Una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. Se define por su orden m x n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, simétricas y diagonales. Las matrices se utilizan en álgebra lineal para representar sistemas de ecuaciones y transformaciones lineales.
Este documento presenta ejemplos resueltos de sistemas lineales con parámetros. Explica cómo discutir sistemas lineales con parámetros según el rango de la matriz de coeficientes y los valores de los parámetros. También muestra cómo resolver sistemas lineales con parámetros mediante el método de Cramer.
El documento explica el producto cruz o vectorial de dos vectores. El producto cruz es un vector perpendicular a los dos vectores originales, con sentido igual al giro de un sacacorchos de un vector al otro. Su módulo es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores. Se proveen ejemplos de calcular el producto cruz de vectores y usarlo para hallar el área de figuras geométricas.
Las variables aleatorias se clasifican en discretas, continuas y mixtas. Las variables discretas asignan valores numéricos a resultados de experimentos aleatorios con un recorrido finito o infinito numerable, como los posibles resultados de tirar un dado dos veces. Las variables continuas tienen una función de distribución continua y pueden asumir cualquier valor en un intervalo. Las variables mixtas son a la vez discretas y continuas, asumiendo valores puntuales y por intervalos.
Este documento explica los conceptos básicos de funciones lineales, afines y de proporcionalidad inversa. Define una función como una correspondencia entre dos conjuntos numéricos donde cada valor de la variable independiente x se asocia a un único valor de la variable dependiente y. Describe que las funciones lineales relacionan variables directamente proporcionales y tienen una gráfica en forma de recta que pasa por el origen, mientras que las funciones afines tienen una gráfica recta pero no pasan por el origen y las funciones de proporcionalidad inversa tienen una gr
Este documento describe cómo calcular el área de diferentes regiones planas y curvas utilizando la integral definida. Explica cómo calcular el área debajo de una curva, entre curvas, de regiones simple-y, y en coordenadas polares. Proporciona ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de área.
Este documento define y explica diferentes tipos de ángulos, incluyendo ángulos adyacentes, opuestos, complementarios, suplementarios, correspondientes, alternos, contrarios y colaterales. También describe ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal, y enlista teoremas relacionados con ángulos, como que un círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro y que los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.
El documento presenta conceptos y condiciones para determinar la congruencia de triángulos. Explica que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos respectivos son iguales. Luego detalla tres casos suficientes para la congruencia: ángulo-lado-ángulo, lado-ángulo-lado y lado-lado-lado. Finalmente, resuelve problemas aplicando estas condiciones.
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Este documento describe varios puntos y líneas notables de un triángulo, incluyendo las medianas, mediatrices, alturas, bisectriz, ortocentro, circuncentro, baricentro e incentro. Define cada uno y explica brevemente cómo se relacionan con los lados y vértices del triángulo.
1) El documento describe teoremas y conceptos relacionados con la proporcionalidad, la semejanza y la congruencia en geometría. 2) Incluye el Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas relacionados con la circunferencia. 3) También define conceptos como circunferencia, círculo, ángulos inscritos y sector circular.
Determinantes de Matrices Álgebra Lineal. Presentación diseñada por el MTRO. ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento introduce el concepto de determinante y sus métodos de cálculo. Explica que un determinante es un conjunto de números ordenados de una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego describe tres métodos para calcular determinantes de 2x2 y 3x3: por diagonales, por adjuntar columnas o filas, y por cofactores. El objetivo es que los estudiantes entiendan y aprendan a calcular determinantes.
Este documento introduce el concepto fundamental de límite en cálculo. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando se acerca a un punto, y provee definiciones formales. Además, describe tres métodos para calcular límites: numérico, gráfico y algebraico. Incluye ejemplos para ilustrar cada método.
Interpretacion geométrica la derivada de una función teoría derivadasMatemáticas sencillas
Bienvenidos a este material didáctico digital que muestra una breve explicación matemática ilustrada sobre las derivadas de una función, su definición, significado e interpretación geométrica.
