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la mecánica cuántica y relativista. No vamos a considerar estos
problemas aquí (vamos a tocar en Kv del complemento).
3. El principio de la descomposición espectral
Armados con las ideas introducidas en el § 2, ahora vamos a hablar
de otro experimento óptico simple, cuyo tema es la polarización de
la luz. Esto nos permitirá introducir los conceptos fundamentales
que se refieren a la medición de cantidades físicas.
El experimento consiste en dirigir una onda plana polarizada la luz
monocromática en un analizador de Oz A. designa la dirección de
propagación de esta onda y el Parlamento Europeo, el vector unitario
que describe su polarización (ver fig. 2). El analizador A transmite
luz polarizada paralela a Ox y absorbe la luz polarizada paralela a
Oy.
La descripción clásica de este experimento (una descripción que es
válida por un haz de luz lo suficientemente intensa) es la
siguiente. La onda plana polarizada se caracteriza por un campo
eléctrico de la siguiente forma:
Donde Eo es una constante. La intensidad de la luz (I) es
proporcional a /Eo/2-Después de su paso por el analizador de A, la
onda plana polarizada a lo largo de Ox:
Y su intensidad I ', proporcional a E'0 2, está dada por la ley
de Malus:
[ex es el vector unitario del eje Ox y � es el ángulo entre los ex,
y ep].
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FIGURA 2
Un experimento simple medición en relación a la polarización de una
onda de luz. Un rayo de luz se propaga a lo largo de la dirección Oz
y atraviesa sucesivamente la P polarizador y el analizador de A. �
es el ángulo entre el Oxy el campo eléctrico de la onda transmitida
por el P. Las vibraciones transmitidas por A son paralelas a OX.
¿Qué pasará en el nivel cuántico, es decir, cuando (x) es lo
suficientemente débil como para los fotones para alcanzar el
analizador de uno por uno? (A continuación, coloque un detector de
fotones detrás de este analizador.) En primer lugar, nunca el
detector registra una "fracción de un fotón". Ya sea el fotón
atraviesa el analizador o es totalmente absorbida por él. Siguiente
(excepto en casos especiales que vamos a examinar en un momento), no
podemos predecir con certeza si un fotón incidente dado pasará o ser
absorbido. Sólo podemos conocer las probabilidades correspondientes.
Por último, si enviamos un gran número N de fotones, uno tras otro,
el resultado se corresponde con el derecho clásico, en el sentido de
que alrededor de N fotones se detectan después del analizador.
Nos reservamos las siguientes ideas de esta descripción:
(i) El dispositivo de medición (el analizador, en este caso) puede
dar resultados privilegiada, a sólo algunos, que llamaremos
eigen (o apropiado) los resultados *. En el experimento
anterior, sólo hay dos resultados posibles: el fotón atraviesa
el analizador o se detiene. Se dice que no hay cuantificación
de los resultados de la medición, en contraste con el caso
clásico [cf. la fórmula (A-8)], donde la intensidad transmitida
18](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-18-320.jpg)
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de los órdenes de magnitud de las longitudes de onda de De Broglie
asociada a las partículas de diversos materiales.
2. Funciones de onda. Ecuación de Schrodinger.
De acuerdo con la hipótesis de de Broglie, se aplicarán las ideas
introducidas en § A para el caso de los fotones para todas las
partículas materiales. Recordando las conclusiones de este
apartado, nos lleva a la siguiente formulación:
(i) Para la concepción clásica de una trayectoria, debemos
sustituir el concepto de un estado variable en el tiempo. El
estado cuántico de una partícula como el electrón * se
caracteriza por una función de onda ψ(r, t), que contiene toda
la información que es posible obtener sobre la partícula.
(ii) ψ(r, t) se interpreta como una amplitud de probabilidad de la
presencia de la partícula. Desde las posiciones posibles de la
forma de partículas de un continuo, la probabilidad dP(r, t) de
la partícula que, en el tiempo t, en un elemento de volumen
d3r= dx dy dz situado en el punto r debe ser proporcional al
d3r infinitesimal y por lo tanto, |ψ (r, t) 2 se interpreta
como la densidad de probabilidad correspondiente, con:
Donde C es una constante de normalización [véase el comentario
(i) al final del § B-2].
(iii) El principio de la descomposición espectral se aplica a la
medición de una magnitud física arbitraria:
- El resultado que se obtiene debe pertenecer a un conjunto de
resultados eigen {a}.
- Con cada valor una se asocia un estado propio, es decir, una
función propia t ψa(r). Esta función es tal que, si ψ(r, t0)=
ψa (r) (donde t0 es el momento en que se realiza la medición),
la medición siempre dará a.
- Para cualquier ψ(r, t), la probabilidad Pa de encontrar un
valor propio para la medición en el tiempo t0 se encuentra por
la descomposición de ψ(r,t0) en términos de las funciones ψ(r):
* No se tendrán en cuenta aquí la existencia del espín del
electrón (cf. cap. IX).
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importantes dificultades cuando se trata de construir una
mecánica cuántica relativista.
C. DESCRIPCIÓN CUÁNTICA DE UNA PARTÍCULA. PAQUETES DE ONDA
En el párrafo anterior, hemos introducido los conceptos
fundamentales que son necesarios para la descripción cuántica de una
partícula. En este apartado, vamos a familiarizarnos con estos
conceptos y deducir de ellos varias propiedades muy importantes.
Empecemos por el estudio de un caso especial muy sencillo, el de una
partícula libre.
1. Partícula libre
Considere la posibilidad de una partícula cuya energía potencial es
cero (o tiene un valor constante) en cada punto del espacio. La
partícula es por lo tanto no sometida a ninguna fuerza, sino que se
dice que es libre.
Cuando V (r, t) = 0, la ecuación de Schrödinger se convierte en:
Esta ecuación diferencial es, obviamente, satisfecho por las
soluciones de la forma:
(Donde A es una constante), a condición de que k y � satisfacen la
relación:
Observe que, de acuerdo con las relaciones de Broglie [véase (B-
2)], la condición (C-3) expresa el hecho de que la energía E y el
momento p de una partícula libre satisfacen la ecuación, que es bien
conocido en el clásico mecánica:
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Vemos que g (k) es simplemente la transformada de Fourier (véase
anexo I), de ψ (x, 0):
En consecuencia, la validez de la fórmula (C-8) no se limita al
caso de la partícula libre: cualquiera que sea el potencial, ψ(x, 0)
siempre se puede escribir de esta forma. Las consecuencias que se
derivan de esta en los § § 2 y 3 son, pues, perfectamente general.
No es hasta § 4 que vamos a volver de forma explícita a la partícula
libre.
Comentario:
Una onda plana del tipo (C-2), cuyo módulo es constante a lo largo
de todo el espacio [cf. (C-5)], no es de cuadrado integrable. Por lo
tanto, con rigor, no puede representar a un estado físico de la
partícula (en la misma forma, en la óptica, una onda plana
monocromática no es físicamente realizable). Por otro lado, una
superposición de ondas planas como (C-7) puede ser de cuadrado
integrable.
2. Forma del paquete de ondas en un momento dado
La forma del paquete de ondas está dada por la dependencia de ψ(x,
0) definida por la ecuación (C-8). Imagina que g (k) tiene la
forma representada en la figura 3, es decir, tiene un pico
pronunciado situado en k = k0 y un ancho (que se define, por
ejemplo, la mitad de su valor máximo) de ∆k.
FIGURA3
Forma de la función g (k)
[módulo de la transformada de
Fourier de ψ(x, 0.)]: Se supone
que se centra en k = k0, donde
alcanza un máximo, y tiene una
28](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-28-320.jpg)
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En la parte inferior de la figura, Re {ψ {x)} se muestra. La curva
de línea discontinua corresponde a la función [1 + cos ( )], que,
de acuerdo con (C-10), da | ψ(x) | (y por lo tanto, la forma del
paquete de ondas).
COMENTARIO:
La fórmula (C-10) muestra que | ψ(x) | es periódica en x y por lo
tanto tiene una serie de máximos y mínimos. Esto surge del hecho de
que f (x) es la superposición de un número finito de ondas (en este
caso, tres). Por una superposición continua de un número infinito de
ondas, como en la fórmula (C-8), tal fenómeno no se produce, y | ψ
(x, 0) | sólo puede tener un máximo.
Volvamos ahora al paquete de ondas en general de la fórmula (C-8).
Su forma también el resultado de un fenómeno de interferencia: |
ψ(x, 0) | es máximo cuando las ondas planas diferentes interfieren
constructivamente.
Sea α (k) el argumento de la función g (k):
Supongamos que α (k) varía bastante suave en el intervalo
donde g (k) es apreciable, y luego, cuando ∆k es
suficientemente pequeño, se puede ampliar α (k) en la vecindad de k
= k0:
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Las variaciones con respecto a k de la función que se integra sobre
k con el fin de obtener . En la figura (a), x está fijado en un
valor tal que , y la función que se integra oscila varias
veces dentro del intervalo de ∆k. En la figura (b), x está fijado de
tal manera que , y la función que se integra apenas
oscila, de modo que su integral sobre k tiene un valor relativamente
grande. En consecuencia, el centro del paquete de ondas [punto donde
es máximo] está situado en
Cuando x se aleja del valor x0, disminuye. Esta disminución
se vuelve apreciable si oscila alrededor de una vez,
cuando k atraviesa el dominio , es decir, cuando:
Si Ax es el ancho aproximado del paquete de ondas, por lo tanto
tenemos:
Llegamos así de nuevo a una relación clásica entre las anchuras de
dos funciones que son transformadas de Fourier de cada otro. El
hecho importante es que el producto tiene un límite
inferior, el valor exacto de esta cota depende claramente de la
definición precisa de los anchos y .
Un paquete de ondas, tales como (C-7) por lo tanto representa el
estado de una partícula cuya probabilidad de presencia, en el
instante t = 0, es prácticamente cero fuera de un intervalo de ancho
aproximado centrado en el valor .
Comentario:
32](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-32-320.jpg)
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El argumento anterior podría llevar a pensar que el producto
es siempre del orden de 1 [cf. (C-17)]. Vamos a subrayar el hecho de
que se trata de un límite inferior. Aunque es imposible construir
paquetes de onda para la cual el producto es insignificante en
comparación con 1, es perfectamente posible construir paquetes para
que este producto es tan grande como se desee [véase, por ejemplo,
complemento , especialmente comentar (ii) de § 3-c]. Esta es la
razón (C-18) está escrito en la forma de una desigualdad.
3. Relación de incertidumbre de Heisenberg
En la mecánica cuántica, la desigualdad (C-18) tiene consecuencias
físicas muy importantes. Tenemos la intención de hablar sobre esto
ahora (nos quedaremos, para simplificar, en el marco de un modelo
unidimensional).
Hemos visto que una onda plana corresponde a una densidad
de probabilidad constante para la presencia de la partícula a lo
largo del eje , para todos los valores de t. Este resultado puede
ser más o menos expresarse diciendo que el valor correspondiente de
es infinito. Por otro lado, sólo una frecuencia angular y un
vector de onda están implicados. De acuerdo con las relaciones de
De Broglie, esto significa que la energía y el impulso de la
partícula están bien definidas: y . Tal una onda
plana puede, además, ser considerado como un caso especial de (C-7),
para el cual es una "función delta" (apéndice II):
El valor correspondiente de es entonces igual a cero.
Pero esta característica también se puede interpretar de la
siguiente manera, utilizando el principio de la descomposición
espectral (cf. § § A-3 y B-2). Para decir que una partícula, que se
describe en el instante t = 0 por la función de onda ,
tiene un impulso bien determinada, es decir que una medición de la
fuerza en este momento definitivamente producirá . De esto
podemos deducir que caracteriza al estado propio que corresponde
a . Dado que existe una onda plana para cada valor real de k,
los valores propios que uno puede esperar encontrar en una medida de
la fuerza de un Estado arbitrario incluyen todos los valores reales.
En este caso, no hay cuantificación de los resultados posibles: como
en la mecánica clásica, todos los valores del impulso están
permitidos.
33](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-33-320.jpg)
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Consideremos ahora la fórmula (C-8). En esta fórmula, aparece
como una superposición lineal de las funciones propias de momento en
el que el coeficiente de es . Llegamos así a interpretar
(dentro de un factor constante) como la probabilidad de
encontrar si se mide, en t = 0, el momento de una partícula
cuyo estado es descrito por . En realidad, los posibles valores
de p, como los de x, forman un conjunto continuo, y es
proporcional a una densidad de probabilidad: la probabilidad de
de la obtención de un valor entre y es, dentro
de un factor constante, .. Más precisamente, si volvemos a
escribir la fórmula (C-8) en la forma:
Sabemos que y satisfacen la relación de Parseval-Bessel
(anexo I):
Si el valor común de estas integrales es C, es la
probabilidad de que la partícula se encuentra, en t = 0, entre x y
. De la misma manera:
Es la probabilidad de que la medición del impulso producirá un
resultado comprendido entre y [relación (C-21) a
continuación, asegura que la probabilidad total de encontrar
cualquier valor es de hecho igual a 1]. Ahora volvamos a la
desigualdad (C-18). Nos puede escribir como:
( es la anchura de la curva que representa ).
Consideremos una partícula cuyo estado es definido por el paquete de
ondas (C-20). Sabemos que la probabilidad de posición en t = 0, es
apreciable sólo dentro de una región de ancho de : su posición
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Ya que depende de x y t sólo a través de ; se denomina
velocidad de fase de la onda plana.
Sabemos que en el caso de una onda electromagnética que se propaga
en el vacío, es independiente de k e igual a la velocidad de la
luz c. Todas las ondas que forman un paquete de ondas se mueven a la
misma velocidad, de modo que el paquete como un todo también se
mueve con la misma velocidad, sin cambiar de forma. Por otro lado,
se sabe que esto no es cierto en un medio dispersivo, donde se le da
la velocidad de fase por:
Es el índice de del medio, que varía con la longitud de onda.
El caso que estamos considerando aquí corresponde a un medio
dispersivo, ya que la velocidad de fase es igual a [cf. ecuación (C-
3)]:
Veremos que cuando las ondas por lo tanto tienen diferentes
velocidades desiguales de fase, la velocidad máxima de del
paquete de ondas no es el promedio de velocidad de fase ,
contrariamente a lo que uno podría esperar.
Tal y como hicimos antes, vamos a empezar por tratar de entender
cualitativamente lo que sucede, antes de tomar un punto de vista más
general. Por lo tanto, volvamos a la superposición de tres ondas
consideradas en el § C-2. Para un t arbitrario, está dada por:
36](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-36-320.jpg)
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Vemos, pues, que el máximo de , que se encontraba en
en , se encuentra ahora en el punto:
y no en el punto . El origen físico de este resultado aparece
en la figura 6.
Parte a) de esta figura representa la posición en el tiempo t = 0
de tres adyacente máximos (1), (2), (3), para las partes reales de
cada una de las tres ondas. Dado que los máximos denotado por el
índice (2) coinciden en x = 0, hay interferencia constructiva en
este punto, que por lo tanto corresponde a la posición del máximo de
. Dado que los aumentos de velocidad de fase con k [fórmula
(C-26)], el máximo (3) de la onda poco a poco a ponerse al
día con la de la onda , que a su vez ponerse al día con la de la
onda . Después de un cierto tiempo, de este modo, tendrá la
situación mostrada en la figura 6-b: será los máximos (3) que
coinciden y determinar así la posición del máximo de .
Vemos claramente en la figura que no es igual a , y un
simple cálculo de nuevo los rendimientos (C-28).
FIGURA 6
Las posiciones de los máximos de las tres ondas de la figura 4 en
el tiempo t = 0 (fig. a) y en una posterior t (fig. b). En el
instante t = 0, es el máximos (2), situado en el punto x = 0, que
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Si el conjunto en la ecuación (D-5) [lo cual es posible si se
incorporan, por ejemplo, la constante ], se logra el resultado
siguiente: la función
es una solución de la ecuación de Schrodinger, con la condición de
que es una solución de (D-6). El tiempo y las variables de
espacio se dice que se han separado.
Una función de onda de la forma (D-7) se llama una solución
estacionaria de la ecuación de Schrödinger: lleva a una densidad de
probabilidad independiente del tiempo . En una
función fija, sólo una frecuencia angular aparece, de acuerdo con
la relación de Planck-Einstein, un estado estacionario es un estado
con una energía bien definida (energía eigenestado). En la
mecánica clásica, cuando la energía potencial es independiente del
tiempo, la energía total es una constante del movimiento, en la
mecánica cuántica, existen también determinados por los estados de
energía. La ecuación (D-6) por lo tanto se puede escribir:
o bien:
donde H es el operador diferencial:
es un operador lineal, ya que, si y son constantes, tenemos:
La ecuación (D-9) es por lo tanto la ecuación de valores propios del
operador lineal H: la aplicación de la H a las «funciones propias»
se obtiene la misma función, multiplicado por los
correspondientes «valores propios» E. Las energías permitidas son
41](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-41-320.jpg)
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por lo tanto, los valores propios del operador H. más adelante
veremos que la ecuación (D-9) tiene cuadrado-integrables soluciones
sólo para ciertos valores de e (cf. § D-2-c, § 2-c del
complemento ): este es el origen de la cuantización de la
energía.
COMENTARIO:
La ecuación (D-8) [o (D-9)] a veces se llama el "tiempo
independiente de la ecuación de Schrodinger", en contraposición a la
"función del tiempo la ecuación de Schrodinger" (D-1). Destacamos su
diferencia esencial: la ecuación (D-1) es una ecuación general que
ofrece la evolución de la función de onda, cualquiera que sea el
estado de la partícula y, por el otro lado, la ecuación de valores
propios (D-9) que nos permite encontrar, entre todos los estados
posibles de la partícula, aquellas que son estacionarias.
b). La superposición de estados estacionarios
Con el fin de distinguir entre los diversos valores posibles de la
energía E (y las funciones propias correspondientes ), se les
etiqueta con un índice n.
Así tenemos:
y de los estados estacionarios de la partícula tiene como funciones
de onda:
es una solución de la ecuación de Schrodinger (D-1). Puesto
que esta ecuación es lineal, que tiene toda una serie de otras
soluciones de la forma:
donde los coeficientes son constantes complejas arbitrarias. En
particular, tenemos:
Inversamente, supongamos que sabemos , es decir, el estado de
la partícula en . Veremos más adelante que cualquier función
42](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-42-320.jpg)
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siempre se puede descomponer en términos de funciones propias
de , como en (D-15). El coeficientes , por lo tanto determinado
por . La solución correspondiente de la ecuación de
Schrodinger está dada por (D-14). Todo lo que necesitamos hacer para
obtenerla es multiplicar cada término de (D-15) por el factor
, Donde es el valor propio asociado con . Hacemos
hincapié en el hecho de que estos factores de fase difieren de un
término a otro. es sólo en el caso de estados estacionarios que la
dependencia t implica sólo un exponencial [fórmula (D-13)].
2. Unidimensionales "cuadrado" potenciales. estudio cualitativo
Dijimos al comienzo del § D que el fin de mostrar los efectos
cuánticos que se va a considerar el potencial que variaban
considerablemente en distancias pequeñas. Nos limitaremos aquí a un
estudio cualitativo, con el fin de concentrarse en las ideas físicas
simples. Un estudio más detallado se presenta en los complementos de
este capítulo (del complemento ). Para simplificar el problema,
vamos a considerar un modelo unidimensional, en el que la energía
potencial depende sólo de x (la justificación de este modelo se da
en el complemento ).
a) Significado físico de un potencial cuadrado
Consideraremos un problema unidimensional con un potencial del tipo
mostrado en la figura 7-a. El eje Ox está dividido en un cierto
número de regiones de potencial constante. En la frontera de dos
regiones adyacentes del potencial hace un salto brusco
(discontinuidad). En realidad, dicha función no se puede representar
un potencial físico, que debe ser continua. Se deberá utilizar para
representar esquemáticamente una energía potencial que en
realidad tiene la forma mostrada en la figura 7-b: no hay
discontinuidades, pero varía muy rápidamente en la vecindad de
ciertos valores de x. Cuando los intervalos sobre los cuales se
producen estas variaciones son mucho menores que todas las otras
distancias implicadas en el problema (en particular, la longitud de
onda asociada con la partícula), se puede sustituir el verdadero
potencial por el potencial cuadrado de la figura 7-uno. Esta es una
aproximación, que dejaría de ser válida, por ejemplo, para una
partícula que tiene una muy alta energía, cuya longitud de onda
sería muy corto.
43](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-43-320.jpg)
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Vamos a considerar los estados estacionarios (§ D-1) de una
partícula en una uni-dimensional "cuadrado" potencial.
En una región donde el potencial V tiene un valor constante, la
ecuación de valores propios (D-9) está escrito:
o bien:
Ahora, en la óptica, existe una ecuación completamente análoga.
Considere la posibilidad de un medio transparente cuyo índice n no
depende de r ni en el tiempo. En este medio, puede haber ondas
electromagnéticas cuyo campo eléctrico es independiente de Y y
Z y tiene la forma:
donde e es un vector unitario perpendicular a O. E (x) debe
satisfacer:
Vemos que las ecuaciones (D-17) y (D-19) llegan a ser idénticos si
ponemos:
Además, en un punto x donde la energía potencial V [y, en
consecuencia, el índice n dada por (D-20)] es discontinua, las
condiciones de contorno para y son los mismos: estos dos
funciones, así como sus derivados en primer lugar, debe permanecer
constante (véase el complemento , § 1-b). La analogía estructural
entre las dos ecuaciones (D-17) y (D-19) así nos permite asociar con
un problema de mecánica cuántica, que corresponde al potencial de la
figura 7.a, un problema óptico: la propagación de una onda
electromagnética de frecuencia angular en un medio cuyo índice
tiene discontinuidades del mismo tipo. De acuerdo con (D-20), la
relación entre los parámetros ópticos y mecánicos es:
45](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-45-320.jpg)
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embargo, ya está claro que la descripción cuántica de los sistemas
físicos difiere radicalmente de la que figura por la mecánica
clásica (aunque este último constituye, en muchos casos, una
excelente aproximación). Nos hemos limitado en este capítulo para el
caso de los sistemas físicos compuestos por una sola partícula. La
descripción de estos sistemas en un momento dado es, en la mecánica
clásica, basados en la especificación de seis parámetros, que son
los componentes de la posición r (t) y la velocidad v (t) de la
partícula. Todas las variables dinámicas (energía, momento lineal,
momento angular) se determinan por la especificación de r (t) y V
(t). Las leyes de Newton nos permiten calcular r (t) a través de la
solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con respecto
al tiempo. En consecuencia, fijar los valores de r (t) y v (f) para
todo tiempo t, cuando se les conoce por el momento inicial.
La mecánica cuántica utiliza una descripción más complicado de los
fenómenos. El estado dinámico de una partícula, en un momento dado,
se caracteriza por una función de onda. Ya no depende de sólo seis
parámetros, pero en un número infinito [los valores de en todos
los puntos del espacio r]. Además, las predicciones de los
resultados de la medición son ahora sólo probabilística (con ellos
se obtienen sólo la probabilidad de obtener un resultado dado en la
medición de una variable dinámica). La función de onda es una
solución de la ecuación de Schrodinger, que nos permite calcular
de . Esta ecuación implica un principio de superposición
que conduce a efectos de onda.
Este trastorno en nuestra concepción de la mecánica se impuso por
la experiencia. La estructura y el comportamiento de la materia a
nivel atómico son incomprensibles en el marco de la mecánica
clásica. La teoría así ha perdido parte de su simplicidad, pero ha
ganado una gran cantidad de la unidad, ya que la materia y la
radiación se describe en términos de la misma estructura general
(dualidad onda-partícula). Hacemos hincapié en el hecho de que este
esquema general, aunque va en contra de nuestras ideas y hábitos
extraídas del estudio del dominio macroscópico, es perfectamente
coherente. Nadie ha tenido éxito en imaginar un experimento que
podría violar el principio de incertidumbre (cf. complemento D, de
este capítulo). En general, ninguna observación, hasta la fecha,
contradice los principios fundamentales de la mecánica cuántica. Sin
embargo, en la actualidad, no existe una teoría global de los
fenómenos relativistas y cuánticos, y nada, por supuesto, impide la
posibilidad de un trastorno nuevo.
Referencias y sugerencias bibliográficas:
50](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-50-320.jpg)
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Complemento
UN TRATAMIENTO SIMPLE DE UN PAQUETE DE ONDAS BIDIMENSIONAL
1. introducción
2. Dispersión angular y dimensiones laterales
3. Discusión.
1. introducción
En § C-2 del capítulo I, se estudió la forma de paquetes de ondas
unidimensionales, obtenidos mediante la superposición de ondas
planas que todo se propagan en la misma dirección [fórmula (C-7)].
Si esta dirección es la del eje , la función resultante es
independiente de y y z. Que tiene una extensión finita a lo largo de
, pero no se limita en las direcciones perpendiculares: su valor
es el mismo en todos los puntos de un plano paralelo a .
Tenemos la intención de examinar aquí otro tipo simple de paquetes
de ondas: las ondas planas que se van a combinar tienen vectores
coplanarios de onda, que son (casi) iguales en magnitud, pero tienen
direcciones diferentes. El objetivo es mostrar cómo la dispersión
angular conduce a una limitación del paquete de ondas en las
direcciones perpendiculares al vector de onda media.
Vimos en el § C-2 del capítulo I como, mediante el estudio de la
superposición de tres ondas específicas del paquete de una sola
dimensión, uno puede entender los aspectos más importantes de los
fenómenos. En particular, uno puede encontrar la relación
fundamental (C-18) de este capítulo. Nos vamos a limitar aquí a un
modelo simplificado de este tipo. La generalización de los
resultados que se van a encontrar puede llevarse a cabo de la misma
manera como en el capítulo I (véase también complemento ).
2. Dispersión angular y dimensiones laterales
Consideremos tres ondas planas, cuyos vectores de onda , y se
muestra en la figura 1. Los tres están en el plano ; está
dirigido a lo largo ; y son simétricas con respecto a , el
ángulo entre cada uno de ellos y ,viene a ser , que se supone
que sea pequeña. Por último, las proyecciones de y en son
iguales:
64](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-64-320.jpg)
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FIGURA 3
La igualdad de planos de de
fase de las tres ondas
asociadas a los tres vectores
de la figura 1: estas ondas
están en fase en , pero
interfieren de forma
destructiva en .
Por lo tanto una dispersión angular de los vectores de onda limita
las dimensiones laterales de los paquetes de onda.
Cuantitativamente, esta limitación tiene la forma de una relación de
incertidumbre [fórmulas (7) y (8)].
3. discusión
Considere la posibilidad de una onda plana con vector de onda que
se propaga a lo largo de . Cualquier intento de limitar su
extensión perpendicular a provoca una dispersión angular a
aparecer, es decir, la transforma en un paquete de ondas análogas a
las que están estudiando aquí. Supongamos, por ejemplo, que se
coloque en el camino de la onda plana una pantalla perforada por una
rendija de anchura. Esto dará lugar a una onda difractada (véase
la fig. 4). Sabemos que la anchura angular del patrón de difracción
está dada por:
Donde es la longitud de onda incidente. Esto es, en efecto la
misma situación que anteriormente: fórmulas (7) y (9) son idénticos.
67](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-67-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
alcanzando un mínimo en Luego, a medida sigue en aumento,
crece sin límite (la difusión del paquete de ondas).
Para negativos, el paquete de ondas gaussiano disminuye en
anchura, ya que se propaga. En el instante es un "mínimo"
paquete de ondas: el producto es igual a Entonces, para
el paquete de ondas se propaga de nuevo ya que se propaga.
Se puede ver en (17) que la altura del paquete de ondas también
varía, pero en oposición a la anchura, por lo que la norma de
se mantiene constante.
Las propiedades de la función son completamente diferentes.
De hecho [cf. fórmula (18)]:
Por lo tanto, el impulso promedio del paquete de ondas y su
dispersión impulso no varían en el tiempo. Veremos más adelante
(cf. cap. III) que surge del hecho de que el impulso es una
constante del movimiento de una partícula libre.
Físicamente, es evidente que, puesto que la partícula libre se
encuentra ningún obstáculo, la distribución de los impulsos no se
puede cambiar.
La existencia de una dispersión impulso significa que
la velocidad de la partícula sólo se sabe que dentro de
Imagine un grupo de partículas clásicas de partida en el tiempo
desde el punto con una velocidad de dispersión igual a En
el momento la dispersión de sus posiciones será esta
dispersión se incrementa linealmente con y, como se muestra en la
figura 2. Vamos a dibujar en el mismo gráfico la curva que da a la
evolución en el tiempo de , cuando se vuelve infinita,
78](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-78-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
coincide prácticamente con [la rama de la hipérbola que
representa tiene para sus asíntotas la recta líneas que
corresponden a ]. Por lo tanto, podemos decir que, cuando t es
muy grande, existe una interpretación cuasi-clásico de la anchura de
Por otro lado, cuando enfoques toma valores que
difieren más y más de La partícula cuántica de hecho deben
satisfacer constantemente la relación de incertidumbre de Heisenberg
que desde se fija, impone un límite inferior a Esto
corresponde a lo que puede verse en la figura 2.
FIGURA 2
La variación en el tiempo de la anchura del paquete de ondas de
la figura 1. Para grande se aproxima a la dispersión de las
posiciones de un grupo de partículas clásicas que han dejado
en el instante con una velocidad de dispersión
comentarios:
La difusión del paquete de ondas libres es un fenómeno general que
no se limita al caso especial estudiados aquí. Se puede demostrar
que, para un paquete de ondas libre arbitraria, la variación en el
tiempo de su anchura tiene la forma mostrada en la figura 2 (ver
ejercicio 4 de complemento ).
En el capítulo I, un argumento sencillo nos llevó en (C-17) a
, sin hacer ninguna hipótesis particular sobre , excepto
para decir que tiene un pico ancho cuya forma es la de la
figura 3 del capítulo I (que es el caso en este
complemento).Entonces, ¿cómo se obtiene (por ejemplo, para
un paquete de ondas gaussiano cuando es grande)?
Por supuesto, esto es sólo una contradicción aparente. En el
capítulo I, a fin de encontrar , se asumió en (C-13) que el
argumento de se puede aproximar por una función lineal en el
79](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-79-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
En el límite cuando la función que se integra en el lado
derecho de esta expresión sigue siendo limitada, debido a nuestro
supuesto anterior. En consecuencia, si tiende a cero, la integral
también tiende a cero, y:
Así, en este límite, es continua en y también lo es (ya
que es la integral de una función continua). Por otro lado, es
discontinua, y, como puede verse directamente de (1), hace un salto
en x = xt que es igual a [donde representa el cambio
en ]
COMENTARIO:
Es esencial, en el argumento anterior, que siguen siendo
limitada. En ciertos ejercicios de complemento, K, por ejemplo,
el caso se considera que una función ilimitada cuya
integral permanece finita. En este caso, se mantiene constante,
pero no lo hace.
c. ESQUEMA DEL CÁLCULO
El procedimiento para determinar los estados estacionarios en un
"potencial cuadrado" es por lo tanto, lo siguiente: en todas las
regiones donde es constante, escribir en cualquiera de las
dos formas(3) o (5) es aplicable, a continuación, "compatibles" con
estas funciones al exigir la continuidad de y de en los
puntos donde es discontinua.
2. Estudio de ciertos casos sencillos
Vamos ahora a llevar a cabo el cálculo cuantitativo de los estados
estacionarios, realizado de acuerdo con el método descrito
anteriormente, para todas las formas de considerados en § D-2-c
del capítulo I. Así, deberá verificar que la forma de las soluciones
es de hecho la predicha por la analogía óptica.
a. POTENCIAL ESCALON
83
* Este punto se pudo demostrar matemáticamente a partir de las
propiedades de la ecuación diferencial A).](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-83-320.jpg)
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[de expresión (11) de una onda estacionaria en la región tienen el
mismo módulo. Por lo tanto, podemos configurar:
con [véase fórmula (19) de ]:
Por último, el paquete de ondas que vamos a considerar puede ser por
escrito, en el tiempo para negativos:
Al igual que en § C del capítulo I, se supone que g (k)
tiene un pico pronunciado de anchura sobre el valor
Con el fin de obtener la expresión para la función de onda j
/ (x, t) en cualquier momento t, simplemente utilizar la relación
general (D-14) de I capítulo:
donde . Por construcción, esta expresión sólo es válida
para negativos. Su primer término representa el paquete de ondas
incidente, su segundo termino, el paquete reflejado. Para
simplificar, supondremos puede ser real. La condición de la fase
estacionaria (. Véase el capítulo I, § C-2) a continuación, nos
permite calcular la posición del centro del paquete de ondas
incidente: si, en se establece la derivada con respecto a el
argumento de la igualdad de primera exponencial a cero, se obtiene:
De la misma manera, la posición del centro del paquete reflejado
se obtiene diferenciando el argumento de la segunda exponencial.
Diferenciando la ecuación (3), nos encontramos con:
97](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-97-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
inalterado *. Además, la fórmula (9) muestra que la reflexión se ha
introducido un retardo , dado por:
Contrariamente a lo que predice la mecánica clásica, la partícula
no se refleja instantáneamente. Observe que el retardo está
relacionado con el desplazamiento de fase entre la onda
incidente y la onda reflejada para un valor dado de No obstante,
debe observarse que el retraso del paquete de ondas no es
simplemente proporcional a como sería el caso para una onda
plana ilimitada, pero a la derivada evaluado en
Físicamente, este retraso es debido al hecho de que, para cercano a
cero t, la probabilidad de presencia de la partícula en la región
la cual está prohibida clásicamente, no es cero [onda
evanescente, véase el comentario a continuación] .
Se puede decir, metafóricamente, que la partícula pasa un tiempo
del orden de en esta región antes de volver sobre sus pasos.
Fórmula (10) muestra que cuanto más cerca de la energía media
del paquete de ondas es a la altura de la barrera , mayor será el
retardo .
Comentarios:
Aquí se ha subrayado el estudio del paquete de ondas para x
<0, pero también es posible estudiar lo que ocurre para x> 0.
En esta región, el paquete de ondas se puede escribir:
Se supone es lo suficientemente pequeño como para la difusión
del paquete de ondas es insignificante durante el intervalo de
tiempo considerado.
donde:
99](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-99-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
está dada por la ecuación (23) del complemento cuando se
reemplaza por 1, por y por Un argumento análogo al de §
C-2 del capítulo I a continuación, muestra que el módulo de
expresión (11) es máxima cuando la fase de la función que se
integran a lo largo es estacionaria. Ahora, de acuerdo a las
expresiones (22) y (23) de el argumento de es la mitad del
que, de acuerdo con (2), es igual a En consecuencia, si se
expande y en la vecindad de se obtiene, para la fase de
la función que se integra sobre en (11):
[hemos utilizado (10) y el hecho de que se supone real]. De esto
podemos deducir que es máxima en la región para El
momento en que el paquete de ondas se vuelve por lo tanto lo que
nos da el mismo retardo de en la reflexión que hemos obtenido
anteriormente. También vemos a partir de la expresión (13) que, tan
pronto como sea excede el tiempo de definido por:
donde es la anchura de , las ondas de salen de fase y de
expresión(11) para se hace despreciable. Así, el paquete de
ondas como un todo permanece en la región durante un intervalo
de tiempo de la orden de:
que corresponde aproximadamente al tiempo que sea necesario, en la
región , para viajar una distancia comparable a la anchura
Desde Ak se supone que es mucho más pequeña que K0 y Ko, la
comparación de (10) y (15) muestra que:
El retraso en la reflexión por lo tanto implica, por el paquete de
onda reflejada, un desplazamiento que es mucho menor que su anchura.
100](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-100-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
fase estacionaria da la posición de sus respectivos centros
Dado que y son reales, nos encontramos con:
Una discusión análoga a la de (6) y (9) conduce a las siguientes
conclusiones: para t negativos, sólo el paquete de ondas incidente
existe; para t positivos suficientemente grandes, sólo el
reflejado y existen paquetes de onda de transmisión (fig. 1). Nótese
que no hay retraso, ya sea en la reflexión o sobre la transmisión
[esto es debido al hecho de que los coeficientes y son
reales].
Los paquetes de ondas incidentes y reflejados se propagan con
velocidades de y , respectivamente. Supongamos a de ser
lo suficientemente pequeño que, dentro del intervalo ,
se puede prescindir de la variación de en comparación con la de
Podemos entonces, en el segundo término de (18), remplazar
por y llevarlo fuera de la integral. Es entonces fácil ver que
el paquete de onda reflejada tiene la misma forma que el paquete de
ondas incidente, su imagen especular. Su amplitud es más pequeño,
sin embargo, puesto que, de acuerdo con la fórmula (13) de
complemento es menor que 1. El coeficiente de reflexión
es, por definición, la relación entre las probabilidades de
encontrar la partícula en el paquete de onda reflejada y en el
paquete incidente. Por lo tanto, tenemos que de hecho
corresponde a la ecuación (15) de complemento [recordemos que
hemos elegido un
102](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-102-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Por lo tanto, es más pequeño que una función cuya integral
converge, ya que y son de cuadrado integrable.
b. EL PRODUCTO ESCALAR
Definición
Con cada par de elementos de y tomada en este orden, se
asocia un número complejo, denotado por , que, por definición,
es igual a:
Es el producto escalar de por [esta integral siempre
converge si y si pertenecen a .
Propiedades
Siguen de la definición (A-4):
El producto escalar es lineal con respecto a la segunda función del
par, anti lineal con respecto a la primera. Si , y se
dice que son ortogonales.
es un número real, positivo, que es cero si y sólo si
( / { jf, $) se llama la norma de (i / / r) [que se
puede verificar fácilmente que este número tiene todas las
propiedades de una norma]. El producto escalar elegido anteriormente
por lo tanto permite la definición de una norma en 3F.
Citemos, por último, (véase complemento ) La desigualdad de
Schwarz:
114](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-114-320.jpg)
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Esto se convierte en una igualdad si y sólo si las dos funciones
y son proporcionales.
c. OPERADORES LINEALES
. definición
Un operador lineal es, por definición, una entidad matemática que
se asocia con todas las funciones otra función la
correspondencia es lineal:
Citemos algunos ejemplos sencillos de operadores lineales: el
operador de paridad cuya definición es la siguiente:
El operador que realiza una multiplicación por que llamaremos y
que está definido por:
Por último, el operador que diferencia con respecto a que
llamaremos y cuya definición es la siguiente:
[Los dos operadores y , actuando en una función de puede
transformarla en una función que ya no es necesariamente cuadrado
integrable].
Producto de los operadores
Sean y dos operadores lineales. Su producto está definido
por:
se permitió por primera vez para actuar en lo que da
entonces funciona con la nueva función
En general, Llamamos el conmutador de y el operador
escrito y definido por:
115](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-115-320.jpg)
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d. RELACIÓN CLAUSURA
La relación llamada la relación orto normalización, expresa el
hecho de que las funciones del conjunto se normalizan a 1 y
ortogonal con respecto a la otra. Ahora vamos a establecer otra
relación, llamada la relación de cierre, que expresa el hecho de que
este conjunto constituye una base.
Si es una base de existe una expansión como la para cada
función Sustituto en la expresión para los
distintos componentes [el nombre de la variable de integración se
debe cambiar, puesto que ya aparece en ]:
Intercambiando y se obtiene:
Es por tanto una función de y de de tal manera
que, para cada función de tenemos:
La ecuación (A-31) es una característica de la función d
(r - r ') (véase el apéndice II). De esto se puede deducir que:
Recíprocamente, si un conjunto orto normal satisface la
relación de cierre que constituye una base. Cualquier función
de hecho se puede escribir en la forma:
Sustituyendo la expresión para en esta expresión, se
obtiene la fórmula . Para volver a lo único que debe hacer
es una vez más la suma de intercambio e integración. Esta ecuación
119](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-119-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
utilizado para el conjunto considerado anteriormente era
discreto].
Las fórmulas (A-34) se puede reescribir usando (A-35):
Estas dos fórmulas puede ser comparado a y ( La relación
expresa la idea de que cada función se puede desarrollar
en una única forma y en términos de la es decir, las ondas
planas. Dado que el índice varía continuamente y no en forma
discreta, la suma que aparece en debe ser sustituido por una
integración sobre La relación como da el componente
de en en forma de un producto escalar * .El conjunto
de estos componentes, que corresponden a los diversos valores
posibles de constituye una función de la transformada de
Fourier
Por lo tanto, es el análogo de . Estos dos números complejos,
que dependen ya sea de o en representan los componentes de la
misma función en dos bases diferentes: y .
Este punto también aparece con claridad si se calcula el cuadrado
de la norma de De acuerdo con la relación de Parseval [app. ,
la fórmula ], tenemos:
Una fórmula que se asemeja a ( si reemplazamos por y
por .
Vamos a demostrar que debe cumplir con una relación de
clausura. Utilizando la fórmula [véase el apéndice la ecuación
]:
121](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-121-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
(
Nos encontramos con:
* Sólo hemos definido el producto escalar de dos funciones de
cuadrado integrable, pero esta definición se puede extender
fácilmente a casos como éste, siempre que la integral converge
correspondientes.
Esta fórmula es el análogo de (A-32) con, de nuevo, la
sustitución de (DP) por (] JT).
Por último, vamos a calcular el producto escalar (VP, VP,) con
el fin de ver si existe un equivalente de la relación de orto-
normalización. Usando de nuevo (A-39), se obtiene:
es decir:
Comparar y En lugar de tener dos índices discretos y
y un delta de Kronecker , ahora tenemos dos índices continuos y
y una función delta de la diferencia entre los índices,
Tenga en cuenta que si ponemos , el producto escalar se
aleja, de nuevo vemos que . Aunque esto constituye un mal uso
del término, llamaremos una relación de "orto-normalización".
Es también a veces se dice que están "orto-normalizado en el
sentido de Dirac".
La generalización a tres dimensiones no presenta dificultades.
Consideramos que las ondas planas:
122](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-122-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Ellos pueden ser reescrito, usando en la forma:
Expresa el hecho de que cada función se puede desarrollar
en una y solamente una forma en términos de la muestra que
el componente de en la función (se trata aquí con funciones
de base real) es precisamente el valor de en el punto
y son análogos y : simplemente sustituir el
índice discreta por el índice continuo y por .
Es por lo tanto, el equivalente de : estos dos números
complejos, que dependen ya sea en o en representan los
componentes de la misma función en dos bases diferentes:
Y
Fórmula se convierte en:
Se ve que la aplicación de para el caso de la base continua
resulta en la definición del producto escalar.
Finalmente, nótese que la satisfacen "orto-normalización" y las
relaciones de clausura del mismo tipo que Así pues, tenemos
[la fórmula del apéndice ]:
124](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-124-320.jpg)
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B. ESPACIO DE ESTADO. NOTACIÓN de DIRAC
1. introducción
En el capítulo hemos señalado que el siguiente postulado: el
estado cuántico de una partícula se define, en un instante dado, por
una función de onda . La interpretación probabilística de la
función de onda requiere que sea de cuadrado integrable. Este
requisito nos llevó a estudiar el espacio . A continuación,
encontró, en particular, que la misma función puede ser
representada por varios conjuntos distintos de los componentes, cada
uno correspondiente a la elección de una base [tabla ].
Este resultado puede interpretarse de la siguiente manera: o
, o caracteriza el estado de una partícula tan bien como la
función de onda [si el base que se utiliza se ha especificado
con anterioridad]. Por otra parte, se parece, en la tabla en
el mismo nivel que y el valor que la función de
onda toma en un punto de espacio puede ser considerado como su
129](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-129-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Vamos a comenzar, en este apartado, mediante la definición de la
notación de Dirac, que han demostrado ser muy útil en las
manipulaciones formales que se tienen que realizar.
2. vectores "Ket" y vectores "bra"
a. ELEMENTOS DE KETS
. Notación
Cualquier elemento, o vector, de espacio se llama un vector ket o,
más simplemente, un ket. Se representa por el símbolo en cuyo
interior se coloca un signo distintivo que nos permite distinguir el
correspondiente ket, de todos los demás, por ejemplo:
En particular, ya que el concepto de una función de onda es ya
familiar para nosotros, vamos a definir el espacio de los
estados de una partícula al asociarse con todas las funciones de
cuadrado integrable en un vector de ket de :
Posteriormente, se deberá incorporar las distintas operaciones que
hemos introducido para en . A pesar de y son isomorfos,
cuidadosamente hará una distinción entre ellos a fin de evitar
confusiones, y para reservar las posibilidades de generalización se
mencionó anteriormente en el . Hacemos hincapié en el hecho de
que la dependence ya no aparece en , y sólo la letra
aparece para recordarnos la función con la que está asociado. se
interpretarán en como el conjunto de los componentes del ket
en una base particular, r juega el papel de un índice [véase y
la tabla ]. En consecuencia, el procedimiento que estamos
adoptando aquí consiste en la caracterización inicial de un vector
por sus componentes en un sistema de coordenadas privilegiado, que
más tarde serán tratados en pie de igualdad con todos los otros
sistemas de coordenadas.
Se designará por el espacio de estado de una partícula (sin
spin) en una sola dimensión, es decir, el espacio abstracto
construido como en pero utilizando las funciones de onda que
dependen únicamente de la variable .
producto escalar
131](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-131-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Entonces se debe tener cuidado de recordar que representa el
bra asociado con el ket Dado que la correspondencia entre un
bra y un ket es anti lineal, tenemos:
. Notación de Dirác para el producto escalar
Ahora tenemos a nuestra disposición dos notaciones diferentes para
designar el producto escalar de por o
siendo el sostén asociado con el mercado A partir de entonces
vamos a usar sólo la notación (Dirác): Tabla se resumen,
en la notación de Dirác, las propiedades del producto escalar, que
ya figura en el
¿Hay un ket que corresponda a cada bra?
Aunque a cada ket corresponde un bra, vamos a ver en dos ejemplos
escogidos en que es posible encontrar bra que no tienen kets
correspondientes. Más adelante se muestran por qué esta dificultad
no nos impide en la mecánica cuántica.
Ejemplos elegidos en
Para simplificar, vamos a razonar en una dimensión.
Sea una función real suficientemente regular, tal que
, y tiene la forma de un pico de ancho y amplitud ,
centrado en [ver fig. es, por ejemplo, una de las
funciones consideradas en el del apéndice ]. Si ,
(cuadrado de su norma es del orden de ), Denotemos por el
correspondiente ket:
Una función que tiene un
134](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-134-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
pico en (de anchura y
amplitud ), cuya integral entre
y o es igual a
Si Supongamos que es el ket asociada a este bra,
porque todos los tenemos:
Ahora vamos a tienden a cero. Por un lado:
[el cuadrado de la norma de {x), que es del orden de ,
diverge cuando , por lo tanto:
Por otro lado, cuando la integral se aproxima a un
límite perfectamente bien definida, [ya que, por lo
suficientemente pequeño puede ser sustituido en (por
y se retira del integral]. En consecuencia, se acerca a un bra
que designaremos por es la función lineal que asocia con
cada ket de , el valor asumida por la función de onda
asociada en el punto
Así vemos que el sujetador existe, pero el ket no corresponde a
la misma.
De la misma manera,consideremos una onda plana que se trunca fuera
de un intervalo de anchura
135](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-135-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
La "geométrica" importante de es muy clara: es la "proyección
ortogonal" del operador en el ket
Esta interpretación se confirma por el hecho de que
(proyectando dos veces en sucesión en un vector dado es equivalente
a la proyección de una sola vez). Para ver esto, escribimos:
En esta expresión, es un número, que es igual a 1 [fórmula
]. Por lo tanto:
Proyector sobre un subespacio
Sea son vectores normalizados que son ortogonales
entre sí:
Denotamos por el subespacio de generado por estos vectores q.
