas que de columnas) tal
             que su cuadrado es igual a la matriz
INVOLUTIVA                                               A2 = I
             unidad, es decir:
                    A es involutiva si A x A = I


             Decimos que una matriz cuadrada A        A es nilpotente de
             es Nilpotente de orden r si y sólo si   orden 3,
             se verifica que        , ( r es el
NILPOTENTE
             menor entero positivo )

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Definicion y clasificacion_de_matrices

  • 1. MATRICES 1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij) ……….. Fila Por comodidad se escribirá A = = ……….. ……….. : : : : ……….. ORDEN DE UNA MATRIZ Columna Indica el número de filas y el número de columnas que tiene. mxn número de filas numero de columnas Amxn A Є Mmxn Ejemplos: 4 3 1 D= 0 2 5
  • 2. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aij A= (aij)mxn a ij posición columna posición fila Ejemplo: ……….. -2 3 1 = ……….. A= 0 2 1 ……….. 0 4 -3 : : : : ……….. a11= -2 a23=1 DIAGONAL DE UNA MATRIZ En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados desde a1x1 hasta anxn. Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn. j ……….. = ……….. ……….. : : : : ……….. j Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
  • 3. Ejercicios: Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones: A= A= CLASES DE MATRICES Tipo de matriz Definición Ejemplo Aquella matriz que tiene una sola fila, FILA siendo su orden 1×n Aquella matriz que tiene una sola COLUMNA columna, siendo su orden m×1 Aquella matriz que tiene distinto RECTANGULAR número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente TRASPUESTA las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
  • 4. La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada OPUESTA elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. Si todos sus elementos son cero. NULA También se denomina matriz cero y se denota por Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es Diagonal principal de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria CUADRADA Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por Es una matriz cuadrada que es igual a SIMÉTRICA su traspuesta. A = At , a ij = a ji Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. ANTI SIMÉTRICA A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
  • 5. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir: DIAGONAL Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los ESCALAR de la diagonal principal que son iguales También se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son IDENTIDAD iguales a 1. Es decir: Sea la Matriz I= (aij)mxn I es matriz identidad ssi: Matriz triangular Superior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. superior TRIANGULAR Matriz triangular Inferior Sea la Matriz A= (aij)mxn ssi: T. inferior Una matriz A es idempotente si: IDEMPOTENTE Nota: La identidad no es la única idempotente
  • 6. Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es ORTOGONAL una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1. Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices NORMAL simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales. Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz INVOLUTIVA A2 = I unidad, es decir: A es involutiva si A x A = I Decimos que una matriz cuadrada A A es nilpotente de es Nilpotente de orden r si y sólo si orden 3, se verifica que , ( r es el NILPOTENTE menor entero positivo )