1) El documento describe las relaciones de recurrencia y propiedades especiales de los polinomios de Legendre. 2) Se muestra que los polinomios satisfacen una relación de recurrencia y varias ecuaciones diferenciales. 3) Se analizan valores especiales de los polinomios para diferentes argumentos, así como su paridad.

1. Funciones de Legendre
Relaciones de recurrencia y
propiedades especiales
Angel Roberto Torres Duarte **
4 de diciembre de 2018
**
angelrko21@gmail.com
1/23

2. Contenido
1. Relación de recurrencia
2. Ecuaciones diferenciales
3. Valores especiales
4. Paridad
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ)
2/23

3. Relación de recurrencia
La función generadora de los polinomios de Legendre provee una
forma conveniente de encontrar las relaciones de recurrencia y
algunas propiedades especiales.
g(t, x) =
(
1 − 2x + t2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
, |t| < 1 (1)
Si nuestra función generadora (1) es derivada con respecto a t, se
obtiene
1. Relación de recurrencia 3/23

4. Relación de recurrencia
La función generadora de los polinomios de Legendre provee una
forma conveniente de encontrar las relaciones de recurrencia y
algunas propiedades especiales.
g(t, x) =
(
1 − 2x + t2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
, |t| < 1 (1)
Si nuestra función generadora (1) es derivada con respecto a t, se
obtiene
∂g(t, x)
∂t
=
x − t
(1 − 2xt + t2)3/2
=
∞∑
n=0
nPn(x)tn−1
(2)
1. Relación de recurrencia 3/23

5. Sustituyendo la ecuación (1) en (2) y reacomodando, se obtiene
1. Relación de recurrencia 4/23

6. Sustituyendo la ecuación (1) en (2) y reacomodando, se obtiene
(
1 − 2xt + t2
) ∞∑
n=0
nPn(x)tn−1
+ (t − x)
∞∑
n=0
Pn(x)tn
= 0 (3)
1. Relación de recurrencia 4/23

7. Sustituyendo la ecuación (1) en (2) y reacomodando, se obtiene
(
1 − 2xt + t2
) ∞∑
n=0
nPn(x)tn−1
+ (t − x)
∞∑
n=0
Pn(x)tn
= 0 (3)
El lado izquierdo es una serie de potencias en t. Dado que la serie de
potencias desaparece para todos los valores de t, el coeficente de
cada potencia de t es igual a cero; esto es, la serie de potencias es
única. Estos coeficientes son encontrados separando la suma
individualmente y usando distintos contadores en las sumatorias.
1. Relación de recurrencia 4/23

8. ∞∑
m=0
mPm(x)tm−1
−
∞∑
n=0
2nxPn(x)tn
+
∞∑
s=0
sPs(x)ts+1
+
∞∑
s=0
Ps(x)ts+1
−
∞∑
n=0
xPn(x)tn
= 0 (4)
1. Relación de recurrencia 5/23

9. Ahora, haciendo m = n + 1,s = n − 1, se obtiene
(2n+1)xPn(x) = (n+1)Pn+1(x)+nPn−1(x), n = 1, 2, 3, · · · (5)
1. Relación de recurrencia 6/23

10. Ahora, haciendo m = n + 1,s = n − 1, se obtiene
(2n+1)xPn(x) = (n+1)Pn+1(x)+nPn−1(x), n = 1, 2, 3, · · · (5)
Esto es una relación de recurrencia.
1. Relación de recurrencia 6/23

11. Ahora, haciendo m = n + 1,s = n − 1, se obtiene
(2n+1)xPn(x) = (n+1)Pn+1(x)+nPn−1(x), n = 1, 2, 3, · · · (5)
Esto es una relación de recurrencia.
Para n=1
3xP1(x) = 2P2(x) + P0(x) (6)
P2(x) =
1
2
(
3x2
− 1
)
(7)
1. Relación de recurrencia 6/23

12. Uno comienza con P0(x) = 1,P1(x) = x, y calcula los valores
númericos para todo Pn(x).
1. Relación de recurrencia 7/23

13. Uno comienza con P0(x) = 1,P1(x) = x, y calcula los valores
númericos para todo Pn(x).
Cuadro: Polinomios de Legendre
n Pn(x)
0 1
1 x
2 1
2
(
3x2 − 1
)
3 1
2
(
5x3 − 3x
)
4 1
8
(
35x4 − 30x2 + 3
)
5 1
8
(
63x5 − 70x3 + 15x
)
1. Relación de recurrencia 7/23