Limites, continuidad y derivadas de funcionesCristina Mui
Este documento presenta una introducción a los conceptos de límite y derivada de funciones. Explica qué son los límites y cómo se calculan los límites laterales izquierdo y derecho. También define la continuidad de funciones y los diferentes tipos de discontinuidades. Finalmente, incluye varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento trata sobre los conceptos de límite y continuidad de funciones. Define el límite de una función en un punto como el valor al que se acerca la función cuando la variable se acerca al punto, y explica cómo calcular límites laterales e infinitos. Luego, introduce la noción de continuidad como aquellas funciones cuya imagen en un punto es igual a su límite en dicho punto. Finalmente, presenta algunas propiedades de las funciones continuas.
Este documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones. Explica siete tipos de límites (tipos 1 al 7), incluyendo cómo evaluar y resolver cada tipo. También cubre propiedades algebraicas de límites, límites en el infinito, límites laterales, límites trigonométricos y el teorema del emparedado. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de límite.
Este documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones, tipos de matrices especiales como matrices identidad, simétricas y antisimétricas, y operaciones con matrices como adición, sustracción, multiplicación y transposición. También incluye ejemplos para ilustrar conceptos como las matrices de ventas de una compañía y operaciones entre matrices.
El documento explica las ecuaciones canónicas de las elipses con centro en (0,0) y focos en diferentes posiciones. Define la elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos focos (F1 y F2) es constante (2a). Deriva la ecuación canónica x2/a2 + y2/b2 = 1 cuando el eje mayor está en el eje x y F1=(-c,0), F2=(c,0). También cubre el caso cuando el eje mayor está en el eje y.
Este documento describe el producto escalar de dos vectores. Explica que el producto escalar es el producto de los módulos de dos vectores por el coseno del ángulo entre ellos. También muestra cómo calcular el coseno del ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar, y define el producto escalar como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Finalmente, indica cómo expresar los vectores en función de sus componentes cartesianas para calcular su producto escalar.
El documento describe las propiedades de las operaciones básicas con números reales. Explica que la suma de números reales es asociativa, conmutativa y tiene un elemento neutro de 0. También define la resta como la suma de un número y el opuesto de otro, y la multiplicación y división siguen las reglas habituales para números enteros y racionales.
Para encontrar el área entre dos curvas, se consideran dos funciones f(x) y g(x) continuas en el intervalo [a,b]. Si la gráfica de g(x) está debajo de f(x), el área entre las curvas es el área de f(x) menos el área de g(x) en ese intervalo. Para curvas que se intersectan, se dividen los intervalos en las secciones por encima y debajo y se suman las áreas. El área se puede calcular integrando funciones que representan las curvas entre los puntos de intersección o
El documento presenta los Estándares Intelectuales Universales (EIU) que deben aplicarse para evaluar la calidad del razonamiento. Los 7 EIU son: claridad, exactitud, precisión, pertinencia, profundidad, amplitud y lógica. El documento explica cada estándar y proporciona ejemplos de preguntas que pueden usarse para aplicarlos.
Este documento introduce el concepto matemático de diferencial. Define el diferencial como la mejor aproximación lineal a una función en un punto, representada por su recta tangente. Proporciona ejemplos para verificar que el cambio en una función es aproximadamente igual a su diferencial para incrementos pequeños de la variable independiente. Finalmente, presenta un ejemplo práctico donde se utiliza el diferencial para estimar el cambio en el área de una placa cuando su lado aumenta ligeramente.
Intervalos de confianza para la diferencia de proporcionesYazmin Venegas
El documento describe los intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales como proporciones. Explica que un intervalo de confianza del 95% indica que el verdadero valor del parámetro se encuentra dentro de ese rango con un 95% de probabilidad. Luego detalla cómo construir intervalos de confianza para una proporción poblacional o la diferencia entre dos proporciones, basándose en el tamaño muestral y el valor crítico z.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, tipos (compatibles e incompatibles), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación, reducción, método gráfico, método de Gauss y eliminación de Gauss-Jordan. También presenta un ejemplo de cómo aplicar sistemas de ecuaciones lineales para resolver un problema de la vida real sobre un examen.