Sea será el operador lineal definido por:
Calculando
tenemos, usando
Es por lo tanto, un proyector. Es fácil ver que los proyectores
sobre el subespacio ya que para cualquier
140](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-140-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
operador se asocia con el bra correspondiente al ket el
bra correspondiente a la junta Escribimos:
Vamos a demostrar que la relación es lineal. Sabemos
que, para el bra corresponde al ket
(la correspondencia entre un bra y un ket es antilineal) El operador
se transforma en
Por último, a este ket corresponde el bra:
De esto podemos concluir que:
Es por lo tanto, un operador lineal, definido por la fórmula:
A partir de es fácil deducir otra relación importante
satisfechos por el operador . Usando las propiedades del producto
escalar, siempre se puede escribir:
Donde es un arbitrario ket de Uso de expresiones para
y se obtiene:
Una relación que es válido para todos y
COMENTARIO SOBRE LA NOTACIÓN
Ya hemos mencionado una notación que puede llevar a confusión:
y donde es un escalar [fórmulas y ]. El mismo
problema surge con las expresiones y donde (A) es un
operador lineal. es otra forma de designar el mercado
143](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-143-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Se puede demostrar de la misma manera que el bra está
representado por una matriz de fila, el producto de la matriz
cuadrada que representa por la matriz fila representa [las
dos primeras matrices de la parte derecha de ]. Nuevamente
vemos la importancia del orden de los símbolos: la expresión
conduciría a una operación de matriz que es indefinido (el producto
de una matriz fila por una matriz cuadrada).
Desde un punto de vista de matriz, la ecuación que define
expresa simplemente la asociatividad del producto de las tres
matrices que aparecen en
Uso de las convenciones anteriores, se expresa por una
matriz cuadrada:
Esto es de hecho un operador, mientras que el producto de una
matriz de la columna por una matriz fila, es un número.
D. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA ADJUNTA DE
Usando se obtiene fácilmente:
o
Por lo tanto, las matrices que representan y en una
representación dada están conjugados hermiticamente el uno del otro,
en el sentido de la matriz: uno pasa de uno a otro por filas y
columnas intercambiando y luego tomando el complejo conjugado.
Si es hermitiana, entonces puede reemplazar por en
y por en
Un operador hermítico se representa por una matriz hermitiana, es
decir, una en la que cualquiera de los dos elementos que son
156](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-156-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Donde es la matriz de los elementos y es la matriz
unidad.
La ecuación llamada la ecuación característica (o ecuación
secular), nos permite determinar todos los valores propios del
operador es decir, su espectro. se puede escribir de forma
explícita en la forma:
Se trata de una ecuación de orden en y, en consecuencia,
tiene raíces, reales o imaginarios, distintos o idénticos, es
fácil de demostrar, mediante la realización de un cambio arbitrario
de la base, que la ecuación característica es. independiente de la
representación elegida. Por lo tanto, los valores propios de un
operador son las raíces de su ecuación característica.
Determinación de los vectores propios
Ahora vamos a elegir un valor propio una solución de la ecuación
característica y vamos a buscar a los vectores propios
correspondientes. Vamos a distinguir entre dos casos:
En primer lugar, supongamos que es una raíz simple de la
ecuación característica. A continuación, se puede demostrar que el
sistema cuando se compone de ecuaciones
independientes, es una continuación de los anteriores y por lo
tanto, redundante. Pero tenemos incógnitas, hay por lo tanto, un
número infinito de soluciones, pero todos los se puede determinar
de una manera única en términos de uno de ellos, por ejemplo . Si
fijamos , se obtiene de otros sistema de ecuaciones
lineales, homogéneas (el "lado derecho" de cada ecuación es el
término en ) con un factor determinante distinto de cero [las
ecuaciones son independientes]. La solución de este sistema es de la
forma:
163](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-163-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Teorema : si dos operadores y conmutan, cada sub espacio propio
de es globalmente invariante bajo la acción de
Teorema
Si dos observables y conmutan, y si y son dos
vectores propios de con valores propios diferentes, el elemento de
la matriz es cero.
Si y son vectores propios de podemos escribir:
Según el teorema de el hecho de que y conmutan, significa
que es un vector propio de con el valor propio es
por lo tanto (véase ) ortogonal a (autovector del
autovalor de ), que se puede escribir:
El teorema se demostró por lo tanto. Otra prueba puede darse, que
no implica el teorema de ya que el operador es cero,
tenemos:
Usando y la hermiticidad de [la ecuación ], se
obtiene:
y puede ser reescrita en la forma:
Dado que, por hipótesis, no es cero, se puede deducir
a partir de esta.
. Teorema (fundamental)
Si dos observables y conmutan, se puede construir una base orto
normal del espacio de estados con vectores propios comunes a y
Considere la posibilidad de dos observables de conmutando, y
Con el fin de simplificar la notación, supondremos que sus espectros
son totalmente discretos. Puesto que es un observable, existe al
170](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-170-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
La relación de clausura [fórmula ] es otra cosa que la
expresión en la representación de la relación de clausura
vectorial
d. EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
Hemos definido el producto escalar de dos ket de como igual a la
de las funciones de onda asociadas en [ecuación ]. A la luz de
la discusión en esta definición aparece simplemente como un caso
especial de la fórmula (C-21). (El) puede, de hecho, se
derivada mediante la inserción de la relación de clausura
entre y
y por la interpretación de los componentes y como en
Si nos situamos en la representación , una propiedad bien
conocida de la transformada de Fourier se demuestra (el apéndice
).
e. CAMBIO DE LA REPRESENTACIÓN A LA REPRESENTACIÓN
Esto se logra utilizando el método indicado en la única
diferencia derivada del hecho de que estamos tratando aquí con dos
bases continuas. Cambio de una base a la otra trae en los números:
Un determinado ket es representado por en la
representación y por en la representación . Ya
sabemos que [la fórmula ] que y están relacionados por
una transformada de Fourier.
Esto es lo que las fórmulas para el rendimiento de la
representación del cambio:
180](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-180-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Donde los números son, precisamente, los tres índices que
etiquetan el ket y se considera que los "componentes" de
un "operador vectorial" por el momento, vamos a tratar esto como
una simple notación condensada, sugiere el hecho de que (son
los componentes del vector ordinario
La manipulación de los operadores es particularmente simple
en la representación . Por ejemplo, para calcular el elemento de
matriz todo lo que necesitamos hacer es insertar la
relación de clausura entre y el uso y la definición
Del mismo modo, se define el operador vectorial por sus
componentes , cuya acción, en la representación , está
dada por:
Donde son los tres índices que aparecen en el ket
Vamos a determinar cómo el operador P actúa en la representación
.
Para ello se utiliza la relación de cierre y la
matriz de transformación para obtener:
Reconocemos en la transformada de Fourier de es decir
([apéndice la relación de ]. Por lo tanto:
182](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-182-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
lector con las propiedades de
los observables de trayecto y el
concepto de un en un caso
especial muy simple. Se
recomienda que estos ejercicios
se hará durante la lectura del
del capítulo II.
Complemento
LA DESIGUALDAD DE SCHWARZ
Para cualquier ket , perteneciente al espacio de estados
tenemos:
es igual a cero sólo cuando es el vector nulo [véase la
ecuación del capítulo ]. El uso de la desigualdad que se
derivan de la desigualdad de Schwarz, que establece que, si y
son los vectores arbitrarios de entonces:
la igualdad se dio cuenta de si y sólo si y son
proporcionales.
Teniendo en cuenta y considere el ket ,definido por:
donde es un parámetro arbitrario. Cualquiera que sea puede ser:
Que nos ha elegido para el valor:
189](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-189-320.jpg)
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Esta ecuación diferencial de segundo orden tiene un número infinito
de soluciones, sea cual sea el valor elegido para si tomamos
valores arbitrarios de y su derivada en cualquier punto, podemos
obtener para cualquier otro valor de La ecuación por sí
sola no puede, por lo tanto, tenemos que limitar los valores de
energía posibles. Sin embargo, vamos a mostrar aquí que si, además,
se imponen ciertas condiciones de contorno en la sólo un cierto
número de valores de siguen siendo posibles (la cuantificación de
los niveles de energía).
1. Cuantificación de las energías Estado ligado
Vamos a llamar a los "estados ligado de la partícula" estados cuyas
funciones de onda satisfacen la ecuación de valor propio y
son de cuadrado integrable [indispensable si es en realidad
para describir el estado físico de una partícula]. Estos son por lo
tanto, los estados estacionarios, para que la densidad de
probabilidad de posición .Toma valores no despreciables sólo
en una región limitada de espacio [para que converga,
debe tender a cero con la suficiente rapidez cuando
]. Los estados ligados nos recuerdan el movimiento clásico en el que
la partícula oscila dentro del pozo sin poder salir (de energía
negativo, pero mayor que ) veremos que en la mecánica cuántica,
el hecho de que se requiere que sea cuadrado integrable,
implica que las energías posibles forman un conjunto discreto de
valores que también se incluyen entre y para entender esto,
volvamos a la posibilidad de la figura (1-a). para simplificar,
supondremos que (Vx) es idénticamente igual a cero fuera de un
intervalo . Si (región ) y la solución de la
ecuación (1) inmediatamente se puede escribir:
- Si
216
* Los efectos de un potencial vector A se estudiará más adelante,
en particular en complemento Ev,.
** La energía potencial, por supuesto, sólo se define dentro de una
constante. Por convención, se establece el potencial igual a cero en
el infinito.](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-216-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
coeficiente multiplicativo]. El valor de en el intervalo
(región ) se obtiene por extension de hay que
buscar la solución de la ecuación que es igual a por y
cuya derivada en este punto es igual a . La función
(cpnx) obtenida depende de y, desde luego, en la expresión exacta
para No obstante, puesto que es una ecuación diferencial de
segundo orden, está determinada únicamente por las condiciones
de contorno anteriores, es, además, real (que nos permite trazar
curvas como las de las figuras y ). Todo lo que ahora queda
por hacer es obtener la solución cuando (región ); esta
solución puede escribirse:
donde y son constantes reales determinados por las dos
condiciones de continuidad para y en el punto . y
dependen de así como en la función
Por tanto, hemos construido una solución de la ecuación tal
como la que se muestra en la figura ¿Es esta solución de cuadrado
integrable? Vemos de que, en general, no lo es, excepto cuando
es igual a cero (este caso especial se muestra en la figura ).
Ahora, para una función dada es una función de a través del
intermediario Los únicos valores de para los que existe un
estado ligado por tanto, son soluciones de la ecuación
Estas soluciones (ver fig. 2) forman un espectro discreto
que, por supuesto, depende del potencial elegido (lo veremos en
la siguiente sección donde todas las energías son mayores que
).
Así llegamos al siguiente resultado: los valores de estado de la
energía por posibles para una partícula situada en un pozo de
potencial de la forma forma arbitraria un conjunto discreto (a
menudo se dice que las energías están cuantizadas estado ligado).
Este resultado puede ser comparado con la cuantificación de los
modos electromagnéticos en una cavidad. No hay análogo en la
mecánica clásica, donde, como hemos visto, todos los valores de
energía comprendido entre y son aceptables. En la mecánica
cuántica, el nivel más bajo de energía se llama el estado
219](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-219-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Tuvimos que rechazar los valores positivos de la energía, ya que
condujo a las funciones propias del Hamiltoniano que, en el
infinito, se comportó como superposiciones de exponenciales no-
cuadrado-integrables Sin embargo, hemos visto ya en el capítulo
que, mediante la superposición de funciones lineal, se puede
construir cuadrado-integrables las funciones de onda (paquetes
de onda) que por lo tanto puede representar el estado físico de una
partícula. Es evidente que, dado que los estados así obtenido
implican varios valores de (es decir, de la energía), que ya no
son estados estacionarios, la función de onda (por lo tanto,
evoluciona con el tiempo, de multiplicación y de deformarse . Sin
embargo, el hecho de que está ya expandido en términos de las
funciones propias nos permite calcular la evolución de manera
muy simple [como lo hicimos, por ejemplo, en el complemento donde
se utilizó las propiedades de para calcular los coeficientes de
transmisión y reflexión de una barrera de potencial, el retraso en
la reflexión, etc.] Por esta razón, a pesar de que cada uno de los
no solo puede representar a un estado físico, es útil para
estudiar las funciones propias** de energía positiva de como ya
lo hemos hecho, en el complemento para ciertos potenciales
cuadrados. En el complemento, vamos a estudiar de una manera general
(limitándonos, sin embargo, para problemas unidimensionales) el
efecto de un potencial en las funciones propias de energía
positiva Vamos a suponer nada sobre la forma de que puede
presentar uno o varios obstáculos, pozos, etc, salvo que tiende
a cero fuera de un intervalo finito del eje . Vamos a
demostrar que, en todos los casos, el efecto de en las funciones
puede ser descrita por una matriz , que posee un cierto
número de propiedades generales. Por lo tanto se obtienen resultados
diferentes que son independientes de la forma del potencial
elegido. Por ejemplo, se verá que los coeficientes de transmisión y
reflexión de una barrera (ya sea simétrico o no) son los mismos para
una partícula viene de la izquierda y de una partícula de la misma
energía procedente de la derecha. Un objetivo adicional de este
complemento es la de servir como punto de partida para los
cálculos de complemento en el que estudiar las propiedades de
una partícula en un potencial periódico
225](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-225-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Si ahora consideramos una partícula que viene por la derecha,
tenemos que tomar lo que da:
Los coeficientes de transmisión y reflexión son ahora igual a:
La comparación de y muestra que y que
para una energía dada, la transparencia de una barrera (ya sea
simétrico o no) es por lo tanto, siempre es el mismo para las
partículas procedentes desde la derecha y desde la izquierda.
Además, a partir de tenemos:
Cuando la igualdad se realiza, el coeficiente de reflexión es cero y
el coeficiente de transmisión es igual a (resonancia). Por otro
lado, la situación inversa no es posible: desde que impone
una nunca puede tener y [excepto en el caso en
que y tienden simultáneamente hacia el infinito]. En realidad,
esta situación puede ocurrir solamente para Para ver esto,
dividir la función definida en por .Si tiende a
infinito, la función de onda será igual a cero en el lado izquierdo,
y por lo tanto necesariamente, por extensión, cero en el lado
derecho. Sin embargo, esto es imposible a menos que y
3. ejemplo
Volvamos a los potenciales cuadrados estudiados en del
complemento en la región es igual a una
constante (véase la figura 2, donde (ha sido elegida para ser
positivo). En primer lugar, supongamos que (es menor que y
establece:
232](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-232-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
c. Bandas prohibidas: estados estacionarios localizados en los
bordes
En el complemento, vamos a estudiar las propiedades cuánticas de
una partícula situada en un potencial que tiene una estructura
periódica. Las funciones que consideraremos no será
necesariamente periódico en el sentido estricto de la palabra, sino
que basta para que tengan la forma de una función periódica en una
región finita del eje (fig. ), que es decir, que es el
resultado de la yuxtaposición de N veces el mismo motivo, a
intervalos regulares [es verdaderamente periódico sólo en el
límite ].
FIGURA 1
Potencial que tiene
una estructura periódica
al obtenerse a través de
la yuxtaposición de
veces el mismo motivo (
en la figura).
Tales estructuras periódicas se encuentran, por ejemplo, en el
estudio de una molécula lineal formado por (átomos o grupos de
átomos) que son idénticos y espaciadas por igual. También se
encontró en la física de estado sólido, cuando se elige un modelo
unidimensional con el fin de comprender la disposición de los
niveles de energía de un electrón en un cristal. Si es muy grande
(como en el caso de una macromolécula lineal o un cristal
macroscópico), el potencial es dado en una amplia región del
espacio por una función periódica, y las propiedades de la partícula
se puede esperar que sea prácticamente el mismo que lo que serían si
eran realmente periódica. Sin embargo, desde un punto de vista
físico, el límite en el infinito no se alcanza nunca, y nos
ocuparemos aquí con el caso de que N es arbitraria.
Para estudiar el efecto del potencial en una función propia
del hamiltoniano de valor propio se podrán introducir una
matriz , la matriz de iteración que depende Vamos a
demostrar que el comportamiento de es totalmente diferente
dependiendo de si los valores propios de la matriz de iteración son
reales o imaginarios. Puesto que estos valores propios dependen de
la energía seleccionado, vamos a ser útil para distinguir entre
los ámbitos de la energía que corresponde a valores propios reales y
235](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-235-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Recordemos [cf. complementar relación ] que el módulo de es
mayor que lo mismo es cierto tanto de El discriminante
de la ecuación de segundo grado es:
Dos casos pueden presentarse a continuación:
Si la energía es tal que:
(por ejemplo, si, en la figura una está entre y , un
conjunto puede:
con:
241
FIGURA 2
Variación con respecto a del
número complejo.
Puesto que la curva
obtenida en el plano complejo,
queda fuera del círculo centrado
en de radio unidad. La
discusión siguiente se muestra
que si es menor que es
decir, si el valor de elegido
proporciona un punto de la curva
que se encuentra entre las dos
líneas verticales de trazos de
la figura, la energía
correspondiente cae en una
"banda permitida", en el caso
contrario, se cae en una banda
de "prohibido".](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-241-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Es evidente a partir de esta expresión que el comportamiento de la
función de onda es muy diferente dependiendo de si es menor o
mayor que en el dominio de la energía de la función de onda. En el
primer caso, la fórmula muestra que el efecto de atravesar las
barreras sucesivas se expresa en ( C2) por un desplazamiento de
fase en los componentes de la matriz de la columna con respecto
a y El comportamiento de aquí recuerda a la de una
superposición de exponenciales imaginarias. Por otro lado, si la
energía es tal que la fórmula indica que sólo uno de los
dos valores propios (por ejemplo, ) tiene un módulo mayor que
Para lo suficientemente grande, tenemos como resultado:
y por lo tanto, aumentan de forma exponencial con [excepto
en el caso especial donde ], la función de onda y luego
aumenta en el módulo a medida que atraviesa las barreras potenciales
sucesivas, y su comportamiento recuerda a la de una superposición de
exponenciales reales.
b. La reflexión de Bragg, las energías posibles para una partícula
en un potencial periódico
Dependiendo de si se comporta como una superposición de
exponenciales reales o imaginarios, los fenómenos que resultan
razonablemente se puede esperar a ser muy diferente.
Vamos a evaluar, por ejemplo, el coeficiente de transmisión del
conjunto de las barreras idénticos. Por estas barreras , la
relación muestra que la matriz desempeña un papel
análogo al desempeñado por para una sola barrera. Ahora, de
acuerdo a la relación del complemento el coeficiente de
transmisión se expresa en términos del elemento de esta matriz
que se coloca en la primera fila y la columna de primera [la inversa
de es igual al cuadrado del módulo de este elemento]. lo que
ocurre si la energía de la partícula se elige a fin de hacer que
los valores propios de real, es decir, dado por ? Cuando se
hace suficientemente grande, el valor propio se convierte
en dominante, y la matriz aumenta exponencialmente con
243](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-243-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
[como también puede verse en la relación ] En consecuencia, el
coeficiente de transmisión disminuye exponencialmente.:
En este caso, para grandes valores de (N), el conjunto de (n)
barreras de potencial refleja la partícula prácticamente sin falta.
Esto se explica por el hecho de que las ondas dispersadas por las
barreras de potencial diferentes interferir totalmente destructiva
para la onda transmitida, y constructivamente para la onda
reflejada. Este fenómeno por lo tanto se puede comparar a la
reflexión de Bragg. Nota, además, que esta interferencia destructiva
para la onda transmitida puede ser producido, incluso si la energía
(E) es mayor que la altura de la barrera (un caso donde, en la
mecánica clásica, se transmite la partícula).
No obstante, si el coeficiente de transmisión de una barrera aislado
está muy cerca de tenemos [por ejemplo, en la figura
si es decir, la energía , se aproxima al infinito]. El
punto que representa el número complejo es entonces muy cerca
de la circunferencia de radio unidad centrado en Figura 2
muestra que las regiones del eje de energía donde es decir,
donde se produce la reflexión total, son muy estrechas y
prácticamente se puede considerar como valores de energía aislados.
Físicamente, esto se explica por el hecho de si la energía de la
partícula incidente es mucho mayor que la amplitud de la variación
del potencial su cantidad de movimiento está bien definido,
como es la longitud de onda asociada. La condición de Bragg
(donde es un número entero) da entonces así definidas por valores
de energía.
Si, por otro lado, la energía de la partícula cae en un dominio
donde los valores propios son de módulo como en los elementos
de la matriz infinito enfoque ya no cuando lo hace. Bajo
estas condiciones, el coeficiente de transmisión no se aproxima
a cero cuando el número de barreras se incrementa. Estamos
nuevamente frente a un fenómeno puramente mecánico, relacionado con
la naturaleza ondulatoria de la función de onda, lo que permite que
se propague en la estructura regular potencial periódico sin ser
atenuada exponencialmente. Nótese especialmente que el coeficiente
de transmisión es muy diferente a partir del producto de los
coeficientes de transmisión individuales de las barreras adoptadas
244](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-244-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
prácticamente sólo en los valores de en la región en la que es
periódica, y no sobre los efectos de borde (a condición, por
supuesto, que el número de pozos de potencial es suficientemente
grande). Además, se deberá verificar el resultado obtenido en
intuitivamente mostrando que la mayor parte de las energías
posibles se agrupan en bandas de energía permitidos. Sólo unos pocos
estados estacionarios, localizados cerca de los bordes, dependen de
una manera crítica en la variación de en esta región y pueden
tener una energía que cae dentro de una banda prohibida.
Por lo tanto, procederá esencialmente como en el complemento
examinando en primer lugar, precisamente, las condiciones impuestas
a la función de onda de un estado estacionario.
A. CONDICIONES IMPUESTAS PARA EL FUNCIÓN DE ONDA
En la región donde es periódica, la relación da la forma de
la función de onda los coeficientes y se determina a
partir de Para escribir de manera más explícita, definamos;
A continuación, se obtiene:
Ahora vamos a examinar las condiciones de contorno en la función de
onda En primer lugar, a la izquierda, lejos de la celosía,
es igual a y se escribe en la forma:
con:
(eliminamos la solución en que diverge cuando ). La
corriente de probabilidad asociada con la función de es cero
(Véase complemento ). Ahora, para un estado estacionario, esta
corriente es independiente de [Véase complemento ,relación ],
por lo tanto, sigue siendo igual a cero en todos los (incluso
247](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-247-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
dentro de la red). De acuerdo a la relación del complemento
de los coeficientes y por lo tanto, necesariamente tienen los
mismos modulus.Thus, si optamos por expresar las condiciones de
contorno sobre la izquierda, como las relaciones entre los
coeficientes de y [es decir, por escrito que la expresión para
para es la extensión de la función de onda ], nos
encontramos con una relación de la forma:
es una función real de (y por tanto de la energía que
depende del comportamiento preciso de en el borde izquierdo de
la red [en lo que sigue, no se necesita el expresión exacta para
esta función (el punto esencial es que las condiciones de
contorno de la izquierda tienen la forma ].
El mismo tipo de razonamiento, obviamente, se puede aplicar a la
derecha donde las condiciones de contorno se escriben:
donde la función real depende del comportamiento de en el
borde derecho de la red.
Para resumir, podemos decir que la cuantificación de los niveles de
energía puede obtenerse de la siguiente manera:
- Empezamos con dos coeficientes y que satisfacen lo que
asegura que la función (cpax) seguirá siendo limitada cuando
Puesto que se define en su interior. un factor
constante, podemos elegir, por ejemplo:
- Entonces calcular, utilizando los coeficientes y el fin
de ampliar la función de onda elegida a lo largo de todo el cristal.
Tenga en cuenta que la condición implica que es real (véase
el complemento cálculo de y (debe ceder el paso, por
tanto:
248](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-248-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
- Por último, se escribe que los coeficientes y satisfacen
una relación que asegura que seguirá siendo limitada cuando
De hecho, la relación muestra que la relación
es automáticamente un número complejo de módulo unidad;. Condición
por lo tanto, equivale a una igualdad entre las fases de dos
números complejos Así se obtiene una ecuación real en que tiene
un cierto número de soluciones reai dando las energías permitidas.
Vamos a aplicar este método, distinguir entre dos casos: valores
propios reales de [caso donde ] y los imaginarios [el caso
donde( ] .
b. LAS BANDAS DE ENERGÍA ADMITIDAS: estados estacionarios del
partícula dentro de LA RED
En primer lugar suponemos que la energía está en un dominio
donde
a. Forma de la ecuación de cuantificación
Tomando en cuenta, las relacion se convierten en:
Además, hemos visto que la elección de y implica que
para todo Ahora bien, es fácil demostrar que las relaciones
dan dos números complejos conjugados sólo si:
Condición , entonces se puede escribir:
Esta ecuación EN es la que ofrece la cuantificación de los
niveles de energía. Para solucionarlo, vamos a configurar:
puede, en principio, se calcula a partir de y la matriz
]. La ecuación puede a continuación, se pued escribir
simplemente:
249](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-249-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Los niveles de energía, por lo tanto dada por:
con:
[los otros valores de deben ser excluidos como la condición
aquí las fuerzas de para variar dentro de un intervalo de ancho
Ya podemos ver que si es muy grande, podemos escribir la
ecuación en la forma simplificada:
gráfica de la solución, la localización de los niveles de energía
Si sustituimos la definición de (en se obtiene una
ecuación en una que da a las energías permitidas. Para resolver
gráficamente, empecemos por el seguimiento de la curva que
representa la función ( Debido a la exponencial
imaginaria se espera que esta curva para tener un comportamiento
oscilatorio, del tipo de la que se muestra en la figura Puesto
que es mayor que [cf. complemento la relación ], la
amplitud de la oscilación es mayor que por lo que la curva
intersecta las dos líneas rectas (en ciertos valores
de la variable A continuación, eliminar todas las
regiones del eje, limitada por estos valores, donde la condición
no se satisface. Utilizando el conjunto de arcos de las
curvas obtenidas para que debe representar la función:
250](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-250-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
importante para determinar las energías posibles. Es interesante
considerar los dos casos siguientes limitantes:
Si (libre de partículas), tenemos
y obtenemos:
(la línea discontinua correspondiente se muestra en la figura
como una línea discontinua). La relación revela que el estado
siempre es satisfecha: como sabemos, las bandas prohibidas no
existen para una partícula libre.
Figura 6 por lo tanto nos permite ver el efecto del potencial
en la curva Cuando las bandas prohibidas aparecen, las curvas
que representan la energía se deforma para tener tangentes
horizontales para y (los bordes de la banda). A
diferencia de lo que ocurre para una partícula libre, existe un
punto de inflexión para cada banda donde la energía varía
linealmente con
Si el coeficiente de transmisión es prácticamente cero,
tenemos [cf. complementan las ecuaciones y ]:
En la figura 2, el punto que representa el número complejo es
muy lejos del origen. Por lo tanto ver en esta figura que las
regiones de el eje donde son extremadamente estrecho Las
bandas permitidas por lo tanto reducir si el coeficiente de
transmisión de las disminuciones de barrera elementales; en el
límite de cero. transmisión, se reducen a niveles individuales en un
aislado también. Inversamente, tan pronto como el efecto túnel
permite la partícula para pasar de un bien a la siguiente, cada uno
de los niveles discretos de la bien da lugar a una banda de energía,
cuya anchura aumenta a medida que crece el coeficiente de
transmisión. volveremos sobre esta propiedad en el complemento
254](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-254-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
En un problema unidimensional, considere una partícula de energía
potencial donde es una constante positiva [ surge,
por ejemplo, desde un campo de gravedad o un campo eléctrico
uniforme].
a. Escribir el teorema de Ehrenfest para los valores medios de la
posición y el momento de la partícula. Integrar estas
ecuaciones; comparar con el movimiento clásico.
b. Demostrar que la desviación de la raíz cuadrada media no
varía con el tiempo.
c. Escribir la ecuación de Schrödinger en la representación .
Deducir de ella una relación entre y
Integre la ecuación obtenida de este modo, dar una interpretación
física.
6. Considerar la función de onda tridimensional
Donde y son tres longitudes positivas.
a. Calcular la constante que normaliza
b. Calcular la probabilidad de que una medición de producirá un
resultado comprendido entre y
c. Calcular la probabilidad de que las mediciones simultáneas de
y se obtendrán resultados incluidos, respectivamente, entre y
y y
d. Calcular la probabilidad de que una medición del impulso
producirá un resultado incluido en el elemento centrada en
el punto
7. Supongamos que sea la función de onda normalizada de
una partícula. Expresar en términos de la probabilidad para:
a. Una medición de la abscisa para producir un resultado
comprendido entre y
b. una medida de la componente del momento, para producir un
resultado comprendido entre y
259](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-259-320.jpg)
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c. mediciones simultáneas de y para dar:
d. mediciones simultáneas de para dar:
Demuestre que esta probabilidad es igual al resultado de cuando
e. una medida del componente de la posición, para
producir un resultado comprendido entre y
8. Sea es la corriente de probabilidad asociada a una función de
onda , que describe el estado de una partícula de masa [cap.
las relaciones y ].
a. Demuestre que:
Donde es el valor medio del impulso.
b. Considere la posibilidad de que el operador (momento angular
orbital) definida por Son los tres componentes de ,
Operadores hermitianos? Establecer la relación:
9. Uno quiere demostrar que el estado físico de una partícula (sin
spin) está completamente definida especificando la densidad de
probabilidad y la corriente de probabilidad
a. Supongamos que la función es conocido y sea su
argumento:
Demuestre que:
260](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-260-320.jpg)
![MECANICA CUANTICA (COHEN) Vol I
Deducir que dos funciones de onda que conducen a la misma densidad
y de corriente (J (r)) pueden diferir sólo por un factor de
fase global.
b. Dadas las funciones arbitrarias y muestran que un estado
cuántico puede estar asociado con ellos sólo si donde
es la velocidad asociada con el fluido de probabilidad.
c. Supongamos ahora que la partícula se somete a un campo magnético
[Véase el cap. definición de la corriente de probabilidad
en este caso]. Demuestre que:
y:
10. teorema del virial
a. En un problema unidimensional, considere una partícula con el
hamiltoniano:
donde:
Calcular el conmutador Si existe uno o varios estados
estacionarios en el potencial muestran que los valores
medios y de las energías cinéticas y potencial en estos
estados satisfacen la relación:
b. En un problema de tres dimensiones, se escribe:
Calcular el conmutador [H, R. P]. Supongamos que (V
(R)) es una función homogénea de orden n en las variables ¿Qué
relación existe necesariamente entre la energía cinética media y la
energía potencial media de la partícula en un estado estacionario?
261](https://image.slidesharecdn.com/mecanicacuantica-170605033334/85/Mecanica-cuantica-1-vol-1-261-320.jpg)
Subido porDarwin Huaman S
Mecanica cuantica 1 - vol 1
El documento trata sobre un texto de mecánica cuántica diseñado para estudiantes universitarios, cubriendo tanto las conferencias como los ejercicios relacionados con el tema. Se enfatiza la relevancia de la mecánica cuántica en la física moderna y se propone un enfoque didáctico que introduce los postulados desde el principio para facilitar la comprensión. Además, el texto se presenta como una herramienta para diversos niveles académicos, incluyendo estudiantes de pregrado y posgrado, con una adecuada separación entre capítulos y complementos.
Mecanica cuantica 1 - vol 1
- 2. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Estructura y el nivel de este texto No es necesario hacer hincapié en la importancia de la mecánica cuántica en la física moderna y la química. Los programas actuales de la universidad, naturalmente, refleja esta importancia. En las universidades francesas, por ejemplo, una introducción esencialmente cualitativa fundamental a las ideas de la mecánica cuántica se da en el segundo año. En el último año del programa de licenciatura de física, mecánica cuántica básica y sus aplicaciones más importantes son estudiadas en detalle. Este libro es el resultado directo de varios años de la enseñanza de la mecánica cuántica en el último año de la licenciatura, por primera vez en dos cursos paralelos en la Faculté des Sciences de París y luego en la Universidades de París VI y VII de París. Sentimos que es importante para marcar una clara separación, en la estructura de este libro, entre los dos aspectos diferentes pero complementarios (conferencias y recitales) de los cursos impartidos durante este tiempo. Por esta razón, hemos dividido este texto en dos partes distintas (ver "Instrucciones de uso" al comienzo del libro). Por un lado, los capítulos se basan en las conferencias dictadas en los dos cursos, que en comparación, discutido y ampliado antes de escribir la versión final. Por otro lado, el "complemento" surgió a partir de las recitaciones, ejercicios y problemas de atención a los estudiantes, y los informes de que algunos de ellos fueron preparados. Las ideas también llegaron de otros cursos dados en otras circunstancias o en otros niveles (sobre todo en los programas de posgrado). Como hemos señalado en las "Instrucciones de uso", los capítulos en su conjunto constituyen, más o menos, un curso que se prevé la enseñanza a los estudiantes universitarios de cuarto año o aquellos cuyo nivel es equivalente. Sin embargo, los complementos no están destinados a ser tratados en un solo año. El lector, profesor o estudiante, debe elegir entre ellos de acuerdo con sus intereses, gustos y objetivos. A lo largo de la escritura de este libro, nuestra preocupación constante ha sido que nos dirigimos a los estudiantes en física, como las que hemos enseñado durante los últimos años. Excepto en unos pocos complementos, que no han sobrepasado los límites. Además, hemos tratado de tener en cuenta lo que hemos visto las dificultades de los estudiantes en la comprensión y asimilación de la mecánica cuántica, así como a sus preguntas. Esperamos, por supuesto, que este libro también será de utilidad para otros lectores como los estudiantes de posgrado, a partir de los investigadores y profesores de enseñanza secundaria. El lector no está obligado a estar 2
- 3. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I familiarizado con la física cuántica: algunos de nuestros estudiantes. Sin embargo, creemos que el curso de la mecánica cuántica que proponemos (ver "General", más abajo) debe ser complementado con un ciclo más descriptiva y más orientado de forma experimental, en la física atómica, por ejemplo. Enfoque general Creemos que la familiaridad con la mecánica cuántica mejor puede ser adquirida mediante su uso para resolver problemas específicos. Por lo tanto, introducir los postulados de la mecánica cuántica muy temprano (en el capítulo III), con el fin de ser capaces de aplicarlos en el resto del libro. Nuestra experiencia en la enseñanza ha demostrado que es preferible introducir todos los postulados juntos en el comienzo en lugar de presentar en varias etapas. Del mismo modo, hemos optado por utilizar los espacios del Estado y la notación de Dirac desde el principio. Esto evita la repetición inútil que resulta de la presentación del formalismo más general de cada formalismo sólo después de haber desarrollado la mecánica ondulatoria es único en términos de funciones de onda. Además, un cambio tardío en la notación se corre el riesgo de confundir al alumno, y que plantea dudas sobre los conceptos que él más ha adquirió y aún no asimilado por completo. Después de un capítulo de introducción cualitativa de las ideas mecánico cuánticas, se utilizan simples analogías ópticas para familiarizar al lector con estos nuevos conceptos, se presentan, de manera sistemática, las herramientas matemáticas (capítulo H) y los postulados de la mecánica cuántica, así como una discusión de su contenido físico (capítulo III). Esto permite que el lector, desde el principio, tener una visión global de las consecuencias físicas de los nuevos postulados. A partir de los complementos del capítulo III tomamos aplicaciones, empezando por los más simples (de dos niveles de sistemas, el oscilador armónico, etc) y cada vez es más complicado (el átomo de hidrógeno, métodos de aproximación, etc.) Nuestra intención es proporcionar ejemplos de la mecánica cuántica, tomando muchos ejemplos de diferentes campos como la física atómica, la física molecular y física del estado sólido. En estos ejemplos se concentran en el aspecto de la mecánica cuántica de los fenómenos, descuidando los detalles específicos que se tratan en textos más 3
- 4. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I especializados. Siempre que sea posible, los resultados de la mecánica cuántica se comparan con los clásicos con el fin de ayudar al lector a desarrollar su intuición acerca de los efectos de la mecánica cuántica. Este punto de vista esencialmente deductivo nos ha llevado a evitar el estrés en la introducción histórica de las ideas de la mecánica cuántica, es decir, la presentación y discusión de los hechos experimentales que nos obligan a rechazar las ideas clásicas. Así, hemos tenido o renunciar a la aproximación inductiva, que es sin embargo, necesaria si la física es que fielmente retratada como una ciencia en continua evolución, provocada por la constante confrontación con los hechos experimentales. Tal enfoque nos parece que se adapta mejor a un texto de física atómica o de un curso de introducción a la física cuántica en un nivel más elemental. Del mismo modo, hemos evitado deliberadamente cualquier discusión de la filosofía implicaciones de la mecánica cuántica y de las interpretaciones alternativas que se han propuesto. Estas discusiones, si bien es muy interesante (ver sección 5 de la bibliografía), nos parece que pertenecen a otro nivel. Creemos que estas preguntas pueden ser fructíferamente consideradas sólo después de que uno ha dominado los "ortodoxos" teoría cuántica cuyos éxitos impresionantes en todos los campos de la física y la química obligados de su aceptación. Agradecimientos La enseñanza de las experiencias de las cuales este texto creció fueron los esfuerzos del grupo, perseguido durante varios años. Queremos agradecer a todos los miembros de los diversos grupos y, en particular, Jacques Dupont-Roc y Haroche Serge, por su colaboración amistosa, por los fructíferos debates que hemos tenido en nuestras reuniones semanales y de las ideas de los problemas y ejercicios que se han sugerido. Sin su entusiasmo y su valiosa ayuda, nunca habría sido capaz de emprender y llevar a cabo la redacción de este libro. Tampoco podemos olvidar a los físicos que nos introdujeron a la investigación, Alfred Kastler Brossel y Jean, para dos de nosotros, y Maurice Levy, para el tercero. Fue en el contexto de sus laboratorios que se descubrió la belleza y el poder de la mecánica cuántica. Tampoco hemos olvidado la importancia para nosotros de la física moderna que se enseña en el CEA por Albert Mesías, Claude Bloch y Abragam Anatole, en un momento en los estudios de postgrado no se incorporaron aún en los programas de la universidad francesa. 4
- 5. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Deseamos expresar nuestro agradecimiento a la Sra. Aucher, Baudrit, Chico, Brodschi, Emo, Heyvaerts, Lemirre, Touzeau para la preparación del manuscrito. Prefacio Este libro es esencialmente una traducción de la edición francesa que apareció a finales de 1973. El texto ha sido objeto de un cierto número de modificaciones. La más importante es la adición de una bibliografía detallada, con sugerencias sobre su uso que aparecen al final de cada capítulo o complementos. Este libro fue concebido originalmente para los estudiantes franceses de terminar sus estudios de pregrado o de comenzar su trabajo de investigación. Nos parece sin embargo que la estructura de este libro (la separación en capítulos y complementos - vea la sección "Instrucciones de uso") que lo hacen adecuado para otros grupos de lectores. Por ejemplo, para un estudiante primario por supuesto la Mecánica Cuántica, recomendamos el uso de los capítulos más importantes con sus simples complementos. Para un curso más avanzado, se podría añadir el resto de capítulos y un uso más difícil complementos. Finalmente, se espera que algunos de los más avanzados complementa ayudará a los estudiantes en la transición de un curso regular de la mecánica cuántica a temas actuales de investigación en diversos campos de la Física. Queremos agradecer a Nicole y Dan Ostrowsky, así como Hemley Susan, para la atención y el entusiasmo que trajeron a esta traducción. Sus observaciones a menudo conducen a una mejora del texto original. Además, estamos agradecidos a la Sra. Mathieu Audoin y la señora por su ayuda en la organización de la bibliografía. C. Cohen-Tannoudji B. Diu F. Laloë 5
- 6. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Ondas y partículas. Introducción a las ideas fundamentales de la mecánica cuántica ESQUEMA DEL CAPITULO I 6
- 7. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I A. Ondas electromagnéticas y fotones 1. Cuantos de luz y las relaciones de Planck- Einstein 2. Dualidad onda-partícula: a. El análisis del experimento de Young de la doble rendija b. Unificación cuántica de los dos aspectos de la luz 3. El principio de la descomposición espectral B. Partículas de materia y las ondas de materia 1. La relación de D’Broglie 2. Funciones de onda, la ecuación de Schrodinger C. Descripción cuántica de una partícula: paquetes de onda 1. Partícula libre 2. Forma del paquete de ondas en un momento dado 3. Relación de incertidumbre de Heisenberg 4. Tiempo de evolución de un paquete de ondas libres D. Partícula en un potencial escalar independiente del tiempo 1) Separación de variables. Estados estacionarios a) Existencia de estados estacionarios b) La superposición de estados estacionarios 2) Potencial CUADRADO unidimensional. Estudio cualitativo a) Significado físico de los potenciales cuadrados b) Analogía óptica c) Ejemplos 7
- 8. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En el estado actual del conocimiento científico, la mecánica cuántica desempeña un papel fundamental en la descripción y comprensión de los fenómenos naturales. De hecho, fenómenos que se producen en una pequeña escala (atómico o subatómico), no se puede explicar fuera del marco de la física cuántica. Por ejemplo, la existencia y las propiedades de los átomos, el enlace químico y la propagación de un electrón en un cristal no pueden ser entendidos en términos de la mecánica clásica. Incluso cuando sólo se ocupan de los objetos físicos macroscópicos (es decir, cuyas dimensiones son comparables a los encontrados en la vida cotidiana), es necesario, en principio, comenzar por el estudio del comportamiento de sus átomos constituyentes diferentes, iones, electrones, con el fin de llegar a una descripción científica completa. Hay muchos fenómenos que revelan, en una escala macroscópica, el comportamiento cuántico de la naturaleza. Es en este sentido que se puede decir que la mecánica cuántica es la base de nuestra actual comprensión de todos los fenómenos naturales, incluidos los tradicionalmente tratados en química, biología, etc Desde el punto de vista histórico, la idea cuántica contribuye a una notable unificación de los conceptos de la física fundamental por el tratamiento de partículas de materia y la radiación en las mismas condiciones. A finales del siglo XIX, la gente distingue entre las dos entes en los fenómenos físicos: la materia y la radiación, Leyes completamente diferentes se utilizaron para cada uno. Para predecir el movimiento de los cuerpos materiales, fueron utilizadas las leyes de la mecánica de Newton (véase el apéndice III). Su éxito, aunque de larga data, no era menos impresionante. Con respecto a la radiación, la teoría del electromagnetismo, gracias a la introducción de las ecuaciones de Maxwell, había producido una interpretación unificada de un conjunto de fenómenos que habían sido consideradas como pertenecientes a diferentes dominios: la electricidad, el magnetismo y la óptica. En particular, la teoría electromagnética de la radiación había sido espectacularmente confirmada experimentalmente por el descubrimiento de las ondas hertzianas. Finalmente, las interacciones entre la radiación y la materia se explican también por la fuerza de Lorentz. Este conjunto de leyes había llevado la física a un punto que puede considerarse satisfactorio, en vista de los datos experimentales a la vez. Sin embargo, a principios del siglo XX, la física iba a ser marcado por la profunda transformación que llevó a la introducción de la mecánica relativista y la mecánica cuántica. La "revolución" relativista y la "revolución’’ cuántica fueron, en gran medida, independientes, ya que desafió la física clásica en diferentes 8
- 9. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I puntos. Las leyes clásicas dejan de ser válidos para los cuerpos materiales que viajan a velocidades muy altas, comparable a la de la luz (dominio relativista). Además, también se encuentran a una escala atómica o subatómica (cuántica de dominio). Sin embargo, es importante tener en cuenta que la física clásica, en ambos casos, puede ser visto como una aproximación de las nuevas teorías, una aproximación que es válida para la mayoría de los fenómenos a una escala diaria. Por ejemplo, la mecánica newtoniana nos permite predecir correctamente el movimiento de un cuerpo sólido, siempre que sea no-relativista (la velocidad mucho menor que la de la luz) y macroscópica (dimensiones mucho mayores que las atómicas). Sin embargo, desde un punto de vista fundamental, la teoría cuántica sigue siendo indispensable. Es la única teoría que nos permite entender la existencia de un cuerpo sólido y los valores de los parámetros macroscópicos (densidad, calor específico, elasticidad, etc.) Asociados a ella. En la actualidad, todavía no disponemos de una teoría unificadora plenamente satisfactoria entre la mecánica cuántica y relativista, ya que las dificultades han surgido en este ámbito. Sin embargo, la mayoría de los fenómenos atómicos y moleculares están bien explicados por la no-relativista la mecánica cuántica que nos proponemos examinar aquí. Este capítulo es una introducción a las ideas cuánticas y "vocabulario". No se intenta aquí ser riguroso y completo. El objetivo esencial es despertar la curiosidad del lector. Fenómeno se ha descrito que perturban las ideas tan firmemente anclado en la intuición como el concepto de una trayectoria. Queremos hacer que la teoría cuántica "plausible" para el lector, mostrando simple y cualitativamente la forma en que nos permite resolver los problemas que se encuentran en una escala atómica. Más adelante volveremos sobre las diferentes ideas presentadas en este capítulo y entrar en más detalles, ya sea desde el punto de vista del formalismo matemático (cap. II), o desde el punto de vista físico (cap. III). En la primera sección (§ A), se introduce la base las ideas cuánticas (dualidad onda-partícula, el proceso de medición), basándose en el conocido experimentos ópticos. A continuación se muestra (§ B) cómo estas ideas pueden extenderse a las partículas materiales (función de onda, la ecuación de Schrödinger). Estudiamos junto con más detalle las características del "paquete de ondas" asociadas a una partícula, y se introducen las relaciones de incertidumbre de Heisenberg (§ C). Por último, analizamos algunos casos simples de los típicos efectos cuánticos (§ D). 9
- 10. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I A. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y FOTONES 1. Cuantos de luz y las relaciones de Planck-Einstein Newton consideraba la luz como un haz de partículas, capaces, por ejemplo, para recuperarse después de una reflexión de un espejo. Durante la primera mitad del siglo XIX, la naturaleza ondulatoria de la luz se demostró (interferencia, difracción). Esta óptica más tarde permitió a integrarse en la teoría electromagnética. En este marco, la velocidad de la luz, c, está relacionada con las constantes eléctricos y magnéticos y los fenómenos de polarización de luz pueden ser interpretadas como manifestaciones de carácter vectorial del campo eléctrico. Sin embargo, el estudio de la radiación de cuerpo negro, que la teoría electromagnética no podía explicar, dirigido Planck sugiere la hipótesis de la cuantización de la energía (1900): Para una onda electromagnética de frecuencia v, las energías posibles sólo son múltiplos enteros cuánticos de hv, donde h es una constante fundamental nueva. La generalización de esta hipótesis, Einstein propone un retorno a la teoría de partículas (1905): La luz se compone de un haz de fotones, cada uno con una energía hv. Einstein demostró cómo la introducción de los fotones ha permitido entender, de una manera muy simple, algunos aún sin explicar las características del efecto fotoeléctrico. Veinte años tuvieron que transcurrir antes de que el fotón se demostrara en realidad que existe, como un ente distinto, por el efecto Compton (1924). Estos resultados llevan a la conclusión siguiente: la interacción de una onda electro-electromagnética con la materia se produce mediante procesos elementales indivisible, en el que la radiación parece estar compuesto de partículas, los fotones. Parámetros de las partículas (la energía E y el momento p de un fotón) y los parámetros de onda (la frecuencia angular � = 2πv y el vector de onda k, donde | k | = 2π /λ, con la frecuencia v y la longitud de onda λ) están vinculados por las relaciones fundamentales: Donde = h/2π se define en términos de la constante de Planck h: 10
- 11. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Durante cada proceso elemental, la energía y la cantidad de movimiento deben ser conservadas. 2. Dualidad onda-partícula Así que hemos vuelto a una concepción particular de la luz. ¿Significa esto que debemos abandonar la teoría de las ondas? Por supuesto que no. Vamos a ver que los fenómenos típicos de onda, como la interferencia y la difracción no se podían explicar en un marco puramente de partículas. Analizar bien el conocido experimento de Young de la doble rendija nos llevará a la siguiente conclusión: una interpretación completa de los fenómenos que sólo pueden obtenerse mediante la conservación tanto en el aspecto de las ondas y el aspecto corpuscular de la luz (aunque parece, a priori, irreconciliables). A continuación, se mostrará cómo esta paradoja puede ser resuelta por la introducción de los conceptos fundamentales de la cuántica. a. ANÁLISIS DEL EXPERIMENTO DE YOUNG DE doble rendija El dispositivo utilizado en este experimento se muestra esquemáticamente en la figura 1. La luz monocromática emitida por la fuente cae en una pantalla opaca atravesando dos rendijas estrechas y que iluminan la pantalla de observación (una placa fotográfica, por ejemplo). Si bloqueamos obtenemos sobre una distribución de la intensidad de la luz que es el patrón de difracción de . De la misma manera, cuando está obstruido, el patrón de difracción de es descrito por Cuando las dos ranuras y están abiertas al mismo tiempo, se observa un sistema de franjas de interferencia en la pantalla. En particular, observamos que la intensidad correspondiente no es la suma de las intensidades producidas por y por separado: ¿Cómo se podría concebir de explicar, en términos de una teoría de partículas (visto en la sección anterior, al ser necesario), los resultados experimentales se acaba de describir? La existencia de un patrón de difracción, cuando sólo una de las dos rendijas está abierta podría, por ejemplo, se explica cómo debido a las colisiones de fotones con los bordes de la ranura. Tal explicación, por supuesto, tiene que ser desarrolladas con mayor precisión, y un 11