14. Ecuaciones diferenciales
Más información sobre el comportamiento de los polinomios de
Legendre puede ser obtenida si diferenciamos (1) con respecto a x.
Esto da
∂g(t, x)
∂x
=
t
(1 − 2xt + t2)3/2
=
∞∑
n=0
P´
n(x)tn
, (8)
ó
(
1 − 2xt + t2
) ∞∑
n=0
P´
n(x)tn
− t
∞∑
n=0
Pn(x)tn
= 0 (9)
2. Ecuaciones diferenciales 8/23

15. En la forma previa, el coeficiente de cada potencia de t es elegido
igual a cero y se obtiene
P´
n+1(x) + P´
n−1(x) = 2xP´
n(x) + Pn(x) (10)
2. Ecuaciones diferenciales 9/23

16. En la forma previa, el coeficiente de cada potencia de t es elegido
igual a cero y se obtiene
P´
n+1(x) + P´
n−1(x) = 2xP´
n(x) + Pn(x) (10)
Una relación más útil puede ser encontrada de diferenciar (5) con
respecto a x y multiplicando por 2. Para esto se suma (2n + 1) veces
la ecuación (10), cancelando los téminos P´
n. El resultado es
P´
n+1(x) + P´
n−1(x) = (2n + 1)Pn(x) (11)
2. Ecuaciones diferenciales 9/23

17. De las ecuaciones (10) y (11) muchas otras ecuaciones pueden ser
obtenidas, incluyendo
P´
n+1(x) = (n + 1)Pn(x) + xP´
n(x) (12)
P´
n−1(x) = −nPn(x) + xP´
n(x) (13)
(
1 − x2
)
P´
n(x) = nPn−1(x) − nxPn(x) (14)
(
1 − x2
)
P´
n(x) = (n + 1)Pn(x) − (n + 1)Pn+1(x) (15)
2. Ecuaciones diferenciales 10/23

18. Derivando la ecuación (14) y usando la (13) para eliminar P´
n−1(x),
encontramos que Pn(x) satisface la EDO lineal de segundo orden
(
1 − x2
)
P´´
n(x) − 2xP´
n(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0 (16)
2. Ecuaciones diferenciales 11/23

19. Derivando la ecuación (14) y usando la (13) para eliminar P´
n−1(x),
encontramos que Pn(x) satisface la EDO lineal de segundo orden
(
1 − x2
)
P´´
n(x) − 2xP´
n(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0 (16)
Las ecuaciones previas (10) a (15), son todas EDO de primer orden,
pero con polinomios de dos diferentes índices. El precio que hay que
pagar por tener todos los índices iguales es tener una ecuación
diferencial de segundo orden. La ecuación (16) es la EDO de
Legendre. Ahora podemos ver que los polinomios Pn(x) generados
por la serie de potencias para
(
1 − 2xt + t2
)−1/2
satisface la
ecuación de Legendre.
2. Ecuaciones diferenciales 11/23

20. En la ecuación (16) la derivación es con respecto a x (x = cosθ).
Frecuentemente, se encuentra la ecuación de Legendre expresada
en términos de diferenciación con respecto a θ:
1
senθ
d
dθ
(
senθ
dPn(cosθ
dθ
)
+ n(n + 1)Pn(cosθ) = 0
(17)
2. Ecuaciones diferenciales 12/23

21. Valores especiales
Nuestra función generadora provee aún más información acerca de
los polinomios de Legendre se seleccionamos x = 1. Ecuación (1) se
convierte en
1
(1 − 2t + t2)1/2
=
1
1 − t
=
∞∑
n=0
tn
(18)
esto usando una expansión de la serie geometrica que aparece en
5.1.1 del Arfken. Pero la ecuación (1) para x = 1 define
1
(1 − 2t + t2)1/2
=
∞∑
n=0
Pn(1)tn
(19)
Comparando las dos expansiones en serie, se obtiene
Pn(1) = 1 (20)
3. Valores especiales 13/23

22. Si estableccemos x = −1 en la ecuación (1) y usamos
1
(1 + 2t + t2)1/2
=
1
1 + t
(21)
Esto muestra que
Pn(−1) = (−1)n
(22)
Del haber obtenido estos resultados, encontramos que la función
generadora es más conveniente que la forma explícita en serie,
ecuación (27)
3. Valores especiales 14/23

23. Si tomamos x = 0 en ecuación (1), usando la expansión binomial
(
1 + t2
)−1/2
= 1−
1
2
t2
+
3
8
t4
+· · ·+(−1)n 1 · 3 · · · (2n − 1)
2nn!
t2n
+· · · (23)
se tiene
P2n(0) = (−1)n 1 · 3 · · · (2n − 1)
2nn!
= (−1)n (2n − 1)!!
(2n)!!
=
(−1)n(2n)!
22n(n!)2
(24)
P2n+1(0) = 0, n = 0, 1, 2... (25)
3. Valores especiales 15/23