razones trigonometricas en triangulos rectangulosmarisolcardoza2
Este documento explica las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en triángulos rectángulos. Define estas razones como las relaciones entre los lados opuesto, adyacente e hipotenusa del triángulo. Proporciona la abreviatura SOH-CAH-TOA para recordar estas definiciones y explica que las razones trigonométricas pueden expresarse unas en función de las otras. Finalmente, señala que las funciones trigonométricas también se conocen como funciones circulares debido a su relación con
El documento describe el método de división sintética para dividir polinomios. Este método permite dividir los coeficientes de los polinomios eliminando las variables y exponentes, permitiendo sumar en lugar de restar. Se explican los pasos a seguir, como escribir el problema, invertir el signo de la constante del divisor, y realizar una serie de multiplicaciones y sumas para obtener el cociente y el residuo sin efectuar la división completa.
Clasificacion de matrices y operaciones entre matrices(suma, producto de una ...Carlita Vaca
1) Se describen diferentes tipos de matrices como fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, simétrica, antisimétrica y triangular.
2) Se explican conceptos como traza, diagonal principal y secundaria.
3) Se detallan operaciones como suma, multiplicación por escalar y producto entre matrices así como sus propiedades.
1) Se describen diferentes tipos de matrices como fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, simétrica, antisimétrica y triangular.
2) Se explican conceptos como la traza, las diagonales principal y secundaria.
3) Se detallan operaciones como la suma, el producto por un escalar y el producto de matrices.
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1) El documento describe teoremas y conceptos relacionados con la proporcionalidad, la semejanza y la congruencia en geometría. 2) Incluye el Teorema de Pitágoras, Teorema de Thales, criterios de semejanza y congruencia de triángulos, y teoremas relacionados con la circunferencia. 3) También define conceptos como circunferencia, círculo, ángulos inscritos y sector circular.
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Este documento introduce el concepto de determinante y sus métodos de cálculo. Explica que un determinante es un conjunto de números ordenados de una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego describe tres métodos para calcular determinantes de 2x2 y 3x3: por diagonales, por adjuntar columnas o filas, y por cofactores. El objetivo es que los estudiantes entiendan y aprendan a calcular determinantes.
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Este documento presenta los conceptos básicos de límites de funciones. Explica siete tipos de límites (tipos 1 al 7), incluyendo cómo evaluar y resolver cada tipo. También cubre propiedades algebraicas de límites, límites en el infinito, límites laterales, límites trigonométricos y el teorema del emparedado. Contiene ejemplos y ejercicios resueltos de cada tipo de límite.
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El documento presenta los Estándares Intelectuales Universales (EIU) que deben aplicarse para evaluar la calidad del razonamiento. Los 7 EIU son: claridad, exactitud, precisión, pertinencia, profundidad, amplitud y lógica. El documento explica cada estándar y proporciona ejemplos de preguntas que pueden usarse para aplicarlos.
Este documento introduce el concepto matemático de diferencial. Define el diferencial como la mejor aproximación lineal a una función en un punto, representada por su recta tangente. Proporciona ejemplos para verificar que el cambio en una función es aproximadamente igual a su diferencial para incrementos pequeños de la variable independiente. Finalmente, presenta un ejemplo práctico donde se utiliza el diferencial para estimar el cambio en el área de una placa cuando su lado aumenta ligeramente.
Intervalos de confianza para la diferencia de proporcionesYazmin Venegas
El documento describe los intervalos de confianza para estimar parámetros poblacionales como proporciones. Explica que un intervalo de confianza del 95% indica que el verdadero valor del parámetro se encuentra dentro de ese rango con un 95% de probabilidad. Luego detalla cómo construir intervalos de confianza para una proporción poblacional o la diferencia entre dos proporciones, basándose en el tamaño muestral y el valor crítico z.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo su definición, tipos (compatibles e incompatibles), y métodos para resolverlos como sustitución, igualación, reducción, método gráfico, método de Gauss y eliminación de Gauss-Jordan. También presenta un ejemplo de cómo aplicar sistemas de ecuaciones lineales para resolver un problema de la vida real sobre un examen.