- 12. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I estudio más detallado se lo enseñaría a ser insuficiente. En su lugar, vamos a concentrarnos en el fenómeno de interferencia. Podríamos tratar de explicar por una interacción entre los fotones que pasan a través de la rendija de la F1 y los que pasan a través de la rendija de F2. Tal explicación podría dar lugar a la siguiente predicción: si la intensidad de la fuente de S(el número de fotones emitidos por segundo) se reduce hasta los fotones golpean la pantalla prácticamente uno por uno, la interacción entre los fotones deben disminuir y, finalmente, se desvanecen. Las franjas de interferencia por lo tanto, deben desaparecer. Diagrama de Young experimento de doble rendija interferencia de la luz (fig. a). Cada una de las ranuras F1 y F2 produce un patrón de difracción en la pantalla de S. Las intensidades correspondientes son I1 (x) e I2 (x) (líneas continuas en la figura b). Cuando las dos ranuras F1 y F2 están abiertas al mismo tiempo, la intensidad I (x) observado en la pantalla no es la suma de I1 (x) + I2 (x) (líneas de trazos en las figuras B y C), pero muestra las oscilaciones debidas a la interferencias entre los campos eléctrico radiado por la F1 y F2 (línea continua en la figura c). Antes de indicar la respuesta dada por la experiencia, recordar que la teoría ondulatoria proporciona una interpretación totalmente natural de las franjas. La intensidad de la luz en un momento de la S pantalla es proporcional al cuadrado de la amplitud del campo eléctrico en este punto. Si E1 (x) y E2 (x) representan, en notación compleja, los campos eléctricos producidos en x por aberturas F1 y F2, respectivamente (los cortes se comportan como fuentes secundarias), el campo total resultante en este punto cuando la F1 y F2 son abierto es *: 12
- 13. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Usando la notación compleja, entonces tenemos: Dado que las intensidades I1(x) e I2(x) son proporcionales, respectivamente, para y , la fórmula (A-5) muestra que I(x) difiere de I1(x) + I2(x) por un término de interferencia que depende de la diferencia de fase entre E1 y E2, y cuya presencia explica la periferia. La teoría de las ondas lo que predice que la disminución de la intensidad de la fuente S, simplemente hará que los márgenes para disminuir en intensidad, pero no desaparecen al. * Dado que el experimento estudiado aquí se realiza con la luz no polarizada, el carácter vectorial del campo eléctrico no juega un papel esencial. En aras de la simplicidad, lo ignoramos en este párrafo. ¿Qué sucede realmente cuando se emite fotones prácticamente uno por uno? Ni las predicciones de la teoría de las ondas ni los de la teoría de las partículas son verificadas. De hecho: (i) Si la cubierta de la pantalla de S con una placa fotográfica y aumentar el tiempo de exposición para captar un gran número de fotones en cada fotografía, se observa cuando los desarrollan al margen de que no han desaparecido. Por lo tanto, la interpretación puramente corpuscular, según la cual los márgenes se deben a una interacción entre fotones, debe ser rechazada. (ii) Por otro lado, podemos exponer la placa fotográfica durante un tiempo tan corto que sólo pueden recibir unos pocos fotones. A continuación, observar que cada fotón produce un impacto localizado en $ y no un patrón de interferencia muy débil. Por lo tanto, la interpretación de onda pura también debe ser desestimada. En realidad, en forma de fotones cada vez más la huelga la placa fotográfica, el fenómeno ocurre lo siguiente. Sus impactos individuales parecen estar distribuidos de forma aleatoria, y sólo cuando un gran número de ellos han llegado a S tiene la distribución de los impactos empiezan a tener un aspecto continuo. La densidad de los impactos en cada punto de S corresponde a las franjas de interferencia: máximo en una franja brillante y cero en una franja oscura. Por lo tanto, se puede decir que los fotones, a medida que llegan, se acumulan el patrón de interferencia. El resultado de este experimento por lo tanto, lleva, al parecer, a una paradoja. En el marco de la teoría de partículas, por ejemplo, 13
- 14. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I se puede expresar de la siguiente manera. Puesto que las interacciones de fotones se excluyen, cada fotón debe considerarse por separado. Pero entonces no está claro por qué los fenómenos deben cambiar drásticamente en función de que sólo una rendija o rendijas están abiertas tanto. Para pasar un fotón a través de uno de los cortes, ¿por qué el hecho de que el otro está abierto o cerrado tiene tal importancia? Antes de discutir este problema, tenga en cuenta que en el experimento anterior, que no tratan de determinar por qué rendija pasa cada fotón antes de llegar a la pantalla. Con el fin de obtener esta información, podemos imaginar la colocación de detectores (fotomultiplicadores) detrás de F1 y F2. A continuación, se observa que, si los fotones llegan uno a uno, cada uno pasa a través de una hendidura bien determinada (una señal es registrada ya sea por el detector colocado detrás de F1 o el F2 que cubre, pero no por ambos a la vez). Pero, obviamente, los fotones detectados de esta manera son absorbidos y no llegan a la pantalla. Quitar el fotomultiplicador que bloquea F1 por ejemplo. El que permanece detrás de F2 nos dice que, de un gran número de fotones, cerca de la mitad pasan a través de F2. Llegamos a la conclusión de que los otros (lo que puede continuar hasta la pantalla) pasan a través de la F1, pero el patrón que poco a poco construir en la pantalla no es un patrón de interferencia, ya que F2 está bloqueado. Es sólo el patrón de difracción de F1. b. QUANTUM unificación de los dos aspectos de la luz El análisis anterior muestra que es imposible explicar todos los fenómenos observados, si sólo uno de los dos aspectos de la luz, onda o como partícula, se considera. Ahora bien, estos dos aspectos parecen ser mutuamente excluyentes. Para superar esta dificultad, por lo tanto se hace indispensable volver a examinar de manera crítica los conceptos de la física clásica. Tenemos que aceptar la posibilidad de que estos conceptos, a pesar de nuestra experiencia cotidiana nos lleva a considerar bien fundada, no puede ser válida en el nuevo ("microscópica") de dominio que estamos entrando. Por ejemplo, una característica esencial de este nuevo dominio aparece cuando se colocó detrás de los mostradores rendijas de Young: cuando se realiza una medida en un sistema microscópico, uno se perturba de manera fundamental. Esta es una nueva propiedad, ya que, en el dominio macroscópico, siempre tenemos la posibilidad de concebir los dispositivos de medición, cuya influencia en el sistema es prácticamente tan débil como uno podría desear. Esta revisión crítica de la física clásica se impone por la experiencia y, por supuesto, debe ser guiado por la experiencia. 14
- 15. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a reconsiderar la "paradoja" se ha dicho sobre el fotón que pasa a través de una rendija, pero se comporta de forma diferente dependiendo de si la otra rendija está abierta o cerrada. Hemos visto que si tratamos de detectar los fotones cuando atraviesan las ranuras, que les impiden llegar a la pantalla. En términos más generales, un análisis experimental detallado muestra que es imposible observar el patrón de interferencia y conocer al mismo tiempo, por qué rendija ha pasado cada fotón (cf. complemento, D). Por lo tanto, es necesario, con el fin de resolver la paradoja, a renunciar a la idea de que un fotón pasa inevitablemente a través de una rendija en particular. Luego se nos llevó a cuestionar el concepto, que es un derecho fundamental de la física clásica, de la trayectoria de una partícula. Además, como los fotones llegan uno a uno, sus impactos en la pantalla poco a poco construir el patrón de interferencia. Esto implica que, para un fotón particular, no estamos seguros de antemano dónde se golpee la pantalla. Ahora bien, estos fotones son emitidos en las mismas condiciones. Así pues, otra idea clásica ha sido destruida: las condiciones iníciales determinan completamente el movimiento posterior de una partícula. Sólo podemos decir, cuando un fotón es emitido, que la probabilidad de golpear la pantalla en x es proporcional a la intensidad I (x) calcula utilizando la teoría de onda, es decir . Después de muchos esfuerzos tentativos que no se describe aquí, el concepto de la dualidad onda-partícula se formuló. Podemos resumir esquemáticamente de la siguiente *: (i) Los aspectos de partícula y de onda de la luz son inseparables. La luz se comporta simultáneamente como onda y como un flujo de partículas, la onda de lo que nos permite calcular la probabilidad de la manifestación de una partícula. (ii) Las predicciones sobre el comportamiento de un fotón sólo puede ser probabilística. (iii) La información acerca de un fotón en el tiempo t está dada por la onda E (r, t), que es una solución de las ecuaciones de Maxwell. Decimos que esta onda caracteriza el estado de los fotones en el tiempo t. E (r, t) se interpreta como la amplitud de probabilidad de un fotón que aparece, en el tiempo t, en el punto r. Esto significa que la probabilidad correspondiente es proporcional a 15
- 16. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Comentarios: (i) Dado que las ecuaciones de Maxwell son lineales y homogéneas, podemos utilizar un principio de superposición: si E1 y E2 son dos soluciones de estas ecuaciones, entonces , donde λ1 y λ2 son constantes, es también una solución. Este es el principio de superposición, lo que explica los fenómenos de ondas en la óptica clásica (interferencia, difracción). En la física cuántica, la interpretación de E (r, t) como una amplitud de probabilidad es esencial a la persistencia de estos fenómenos. (ii) La teoría sólo permite calcular la probabilidad de la ocurrencia de un evento dado. Verificaciones experimentales por lo tanto, debe basarse en la repetición de un gran número de experimentos idénticos. En el experimento anterior, un gran número de fotones, todos producidos de la misma manera, se emiten sucesivamente y construir el patrón de interferencia, que es la manifestación de las probabilidades calculadas. (iii) Estamos hablando aquí sobre "el estado del fotón", con el fin de poder desarrollar en el § B una analogía entre la E (r, t) y la función de onda ψ(r, t) que caracteriza el estado cuántico de una partícula material. Esta «analogía óptica" es muy fructífera. En particular, como veremos en el § D, que nos permite entender de manera sencilla y sin necesidad de recurrir al cálculo, diversas propiedades cuánticas de las partículas materiales. Sin embargo, no hay que llevarlo demasiado lejos, y dejar que nos llevan a creer que es rigurosamente correcto considerar E (r, t) como caracterizar el estado cuántico de un fotón. Además, veremos que el hecho de que ψ(r, t) es compleja es esencial en la mecánica cuántica, mientras que el E(r, t) en notación compleja se utiliza en la óptica de una cuestión de comodidad (sólo la parte real tiene un significado físico). La definición precisa del estado (complejo) cuántica de la radiación sólo se puede dar en el marco de la electrodinámica cuántica, una teoría que es a la vez 16
- 17. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I la mecánica cuántica y relativista. No vamos a considerar estos problemas aquí (vamos a tocar en Kv del complemento). 3. El principio de la descomposición espectral Armados con las ideas introducidas en el § 2, ahora vamos a hablar de otro experimento óptico simple, cuyo tema es la polarización de la luz. Esto nos permitirá introducir los conceptos fundamentales que se refieren a la medición de cantidades físicas. El experimento consiste en dirigir una onda plana polarizada la luz monocromática en un analizador de Oz A. designa la dirección de propagación de esta onda y el Parlamento Europeo, el vector unitario que describe su polarización (ver fig. 2). El analizador A transmite luz polarizada paralela a Ox y absorbe la luz polarizada paralela a Oy. La descripción clásica de este experimento (una descripción que es válida por un haz de luz lo suficientemente intensa) es la siguiente. La onda plana polarizada se caracteriza por un campo eléctrico de la siguiente forma: Donde Eo es una constante. La intensidad de la luz (I) es proporcional a /Eo/2-Después de su paso por el analizador de A, la onda plana polarizada a lo largo de Ox: Y su intensidad I ', proporcional a E'0 2, está dada por la ley de Malus: [ex es el vector unitario del eje Ox y � es el ángulo entre los ex, y ep]. 17
- 18. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 2 Un experimento simple medición en relación a la polarización de una onda de luz. Un rayo de luz se propaga a lo largo de la dirección Oz y atraviesa sucesivamente la P polarizador y el analizador de A. � es el ángulo entre el Oxy el campo eléctrico de la onda transmitida por el P. Las vibraciones transmitidas por A son paralelas a OX. ¿Qué pasará en el nivel cuántico, es decir, cuando (x) es lo suficientemente débil como para los fotones para alcanzar el analizador de uno por uno? (A continuación, coloque un detector de fotones detrás de este analizador.) En primer lugar, nunca el detector registra una "fracción de un fotón". Ya sea el fotón atraviesa el analizador o es totalmente absorbida por él. Siguiente (excepto en casos especiales que vamos a examinar en un momento), no podemos predecir con certeza si un fotón incidente dado pasará o ser absorbido. Sólo podemos conocer las probabilidades correspondientes. Por último, si enviamos un gran número N de fotones, uno tras otro, el resultado se corresponde con el derecho clásico, en el sentido de que alrededor de N fotones se detectan después del analizador. Nos reservamos las siguientes ideas de esta descripción: (i) El dispositivo de medición (el analizador, en este caso) puede dar resultados privilegiada, a sólo algunos, que llamaremos eigen (o apropiado) los resultados *. En el experimento anterior, sólo hay dos resultados posibles: el fotón atraviesa el analizador o se detiene. Se dice que no hay cuantificación de los resultados de la medición, en contraste con el caso clásico [cf. la fórmula (A-8)], donde la intensidad transmitida 18
- 19. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I I’ puede variar de forma continua, de acuerdo con el valor de �, entre 0 y I. (ii) Para cada uno de estos resultados eigen corresponde un estado propio. Aquí, los dos estados propios se caracterizan por: (ey es el vector unitario del eje Oy). Si ep = ex, sabemos con certeza de que el fotón atraviesan el analizador, y si ep = ey, será, por el contrario, definitivamente se detuvo. La correspondencia entre los resultados de eigen y auto estados tanto, es la siguiente. Si la partícula es, antes de la medición, en uno de los estados propios, el resultado de esta medida es cierto: sólo puede ser el resultado eigen asociados. (iii) Cuando el estado antes de la medida es arbitraria, sólo las probabilidades de obtener los diferentes resultados de eigen se puede predecir. Para encontrar estas probabilidades, se descompone el estado de las partículas en una combinación lineal de los autos estados diferentes. Aquí, por un ep arbitraria, escribimos: La probabilidad de obtener un resultado eigen dado es entonces proporcional al cuadrado del valor absoluto del coeficiente del estado propio correspondiente. El factor de proporcionalidad que está determinada por la condición de que la suma de todas estas probabilidades debe ser igual a 1. De este modo deducir de (A-10) que cada fotón tiene una probabilidad de atravesar el analizador y una probabilidad de ser absorbida por ella (ya sabemos que + = 1). Esto es lo que se dijo arriba. Esta regla se denomina en la mecánica cuántica el principio de descomposición espectral. Tenga en cuenta que la descomposición que se realiza depende del tipo de dispositivo de medición se está considerando, ya que uno debe usar los estados propios que le corresponden: en la fórmula (A- 19
- 20. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 10), la elección de los ejes Ox y Oy es fijado por el analizador. (iv) Después de pasar por el analizador, la luz está completamente polarizada a lo largo de ex. Si ponemos, después de que el primer analizador de A, un analizador de 2da A ', con el mismo eje, todos los fotones que atraviesa A también recorrerá A'. De acuerdo con lo que hemos visto en el punto (ii), esto significa que, después de haber cruzado A, el estado de los fotones es el estado propio caracterizado por e ^. Por ello, ha sido un cambio brusco en el estado de las partículas. Antes de la medición, este estado fue definido por un vector E(r, t), que fue alineados con el ep. Tras la medida, contamos con una pieza adicional de información (el fotón ha pasado) que se incorpora al describir el estado de un vector diferente, que ahora alineados con el ex,. Esto expresa el hecho, ya se ha señalado en § A-2, que la medida altera el sistema microscópico (en este caso, el fotón) de una manera fundamental. Comentario: La predicción de algunos de los resultados cuando ep=ex o ep =ey, es sólo un caso especial. La probabilidad de que uno de los eventos es posible entonces, ciertamente igual a 1. Pero, con el fin de comprobar esta predicción, se debe realizar un gran número de experimentos. Uno debe estar seguro de que todos los fotones pasan (o detenido), ya que el hecho de que un fotón en particular cruza el analizador (o absorbida) no es característica de ep = ex(o ep = ey). B. PARTÍCULAS DE MATERIA Y LAS ONDAS DE MATERIA 1. La relación de De Broglie Paralelo al descubrimiento de los fotones, el estudio de emisión y de absorción atómica al descubierto un hecho fundamental, que la física clásica no pudo explicar: estos espectros se componen de líneas estrechas. En otras palabras, un átomo emite o absorbe dado sólo fotones con frecuencias bien determinadas (es decir, energías). Este hecho puede ser interpretado con mucha facilidad si se acepta que la energía del átomo está cuantizada, es decir, que sólo puede tomar ciertos valores discretos Ei (i = 1, 2,..., n,...): la emisión o absorción de un fotón es entonces acompañado por un "salto" en la energía del átomo de un Ei valor permitido a otro Ej. Conservación de la energía implica que el fotón tiene una frecuencia tal que vij: 20
- 21. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Sólo las frecuencias que obedecen (B-l) por lo tanto, puede ser emitida o absorbida por el átomo. La existencia de niveles discretos de energía fue confirmada independientemente por el experimento de Franck-Hertz. Bohr interpretó en términos de privilegio órbitas electrónicas y señaló, con Sommerfeld, una regla empírica que permita el cálculo de las órbitas, para el caso del átomo de hidrógeno. Sin embargo, el origen fundamental de estas reglas de cuantización siendo un misterio. En 1923, sin embargo, de Broglie propuesto la siguiente hipótesis: las partículas materiales, así como los fotones, puede tener un aspecto ondulatorio. A continuación, derivan las reglas de cuantización de Bohr-Sommerfeld como consecuencia de esta hipótesis, los distintos niveles permitidos de energía que aparecen como los análogos de los modos normales de una cuerda vibrante. Experimentos de difracción de electrones (Davisson y Germer, 1927) confirmada de la existencia de un aspecto ondulatorio de la materia, demostrando que los patrones de interferencia se podría obtener con partículas de materia como los electrones. Uno por lo tanto, se asocia con una partícula material de energía E y momento p, una onda cuya frecuencia angular � = 2πv y vector de onda k vienen dados por las mismas relaciones que los fotones (cf. § A-l): En otras palabras, la longitud de onda correspondiente es: Comentario: El valor muy pequeño de la constante de Planck h explica por qué la naturaleza ondulatoria de la materia es muy difícil de demostrar en una escala macroscópica. Un complemento, de este capítulo trata 21
- 22. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I de los órdenes de magnitud de las longitudes de onda de De Broglie asociada a las partículas de diversos materiales. 2. Funciones de onda. Ecuación de Schrodinger. De acuerdo con la hipótesis de de Broglie, se aplicarán las ideas introducidas en § A para el caso de los fotones para todas las partículas materiales. Recordando las conclusiones de este apartado, nos lleva a la siguiente formulación: (i) Para la concepción clásica de una trayectoria, debemos sustituir el concepto de un estado variable en el tiempo. El estado cuántico de una partícula como el electrón * se caracteriza por una función de onda ψ(r, t), que contiene toda la información que es posible obtener sobre la partícula. (ii) ψ(r, t) se interpreta como una amplitud de probabilidad de la presencia de la partícula. Desde las posiciones posibles de la forma de partículas de un continuo, la probabilidad dP(r, t) de la partícula que, en el tiempo t, en un elemento de volumen d3r= dx dy dz situado en el punto r debe ser proporcional al d3r infinitesimal y por lo tanto, |ψ (r, t) 2 se interpreta como la densidad de probabilidad correspondiente, con: Donde C es una constante de normalización [véase el comentario (i) al final del § B-2]. (iii) El principio de la descomposición espectral se aplica a la medición de una magnitud física arbitraria: - El resultado que se obtiene debe pertenecer a un conjunto de resultados eigen {a}. - Con cada valor una se asocia un estado propio, es decir, una función propia t ψa(r). Esta función es tal que, si ψ(r, t0)= ψa (r) (donde t0 es el momento en que se realiza la medición), la medición siempre dará a. - Para cualquier ψ(r, t), la probabilidad Pa de encontrar un valor propio para la medición en el tiempo t0 se encuentra por la descomposición de ψ(r,t0) en términos de las funciones ψ(r): * No se tendrán en cuenta aquí la existencia del espín del electrón (cf. cap. IX). 22
- 23. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Entonces: (La presencia del denominador asegura que la probabilidad total es igual a 1: ) - Si la medición se obtiene un efecto, la función de onda de la partícula inmediatamente después de la medición es la siguiente: (iv) La ecuación que describe la evolución de la función j / (r, t) está por escribirse. Es posible que introducir de una manera muy natural, con la de Planck y las relaciones de De Broglie. Sin embargo, no tenemos ninguna intención de probar esta ecuación fundamental, que se llama la ecuación de Schrödinger. Simplemente se asume. Más tarde, vamos a discutir algunas de sus consecuencias (cuya verificación experimental probar su validez). Además, debemos considerar esta ecuación con mucho más detalle en el capítulo III. Cuando la partícula (de masa m) se somete a la influencia de un potencial V * (r, t), la ecuación de Schrödinger toma la forma: Donde ∆ es el operador laplaciano Nos damos cuenta de inmediato que esta ecuación es lineal y homogénea en ψ. En consecuencia, para partículas de materia, existe un principio de superposición que, junto con la interpretación de ψ como una amplitud de probabilidad, es la fuente de los efectos de onda. Tenga en cuenta, además, que la ecuación diferencial (B-8) es de primer orden con respecto al tiempo. Esta condición es necesaria si el estado de la 23
- 24. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I partícula en un tiempo t0, que se caracteriza por ψ(r,t0), es para determinar su estado posterior. Por tanto, existe una analogía fundamental entre la materia y la radiación: en ambos casos, una correcta descripción de los fenómenos exige la introducción de los conceptos cuánticos, y, en particular, la idea de la dualidad onda-partícula. Comentarios: (i) Para un sistema compuesto por una sola partícula, la probabilidad total de encontrar la partícula en cualquier lugar en el espacio, en el tiempo t, es igual a 1: Puesto que d P(r, t) está dada por la fórmula (B-4), se concluye que la función de onda ψ(r, t) debe ser de cuadrado integrable: La constante de normalización C que aparece en (B-4) está dada por la relación: (Veremos más adelante que la forma de la ecuación de Schrödinger implica que C es independiente del tiempo). A menudo se utiliza funciones de onda que están normalizados, de tal manera que: La constante C es entonces igual a 1. 24
- 25. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I * V (t, t) designa una energía potencial. Por ejemplo, puede ser el producto de un potencial eléctrico y la carga de la partícula. En la mecánica cuántica, V (r, t) se conoce comúnmente como un potencial. (ii) Tenga en cuenta la importante diferencia entre los conceptos de los estados clásicos y los estados cuánticos. El estado clásico de una partícula se determina en el tiempo t por la especificación de los seis parámetros que caracterizan su posición y su velocidad en el tiempo t: x, y, z, vx, vy, vz. El estado cuántico de una partícula está determinada por un número infinito de parámetros: los valores en los diferentes puntos en el espacio de la función de onda ψ(r, t) que se asocia con él. De la idea clásica de una trayectoria (la sucesión en el tiempo de los diferentes estados de la partícula clásica), debemos sustituir la idea de la propagación de la onda asociada a la partícula. Consideremos, por ejemplo, el experimento doble rendija de Young, descrito anteriormente para el caso de los fotones, pero que, en principio, también se puede realizar con las partículas materiales como electrones. Cuando el patrón de interferencia se observa, no tiene sentido preguntar por qué rendija cada partícula ha pasado, ya que la onda asociada a su paso por ambos. (iii) Vale la pena señalar que, a diferencia de los fotones, que puede ser emitida o absorbida durante un experimento, las partículas materiales no puede ser creada ni destruida. Los electrones emitidos por un filamento caliente, por ejemplo, ya existía en el filamento. De la misma manera, un electrón absorbe un contador no desaparece, se convierte en parte de un átomo o una corriente eléctrica. En realidad, la teoría de la relatividad demuestra que es posible crear y aniquilar a las partículas de material: por ejemplo, un fotón con energía suficiente, que pasa cerca de un átomo, puede materializarse en un par electrón-positrón. A la inversa, el positrón, cuando choca con un electrón, aniquila con él, emitiendo fotones. Sin embargo, se señaló en el comienzo de este capítulo que nos ceñimos aquí al dominio no relativista cuántica, y de hecho hemos tratado el tiempo y el espacio de coordenadas de forma asimétrica. En el marco del no-mecánica cuántico relativista, las partículas materiales no puede ser creada ni aniquilada. Esta ley de la conservación, como veremos, juega un papel de primera importancia. La necesidad de abandonar es una de las 25
- 26. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I importantes dificultades cuando se trata de construir una mecánica cuántica relativista. C. DESCRIPCIÓN CUÁNTICA DE UNA PARTÍCULA. PAQUETES DE ONDA En el párrafo anterior, hemos introducido los conceptos fundamentales que son necesarios para la descripción cuántica de una partícula. En este apartado, vamos a familiarizarnos con estos conceptos y deducir de ellos varias propiedades muy importantes. Empecemos por el estudio de un caso especial muy sencillo, el de una partícula libre. 1. Partícula libre Considere la posibilidad de una partícula cuya energía potencial es cero (o tiene un valor constante) en cada punto del espacio. La partícula es por lo tanto no sometida a ninguna fuerza, sino que se dice que es libre. Cuando V (r, t) = 0, la ecuación de Schrödinger se convierte en: Esta ecuación diferencial es, obviamente, satisfecho por las soluciones de la forma: (Donde A es una constante), a condición de que k y � satisfacen la relación: Observe que, de acuerdo con las relaciones de Broglie [véase (B- 2)], la condición (C-3) expresa el hecho de que la energía E y el momento p de una partícula libre satisfacen la ecuación, que es bien conocido en el clásico mecánica: 26
- 27. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Volveremos más adelante (§ C-3) a la interpretación física de un estado de forma (C-2). Ya hemos visto que, desde Una onda plana de este tipo representa una partícula cuya probabilidad de presencia es uniforme a lo largo de todo el espacio (ver comentario abajo). El principio de superposición nos dice que cada combinación lineal de ondas planas satisfactoria (C-3) también será una solución de la ecuación (C-1). Tal superposición se puede escribir: (d3k representa, por definición, el elemento de volumen infinitesimal en el espacio k: dkx.dky.dkz). g (k), que puede ser compleja, debe ser lo suficientemente regulares para permitir la diferenciación dentro de la integral. Se puede demostrar, además, que cualquier solución de cuadrado integrable se puede escribir en la forma (C-6). Una función de onda, tales como (C-6), una superposición de ondas planas, se le llama en tres dimensiones "paquete de ondas". En aras de la simplicidad, a menudo, se llevó a estudiar el caso de una * onda unidimensional de paquetes, que se obtiene a partir de la superposición de ondas planas paralelas se propaguen a todos los Ox. La función de onda entonces sólo depende de x y t: * Un modelo simple de un paquete de ondas en dos dimensiones se presenta en el complemento E,. Algunas propiedades generales de los paquetes de onda en tres dimensiones que se estudian en F complemento, que también muestra cómo, en ciertos casos, un problema en tres dimensiones se puede reducir a varios problemas unidimensionales. En el párrafo siguiente, vamos a estar interesado en la forma del paquete de ondas en un instante dado. Si elegimos este momento como el origen del tiempo, la función de onda está escrita: 27
- 28. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vemos que g (k) es simplemente la transformada de Fourier (véase anexo I), de ψ (x, 0): En consecuencia, la validez de la fórmula (C-8) no se limita al caso de la partícula libre: cualquiera que sea el potencial, ψ(x, 0) siempre se puede escribir de esta forma. Las consecuencias que se derivan de esta en los § § 2 y 3 son, pues, perfectamente general. No es hasta § 4 que vamos a volver de forma explícita a la partícula libre. Comentario: Una onda plana del tipo (C-2), cuyo módulo es constante a lo largo de todo el espacio [cf. (C-5)], no es de cuadrado integrable. Por lo tanto, con rigor, no puede representar a un estado físico de la partícula (en la misma forma, en la óptica, una onda plana monocromática no es físicamente realizable). Por otro lado, una superposición de ondas planas como (C-7) puede ser de cuadrado integrable. 2. Forma del paquete de ondas en un momento dado La forma del paquete de ondas está dada por la dependencia de ψ(x, 0) definida por la ecuación (C-8). Imagina que g (k) tiene la forma representada en la figura 3, es decir, tiene un pico pronunciado situado en k = k0 y un ancho (que se define, por ejemplo, la mitad de su valor máximo) de ∆k. FIGURA3 Forma de la función g (k) [módulo de la transformada de Fourier de ψ(x, 0.)]: Se supone que se centra en k = k0, donde alcanza un máximo, y tiene una 28
- 29. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I anchura de ∆k. Empecemos por tratar de entender cualitativamente el comportamiento de ψ(x, 0) a través del estudio de un caso especial muy sencillo. Sea ψ(x, 0), en lugar de la superposición de un número infinito de ondas planas en la fórmula (C-8), la suma de las tres ondas planas. Los vectores de onda de estas ondas planas son k0, k0- , k0+ , y sus amplitudes son proporcionales, respectivamente, a 1, 1 / 2 y 1 / 2 entonces tenemos: Vemos que ψ(x) es máxima cuando x = 0. Este resultado se debe al hecho de que, cuando x toma este valor, las tres ondas están en fase e interfieren de manera constructiva, como se muestra en la figura 4. Medida que nos alejamos del valor de x = 0, las olas se hacen más y más fuera de fase, y ψ(x)/ disminuye. La interferencia se vuelve completamente destructivo cuando el desfase entre y es igual a tiende a cero cuando x = ± , ∆x está dado por: Esta fórmula muestra que cuanto menor sea el ancho ∆k de la función de g (k) , mayor será el ancho de ∆x de la función ψ(x) (la distancia entre dos ceros de | ψ(x) |). Las partes reales de las tres ondas cuya suma da la función ψ(x) de (C-10). En x = 0, las tres ondas están en fase e interfieren constructivamente. Medida que nos alejamos de x = 0, se van fuera de fase e interfieren destructivamente para x = ± . 29
- 30. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En la parte inferior de la figura, Re {ψ {x)} se muestra. La curva de línea discontinua corresponde a la función [1 + cos ( )], que, de acuerdo con (C-10), da | ψ(x) | (y por lo tanto, la forma del paquete de ondas). COMENTARIO: La fórmula (C-10) muestra que | ψ(x) | es periódica en x y por lo tanto tiene una serie de máximos y mínimos. Esto surge del hecho de que f (x) es la superposición de un número finito de ondas (en este caso, tres). Por una superposición continua de un número infinito de ondas, como en la fórmula (C-8), tal fenómeno no se produce, y | ψ (x, 0) | sólo puede tener un máximo. Volvamos ahora al paquete de ondas en general de la fórmula (C-8). Su forma también el resultado de un fenómeno de interferencia: | ψ(x, 0) | es máximo cuando las ondas planas diferentes interfieren constructivamente. Sea α (k) el argumento de la función g (k): Supongamos que α (k) varía bastante suave en el intervalo donde g (k) es apreciable, y luego, cuando ∆k es suficientemente pequeño, se puede ampliar α (k) en la vecindad de k = k0: 30
- 31. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I que nos permite reescribir (C-8) en la forma: Con: La forma (C-14) es útil para estudiar las variaciones de en términos de x. Cuando es grande, la función de k, que es para ser integrado oscila un número muy grande de veces dentro del intervalo Vemos entonces (cf. fig. 5-A, en el que la parte real de esta función se muestra) que las contribuciones de las oscilaciones sucesivas se anulan entre sí, y la integral sobre k se vuelve insignificante. En otras palabras, cuando x está fijado en un valor lejos de x0, las fases de las ondas diferentes que componen varían muy rápidamente en el dominio y estas ondas se destruyen entre sí por la interferencia. Por otro lado, si , la función que se integra sobre k oscila apenas en absoluto (véase la fig. 5-b), y es máximo. La posición del centro del paquete de ondas es por lo tanto: En realidad, el resultado (C-16) se puede obtener muy simplemente. Una integral tal como la que aparece en (C-8) será máxima (en valor absoluto) cuando las ondas que tienen la mayor amplitud (aquellos con k cerca de K0) interfieren constructivamente. Esto ocurre cuando las fases de K-dependientes de estas ondas varían sólo ligeramente alrededor de . Para obtener el centro del paquete de ondas, una continuación impone (condición fase estacionaria) que la derivada con respecto a k de la fase es cero para . En el caso particular que se está estudiando, la fase de la onda correspondiente a k es . Por lo tanto, es que el valor de x para que el derivado es cero en 31
- 32. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Las variaciones con respecto a k de la función que se integra sobre k con el fin de obtener . En la figura (a), x está fijado en un valor tal que , y la función que se integra oscila varias veces dentro del intervalo de ∆k. En la figura (b), x está fijado de tal manera que , y la función que se integra apenas oscila, de modo que su integral sobre k tiene un valor relativamente grande. En consecuencia, el centro del paquete de ondas [punto donde es máximo] está situado en Cuando x se aleja del valor x0, disminuye. Esta disminución se vuelve apreciable si oscila alrededor de una vez, cuando k atraviesa el dominio , es decir, cuando: Si Ax es el ancho aproximado del paquete de ondas, por lo tanto tenemos: Llegamos así de nuevo a una relación clásica entre las anchuras de dos funciones que son transformadas de Fourier de cada otro. El hecho importante es que el producto tiene un límite inferior, el valor exacto de esta cota depende claramente de la definición precisa de los anchos y . Un paquete de ondas, tales como (C-7) por lo tanto representa el estado de una partícula cuya probabilidad de presencia, en el instante t = 0, es prácticamente cero fuera de un intervalo de ancho aproximado centrado en el valor . Comentario: 32
- 33. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I El argumento anterior podría llevar a pensar que el producto es siempre del orden de 1 [cf. (C-17)]. Vamos a subrayar el hecho de que se trata de un límite inferior. Aunque es imposible construir paquetes de onda para la cual el producto es insignificante en comparación con 1, es perfectamente posible construir paquetes para que este producto es tan grande como se desee [véase, por ejemplo, complemento , especialmente comentar (ii) de § 3-c]. Esta es la razón (C-18) está escrito en la forma de una desigualdad. 3. Relación de incertidumbre de Heisenberg En la mecánica cuántica, la desigualdad (C-18) tiene consecuencias físicas muy importantes. Tenemos la intención de hablar sobre esto ahora (nos quedaremos, para simplificar, en el marco de un modelo unidimensional). Hemos visto que una onda plana corresponde a una densidad de probabilidad constante para la presencia de la partícula a lo largo del eje , para todos los valores de t. Este resultado puede ser más o menos expresarse diciendo que el valor correspondiente de es infinito. Por otro lado, sólo una frecuencia angular y un vector de onda están implicados. De acuerdo con las relaciones de De Broglie, esto significa que la energía y el impulso de la partícula están bien definidas: y . Tal una onda plana puede, además, ser considerado como un caso especial de (C-7), para el cual es una "función delta" (apéndice II): El valor correspondiente de es entonces igual a cero. Pero esta característica también se puede interpretar de la siguiente manera, utilizando el principio de la descomposición espectral (cf. § § A-3 y B-2). Para decir que una partícula, que se describe en el instante t = 0 por la función de onda , tiene un impulso bien determinada, es decir que una medición de la fuerza en este momento definitivamente producirá . De esto podemos deducir que caracteriza al estado propio que corresponde a . Dado que existe una onda plana para cada valor real de k, los valores propios que uno puede esperar encontrar en una medida de la fuerza de un Estado arbitrario incluyen todos los valores reales. En este caso, no hay cuantificación de los resultados posibles: como en la mecánica clásica, todos los valores del impulso están permitidos. 33
- 34. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Consideremos ahora la fórmula (C-8). En esta fórmula, aparece como una superposición lineal de las funciones propias de momento en el que el coeficiente de es . Llegamos así a interpretar (dentro de un factor constante) como la probabilidad de encontrar si se mide, en t = 0, el momento de una partícula cuyo estado es descrito por . En realidad, los posibles valores de p, como los de x, forman un conjunto continuo, y es proporcional a una densidad de probabilidad: la probabilidad de de la obtención de un valor entre y es, dentro de un factor constante, .. Más precisamente, si volvemos a escribir la fórmula (C-8) en la forma: Sabemos que y satisfacen la relación de Parseval-Bessel (anexo I): Si el valor común de estas integrales es C, es la probabilidad de que la partícula se encuentra, en t = 0, entre x y . De la misma manera: Es la probabilidad de que la medición del impulso producirá un resultado comprendido entre y [relación (C-21) a continuación, asegura que la probabilidad total de encontrar cualquier valor es de hecho igual a 1]. Ahora volvamos a la desigualdad (C-18). Nos puede escribir como: ( es la anchura de la curva que representa ). Consideremos una partícula cuyo estado es definido por el paquete de ondas (C-20). Sabemos que la probabilidad de posición en t = 0, es apreciable sólo dentro de una región de ancho de : su posición 34
- 35. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es conocida dentro de un hacha incertidumbre . Si se mide el impulso de esta partícula a la vez, se encontrará un valor entre y , ya que es prácticamente nula fuera de este intervalo: la incertidumbre en el momento es por lo tanto, el . Interpretación de la relación (C-23) es entonces la siguiente: es imposible definir en un momento dado, tanto la posición de la partícula y su Momento-impulso a un grado de precisión arbitraria Cuando el límite inferior impuesta por (C-23.) se alcanza, el aumento de la precisión en la posición (decreciente ) implica que la exactitud en el impulso disminuye (aumenta ), y viceversa. Esta relación se denomina relación de incertidumbre de Heisenberg. No sabemos de nada como esto en la mecánica clásica. La limitación expresada por (C-23) surge del hecho de que h no es cero. Es el valor muy pequeño de h en la escala macroscópica que hace que esta limitación totalmente insignificante en la mecánica clásica (un ejemplo se discute en detalle en complemento ). Comentarios: La desigualdad (C-18) con la que empezamos no es un principio inherente mecánica cuántica. Se expresa simplemente una propiedad general de transformadas de Fourier, numerosas aplicaciones de las cuales se pueden encontrar en la física clásica. Por ejemplo, es bien conocido de la teoría electromagnética que no existe ningún tren de ondas electromagnéticas para los que uno puede definir la posición y la longitud de onda con una precisión infinita al mismo tiempo. La mecánica cuántica se presenta cuando uno se asocia con una onda de una partícula material y requiere que la longitud de onda y el impulso de la satisfacción respecto de De Broglie. 4. Evolución temporal de un paquete de ondas libres Hasta ahora, hemos estado preocupados sólo con la forma de un paquete de ondas en un instante dado, en este apartado, vamos a estudiar su evolución en el tiempo. Volvamos, por tanto, para el caso de una partícula libre cuyo estado es descrito por el paquete de ondas unidimensional (C-7). Una onda plana dada se propaga por el eje con la velocidad: 35
- 36. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Ya que depende de x y t sólo a través de ; se denomina velocidad de fase de la onda plana. Sabemos que en el caso de una onda electromagnética que se propaga en el vacío, es independiente de k e igual a la velocidad de la luz c. Todas las ondas que forman un paquete de ondas se mueven a la misma velocidad, de modo que el paquete como un todo también se mueve con la misma velocidad, sin cambiar de forma. Por otro lado, se sabe que esto no es cierto en un medio dispersivo, donde se le da la velocidad de fase por: Es el índice de del medio, que varía con la longitud de onda. El caso que estamos considerando aquí corresponde a un medio dispersivo, ya que la velocidad de fase es igual a [cf. ecuación (C- 3)]: Veremos que cuando las ondas por lo tanto tienen diferentes velocidades desiguales de fase, la velocidad máxima de del paquete de ondas no es el promedio de velocidad de fase , contrariamente a lo que uno podría esperar. Tal y como hicimos antes, vamos a empezar por tratar de entender cualitativamente lo que sucede, antes de tomar un punto de vista más general. Por lo tanto, volvamos a la superposición de tres ondas consideradas en el § C-2. Para un t arbitrario, está dada por: 36
- 37. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vemos, pues, que el máximo de , que se encontraba en en , se encuentra ahora en el punto: y no en el punto . El origen físico de este resultado aparece en la figura 6. Parte a) de esta figura representa la posición en el tiempo t = 0 de tres adyacente máximos (1), (2), (3), para las partes reales de cada una de las tres ondas. Dado que los máximos denotado por el índice (2) coinciden en x = 0, hay interferencia constructiva en este punto, que por lo tanto corresponde a la posición del máximo de . Dado que los aumentos de velocidad de fase con k [fórmula (C-26)], el máximo (3) de la onda poco a poco a ponerse al día con la de la onda , que a su vez ponerse al día con la de la onda . Después de un cierto tiempo, de este modo, tendrá la situación mostrada en la figura 6-b: será los máximos (3) que coinciden y determinar así la posición del máximo de . Vemos claramente en la figura que no es igual a , y un simple cálculo de nuevo los rendimientos (C-28). FIGURA 6 Las posiciones de los máximos de las tres ondas de la figura 4 en el tiempo t = 0 (fig. a) y en una posterior t (fig. b). En el instante t = 0, es el máximos (2), situado en el punto x = 0, que 37
- 38. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I interfieren de manera constructiva: la posición del centro del paquete de ondas es . En el momento t, las tres ondas han avanzado con diferentes velocidades de fase . Es entonces los máximos (3) que interfieren de manera constructiva y el centro del paquete de ondas está situado en el punto . Vemos así que la velocidad del centro del paquete de ondas (velocidad de grupo) es diferente de las velocidades de fase de las tres ondas. El desplazamiento del centro del paquete de ondas (C-7) se pueden encontrar en una forma análoga, mediante la aplicación del metodo de "fase estacionaria". Se puede ver de la forma (C-7) del paquete de ondas libres que, con el fin de pasar de a , todo lo que necesitamos hacer es cambiar a . El razonamiento de § C-2 por lo tanto sigue siendo válida, a condición de que se reemplaza el argumento de por: De la condición (C-16) a continuación, se obtiene: Llegamos así de nuevo a resultar (C-28): la velocidad de la máxima del paquete de ondas es: se denomina velocidad de grupo del paquete de ondas. Con la relación de dispersión dada en (C-3), se obtiene: Este resultado es importante, porque nos permite recuperar la descripción clásica de la partícula libre, para los casos en que esta descripción es válida. Por ejemplo, cuando se trata con una partícula macroscópica (y el ejemplo de la partícula de polvo discutido en complemento , se muestra cómo puede ser pequeño), la relación de incertidumbre no introduce un límite observable sobre la exactitud con la que su posición y el momento son conocidos. Esto significa que podemos construir, con el fin de describir como una 38
- 39. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I partícula de una manera mecánica cuántica, un paquete de ondas cuyas anchuras características y son insignificantes. A continuación, se habla, en términos clásicos, de la posición y el impulso de la partícula. Pero entonces su velocidad debe ser . Esto es lo que está implícito en la fórmula (C-32), obtenida en la descripción cuántica: en los casos en los que y tanto puede hacerse insignificante, el máximo de los paquetes de onda se mueve como una partícula que obedece a las leyes de la mecánica clásica . comentarios: Hemos subrayado aquí el movimiento del centro del paquete de ondas libre. También es posible estudiar la forma en que su forma evoluciona en el tiempo. Es entonces fácil demostrar que, si el ancho de es una constante del movimiento, varía con el tiempo y, para los tiempos suficientemente largos, aumenta sin límite (la difusión del paquete de ondas). La discusión de este fenómeno se da en complemento , donde se trata el caso especial de un paquete de ondas gaussiano. D. PARTÍCULA EN UN POTENCIAL ESCALAR INDEPENDIENTE DEL TIEMPO Hemos visto, en § C, como la descripción de la mecánica cuántica de una partícula se reduce a la descripción clásica cuando la constante h de Planck puede considerarse insignificante. En la aproximación clásica, el carácter ondulatorio no aparece debido a que la longitud de onda asociada con la partícula es mucho menor que las longitudes características de su movimiento. Esta situación es análoga a la encontrada en la óptica. La óptica geométrica, que ignora las propiedades ondulatorias de la luz, constituye una buena aproximación cuando la longitud de onda correspondiente se puede despreciar en comparación con las longitudes con la que uno se refiere. La mecánica clásica lo que juega, con respecto a la mecánica cuántica, el mismo papel jugado por la óptica geométrica con respecto a la óptica ondulatoria. En este apartado, vamos a estar preocupados con una partícula en un potencial independiente del tiempo. Lo que acabamos de decir implica que los efectos cuánticos por lo general (es decir, los de origen de onda) que surgen cuando el potencial varíe considerablemente en distancias más cortas que la longitud de onda, que no puede ser descuidado. Es por eso que vamos a estudiar el comportamiento de una partícula cuántica colocado en diversos potenciales "cuadrados", es decir, "los 39
- 40. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I potenciales de paso", como se muestra en la figura 7-A. Tal potencial, que es discontinuo, claramente varía considerablemente durante intervalos del orden de la longitud de onda, por pequeña que es: los efectos cuánticos debe por lo tanto siempre aparecen. Antes de iniciar esta investigación, discutiremos algunas propiedades importantes de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial no es dependiente del tiempo. 1. La separación de variables. estados estacionarios La función de onda de una partícula cuya energía potencial V (r) no depende del tiempo que satisfacen la ecuación de Schrödinger: a) Existencia de estados estacionarios Vamos a ver si existen soluciones de esta ecuación de la forma: Sustituyendo (D-2) en (D-l), se obtiene: Si dividimos ambos lados por el producto , nos encontramos con: Esta ecuación equivale una función de sólo t (lado izquierdo) y una función de r solamente (lado derecho). Esta igualdad sólo es posible si cada una de estas funciones es de hecho una constante, que se fija igual a , donde tiene las dimensiones de una frecuencia angular. La configuracion de la mano izquierda igual a , se obtiene para una ecuación diferencial que se puede integrar fácilmente para dar: De la misma manera, debe satisfacer la ecuación: 40
- 41. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Si el conjunto en la ecuación (D-5) [lo cual es posible si se incorporan, por ejemplo, la constante ], se logra el resultado siguiente: la función es una solución de la ecuación de Schrodinger, con la condición de que es una solución de (D-6). El tiempo y las variables de espacio se dice que se han separado. Una función de onda de la forma (D-7) se llama una solución estacionaria de la ecuación de Schrödinger: lleva a una densidad de probabilidad independiente del tiempo . En una función fija, sólo una frecuencia angular aparece, de acuerdo con la relación de Planck-Einstein, un estado estacionario es un estado con una energía bien definida (energía eigenestado). En la mecánica clásica, cuando la energía potencial es independiente del tiempo, la energía total es una constante del movimiento, en la mecánica cuántica, existen también determinados por los estados de energía. La ecuación (D-6) por lo tanto se puede escribir: o bien: donde H es el operador diferencial: es un operador lineal, ya que, si y son constantes, tenemos: La ecuación (D-9) es por lo tanto la ecuación de valores propios del operador lineal H: la aplicación de la H a las «funciones propias» se obtiene la misma función, multiplicado por los correspondientes «valores propios» E. Las energías permitidas son 41
- 42. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I por lo tanto, los valores propios del operador H. más adelante veremos que la ecuación (D-9) tiene cuadrado-integrables soluciones sólo para ciertos valores de e (cf. § D-2-c, § 2-c del complemento ): este es el origen de la cuantización de la energía. COMENTARIO: La ecuación (D-8) [o (D-9)] a veces se llama el "tiempo independiente de la ecuación de Schrodinger", en contraposición a la "función del tiempo la ecuación de Schrodinger" (D-1). Destacamos su diferencia esencial: la ecuación (D-1) es una ecuación general que ofrece la evolución de la función de onda, cualquiera que sea el estado de la partícula y, por el otro lado, la ecuación de valores propios (D-9) que nos permite encontrar, entre todos los estados posibles de la partícula, aquellas que son estacionarias. b). La superposición de estados estacionarios Con el fin de distinguir entre los diversos valores posibles de la energía E (y las funciones propias correspondientes ), se les etiqueta con un índice n. Así tenemos: y de los estados estacionarios de la partícula tiene como funciones de onda: es una solución de la ecuación de Schrodinger (D-1). Puesto que esta ecuación es lineal, que tiene toda una serie de otras soluciones de la forma: donde los coeficientes son constantes complejas arbitrarias. En particular, tenemos: Inversamente, supongamos que sabemos , es decir, el estado de la partícula en . Veremos más adelante que cualquier función 42
- 43. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I siempre se puede descomponer en términos de funciones propias de , como en (D-15). El coeficientes , por lo tanto determinado por . La solución correspondiente de la ecuación de Schrodinger está dada por (D-14). Todo lo que necesitamos hacer para obtenerla es multiplicar cada término de (D-15) por el factor , Donde es el valor propio asociado con . Hacemos hincapié en el hecho de que estos factores de fase difieren de un término a otro. es sólo en el caso de estados estacionarios que la dependencia t implica sólo un exponencial [fórmula (D-13)]. 2. Unidimensionales "cuadrado" potenciales. estudio cualitativo Dijimos al comienzo del § D que el fin de mostrar los efectos cuánticos que se va a considerar el potencial que variaban considerablemente en distancias pequeñas. Nos limitaremos aquí a un estudio cualitativo, con el fin de concentrarse en las ideas físicas simples. Un estudio más detallado se presenta en los complementos de este capítulo (del complemento ). Para simplificar el problema, vamos a considerar un modelo unidimensional, en el que la energía potencial depende sólo de x (la justificación de este modelo se da en el complemento ). a) Significado físico de un potencial cuadrado Consideraremos un problema unidimensional con un potencial del tipo mostrado en la figura 7-a. El eje Ox está dividido en un cierto número de regiones de potencial constante. En la frontera de dos regiones adyacentes del potencial hace un salto brusco (discontinuidad). En realidad, dicha función no se puede representar un potencial físico, que debe ser continua. Se deberá utilizar para representar esquemáticamente una energía potencial que en realidad tiene la forma mostrada en la figura 7-b: no hay discontinuidades, pero varía muy rápidamente en la vecindad de ciertos valores de x. Cuando los intervalos sobre los cuales se producen estas variaciones son mucho menores que todas las otras distancias implicadas en el problema (en particular, la longitud de onda asociada con la partícula), se puede sustituir el verdadero potencial por el potencial cuadrado de la figura 7-uno. Esta es una aproximación, que dejaría de ser válida, por ejemplo, para una partícula que tiene una muy alta energía, cuya longitud de onda sería muy corto. 43