24. Resumen valores especiales
x = 1 −→ Pn(1) = 1
x = −1 −→ Pn(−1) = (−1)n
x = 0 −→ P2n+1(0) = 0, n = 0, 1, 2...
3. Valores especiales 16/23

25. Paridad
Algunos de estos resultados son casos especiales de la propiedad de
paridad de los polinomios de Legendre. De las ecuaciones siguientes
que encontramos en la sección 12.1 del Arfken 6th edition
4. Paridad 17/23

26. Paridad
Algunos de estos resultados son casos especiales de la propiedad de
paridad de los polinomios de Legendre. De las ecuaciones siguientes
que encontramos en la sección 12.1 del Arfken 6th edition
g(t, x) =
(
1 − 2x + t2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
, |t| < 1 (26)
Pn(x) =
[n/2]
∑
n=0
(−1)k (2n − 2k)!
2nk!(n − k)!(n − 2k)!
xn−2k
(27)
4. Paridad 17/23

27. g(t, x) = g(−t, −x) =
(
1 − 2(−t)(−x) + (−t)2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(−x)(−t)n
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
(28)
Comparando estas dos series se obtiene,
Pn(−x) = (−1)n
Pn(x) (29)
4. Paridad 18/23

28. Pn(−x) = (−1)n
Pn(x) (29)
eso es, los polinomios son pares o impares segun si el índice n es par
o impar. Esto es la paridad, propiedad que juega un rol muy
importante en la mécanica cuántica. Para fuerzas centrales el índice n
es una medida del momento angular orbital.
Esta propiedad de paridad es confirmada por la solución en serie y
por los valores especiales tabulados en el cuadro (1). También (29)
puede ser obtenida mediante inspeccionar con (5), la relación de
recurrencia. Especialmente, si Pn−1(x) y xPn(x) son par, entonces
Pn+1(x) debe ser par.
4. Paridad 19/23

29. Límites superior e inferior para Pn(cosθ)
Finalmente, tenemos
(
1 − 2tcosθ + t2
)−1/2
=
(
1 − teiθ
)−1/2 (
1 − te−iθ
)−1/2
=
(
1 +
1
2
teiθ
+
3
8
t2
e2iθ
+ · · ·
)
·
(
1 +
1
2
te−iθ
+
3
8
t2
e−2iθ
+ · · ·
)
(30)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 20/23

30. con todos los coeficientes positivos, Nuestro Polinomio de Legendre,
Pn(cosθ), hasta el coeficiente de tn, puede ser escrito como una
sumatoria de términos de la forma
1
2
am
(
eimθ
+ e−imθ
)
= amcos(mθ) (31)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 21/23

31. con todos los coeficientes positivos, Nuestro Polinomio de Legendre,
Pn(cosθ), hasta el coeficiente de tn, puede ser escrito como una
sumatoria de términos de la forma
1
2
am
(
eimθ
+ e−imθ
)
= amcos(mθ) (31)
con todos los am positivos y m y n ambos par o impar
Pn(cosθ) =
n∑
m=0 o 1
amcos(mθ) (32)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 21/23

32. Pn(cosθ) =
n∑
m=0 o 1
amcos(mθ) (32)
Esta serie es claramente un máximo cuando θ = 0 y cos(mθ) = 1.
Pero para x = cosθ = 1, (20) muestra que Pn(1) = 1. Por lo tanto
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 22/23

33. Pn(cosθ) =
n∑
m=0 o 1
amcos(mθ) (32)
Esta serie es claramente un máximo cuando θ = 0 y cos(mθ) = 1.
Pero para x = cosθ = 1, (20) muestra que Pn(1) = 1. Por lo tanto
|Pn(cosθ)| ≤ Pn(1) = 1 (33)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 22/23

34. ◦ En esta sección varias propiedades útiles de los polinomios de
Legendre fueron encontradas a partir de la función generadora.
g(t, x) =
(
1 − 2x + t2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
, |t| < 1 (1)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 23/23

35. ◦ En esta sección varias propiedades útiles de los polinomios de
Legendre fueron encontradas a partir de la función generadora.
g(t, x) =
(
1 − 2x + t2
)−1/2
=
∞∑
n=0
Pn(x)tn
, |t| < 1 (1)
◦ La representación explícita en serie ofrece una aproximación
alternativa y algunas veces superior
Pn(x) =
[n/2]
∑
n=0
(−1)k (2n − 2k)!
2nk!(n − k)!(n − 2k)!
xn−2k
(27)
5. Límites superior e inferior para Pn(cosθ) 23/23