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Este documento explica las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) en triángulos rectángulos. Define estas razones como las relaciones entre los lados opuesto, adyacente e hipotenusa del triángulo. Proporciona la abreviatura SOH-CAH-TOA para recordar estas definiciones y explica que las razones trigonométricas pueden expresarse unas en función de las otras. Finalmente, señala que las funciones trigonométricas también se conocen como funciones circulares debido a su relación con
El documento describe el método de división sintética para dividir polinomios. Este método permite dividir los coeficientes de los polinomios eliminando las variables y exponentes, permitiendo sumar en lugar de restar. Se explican los pasos a seguir, como escribir el problema, invertir el signo de la constante del divisor, y realizar una serie de multiplicaciones y sumas para obtener el cociente y el residuo sin efectuar la división completa.
Clasificacion de matrices y operaciones entre matrices(suma, producto de una ...Carlita Vaca
1) Se describen diferentes tipos de matrices como fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, simétrica, antisimétrica y triangular.
2) Se explican conceptos como traza, diagonal principal y secundaria.
3) Se detallan operaciones como suma, multiplicación por escalar y producto entre matrices así como sus propiedades.
1) Se describen diferentes tipos de matrices como fila, columna, rectangular, traspuesta, opuesta, nula, cuadrada, diagonal, simétrica, antisimétrica y triangular.
2) Se explican conceptos como la traza, las diagonales principal y secundaria.
3) Se detallan operaciones como la suma, el producto por un escalar y el producto de matrices.
Las matrices son conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas. Se definen por su orden "m x n", indicando el número de filas y columnas. Los elementos individuales se denotan como aij según su posición fila i y columna j. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos aii desde la esquina superior izquierda a la inferior derecha.
Matrices son conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas. Se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas y subíndices. Una matriz de orden "m x n" tiene m filas y n columnas. La diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos a11, a22, a33, etc.
El documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su historia, definición y tipos. Las matrices se definen como conjuntos de números ordenados en filas y columnas y se utilizan para representar sistemas de ecuaciones lineales. El documento explica los diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas y de identidad, así como operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación por escalares y producto de matrices.
Este documento define y explica los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su historia, definición, tipos (fila, columna, rectangular, triangular), operaciones (suma, resta, multiplicación por escalar, multiplicación), propiedades (asociatividad, conmutatividad, distribución), determinantes, matrices traspuestas e inversas, y matrices simétricas. También proporciona ejemplos ilustrativos de cada uno de estos conceptos.
Este documento trata sobre las matrices. Define una matriz como un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas. Explica los tipos básicos de matrices como las matrices cuadradas, rectangulares, filas, columnas, nulas y identidad. También describe propiedades especiales como las matrices simétricas, ortogonales, triangulares e inversas. El objetivo es establecer las reglas del álgebra de matrices para realizar cálculos con ellas.
El documento define una matriz como un conjunto de elementos dispuestos en filas y columnas. Explica diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, simétricas y de identidad. También describe operaciones básicas con matrices como suma, producto, inversa y determinante.
Este documento define y explica conceptos básicos sobre matrices y determinantes. Introduce las definiciones de matriz, tipos de matrices como matrices fila, columna, cuadrada, simétrica y operaciones con matrices como traspuesta, suma, diferencia y producto. También explica los conceptos de pivote, matriz escalonada, rango de una matriz, matrices inversibles y cómo calcular determinantes de matrices de diferentes órdenes así como propiedades de los determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, nulas e identidad. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Introduce las definiciones de diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, triangulares, identidad y nulas. Explica operaciones con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. Finalmente, establece objetivos de aprendizaje relacionados con resolver sistemas de ecuaciones lineales usando propiedades de matrices y determinantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal relacionados con matrices, determinantes y sistemas lineales. Define diferentes tipos de matrices como matrices cuadradas, simétricas, antisimétricas y nulas. También introduce operaciones básicas con matrices como suma, multiplicación por un escalar y producto. El objetivo es resolver sistemas de ecuaciones lineales de hasta 4 ecuaciones usando estas herramientas.