- 44. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Las predicciones de la mecánica clásica sobre el comportamiento de una partícula en un potencial tal como la de la figura 7 son fáciles de determinar. Por ejemplo, imagine que es la energía potencial gravitatoria. Figura 7-b, entonces representa el perfil real del terreno en el que la partícula se mueve: los correspondientes discontinuidades de discontinuidades son las pendientes fuertes, separados por mesetas horizontales. Tenga en cuenta que, si fijamos la energía total E de la partícula, los dominios del eje Ox donde está prohibido a ella (su energía cinética debe ser positivo). potencial "Cuadrado" El potencial real Figura 7 Potencial de Cuadrado (fig. a), que representa esquemáticamente un verdadero potencial (fig. b) para los que la fuerza tiene la forma mostrada en la figura c. Fuerza COMENTARIO: La fuerza ejercida sobre la partícula es . En la figura 7-c, hemos representado esta fuerza, que se obtiene a partir del potencial de la figura 7-b. Se puede observar que esta partícula, en todas las regiones donde el potencial es constante, no está sujeto a ninguna fuerza. Su velocidad es constante a continuación. Es sólo en las zonas limítrofes entre estas mesetas que una fuerza actúa sobre la partícula y, según el caso, se acelera o se desacelera hacia abajo. b). analogía óptico 44
- 45. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a considerar los estados estacionarios (§ D-1) de una partícula en una uni-dimensional "cuadrado" potencial. En una región donde el potencial V tiene un valor constante, la ecuación de valores propios (D-9) está escrito: o bien: Ahora, en la óptica, existe una ecuación completamente análoga. Considere la posibilidad de un medio transparente cuyo índice n no depende de r ni en el tiempo. En este medio, puede haber ondas electromagnéticas cuyo campo eléctrico es independiente de Y y Z y tiene la forma: donde e es un vector unitario perpendicular a O. E (x) debe satisfacer: Vemos que las ecuaciones (D-17) y (D-19) llegan a ser idénticos si ponemos: Además, en un punto x donde la energía potencial V [y, en consecuencia, el índice n dada por (D-20)] es discontinua, las condiciones de contorno para y son los mismos: estos dos funciones, así como sus derivados en primer lugar, debe permanecer constante (véase el complemento , § 1-b). La analogía estructural entre las dos ecuaciones (D-17) y (D-19) así nos permite asociar con un problema de mecánica cuántica, que corresponde al potencial de la figura 7.a, un problema óptico: la propagación de una onda electromagnética de frecuencia angular en un medio cuyo índice tiene discontinuidades del mismo tipo. De acuerdo con (D-20), la relación entre los parámetros ópticos y mecánicos es: 45
- 46. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Para la onda de luz, una región donde corresponde a un medio transparente cuyo índice es real. La onda es entonces de la forma . ¿Qué sucede cuando ?. Fórmula (D-20) da un índice imaginario puro. En (D-19), es negativo y la solución es de la forma : es el análogo de una "onda evanescente". Ciertos aspectos de la situación recuerdan la propagación de una onda electromagnética en un medio * metálico. De este modo podemos incorporar los resultados conocidos de la óptica ondulatoria a los problemas que estamos estudiando aquí. Es importante, sin embargo, darse cuenta de que esto es sólo una analogía. La interpretación que le damos a la función de onda es fundamentalmente diferente de la que la óptica clásica de ondas atribuye a la onda electromagnética. * Esta analogía no debe ser demasiado lejos, ya que el índice n de un medio metálico tiene tanto una parte real y un complejo (en un metal, una onda óptica sigue a oscilar como se amortigua a cabo). c). Ejemplos α Potencial escalon y de barrera Consideremos una partícula de energía que, procedente de la región negativa de x, llega a la potencial "escalon" de altura que se muestra en la figura 8. Si , (el caso en que la partícula clásica despeja el potencial escalon y continúa hacia la derecha con una velocidad más pequeña), la analogía óptica es la siguiente: una onda de luz se propaga de izquierda a derecha en un medio de índice : 46
- 47. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Figura 8 Potencial escalon. en hay una discontinuidad, y el índice, para es: Sabemos que la onda incidente procedente de la izquierda se divide en una onda reflejada y una onda transmitida. Vamos a incorporar este resultado a la mecánica cuántica: la partícula tiene una cierta probabilidad de que se refleja, y sólo la probabilidad de seguir su curso hacia la derecha. Este resultado es contrario a lo que predice la mecánica clásica. Cuando , el índice , que corresponde a la región , se convierte en imaginario puro, y la onda de luz incidente es reflejada totalmente. La predicción cuántica por lo tanto en este punto coincide con la de la mecánica clásica. No obstante, la existencia, para de una onda evanescente, muestra que la partícula cuántica tiene una probabilidad no nula de ser encontrado en esta región. El papel de esta onda evanescente es más notable en el caso de una barrera de potencial (fig. 9). Para , una partícula clásica siempre volvera atrás. Pero, en el problema óptico correspondiente, que tendría una capa de espesor finito, con un índice imaginario, rodeado por un medio transparente. Si este espesor no es mucho mayor que el rango de la onda evanescente, parte de la onda incidente se transmite en la región . Por lo tanto, incluso para , nos encontramos con una probabilidad no nula de la partícula de cruzar la barrera. Esto se llama el "efecto túnel". 47
- 48. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La figura 9 Barrera de potencial. β Pozo de potencial La función tiene ahora la forma mostrada en la figura 10. Las predicciones de la mecánica clásica son los siguientes:cuando la partícula tiene una energía negativo (pero mayor que ), solamente puede oscilar entre y , con la energía cinética , cuando la partícula tiene una. energía positiva y llega desde la izquierda, se somete a una aceleración brusca al , y luego una desaceleración equivalente a , y luego continúa hacia la derecha. En el análogo óptico del caso , los índices y , que corresponden a las regiones y , son imaginarios, mientras que el índice de , que caracteriza el intervalo , es real. Así pues, tenemos el equivalente de una capa de aire, por ejemplo, entre dos medios reflectantes. Las ondas diferentes refleja sucesivamente en y se destruyen entre sí a través de la interferencia, a excepción de ciertas frecuencias bien determinadas ("modo normal") que permiten estables ondas estacionarias que se establezcan. 48
- 49. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Desde el punto de vista cuántico, esto implica que las energías negativas se cuantifican *, mientras que, clásicamente, todos los valores comprendidos entre y 0 son posibles. Para , los índices de , y son reales: Desde n2 es mayor que y , la situación es análoga a la de una capa de vidrio en el aire. Con el fin de obtener la onda reflejada para , o la onda transmitida en la región , es necesario superponer un número infinito de ondas que surgen de las reflexiones sucesivas a y (interferómetro de ondas múltiples análoga a una de Fabry-Perot). Encontramos entonces que, para las frecuencias de ciertos incidentes, la onda es que se transmite. Desde el punto de vista cuántico, la partícula por tanto, tiene, en general, una cierta probabilidad de ser reflejada. Sin embargo, existen valores de energía, llamado energías de resonancia, para lo cual la probabilidad de transmisión es 1 y, en consecuencia, la probabilidad de reflexión es 0. Estos pocos ejemplos muestran la cantidad de las predicciones de la mecánica cuántica pueden diferir de los de la mecánica clásica. Asimismo, destacar claramente el papel primordial de las discontinuidades potenciales (que representan, de forma esquemática, las variaciones rápidas). * Los valores de energía permitidos no se les da por la condición bien conocida: , ya que es necesario tener en cuenta la existencia de las ondas evanescentes, que introducen un cambio de fase en la reflexión en y, (vease complemento , § 2-c). CONCLUSIÓN En este capítulo, hemos presentado y discutido, de una manera cualitativa e intuitiva, algunas ideas fundamentales de la mecánica cuántica. Más tarde volveremos sobre estas ideas (cap. III) con el fin de presentarlos en una forma más precisa y sistemática. Sin 49
- 50. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I embargo, ya está claro que la descripción cuántica de los sistemas físicos difiere radicalmente de la que figura por la mecánica clásica (aunque este último constituye, en muchos casos, una excelente aproximación). Nos hemos limitado en este capítulo para el caso de los sistemas físicos compuestos por una sola partícula. La descripción de estos sistemas en un momento dado es, en la mecánica clásica, basados en la especificación de seis parámetros, que son los componentes de la posición r (t) y la velocidad v (t) de la partícula. Todas las variables dinámicas (energía, momento lineal, momento angular) se determinan por la especificación de r (t) y V (t). Las leyes de Newton nos permiten calcular r (t) a través de la solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con respecto al tiempo. En consecuencia, fijar los valores de r (t) y v (f) para todo tiempo t, cuando se les conoce por el momento inicial. La mecánica cuántica utiliza una descripción más complicado de los fenómenos. El estado dinámico de una partícula, en un momento dado, se caracteriza por una función de onda. Ya no depende de sólo seis parámetros, pero en un número infinito [los valores de en todos los puntos del espacio r]. Además, las predicciones de los resultados de la medición son ahora sólo probabilística (con ellos se obtienen sólo la probabilidad de obtener un resultado dado en la medición de una variable dinámica). La función de onda es una solución de la ecuación de Schrodinger, que nos permite calcular de . Esta ecuación implica un principio de superposición que conduce a efectos de onda. Este trastorno en nuestra concepción de la mecánica se impuso por la experiencia. La estructura y el comportamiento de la materia a nivel atómico son incomprensibles en el marco de la mecánica clásica. La teoría así ha perdido parte de su simplicidad, pero ha ganado una gran cantidad de la unidad, ya que la materia y la radiación se describe en términos de la misma estructura general (dualidad onda-partícula). Hacemos hincapié en el hecho de que este esquema general, aunque va en contra de nuestras ideas y hábitos extraídas del estudio del dominio macroscópico, es perfectamente coherente. Nadie ha tenido éxito en imaginar un experimento que podría violar el principio de incertidumbre (cf. complemento D, de este capítulo). En general, ninguna observación, hasta la fecha, contradice los principios fundamentales de la mecánica cuántica. Sin embargo, en la actualidad, no existe una teoría global de los fenómenos relativistas y cuánticos, y nada, por supuesto, impide la posibilidad de un trastorno nuevo. Referencias y sugerencias bibliográficas: 50
- 51. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Descripción de los fenómenos físicos que demuestran la necesidad de introducir los conceptos cuánticos mecánicos: consulte la subsección "El trabajo de introducción - la física cuántica" de la sección 1 de la bibliografía, en particular, Wichmann (1.1) y Feynman III(1.2), caps. 1 y 2. Historia del desarrollo de los conceptos de la mecánica cuántica: las referencias de la sección 4 de la bibliografía, en particular, Jammer (4..8), ver también referencias (5.11) y (5.12), que contienen numerosas referencias a los artículos originales. Experimentos fundamentales: las referencias a los artículos originales se pueden encontrar en la sección 3 de la bibliografía. El problema de la interpretación de la mecánica cuántica: la sección 5 de la bibliografía, en particular, la "Carta de recursos" 5.11), que contiene muchas referencias clasificadas. Analogías y diferencias entre las ondas de materia y las ondas electromagnéticas: Böhm (5.1), cap. 4, en particular, la tabla de "Resumen de probabilidades" al final del capítulo. Ver también los artículos de Schrodinger (1.25), Gamow (1.26), Born y Biem (1.28), Scully y Sargent (1.30). : Orden de magnitud de las longitudes de onda asociada con partículas materiales. : Las restricciones impuestas por las relaciones de incertidumbre. : Las relaciones de incertidumbre y parámetros atómicos :reflexiones muy simples pero fundamentales en el orden de magnitud de parámetros cuántico :Un experimento para ilustrar la relación de la incertidumbre : La discusión de un sencillo experimento mental que trata de invalidar la complementariedad 51
- 52. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I entre los aspectos de partícula y onda de la luz (es fácil, pero podría ser reservado para su posterior estudio). : Un tratamiento simple de un paquete de ondas bidimensional : La relación entre problemas mono y tridimensionales : paquete de ondas gaussiano unidimensional: difusión del paquete de ondas : complementa en los paquetes de onda (§ C del capítulo I) : revela en una manera simple, cualitativa la relación que existe entre la extensión lateral de un paquete de ondas de dos dimensiones y la dispersión angular de vectores de onda (fácil). : La generalización a tres dimensiones de los resultados de § C del capítulo I, muestra cómo el estudio de una partícula en el espacio tridimensional puede, en ciertos casos, se reduce a problemas unidimensionales (un poco más difícil). : trata en detalle un caso especial de los paquetes de onda para la cual se puede calcular exactamente las propiedades y la evolución (con algunas dificultades en el cálculo, pero conceptualmente simples). :Estados estacionarios de una partícula en potenciales cuadrados unidimensionales : retoma de una manera más cuantitativa las ideas de § D-2 del capítulo I. Se recomienda encarecidamente, ya que los potenciales cuadrados se utilizan a menudo para ilustrar simplemente las implicaciones de la mecánica cuántica (numerosos complementos y ejercicios propuestos más adelante en este libro se basan en los resultados 52
- 53. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I de ). :Comportamiento de un paquete de onda en un potencial escalon :Ejercicios : un estudio más preciso, para un caso especial, del comportamiento cuántico de una partícula en un potencial cuadrado. Puesto que la partícula es lo suficientemente bien localizados en el espacio (paquete de ondas), se puede seguir su "movimiento" (promedio de dificultad, importante para la interpretación física de los resultados). Complemento ORDEN DE MAGNITUD DE LAS LONGITUDES DE ONDA ASOCIADOS CON LAS PARTÍCULAS MATERIALES Relación de De Broglie: Muestra que, para una partícula de masa y velocidad , y son más pequeños, cuanto mayor sea la longitud de onda correspondiente. Para demostrar que las propiedades ondulatorias de la materia son imposibles de detectar en el dominio macroscópico, tomar como ejemplo una partícula de polvo, de diámetro y la masa de . Incluso para una masa tan pequeña y una velocidad de la fórmula (1) da: Esta longitud de onda es completamente insignificante en la escala de la partícula de polvo. Consideremos, por otro lado, una de neutrones térmicos, es decir, un neutrón con una velocidad v correspondiente a la energía térmica media a (absoluta) temperatura . Está dada por la relación: 53
- 54. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Donde k es la constante de Boltzman ( ). La longitud de onda que corresponde a dicha velocidad es: Para , nos encontramos con: es decir, una longitud de onda que es del orden de la distancia entre los átomos en una red cristalina. Un haz de neutrones térmicos que caen sobre un cristal por lo tanto da lugar a fenómenos de difracción análogos a los observados con rayos-X. Examinemos ahora el orden de magnitud de las longitudes de onda de de Broglie asociadas a los electrones . Si una acelera un haz de electrones a través de una diferencia de potencial (expresada en voltios), una da los electrones una energía cinética: ( Coulomb es la carga del electrón.) Puesto que , la longitud de onda asociada es igual a: Es decir, numéricamente: Con diferencias de potencial de varios cientos de voltios, una vez más se obtiene longitudes de onda comparables a los de los rayos X, y los fenómenos de difracción de electrones se puede observar con cristales o polvos cristalinos. Los grandes aceleradores que están actualmente disponibles son capaces de impartir una energía considerable a las partículas. Esto nos lleva fuera del dominio no relativista a la que hemos hasta ahora nos limitamos. Por ejemplo, haces de electrones se obtienen fácilmente por los que la energía sea superior a ( ), mientras que la masa en reposo de 54
- 55. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I electrones es igual a . Esto significa que la velocidad correspondiente está muy cerca de la velocidad de la luz c. En consecuencia, la mecánica cuántica no relativista que estamos estudiando aquí no se aplica. Sin embargo, las relaciones: Siguen siendo válidos en el dominio relativista. Por otro lado, la relación G) debe ser modificado, ya que, relativísticamente, la energía de una partícula de masa en reposo ya no es , pero en su lugar: En el ejemplo considerado anteriormente (un electrón de energía de ), es insignificante en comparación con , y obtenemos: ( ). Con electrones acelerados de esta manera, se puede explorar la estructura de los núcleos atómicos y, en particular, la estructura de los protones; dimensiones nucleares son del orden de un Fermi. COMENTARIOS: (i) Queremos señalar un error común en el cálculo de la longitud de onda de una partícula material de masa , cuya energía se conoce. Este error consiste en calcular la frecuencia v utilizando (9-a) y, a continuación, por analogía con las ondas electromagnéticas, de tomar c / v, la longitud de onda de De Broglie. Obviamente, el razonamiento correcto consiste en calcular, por ejemplo a partir de (10) (o, en el dominio no relativista, de la relación ) El impulso asociado con la energía y, a continuación utilizando (9-b) para encontrar . (ii) De acuerdo con (9-a), la frecuencia v depende del origen elegido para las energías. Lo mismo es cierto para la velocidad de fase . Nota, por otro lado, que la velocidad de grupo no depende de la elección del origen de energía. Esto es importante en la interpretación física de . * Nota del traductor: En los Estados Unidos, esta unidad se escribe a veces GeV. 55
- 56. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Referencias y sugerencias bibliográficas: Wichmann (1,1), cap. 5; Eisberg y Resnick (1,3), § 3.1. Complemento RESTRICCIONES IMPUESTAS POR LAS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE 1. sistema macroscópico 2. sistema microscópico Vimos en el § C-3 del capítulo I que la posición y el momento de una partícula no puede ser al mismo tiempo se define con precisión arbitraria: las incertidumbres correspondientes y debe satisfacer la relación de incertidumbre: Aquí tenemos la intención de evaluar numéricamente la importancia de esta restricción. Vamos a demostrar que es completamente insignificante en el dominio macroscópico y que se convierte, por otro lado, que es crucial en el nivel microscópico. 1. sistema macroscópico Tomemos de nuevo el ejemplo de una partícula de polvo (véase complemento A), cuyo diámetro es del orden de y cuya masa , con una velocidad . Su impulso es entonces igual a: Si su posición se mide con una precisión de , por ejemplo, la incertidumbre en el impulso debe satisfacer: Así, la relación de incertidumbre introduce prácticamente ninguna restricción en este caso ya que, en la práctica, un dispositivo de medición de impulso es incapaz de conseguir la precisión requerida relativa de . En términos cuánticos, la partícula de polvo es descrito por un paquete de ondas cuya velocidad de grupo es y una media de impulso es . Pero uno puede elegir por ejemplo una extensión pequeña espacial y dispersión de impulso que ambos son totalmente insignificantes. La máxima del paquete de ondas a 56
- 57. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I continuación representa la posición de la partícula de polvo, y su movimiento es idéntico a la de la partícula clásica. 2. sistema microscópico Ahora vamos a considerar un electrón atómico. El modelo de Bohr lo describe como una partícula clásica. Las órbitas permitidas están definidas por reglas de cuantización que se supone a priori: por ejemplo, el radio de una órbita circular y el impulso del electrón viajando en que debe satisfacer: Donde n es un número entero. Para que nosotros seamos capaces de hablar de esta manera de una trayectoria de los electrones en términos clásicos, la incertidumbre en su posición y el momento debe ser insignificante en comparación con y , respectivamente: Lo que significaría que: Ahora la relación de incertidumbre impone: Si se usa la fórmula (4) para reemplazar por en el lado derecho, esta desigualdad se puede escribir como: Vemos entonces que (8) es incompatible con (6), a menos que . La relación de incertidumbre de lo que nos hace rechazar la imagen semi-clásico de las órbitas de Bohr (véase § C-2 del capítulo VII). Referencias y sugerencias bibliográficas: Bohm (5,1), cap. 5, § 14. Complemento LAS RELACIONES DE INCERTIDUMBRE Y PARÁMETROS ATÓMICOS 57
- 58. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La órbita de Bohr no tiene realidad física cuando se combina con las relaciones de incertidumbre (cf. complemento, B). Más adelante (cap. VII), vamos a estudiar la teoría cuántica del átomo de hidrógeno. Vamos a mostrar inmediatamente, sin embargo, cómo las relaciones de incertidumbre habilitar una para entender la estabilidad de los átomos e incluso para derivar simplemente el orden de magnitud de las dimensiones y la energía del átomo de hidrógeno en su estado fundamental. Vamos a considerar, por tanto, un electrón en el campo culombiano de un protón, que asumirá como estacionario en el origen del sistema de coordenadas. Cuando las dos partículas están separadas por una distancia , la energía potencial del electrón es: Donde es su carga (exactamente opuesta a la del protón). Vamos a establecer: Supongamos que el estado del electrón es descrito por una función de onda de simetría esférica, cuya magnitud espacial se caracteriza por (esto significa que la probabilidad de presencia es prácticamente nula más allá de o ). La energía potencial correspondiente a este estado es entonces en el orden de: Para que sea tan bajo como sea posible, es necesario tener tan pequeño como sea posible. Es decir, la función de onda debe ser tan concentrada como sea posible sobre el protón. Pero también es necesario tener la energía cinética en cuenta. Aquí es donde el principio de incertidumbre entra en juego: si el electrón está confinado dentro de un volumen de dimensión lineal , la incertidumbre en su impulso es por lo menos del orden de . En otras palabras, incluso si el impulso media es cero, la energía cinética asociada con el estado bajo consideración no es cero: Si tomamos menor con el fin de disminuir la energía potencial, la energía cinética mínima (4) aumenta. La menor energía total compatible con la relación de incertidumbre es así el mínimo de la función: 58
- 59. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Este mínimo se obtiene por: y es igual a: La expresión (6) es la que se encuentra en el modelo de Bohr para el radio de la primera órbita, y (7) da correctamente la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno (véase el capítulo VII;. La función de onda del estado fundamental es de hecho ). Tal acuerdo cuantitativo sólo puede ser accidental, ya que hemos sido el razonamiento sobre la base de órdenes de magnitud. Sin embargo, el cálculo anterior revela una idea importante físico: debido a la relación de incertidumbre, menor será la extensión de la función de onda, mayor es la energía cinética del electrón. El estado fundamental del átomo resulta de un compromiso entre la energía cinética y la energía potencial. Hacemos hincapié en el hecho de que este compromiso, basado en la relación de incertidumbre, es totalmente diferente de lo que cabría esperar en la mecánica clásica. Si el electrón se trasladó en una órbita circular de radio clásica , su energía potencial será igual a: 59 FIGURA 1 Variación con respecto a (extensión de la función de onda) de la energía potencial , la energía cinética , y la energía total de un átomo de hidrógeno. Las funciones de y varían inversamente, por lo que la energía total pasa a través de un valor mínimo para un cierto valor de y . El valor correspondiente de da la orden de magnitud del tamaño del átomo de hidrógeno.
- 60. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La energía cinética correspondiente se obtiene igualando la fuerza electrostática y la fuerza centrífuga *: *De hecho, las leyes del electromagnetismo clásico indican que se irradia electrones acelerados, que ya prohíbe la existencia de órbitas estables Que da: * La energía total sería entonces igual a: La situación energética más favorable que se producen en , lo que daría una energía de enlace infinito. Por lo tanto, podemos decir que es la relación de incertidumbre que nos permite entender, por así decirlo, la existencia de los átomos. Referencias y sugerencias bibliográficas: Feynman III (1,2), § 4.2. El mismo tipo de razonamiento aplicado a las moléculas: Schiff (1,18), primera sección del § 49. -------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------- Complemento , UN EXPERIMENTO PARA ILUSTRAR LA RELACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE Experimento de doble rendija de Young, que hemos analizado en § A-2 del capítulo I, nos ha llevado a las siguientes conclusiones: los dos aspectos de ondas y partículas de luz son necesarios para explicar los fenómenos observados, pero que parecen ser mutuamente excluyentes, en el sentido de que es imposible determinar a través del cual rendija cada fotón ha pasado sin destruir, por esta 60
- 61. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I operación muy, el patrón de interferencia. Los aspectos de onda y partícula a veces se dice que son complementarios. Vamos a considerar la doble rendija de Young experimento de nuevo para demostrar cómo las relaciones de complementariedad y la incertidumbre están íntimamente relacionadas. Para tratar de poner en duda la relación de incertidumbre, uno se puede imaginar dispositivos más sutiles que el del capítulo I, que utiliza fotomultiplicadores colocados detrás de las rendijas. Ahora vamos a analizar uno de estos dispositivos. FIGURA 1 Diagrama de un dispositivo mediante una placa móvil cuyo impulso se mide antes y después del paso del fotón para determinar si el fotón pasa a través de , o mediante antes de llegar al punto en la pantalla. Supongamos que la placa de , en la cual las hendiduras están perforadas, está montado de modo que puede moverse verticalmente en el mismo plano. Así, es posible medir el impulso vertical transferido a la misma. Considere la posibilidad de (fig. 1) un fotón que golpea a la pantalla de observación en el punto (para simplificar, elegimos una fuente en el infinito). El impulso de estos cambios de fotones cuando se cruza x. La conservación del momento implica que la placa x absorbe la diferencia. Pero el impulso así transferida a x depende de la trayectoria del fotón; dependiendo de si se pasa a través de F1 o F2, el fotón tiene un impulso de: O bien: ( Es el impulso del fotón, y son los ángulos formados por y con la dirección incidente.) 61
- 62. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I A continuación, permitir que los fotones de llegar uno por uno y gradualmente construir el patrón de interferencia en la pantalla de E. Para cada una, se determina a través del cual rendija que ha pasado por la medición del impulso adquirido por la placa de x. Por tanto, parece que los fenómenos de interferencia todavía se pueden observar en E, aunque sabemos por qué rendija cada fotón ha pasado. En realidad, veremos que las franjas de interferencia no son visibles con este dispositivo. El error en el argumento anterior, consiste en asumir que sólo los fotones tienen un carácter cuántico. En realidad, no hay que olvidar que la mecánica cuántica también se aplica a la placa de x (objeto macroscópico). Si queremos saber a través del cual agujero de un fotón ha pasado, la incertidumbre (AP) en el impulso vertical (0>) debe ser lo suficientemente pequeño para que seamos capaces de medir la diferencia entre pl y p2: Pero entonces la relación de incertidumbre implica que la posición de sólo se sabe que dentro de , con: Si se designa por una separación de las dos rendijas y por D la distancia entre la placa 0> y la pantalla S, y si suponemos que 6l y 62 son pequeñas (RF / fl> 1), encontramos (fig. 1): ( denota la posición del punto de impacto sobre Fórmulas (1) y (2) dan a continuación: donde es la longitud de onda de la luz. Sustituyendo este valor en la fórmula (4), se obtiene: 62
- 63. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Pero - es precisamente la separación de las franjas que esperamos encontrar en x. Si la posición vertical de una de las rendijas F1 y F2 se define solamente a dentro de una incertidumbre mayor que la separación de las franjas, es imposible para observar el patrón de interferencia. El análisis anterior muestra claramente que es imposible construir una teoría cuántica que es válido para la luz y no para los sistemas materiales sin entrar en contradicciones serias. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, si pudiéramos tratar la placa de como un sistema material clásico, que podría invalidar la complementariedad de los dos aspectos de la luz, y, en consecuencia, la teoría cuántica de la radiación. A la inversa, una teoría cuántica de la materia por sí solo se enfrentan a dificultades análogas. Con el fin de obtener una coherencia general, hay que aplicar las ideas cuánticas a todos los sistemas físicos. 63
- 64. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Complemento UN TRATAMIENTO SIMPLE DE UN PAQUETE DE ONDAS BIDIMENSIONAL 1. introducción 2. Dispersión angular y dimensiones laterales 3. Discusión. 1. introducción En § C-2 del capítulo I, se estudió la forma de paquetes de ondas unidimensionales, obtenidos mediante la superposición de ondas planas que todo se propagan en la misma dirección [fórmula (C-7)]. Si esta dirección es la del eje , la función resultante es independiente de y y z. Que tiene una extensión finita a lo largo de , pero no se limita en las direcciones perpendiculares: su valor es el mismo en todos los puntos de un plano paralelo a . Tenemos la intención de examinar aquí otro tipo simple de paquetes de ondas: las ondas planas que se van a combinar tienen vectores coplanarios de onda, que son (casi) iguales en magnitud, pero tienen direcciones diferentes. El objetivo es mostrar cómo la dispersión angular conduce a una limitación del paquete de ondas en las direcciones perpendiculares al vector de onda media. Vimos en el § C-2 del capítulo I como, mediante el estudio de la superposición de tres ondas específicas del paquete de una sola dimensión, uno puede entender los aspectos más importantes de los fenómenos. En particular, uno puede encontrar la relación fundamental (C-18) de este capítulo. Nos vamos a limitar aquí a un modelo simplificado de este tipo. La generalización de los resultados que se van a encontrar puede llevarse a cabo de la misma manera como en el capítulo I (véase también complemento ). 2. Dispersión angular y dimensiones laterales Consideremos tres ondas planas, cuyos vectores de onda , y se muestra en la figura 1. Los tres están en el plano ; está dirigido a lo largo ; y son simétricas con respecto a , el ángulo entre cada uno de ellos y ,viene a ser , que se supone que sea pequeña. Por último, las proyecciones de y en son iguales: 64
- 65. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Las magnitudes de estos tres vectores se diferencian sólo por los términos que son de segundo orden en que vamos a descuidar. Sus componentes a lo largo del eje son: Vamos a elegir, como en el § C-2 del capítulo I, reales amplitudes de , que satisfacen las relaciones: FIGURA 1 La disposición de los vectores de onda y asociadas con tres ondas planas que se superponen para construir un paquete de ondas de dos dimensiones. Este modelo representa esquemáticamente una situación más compleja, en la que se tendría un paquete de ondas real, como en la ecuación (C-6) del capítulo I, con las siguientes características: todos los vectores de onda son perpendiculares a y tienen la misma proyección en (sólo el componente a lo largo varía); la función tiene, con respecto a esta variable única ( ), la forma mostrada en la figura 2; su anchura se relaciona muy simplemente a la dispersión angular : La superposición de las tres ondas definidas anteriormente da: 65
- 66. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I (No hay z-dependencia, razón por la cual esto se llama un paquete de ondas en dos dimensiones). FIGURA 2 Los tres valores elegidos para representan muy esquemáticamente una función en pico (línea discontinua). A fin de comprender lo que sucede, podemos utilizar la figura 3, donde se representa, para cada uno de los tres componentes, los frentes de onda sucesivas correspondientes a las diferencias de fase de . La función tiene un máximo en : las tres ondas interfieren constructivamente en el eje . Cuando nos alejamos de este eje, disminuye (el desfase entre los incrementos de los componentes) y se va a cero en , donde viene dada por: Es decir, para: Las fases de las ondas de la y están entonces en oposición con la de la onda (fig. 3). Utilizando (4), se puede reescribir (7) en una forma que es análoga a la de la relación (C-111) del capítulo I: 66
- 67. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 3 La igualdad de planos de de fase de las tres ondas asociadas a los tres vectores de la figura 1: estas ondas están en fase en , pero interfieren de forma destructiva en . Por lo tanto una dispersión angular de los vectores de onda limita las dimensiones laterales de los paquetes de onda. Cuantitativamente, esta limitación tiene la forma de una relación de incertidumbre [fórmulas (7) y (8)]. 3. discusión Considere la posibilidad de una onda plana con vector de onda que se propaga a lo largo de . Cualquier intento de limitar su extensión perpendicular a provoca una dispersión angular a aparecer, es decir, la transforma en un paquete de ondas análogas a las que están estudiando aquí. Supongamos, por ejemplo, que se coloque en el camino de la onda plana una pantalla perforada por una rendija de anchura. Esto dará lugar a una onda difractada (véase la fig. 4). Sabemos que la anchura angular del patrón de difracción está dada por: Donde es la longitud de onda incidente. Esto es, en efecto la misma situación que anteriormente: fórmulas (7) y (9) son idénticos. 67
- 68. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 4 Cuando la incertidumbre se disminuye, la difracción de la onda por el diafragma aumenta la incertidumbre . Complemento LA RELACIÓN ENTRE PROBLEMAS EN UNA Y TRES DIMENSIONES 1. Tres dimensiones de un paquete de ondas a. caso sencillo b. caso general 2. Justificación de los modelos unidimensionales El espacio en el que una partícula clásica o cuántica se mueve es, por supuesto, de tres dimensiones. Es por eso que se escribió la ecuación de Schrödinger (D-I) en el capítulo I de una función de onda que depende de los tres componentes de . No obstante, hemos utilizado en varias ocasiones en este capítulo una sola modelo dimensional, en la que se considera sólo la variable x, sin justificar este modelo de una manera muy precisa lo tanto, este complemento tiene dos propósitos: Primero (§ 1), de generalizar a tres dimensiones de los resultados dados en § C del capítulo yo, a continuación (§ 2), para mostrar cómo se puede, en ciertos casos, rigurosamente justificar el modelo unidimensional. 1. Tres dimensiones un paquete de ondas a. CASO SENCILLO Empecemos considerando un caso muy simple, por lo que las dos hipótesis son requisitos: - El paquete de ondas es libre y por lo tanto se puede escribir como en la ecuación (C-6) del capítulo I: 68
- 69. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I - Por otra parte, la función es de la forma: Recordemos la expresión de en términos de : Sustituyendo 2) y 3) en 1). Es posible separar las tres integraciones con respecto ha para obtener: Con: Y expresiones análogas para y De hecho tiene la forma de un paquete de ondas unidimensional. En este caso particular, Se obtiene así, simplemente tomando el producto 4) de tres paquetes de ondas unidimensionales, cada uno de los cuales evoluciona de una manera totalmente independiente. b. CASO GENERAL En el caso general, donde el potencial V (r) es arbitraria, la fórmula 1) no es válida. Es entonces útil para introducir la transformada de Fourier tridimensional de la función por la escritura: A priori, la t-dependencia de que reúne en es arbitraria. Además, no hay razón por la que, en general, debe ser capaz de expresar en la forma de un producto, como en 2). Con el fin de generalizar los resultados de § C-2 del capítulo I, hacemos la 69
- 70. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I siguiente hipótesis acerca de su k-dependencia: es (en un momento dado t) una función que tiene un pico muy pronunciado para valores de cercanos a y tiene un valor insignificante cuando la punta de sale un dominio centrado a y de dimensiones . Como el anterior, nos propusimos: de modo que la fase de la onda definida por el vector puede escribirse: Podemos establece un argumento similar a la de § C-2 del capítulo I. En primer lugar, el paquete de ondas alcanza un máximo cuando todas las ondas, para lo cual la punta de es en , son prácticamente en fase, que es, cuándo varía muy poco en . En general, se puede desarrollar sobre . Su variación entre y es, a la orden por primera vez en : Es decir, más concisamente *, utilizando (8): Vemos de 10) que la variación de dentro del dominio será mínimo para: Hemos visto que, bajo estas condiciones, es máxima. Relación 11) por lo tanto define la posición del centro del paquete de ondas, y constituye la generalización a tres dimensiones de la ecuación (C-15) del capítulo I. ¿En qué dominio , centrado en y de dimensiones , donde el paquete de ondas 6) puede adoptar valores no despreciables? Vuelve mucho más pequeño que cuando las ondas diferentes se 70
- 71. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I destruyen entre sí por la interferencia, es decir, cuando la variación de dentro del dominio es del orden de (o aproximadamente, del orden de 1 radián). Modificando , si 11) se tiene en cuenta, la relación de 10) puede escribirse: El estado de <5 (k, r, t) ^ 1 de inmediato nos da las relaciones que existen entre las dimensiones de y los de : Las relaciones de incertidumbre de Heisenberg a continuación son una consecuencia directa de la relación : Estas desigualdades constituyen la generalización a tres dimensione de (C-23) del capítulo I. Finalmente, nótese que la velocidad de grupo del paquete de ondas puede obtenerse mediante la diferenciación de 11) con respecto a : En el caso especial de un paquete de ondas libre que no, sin embargo, necesariamente satisfacer a 2), tenemos: Donde está dada por 3). Fórmula 15), entonces se obtiene: Que es la generalización de la ecuación (C-31) del capítulo I. 2. Justificación de los modelos unidimensionales Cuando el potencial es independiente del tiempo, vimos en el § D-l del capítulo I que es posible separar la variables tiempo y espacio en la ecuación de Schrodinger. Esto conduce a la ecuación de valores propios (D-8). Tenemos la intención de mostrar aquí cómo es posible, 71
- 72. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I en ciertos casos, para ampliar aún más este método y para separar así en las variables (D-8). Supongamos que la energía potencial se puede escribir: y vamos a ver si existen soluciones de la ecuación de valores propios de la forma: Un argumento similar a la establecida en el capítulo I (§ D-I-a) muestra que esto es posible si: Y si tenemos otras dos ecuaciones similares donde x se sustituye por y (o z), por (o ), y por (o ). Además, también es necesario que la relación: Para ser satisfecha. La ecuación 20) es del mismo tipo como (D-8), pero en una dimensión. Las variables , están separadas *. Lo que ocurre, por ejemplo, si la energía potencial de una partícula sólo depende de x? se puede escribir en la forma 18), donde y Las ecuaciones 20) en y corresponden al caso ya estudiado, en Cl § del capítulo I, de la partícula libre en una dimensión, y sus soluciones son las ondas planas y . Todo lo que queda es resolver la ecuación 20), lo que equivale a considerar un problema en una sola dimensión, sin embargo, la energía total de la partícula en tres dimensiones es ahora: Los modelos unidimensionales estudiados en el capítulo I así realmente corresponden a una partícula en tres dimensiones que se mueven en un potencial V (r) que depende sólo de x. La soluciones y son entonces muy simple y corresponden a las partículas que son "libre a lo largo de " o a lo largo de . 72
- 73. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Es por ello que hemos concentrado toda nuestra atención en el estudio de la x la ecuación. COMPLEMENTAR : PAQUETE DE ONDAS GAUSSIANO UNIDIMENSIONAL:DIFUSIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS 1. Definición de un paquete de ondas gaussiano 2. Cálculo de y ; relación de la incertidumbre 3. Evolución del paquete de ondas a. Cálculo de b. La velocidad del paquete de ondas c. Difusión del paquete de ondas En el complemento, tenemos la intención de estudiar un paquete de ondas en particular (unidimensional) libre, para el que la función es gaussiana. La razón por la que este ejemplo es interesante radica en el hecho de que los cálculos se pueden realizar exactamente y hasta el final. Por lo tanto, lo primero que se puede comprobar, en este caso especial, las diversas propiedades de los paquetes de onda que hemos señalado en § C del capítulo I. A continuación, se utilizan estas propiedades para estudiar la variación en el tiempo de la anchura de este paquete de ondas y para revelar el fenómeno de propagación a través del tiempo. 1. Definición de un paquete de ondas gaussiano Considere la posibilidad de, en un modelo unidimensional, una partícula libre , cuya función de onda en el tiempo es: Este paquete de ondas se obtiene mediante la superposición de ondas planas con los coeficientes: 73
- 74. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I que corresponde a una función gaussiana centrada en (y multiplicado por un coeficiente numérico que normaliza la función de onda). Esta es la razón por el paquete de ondas A) se llama gaussiana. En los cálculos que siguen, que repetidamente ha de venir sobre las integrales del tipo: donde y son números complejos [de la integral (3) a converger, tenemos que tener .El método de los residuos nos permite mostrar que esta integral no depende de : y que, cuando la condición se cumple (que siempre es posible si viene dada por: Ahora todo lo que queda es evaluar 0 7A,), que se puede hacer clásicamente, a través de una doble integración en el plano xOy y un cambio en coordenadas polares: Así tenemos: con: Calculemos ahora Para ello, vamos a grupo, en los exponentes de (1), los términos dependientes k en un cuadrado perfecto, al escribir en la forma: A continuación, puede utilizar (7), que da como resultado: 74
- 75. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Nos encontramos, como era de esperar, que la transformada de Fourier de una función gaussiana es gaussiana (véase apéndice I). En el instante t = 0, la densidad de probabilidad de la partícula viene dado por: La curva que representa es la conocida curva en forma de campana. El centro del paquete de ondas [el máximo de está situado en el punto Esto es lo que hubiéramos podido encontrar si hubiéramos aplicado la fórmula general (C-16) del capítulo I, ya que, en este caso particular, la función es verdadera. 2. Cálculo de y ; relación de la incertidumbre Es conveniente, cuando uno está estudiando una función gaussiana para definir su ancho , precisamente, a través de: Cuando x varía de 0 a se reduce por un factor de . Esta definición, la cual es, por supuesto, arbitrarias, tiene la ventaja del coincidiendo con el de la "desviación raíz cuadrada media" de la variable x (cf. cap. III, § C-5). Con este convenio, se puede calcular el ancho de del paquete de ondas (10), que es igual a: Podemos proceder de la misma manera para calcular la anchura ya que es también una función gaussiana. Esto le da: O: 75
- 76. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I De este modo se obtiene: un resultado que es totalmente compatible con la relación de incertidumbre de Heisenberg. 3. Evolución del paquete de ondas a. CÁLCULO DE Para el cálculo de la función de onda en el tiempo todo lo que necesitamos hacer es utilizar la fórmula general (C-6) del capítulo I, que da la función de onda de una partícula libre, se obtiene: con (relación de dispersión para una partícula libre). Veremos que en el tiempo el paquete de ondas sigue siendo gaussiana. La expresión (15) puede ser transformada por la agrupación, como anteriormente, todos los términos dependientes k en los exponentes en un cuadrado perfecto. A continuación, puede utilizar (7), y nos encontramos con: donde es real e independiente de x: Vamos a calcular la densidad de probabilidad de la partícula en el tiempo . Obtenemos: 76
- 77. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a demostrar que la norma del paquete de ondas no es dependiente del tiempo (lo veremos en el capítulo III, que esto da lugar a la propiedad del hecho de que el hamiltoniano de la partícula es hermitiana). Podríamos, en este sentido, el uso (7) una vez más el fin de integrar la expresión (17) de . Es más rápido para observar de la expresión (15) que la transformada de Fourier de está dada por: g (k, t) por lo tanto, obviamente, tiene la misma norma como g (k, 0). Ahora la ecuación de Parseval-Plancherel nos dice que y tiene la misma norma, al igual que y De esto deducimos que tiene la misma norma como b. VELOCIDAD DEL PAQUETE DE ONDAS Vemos en (17) que la densidad de probabilidad es una función gaussiana, centrada en donde la velocidad se define por: Se podría haber esperado este resultado, en vista de la expresión general (C-32) del capítulo I, que ofrece la velocidad de grupo . c. DIFUSIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS Tomemos la fórmula (17) otra vez. La anchura del paquete de ondas en el tiempo t, de la definición (11), es igual a: Vemos (véase la fig. 1) que la evolución del paquete de ondas no se limita a un simple desplazamiento a una velocidad El paquete de ondas también se somete a una deformación. Cuando t aumenta desde a la anchura de las disminuciones de onda de paquetes, 77
- 78. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I alcanzando un mínimo en Luego, a medida sigue en aumento, crece sin límite (la difusión del paquete de ondas). Para negativos, el paquete de ondas gaussiano disminuye en anchura, ya que se propaga. En el instante es un "mínimo" paquete de ondas: el producto es igual a Entonces, para el paquete de ondas se propaga de nuevo ya que se propaga. Se puede ver en (17) que la altura del paquete de ondas también varía, pero en oposición a la anchura, por lo que la norma de se mantiene constante. Las propiedades de la función son completamente diferentes. De hecho [cf. fórmula (18)]: Por lo tanto, el impulso promedio del paquete de ondas y su dispersión impulso no varían en el tiempo. Veremos más adelante (cf. cap. III) que surge del hecho de que el impulso es una constante del movimiento de una partícula libre. Físicamente, es evidente que, puesto que la partícula libre se encuentra ningún obstáculo, la distribución de los impulsos no se puede cambiar. La existencia de una dispersión impulso significa que la velocidad de la partícula sólo se sabe que dentro de Imagine un grupo de partículas clásicas de partida en el tiempo desde el punto con una velocidad de dispersión igual a En el momento la dispersión de sus posiciones será esta dispersión se incrementa linealmente con y, como se muestra en la figura 2. Vamos a dibujar en el mismo gráfico la curva que da a la evolución en el tiempo de , cuando se vuelve infinita, 78
- 79. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I coincide prácticamente con [la rama de la hipérbola que representa tiene para sus asíntotas la recta líneas que corresponden a ]. Por lo tanto, podemos decir que, cuando t es muy grande, existe una interpretación cuasi-clásico de la anchura de Por otro lado, cuando enfoques toma valores que difieren más y más de La partícula cuántica de hecho deben satisfacer constantemente la relación de incertidumbre de Heisenberg que desde se fija, impone un límite inferior a Esto corresponde a lo que puede verse en la figura 2. FIGURA 2 La variación en el tiempo de la anchura del paquete de ondas de la figura 1. Para grande se aproxima a la dispersión de las posiciones de un grupo de partículas clásicas que han dejado en el instante con una velocidad de dispersión comentarios: La difusión del paquete de ondas libres es un fenómeno general que no se limita al caso especial estudiados aquí. Se puede demostrar que, para un paquete de ondas libre arbitraria, la variación en el tiempo de su anchura tiene la forma mostrada en la figura 2 (ver ejercicio 4 de complemento ). En el capítulo I, un argumento sencillo nos llevó en (C-17) a , sin hacer ninguna hipótesis particular sobre , excepto para decir que tiene un pico ancho cuya forma es la de la figura 3 del capítulo I (que es el caso en este complemento).Entonces, ¿cómo se obtiene (por ejemplo, para un paquete de ondas gaussiano cuando es grande)? Por supuesto, esto es sólo una contradicción aparente. En el capítulo I, a fin de encontrar , se asumió en (C-13) que el argumento de se puede aproximar por una función lineal en el 79
- 80. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I dominio Así, supone implícitamente una hipótesis suplementaria: que los términos no lineales hacer una contribución despreciable a la fase de en el dominio Por ejemplo, para los términos que son de segundo orden en es necesario que: Si, por el contrario, la fase no se puede aproximar en el dominio por una función lineal con un error mucho menor que encontramos cuando volvamos a la discusión del capítulo I que el paquete de ondas es mayor que era predicho por (C-17). En el caso del paquete de ondas gaussiano estudiado en este complemento, tenemos y . En consecuencia, la condición (22) puede ser escrito . En efecto, podemos comprobar a partir de (10) que, siempre y cuando se cumple esta condición, el producto es aproximadamente igual a 1.. COMPLEMENTO H, LOS ESTADOS ESTACIONARIOS DE UNA PARTÍCULA EN POTENCIALES CUADRADOS UNIDIMENSIONALES 1. Comportamiento de una función de onda estacionaria <p (x) a. Regiones de energía potencial constante b. Comportamiento de en una discontinuidad de la energía potencial c. Esquema del cálculo 2. Estudio de algunos casos sencillos a. Potencial escalon b. Las barreras potenciales c .. Estados obligados; cuadrados potenciales Vimos en el capítulo I (cf. § D-2) el interés por estudiar el movimiento de una partícula en un "potencial cuadrado" cuyo rápido variaciones espaciales para ciertos valores de introducir efectos puramente cuánticos. La forma de las funciones de onda asociadas a 80
- 81. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I los estados estacionarios de la partícula fue predicha por considerar una analogía óptica, que nos permitió entender muy sencillamente cómo estos efectos físicos que aparezcan nuevos. En este complemento, se describe el cálculo cuantitativo de los estados estacionarios de la partícula. Vamos a dar los resultados de este cálculo para un determinado número de casos sencillos, y discutir sus implicaciones físicas. Nos limitamos a modelos unidimensionales (vease complemento ). 1. Comportamiento de una función de onda estacionaria a. REGIONES DE ENERGÍA POTENCIAL CONSTANTE En el caso de un potencial cuadrado, es una función constante en ciertas regiones del espacio. En dicha región, la ecuación (D-8) del capítulo I se puede escribir: Vamos a distinguir entre los varios casos: Vamos a presentar la constante positiva , definida por: La solución de la ecuación (1) se puede escribir: donde y son constantes complejas. Esta condición corresponde a regiones del espacio que se prohibidas a la partícula por las leyes de la mecánica clásica. En este caso, se introduce la constante positiva definida por: y la solución de (1) se puede escribir: 81
- 82. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I donde y son constantes complejas. En este caso especial, es una función lineal de b. COMPORTAMIENTO DE EN UNA DISCONTINUIDAD DE LA ENERGÍA POTENCIAL ¿Cómo se comporta la función de onda en un punto , donde el potencial es discontinua? Se podría pensar que en este punto la función de onda se comportan de manera extraña, llegando a ser en sí discontinua, por ejemplo. El objetivo de esta sección es demostrar que este no es el caso: y son continuas, y es sólo la segunda derivada que es discontinua en . Sin dar una prueba rigurosa, vamos a tratar de entender esta propiedad. Para ello, recordemos que un potencial cuadrado debe tener en cuenta (véase el capítulo I, § D-2-a.) Como el límite, cuando de un potencial igual a fuera del intervalo y variando continuamente dentro de este intervalo. Entonces considere la ecuación: donde se supone que se limita, de forma independiente, en el intervalo .Elija una solución que, para coincide con una determinada solución de (1) El problema es demostrar que, cuando tiende hacia una función , que es continua y diferenciable en Admitamos que sigue siendo limitada, cualquiera que sea el valor de en el entorno de Físicamente, esto significa que la densidad de probabilidad sigue siendo finita, entonces, el integrador (6) entre y , se obtiene: 82
- 83. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En el límite cuando la función que se integra en el lado derecho de esta expresión sigue siendo limitada, debido a nuestro supuesto anterior. En consecuencia, si tiende a cero, la integral también tiende a cero, y: Así, en este límite, es continua en y también lo es (ya que es la integral de una función continua). Por otro lado, es discontinua, y, como puede verse directamente de (1), hace un salto en x = xt que es igual a [donde representa el cambio en ] COMENTARIO: Es esencial, en el argumento anterior, que siguen siendo limitada. En ciertos ejercicios de complemento, K, por ejemplo, el caso se considera que una función ilimitada cuya integral permanece finita. En este caso, se mantiene constante, pero no lo hace. c. ESQUEMA DEL CÁLCULO El procedimiento para determinar los estados estacionarios en un "potencial cuadrado" es por lo tanto, lo siguiente: en todas las regiones donde es constante, escribir en cualquiera de las dos formas(3) o (5) es aplicable, a continuación, "compatibles" con estas funciones al exigir la continuidad de y de en los puntos donde es discontinua. 2. Estudio de ciertos casos sencillos Vamos ahora a llevar a cabo el cálculo cuantitativo de los estados estacionarios, realizado de acuerdo con el método descrito anteriormente, para todas las formas de considerados en § D-2-c del capítulo I. Así, deberá verificar que la forma de las soluciones es de hecho la predicha por la analogía óptica. a. POTENCIAL ESCALON 83 * Este punto se pudo demostrar matemáticamente a partir de las propiedades de la ecuación diferencial A).