Este documento proporciona una introducción a las matrices, incluyendo su definición, notación, tipos (rectangular, fila, columna, cuadrada, unidad, triangular, escalar, transpuesta, simétrica, antisimétrica), operaciones (suma, multiplicación por escalar), y propiedades (conmutatividad, asociatividad, identidad, distribución). También presenta ejemplos para ilustrar conceptos como suma, multiplicación por escalar y matriz transpuesta.
Una matriz es una tabla de datos ordenados en filas y columnas. Las matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensión, multiplicar si el número de columnas de la primera es igual al de filas de la segunda, y tener una matriz inversa. Las propiedades más importantes de las matrices incluyen ser asociativas, tener elementos neutros y ser distributivas respecto a la suma.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de matrices triangulares superiores e inferiores, determinantes, regla de Sarrus, matrices bandeadas, suma y multiplicación de matrices, matrices transpuestas e inversas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre matrices, incluyendo definiciones de matrices triangulares superiores e inferiores, determinantes, regla de Sarrus, matrices bandeadas, suma y multiplicación de matrices, matrices transpuestas e inversas.
Este documento define diferentes tipos de matrices y describe operaciones básicas con ellas, incluyendo:
1) Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe tipos como matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y más.
2) Explica operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, trasposición, inversión y producto de matrices.
3) Detalla métodos para calcular la inversa de una matriz, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento define diferentes tipos de matrices y describe operaciones básicas con ellas, incluyendo:
1) Define matrices como conjuntos de elementos ordenados en filas y columnas, y describe tipos como matrices cuadradas, filas, columnas, nulas y más.
2) Explica operaciones como suma, resta, multiplicación por escalares, trasposición, inversión y producto de matrices.
3) Detalla métodos para calcular la inversa de una matriz, incluyendo el método de Gauss-Jordan.
Este documento define y explica varios tipos de matrices, incluyendo matrices triangulares, nulas, diagonales, identidad, simétricas, antisimétricas, y propiedades de suma y multiplicación de matrices como conmutatividad y asociatividad.
Similar a Definicion y clasificacion_de_matrices (20)
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La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial. Muchos países experimentaron fuertes caídas en el PIB y aumentos en el desempleo debido a los cierres generalizados y las restricciones a los viajes. Aunque las vacunas han permitido la reapertura de muchas economías, los efectos a largo plazo de la pandemia en sectores como el turismo y los viajes aún no están claros.
Este documento contiene 10 problemas de álgebra lineal y vectores resueltos. Los problemas incluyen sistemas de ecuaciones, vectores ortonormales, valores y vectores propios de una matriz, subespacios vectoriales y funciones lineales.
Este documento presenta tres problemas de álgebra lineal. El primero involucra determinar la inversa de una aplicación lineal dada por una matriz y verificar su biyectividad. El segundo implica hallar una matriz dada sus valores y vectores propios, y representar otra aplicación en dicha base. El tercero trata de encontrar un valor para que una aplicación sea biyectiva y determinar bases para su núcleo e imagen.
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El documento presenta varios problemas de álgebra lineal. El primero involucra determinar si un conjunto es linealmente dependiente y hallar un espacio vectorial generado. El segundo comprueba que una aplicación es lineal, determina si es inyectiva, y halla imágenes y bases. El tercero encuentra una aplicación lineal y sus bases. El último determina una matriz ortogonal tal que su producto con otra matriz es simétrica.
El 30% de la calificación proviene de pruebas diarias sobre la clase anterior, otro 30% proviene de deberes y consultas diarias como la resolución de ejercicios. El 40% restante proviene de un examen acumulativo al final del período que cubre todos los temas tratados.
Este documento describe las aplicaciones lineales y sus propiedades. Una aplicación lineal es una transformación entre espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. El documento explica que el núcleo de una aplicación lineal es el subconjunto de vectores que son mapeados al vector cero, mientras que la imagen es el subespacio vectorial formado por los vectores a los que son mapeados los vectores del dominio. Se proporcionan ejemplos para ilustrar estas definiciones y cómo calcular el núcleo e imagen
1) El documento describe conceptos básicos de aplicaciones lineales, incluyendo inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. 2) Explica el teorema de la dimensión para aplicaciones lineales y que si una aplicación es inyectiva o sobreyectiva, también lo es la otra. 3) Detalla los pasos para encontrar la aplicación lineal inversa y provee un ejemplo resuelto.