- 84. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Caso donde ; reflexión parcial Establecer: La solución de (1) tiene la forma (3) en las dos regiones y : Dado que la ecuación (1) es homogénea, el método de cálculo del § 1- c sólo se nos permite determinar las proporciones y De hecho, las dos condiciones de coincidentes en no son suficientes para la determinación de estas tres relaciones es por esto que deberá elegir lo que equivale a limitarnos al caso de una partícula incidente viniendo desde Las condiciones de coincidentes, a continuación, se dan: es la superposición de dos ondas. El primero (el término ) corresponde a una partícula incidente, con el impulso multiplicando de izquierda a derecha. El segundo (el término ) corresponde a una partícula reflejada, con el impulso que se 84 Figura 1 Potencial Escalon
- 85. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I propaga en la dirección opuesta. Puesto que hemos elegido consta de una sola onda, que está asociada con una partícula de transmisión. Nos veremos en el capítulo III (cf. § D1- c-b) ¿Cómo es posible, utilizando el concepto de probabilidad actual, para definir el coeficiente de transmisión T y el coeficiente de reflexión R de la etapa de potencial (véase también el § 2 del complemento Estos coeficientes dan la probabilidad de que la partícula, que llega desde para pasar el paso potencial en , o dar marcha atrás. Así nos encontramos con: y, para : Tomando (13) y (14) en cuenta, tenemos entonces: Es fácil comprobar que :es cierto que la partícula se sea transmitida o reflejada. Contrariamente a las predicciones de la mecánica clásica, la partícula incidente tiene una probabilidad distinta de cero de vuelta atrás. Este punto fue explicado en el capítulo I, usando la analogía óptica y teniendo en cuenta la reflexión de una onda de luz desde la interfaz de un plano (con ). Por otra parte, sabemos que en la óptica, no hay retardo de fase se crea por esta reflexión, las ecuaciones (13) y (14) en efecto, revelan que las relaciones y son reales. Por lo tanto, la partícula cuántica no se ralentiza por su reflexión o transmisión (vease complemento § 2). Finalmente, es fácil comprobar, utilizando (9), (10) y (18), que, si :cuando la energía de la partícula es lo suficientemente grande en comparación con la altura del paso potencial la partícula se borra este paso como si no existiera. 85 * El origen físico de la k2/kl factor que aparece en T se trata en el § 2 de complemento.
- 86. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Caso donde ;reflexión total A continuación, reemplace (10) y (12) por: Para que la solución permanezca acotada cuando , es necesario que: Las condiciones coincidentes en x = 0 dan en este caso: El coeficiente de reflexión R es entonces igual a: Al igual que en la mecánica clásica, la partícula siempre se refleja (reflexión total). Sin embargo, hay una diferencia importante, que ya ha sido señalado en el capítulo I: debido a la existencia de la onda evanescente la partícula tiene una probabilidad no nula de presencia en la región del espacio que, clásicamente, se se prohíbe a la misma. Esta probabilidad disminuye exponencialmente con , y se vuelve insignificante cuando es mayor que el "rango" de la onda evanescente. Nótese también que el coeficiente es compleja. cambia de fase determinada por la reflexión, que, físicamente, es debido al hecho de que la partícula se retrasa cuando penetra en la región (vease complemento § 1 y también § 3 ). Este desplazamiento de fase es análoga a la que aparece cuando la luz es reflejada desde un tipo de sustancia metálica, sin embargo, no hay análogo en la mecánica clásica. comentarios: Cuando de modo que (22) y (23)rendimiento: 86
- 87. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En la región la onda, cuyo rango decrece sin límite, tiende a cero. Puesto que la función de onda tiende a cero en por lo que sigue siendo continua en este momento Por otro lado, su derivado, el cual cambia abruptamente.. el valor a cero, ya no es continua Esto es debido al hecho de que, dado que el salto de potencial es infinito en la integral de (7) ya no tiende a cero cuando tiende a b. BARRERAS POTENCIALES Caso en que ; resonancias Utilizando las anotaciones (9) y (10), encontramos en las tres regiones y : Elijamos, como el anterior, (partícula incidente viniendo desde . Las condiciones coincidentes en entonces dan y en términos de y aquellos en dar y en términos de y (y, por consiguiente, en términos de ). Así nos encontramos con: 87 FIGURA 2 Barrera de potencial cuadrado.
- 88. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I . y nos permite calcular el coeficiente de reflexión y coeficiente de transmisión de la barrera, que aquí son iguales a: Puede ser positivo (el caso de una barrera de potencial como el mostrado en la figura 2) o negativo (un pozo de potencial). Es entonces fácil verificar que Tomando (9) y (10) en cuenta, tenemos: Las variaciones con respecto a de los coeficiente transmisión se muestra en la figura 3 (con y fija ): oscila periódicamente entre su valor mínimo y su valor máximo, que es Esta función es el análogo de la que describe la transmisión de un interferómetro Fabry-Perot. FIGURA 3 Las variaciones de la coeficiente de transmisión de la barrera como una función de su anchura (la altura de la barrera y la energía de la partícula son fijos). Las resonancias aparecen cada vez que es un múltiplo entero de la media longitud de onda en la región Como en la óptica, las resonancias (obtenido cuando es decir, cuando ) corresponden a los valores de que son múltiplos enteros de la media longitud de onda de la partícula en la región Cuando el reflejo de la partícula en cada una de las discontinuidades potenciales se produce sin un cambio de fase de la 88
- 89. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I función de onda Esta es la razón por la condición de resonancia corresponde a los valores de para que un sistema de ondas estacionarias puede existir en la región Por otro lado, lejos de las resonancias, las ondas diferentes que se reflejan en y se destruyen entre sí por la interferencia, de modo que los valores de la función de onda son pequeñas. Un estudio de la propagación de una onda de paquetes (similar al complemento ) que muestran que, si la resonancia condiciones se cumple este requisito, el paquete de ondas pasa un tiempo relativamente largo en la región En la mecánica cuántica este fenómeno se llama dispersión de resonancia. Caso donde efecto túnel Ahora tenemos que sustituir (26-b) por (20), aún siendo propuesta por (19). Las condiciones coincidentes en y nos permiten calcular el coeficiente de transmisión de la barrera. De hecho, no es necesario para realizar los cálculos de nuevo: todo lo que hay que hacer es sustituir, en las ecuaciones obtenidas en . Tenemos entonces: con, por supuesto, Cuando tenemos: Ya hemos visto, en el capítulo I, ¿por qué, contrariamente a las predicciones clásicas, la partícula tiene una probabilidad distinta de cero de cruzar la barrera de potencial. La función de onda en la región II no es cero, pero tiene el comportamiento de una "onda evanescente" de rango . Cuando la partícula tiene una probabilidad considerable de cruzar la barrera por el "efecto túnel". Este efecto tiene numerosas aplicaciones físicas: la inversión de la molécula de amoniaco (cf. complemento ), el diodo túnel, el efecto Josephson, EL decaimiento alfa de ciertos núcleos, etc. Para un electrón, el intervalo de la onda evanescente es: 89
- 90. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I donde y están expresadas en electrón-voltios (esta fórmula se puede obtener inmediatamente mediante la sustitución, en la fórmula (8) del complemento Consideremos ahora un electrón de energía que se encuentra con una barrera para que y El rango de la onda evanescente es entonces es decir, del orden de : el electrón entonces debe tener un una considerable probabilidad de cruzar la barrera. En efecto, la fórmula (30) da en este caso: El resultado cuántico es radicalmente diferente del resultado clásico: el electrón tiene aproximadamente 8 de cada 10 posibilidades de cruzar la barrera. Supongamos ahora que la partícula incidente es un protón (cuya masa es de aproximadamente 1 840 veces la del electrón). El rango se convierte entonces en: Si mantenemos los mismos valores: , nos encontramos con un rango mucho menor que l.La Fórmula (31) da entonces: Bajo estas condiciones, la probabilidad de que el protón está cruzando la barrera de potencial es despreciable. Esto es tanto más cierto si se aplica (31) a los objetos macroscópicos, por lo que nos encontramos con estas pequeñas probabilidades de que no puede desempeñar ningún papel en los fenómenos físicos. c. ESTADOS OBLIGADOS; POZO DE POTENCIALES CUADRADOS Pozo de profundidad finita Nos limitaremos aquí a estudiar el caso (el caso se incluyó en los cálculos de la sección anterior ). 90
- 91. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 4 Pozo de potencial cuadrado. En las regiones tenemos, respectivamente: con: Puesto que debe ser limitada en la región debemos tener: Las condiciones coincidentes en : luego le dan: y aquellos en 91
- 92. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Pero también debe ser limitado en la región Por lo tanto, es necesario que es decir.: Dado que P y dependen de la ecuación (42) sólo puede ser satisfecha para ciertos valores de La imposición de un límite de en todas las regiones del espacio lo que implica la cuantificación de la energía. Más precisamente, dos casos son posibles: si: tenemos: Ajustando: A continuación, se obtiene: La ecuación (43) es, por tanto equivalente al sistema de ecuaciones: 92
- 93. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La figura 5 Solución gráfica de la ecuación (42), dando a las energías de los estados consolidados de una partícula en un pozo de potencial rectangular. En el caso mostrado en la figura, existen cinco estados consolidados, incluso tres (asociada con el punto de la figura), y dos puntos impares ( . Los niveles de energía están determinados por la intersección de una línea recta, que tiene una pendiente , con arcos sinusoidales (líneas largas discontinuas en la figura 5). Así se obtiene un cierto número de niveles de energía, cuya funciones onda aún son. Esto se hace evidente si nos referimos a (43) en (40) y (41), es fácil comprobar que y que de modo que si: un cálculo del mismo tipo conduce a: Los niveles de energía se determinan entonces por la intersección de la misma línea recta como antes con otros arcos sinusoidales (vease líneas cortas de trazos en la figura 5). Los niveles así obtenida caída entre las que se encuentran en Puede ser fácilmente demostrado que las funciones de onda correspondientes son impares. Comentarios: Si , es decir, si: La Figura 5 muestra que sólo existe un estado ligado de la partícula, y este estado tiene una función par de las ondas. 93
- 94. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Entonces, si un nivel impar aparece por primera vez, y así sucesivamente: cuando aumenta, aparecen como alternativa, incluso los niveles impares. Si de la pendiente de la línea recta de la figura 5 es muy pequeño: para los niveles de energía más bajos, que prácticamente tiene: donde n es un entero, y en consecuencia: pozo Infinitamente profundo Supongamos que V (x) sea cero para y esto infinito en todas partes. Ajuste: De acuerdo con el comentario que hizo al final del § de este complemento, debe ser cero fuera del intervalo y continua en , así como en Ahora, para Desde se puede deducir que que conduce a: Además, por lo que: donde n es un entero positivo arbitrario. Si normalizamos la función (55), teniendo (56) en cuenta, obtenemos las funciones de onda estacionarias: 94
- 95. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I con energías: La cuantificación de los niveles de energía es, por tanto, en este caso, particularmente simple. comentarios: La Relación (56) expresa simplemente el hecho de que los estados estacionarios están determinados por la condición de que el ancho del pozo debe contener un número entero de medias longitudes de onda, n / c. Este no es el caso cuando el pozo tiene una profundidad finita (cf. § a), la diferencia entre los dos casos surge del desplazamiento de fase de la función de onda que se produce en la reflexión desde un paso de potencial (Veáse § Se puede verificar fácilmente de (51) y (52) que, si la profundidad Vo de un pozo finito tiende a infinito, nos encontramos con los niveles de energía de un pozo infinito. Complemento COMPORTAMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDA EN UN PASO DE POTENCIAL 1. Reflexión total: 2. La reflexión parcial: En el complemento , a fin de determinar los estados estacionarios de una partícula en varias potenciales "cuadrados". En determinados casos (un pozo de potencial por ejemplo), los estados estacionarios obtenidos consisten en ondas planas ilimitadas (incidente, reflejada y transmitida). Por supuesto, ya que no pueden ser normalizada, tales funciones de onda en realidad no puede representar un estado físico de la partícula. Sin embargo, pueden ser linealmente superponen para formar paquetes normalizable onda. Además, dado que tales un paquete de ondas se expande directamente en términos de funciones de onda estacionaria, su evolución en el tiempo es muy sencillo de determinar. Todo lo que necesitamos hacer es multiplicar 95
- 96. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I cada uno de los coeficientes de la expansión por una exponencial e imaginaria con una frecuencia bien definida (veáse cap ) Tenemos la intención, en este complemento, para construir tales paquetes de onda y estudiar su evolución en el tiempo para el caso en que el potencial presenta un "paso" de altura , como en la figura 1 de complemento De esta manera, se deberá ser capaz de describir con precisión el comportamiento cuántico de la partícula cuando llega a la etapa de potencial a través de la determinación del movimiento y la deformación de su paquete de ondas asociada. Esto también nos permitirá confirmar los resultados obtenidos en diferentes a través del estudio de los estados estacionarios por sí solos (coeficientes de reflexión y transmisión, lo que frena a la reflexión, etc.) Vamos a establecer: y, como en el complemento , vamos a distinguir entre dos casos, que corresponden a menores valores de o superior a . 1. Reflexión total: En este caso, las funciones de onda estacionarias están dadas por las fórmulas (11) y (20) del complemento , { se llama simplemente aquí), los coeficientes, y de estas fórmulas son relacionadas por las ecuaciones (21), (22) y (23) de ,. Vamos a construir un paquete de ondas a partir de estas funciones de onda estáticas para linealmente superponer. Se deberá elegir sólo los valores de menos de a fin de tener las ondas que forman el paquete a someterse a la reflexión total. Para ello, vamos a elegir una función g (k) (que caracteriza al paquete de ondas) que es cero para Nos vamos a centrar nuestra atención en la región negativa de la eje-x, a la izquierda de la barrera de potencial. Del complemento , la relación (22) muestra que el coeficiente y 96
- 97. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I [de expresión (11) de una onda estacionaria en la región tienen el mismo módulo. Por lo tanto, podemos configurar: con [véase fórmula (19) de ]: Por último, el paquete de ondas que vamos a considerar puede ser por escrito, en el tiempo para negativos: Al igual que en § C del capítulo I, se supone que g (k) tiene un pico pronunciado de anchura sobre el valor Con el fin de obtener la expresión para la función de onda j / (x, t) en cualquier momento t, simplemente utilizar la relación general (D-14) de I capítulo: donde . Por construcción, esta expresión sólo es válida para negativos. Su primer término representa el paquete de ondas incidente, su segundo termino, el paquete reflejado. Para simplificar, supondremos puede ser real. La condición de la fase estacionaria (. Véase el capítulo I, § C-2) a continuación, nos permite calcular la posición del centro del paquete de ondas incidente: si, en se establece la derivada con respecto a el argumento de la igualdad de primera exponencial a cero, se obtiene: De la misma manera, la posición del centro del paquete reflejado se obtiene diferenciando el argumento de la segunda exponencial. Diferenciando la ecuación (3), nos encontramos con: 97
- 98. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es decir: Así tenemos: Fórmulas (8) y (9) permiten a describir con mayor precisión el movimiento de la partícula, localizada en una región pequeña de anchura centrada en En primer lugar, consideremos lo que sucede con el negativo . El centro del paquete de ondas incidente se propaga de izquierda a derecha con una velocidad constante . Por otro lado, podemos ver en la fórmula (9) que es positivo, es decir, situado fuera de la región donde la expresión (5) para la función de onda es válida. Esto significa que, para todos los valores negativos de , las ondas de varias partes del segundo termino de (5) interfieren de forma destructiva: para negativos, no hay ningún paquete de ondas reflejadas, pero sólo un paquete de ondas incidente como los que hemos estudiado en el § C del capítulo I. El centro del paquete de ondas incidente llega a la barrera en el tiempo t = 0. Durante un cierto intervalo de tiempo alrededor de el paquete de ondas se localiza en la región donde la barrera es, y su forma es relativamente complicado. Pero, cuando es suficientemente grande, lo vemos en (8) y (9) que es el paquete de ondas incidente que ha desaparecido, y nos quedamos sólo con el paquete de ondas reflejadas. Ahora es lo cual es positivo, mientras que se ha convertido en negativo: las ondas del paquete incidente interfieren de forma destructiva para todos los valores negativos de mientras que los del paquete reflejado interfieren de manera constructiva para El paquete de onda reflejada se propaga hacia la izquierda a una velocidad de opuesta a la del paquete incidente, cuyo espejo de la imagen es, su forma es 98
- 99. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I inalterado *. Además, la fórmula (9) muestra que la reflexión se ha introducido un retardo , dado por: Contrariamente a lo que predice la mecánica clásica, la partícula no se refleja instantáneamente. Observe que el retardo está relacionado con el desplazamiento de fase entre la onda incidente y la onda reflejada para un valor dado de No obstante, debe observarse que el retraso del paquete de ondas no es simplemente proporcional a como sería el caso para una onda plana ilimitada, pero a la derivada evaluado en Físicamente, este retraso es debido al hecho de que, para cercano a cero t, la probabilidad de presencia de la partícula en la región la cual está prohibida clásicamente, no es cero [onda evanescente, véase el comentario a continuación] . Se puede decir, metafóricamente, que la partícula pasa un tiempo del orden de en esta región antes de volver sobre sus pasos. Fórmula (10) muestra que cuanto más cerca de la energía media del paquete de ondas es a la altura de la barrera , mayor será el retardo . Comentarios: Aquí se ha subrayado el estudio del paquete de ondas para x <0, pero también es posible estudiar lo que ocurre para x> 0. En esta región, el paquete de ondas se puede escribir: Se supone es lo suficientemente pequeño como para la difusión del paquete de ondas es insignificante durante el intervalo de tiempo considerado. donde: 99
- 100. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I está dada por la ecuación (23) del complemento cuando se reemplaza por 1, por y por Un argumento análogo al de § C-2 del capítulo I a continuación, muestra que el módulo de expresión (11) es máxima cuando la fase de la función que se integran a lo largo es estacionaria. Ahora, de acuerdo a las expresiones (22) y (23) de el argumento de es la mitad del que, de acuerdo con (2), es igual a En consecuencia, si se expande y en la vecindad de se obtiene, para la fase de la función que se integra sobre en (11): [hemos utilizado (10) y el hecho de que se supone real]. De esto podemos deducir que es máxima en la región para El momento en que el paquete de ondas se vuelve por lo tanto lo que nos da el mismo retardo de en la reflexión que hemos obtenido anteriormente. También vemos a partir de la expresión (13) que, tan pronto como sea excede el tiempo de definido por: donde es la anchura de , las ondas de salen de fase y de expresión(11) para se hace despreciable. Así, el paquete de ondas como un todo permanece en la región durante un intervalo de tiempo de la orden de: que corresponde aproximadamente al tiempo que sea necesario, en la región , para viajar una distancia comparable a la anchura Desde Ak se supone que es mucho más pequeña que K0 y Ko, la comparación de (10) y (15) muestra que: El retraso en la reflexión por lo tanto implica, por el paquete de onda reflejada, un desplazamiento que es mucho menor que su anchura. 100
- 101. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Tenga en cuenta que la fase (13) no depende de x, al contrario de lo que encontramos en el capítulo I de un paquete de ondas libres. De ello se deduce que, en la región , no tiene un pico pronunciado que se mueve con respecto al tiempo. 2. Reflexión parcial: Esta vez, vamos a considerar una función de ancho centrada en un valor que es cero para El paquete de ondas está formada en este caso mediante la superposición, con coeficientes las funciones de onda estacionaria cuyas expresiones son dadas por las fórmulas (11) y (12) de complemento Se deberá elegir a fin de que la partícula se está considerando llegar a la barrera de la región negativa del eje , y tendrá Los coeficientes se obtienen a partir de las fórmulas (13) y (14) de complemento (en la que se sustituye por por y por Con el fin de describir el paquete de ondas por una expresión única, válida para todos los valores de podemos usar el Heaviside " la función escalon " definida por: El paquete de ondas que se examina a continuación, se puede escribir: Esta vez, nos encontramos con tres paquetes de ondas: incidente, reflejada y transmitida. Como en el § 1 anterior, la condición de la 101
- 102. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I fase estacionaria da la posición de sus respectivos centros Dado que y son reales, nos encontramos con: Una discusión análoga a la de (6) y (9) conduce a las siguientes conclusiones: para t negativos, sólo el paquete de ondas incidente existe; para t positivos suficientemente grandes, sólo el reflejado y existen paquetes de onda de transmisión (fig. 1). Nótese que no hay retraso, ya sea en la reflexión o sobre la transmisión [esto es debido al hecho de que los coeficientes y son reales]. Los paquetes de ondas incidentes y reflejados se propagan con velocidades de y , respectivamente. Supongamos a de ser lo suficientemente pequeño que, dentro del intervalo , se puede prescindir de la variación de en comparación con la de Podemos entonces, en el segundo término de (18), remplazar por y llevarlo fuera de la integral. Es entonces fácil ver que el paquete de onda reflejada tiene la misma forma que el paquete de ondas incidente, su imagen especular. Su amplitud es más pequeño, sin embargo, puesto que, de acuerdo con la fórmula (13) de complemento es menor que 1. El coeficiente de reflexión es, por definición, la relación entre las probabilidades de encontrar la partícula en el paquete de onda reflejada y en el paquete incidente. Por lo tanto, tenemos que de hecho corresponde a la ecuación (15) de complemento [recordemos que hemos elegido un 102
- 103. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Comportamiento de un paquete de ondas en un potencial escalon, en el caso ". El potencial se muestra en la figura (a). En la figura b, el paquete de ondas se mueve hacia el escalon. La figura C muestra el paquete de ondas durante el periodo transitorio en el que se divide en dos. La interferencia entre el incidente y las ondas reflejadas son responsables de las oscilaciones del paquete de ondas en la región . Después de cierto tiempo (fig. d), nos encontramos con dos paquetes de onda. El primero (el paquete de ondas reflejadas) está volviendo hacia la izquierda; su amplitud es menor que la del paquete de ondas incidente, y su anchura es la misma. El segundo (el paquete de ondas transmitida) se propaga hacia la derecha; su amplitud es ligeramente mayor que la del paquete de ondas incidente, pero es más estrecho. La situación es diferente para el paquete de ondas de transmisión. Todavía puede utilizar el hecho de que es muy pequeña con el fin de simplificar su expresión: se reemplaza por , y por la aproximación: 103
- 104. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Con: El paquete de ondas de transmisión se puede escribir: Vamos a comparar esta expresión con el otro para el paquete de ondas incidente: Vemos que: El paquete de ondas transmitida por tanto, tiene una amplitud ligeramente mayor que la del paquete incidente: de acuerdo con la fórmula (14) del complemento es mayor que 1. Sin embargo, su anchura es menor, ya que, si tiene un ancho de fórmula (24) muestra que la anchura de es: El coeficiente de transmisión (la relación entre las probabilidades de encontrar la partícula en el paquete transmitido y en el paquete incidente) se ve que es el producto de dos factores: Este hecho responde a la fórmula (16) del complemento , ya que Por último, señalar que, teniendo en cuenta la contracción del paquete de ondas transmite a lo largo del eje , podemos encontrar su velocidad: 104
- 105. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 105
- 106. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 106
- 107. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 107
- 108. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 108
- 109. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA RESUMEN DEL CAPÍTULO II A. Espacios de la función de onda de una partícula 1. Estructura del espacio función de onda a. como un espacio vectorial b. El producto escalar c. los operadores lineales 2. Bases orto normales discretas en a. definición b. Componentes de una función de onda en la base c. Expresión para el producto escalar en términos de los componentes d. Relación de clausura 3. Introducción a las "bases" no perteneciente a a. Las ondas planas b. "Funciones Delta " c. Generalización: las bases orto normales ‘’continuas" B. Espacio de estado. Notación de Dirác 1. introducción 2. vectores "Ket" y vectores "bra" a. Los elementos de : kets b. Los elementos del espacio dual de : bras c. Correspondencia entre kets y bras 3. los operadores lineales a. definiciones b. Ejemplos de operadores lineales: proyectores 4. la conjugación hermitiana a. Acción de un operador lineal sobre un bra b. El operador adjunto de un operador lineal c. La correspondencia entre un operador y su adjunto d. La conjugación hermitiana en la notación de Dirác 109
- 110. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I e. operadores hermitianos C. Representación en el espacio de estado I Introducción a. Definición de una representación b. Finalidad de 2. Relaciones características de una base orto normal a. relación Ortonormalization b. Relacion de clausura 3. Representación de los kets y bras a. Representación de los kets b. Representación de bras 4. Representación de los operadores a. Representación de por una matriz "cuadrada" b. Matriz de representación del ket c. La expresión para el número d. Representación de la matriz del adjunto de 5. Cambio de representaciones a. Exposición del problema b. Transformación de los componentes de un ket c. Transformación de los componentes de un bra d. La transformación de los elementos de matriz de un operador D. Ecuación de valores propios. Observables 1. Valores y vectores propios de un operador a. definiciones b. Encontrando los valores y vectores propios de un operador 2. observables a. Propiedades de los valores y vectores propios de un operador hermítico b. Definición de un observable c. Ejemplo: el proyector 3. Los conjuntos de observables que conmutan a. teoremas importantes b. Juegos completos de observables que conmutan (C.S.C.O.) E. Dos ejemplos importantes de representaciones y observables 1. Las representaciones {[r)} y {I P)} a. definición b. Orthonormalization y las relaciones de 110
- 111. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I clausura c. Componentes de un ket d. El producto escalar de dos vectores e. Cambio de la representación de la representación 2. Los operadores y a. definición b. y son hermitiana c. Vectores propios de y d. y son observables F. Producto tensorial en espacios de estados 1. introducción 2. Definición y propiedades del producto tensor a. El espacio producto tensorial b. Producto tensorial de los operadores c. notación 3. Valores propios de las ecuaciones en el espacio del producto a. Valores y vectores propios de los operadores extendidos b. Juegos completos de los desplazamientos observables en el 4. Aplicaciones a. Estados uni y tri dimensionales de las partículas b. Estados de un sistema de dos partículas Este capítulo está destinado a ser un estudio general de las herramientas básicas matemáticas que se utilizan en la mecánica cuántica. Vamos a dar una simple presentación condensada destinada a facilitar el estudio de los capítulos siguientes para los lectores no familiarizados con estas herramientas. No intentamos ser matemáticamente completa y rigurosa. Creemos que es preferible que nos limitemos a un punto de vista práctico, uniendo en un solo capítulo los diversos conceptos que son útiles en la mecánica cuántica. En particular, queremos hacer hincapié en la conveniencia de la notación de Dirac para la realización de los diversos cálculos que se tienen que realizar. En este sentido, vamos a tratar de simplificar la discusión tanto como sea posible. Ni las definiciones generales ni las pruebas rigurosas que podrían ser requeridos por un matemático podrá encontrar aquí. Por ejemplo, 111
- 112. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a veces se habla de espacios infinito-dimensionales contra la razón como si no tuvieran un número finito de dimensiones. Por otra parte, muchos términos (cuadrado-integrables funciones, bases, etc ..) se emplea con un significado que, aunque de uso común en la física, no es exactamente el mismo utilizado en las matemáticas puras. Comenzamos en mediante el estudio de las funciones de onda introducidas en el capítulo I. Se demuestra que estas funciones de onda pertenecen a un espacio vectorial abstracto, lo que llamamos el "espacio de la función de onda, ’’. Este estudio se llevará a cabo con todo detalle, ya que introduce algunos conceptos básicos del formalismo matemático de la mecánica cuántica: Los productos escalares, operadores lineales, bases, etc. A partir de se deberá desarrollar un formalismo más general, que caracteriza el estado de un sistema por un "vector de estado" que pertenece a un espacio vectorial: el "espacio de estado . La notación de Dirac, lo que simplifica enormemente los cálculos; que se introduce en este formalismo. Tiene la intención de estudiar la idea de una representación. La lectura de está especialmente recomendado para el lector que no esté familiarizado con la diagonalización de un operador: esta operación estará constantemente útil para nosotros en lo que sigue. En se trata de dos importantes ejemplos de representaciones. En particular, se muestra cómo las funciones de onda estudiados en son los "componentes" de los vectores de estado en una representación en particular. Por último, se introduce en el concepto de un producto tensorial. Este concepto se ilustra más en concreto con un ejemplo simple en el complemento A. ESPACIO DE LA FUNCIÓN DE ONDA DE UNA PARTICULA La interpretación probabilística de la función de onda de una partícula que se le dio en el capítulo anterior: representa la probabilidad de encontrar, en el tiempo t, la partícula en un volumen sobre el punto La probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar en el espacio es igual a 1, por lo que se tienen: Donde la integración se extiende sobre todo el espacio. 112
- 113. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Por lo tanto, nos lleva a estudiar el conjunto de funciones de cuadrado integrable. Estas son las funciones para las cuales la integral converge. Este conjunto se denomina por los matemáticos y tiene la estructura de un espacio de Hilbert. Desde el punto de vista físico, está claro que el conjunto es demasiado amplia en su alcance: dado el significado que se atribuye a las funciones de onda que se utilizan realmente poseen ciertas propiedades de regularidad. Sólo podemos mantener las funciones , que están en todas partes definidas, continuas y diferenciables infinitamente (por ejemplo, a afirmar que una función es muy discontinua en un punto dado en el espacio no tiene sentido físico, ya que ningún experimento que nos permite tener acceso a los fenómenos reales a una escala muy pequeña, por ejemplo de m).También es posible que nos limitamos a funciones de onda que tienen un dominio limitado (lo que da por cierto que la partícula se encuentra dentro de una región finita del espacio, por ejemplo en el interior del laboratorio) no vamos a tratar de dar una lista precisa, general de estas condiciones adicionales: Que llamaremos el conjunto de funciones de onda compuesta por suficientemente regular funciones de ( es un sub espacio de ). 1. Estructura del espacio función de onda a. COMO UN VECTOR ESPACIO Se puede demostrar fácilmente que satisface todos los criterios de un espacio vectorial. A modo de ejemplo, se demuestra que si y pertenecen a .Entonces *: Donde y son dos números complejos arbitrarios. Con el fin de demostrar que es de cuadrado integrable, ampliar Los dos últimos términos de tienen el mismo módulo, que tiene como un límite superior: 113
- 114. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Por lo tanto, es más pequeño que una función cuya integral converge, ya que y son de cuadrado integrable. b. EL PRODUCTO ESCALAR Definición Con cada par de elementos de y tomada en este orden, se asocia un número complejo, denotado por , que, por definición, es igual a: Es el producto escalar de por [esta integral siempre converge si y si pertenecen a . Propiedades Siguen de la definición (A-4): El producto escalar es lineal con respecto a la segunda función del par, anti lineal con respecto a la primera. Si , y se dice que son ortogonales. es un número real, positivo, que es cero si y sólo si ( / { jf, $) se llama la norma de (i / / r) [que se puede verificar fácilmente que este número tiene todas las propiedades de una norma]. El producto escalar elegido anteriormente por lo tanto permite la definición de una norma en 3F. Citemos, por último, (véase complemento ) La desigualdad de Schwarz: 114
- 115. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Esto se convierte en una igualdad si y sólo si las dos funciones y son proporcionales. c. OPERADORES LINEALES . definición Un operador lineal es, por definición, una entidad matemática que se asocia con todas las funciones otra función la correspondencia es lineal: Citemos algunos ejemplos sencillos de operadores lineales: el operador de paridad cuya definición es la siguiente: El operador que realiza una multiplicación por que llamaremos y que está definido por: Por último, el operador que diferencia con respecto a que llamaremos y cuya definición es la siguiente: [Los dos operadores y , actuando en una función de puede transformarla en una función que ya no es necesariamente cuadrado integrable]. Producto de los operadores Sean y dos operadores lineales. Su producto está definido por: se permitió por primera vez para actuar en lo que da entonces funciona con la nueva función En general, Llamamos el conmutador de y el operador escrito y definido por: 115
- 116. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a calcular, como un ejemplo, el conmutador Para ello, vamos a tener una función arbitraria Puesto que esto es cierto para todos se puede deducir que: 2. Bases ortonormales discreta en a. DEFINICIÓN Considere la posibilidad de un conjunto numerable de funciones de marcado por un índice discreto - El conjunto es orto normal si: Donde la función delta de Kronecker, es igual a 1 para y 0 para - Constituye una base * si cada función se puede desarrollar en una y sólo una forma en términos del b. COMPONENTES DE UNA FUNCIÓN DE ONDA EN LA BASE Multiplica los dos lados de por e integrar a todo el espacio. A partir de y * * Cuando el conjunto constituye una base, a veces se dice que es 116
- 117. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I un conjunto completo de funciones. Cabe señalar que la palabra completa se utiliza con un significado diferente de la que por lo general tiene en matemáticas. ** Para que completamente rigurosa, uno debe asegurarse de que se puede intercambiar Sistemáticamente se ignoran este tipo de problemas. Es decir: El componente de en es por lo tanto, igual al producto escalar de por Una vez que la base ha sido elegido, es equivalente a especificar o el conjunto de sus componentes on respecto a las funciones de base. El conjunto de números se dice para representar a en la base . Comentarios: Tenga en cuenta la analogía con una base orto normal del espacio tridimensional común, El hecho de que y , son ortogonales y unitario de hecho puede ser expresado por: Cualquier vector de se puede ampliar en esta base: Con: Las fórmulas y así generalizar, por así decirlo, las fórmulas bien conocidas, Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la , son números reales, mientras que el son números complejos. La misma función , obviamente tiene distintos componentes, en dos bases diferentes. Vamos a estudiar el problema de un cambio en la forma más tarde. 117
- 118. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I También puede, en la base , representan un operador lineal por un conjunto de números que pueden ser dispuestos en forma de una matriz. Nos ocuparemos de esta cuestión de nuevo en el después de haber introducido la notación de Dirac. c. LA EXPRESIÓN PARA EL PRODUCTO ESCALAR EN TÉRMINOS DE LOS COMPONENTES Sea ( y dos funciones de onda que se puede ampliar de la siguiente manera: Su producto escalar se puede calcular utilizando y : es decir: En particular: El producto escalar de dos funciones de onda (o el cuadrado de la norma de una función de onda), lo que puede ser muy simplemente expresada en términos de los componentes de estas funciones en la base . Comentarios: Sean y dos vectores de , con los componentes de y . La expresión analítica de su producto escalar es bien conocida: La Fórmula por lo tanto puede ser considerada como una generalización de . 118
- 119. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I d. RELACIÓN CLAUSURA La relación llamada la relación orto normalización, expresa el hecho de que las funciones del conjunto se normalizan a 1 y ortogonal con respecto a la otra. Ahora vamos a establecer otra relación, llamada la relación de cierre, que expresa el hecho de que este conjunto constituye una base. Si es una base de existe una expansión como la para cada función Sustituto en la expresión para los distintos componentes [el nombre de la variable de integración se debe cambiar, puesto que ya aparece en ]: Intercambiando y se obtiene: Es por tanto una función de y de de tal manera que, para cada función de tenemos: La ecuación (A-31) es una característica de la función d (r - r ') (véase el apéndice II). De esto se puede deducir que: Recíprocamente, si un conjunto orto normal satisface la relación de cierre que constituye una base. Cualquier función de hecho se puede escribir en la forma: Sustituyendo la expresión para en esta expresión, se obtiene la fórmula . Para volver a lo único que debe hacer es una vez más la suma de intercambio e integración. Esta ecuación 119
- 120. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I se expresa el hecho de que siempre se puede ampliar en términos de la y da los coeficientes de esta expansión. Comentarios: Vamos a volver a examinar la relación de clausura con la notación de Dirac en él , y veremos que se puede dar una interpretación geométrica simple. 3. La introducción de "bases" que no pertenecen a El estudió por encima de las bases se componen de funciones de cuadrado integrable. También puede ser conveniente introducir "bases" de las funciones que no pertenecen a cualquiera o pero en términos de que cualquier función de onda , sin embargo se puede ampliar. Vamos a dar ejemplos de estas bases y vamos a mostrar cómo es posible poner a su disposición las fórmulas importantes que se establecieron en la sección anterior. a. ONDAS PLANAS Por simplicidad, tratar el caso unidimensional. Por lo tanto, estudiaremos funciones de cuadrado integrable , que dependen sólo de la variable . En el capítulo hemos visto la ventaja de usar la transformada de Fourier de : Considere la función definida por: es una onda plana, con el vector de onda La integral diverge sobre todo el eje Por lo tanto . Se designará por el conjunto de todas las ondas planas, es decir, de todas las funciones correspondientes a los diversos valores de El número que varía continuamente entre y , se considera como un índice continuo que nos permite etiquetar las diversas funciones del conjunto . [Recordemos que el índice 120
- 121. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I utilizado para el conjunto considerado anteriormente era discreto]. Las fórmulas (A-34) se puede reescribir usando (A-35): Estas dos fórmulas puede ser comparado a y ( La relación expresa la idea de que cada función se puede desarrollar en una única forma y en términos de la es decir, las ondas planas. Dado que el índice varía continuamente y no en forma discreta, la suma que aparece en debe ser sustituido por una integración sobre La relación como da el componente de en en forma de un producto escalar * .El conjunto de estos componentes, que corresponden a los diversos valores posibles de constituye una función de la transformada de Fourier Por lo tanto, es el análogo de . Estos dos números complejos, que dependen ya sea de o en representan los componentes de la misma función en dos bases diferentes: y . Este punto también aparece con claridad si se calcula el cuadrado de la norma de De acuerdo con la relación de Parseval [app. , la fórmula ], tenemos: Una fórmula que se asemeja a ( si reemplazamos por y por . Vamos a demostrar que debe cumplir con una relación de clausura. Utilizando la fórmula [véase el apéndice la ecuación ]: 121
- 122. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I ( Nos encontramos con: * Sólo hemos definido el producto escalar de dos funciones de cuadrado integrable, pero esta definición se puede extender fácilmente a casos como éste, siempre que la integral converge correspondientes. Esta fórmula es el análogo de (A-32) con, de nuevo, la sustitución de (DP) por (] JT). Por último, vamos a calcular el producto escalar (VP, VP,) con el fin de ver si existe un equivalente de la relación de orto- normalización. Usando de nuevo (A-39), se obtiene: es decir: Comparar y En lugar de tener dos índices discretos y y un delta de Kronecker , ahora tenemos dos índices continuos y y una función delta de la diferencia entre los índices, Tenga en cuenta que si ponemos , el producto escalar se aleja, de nuevo vemos que . Aunque esto constituye un mal uso del término, llamaremos una relación de "orto-normalización". Es también a veces se dice que están "orto-normalizado en el sentido de Dirac". La generalización a tres dimensiones no presenta dificultades. Consideramos que las ondas planas: 122
- 123. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Las funciones de la base ahora dependen de los tres índices continuos condensados en la notación Es entonces fácil demostrar que las siguientes fórmulas son válidas: Ellos representan las generalizaciones de y Así, el se puede considerar que constituyen una "forma continua". Todas las fórmulas establecidas anteriormente para la base discreta se pueden extender a esta base continua, utilizando las reglas de correspondencia resumidos en la tabla b. " FUNCIONES DELTA” De la misma manera, vamos a introducir un conjunto de funciones de marcado por el índice continuo (notación condensada para y se define por: Representa el conjunto de funciones delta centrada en los diversos puntos del espacio ; no es, obviamente, de cuadrado integrable: Entonces considere las siguientes relaciones, que son válidos para todas las funciones , perteneciente a la 123
- 124. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Ellos pueden ser reescrito, usando en la forma: Expresa el hecho de que cada función se puede desarrollar en una y solamente una forma en términos de la muestra que el componente de en la función (se trata aquí con funciones de base real) es precisamente el valor de en el punto y son análogos y : simplemente sustituir el índice discreta por el índice continuo y por . Es por lo tanto, el equivalente de : estos dos números complejos, que dependen ya sea en o en representan los componentes de la misma función en dos bases diferentes: Y Fórmula se convierte en: Se ve que la aplicación de para el caso de la base continua resulta en la definición del producto escalar. Finalmente, nótese que la satisfacen "orto-normalización" y las relaciones de clausura del mismo tipo que Así pues, tenemos [la fórmula del apéndice ]: 124
- 125. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Todas las fórmulas establecidas para la base discreta , lo que puede ser generalizado para la base continuo utilizando las reglas de correspondencia (resumidos en el cuadro ). COMENTARIO IMPORTANTE: La utilidad de las bases continuas que hemos introducido se revela con mayor claridad en lo que sigue. Sin embargo, no debemos perder de vista el punto siguiente: un estado físico siempre debe corresponder a una función de onda de cuadrado integrable. En ningún caso puede o representan el estado de una partícula. Estas funciones son nada más que intermediarios, muy útiles en los cálculos que implican las operaciones en las funciones de onda que se utilizan para describir un estado físico. Una situación análoga se encuentra en la óptica clásica, donde la onda plana monocromática es una forma matemática muy útil, pero irrealizable, físicamente, la idealización. Incluso los filtros más selectivos siempre permitir el paso de una banda de frecuencia que puede ser muy pequeña, pero nunca es exactamente igual a cero. Lo mismo es cierto para las funciones Podemos imaginar una función de onda cuadrada integrable, localizado sobre , por ejemplo: Donde son (funciones que tienen un pico de ancho y amplitud e, centrado en , tal que (ver del Apéndice para ejemplos de estas funciones). Cuando Que ya no es de cuadrado integrable. Pero, de hecho, es imposible tener un estado físico que corresponde a este límite: como localizado como el estado físico de una partícula puede ser, (t) nunca es exactamente igual a cero. c. GENERALIZACIÓN: BASES "ORTONORMALES" CONTINUAS . Definición 125
- 126. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La generalización de los resultados obtenidos en los dos párrafos anteriores, de acuerdo a la base "orto-normal continua ", un conjunto de funciones de marcado por un índice contìnuo , que satisface las dos siguientes relaciones, la de orto- normalización y las relaciones de clausura: Comentarios Si diverge. Por lo tanto, Puede representar varios índices, como es el caso de y en los ejemplos anteriores. Es posible imaginar una base que incluye las dos funciones etiquetados mediante un índice discreto y funciones marcados mediante un índice continuo. En este caso, el conjunto de no forma una base; el conjunto de debe ser añadido a la misma. Citemos un ejemplo de esta situación. Consideremos el caso de la plaza ha estudiado bien en del capítulo (véase también el complemento de ). Como veremos más adelante, el conjunto de los estados estacionarios de una partícula en un potencial independiente del tiempo constituye una base. Para tenemos los niveles discretos de energía, a la que corresponden las funciones de onda cuadrados integrables marcados mediante un índice discreto. Pero estos no son los estados estacionarios que sólo son posibles. La ecuación del capítulo I también se cumple, para todos por las soluciones que están delimitadas, sino que se extienden por todo el espacio y por tanto no están son de cuadrado integrable. En el caso de un "mixto" (discreta y continua) base las relaciones orthonormalization son los siguientes: Y la relación clausura se convierte en: 126
- 127. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Los componentes de una función de onda Siempre se puede escribir: Utilizando la expresión para dada por y suponiendo que podemos invertir el orden de y , se obtiene: Es decir: (A-61) expresa el hecho de que cada función de onda (i / fr) tiene una expansión única en términos de la (WA-r). El componente (CCC) de la (ij / r) en (wa-r) es igual, de acuerdo con (A-62), para el producto escalar ({wa, t / ^). Expresión del producto escalar y la norma en términos de los componentes Sea y dos funciones cuadrado-integrables cuyos componentes en términos de son conocidos Calcular su producto escalar: 127
- 128. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La última integral está dada por es decir: En particular: Todas las fórmulas del por lo tanto se puede generalizar, utilizando las reglas de correspondencia de la tabla Las fórmulas más importantes establecidas en esta sección se ensamblan en la tabla De hecho, no es necesario que les recuerde en esta forma: vamos a ver que la introducción de la notación de Dirac nos permite que re derive de una forma muy simple. 128
- 129. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I B. ESPACIO DE ESTADO. NOTACIÓN de DIRAC 1. introducción En el capítulo hemos señalado que el siguiente postulado: el estado cuántico de una partícula se define, en un instante dado, por una función de onda . La interpretación probabilística de la función de onda requiere que sea de cuadrado integrable. Este requisito nos llevó a estudiar el espacio . A continuación, encontró, en particular, que la misma función puede ser representada por varios conjuntos distintos de los componentes, cada uno correspondiente a la elección de una base [tabla ]. Este resultado puede interpretarse de la siguiente manera: o , o caracteriza el estado de una partícula tan bien como la función de onda [si el base que se utiliza se ha especificado con anterioridad]. Por otra parte, se parece, en la tabla en el mismo nivel que y el valor que la función de onda toma en un punto de espacio puede ser considerado como su 129
- 130. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I componente con respecto a una función específica de una base en particular (la función base ). Por lo tanto nos encontramos en una situación que es análoga a la encontrada en el espacio ordinario, la posición de un punto en el espacio puede ser descrito por un conjunto de tres números, que son sus coordenadas con respecto a un sistema de ejes definidos en avanzar. Si uno cambia los ejes, otro conjunto de coordenadas se corresponde con el mismo punto. Pero el concepto de vector geométrico y el cálculo vectorial nos permiten evitar hacer referencia a un sistema de ejes, lo que simplifica considerablemente las dos fórmulas y el razonamiento. Vamos a utilizar un enfoque similar aquí: cada estado cuántico de una partícula se caracteriza por un vector de estado, que pertenece a un espacio abstracto , llamado el espacio de estados de una partícula. El hecho de que el espacio es un subespacio de significa que es un subespacio de un espacio de Hilbert. Vamos a definir la notación y las reglas de cálculo de vectores en . En realidad, la introducción de vectores de estado y el espacio de estado hacen algo más que simplificar el formalismo. También permite una generalización del formalismo. En efecto, existen sistemas físicos cuya cuantía descripción no puede ser dada por una función de onda: veremos en los capítulos y que este es el caso en que los grados de giro de la libertad se tienen en cuenta, incluso para una sola partícula. En consecuencia, el primer postulado que se expondrán en el capítulo será la siguiente: el estado cuántico de cualquier sistema físico se caracteriza por un vector de estado, que pertenece a un espacio Que es el espacio de estado del sistema. Por lo tanto, en el resto de este capítulo, vamos a desarrollar un cálculo vectorial en . Los conceptos que vamos a introducir y los resultados que se obtienen son válidos para cualquier sistema físico que puede ser que considere. Sin embargo, para ilustrar estos conceptos y los resultados, que serán de aplicación al caso sencillo de una partícula (sin spin), ya que este es el caso que hemos considerado anteriormente. 130
- 131. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a comenzar, en este apartado, mediante la definición de la notación de Dirac, que han demostrado ser muy útil en las manipulaciones formales que se tienen que realizar. 2. vectores "Ket" y vectores "bra" a. ELEMENTOS DE KETS . Notación Cualquier elemento, o vector, de espacio se llama un vector ket o, más simplemente, un ket. Se representa por el símbolo en cuyo interior se coloca un signo distintivo que nos permite distinguir el correspondiente ket, de todos los demás, por ejemplo: En particular, ya que el concepto de una función de onda es ya familiar para nosotros, vamos a definir el espacio de los estados de una partícula al asociarse con todas las funciones de cuadrado integrable en un vector de ket de : Posteriormente, se deberá incorporar las distintas operaciones que hemos introducido para en . A pesar de y son isomorfos, cuidadosamente hará una distinción entre ellos a fin de evitar confusiones, y para reservar las posibilidades de generalización se mencionó anteriormente en el . Hacemos hincapié en el hecho de que la dependence ya no aparece en , y sólo la letra aparece para recordarnos la función con la que está asociado. se interpretarán en como el conjunto de los componentes del ket en una base particular, r juega el papel de un índice [véase y la tabla ]. En consecuencia, el procedimiento que estamos adoptando aquí consiste en la caracterización inicial de un vector por sus componentes en un sistema de coordenadas privilegiado, que más tarde serán tratados en pie de igualdad con todos los otros sistemas de coordenadas. Se designará por el espacio de estado de una partícula (sin spin) en una sola dimensión, es decir, el espacio abstracto construido como en pero utilizando las funciones de onda que dependen únicamente de la variable . producto escalar 131
- 132. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Con cada par de kets y , tomada en este orden, se asocia un número complejo, que es su producto escalar, satisface y que los diversos propiedades descritas por las ecuaciones y . Más adelante se vuelva a escribir estas fórmulas en notación de Dirac después de haber introducido el concepto de un "bra". En el producto escalar de dos mercados coincidirá con el producto escalar definido anteriormente para las funciones de onda asociadas. b. ELEMENTOS DEL ESPACIO DUAL DE BRAS Definición del espacio dual Recordemos, en primer lugar, la definición de un funcional lineal definida en los kets de Un funcional lineal es una operación lineal que asocia un número complejo con cada ket Operador lineal funcional y lineal, no hay que confundir. En ambos casos, se está tratando con operaciones lineales, pero el anterior asocia cada ket con un número complejo, mientras que los últimos asocian otro ket.Se puede demostrar que el conjunto de funcionales lineales definidas en los kets constituye un espacio vectorial, que se llama el espacio dual de y que se simboliza por Notación Bra para los vectores de Cualquier elemento o vector, del espacio se llama un vector bra, o, más simplemente bra. Es simbolizada por Por ejemplo, el bra designa a las funcionales lineales y en adelante vamos a utilizar la notación para indicar el número que se obtiene haciendo que la función lineal para que actúe en el ket El origen de esta terminología es la palabra "bracket", que se utiliza para denotar el símbolo De ahí el nombre de "bra" para 132
- 133. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I el lado izquierdo, y el nombre de "ket" para el lado derecho de este símbolo. c. CORRESPONDENCIA ENTRE KETS Y BRAS Para cada ket corresponde un bra La existencia de un producto escalar en , ahora nos permitirá demostrar que podemos asociar, en cada ket un elemento de es decir, un bra, que se denota por El ket en efecto, nos permiten definir un funcional lineal: el uno que asocia (en una forma lineal), con cada ket un número complejo que es igual al producto escalar de por Supongamos que que este funcional lineal, sino que se define así por la relación: . Esta correspondencia es anti lineal En el espacio el producto escalar es anti lineal con respecto al primer vector. En la notación de esto se expresa por: Parece a partir de que el bra asociado con el ket es el bra El ket bra, la correspondencia es por lo tanto, anti lineal. Comentarios: Si A es un número complejo, y un mercado, es un mercado ( es un espacio vectorial). A veces nos llevó a escribir como 133
- 134. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Entonces se debe tener cuidado de recordar que representa el bra asociado con el ket Dado que la correspondencia entre un bra y un ket es anti lineal, tenemos: . Notación de Dirác para el producto escalar Ahora tenemos a nuestra disposición dos notaciones diferentes para designar el producto escalar de por o siendo el sostén asociado con el mercado A partir de entonces vamos a usar sólo la notación (Dirác): Tabla se resumen, en la notación de Dirác, las propiedades del producto escalar, que ya figura en el ¿Hay un ket que corresponda a cada bra? Aunque a cada ket corresponde un bra, vamos a ver en dos ejemplos escogidos en que es posible encontrar bra que no tienen kets correspondientes. Más adelante se muestran por qué esta dificultad no nos impide en la mecánica cuántica. Ejemplos elegidos en Para simplificar, vamos a razonar en una dimensión. Sea una función real suficientemente regular, tal que , y tiene la forma de un pico de ancho y amplitud , centrado en [ver fig. es, por ejemplo, una de las funciones consideradas en el del apéndice ]. Si , (cuadrado de su norma es del orden de ), Denotemos por el correspondiente ket: Una función que tiene un 134
- 135. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I pico en (de anchura y amplitud ), cuya integral entre y o es igual a Si Supongamos que es el ket asociada a este bra, porque todos los tenemos: Ahora vamos a tienden a cero. Por un lado: [el cuadrado de la norma de {x), que es del orden de , diverge cuando , por lo tanto: Por otro lado, cuando la integral se aproxima a un límite perfectamente bien definida, [ya que, por lo suficientemente pequeño puede ser sustituido en (por y se retira del integral]. En consecuencia, se acerca a un bra que designaremos por es la función lineal que asocia con cada ket de , el valor asumida por la función de onda asociada en el punto Así vemos que el sujetador existe, pero el ket no corresponde a la misma. De la misma manera,consideremos una onda plana que se trunca fuera de un intervalo de anchura 135
- 136. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Con la función de va rápidamente a cero fuera de este intervalo (sin dejar de ser continua y diferenciable). Nosotros designaremos por el ket asociado con El cuadrado de la norma de que es prácticamente igual a diverge si Por lo tanto: Consideremos ahora el bra asociados con . Por cada , tenemos: Cuando tiene un límite: el valor de la transformada de Fourier de la para . Por lo tanto, cuando tiende hacia un bra, bien definido Una vez más, no hay correspondencia del ket con el bra la resolución física de las dificultades anteriores Esta disimetría de la correspondencia entre los kets y los bras se relaciona, ya que los ejemplos anteriores muestran, a la existencia de "bases continuas" para Dado que las funciones que constituyen estas "bases" no pertenecen a no podemos asociar un ket de con ellos. Sin embargo, su producto escalar con una función arbitraria de se define, y esto nos permite asociar con ellos un funcional lineal en es decir, un bra que pertenece a La razón para utilizar dichas "bases continuas" radica en su utilidad en ciertos cálculos prácticos. Por la misma razón (que se hará más evidente en lo que sigue) nos lleva aquí para restablecer la simetría entre los kets y los bras con la introducción de "kets generalizados", definidos a través de funciones que no son de cuadrado integrable, pero cuyo producto escalar con todas las funciones de existe. En lo que sigue, vamos a trabajar con los "kets", como o (, 136
- 137. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I asociada con O . No hay que olvidar que estos kets "generalizadas" no pueden, en rigor, representar estados físicos. Ellos no son más que intermediarios, útiles en los cálculos que implican ciertas operaciones que se tienen que realizar en los kets reales del espacio , que en realidad caracteriza a los estados cuánticos de realización. Este método plantea un cierto número de problemas matemáticos, que se pueden evitar mediante la adopción del siguiente punto de vista físico: denota la realidad (o ), donde es muy pequeña (o es muy grande) en comparación con todas las otras longitudes en el problema que estamos considerando. En todos los cálculos intermedios donde (o ) aparece, el límite nunca se alcanza, de modo que una está trabajando siempre en El resultado físico obtenido al final del cálculo depende muy poco en el valor de siempre y cuando es suficientemente pequeña con respecto a todas las otras longitudes: es posible, entonces, a descuidar que es, para ajustar en el resultado final (el procedimiento que se utiliza para es análoga). La objeción podría plantearse que, a diferencia de y y no son bases ortonormales, en la medida en que no cumplen con rigor la relación de clausura. De hecho, se cumplen aproximadamente. Por ejemplo, la expresión es una función de que puede servir como una excelente aproximación para Su representación gráfica es prácticamente un triángulo de base y altura , centrado en (apéndice , Si es insignificante en comparación con todas las otras longitudes en el problema, la diferencia entre esta expresión y es físicamente inapreciable. En general, el espacio dual y el espacio de estado no son isomorfos, excepto, por supuesto, si es de dimensión finita *, aunque para cada mercado de se corresponde un sujetador en el recíproco no es cierto. No obstante, se compromete a utilizar, además de los vectores que pertenecen a (cuya norma es finita), los mercados generalizados con las normas infinitas, pero cuyo producto escalar con cada mercado de es finito. Por lo tanto, a cada uno de los bra de no corresponderá un ket. Pero los bra generalizados no representan a los estados físicos del sistema. 3. los operadores lineales 137
- 138. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a. DEFINICIONES Estos son los mismos que los de Un operador lineal se asocia cada ket con otro ket entonces la correspondencia es lineal: El producto de dos operadores lineales y escrito se define de la siguiente manera: Actúa en los primeros para dar el ket luego actúa en el ket En general, El conmutador de y es, por definición: Supongamos que y dos mercados. Llamamos al elemento de la matriz de entre y el producto escalar: En consecuencia, este es un número que depende linealmente de (| si />) y anti lineal en b. EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES: PROYECTORES Comentario importante sobre la notación de Dirac Hemos empezado a sentir, en el párrafo anterior, la sencillez y la comodidad del formalismo de Dirac. Por ejemplo, (<q>) indica una función lineal (un bra), y el producto escalar de dos ket y . El número de asociados por la función lineal con un ket arbitrario se escribe simplemente por la yuxtaposición de los símbolos y . Este es el producto escalar de por el ket que corresponde a (por lo que es útil tener una correspondencia uno-a-uno entre los kets y bras). Ahora supongamos que escribimos y en el orden inverso: 138 * Es cierto que el espacio de Hilbert y su espacio dual son isomorfos, sin embargo, hemos dado por el espacio de función de onda un subespacio de lo que explica por qué es "más grande "que
- 139. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Veremos que si nos atenemos a la regla de la yuxtaposición de símbolos, esta expresión representa un operador. Elija un ket arbitrario y tenga en cuenta: Ya sabemos que es un número complejo y, en consecuencia, es un ket, que se obtiene al multiplicar por el escalar se aplica a un ket arbitraria, da otro ket: es un operador. Así, vemos que el orden de los símbolos es de importancia crítica. Sólo números complejos se pueden mover sobre con impunidad, debido a la linealidad del espacio y de los operadores que se utilizan. En efecto, si es un número: Pero, para kets, los bras y los operadores, el orden debe ser siempre cuidadosamente respetado por escrito en las fórmulas: este es el precio que debe pagarse por la sencillez del formalismo de Dirac. El proyector (en un ket ) Sea es un ket normalizado a uno: Considere la posibilidad de que el operador se define por: y aplicarlo a un ket arbitrario actúa en un ket arbitrario ofrece un ket proporcional a El coeficiente de proporcionalidad es el producto escalar de por 139
- 140. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La "geométrica" importante de es muy clara: es la "proyección ortogonal" del operador en el ket Esta interpretación se confirma por el hecho de que (proyectando dos veces en sucesión en un vector dado es equivalente a la proyección de una sola vez). Para ver esto, escribimos: En esta expresión, es un número, que es igual a 1 [fórmula ]. Por lo tanto: Proyector sobre un subespacio Sea son vectores normalizados que son ortogonales entre sí: Denotamos por el subespacio de generado por estos vectores q. Sea será el operador lineal definido por: Calculando tenemos, usando Es por lo tanto, un proyector. Es fácil ver que los proyectores sobre el subespacio ya que para cualquier 140
- 141. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Que actúa sobre ofrece la superposición lineal de las proyecciones de en los diversos es decir, la proyección de en el subespacio 4. la conjugación hermitiana a. ACCIÓN DE UN OPERADOR LINEAL DE UN BRA Hasta ahora, sólo hemos definido la acción de un operador lineal en kets. Ahora vamos a ver que también es posible definir la acción de sobre bras. Vamos a , un bra bien definido, y considerando el conjunto de todos los bra Con cada uno de estos kets se puede asociar el número complejo que ya se ha definido anteriormente como el elemento de la matriz de entre los y Como es lineal y el producto escalar depende linealmente del ket, el número depende linealmente de Así, por fijo y que puede asociarse con todos los kets un número que depende linealmente La especificación de y por lo tanto, define una funcional lineal en los nuevos kets de es decir, un nuevo bra que pertenece a Lo haremos.. Referirse a este nuevo bra por La relación que define se puede escribir: El operador se asocia con cada bra un nuevo bra Vamos a demostrar que la correspondencia es lineal con el fin de hacer esto, tenga en cuenta una combinación lineal de los bra y (lo que significa que ) A partir de tenemos: Desde es arbitraria, se sigue que: 141
- 142. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La ecuación por lo tanto, define una operación lineal en los bra. El bra es el bra que resulta de la acción del operador lineal en el bra Comentarios De la definición de se ve que el lugar de los paréntesis en el símbolo que define el elemento de matriz de entre y no tiene ninguna importancia. Por lo tanto, a partir de ahora deberá designar este elemento de la matriz por la notación El orden relativo de y es muy importante en la notación (cf. § 3-b-OC anteriormente). Uno debe escribir y no que actúa sobre un ket proporciona un número por lo tanto, es de hecho un bra. Por otro lado, que actúa sobre un ket daría es decir, un operador (el operador multiplicado por el número No hemos definido un objeto matemático de este tipo: Por lo tanto, no tiene sentido. b. EL operador adjunto de un operador lineal Ahora vamos a ver que la correspondencia entre los kets y los bra, estudiados en nos permite asociar a cada operador lineal a otro operador lineal llamado el operador adjunto (o hermitico conjugado) de Veamos un ket arbitrario de El operador asociados con él otro ket de (fig. 2). Para el ket corresponde un bra ; de la misma manera, a corresponde Esta correspondencia entre los bra y los bra lo que nos permite definir la acción del operador en los bras: el 142 FIGURA 2 Definición del operador adjunto de un operador con la correspondencia entre los kets y los bra.
- 143. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I operador se asocia con el bra correspondiente al ket el bra correspondiente a la junta Escribimos: Vamos a demostrar que la relación es lineal. Sabemos que, para el bra corresponde al ket (la correspondencia entre un bra y un ket es antilineal) El operador se transforma en Por último, a este ket corresponde el bra: De esto podemos concluir que: Es por lo tanto, un operador lineal, definido por la fórmula: A partir de es fácil deducir otra relación importante satisfechos por el operador . Usando las propiedades del producto escalar, siempre se puede escribir: Donde es un arbitrario ket de Uso de expresiones para y se obtiene: Una relación que es válido para todos y COMENTARIO SOBRE LA NOTACIÓN Ya hemos mencionado una notación que puede llevar a confusión: y donde es un escalar [fórmulas y ]. El mismo problema surge con las expresiones y donde (A) es un operador lineal. es otra forma de designar el mercado 143
- 144. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es el bra asociado con el ket Usando y vemos que: Cuando un operador lineal A se toma fuera el símbolo de bra, que debe ser sustituido por su adjunto (y coloca a la derecha del bra). c. CORRESPONDENCIA ENTRE UN OPERADOR Y SU ADJUNTO Mediante el uso de o es fácil demostrar que Ahora vamos a calcular Para ello, consideremos el ket | Escribir en la forma ajuste A continuación: . ya que A partir de esto se deduce que: Tenga en cuenta que los cambios de orden cuando se tiene el adjunto de un producto de los operadores. COMENTARIO: Dado que podemos escribir, usando Así, el lado izquierdo de puede ser reescrita en la forma De la misma manera, el lado derecho de esta misma ecuación se puede poner, con la notación de en la forma A partir de estos resultados la siguiente ecuación, a veces se usa para definir el operador adjunto de d. CONJUGACIÓN HERMITIANA EN DIRAC NOTACIÓN 144
- 145. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En la sección anterior, hemos introducido el concepto de un operador adjunto mediante el uso de la correspondencia entre los kets y los bras. Un ket y su bra correspondiente se dice que son "conjugados hermitianos" el uno del otro. La operación de conjugación hermitiana está representada por las flechas onduladas en la figura 2, vemos que se asocia con Esta es la razón por la cual también se conoce como el operador conjugado hermitiano de La operación de conjugación hermitiana cambia el orden de los objetos a los que se aplica. Así vemos en la figura 2 que se convierte en El mercado se transforma en y en Por otra parte, el orden se invierte. De la misma manera, hemos visto en que el conjugado hermitiana de un producto de dos operadores es igual al producto de los conjugados hermitianos adoptadas en el orden opuesto. Por último, vamos a demostrar que: Se sustituye por y por y se cambia el orden). Aplicando la relación para el operador nos encontramos con: Ahora bien, si usamos la propiedad del producto escalar: Mediante la comparación de y se puede derivar El resultado de la operación de conjugación hermitiana en una constante sigue siendo que se encuentran. Vemos de y que esta operación simplemente se transforma en (conjugación compleja). Esto está de acuerdo con el hecho de que Por lo tanto, el conjugado hermitiano de un mercado es un bra, y viceversa, el de un operador es su adjunto, el de un número, su complejo conjugado. En la notación de Dirac, la operación de la conjugación hermitiana es muy fácil de realizar, basta con aplicar la siguiente regla: 145
- 146. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I EJEMPLOS es un operador ( y son números). El adjunto de este operador se obtiene mediante el uso de la regla anterior : que también se puede escribir cambiando la posición de los números y De la misma manera, es un ket ( y (son constantes). El bra es conjugado que también se puede escribir e. operadores hermitianos El operador se dice que es hermitiana si es igual a su adjunto, es decir, si: La combinación de y vemos que un operador hermítico satisface la relación: que es válido para todos y Finalmente, para un operador hermítico, se convierte 146 REGLA Para obtener el conjugado hermitiano (o el adjunto) de una expresión compuesta de constantes, kets, los bras y los operadores, se requiere: - Vuelva a colocar las constantes de sus complejos conjugados los kets por parte de los brass asociados con ellos los bras de los kets asociados a los mismos los operadores de sus adjoints - Invertir el orden de los factores (la posición de las constantes, no obstante, no es de importancia).
- 147. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Vamos a tratar a los operadores hermitianos en detalle más adelante, si tenemos en cuenta el problema de valores y vectores propios. Por otra parte, nos veremos en el capítulo , que los operadores hermitianos juegan un papel fundamental en la mecánica cuántica. Si la fórmula se aplica al caso en que Vemos que el proyector es hermitiana: COMENTARIO: El producto de dos operadores hermitianos y es hermitiana sólo si En efecto, si y (se puede demostrar utilizando que que es igual a sólo si C. REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DEL ESTADO 1. introducción a. DEFINICIÓN DE UNA REPRESENTACIÓN Elegir una representación significa elegir una base orto normal, ya sea discreta o continua, en el espacio de estados Vectores y los operadores están a continuación, representado en esta base de números: los componentes de los vectores, elementos de la matriz de los operadores. El cálculo vectorial introducido en se convierte entonces en una matriz de cálculo con estos números. La elección de una representación es, en teoría, arbitraria. En realidad, es obvio que depende del problema particular que está siendo estudiada: en cada caso, se elige la representación que conduce a los más sencillos cálculos. b. OBJETIVO DE LA SECCIÓN C Usando la notación de Dirac, y para cualquier arbitrariedad del espacio , vamos a tratar de nuevo todos los conceptos introducidos en y para las bases discretas y continuas de Vamos a escribir las dos relaciones características de una base en la notación de Dirac: las relaciones ortho normalization y clausura. A continuación vamos a mostrar cómo, con estas dos relaciones, es posible resolver todos los problemas específicos relacionados con la representación y la transformación de una representación a otra. 2. Relaciones características de una base orto normal 147
- 148. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a. RELACIÓN de ORTHONORMALIZATION Un conjunto de kets, discreto o continuo se dice que es Orto normal si los kets de este conjunto satisfacen la relación ortho normalization: o Se puede observar que, para un conjunto continuo, no existe: el tienen una norma infinita y por lo tanto no pertenecen a Sin embargo, los vectores de se puede ampliar en el Es útil, por lo tanto, a aceptar el como kets generalizadas (ver las discusiones en y ). b. RELACIÓN DE CLAUSURA Un conjunto discreto, o una continua, constituye una base si cada ket que pertenece a tiene una expansión única sobre el o el Supongamos, además, que la base es ortonormal. Luego realizar la multiplicación por escalares en ambos lados de con y en ambos lados de con Se obtiene, utilizando o las expresiones de los componentes o Entonces sustituir en por y en por 148
- 149. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I [ya que, en se puede colocar el número después del ket de la misma manera, en podemos colocar el número después de que el ket . Por lo tanto, vemos a dos operadores de aparecer, Y Ellos actúan en cada ket que pertenece a para dar el mismo ket Puesto que es arbitrario, se deduce que: Donde denota el operador identidad en La relación o se llama la relación de clausura. Por el contrario, vamos a demostrar que las relaciones y expresa el hecho de que los conjuntos y , constituyen las bases. Por cada que pertenecen ha se puede escribir: con: De la misma manera: con: 149
- 150. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Así, cada ket tiene una expansión en el único o en el Cada uno de estos dos conjuntos tanto constituye una base, un uno o un discreto un continuo. También vemos que la relación o nos ahorra la necesidad de memorizar las expresiones y para los componentes y COMENTARIOS: Se verá más adelante que, en el caso del espacio, las relaciones y se puede deducir fácilmente a partir de y la interpretación geométrica de la relación de cierre. De la discusión de vemos que | es un proyector: El proyector sobre el subespacio (generado por Si el forman una base, cada ket de Se puede ampliar en el el subespacio es idéntico a la propia F-espacio. En consecuencia, es razonable que para ser igual a la identidad del operador: Proyectar en un ket que pertenece a no modifica este ket El mismo argumento puede ser se aplica a Ahora se puede encontrar un equivalente de la relación de cierre para el espacio tridimensional de la geometría ordinaria, Si y son tres vectores ortonormales de este espacio, y y son los proyectores en estos tres vectores, el hecho de que constituye una base en se expresa por la relación Por otro lado, constituye un conjunto orto normal pero no una base de Esto se expresa por el hecho de que el proyector ( que se proyecta en el plano generado por y ) no es igual a por ejemplo: .Tabla se resumen las únicas fórmulas fundamentales que son necesarios para cualquier cálculo que se realiza en el o representación. 150
- 151. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 3. Representación de los kets y los bras a. REPRESENTACIÓN DE un ket En la base , el ket está representado por el conjunto de sus componentes, es decir, por el conjunto de números (Estos números pueden ser dispuestos verticalmente para formar una matriz de una columna (con, en general, un infinito numerable de filas): En una base continua , el ket está representada por una infinidad continua de números, es decir, por una función de Es entonces posible dibujar un eje vertical, a lo largo de la cual se colocan los diversos valores posibles de Para cada uno de estos valores corresponde un número, b. REPRESENTACIÓN DE BRA’s Sea es un bra arbitraria. En la base , podemos escribir: (P << |) tiene un desarrollo único en el bras Los componentes de son los complejos conjugados de los componentes (del ket asociada con ) 151
- 152. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I De la misma manera, se obtiene, en la base : Los componentes de (son los complejos conjugados de los componentes del ket asociada con Hemos acordado para organizar los componentes de un ket vertical. Antes de describir la forma de organizar los componentes de un bra, vamos a mostrar cómo la relación de clausura nos permite encontrar simplemente la expresión del producto escalar de dos ket en términos de sus componentes. Sabemos que siempre se puede colocar entre y en la expresión del producto escalar: De la misma manera: Vamos a organizar los componentes del bra en posición horizontal, para formar una matriz fila (que tiene una fila y un número infinito de columnas): El uso de este convenio, es el producto de la matriz de la matriz de la columna que representa a y la matriz de la fila que representa El resultado es una matriz que tiene una fila y una columna, es decir, un número. En la base , tiene una infinidad continua de componentes Los diversos valores de una se colocan a lo largo de un eje horizontal. Para cada uno de estos valores corresponde a un componente de COMENTARIO: 152
- 153. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En una representación dada, las matrices que representan un ket y el bra asociado son conjugados hermitianos el uno del otro (en el sentido de la matriz): se pasa de una matriz a otra mediante el intercambio de filas y columnas, y teniendo el complejo conjugado de cada elemento. 4. Representación de los operadores a. REPRESENTACIÓN DE UNA POR UNA MATRIZ ‘CUADRADA’ Dado un operador lineal , podemos en una base o , asociar con él una serie de números definidos por: o Estos números dependen de dos índices y por lo tanto pueden ser dispuestos en un "cuadrada" matriz que tiene una infinidad numerable o continua de filas y columnas. La convención habitual es que el primer índice de fijar las filas y el segundo, las columnas. Así, en la base , el operador está representado por la matriz: Se ve que la columna se compone de los componentes de la base de la transformada del vector de la base Para una base continua, trazamos dos ejes perpendiculares entre sí. Para un punto que tiene por eje de abscisas (a ') y por su ordenada (a) le corresponde el número Vamos a usar la relación de clausura para el cálculo de la matriz que representa el operador de la base : 153
- 154. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La convención elegida anteriormente para la disposición de los elementos Por consiguiente, se consistente con la relativa al producto de dos matrices: expresa el hecho de que la matriz que representa el operador es el producto de las matrices asociadas con y b. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DEL KET El problema es el siguiente: conocer los componentes de y los elementos de matriz en una representación dada, ¿cómo podemos calcular los componentes de en la misma representación? En la base , la coordenada de están dadas por: Si sólo tiene que insertar la relación de clausura entre y se obtiene: Para la base , se obtiene, de la misma manera: La expresión de la matriz es muy simple. Vemos, por ejemplo a partir de que la matriz de la columna que representa es igual al producto de la matriz de la columna que representa y la matriz cuadrada que representa 154
- 155. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I c. EXPRESIÓN PARA EL NÚMERO Mediante la inserción de la relación de clausura entre y y entre de nuevo y se obtiene: - Para la Base : - Para la Base : La interpretación de estas fórmulas en el formalismo de la matriz, es como sigue: es un número, es decir, una matriz con una fila y una columna, que se obtiene multiplicando la matriz de la columna que representa por primera vez por la matriz cuadrada que representa y luego por la matriz fila representa Por ejemplo, en la base : COMENTARIOS: 155
- 156. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Se puede demostrar de la misma manera que el bra está representado por una matriz de fila, el producto de la matriz cuadrada que representa por la matriz fila representa [las dos primeras matrices de la parte derecha de ]. Nuevamente vemos la importancia del orden de los símbolos: la expresión conduciría a una operación de matriz que es indefinido (el producto de una matriz fila por una matriz cuadrada). Desde un punto de vista de matriz, la ecuación que define expresa simplemente la asociatividad del producto de las tres matrices que aparecen en Uso de las convenciones anteriores, se expresa por una matriz cuadrada: Esto es de hecho un operador, mientras que el producto de una matriz de la columna por una matriz fila, es un número. D. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE LA ADJUNTA DE Usando se obtiene fácilmente: o Por lo tanto, las matrices que representan y en una representación dada están conjugados hermiticamente el uno del otro, en el sentido de la matriz: uno pasa de uno a otro por filas y columnas intercambiando y luego tomando el complejo conjugado. Si es hermitiana, entonces puede reemplazar por en y por en Un operador hermítico se representa por una matriz hermitiana, es decir, una en la que cualquiera de los dos elementos que son 156
- 157. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I simétricas con respecto a la diagonal principal son complejos conjugados uno del otro. En particular, para o y se convierten en: Los elementos de la diagonal de una matriz hermitiana son por lo tanto, los números siempre reales. 5. Cambio de representaciones a. RESUMEN DEL PROBLEMA En una representación dada, un ket (o un bra, o un operador) está representado por una matriz. Si cambiamos representaciones, es decir, las bases, el mismo ket (o bra, o el operador) estará representada por una matriz diferente. ¿Cómo están relacionados estos dos matrices? En aras de la simplicidad, supondremos aquí que estamos pasando de una base discreta ortonormal a otra discreta base orto normal En vamos a estudiar un ejemplo de cambio de una forma continua a otra forma continua. El cambio de base se define mediante la especificación de los componentes de cada uno de los kets de la nueva base, en términos de cada una de los kets de lo anterior. Vamos a establecer: Es la matriz del cambio de base (la transformación de matriz). Si denota su conjugado hermitiano: Los cálculos se pueden realizar muy fácilmente, y sin memorización, mediante el uso de las dos relaciones de cierre: y las dos relaciones orthonormalization: COMENTARIO: 157
- 158. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La matriz de transformación, es unitaria (complemento ). Es decir, se satisface: donde es la matriz unidad. En efecto, vemos que: De la misma manera: b. TRANSFORMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE UN KET Para obtener los componentes de un ket en la nueva base de sus componentes en la base anterior, uno simplemente inserta (entre y Las expresiones inversas se pueden derivar de la misma manera, utilizando c. TRANSFORMACIÓN DE LOS COMPONENTES DE UN BRA El principio del cálculo es exactamente el mismo. Por ejemplo: d. TRANSFORMACIÓN DE LOS ELEMENTOS MATRIZ DE UN OPERADOR 158
- 159. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Si en que la inserción entre y y de nuevo entre y se obtiene: es decir: De la misma manera: D. ECUACIONES VALORES PROPIOS. OBSERVABLES 1. Valores y vectores propios de un operador a. DEFINICIONES se dice que es un vector propio (o ket propio) del operador lineal si: Donde es un número complejo. Vamos a estudiar un cierto número de propiedades de la ecuación la ecuación de valores propios del operador lineal En general, esta ecuación tiene soluciones sólo cuando realiza en ciertos valores, llamados valores propios de El conjunto de los valores propios se llama el espectro de Nótese que, si es un vector propio de con el valor propio (donde es un número complejo arbitrario) es también un vector propio de con el mismo valor propio: Para librarnos de esta ambigüedad, nos ponemos de acuerdo para normalizar los vectores propios de (1): Pero esto no elimina completamente la ambigüedad, ya que donde es un número real arbitrario, tiene la misma norma, como Más adelante veremos que, en la mecánica cuántica, los 159
- 160. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I resultados físicos obtenidos con las predicciones son los mismos. El valor propio se llama no degenerado (o simple), cuando su propio correspondiente es único dentro de un factor constante, es decir, cuando todos sus autos vectores asociados son colineales. Por otro lado, si existen al menos dos kets linealmente independientes que son vectores propios de con el mismo valor propio, este valor propio se dice que está degenerado. Su grado (u orden) de la degeneración es entonces el número de vectores propios linealmente independientes que se asocian con él (el grado de degeneración de un valor propio puede ser finito o infinito). Por ejemplo, si es veces degenerado, (g) corresponden al mismo kets independientes tal que: Pero luego cada ket de la siguiente forma: es un vector propio de con el valor propio independientemente de los coeficientes ya que: En consecuencia, el conjunto de auto vectores de asociado con constituye un espacio vectorial g dimensiones (que puede ser de dimensión infinita), llamado el "eigen subespacio" del valor propio En particular, es equivalente a decir que es no degenerada o decir que su grado de degeneración es Para ilustrar estas definiciones, vamos a elegir el ejemplo de un proyector (con ). Su ecuación de valores propios está escrita: es decir, El ket en el lado izquierdo es siempre colineal con cero. En consecuencia, los vectores propios de son: por un lado, en sí, con un valor propio de por el otro lado, todos los kets son ortogonales a para lo cual el valor propio asociado es El 160
- 161. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I espectro de por lo tanto, incluye sólo dos valores: y La primera es simple, el segundo, infinitamente degenerado (si el espacio de estado considerado es de dimensión infinita). El subespacio propio asociado con es el suplemento de (véase ). COMENTARIOS: Tomando el conjugado hermitiano de ambos lados de la ecuación obtenemos: Por lo tanto, si es un ket propio de con un valor propio también se puede decir que es un bra propio de con un valor propio Sin embargo, vamos a insistir en el hecho de que, salvo en el caso en que es hermítico nada se puede decir a priori sobre Para ser totalmente riguroso, se debe resolver la ecuación de valores propios en el espacio Es decir, uno debe considerar sólo aquellos vectores propios que tienen una norma finita. De hecho, nos veremos obligados a utilizar los operadores para que los autos vectores no cumplen esta condición Por lo tanto, se 161 * En un espacio vectorial dos sub-espacios y se dice que son complementarios si todos los kets de se puede escribir , donde | y pertenecen, respectivamente, que y y si y son disjuntos (no común: ket distinto de cero, la expansión es entonces único) En realidad, existe una infinidad de sub-sub-espacios adicionales a una determinada sub-espacio Se puede solucionar al obligar a que sea ortogonal a .Esto se hará a través de este libro, a pesar de que la palabra "ortogonal" no va a ser explícitamente por escrito antes de suplemento. Ejemplo: En el espacio tridimensional ordinaria, si es un plano puede ser cualquier línea recta arbitraria, no contenida en El suplemento ortogonal de , Es la recta que pasa por el origen y ortogonal a
- 162. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I concede que los vectores que son soluciones de puede ser "kets generalizados". b. ENCONTRANDO LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UN OPERADOR Dado un operador lineal (¿cómo encuentra uno todos sus valores propios y los vectores propios correspondientes? Estamos preocupados por esta cuestión desde un punto de vista puramente práctico. Vamos a considerar el caso en que el espacio de estados es de dimensión finita y vamos a admitir que los resultados pueden ser generalizados a un espacio de estados de dimensión infinita. Vamos a elegir una representación, por ejemplo, y vamos a proyectar la ecuación vectorial en los vectores de la base ortonormales diferentes De la Inserción de la relación de clausura entre y se obtiene: Con la notación habitual: La ecuación puede escribirse: o Puede ser considerado como un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son los los componentes del vector característico en la representación elegida. Este sistema es lineal y homogéneo. La ecuación característica El sistema se compone de ecuaciones en incógnitas Puesto que es lineal y homogénea, que tiene una solución no trivial (la solución trivial es aquella para la que todos los son cero) si y sólo si el determinante de los coeficientes es cero. Esta condición está escrita: 162
- 163. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Donde es la matriz de los elementos y es la matriz unidad. La ecuación llamada la ecuación característica (o ecuación secular), nos permite determinar todos los valores propios del operador es decir, su espectro. se puede escribir de forma explícita en la forma: Se trata de una ecuación de orden en y, en consecuencia, tiene raíces, reales o imaginarios, distintos o idénticos, es fácil de demostrar, mediante la realización de un cambio arbitrario de la base, que la ecuación característica es. independiente de la representación elegida. Por lo tanto, los valores propios de un operador son las raíces de su ecuación característica. Determinación de los vectores propios Ahora vamos a elegir un valor propio una solución de la ecuación característica y vamos a buscar a los vectores propios correspondientes. Vamos a distinguir entre dos casos: En primer lugar, supongamos que es una raíz simple de la ecuación característica. A continuación, se puede demostrar que el sistema cuando se compone de ecuaciones independientes, es una continuación de los anteriores y por lo tanto, redundante. Pero tenemos incógnitas, hay por lo tanto, un número infinito de soluciones, pero todos los se puede determinar de una manera única en términos de uno de ellos, por ejemplo . Si fijamos , se obtiene de otros sistema de ecuaciones lineales, homogéneas (el "lado derecho" de cada ecuación es el término en ) con un factor determinante distinto de cero [las ecuaciones son independientes]. La solución de este sistema es de la forma: 163
- 164. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Puesto que el sistema inicial es lineal y homogénea, es, por supuesto, igual a por definición, y los coeficientes for se determina a partir de los elementos de la matriz y Los vectores propios asociados con difieren sólo por el valor elegido para Ellos son por lo tanto todos dada por: Con Por lo tanto, cuando es una raíz simple de la ecuación característica, sólo un vector propio corresponde a él (dentro de un factor constante): es un valor propio no degenerados. Cuando es una raíz de orden múltiple de la ecuación característica, hay dos posibilidades: - En general, cuando el sistema todavía está integrado por ecuaciones independientes. Sólo un vector propio a continuación se corresponde con el valor propio El operador no se puede diagonal izar en este caso: los vectores propios de no son lo suficientemente numerosos para ser capaz de construir con ellos solos una base del espacio de estados. - No obstante, cuando , puede suceder que el sistema sólo tiene ecuaciones independientes (donde es un número mayor que pero no más de . Para el valor propio se corresponde entonces un sub espacio propio de dimensión y es un valor propio veces degenerado. Supongamos, por ejemplo, que, por se compone de ecuaciones linealmente independientes. Estas ecuaciones nos permiten calcular los coeficientes en términos de dos cualesquiera de ellos, por ejemplo y (Obviamente: Todos los vectores propios asociados son continuación de la forma: Con: 164
- 165. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Los vectores en efecto, constituyen un espacio vectorial en dos dimensiones, esta característica de ser de un doble valor propio degenerado. Cuando un operador es hermitiana, se puede demostrar que el grado de degeneración-degeneración de un valor propio es siempre igual a la multiplicidad de la raíz correspondiente en la ecuación característica. Dado que, en la mayoría de los casos, se estudian sólo los operadores hermitianos, sólo se necesita saber la multiplicidad de cada raíz de para obtener de inmediato la dimensión de sub espacio propio correspondiente. Así, en un espacio de dimensión finita un operador hermítico siempre tiene vectores propios linealmente independientes (veremos más adelante que pueden ser elegidos para ser orto-normal): este operador por lo tanto puede diagonalizarse 2. observables a. PROPIEDADES DE LOS VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS DE UN OPERADOR HERMÍTICO Consideremos ahora el caso muy importante en el que el operador (A) es hermitiana: Los valores propios de un operador hermítico son reales. Tomando el producto escalar de la ecuación de valores propios por se obtiene: Pero (<if/1A I p>) es un número real, si (A) es hermitiana, como vemos en: donde la última ecuación se desprende de la hipótesis (D-22). Puesto que y son reales, la ecuación implica que también debe ser real. Si es hermitiana, podemos, en remplazar por y por ya que acabamos de mostrar que es real. De este modo se obtiene: 165
- 166. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Lo que demuestra que es también un bra propio de con el verdadero valor propio Por lo tanto, cualquiera que sea el mercado El operador hermítico se dice que actúa en el lado izquierdo en Dos vectores propios de un operador hermítico correspondientes a dos valores propios distintos son ortogonales. Consideremos dos vectores propios y del operador hermítico Puesto que es hermitiana, se puede escribir en la forma: Luego se multiplican por en el lado izquierdo y por a la derecha: Restando de nos encontramos con: En consecuencia, si y son ortogonales. b. DEFINICIÓN DE UN OBSERVABLE Cuando es de dimensión finita, hemos visto que siempre es posible formar una base con los vectores propios de un operador hermítico. Cuando es de dimensión infinita, esto ya no es necesariamente el caso. Por esta razón, es útil para introducir un nuevo concepto, el de un observable. Consideremos un operador hermítico Para simplificar, supondremos que el conjunto de sus valores propios forman un espectro discreto que se indicará más adelante las modificaciones que se deben hacer cuando todo o parte de este espectro es continuo. El grado de degeneración del valor propio uno se denota por (si es no degenerado). Nosotros designaremos por 166
- 167. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I vectores linealmente independientes elegidos en el sub espacio propio Acabamos de mostrar que cada vector que pertenece a es ortogonal a cada vector de otro subespacio asociada con por lo tanto: Dentro de cada subespacio el | ortonormal siempre puede ser elegido, es decir, tal que: Si por ejemplo se hace una elección, el resultado es un sistema ortonormal de vectores propios de A: los satisfacen las relaciones: Obtenerse a través de reagrupamiento y Por definición, el operador hermítico es un observable si este sistema ortonormal de vectores forma una base en el espacio de estado. Esto se puede expresar por la relación de clausura: Comentarios: Dado que los vectores que abarcan todo el sub espacio propio de son ortonormales, el proyector en este subespacio se puede escribir (de ) El observable viene dada por: (Es fácil comprobar que la acción de ambos lados de esta ecuación en todos los kets da el mismo resultado). 167
- 168. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La relación se puede generalizar para incluir los casos en que el espectro de valores propios es continua mediante el uso de las reglas dadas en la tabla Por ejemplo, consideremos un operador hermítico cuyo espectro está compuesto de una parte discreta (grado de degeneración y una parte continua (suponer no degenerados): Estos vectores siempre puede ser elegido de tal manera que forman un "ortonormal" sistema: A se dice que es un observable si este sistema forma una base, es decir, si: c. EJEMPLO: EL PROYECTOR Vamos a demostrar que (con ) es un observable. Ya hemos señalado que es hermitiana, y que sus valores propios son 1 y 0 el primero es simple (vector propio asociado: ), el segundo es infinitamente degenerado (vectores propios asociados: todos los ket ortogonales a Considere la posibilidad de un arbitrario ket en el espacio de estados. Siempre se puede escribir en la forma: es un ket propio de con el valor propio Ahora bien, como Es también uno de los ket propios de pero con el valor propio como vemos en: 168
- 169. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Cada ket puede ser ampliado en estos autovectores de por lo tanto, es un observable. Nos veremos en otros dos ejemplos importantes de observables. 3. Los conjuntos de observables que conmutan a. TEOREMAS IMPORTANTES Teorema Si dos operadores y conmutan y si es un vector propio de , es también un vector propio de con el mismo valor propio. Sabemos que, si es un vector propio de tenemos: La aplicación de a ambos lados de esta ecuación, obtendremos: Desde que asumimos que y conmutan, también tenemos, en sustitución de en el lado izquierdo por Esta ecuación expresa el hecho de que es un vector propio de con el valor propio el teorema por consiguiente, se demostró. Dos casos pueden presentarse a continuación: Si es un valor propio no degenerada, todos los vectores propios asociados a ella son, por definición colineales, y es necesariamente proporcional a Por lo tanto es también un vector propio de Si es un valor propio degenerado, sólo puede decirse que pertenece al subespacio propio de correspondiente al valor propio Por lo tanto, para cualquier tenemos: Se dice que es globalmente invariante (o estable) bajo la acción de Por lo tanto, el teorema puede ser dicho de otra forma: 169
- 170. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Teorema : si dos operadores y conmutan, cada sub espacio propio de es globalmente invariante bajo la acción de Teorema Si dos observables y conmutan, y si y son dos vectores propios de con valores propios diferentes, el elemento de la matriz es cero. Si y son vectores propios de podemos escribir: Según el teorema de el hecho de que y conmutan, significa que es un vector propio de con el valor propio es por lo tanto (véase ) ortogonal a (autovector del autovalor de ), que se puede escribir: El teorema se demostró por lo tanto. Otra prueba puede darse, que no implica el teorema de ya que el operador es cero, tenemos: Usando y la hermiticidad de [la ecuación ], se obtiene: y puede ser reescrita en la forma: Dado que, por hipótesis, no es cero, se puede deducir a partir de esta. . Teorema (fundamental) Si dos observables y conmutan, se puede construir una base orto normal del espacio de estados con vectores propios comunes a y Considere la posibilidad de dos observables de conmutando, y Con el fin de simplificar la notación, supondremos que sus espectros son totalmente discretos. Puesto que es un observable, existe al 170
- 171. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I menos un sistema orto normal de vectores propios de que forma una base en el espacio de estado. Vamos a denotar estos vectores por es el grado de degeneración del valor propio , es decir, la dimensión del sub espacio propio correspondiente Contamos con: ¿Cómo es la matriz como la que representa en la base ? Sabemos (véase Teorema que los elementos de la matriz son iguales a cero cuando (por el contrario, no podemos decir nada a priori sobre lo que sucede para y ). Vamos a organizar los vectores de la base en el orden: A continuación, se obtiene para el "bloque de la diagonal" de la matriz, es decir, de la forma: (Sólo las partes sombreadas que contienen elementos no-cero de la matriz). El hecho de que los sub espacios propios son globalmente invariante bajo la acción de es evidente a partir de esta matriz. Dos de los casos puede presentarse entonces es: Cuando es un valor propio no degenerada de sólo existe un vector propio de un valor propio de (el índice en es entonces innecesario): la dimensión de es entonces igual a En la matriz el correspondiente "bloque". Entonces se reduce a una matriz , es decir, a un simple número. En la columna asociada 171