1. MATRICES
1.1 CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser
números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m
filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo
m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras
minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe
la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también
representa a toda la matriz: A = (aij)
……….. Fila
Por comodidad se escribirá A = = ………..
………..
: : : :
………..
ORDEN DE UNA MATRIZ
Columna
Indica el número de filas y el número de columnas que tiene.
mxn
número de filas
numero de columnas
Amxn A Є Mmxn
Ejemplos:
4 3 1
D=
0 2 5
2. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: aij
A= (aij)mxn a ij
posición columna
posición fila
Ejemplo:
………..
-2 3 1 = ………..
A= 0 2 1 ………..
0 4 -3 : : : :
………..
a11= -2
a23=1
DIAGONAL DE UNA MATRIZ
En álgebra lineal, la diagonal de una matriz cuadrada contiene los elementos situados
desde a1x1 hasta anxn.
Es decir, los elementos que van desde la esquina superior izquierda hasta la esquina
inferior derecha: a1x1, a2x2, a3x3.... anxn.
j
………..
= ………..
………..
: : : :
………..
j
Los elementos de la diagonal de la matriz A son: a1x1, a2x2, a3x3
3. Ejercicios:
Construir las siguientes matrices dadas las siguientes restricciones:
A=
A=
CLASES DE MATRICES
Tipo de matriz Definición Ejemplo
Aquella matriz que tiene una sola fila,
FILA
siendo su orden 1×n
Aquella matriz que tiene una sola
COLUMNA columna, siendo su orden m×1
Aquella matriz que tiene distinto
RECTANGULAR
número de filas que de columnas,
siendo su orden m×n ,
Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente
TRASPUESTA
las filas por las columnas.
Se representa por At ó AT
4. La matriz opuesta de una dada es la
que resulta de sustituir cada
OPUESTA
elemento por su opuesto. La opuesta
de A es -A.
Si todos sus elementos son cero.
NULA También se denomina matriz cero y
se denota por
Aquella matriz que tiene igual
número de filas que de columnas, m =
n, diciéndose que la matriz es Diagonal principal
de orden n.
Diagonal principal : son los
elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria
CUADRADA Diagonal secundaria : son los
elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la
suma de los elementos de la diagonal
principal, notada por
Es una matriz cuadrada que es igual a
SIMÉTRICA su traspuesta.
A = At , a ij = a ji
Es una matriz cuadrada que es igual a
la opuesta de su traspuesta.
ANTI SIMÉTRICA
A = -At , aij = -aji
Necesariamente aii = 0
5. Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
de la diagonal principal, es decir:
DIAGONAL
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
ESCALAR
de la diagonal principal que son
iguales
También se denomina matriz unidad.
Es una matriz cuadrada que tiene
todos sus elementos nulos excepto los
de la diagonal principal que son
IDENTIDAD iguales a 1. Es decir:
Sea la Matriz I= (aij)mxn
I es matriz identidad ssi:
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. superior
TRIANGULAR Matriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= (aij)mxn
ssi:
T. inferior
Una matriz A es idempotente si:
IDEMPOTENTE
Nota: La identidad no es la única
idempotente
6. Una matriz ortogonal es
necesariamente cuadrada e
invertible: A-1 = AT
La inversa de una matriz ortogonal es
ORTOGONAL una matriz ortogonal.
El producto de dos matrices
ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz
ortogonal vale +1 ó -1.
Una matriz es normal si conmuta con
su traspuesta. Las matrices
NORMAL simétricas, anti simétricas u
ortogonales son necesariamente
normales.
Es una matriz cuadrada ( tiene igual
número de filas que de columnas) tal
que su cuadrado es igual a la matriz
INVOLUTIVA A2 = I
unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
Decimos que una matriz cuadrada A A es nilpotente de
es Nilpotente de orden r si y sólo si orden 3,
se verifica que , ( r es el
NILPOTENTE
menor entero positivo )