- 172. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a todos los elementos de matriz otros son cero. Esto expresa el hecho que es un vector propio común a y Cuando uno es un valor propio de degenerados el "bloque", que representa en no es, en general, la diagonal: el no son, en general, los vectores propios de Se puede observar, no obstante, que, dado que la acción de en cada uno de los vectores se reduce a una simple multiplicación por una, la matriz que representa la restricción de dentro de es igual a (donde es el matriz unidad). Esto expresa el hecho de que un ket arbitrario de es un vector propio de con el valor propio La elección, en de una base como es por lo tanto, arbitraria. Cualquiera que sea esta base, la matriz que representa en es siempre igual a la diagonal y a Vamos a utilizar esta propiedad para obtener una base de integrada por los vectores que también son vectores propios de La matriz que representa en cuando la base elegida es Y tiene por sus elementos: Esta matriz es hermítico ya que es un operador hermítico, por lo tanto, es diagonalizable, es decir, uno puede encontrar en una nueva base en la que está representado por una matriz diagonal Esto significa que los vectores de la base nueva son vectores propios de Como vimos anteriormente, estos vectores son vectores propios de forma automática con un valor propio, ya que uno pertenece Vamos a subrayar el hecho de que los vectores propios de asociada con valores propios degenerados no son necesariamente vectores propios de Lo que hemos mostrado es que siempre es posible 172
- 173. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I seleccionar, en cada sub espacio propio de una base de vectores propios común a y Si se realiza esta operación en todos los subespacio se obtiene una base de formada por vectores propios comunes a y Así el teorema queda demostrado Comentarios: A partir de ahora, designaremos por los vectores propios comunes a y Los índices y que aparecen en nos permiten especificar los valores propios y de y El índice adicional con el tiempo se utiliza para distinguir entre los diferentes vectores de la base que se corresponden con los mismos valores propios y ( ). El recíproco del teorema es muy sencillo de demostrar: si existe una base de auto vector comunes ha y conmutan estas dos observables. A partir de es fácil deducir: y, restando estas ecuaciones: Esta relación es válida para todos Dado que, por hipótesis, los vectores forman una base, implica De vez en cuando se resuelve la ecuación de valor propio de un observable tal que: Donde y son también observables. Cuando se ha encontrado una base de auto vectores comunes a y el problema está resuelto, ya que vemos inmediatamente que 173
- 174. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es también un vector propio de con un valor propio El hecho de que constituye una base es obviamente esencial: esto nos permite, por ejemplo, para mostrar simplemente que todos los valores propios de son de la forma B. JUEGOS COMPLETOS* DE OBSERVABLES CONMUTANTES ** Considere la posibilidad de un observable y una base de integrado por los vectores propios de Si ninguno de los valores propios de es degenerado, los vectores de la base de diferentes pueden ser etiquetados por el valor propio (el índice en es en este caso innecesario). Todos los sub espacios propios son entonces unidimensionales. Por lo tanto, especificando el valor propio que determina de una manera única el correspondiente vector propio (dentro de un factor constante). En otras palabras, sólo existe una base de formado por los vectores propios de (no se consideran aquí como dos bases distintas cuyos vectores son proporcionales). Se dice entonces que el observable constituye, por sí mismo, un Si, por otro lado, uno o varios valores propios de se degeneran, la situación es diferente. Especificar ya no es siempre suficiente para caracterizar un vector de la base, ya que no se corresponden varios vectores independientes de valores propios degenerados. En este caso, la base de vectores propios de obviamente no es única. Se puede elegir cualquier base dentro de cada uno de los sub espacios propios de dimensión mayor que Veamos a continuación, elija otra observable que conmuta con y vamos a construir una base orto normal de auto vectores comunes a y Por definición, y formar una si esta base es único (dentro de un factor de fase para cada uno de los vectores de la base), es decir, si, a cada uno de los posibles pares de valores propios no corresponde sólo un vector de la base. 174 * La palabra "completo" se utiliza aquí en un sentido que es totalmente ajeno a los mencionados en la nota de Este uso de la palabra "completo" es habitual en la mecánica cuántica. ** Para tener una buena comprensión de los conceptos importantes introducidos en esta sección, el lector debe aplicar a un ejemplo concreto como el que se discute en el complemento ( ) (ejercicios resueltos y
- 175. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I COMENTARIO: En se construyó una base de auto vectores comunes a y mediante la resolución de la ecuación de valores propios de dentro de cada sub espacio propio Para que y constituyan una es necesario y suficiente que, dentro de cada uno de estos sub espacios, todos los valores propios de deben de ser distinto. Puesto que todos los vectores de corresponden al mismo valor propio de los vectores entonces se puede distinguir por el valor propio de que está asociado con ellos. Nótese que no es necesario que todos los valores propios de sean no degenerados. Los Vectores que pertenecen a dos sub espacios distintos puede tener el mismo valor propio de Además, si todos los valores propios de fueron no degenerados, sería equivalente a una Si, por lo menos uno de los posibles pares existen varios vectores independientes que son vectores propios de y con estos valores propios, el conjunto no es completo. Añadamos a ello, entonces, un observable tercero que conmuta con ambos y A continuación, puede utilizar el mismo argumento anterior , la generalización de la manera siguiente: Cuando a un par no corresponde sólo un vector, este vector es necesariamente un vector característico de Si hay varios vectores, que forman un sub espacio propio en el que es posible seleccionar una base formada por vectores que son también vectores propios de Se puede construir por lo tanto, en el espacio de estado, una base orto normal formada por vectores propios comunes a y y forman una si esta base es único (dentro de los factores multiplicativos). Especificar de un posible conjunto de valores propios y luego caracterizar sólo uno de los vectores de esta base. Si este no es el caso, se añade a un observable que conmuta con cada uno de estos tres operadores, y así sucesivamente. En general, así a la siguiente: Por definición, un conjunto de observables se llama un conjunto completo de observables que conmutan si Todos los observables conmutan por pares, La especificación de los valores propios de todos los operadores determinan un único (dentro de un factor multiplicativo) auto vector común. 175
- 176. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Una forma equivalente de decir esto es lo siguiente: Un conjunto de observables es un conjunto completo de los desplazamientos observables si existe una base única orto normal de vectores propios comunes (dentro de los factores de fase). Juegan un papel importante en la mecánica cuántica. Vamos a ver numerosos ejemplos de ellos (véase, en particular, ) Comentarios: Si es un otro puede obtenerse mediante la adición a ella de cualquier observable con la condición, por supuesto, que conmuta con y Sin embargo, generalmente se entiende que se limita a un "mínimo" conjuntos, es decir, aquellos que dejan de ser completa cuando uno cualquiera de los observables se omite. Sea es un conjunto completo de los desplazamientos observables. Dado que la especificación de los valores propios determina un ket de la base correspondiente (dentro de un factor constante), este ket es a veces indicado por Para que un sistema físico dado, existen varios juegos completos de los desplazamientos observables. Vamos a ver un ejemplo concreto de esto en E. DOS EJEMPLOS IMPORTANTES DE REPRESENTACIONES Y OBSERVABLES En este párrafo, se deberá volver a espacio de funciones de onda de una partícula, o, más exactamente, al espacio de estado que está asociada con él y que se definen de la siguiente manera. Veamos la corresponden de cada función de onda un ket que pertenece a , esta correspondencia es lineal. Además, el producto escalar de dos kets coincide con el de las funciones que están asociados con ellos: Es por lo tanto el espacio de estados de una partícula (sin spin). Vamos a definir y estudiar, en este espacio, dos representaciones y dos operadores que son especialmente importantes. En el capítulo , 176
- 177. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I vamos a asociarlas con la posición y el impulso de la partícula en cuestión. Se nos permitirá, además, aplicar e ilustrar los conceptos que hemos introducido en los apartados anteriores. 1. Los y representaciones a. DEFINICIÓN En y hemos introducido dos "bases" particulares y de : Ellos no están compuestos de funciones que pertenecen a Sin embargo, cada función regular de cuadrado integrable puede ser suficientemente expandida en una u otra de estas "bases". Es por esto que se quite las comillas y asociarlo a un ket con cada una de las funciones de estas bases (El ket asociado con se denota simplemente por y que se asocia con por El uso de las bases ( y de (de este modo, se define en dos representaciones: la representación y la representación . Un vector de la base de la primera se caracteriza por tres índices "continuos" y que son las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional; para el segundo, los tres índices son también los componentes de un vector ordinario b. ORTHONORMALIZATION Y RELACIONES DE CLAUSURA Vamos a calcular Utilizando la definición del producto escalar en donde la relación ha sido utilizada. De la misma manera: 177
- 178. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Usando Las bases que acabamos de definir, por lo tanto ortonormal en el sentido más amplio. El hecho de que el conjunto de l o el de constituye una base en puede ser expresado por una relación de clausura en .Esto está escrito en una forma análoga a la integración de aquí, sin embargo, más de tres índices en lugar de uno. Por lo tanto, tienen las relaciones fundamentales: c. COMPONENTES DE UN KET Considere la posibilidad de un ket arbitrario que corresponde a la función de onda Las relaciones de cierre anteriores nos permiten escribir en cualquiera de estas dos formas: Los coeficientes y se puede calcular mediante las fórmulas: Nos encontramos entonces: donde es la transformada de Fourier de El valor de la función de onda en el punto es mostrado por el componente del ket en la base vector de la representación . La "función de onda en el espacio de momentos" puede ser interpretado de forma análoga. La posibilidad de 178
- 179. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I caracterizar por es por lo tanto simplemente un caso especial de los resultados de Por ejemplo, para fórmula ( da: Para el resultado es, en efecto, de acuerdo con la relación orthonormalization Ahora que hemos reinterpretado la función de onda y su transformada de Fourier designaremos los vectores de la base de las dos representaciones que estamos estudiando aquí y en lugar de y Fórmulas se puede escribir: y las relaciones ortho normalization y cierre (E-5) se convierten en: Por supuesto, y todavía se considera que representan dos conjuntos de índices continuos, y que fijan los kets de la base y representaciones, respectivamente. Ahora una base ortonormal de Con cada una se asocia un ket de El conjunto forma una base ortonormal de por lo tanto, satisface la relación de clausura: Evaluar el elemento de matriz de ambos lados de entre y De acuerdo a y esta relación puede escribirse: 179
- 180. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La relación de clausura [fórmula ] es otra cosa que la expresión en la representación de la relación de clausura vectorial d. EL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Hemos definido el producto escalar de dos ket de como igual a la de las funciones de onda asociadas en [ecuación ]. A la luz de la discusión en esta definición aparece simplemente como un caso especial de la fórmula (C-21). (El) puede, de hecho, se derivada mediante la inserción de la relación de clausura entre y y por la interpretación de los componentes y como en Si nos situamos en la representación , una propiedad bien conocida de la transformada de Fourier se demuestra (el apéndice ). e. CAMBIO DE LA REPRESENTACIÓN A LA REPRESENTACIÓN Esto se logra utilizando el método indicado en la única diferencia derivada del hecho de que estamos tratando aquí con dos bases continuas. Cambio de una base a la otra trae en los números: Un determinado ket es representado por en la representación y por en la representación . Ya sabemos que [la fórmula ] que y están relacionados por una transformada de Fourier. Esto es lo que las fórmulas para el rendimiento de la representación del cambio: 180
- 181. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Es decir: Inversamente: Es decir: Mediante la aplicación de la fórmula general uno puede fácilmente pasar de los elementos de la matriz de un operador en la representación de los elementos de la matriz , del mismo operador en la representación : Una fórmula análoga permite calcular de 2. Los operadores R y P a. DEFINICIÓN Sea es un ket arbitraria de y sea la función de onda correspondiente. Utilizando la definición del operador el ket: está representado, en la base , por la función tal que: En la representación , el operador , por lo tanto, coincide con el operador que multiplica por . A pesar de que se caracteriza por la forma en que lo transforma las funciones de onda, es un operador que actúa en el espacio de estado Se pueden introducir otros dos operadores, y de una forma análoga. Así define y por las fórmulas: 181
- 182. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Donde los números son, precisamente, los tres índices que etiquetan el ket y se considera que los "componentes" de un "operador vectorial" por el momento, vamos a tratar esto como una simple notación condensada, sugiere el hecho de que (son los componentes del vector ordinario La manipulación de los operadores es particularmente simple en la representación . Por ejemplo, para calcular el elemento de matriz todo lo que necesitamos hacer es insertar la relación de clausura entre y el uso y la definición Del mismo modo, se define el operador vectorial por sus componentes , cuya acción, en la representación , está dada por: Donde son los tres índices que aparecen en el ket Vamos a determinar cómo el operador P actúa en la representación . Para ello se utiliza la relación de cierre y la matriz de transformación para obtener: Reconocemos en la transformada de Fourier de es decir ([apéndice la relación de ]. Por lo tanto: 182
- 183. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En la representación , el operador coincide con el operador diferencial aplicado a las funciones de onda. El cálculo de un elemento de matriz como en la representación , se realiza de la manera siguiente: Situándonos en la representación , también podemos calcular los conmutadores entre los operadores . Por ejemplo: Este cálculo es válido para todos y para cualquier ket de la base . Por lo tanto se encuentra *: De la misma manera, nos encontramos con todos los conmutadores otros entre los componentes de y los de El resultado se puede escribir en la forma: * El conmutador es un operador, y debe, en realidad, puede escribir Sin embargo, a menudo sustituye al operador de identidad por el número excepto cuando es importante hacer la distinción. Donde y designan, respectivamente, y Fórmulas se llaman las relaciones canónicas de conmutación. 183
- 184. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I b. Y SON HERMITIANA Con el fin de mostrar que X, por ejemplo, es un operador hermítico, podemos utilizar la fórmula Desde , sabemos que la ecuación es característico de un operador hermítico. Pruebas similares demuestran que y son también hermitiana. Por y la representación , puede ser utilizado, y los cálculos son entonces análoga a las precedentes. Es interesante mostrar que es hermítica mediante el uso de la ecuación que da a su acción en la representación . Consideremos, por ejemplo, la fórmula e integrarlo por partes: Puesto que la integral que da el producto escalar es convergente, se aproxima a cero cuando El primer término en el lado derecho de es por ello igual a cero, y: Se puede observar que la presencia del número imaginario es esencial. El operador diferencial que actúa sobre las funciones de no es hermitiana, debido al cambio de signo que se introduce por la integración por partes. Sin embargo, es hermitiana, como es c. Vectores propios de y 184
- 185. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Considere la posibilidad de la acción del operador en el ket de acuerdo con tenemos: Esta ecuación expresa el hecho de que los componentes, en la representación , del ket (son iguales a las del ket multiplicado por Por tanto, tenemos: Un argumento análogo demuestra que los kets también son vectores propios de los operadores y . La omisión del índice cero que se convierte en innecesaria, podemos escribir: Los kets son por lo tanto, los auto vectores comunes a y Así, la notación que hemos elegido anteriormente se justifica: cada vector está marcado por un vector (cuyos componentes representan tres índices continuas que corresponden a los valores propios de Argumentos similares se pueden elaborar para el operador , poniendo a nosotros mismos, esta vez, en la representación . A continuación, se obtiene: COMENTARIO Este resultado también se puede derivar de la ecuación que ofrece la acción de en la representación . Utilizando nos encontramos con: 185
- 186. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Todos los componentes del ket en la representación , puede obtenerse multiplicando los de por la constante es una de ket propio de con el valor propio d. Y SON OBSERVABLES Las Relaciones y expresan el hecho de que los vectores y constituyen las bases de Por lo tanto, y son observables. Por otra parte, la especificación de los tres valores propios de determina unívocamente el vector propio correspondiente en la representación , sus coordenadas son El conjunto de los tres operadores por lo tanto constituye un en Se puede demostrar de la misma manera que los tres componentes de constituyen también un en Nótese que, en no constituye un por sí mismo. Cuando el índice es fijo, y puede tomar cualquier valor real. Por lo tanto, cada valor propio es infinitamente degenerado. Por otro lado, en el espacio de estado de un problema unidimensional, constituye un . El valor propio determina unívocamente el ket propio correspondiente siendo sus coordenadas en la representación . COMENTARIOS: Hemos encontrado dos CSCO en (St), ({X. Y, Z}) y ({Px, Py, Pz}). Encontraremos otros después. Consideremos, por ejemplo, el conjunto ({X, Py, Pz}): se trata de conmutadores de tres observables (ecuaciones (E-30)) y, además, si los tres valores propios (xo, POY) y (/ 02>) son fijos, les corresponde un solo ket, cuya función de onda asociada está escrito: F. PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOS* DE ESTADOS 1. INTRODUCCIÓN Hemos introducido el espacio de estados de un sistema físico utilizando el concepto de una función de onda de una partícula. Sin 186
- 187. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I embargo, el razonamiento que ha involucrado a veces de uno y, a veces en tres dimensiones las funciones de onda. Ahora es evidente que el espacio de cuadrado-integrables funciones no es el mismo para las funciones de una variable como para las funciones de tres variables y son por lo tanto diferentes espacios. No obstante, parece ser esencialmente una generalización de ¿Existe una relación más precisa entre estos dos espacios? En esta sección, vamos a definir y estudiar la operación de tomar el producto tensorial de espacios vectoriales **, y aplicarla a los espacios estado. Esto responde, en particular, la cuestión que acabamos de preguntar: puede ser construido a partir de y dos otros espacios, y que son isomorfos a ella ( a continuación).De la misma manera, que será afectado después (capítulos y ) con la existencia, para ciertas partículas, de un momento angular intrínseco o espín. Además de los grados de libertad externos (posición, momento), las cuales son tratadas con los observables y se definen en será necesario tener en cuenta los grados de libertad internos y para introducir los observables de spin, que actúan en un espacio de estado de espín El espacio de estados de una partícula con espín a continuación se verá que el producto tensorial de y Por último, el concepto de un producto tensorial de espacios estatales nos permite resolver el siguiente problema. Sea y dos sistemas aislados físicas (que son, por ejemplo, lo suficientemente lejos que sus interacciones son perfectamente insignificante). Los espacios de estados que corresponden a y son, respectivamente, y Ahora supongamos que tenemos en cuenta el conjunto de estos dos sistemas para formar un sistema físico (esto se hace indispensable cuando están lo suficientemente cerca para interactuar). ¿Cuál es entonces el espacio de estados S del sistema global ? Se puede ver en estos ejemplos la utilidad de las definiciones y los resultados de esta sección se encuentran en la mecánica cuántica. 187 * Esta sección no es necesaria para la comprensión del capítulo Uno puede estudiar en el futuro cuando se hace necesario el uso de productos tensoriales (complemento o el capítulo ) ** Esta operación a veces se llama el "producto de Kronecker".
- 188. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I COMPLEMENTOS DEL CAPÍTULO II LA DESIGUALDAD SCHWARZ REVISIÓN DE ALGUNAS PROPIEDADES ÚTILES DE OPERADORES LINEALES OPERADORES UNITARIOS , , Revisión de algunas definiciones y resultados matemáticos útiles (nivel elemental) destinados a lectores no familiarizados con estos conceptos, servirá como una referencia más adelante (sobre todo ) . UN ESTUDIO MÁS DETALLADO DE LA REPRESENTACIÓN DE Y DE ALGUNAS PROPIEDADES GENERALES DE DOS OBSERVABLES. Y CUYO CONMUTADOR ES IGUAL A complementa a del capítulo Permanece en el nivel de capítulo y se pueden leer inmediatamente des puéis de ella. Adopta un carácter más general y un punto un poco más de vista formal. Presenta, en particular, el operador de traslación. Se puede reservar para su posterior estudio. LA PARIDAD DEL OPERADOR la discusión del operador de paridad, particularmente importante en la mecánica cuántica, a la vez, una simple ilustración de los conceptos del capítulo ,recomendado por estas dos razones. UNA APLICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DEL PRODUCTO TENSOR: EL POZO INFINITO BIDIMENSIONAL Una simple aplicación del producto tensorial ( del capítulo ); puede ser considerado como ejercicio de trabajo. EJERCICIOS Se dan las soluciones para los ejercicios 11 y 12, su objetivo es familiarizar al 188
- 189. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I lector con las propiedades de los observables de trayecto y el concepto de un en un caso especial muy simple. Se recomienda que estos ejercicios se hará durante la lectura del del capítulo II. Complemento LA DESIGUALDAD DE SCHWARZ Para cualquier ket , perteneciente al espacio de estados tenemos: es igual a cero sólo cuando es el vector nulo [véase la ecuación del capítulo ]. El uso de la desigualdad que se derivan de la desigualdad de Schwarz, que establece que, si y son los vectores arbitrarios de entonces: la igualdad se dio cuenta de si y sólo si y son proporcionales. Teniendo en cuenta y considere el ket ,definido por: donde es un parámetro arbitrario. Cualquiera que sea puede ser: Que nos ha elegido para el valor: 189
- 190. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En los términos segundo y tercero del lado derecho son entonces igual, y opuesta en valor para el término cuarto, de modo que se reduce a: Puesto que es positivo, podemos multiplicar esta desigualdad por para obtener: que es precisamente En la igualdad sólo puede realizarse si es decir, de acuerdo con si Los mercados y son entonces proporcional. Referencias: Bass ; Arfken Complemento Revisión de algunas propiedades útiles de operadores lineales 1. Trazado de una operador a. definición b. La traza es invariante c. Las propiedades importantes 2. conmutador de álgebra a. definición b. propiedades 3. La restricción de un operador a un subespacio 4. Funciones de los operadores a. Definición: Las propiedades simples b. Un ejemplo importante: el titular potencial c. Conmutadores que incluyen funciones de los operadores 5. Diferenciación de un operador a. definición b. reglas de diferenciación c. Ejemplos d. Una aplicación: una fórmula útil 1. Trazado de un operador a. DEFINICIÓN 190
- 191. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I El traza de un operador escrito Tr es la suma de sus elementos de matriz diagonales. Cuando una base ortonormal discreta, se elige para el espacio uno tiene, por definición Para el caso de una base orto normal continuo se tiene Cuando es un espacio de dimensión infinita, la traza del operador se define sólo si las expresiones y convergen. b. LA TRAZA es invariante La suma de los elementos de la diagonal de la matriz que representa un operador en una base arbitraria no depende de esta base. Vamos a sacar esta propiedad para el caso de un cambio de una discreta base orto normal a otra discreta base orto normal Contamos con: (Donde hemos utilizado la relación de clausura para los estados ). El lado derecho de es igual a: (ya que es posible cambiar el orden de dos números en un producto). A continuación, puede reemplazar a en por (relación de clausura para los estados ), y obtenemos, finalmente: Por tanto, hemos demostrado la propiedad de invariancia para este caso. Comentarios: Si el operador es un observable, por lo tanto se puede calcular en una base de vectores propios de Los elementos de 191
- 192. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I matriz diagonales son entonces los valores propios de (grado de degeneración y la traza puede ser escrito: c. PROPIEDADES IMPORTANTES En general, la traza del producto de cualquier número de operadores es invariante cuando una permutación cíclica se realiza en estos operadores. Vamos a demostrar, por ejemplo, la relación de (Usando dos veces la relación de clausura sobre la base ). La relación es lo que demostró, su generalización no presenta ninguna dificultad. 2. conmutador de álgebra a. DEFINICIÓN El conmutador de dos operadores es, por definición: b. PROPIEDADES La derivación de estas propiedades es muy simple: basta con comparar ambos lados de cada ecuación, después de haberlos escrito de forma explícita. 3. La restricción de un operador a un subespacio Sea es el proyector sobre el subespacio q-dimensional generado por los vectores ortonormales 192
- 193. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Por definición, la restricción del operador al subespacio es: Si es un ket arbitrario, se desprende de esta definición que: Donde: Es la proyección ortogonal de en En consecuencia, para que actué de manera arbitraria en el ket se comienza por la proyección de este ket en entonces se permite que el operador actué en esta proyección, manteniendo sólo la proyección en , de la que resulta el ket. El operador de , que transforma cualquier ket de en un ket que pertenece a este mismo subespacio, es por lo tanto, un operador cuya acción se ha limitado a ¿Qué puede decirse acerca de la matriz que representa ? Elijamos una base cuyo primer vectores pertenecen a (que son, por ejemplo, el ), los otros que pertenecen al subespacio suplementario. Contamos con: es decir: Por lo tanto, la matriz que representa es, por así decirlo, "cortada" de la que representa Uno sólo conserva los elementos de la matriz de A asociado a vectores de la base y ambas pertenecientes a los elementos de matriz de otros son reemplazados por ceros. 4. Funciones de los operadores 193
- 194. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a. DEFINICIÓN; simples propiedades Considere la posibilidad de un operador lineal arbitrario No es difícil de definir el operador es el operador que corresponde a aplicaciones sucesivas de El operador de definición del operador la inversa de también es bien conocido: Es el operador (si existe) que cumplen las relaciones: ¿Cómo podemos definir, de una manera más general, una función arbitraria de un operador? Para ello, consideremos una función de una variable Supongamos que, en un determinado dominio, se puede desarrollar en serie de potencias de Por definición, la función correspondiente del operador es el operador definido por una serie que tiene los mismos coeficientes Por ejemplo, el operador es definido por: No tendrá en cuenta los problemas relativos a la convergencia de la serie que depende de los valores propios de y en el radio de convergencia de la serie Tenga en cuenta que si es una función real, los coeficientes de son reales. Si, por otra parte, es hermitiana, lo vemos en que es hermitiana. Sea es un vector propio de con valor propio : La aplicación del operador veces seguidas, se obtiene: 194
- 195. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Apliquemos ahora la serie a obtenemos: Esto lleva a la siguiente regla: cuando es un vector propio de con un valor propio de es también un vector propio de con el valor propio Esta propiedad conduce a una segunda definición de una función de un operador. Vamos a considerar un operador diagonalizable (Esto es siempre el caso si es un observable), y vamos a elegir una base donde la matriz asociada a realmente es diagonal (sus elementos son entonces los valores propios de ) es, por definición, el operador que está representado, en esta misma base, por la matriz diagonal cuyos elementos son Por ejemplo, si es la matriz se deduce directamente que: Comentarios: Se debe tener cuidado, cuando las funciones de los operadores se utilizan, con respecto al orden de los operadores. Por ejemplo, los operadores y no son, en general, iguales cuando y son los operadores y no números. Considere lo siguiente: 195
- 196. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Cuando y son arbitrarios, los lados de la mano derecha de y no tienen por qué ser igual (ver ejercicio del complemento ). Sin embargo, cuando y conmutan, tenemos: (Una relación que es evidente, por otra parte, si las matrices diagonales que representan y se consideran en una base de auto vectores comunes a y ). b. UN EJEMPLO IMPORTANTE: EL OPERADOR POTENCIAL En los problemas de una dimensión, a menudo se tiene que considerar "posibles" operadores (llamado así porque se corresponden con el potencial de la energía clásica de una partícula colocada en un campo de fuerza), donde es una función del operador posición Se desprende de la sección anterior que tiene como vectores propios los vectores propios de y tenemos simplemente: Los elementos de la matriz de en el la representación, por lo tanto: Aplicando y utilizando el hecho de que es hermitiana (la función es real), se obtiene: Esta ecuación muestra que en la representación, la acción de operador es simplemente la multiplicación por La generalización de y a problemas tridimensionales se puede realizar sin dificultad, en este caso, se obtiene: c. COLECTORES EN LAS FUNCIONES DE LOS OPERADORES 196
- 197. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Definición muestra que conmuta con todas las funciones de Del mismo modo, si y viajan, lo hacen y ¿Cuál será el colector de un operador con una función de otro operador que no viaje con él? Nos limitaremos aquí para el caso de los operadores y , cuyo colector es igual a: Usando la relación (12), podemos calcular: Más en general, vamos a demostrar que: Si asumimos que esta ecuación se verifica, se obtiene: La relación Por consiguiente, se estableció por la relación de recurrencia. Ahora vamos a calcular el conmutador Si denota la derivada de la función vemos en la definición del operador Por lo tanto: Un argumento análogo que nos han permitido obtener la relación simétrica: COMENTARIOS: El argumento anterior se basa en el hecho de que (o ) depende sólo de (o en ). Es más difícil calcular un conmutador 197
- 198. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I tal como donde es un operador que depende tanto de y las dificultades surgen del hecho que y no conmutan. Las ecuaciones y se puede generalizar para el caso de dos operadores y , que tanto conmutan con su colector. Un argumento inspirado en el anterior, muestra que, si tenemos: a continuación: 5. Diferenciación de un operador a. DEFINICIÓN Sea sea un operador que depende de una variable arbitraria Por definición, el derivado de de con respecto a viene dado por el límite (si existe): Los elementos de la matriz de en una base arbitraria de vectores t-independientes son funciones de Vamos a llamar a los elementos de la matriz de . Es fácil comprobar la relación: De este modo se obtiene una regla muy simple: para obtener los elementos de la matriz que representan todo lo que debe hacer es tomar la matriz que representa y diferenciar cada uno de sus elementos (sin cambiar su lugar). 198
- 199. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I b. REGLAS DE DERIVACIÓN Son análogos a los correspondientes a las funciones ordinarias: No obstante, se debe tener cuidado de no modificar el orden de los operadores en la fórmula Vamos a demostrar, por ejemplo, la segunda de estas ecuaciones. Los elementos de matriz de (FG) son: Hemos visto que los elementos de matriz de d (FG) / dt) son las derivadas con respecto a de los de Así, hemos, diferenciando la parte derecha de Esta ecuación es válida para cualquier y Fórmula Se establece así. c. EJEMPLOS Vamos a calcular la derivada del operador Por definición, tenemos: Diferenciando la serie término a término, se obtiene: 199
- 200. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Reconocemos el interior de los corchetes de la serie que define (tomando como índice de la suma ). El resultado es por lo tanto: En este caso simple que implica sólo un operador, no es necesario prestar atención a la orden de los factores: y el conmutador Este no es el caso si uno está interesado en la diferenciación de un operador como Aplicando y se obtiene: El lado derecho de esta ecuación se puede transformar en o por ejemplo. Sin embargo, nunca se puede obtener (a menos, claro, y conmutar ) de una expresión como En este caso, el orden de los operadores tanto, es importante. Comentario: Aun cuando la función implica sólo un operador, la diferenciación no siempre puede realizarse de acuerdo con las reglas válidas para las funciones normales. Por ejemplo, cuando tiene una dependencia del tiempo arbitrario, el derivado generalmente no es igual a . Se puede observar mediante la expansión de en una serie de potencias de que y debe conmutar para esta igualdad de cierre d. UNA APLICACIÓN: UNA FÓRMULA ÚTIL Considere la posibilidad de dos operadores y , que, por hipótesis, ambos conmutan con su conmutador. En este caso, se obtendrá la relación: (Fórmula de Glauber). Vamos a definir el operador una función de la variable real por 200
- 201. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Contamos con: Puesto que y conmutan con su colector, la fórmula puede ser aplicada con el fin de calcular: Por lo tanto: Multiplica ambos lados de esta ecuación a la derecha por Sustituyendo la relación así obtenida en se obtiene: Los operadores y conmutan por hipótesis. Por lo tanto, se puede integrar la ecuación diferencial como y números. Esto proporciona: Marco , vemos que , y: Veamos a continuación, establecer obtenemos la ecuación que queda así demostrada. Comentarios: Cuando los operadores y son arbitrarias, la ecuación no es válido en general: es necesario que ambos y conmutan con Esta condición puede parecer muy restrictiva. En realidad, en la mecánica cuántica a menudo se encuentra con los operadores cuyos conmutador es una serie: por ejemplo, y o los operadores y del oscilador armónico (ver capítulo ). Referencias: 201
- 202. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Ver las subsecciones "Textos generales" y "Álgebra lineal - los espacios de Hilbert" del artículo 10 de la bibliografía. 1. 1.Características generales de los operadores unitarios a. Definición, propiedades simples b. Operadores unitarios y el cambio de las bases c. matrices unitarias d. Valores y vectores propios de un operador unitario 2. Transformaciones unitarias de los operadores 3. El operador unitario infinitesimal 1. Características generales de los operadores unitarios a. DEFINICIÓN; SIMPLES PROPIEDADES Por definición, un operador es unitaria si su inversa es igual a su adjunto Consideremos dos vectores arbitrarios y de y sus transformadas y bajo la acción de Vamos a calcular el producto escalar obtenemos: 202 Complemento operadores unitarios
- 203. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La transformación unitaria asociada con el operador por lo tanto, conserva el producto escalar (y, en consecuencia, la norma) en Cuando es de dimensión finita, por otra parte, esta propiedad es característica de un operador unitario. comentarios: Si es un operador hermitiano, el operador es unitaria, ya que: y por lo tanto: (obviamente, conmuta con ). El producto de dos operadores unitarios también es unitario. Si y son unitarias, tenemos: Calculemos ahora: Estas ecuaciones muestran efectivamente que el operador del producto es unitario. Esta propiedad, además, era previsible: cuando dos transformaciones conservar el producto escalar, también lo hace la aplicación sucesiva de estas dos transformaciones. En el ordinario espacio tridimensional de los vectores reales, estamos familiarizados con los operadores que conservan la norma y el producto escalar: rotaciones, las operaciones de simetría con respecto a un punto, a un plano, etc En este caso, donde el espacio es real, estos operadores se dice que son ortogonales. Operadores unitarios constituyen la generalización de los operadores ortogonales en espacios complejos (con un número arbitrario de dimensiones). b. OPERADORES UNITARIOS Y EL CAMBIO DE LAS BASES 203
- 204. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Sea es una base ortonormal del espacio de estados que se supone ser discretos. Llamada la transformación del vector bajo la acción del operador Dado que el operador es unitario, tenemos: Las por lo tanto, los vectores son ortonormales. Vamos a demostrar que constituyen la base de la Para ello, considere un vector arbitrario de Dado que el conjunto constituye una base, el vector se puede ampliar en el Aplicando el operador para esta ecuación, obtenemos: y, por lo tanto: Esta ecuación expresa el hecho de que cualquier vector se puede ampliar en los vectores que por lo tanto, constituyen una base. Por lo tanto podemos afirmar el siguiente resultado: una condición necesaria para un operador es unitario, es que los vectores de una base ortonormal de transformado por la constituyen otra base ortonormal. Por el contrario, vamos a demostrar que esta condición es suficiente. Por hipótesis, entonces tenemos: y por lo tanto: Vamos a calcular: 204
- 205. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Relación que es válida para todos expresa el hecho de que el operador es el operador identidad. Mostremos, de la misma manera, que Para ello, tenga en cuenta la acción de en un vector Tenemos entonces: Deducimos de esto que El operador es por lo tanto, unitario. c. matrices unitarias Que: sean los elementos de matriz de ¿Cómo se puede ver en la matriz que representa a si este operador es unitario? La Relación nos da: es decir: Cuando una matriz es unitaria, la suma de los productos de los elementos de una columna y los conjugados complejos de los elementos de otra columna es - Cero si las dos columnas son diferentes, 205
- 206. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I - Igual a 1 si no lo son. Citemos algunos ejemplos en los que se puede fácilmente verificar esta regla. ejemplos: (i) La matriz que representa una rotación a través de un ángulo sobre en común, el espacio tridimensional: La matriz de rotación en el espacio de estado de un número de partículas (véase el capítulo ): d. Autovalores y autovectores de un operador unitario Sea es un vector propio normalizado del operador unitario con el valor propio El cuadrado de la norma del vector es la siguiente: Dado que el operador unitario conserva la norma, tenemos que, necesariamente, Los valores propios de un operador unitario por lo tanto, deben ser números complejos de módulo 1: Consideremos dos vectores propios y de la entonces tenemos: 206
- 207. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Cuando los valores propios y son diferentes, lo vemos en que el producto escalar es igual a cero: dos vectores propios de un operador unitario que corresponde a valores propios distintos son ortogonales. 2. Transformaciones unitarias de los operadores Vimos en que un operador unitario permite la construcción, a partir de una base ortonormal de de otro, En esta sección, vamos a definir una transformación que actúa, no en los vectores, pero a los operadores. Por definición, la transformada del operador será el operador que, en la base , tiene los elementos de matriz mismo que el operador en la base base: Sustituyendo en esta ecuación, obtenemos: Puesto que y son arbitrarias, tenemos: o, multiplicando esta ecuación a la izquierda por y de la derecha por La ecuación puede ser tomado como la definición de la transformada del operador por la transformación unitaria En la mecánica cuántica, estas transformaciones son de uso frecuente: un primer ejemplo se da en el complemento de este capítulo Cómo puede los vectores propios de se obtiene a partir de aquellos de .Consideremos un vector propio de con un valor propio Sea es la transformada de por el operador Tenemos entonces: 207
- 208. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es por lo tanto, un vector propio de con valor propio Esto puede ser generalizado a la siguiente regla: los vectores propios de la transformación de son las transformadas de los vectores propios de los valores propios son sin cambios. Comentarios La adjunta de la transformada de por es la transformación de por (U): En particular, se deduce a partir de esta ecuación que, si es hermitiana, es también. Análogamente, tenemos: y, en general: Utilizando la definición del complemento se puede demostrar fácilmente que: donde es una función del operador 3. El operador unitario infinitesimal Sea U de ser un operador unitario que depende de una cantidad infinitamente pequeña ; por hipótesis, Al Desplegar en una serie de potencias en (e): Tenemos entonces: y: 208
- 209. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Desde es unitario, los términos de primer orden en en el lado derecho de son iguales a cero; por lo tanto, tiene: Esta ecuación expresa el hecho de que el operador es anti- hermitiana. Es conveniente establecer: así como para obtener la ecuación: que establece que es hermitiana. Un operador unitario infinitesimal por lo tanto, se puede escribir en la forma: donde es un operador hermitiano. Sustituyendo en se obtiene: y, por lo tanto: La variación del operador bajo la transformación es, a fin de primero en proporcional a la conmutador 209
- 210. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Ejercicios capitulo dos Notación Dirác. Conmutadores. Valores y vectores propios 1. son los estados propios de un operador hermítico es, por ejemplo, el hamiltoniano de un sistema físico arbitrario). Supongamos que los estados forman una base orto normal discreta. El operador se define por: a. Calcular el adjunto de b. Calcular el conmutador c. Demostrar la relación: d. Calcular , la traza del operador e. Supongamos que es un operador, con elementos de la matriz Demostrar la relación: f. Demuestre que 2. En un espacio vectorial en dos dimensiones, tenga en cuenta el operador de la matriz, en una base orto normal está escrito: 210
- 211. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I a. ¿Es hermítico? Calcular los valores y vectores propios (dando su expansión normalizada en términos de la Base ). b. Calcular las matrices que representan los proyectores sobre estos vectores propios. A continuación, compruebe que cumplen las relaciones de ortogonalidad y el clausura. c. Las mismas preguntas para las matrices: y, en un espacio tridimensional 3. El espacio de estado de un sistema físico determinado es tridimensional. Sea una base orto normal de este espacio, los kets y se definen por: a. ¿Son estos kets normalizados? b. Calcular las matrices (P0) y (px) que representan, en la base , los operadores de proyección sobre el estado y en el estado Verifique que estas matrices son hermíticas. 4. Sea es el operador definido por donde y son dos vectores del espacio de estado. a. ¿Bajo qué condición es hermítica ? b. Calcular ¿Bajo qué condición es un proyector? c. Demuestre que (K) siempre se puede escribir en la forma donde es una constante que se calculan y y son los proyectores. 211
- 212. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 5. Sea es el proyector ortogonal sobre el subespacio el proyector ortogonal sobre el subespacio Demostrar que, para el producto es un proyector ortogonal así, es necesario y suficiente que y conmuten. En este caso, ¿cuál es el subespacio sobre el cual actúa proyector ? 6. La matriz se define por: Demostrar la relación: donde es la matriz 2 x 2 unidad. 7. Establecer para , matriz dada en el ejercicio 2, una relación análoga a la que resultó para en el ejercicio anterior. Generalizar para todas las matrices de la siguiente forma: Con: Calcular las matrices que representan y ¿Es , igual a ?¿ ? 8. Consideremos el hamiltoniano de una partícula en un problema unidimensional definido por: Donde y se define en los operadores del capítulo y que satisfacen la relación: Los vectores propios de sé denota por donde es un índice discreto. a. Demostrar que: 212
- 213. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Donde es un coeficiente que depende de la diferencia entre y Calcular (Sugerencia: considere el conmutador ). b. De esto, deducir, utilizando la relación de clausura, la ecuación: 9. Sea el operador hamiltoniano de un sistema físico. Denotemos por los vectores propios de con valores propios a. Para un operador arbitrario demostrar la relación: b. Consideremos un problema unidimensional, donde el sistema físico es una partícula de masa y de energía potencial En este caso, se escribe: En términos de y encontrar los conmutadores: y Demostrar que el elemento de la matriz (que se interpretará en el capítulo III como el valor medio del impulso en el estado ) es cero. Establecer una relación entre (el valor medio de la energía cinética en el estado ) y Dado que el valor medio de la energía potencial en el estado (PN>) es cómo se relaciona con el valor medio de la energía cinética cuando: 10 Utilización de la relación encontramos las expresiones y en términos de ¿Pueden estos 213
- 214. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I resultados ser hallados directamente usando el hecho de que en la representación , actúa como COMPLEMENTOS DEL CAPITULO 3 REGRESO A PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES Ahora que estamos más familiarizados con el formalismo matemático y el contenido físico de la mecánica cuántica, podemos entrar en algunos de los resultados obtenidos en el capítulo I con más detalle. En los tres complementos que siguen, vamos a estudiar de una manera general, las propiedades cuánticas de las partículas de un sujeto a un potencial escalar * de forma arbitraria, limitando a nosotros mismos por la simplicidad de problemas unidimensionales. Vamos a tratar los estados ligados estacionarios de una partícula, cuyas energías formar un espectro discreto (Min complemento), y luego el no unido afirma que corresponde a un continuo de energía (complemento ). Además, vamos a examinar un caso especial que es 214
- 215. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I muy importante debido a sus aplicaciones, particujarly en la física de estado sólido, de un potencial periódico (complemento ). COMPLEMENTO ESTADOS LIGADOS DE UNA PARTÍCULA EN UN "POZO DE POTENCIAL" DE FORMA ARBITRARIA 1. Cuantificación de las energías Estado obligado 2. Valor mínimo de la energía del estado fundamental En el complemento se estudió, por un caso especial (finito o infinito "cuadrado" también), los estados ligados de una partícula en un pozo de potencial. Estamos derivados de ciertas propiedades de los estados the.se límite: un espectro discreto de energía y energía del estado fundamental de energía mayor que el mínimo clásica. Estas propiedades son, de hecho, en general, y tienen numerosas consecuencias físicas, como veremos en este complemento. Cuando la energía potencial de una partícula posesses un mínimo (véase la figura 1-a), la partícula se dice que está colocado en un "pozo de potencial" **. Antes de estudiar cualitativamente los estados estacionarios de una partícula cuántica de tal bien, recordemos que la moción correspondiente de una partícula clásica. Cuando su energía toma el valor mínimo posible (donde es la profundidad del pozo), la partícula está inmóvil en el punto , cuyo eje de abscisas es En donde la partícula oscila en el pozo, con una amplitud que aumenta con Por último, cuando la partícula no se queda en el pozo, pero se aleja hacia el infinito. Los "estados ligados" de la partícula clásica por lo tanto corresponden a todos los valores de energía negativa entre y Para una partícula cuántica, la situación es muy diferente. Bien definida por los estados de energía son estados estacionarios cuyas funciones de onda son soluciones de la ecuación de valores propios del hamiltoniano 215
- 216. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Esta ecuación diferencial de segundo orden tiene un número infinito de soluciones, sea cual sea el valor elegido para si tomamos valores arbitrarios de y su derivada en cualquier punto, podemos obtener para cualquier otro valor de La ecuación por sí sola no puede, por lo tanto, tenemos que limitar los valores de energía posibles. Sin embargo, vamos a mostrar aquí que si, además, se imponen ciertas condiciones de contorno en la sólo un cierto número de valores de siguen siendo posibles (la cuantificación de los niveles de energía). 1. Cuantificación de las energías Estado ligado Vamos a llamar a los "estados ligado de la partícula" estados cuyas funciones de onda satisfacen la ecuación de valor propio y son de cuadrado integrable [indispensable si es en realidad para describir el estado físico de una partícula]. Estos son por lo tanto, los estados estacionarios, para que la densidad de probabilidad de posición .Toma valores no despreciables sólo en una región limitada de espacio [para que converga, debe tender a cero con la suficiente rapidez cuando ]. Los estados ligados nos recuerdan el movimiento clásico en el que la partícula oscila dentro del pozo sin poder salir (de energía negativo, pero mayor que ) veremos que en la mecánica cuántica, el hecho de que se requiere que sea cuadrado integrable, implica que las energías posibles forman un conjunto discreto de valores que también se incluyen entre y para entender esto, volvamos a la posibilidad de la figura (1-a). para simplificar, supondremos que (Vx) es idénticamente igual a cero fuera de un intervalo . Si (región ) y la solución de la ecuación (1) inmediatamente se puede escribir: - Si 216 * Los efectos de un potencial vector A se estudiará más adelante, en particular en complemento Ev,. ** La energía potencial, por supuesto, sólo se define dentro de una constante. Por convención, se establece el potencial igual a cero en el infinito.
- 217. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I con: - Si Con Estamos buscando una solución de cuadrado integrable, por lo tanto, debe eliminar la forma en la que es una superposición de ondas planas de módulo de constantes que hacen que la integral: diverja. Única posibilidad se mantiene, y se obtiene el primer resultado: los estados ligados de la partícula tienen una energía negativa. En no podemos mantener el término que se aparta cuando Por consiguiente, nos dejó con: 217
- 218. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 1 Pozo de potencial de profundidad (fig. a), situado entre los puntos y Elegimos una solución de la ecuación de valores propios de que, por se aproxima a cero exponencialmente cuando A continuación, esta solución se extienden a todo el eje . Para un valor energético arbitrario diverge como cuando figura (b) representa el caso de que Figura (d), cuando Sin embargo, si la energía se elige a fin de hacer ( se aproxima a cero exponencialmente cuando (fig. c) y es de cuadrado integrable. [Hemos omitido el factor de proporcionalidad , ya que la homogeneidad de la ecuación nos permite definir dentro de un 218
- 219. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I coeficiente multiplicativo]. El valor de en el intervalo (región ) se obtiene por extension de hay que buscar la solución de la ecuación que es igual a por y cuya derivada en este punto es igual a . La función (cpnx) obtenida depende de y, desde luego, en la expresión exacta para No obstante, puesto que es una ecuación diferencial de segundo orden, está determinada únicamente por las condiciones de contorno anteriores, es, además, real (que nos permite trazar curvas como las de las figuras y ). Todo lo que ahora queda por hacer es obtener la solución cuando (región ); esta solución puede escribirse: donde y son constantes reales determinados por las dos condiciones de continuidad para y en el punto . y dependen de así como en la función Por tanto, hemos construido una solución de la ecuación tal como la que se muestra en la figura ¿Es esta solución de cuadrado integrable? Vemos de que, en general, no lo es, excepto cuando es igual a cero (este caso especial se muestra en la figura ). Ahora, para una función dada es una función de a través del intermediario Los únicos valores de para los que existe un estado ligado por tanto, son soluciones de la ecuación Estas soluciones (ver fig. 2) forman un espectro discreto que, por supuesto, depende del potencial elegido (lo veremos en la siguiente sección donde todas las energías son mayores que ). Así llegamos al siguiente resultado: los valores de estado de la energía por posibles para una partícula situada en un pozo de potencial de la forma forma arbitraria un conjunto discreto (a menudo se dice que las energías están cuantizadas estado ligado). Este resultado puede ser comparado con la cuantificación de los modos electromagnéticos en una cavidad. No hay análogo en la mecánica clásica, donde, como hemos visto, todos los valores de energía comprendido entre y son aceptables. En la mecánica cuántica, el nivel más bajo de energía se llama el estado 219
- 220. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I fundamental, el nivel de energía inmediatamente anterior, el primer estado excitado, el nivel de energía el próximo el segundo estado excitado, etc. El siguiente esquema diagrama se asocia a menudo con cada uno de estos estados: en el interior del pozo de potencial que representa una línea horizontal se traza cuya posición vertical corresponde a la energía del estado y cuya longitud nos da una idea de la extensión espacial de la función de onda ( la línea en realidad abarca los puntos del eje que se accede por una partícula clásica de la misma energía). Para el conjunto de niveles de energía, se obtiene un diagrama esquemático del tipo mostrado de la figura (3). Como vimos en el capítulo el fenómeno de la cuantización de la energía fue uno de los factores que condujeron a la introducción de la mecánica cuántica. Niveles discretos de energía aparecen en un gran número de sistemas físicos: los átomos (véase el capítulo átomo de hidrógeno.), El oscilador armónico (véase cap ), Los núcleos atómicos, etc FIGURA 3 Representación esquemática de los estados ligados de una partícula en un pozo de potencial. Para cada uno de estos estados estacionarios, uno dibuja una línea horizontal cuya ordenada es igual a la energía del nivel correspondiente. Los 220 FIGURA 2 Representación gráfica de la función Los ceros de dan los valores de para los que es cuadrado integrable (la situación en la figura ,es decir, las energías de los estados consolidados; todas estas energías se incluyen entre y
- 221. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I extremos de esta línea son los puntos de intersección con la curva que representa el potencial es decir, la línea se limita a la región de movimiento clásico para la misma energía, lo que da una idea de la extensión de la función de onda 2. Valor mínimo de la energía del estado fundamental En esta sección, vamos a demostrar que la energía son mayores que el valor mínimo de la energía potencial A continuación, veremos cómo este resultado pueda ser fácilmente comprendido con la relación de incertidumbre de Heisenberg. Si es una solución de se obtiene, multiplicando esta ecuación por y la integración de la relación así obtenida: Para un estado ligado, la función puede ser normalizado, y la ecuación se puede escribir simplemente: con: [tenemos,que realizar una integración por partes y se utiliza el hecho de que tiende a cero cuando y: La relación muestra simplemente que es la suma del valor medio de la energía cinética: 221
- 222. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I y el de la energía potencial: De las relaciones y , se deduce inmediatamente que: Por lo tanto: Puesto que es negativo, como vimos en vemos que, como en la mecánica clásica, las energías estado ligado siempre entre y Existe, sin embargo, una diferencia importante entre la situación clásica y cuántica: mientras que, en la mecánica clásica, la partícula puede tener una energía igual a (caso de una partícula en reposo en ) o un poco mayor que (caso de las pequeñas oscilaciones), el mismo no es cierto en la mecánica cuántica, donde la energía más baja posible es la energía del estado fundamental, que es necesariamente mayor que (véase la Fig. 3. ). Las relaciones de incertidumbre de Heisenberg nos permiten entender el origen físico de este resultado, ya que ahora se muestran. Si tratamos de construir un estado de la partícula para que la energía potencial media es tan pequeña como sea posible, se ve de que se debe elegir una función de onda que está prácticamente localizada en el punto La desviación de la raíz cuadrada media (es entonces muy pequeña, por lo que es necesariamente muy grande. Dado que: la energía cinética es entonces también muy grande. Por lo tanto, si la energía potencial de la partícula se aproxima a su mínimo, la energía cinética aumenta sin límite. La función de onda del estado fundamental corresponde a un compromiso, para que la suma de estas dos energías es un mínimo. El estado fundamental de la partícula cuántica se caracteriza así por una función de onda que tiene una cierta extensión espacial (véase la Fig. 3.), Y su energía 222
- 223. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es necesariamente mayor que A diferencia de la situación en la mecánica clásica, no existe un estado de energía bien definida en la mecánica cuántica donde la partícula es "en reposo" en la parte inferior del pozo de potencial. Comentarios: Puesto que la energía de los estados enlazado está incluido entre y tales estados sólo puede existir si el potencial toma valores negativos en una o varias regiones del eje Es por eso que hemos elegido para este complemento. Pozo Potencial como el que se muestra en la figura (1-a) (mientras que en el complemento siguiente, no nos limitaremos al caso de un pozo de potencial) Sin embargo, no hay nada para evitar que de ser positiva para ciertos valores de (por ejemplo, el "pozo" puede ser rodeado por los posibles "barreras" como se muestra en la figura que siempre deberá asumir el potencial de ser cero en el infinito). En este caso, ciertos movimientos de clásicos de la energía positiva que permanecen acotadas, mientras que en mecánica cuántica, el mismo razonamiento anterior muestra que los estados ligados siempre tienen una energía entre y Físicamente, esta diferencia surge del hecho de que una barrera de potencial de altura finita nunca es capaz de hacer una partícula cuántica retroceder completamente: la partícula siempre tiene una probabilidad no nula de pasar a través por el efecto túnel. 223 FIGURA 4 Potencial bien de profundidad situado entre dos barreras de potencial de altura y (suponiendo, por ejemplo, . Clásicamente, existen estados de las partículas cuya energía está entre y , que permanecen confinados entre las dos barreras. En la mecánica cuántica, una partícula cuya energía es entre y pueden penetrar la barrera por el efecto túnel y, en consecuencia, los estados ligados siempre tiene energías entre y
- 224. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Referencias y sugerencias bibliográficas: Feynman I el Mesías Ayant y Belorizky , Schiff Complemento ESTADOS NO LIGADOS DE UNA PARTÍCULA EN LA PRESENCIA DE UN POZO DE POTENCIAL O BARRERA DE FORMA ARBITRARIA 1. La matriz Transmisión a. Definición de b. Propiedades de 2. Coeficientes Reflexión y transmisión 3. Ejemplo En el complemento puso de manifiesto que los estados ligados de una partícula situada en un potencial tienen las energías negativas* y de que existen sólo si es un potencial atractivo (un pozo de potencial que permite el movimiento clásico limitado) 224
- 225. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Tuvimos que rechazar los valores positivos de la energía, ya que condujo a las funciones propias del Hamiltoniano que, en el infinito, se comportó como superposiciones de exponenciales no- cuadrado-integrables Sin embargo, hemos visto ya en el capítulo que, mediante la superposición de funciones lineal, se puede construir cuadrado-integrables las funciones de onda (paquetes de onda) que por lo tanto puede representar el estado físico de una partícula. Es evidente que, dado que los estados así obtenido implican varios valores de (es decir, de la energía), que ya no son estados estacionarios, la función de onda (por lo tanto, evoluciona con el tiempo, de multiplicación y de deformarse . Sin embargo, el hecho de que está ya expandido en términos de las funciones propias nos permite calcular la evolución de manera muy simple [como lo hicimos, por ejemplo, en el complemento donde se utilizó las propiedades de para calcular los coeficientes de transmisión y reflexión de una barrera de potencial, el retraso en la reflexión, etc.] Por esta razón, a pesar de que cada uno de los no solo puede representar a un estado físico, es útil para estudiar las funciones propias** de energía positiva de como ya lo hemos hecho, en el complemento para ciertos potenciales cuadrados. En el complemento, vamos a estudiar de una manera general (limitándonos, sin embargo, para problemas unidimensionales) el efecto de un potencial en las funciones propias de energía positiva Vamos a suponer nada sobre la forma de que puede presentar uno o varios obstáculos, pozos, etc, salvo que tiende a cero fuera de un intervalo finito del eje . Vamos a demostrar que, en todos los casos, el efecto de en las funciones puede ser descrita por una matriz , que posee un cierto número de propiedades generales. Por lo tanto se obtienen resultados diferentes que son independientes de la forma del potencial elegido. Por ejemplo, se verá que los coeficientes de transmisión y reflexión de una barrera (ya sea simétrico o no) son los mismos para una partícula viene de la izquierda y de una partícula de la misma energía procedente de la derecha. Un objetivo adicional de este complemento es la de servir como punto de partida para los cálculos de complemento en el que estudiar las propiedades de una partícula en un potencial periódico 225
- 226. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 1. La matriz de Transmisión a. definición de En un problema unidimensional, considere un potencial que es cero fuera de un intervalo de longitud pero que varía en una forma arbitraria dentro de este intervalo (Fig. I). Se elige el origen para estar en el medio del intervalo así como tener varían sólo para La ecuación satisfecha por cada función de onda asociado con un estado estacionario de energía es: En el resto de este complemento, que se elija, para caracterizar la energía, el parámetro (k) esta dado por: 226 * Recuerde que hemos elegido el origen de energía a fin de que cero en el infinito. ** También se podría considerar el estudio de las funciones propias negativas no cuadrado-integrables de energía (aquellos cuyas energías no pertenecen a la obtenida en el espectro discreto del complemento ). Sin embargo, estas funciones divergen muy rápidamente (exponencialmente) en el infinito, y no se podía obtener cuadrado-integrables las funciones de onda de forma lineal a superponer.
- 227. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En la región la función satisface la ecuación ; llamemos la solución de esta ecuación que es idéntica a por Cuando es necesariamente una combinación lineal de dos soluciones independientes y de Esto nos da: donde y son coeficientes que dependen de así como en la forma de la potencial bajo estudio. De manera similar, se puede introducir la solución que, por es igual a La solución más general de la ecuación (de segundo orden en ), para un valor dado de (es decir, de es una combinación lineal de y 227 FIGURA 1 El potencial en estudio varía de una manera arbitraria en el intervalo - y tiende a cero fuera de este intervalo.
- 228. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Relaciones y implica que: Si mientras que las relaciones y nos proporciona: si con: Por definición, la matriz es el matriz: lo que nos permite escribir las relaciones en la forma de la matriz: por lo tanto, nos permite determinar, dado el comportamiento de la función de onda a la izquierda de su potencial, su comportamiento a la derecha. Hacemos un llamado , la "matriz de transmisión" de las posibilidades. COMENTARIO: La corriente asociada con una función de onda es: Diferenciando, encontramos: Tomando en cuenta, se obtiene: 228
- 229. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Por lo tanto, la corriente asociado con un estado estacionario es la misma en todos los puntos del eje Nota, además, que es simplemente el análogo unidimensional de la relación: que es válido, de acuerdo con la relación del capítulo para cualquier estado estacionario de una partícula que se mueve en un espacio tridimensional. De acuerdo con la corriente asociada con por lo tanto, se puede calcular para cualquier eligiendo la forma o la forma de b. PROPIEDADES DE . Es fácil demostrar, utilizando el hecho de que la función es real, que si es una solución de la ecuación ( es también. Consideremos ahora la función que es una solución de comparación de y muestra que es idéntica a cuando Por lo tanto, tiene, para todo Sustituyendo las relaciones y en esta relación, se obtiene: De ello se deduce que la matriz se puede escribir en forma simplificada: P. Hemos visto más arriba que la corriente de probabilidad no depende de para un estado estacionario. Por lo tanto, debe tener para cualquier y Ahora las relaciones y rendimiento 229
- 230. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I La condición es equivalente a: COMENTARIOS: No hemos hecho suposiciones particulares acerca de la forma del potencial. Si es par, es decir, si la matriz posee una característica adicional: se puede demostrar que es un imaginario puro. Las relaciones muestran que y son los coeficientes de las ondas "entrante", ondas planas es decir, asociadas con las partículas que llegan respectivamente a partir de y y moviendo hacia la zona de influencia del potencial (partículas incidentes). Por otro lado, y son los coeficientes correspondientes a "saliente" ondas, asociadas con partículas que se mueven lejos del potencial (transmitida o reflejada partículas). Es útil para introducir la matriz que permite calcular la amplitud de las ondas salientes en términos de la de las ondas entrantes: fácilmente se puede expresar en términos de los elementos de la matriz como se muestran ahora. Las relaciones: implica que: Sustituyendo esta relación en se obtiene: Tomando en cuenta, podemos escribir la matriz 230
- 231. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Es fácil comprobar, utilizando de nuevo, que: es por lo tanto unitario. Esta matriz juega un papel importante en la teoría de la colisión; que podría haber demostrado su propiedad unitaria de la del operador de evolución (véase complemento ), que expresa simplemente la conservación en el tiempo de la probabilidad total de encontrar la partícula en algún lugar del eje (norma de la función de onda) 2. coeficientes Transmisión y reflexión Para el cálculo de los coeficientes de reflexión y transmisión de una partícula de encontrarse con el potencial uno debe (como en el complemento ) construir un paquete de ondas con las funciones propias de que acabamos de estudiar. Consideremos, por ejemplo, una partícula incidente de energía procedente de la izquierda. El paquete de ondas correspondiente se obtiene superponiendo funciones para los que nos propusimos con coeficientes dados por una función que tiene un pico pronunciado en la vencidad de No vamos a entrar en estos cálculos en detalle aquí, sino que son análogas en todos los sentidos a las de complemento Demuestran que los coeficientes de reflexión y transmisión son iguales, respectivamente, a Dado que las relaciones y dan: Los coeficientes de reflexión y transmisión son por lo tanto igual a: [es fácil comprobar que la condición asegura que 231
- 232. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Si ahora consideramos una partícula que viene por la derecha, tenemos que tomar lo que da: Los coeficientes de transmisión y reflexión son ahora igual a: La comparación de y muestra que y que para una energía dada, la transparencia de una barrera (ya sea simétrico o no) es por lo tanto, siempre es el mismo para las partículas procedentes desde la derecha y desde la izquierda. Además, a partir de tenemos: Cuando la igualdad se realiza, el coeficiente de reflexión es cero y el coeficiente de transmisión es igual a (resonancia). Por otro lado, la situación inversa no es posible: desde que impone una nunca puede tener y [excepto en el caso en que y tienden simultáneamente hacia el infinito]. En realidad, esta situación puede ocurrir solamente para Para ver esto, dividir la función definida en por .Si tiende a infinito, la función de onda será igual a cero en el lado izquierdo, y por lo tanto necesariamente, por extensión, cero en el lado derecho. Sin embargo, esto es imposible a menos que y 3. ejemplo Volvamos a los potenciales cuadrados estudiados en del complemento en la región es igual a una constante (véase la figura 2, donde (ha sido elegida para ser positivo). En primer lugar, supongamos que (es menor que y establece: 232
- 233. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Un cálculo elemental análoga a la de del complemento, nos da: con: ( es necesariamente positivo aquí, ya que hemos asumido ). Si ahora suponemos que , que establece: y: 233 FIGURA 2 Barrera de potencial cuadrado. * De hecho, estamos considerando aquí una barrera que se desplaza con relación al complemento ya que estamos suponiendo que quede situado entre y (en lugar de entre y
- 234. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I (donde si y si ). Obtenemos así: Es fácil comprobar que las matrices escrito en y satisfacen las relaciones y Referencias y sugerencias bibliográficas: Merzbacher ver también las referencias del complemento Complemento LAS PROPIEDADES CUÁNTICAS DE UNA PARTÍCULA EN UNA ESTRUCTURA PERIÓDICA UNIDIMENSIONAL 1. El paso a través de varios obstáculos potenciales sucesivas idénticas a. notación b. las condiciones de juego c. La iteración de la matriz d. Valores propios de 2. Discusión: el concepto de una banda de energía permitido o prohibido una. Comportamiento de la función de onda b. Reflexión de Bragg; energías posibles para una partícula en un potencial periódico 3. La cuantificación de los niveles de energía en un potencial periódico, el efecto de las condiciones de contorno una. Condiciones impuestas a la función de onda b. Se admiten bandas de energía: los estados estacionarios de la partícula dentro de la red 234
- 235. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I c. Bandas prohibidas: estados estacionarios localizados en los bordes En el complemento, vamos a estudiar las propiedades cuánticas de una partícula situada en un potencial que tiene una estructura periódica. Las funciones que consideraremos no será necesariamente periódico en el sentido estricto de la palabra, sino que basta para que tengan la forma de una función periódica en una región finita del eje (fig. ), que es decir, que es el resultado de la yuxtaposición de N veces el mismo motivo, a intervalos regulares [es verdaderamente periódico sólo en el límite ]. FIGURA 1 Potencial que tiene una estructura periódica al obtenerse a través de la yuxtaposición de veces el mismo motivo ( en la figura). Tales estructuras periódicas se encuentran, por ejemplo, en el estudio de una molécula lineal formado por (átomos o grupos de átomos) que son idénticos y espaciadas por igual. También se encontró en la física de estado sólido, cuando se elige un modelo unidimensional con el fin de comprender la disposición de los niveles de energía de un electrón en un cristal. Si es muy grande (como en el caso de una macromolécula lineal o un cristal macroscópico), el potencial es dado en una amplia región del espacio por una función periódica, y las propiedades de la partícula se puede esperar que sea prácticamente el mismo que lo que serían si eran realmente periódica. Sin embargo, desde un punto de vista físico, el límite en el infinito no se alcanza nunca, y nos ocuparemos aquí con el caso de que N es arbitraria. Para estudiar el efecto del potencial en una función propia del hamiltoniano de valor propio se podrán introducir una matriz , la matriz de iteración que depende Vamos a demostrar que el comportamiento de es totalmente diferente dependiendo de si los valores propios de la matriz de iteración son reales o imaginarios. Puesto que estos valores propios dependen de la energía seleccionado, vamos a ser útil para distinguir entre los ámbitos de la energía que corresponde a valores propios reales y 235
- 236. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I las que conducen a valores propios imaginarios. El concepto de una banda de energía permitido o prohibido por lo tanto será presentado. Comentarios: Por razones de conveniencia, vamos a hablar de una "barrera de potencial" para designar el motivo de que, repetidas veces, da la posibilidad de (fig. 1). Sin embargo, este motivo también puede ser un "pozo de potencial" o tener una forma arbitraria. El uso común en la física de estado sólido se reserva la letra para designar un parámetro que está implicado en la expresión para las funciones de onda estacionaria y que no es simplemente proporcional a la raíz cuadrada de la energía. Para ajustarse a este uso, en adelante vamos a utilizar una notación ligeramente diferente de la de complemento vamos a sustituir por estableciendo: y no vamos a introducir la letra hasta más tarde (veremos que está directamente relacionada con los valores propios de la matriz cuando son complejas). 1. Paso a través de varios obstáculos potenciales sucesivas idénticas Consideremos un potencial (Vx) que se obtiene mediante la yuxtaposición de como barreras en la figura la primera barrera está centrada en la segunda, en la tercera, en el último en Tenemos la intención de estudiar el comportamiento, durante el paso por este conjunto de barreras, de una función propia , que es una solución de la ecuación de valores propios de donde y están relacionados por a. NOTACIÓN A la izquierda de las barreras (N), es decir, por (x ^ -, V (x)) es cero, y es la solución general de la ecuación (B): 236
- 237. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Si Tenga en cuenta, como en del complemento las dos funciones y que aquí se convierten en y En la región de la primera barrera, centrada en la solución general de se escribe: Si De manera similar, en la región de la segunda barrera, centrada en se obtiene: y, más en general, en la región de la barrera enésima, centrada en si Finalmente, a la derecha de las barreras ,es decir, por es de nuevo a cero, y tenemos: Si Ahora debe coincidir con estas diversas expresiones de en Esto es lo que haremos en la siguiente sección. b. CONDICIONES DE DE CONGRUENCIA Las funciones y dependerá de la forma del potencial elegido. Nos muestran, sin embargo, que es fácil de calcular ellos, y sus derivados, así, en los dos bordes de cada barrera, mediante el uso de los resultados de complemento Para ello, imaginemos que todas menos una de las barreras se eliminan, dejando, por ejemplo, el enésimo , centrada en Solución siempre válido dentro de esta barrera, a continuación, debe extenderse a la izquierda ya la derecha por superposición de ondas planas. Estas ondas se obtienen mediante la sustitución, en las fórmulas y 237
- 238. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I de por y por y añadiendo un índice a Así tenemos, si la barrera enésimo está aislado: para para con: donde, con el cambio en la notación de tenerse en cuenta, es la matriz introducido en el complemento .En consecuencia, en el borde izquierdo de la barrera enésima , la función definido en tiene el mismo valor y la misma derivada como la superposición de ondas planas De manera similar, en el borde derecho de esta barrera, que tiene el mismo valor y la misma derivada, Estos resultados nos permiten escribir simplemente las condiciones encontradas en la estructura periódica. Así, en el borde izquierdo de la primera barrera (es decir, en (x = - 1/2)), es suficiente observar que tiene el mismo valor y el derivado de lo mismo que que se obtiene directamente: (un resultado que era evidente a partir de ). En el borde derecho de la primera barrera, que es el mismo que el borde izquierdo de la segunda, que escribir que y tienen el mismo valor y la misma derivada, que se obtiene: 238
- 239. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I De manera similar, en la unión de la enésima y barreras se obtiene, estableciendo igual al valor y el derivado de y las de la expresión obtenida mediante la sustitución de por en Por último, en el borde derecho de la última barrera debemos escribir que tiene el mismo valor y el derivado de lo mismo que la expresión obtenida mediante la sustitución de por en ), lo que da: c. ITERACIÓN MATRIX Vamos a presentar la matriz , definida por: Nos permite escribir la condición de concordancia en la forma: es decir, teniendo en cuenta lo siguiente: Iteración esta ecuación y usando obtenemos: Finalmente, la condición coincidente puede ser transformado mediante el uso de y 239
- 240. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I es decir: En esta fórmula, que nos permite pasar de a una matriz está asociado con cada barrera, y una matriz con cada intervalo entre dos barreras sucesivas. Relaciones y demuestran la importancia del papel desempeñado por la matriz: que entra a la enésima potencia cuando se pasa de a , es decir, cuando uno realiza una traducción a través de una distancia a lo largo de la estructura periódica. Por esta razón, llamaremos la "matriz de iteración" Uso de la fórmula del complemento y de expresión para obtenemos: El cálculo de se ve facilitada si cambiamos las bases a fin de que en diagonal, por eso vamos a estudiar los valores propios de d. Valores propios de Sean es un valor propio de La ecuación característica de la matriz se escribe: es decir, teniendo en cuenta relación de complemento donde es la parte real del número complejo 240
- 241. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Recordemos [cf. complementar relación ] que el módulo de es mayor que lo mismo es cierto tanto de El discriminante de la ecuación de segundo grado es: Dos casos pueden presentarse a continuación: Si la energía es tal que: (por ejemplo, si, en la figura una está entre y , un conjunto puede: con: 241 FIGURA 2 Variación con respecto a del número complejo. Puesto que la curva obtenida en el plano complejo, queda fuera del círculo centrado en de radio unidad. La discusión siguiente se muestra que si es menor que es decir, si el valor de elegido proporciona un punto de la curva que se encuentra entre las dos líneas verticales de trazos de la figura, la energía correspondiente cae en una "banda permitida", en el caso contrario, se cae en una banda de "prohibido".
- 242. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Un simple cálculo demuestra entonces que los valores propios de vienen dadas por: Hay por tanto dos valores propios, que son complejos conjugados y cuyo módulo es igual a Si, por otro lado, la energía da un valor de a tal que: (por ejemplo, si, en la figura es entre y ), los conjuntos de uno: con: y si es positivo, si es negativo. Nos encontramos entonces: En este caso, ambos valores propios de son reales, y son mutuamente inversa. 2. Discusión: el concepto de una banda de energía permitido o prohibido a. COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN DE ONDA Para aplicar se empieza por el cálculo de las dos matrices columna y asociados con los vectores propios de y que corresponden respectivamente a los valores propios y A continuación, descomponer la matriz en la forma: que nos permite obtener directamente: 242
- 243. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Es evidente a partir de esta expresión que el comportamiento de la función de onda es muy diferente dependiendo de si es menor o mayor que en el dominio de la energía de la función de onda. En el primer caso, la fórmula muestra que el efecto de atravesar las barreras sucesivas se expresa en ( C2) por un desplazamiento de fase en los componentes de la matriz de la columna con respecto a y El comportamiento de aquí recuerda a la de una superposición de exponenciales imaginarias. Por otro lado, si la energía es tal que la fórmula indica que sólo uno de los dos valores propios (por ejemplo, ) tiene un módulo mayor que Para lo suficientemente grande, tenemos como resultado: y por lo tanto, aumentan de forma exponencial con [excepto en el caso especial donde ], la función de onda y luego aumenta en el módulo a medida que atraviesa las barreras potenciales sucesivas, y su comportamiento recuerda a la de una superposición de exponenciales reales. b. La reflexión de Bragg, las energías posibles para una partícula en un potencial periódico Dependiendo de si se comporta como una superposición de exponenciales reales o imaginarios, los fenómenos que resultan razonablemente se puede esperar a ser muy diferente. Vamos a evaluar, por ejemplo, el coeficiente de transmisión del conjunto de las barreras idénticos. Por estas barreras , la relación muestra que la matriz desempeña un papel análogo al desempeñado por para una sola barrera. Ahora, de acuerdo a la relación del complemento el coeficiente de transmisión se expresa en términos del elemento de esta matriz que se coloca en la primera fila y la columna de primera [la inversa de es igual al cuadrado del módulo de este elemento]. lo que ocurre si la energía de la partícula se elige a fin de hacer que los valores propios de real, es decir, dado por ? Cuando se hace suficientemente grande, el valor propio se convierte en dominante, y la matriz aumenta exponencialmente con 243
- 244. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I [como también puede verse en la relación ] En consecuencia, el coeficiente de transmisión disminuye exponencialmente.: En este caso, para grandes valores de (N), el conjunto de (n) barreras de potencial refleja la partícula prácticamente sin falta. Esto se explica por el hecho de que las ondas dispersadas por las barreras de potencial diferentes interferir totalmente destructiva para la onda transmitida, y constructivamente para la onda reflejada. Este fenómeno por lo tanto se puede comparar a la reflexión de Bragg. Nota, además, que esta interferencia destructiva para la onda transmitida puede ser producido, incluso si la energía (E) es mayor que la altura de la barrera (un caso donde, en la mecánica clásica, se transmite la partícula). No obstante, si el coeficiente de transmisión de una barrera aislado está muy cerca de tenemos [por ejemplo, en la figura si es decir, la energía , se aproxima al infinito]. El punto que representa el número complejo es entonces muy cerca de la circunferencia de radio unidad centrado en Figura 2 muestra que las regiones del eje de energía donde es decir, donde se produce la reflexión total, son muy estrechas y prácticamente se puede considerar como valores de energía aislados. Físicamente, esto se explica por el hecho de si la energía de la partícula incidente es mucho mayor que la amplitud de la variación del potencial su cantidad de movimiento está bien definido, como es la longitud de onda asociada. La condición de Bragg (donde es un número entero) da entonces así definidas por valores de energía. Si, por otro lado, la energía de la partícula cae en un dominio donde los valores propios son de módulo como en los elementos de la matriz infinito enfoque ya no cuando lo hace. Bajo estas condiciones, el coeficiente de transmisión no se aproxima a cero cuando el número de barreras se incrementa. Estamos nuevamente frente a un fenómeno puramente mecánico, relacionado con la naturaleza ondulatoria de la función de onda, lo que permite que se propague en la estructura regular potencial periódico sin ser atenuada exponencialmente. Nótese especialmente que el coeficiente de transmisión es muy diferente a partir del producto de los coeficientes de transmisión individuales de las barreras adoptadas 244
- 245. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I por separado (este producto se aproxima a cero cuando ya que todos los factores son más pequeños que ). Otro problema interesante, encontrado particularmente en la física de estado sólido, es el de la cuantificación de los niveles de energía para una partícula colocada en una serie de pozos de potencial idénticos y espaciados uniformemente, es decir, colocado en un potencial que tiene una estructura periódica. Este problema será estudiado en detalle en sin embargo, ya se puede adivinar la forma del espectro de las energías posibles. Si suponemos que la energía de la partícula es tal que. la ecuación muestra que los coeficientes y se convierten en infinito cuando Es claro que esta posibilidad debe ser rechazada, ya que significa que la función de onda no se queda limitado las energías correspondientes, por lo tanto prohibido,.. por lo tanto, el nombre de las bandas prohibidas dadas a los dominios de la energía para el cual Por el otro mano, si la energía de la partícula es tal que y siguen siendo limitada cuando las regiones correspondientes del eje de energía se llaman bandas permitidas Para resumir, el espectro de energía se compone de intervalos finitos dentro de la cual todas las energías son aceptables, separados por todas las regiones de cuyas energías están prohibidas. 3. La cuantificación de los niveles de energía en un potencial periódico, el efecto de las condiciones de contorno Consideremos una partícula de masa m colocado en el potencial se muestra en la figura (3). En la región tiene la forma de una función periódica, compuesta de una serie de barreras sucesivas de altura centrados en Fuera de esta región, se somete a variaciones arbitrarias en distancias comparables a luego se vuelve igual a un valor constante positiva En lo que sigue, la región se denominará "dentro de la celosía" y las regiones que limitan "termina (o bordes) de la celosía". Físicamente, tal función puede representar el potencial vista por un electrón en una molécula lineal o en un cristal (en un modelo unidimensional). Los pozos de potencial situado en a continuación, corresponden a la atracción del electrón por los 245
- 246. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I diversos iones. Lejos de que el cristal (o la molécula), el electrón no está sujeto a las fuerzas de atracción, por lo que se convierte rápidamente en constante fuera de la región FIGURA 3 Variación con respecto a del potencial vista por un electrón en una "uni-dimensional de cristal" y en sus bordes. En el interior del cristal, tiene el potencial de una estructura periódica, es máxima entre los iones (barreras en y un mínimo en las posiciones de los iones (pozos en en los bordes del cristal, varía de una manera más o menos complicadas sobre una distancia comparable a luego rápidamente se aproxima a un valor constante El potencial que hemos elegido se ajusta perfectamente en el marco de complemento (aparte de un cambio en el origen de la energía). Ya sabemos, por tanto, que los estados ligados de la partícula forman un espectro discreto de energías, a menos de Sin embargo, el potencial recogidos aquí también se presenta la notable peculiaridad de tener una estructura periódica del tipo de las consideradas en ;confiar en los resultados de esta sección, vamos a demostrar que las conclusiones del complemento adquieren una forma especial en este caso. Por ejemplo, hicimos hincapié en el hecho en el complemento que se trata de las condiciones de contorno cuando que introducen la cuantificación de los niveles de energía. Las condiciones de contorno del problema que están estudiando aquí, es decir, la variación del potencial en los bordes de la red, por lo tanto se podría esperar que juegan un papel crítico en la determinación de las energías posibles. En realidad, esto no es en absoluto el caso: veremos que estas energías dependen 246
- 247. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I prácticamente sólo en los valores de en la región en la que es periódica, y no sobre los efectos de borde (a condición, por supuesto, que el número de pozos de potencial es suficientemente grande). Además, se deberá verificar el resultado obtenido en intuitivamente mostrando que la mayor parte de las energías posibles se agrupan en bandas de energía permitidos. Sólo unos pocos estados estacionarios, localizados cerca de los bordes, dependen de una manera crítica en la variación de en esta región y pueden tener una energía que cae dentro de una banda prohibida. Por lo tanto, procederá esencialmente como en el complemento examinando en primer lugar, precisamente, las condiciones impuestas a la función de onda de un estado estacionario. A. CONDICIONES IMPUESTAS PARA EL FUNCIÓN DE ONDA En la región donde es periódica, la relación da la forma de la función de onda los coeficientes y se determina a partir de Para escribir de manera más explícita, definamos; A continuación, se obtiene: Ahora vamos a examinar las condiciones de contorno en la función de onda En primer lugar, a la izquierda, lejos de la celosía, es igual a y se escribe en la forma: con: (eliminamos la solución en que diverge cuando ). La corriente de probabilidad asociada con la función de es cero (Véase complemento ). Ahora, para un estado estacionario, esta corriente es independiente de [Véase complemento ,relación ], por lo tanto, sigue siendo igual a cero en todos los (incluso 247
- 248. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I dentro de la red). De acuerdo a la relación del complemento de los coeficientes y por lo tanto, necesariamente tienen los mismos modulus.Thus, si optamos por expresar las condiciones de contorno sobre la izquierda, como las relaciones entre los coeficientes de y [es decir, por escrito que la expresión para para es la extensión de la función de onda ], nos encontramos con una relación de la forma: es una función real de (y por tanto de la energía que depende del comportamiento preciso de en el borde izquierdo de la red [en lo que sigue, no se necesita el expresión exacta para esta función (el punto esencial es que las condiciones de contorno de la izquierda tienen la forma ]. El mismo tipo de razonamiento, obviamente, se puede aplicar a la derecha donde las condiciones de contorno se escriben: donde la función real depende del comportamiento de en el borde derecho de la red. Para resumir, podemos decir que la cuantificación de los niveles de energía puede obtenerse de la siguiente manera: - Empezamos con dos coeficientes y que satisfacen lo que asegura que la función (cpax) seguirá siendo limitada cuando Puesto que se define en su interior. un factor constante, podemos elegir, por ejemplo: - Entonces calcular, utilizando los coeficientes y el fin de ampliar la función de onda elegida a lo largo de todo el cristal. Tenga en cuenta que la condición implica que es real (véase el complemento cálculo de y (debe ceder el paso, por tanto: 248
- 249. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I - Por último, se escribe que los coeficientes y satisfacen una relación que asegura que seguirá siendo limitada cuando De hecho, la relación muestra que la relación es automáticamente un número complejo de módulo unidad;. Condición por lo tanto, equivale a una igualdad entre las fases de dos números complejos Así se obtiene una ecuación real en que tiene un cierto número de soluciones reai dando las energías permitidas. Vamos a aplicar este método, distinguir entre dos casos: valores propios reales de [caso donde ] y los imaginarios [el caso donde( ] . b. LAS BANDAS DE ENERGÍA ADMITIDAS: estados estacionarios del partícula dentro de LA RED En primer lugar suponemos que la energía está en un dominio donde a. Forma de la ecuación de cuantificación Tomando en cuenta, las relacion se convierten en: Además, hemos visto que la elección de y implica que para todo Ahora bien, es fácil demostrar que las relaciones dan dos números complejos conjugados sólo si: Condición , entonces se puede escribir: Esta ecuación EN es la que ofrece la cuantificación de los niveles de energía. Para solucionarlo, vamos a configurar: puede, en principio, se calcula a partir de y la matriz ]. La ecuación puede a continuación, se pued escribir simplemente: 249
- 250. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Los niveles de energía, por lo tanto dada por: con: [los otros valores de deben ser excluidos como la condición aquí las fuerzas de para variar dentro de un intervalo de ancho Ya podemos ver que si es muy grande, podemos escribir la ecuación en la forma simplificada: gráfica de la solución, la localización de los niveles de energía Si sustituimos la definición de (en se obtiene una ecuación en una que da a las energías permitidas. Para resolver gráficamente, empecemos por el seguimiento de la curva que representa la función ( Debido a la exponencial imaginaria se espera que esta curva para tener un comportamiento oscilatorio, del tipo de la que se muestra en la figura Puesto que es mayor que [cf. complemento la relación ], la amplitud de la oscilación es mayor que por lo que la curva intersecta las dos líneas rectas (en ciertos valores de la variable A continuación, eliminar todas las regiones del eje, limitada por estos valores, donde la condición no se satisface. Utilizando el conjunto de arcos de las curvas obtenidas para que debe representar la función: 250
- 251. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Teniendo en cuenta la forma de la función del coseno de arco nos lleva a la curva cuya forma se muestra en la figura La ecuación indica que los niveles de energía corresponden a las intersecciones de esta curva con las que representan las funciones de es decir, si con las líneas horizontales cuyas ecuaciones son 251 FIGURA 4 Variación con respecto a de (véase la figura 2.) Y de Los valores de (es decir, de la energía asociado con estados estacionarios se obtienen ( si por el corte de la curva que representa con las líneas horizontales cuyas ecuaciones son Las bandas permitidas son así revelados. Cada uno incluye los niveles que están muy cerca entre sí (los intervalos ) Las bandas prohibidas están representados por las áreas sombreadas Las curvas de líneas de trazos corresponden al caso especial donde (una partícula libre).
- 252. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Así se obtiene grupos de los niveles, asociados con valores equidistantes de y situadas en las bandas permitidas definidas por etc Entre estas bandas permitidas son las bandas prohibidas ( vamos a examinar sus propiedades en ). La figura 5 La función Arco coseno. Si consideramos una banda particular permitido, se puede localizar cada nivel de acuerdo con el valor de ,que corresponde a la misma. Esto conduce a la elección de como la variable y considerando y, en consecuencia, como funciones y de La variación de una con respecto a está dada directamente por la curva de la figura por lo que basta para evaluar la función para obtener la energía La curva correspondiente tiene la forma mostrada en la figura 6. 252
- 253. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I FIGURA 6 La variación de la energía con respecto al parámetro Las líneas continuas corresponden a las energías de las dos primeras bandas permitidas (los valores de que dan a los niveles de energía son equidistantes en el interior del intervalo Las líneas discontinuas corresponden al caso especial en que el potencial es cero (una partícula libre); las bandas permitidas son contiguos, y no hay bandas prohibidas. comentarios: Es evidente a partir de la figura que, a un valor dado de corresponden varios valores de un tanto y de la energía; esta es la razón por varios arcos aparecen en la figura Sin embargo, si dentro de una determinada banda permitido, aumenta de manera constante desde a (o disminuye de manera constante desde a , sólo un nivel de energía corresponde a cada valor de para esta banda , y esta banda incluye los niveles de energía. . discusión Los cálculos anteriores muestran cómo, cuándo vamos a partir de a valores muy altos de se pasa gradualmente a partir de un conjunto de niveles discretos de energía a las bandas permitidas. Rigurosamente, estas bandas están formadas por niveles discretos, pero su separación es tan pequeño para una celosía macroscópica que prácticamente constituyen un continuo. Cuando se toma como un parámetro, la densidad de estados (el número de posibles energías por unidad de intervalo de ) es constante e igual a Esta propiedad, que es muy útil, explica por qué es generalmente elegida como la variable. Un punto importante aparece al pasar de a cuando es grande, los efectos de borde de la red, que introduce sólo a través de la mediación de las funciones y , en ya no juega ningún papel, sólo la forma del potencial periódico dentro de la red es 253
- 254. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I importante para determinar las energías posibles. Es interesante considerar los dos casos siguientes limitantes: Si (libre de partículas), tenemos y obtenemos: (la línea discontinua correspondiente se muestra en la figura como una línea discontinua). La relación revela que el estado siempre es satisfecha: como sabemos, las bandas prohibidas no existen para una partícula libre. Figura 6 por lo tanto nos permite ver el efecto del potencial en la curva Cuando las bandas prohibidas aparecen, las curvas que representan la energía se deforma para tener tangentes horizontales para y (los bordes de la banda). A diferencia de lo que ocurre para una partícula libre, existe un punto de inflexión para cada banda donde la energía varía linealmente con Si el coeficiente de transmisión es prácticamente cero, tenemos [cf. complementan las ecuaciones y ]: En la figura 2, el punto que representa el número complejo es muy lejos del origen. Por lo tanto ver en esta figura que las regiones de el eje donde son extremadamente estrecho Las bandas permitidas por lo tanto reducir si el coeficiente de transmisión de las disminuciones de barrera elementales; en el límite de cero. transmisión, se reducen a niveles individuales en un aislado también. Inversamente, tan pronto como el efecto túnel permite la partícula para pasar de un bien a la siguiente, cada uno de los niveles discretos de la bien da lugar a una banda de energía, cuya anchura aumenta a medida que crece el coeficiente de transmisión. volveremos sobre esta propiedad en el complemento 254
- 255. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I c. BANDAS PROHIBIDAS: ESTADOS ESTACIONARIOS LOCALIZADOS EN LOS BORDES Forma de las ecuaciones, los niveles de energía Supongamos ahora que pertenece a un dominio en el que De acuerdo con las relaciones entonces se puede escribir: El hecho de que para todo significa que debemos tener aquí: La condición de cuantización entonces toma la forma: es decir: donde la función real se define por. Consideremos el caso donde tenemos entonces y la ecuación se reduce a: Los niveles de energía situados en las bandas prohibidas, por lo tanto dada por los ceros de la función (véase la fig. 7). entra ni en ni en por lo que el número de estos niveles no depende de ( (a diferencia del número de niveles situado en una banda permitido). En consecuencia, cuando se puede decir que prácticamente todos los niveles se agrupan en las bandas permitidas. Discusión La situación aquí es radicalmente diferente de la encontrada en el número es decir, la longitud de la red, no desempeña ningún papel (siempre, no obstante, que es lo suficientemente grande), por el otro lado , definición de muestra que las funciones y juegan un papel esencial en el problema. Puesto que ya sabemos 255
- 256. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I que estas funciones dependen del comportamiento de en los bordes de la red, se espera obtener estados localizados en estas regiones. Este es el caso. Las ecuaciones y ofrecen dos posibilidades: si el hecho de que requiere que: La figura 7 Variación de con respecto a en una banda prohibida. Los ceros de dar a los estados estacionarios que son localizados en los bordes de la celosía. Volvamos a la definición de y vemos que la relación muestra que la función de onda construida a partir del primer vector propio satisface las condiciones de contorno a la derecha Esto es fácil. de entender: si empezamos a con una función de onda arbitraria que satisfaga las condiciones de contorno a la izquierda, la matriz tiene componentes en los dos vectores propios de los coeficientes y son entonces esencialmente dada por que expresa el hecho de que la matriz es proporcional a la matriz de la columna de la primera de autovector Tenga en cuenta que, dado que el valor propio es mayor que , la función de onda crece exponencialmente cuando se incrementa. El estado estacionario propuesta por el vector propio primero de es por lo tanto, localizada en el extremo derecho de la celosía. si da y las definiciones implica que el estado estacionario correspondiente se asocia con el segundo vector propio Aparte del hecho de que este estado se localiza en el 256
- 257. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I extremo izquierdo de la celosía, las conclusiones obtenidas en siguen siendo válidas. Referencias y sugerencias bibliográficas:Merzbacher Flugge Landau y Lifshitz , ver también los textos de física del estado sólido (artículo de la bibliografía). Ejercicios capitulo tres 1. En un problema unidimensional, considere una partícula cuya función de onda es: Donde y son constantes reales y es un coeficiente de normalización. a. Determinar de modo que se normaliza. b. La posición de la partícula se mide. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un resultado entre y ? c. Calcular el valor medio del momento de una partícula que tiene para su función de onda. 2. Consideremos, en un problema unidimensional, una partícula de masa cuya función de onda en el tiempo es a. En el tiempo la distancia de esta partícula desde el origen se mide. Escribir, como una función de la probabilidad de encontrar un resultado mayor que una longitud dada ¿Cuáles son los límites de cuándo y ? b. En lugar de realizar la medición de la pregunta se mide la velocidad de la partícula en el tiempo Expresar, como una función de la probabilidad de encontrar un resultado mayor que un valor dado . 257
- 258. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I 3. La función de onda de una partícula libre, en un problema unidimensional, se da al tiempo por: Donde y son constantes. a. ¿Cuál es la probabilidad que una medición de la fuerza, realizado en el tiempo producirá como un resultado comprendido entre y ? Dibuje la función b. ¿Qué ocurre con esta probabilidad si la medición se realiza en el tiempo ? Interpretar. c. ¿Cuál es la forma del paquete de ondas en el tiempo ? Se calcula para este tiempo el producto ¿cuál es su conclusión? Describir cualitativamente la evolución posterior del paquete de ondas. 4. Difusión de un paquete de ondas libres Considere la posibilidad de una partícula libre. a. Ver, aplicando el teorema de Ehrenfest, que es una función lineal del tiempo, el valor medio constante restante. b. Escribir las ecuaciones de movimiento para los valores medios y Integrar estas ecuaciones. c. Demostrar que, con una selección adecuada del origen del tiempo, la desviación de la raíz cuadrada media viene dada por: Donde y son las desviaciones de la media cuadrado en el momento inicial. ¿Cómo la anchura del paquete de ondas varía como una función del tiempo (véase de complemento )? Dar una interpretación física. 5. Partículas sujeto a una fuerza constante 258
- 259. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I En un problema unidimensional, considere una partícula de energía potencial donde es una constante positiva [ surge, por ejemplo, desde un campo de gravedad o un campo eléctrico uniforme]. a. Escribir el teorema de Ehrenfest para los valores medios de la posición y el momento de la partícula. Integrar estas ecuaciones; comparar con el movimiento clásico. b. Demostrar que la desviación de la raíz cuadrada media no varía con el tiempo. c. Escribir la ecuación de Schrödinger en la representación . Deducir de ella una relación entre y Integre la ecuación obtenida de este modo, dar una interpretación física. 6. Considerar la función de onda tridimensional Donde y son tres longitudes positivas. a. Calcular la constante que normaliza b. Calcular la probabilidad de que una medición de producirá un resultado comprendido entre y c. Calcular la probabilidad de que las mediciones simultáneas de y se obtendrán resultados incluidos, respectivamente, entre y y y d. Calcular la probabilidad de que una medición del impulso producirá un resultado incluido en el elemento centrada en el punto 7. Supongamos que sea la función de onda normalizada de una partícula. Expresar en términos de la probabilidad para: a. Una medición de la abscisa para producir un resultado comprendido entre y b. una medida de la componente del momento, para producir un resultado comprendido entre y 259
- 260. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I c. mediciones simultáneas de y para dar: d. mediciones simultáneas de para dar: Demuestre que esta probabilidad es igual al resultado de cuando e. una medida del componente de la posición, para producir un resultado comprendido entre y 8. Sea es la corriente de probabilidad asociada a una función de onda , que describe el estado de una partícula de masa [cap. las relaciones y ]. a. Demuestre que: Donde es el valor medio del impulso. b. Considere la posibilidad de que el operador (momento angular orbital) definida por Son los tres componentes de , Operadores hermitianos? Establecer la relación: 9. Uno quiere demostrar que el estado físico de una partícula (sin spin) está completamente definida especificando la densidad de probabilidad y la corriente de probabilidad a. Supongamos que la función es conocido y sea su argumento: Demuestre que: 260
- 261. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Deducir que dos funciones de onda que conducen a la misma densidad y de corriente (J (r)) pueden diferir sólo por un factor de fase global. b. Dadas las funciones arbitrarias y muestran que un estado cuántico puede estar asociado con ellos sólo si donde es la velocidad asociada con el fluido de probabilidad. c. Supongamos ahora que la partícula se somete a un campo magnético [Véase el cap. definición de la corriente de probabilidad en este caso]. Demuestre que: y: 10. teorema del virial a. En un problema unidimensional, considere una partícula con el hamiltoniano: donde: Calcular el conmutador Si existe uno o varios estados estacionarios en el potencial muestran que los valores medios y de las energías cinéticas y potencial en estos estados satisfacen la relación: b. En un problema de tres dimensiones, se escribe: Calcular el conmutador [H, R. P]. Supongamos que (V (R)) es una función homogénea de orden n en las variables ¿Qué relación existe necesariamente entre la energía cinética media y la energía potencial media de la partícula en un estado estacionario? 261
- 262. MECANICA CUANTICA (COHEN)Vol I Aplicar esto a una partícula que se mueve en el potencial (un átomo de hidrógeno). Recuérdese que una función homogénea de grado n en las variables y por definición, satisface la relación: y satisface la identidad de Euler: c. Considere un sistema de partículas de las posiciones y de los impulsos Cuando la energía potencial es una energía homogénea (enésima) en función del conjunto de componentes ¿pueden los resultados obtenidos por encima de ser generalizada? Una aplicación de esta se puede hacer que el estudio de una molécula arbitraria formada por los núcleos de las cargas y los electrones de carga Todas estas partículas interactúan a través de pares de fuerzas de Coulomb. En un estado estacionario de la molécula, ¿qué relación existe entre la energía cinética del sistema de partículas y su energía de interacción mutua? 262