Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar las raíces de ecuaciones no lineales, incluyendo el método gráfico, bisección, falsa posición, punto fijo, Newton-Raphson y secante. Explica que la mayoría de estos métodos trabajan de forma iterativa mejorando sucesivamente las aproximaciones a la raíz mediante reglas de cálculo hasta alcanzar la precisión deseada. Luego profundiza en los detalles de cada método.

1. RAÍCES DE ECUACIONES MÓNICA YAMILE CAMACHO 2010

2. RAÍCES DE ECUACIONES CONTENIDO Definición Métodos para la aproximación de soluciones 1. Método grafico 2. Cerrado o acotado : a) Bisección b) Falsa Posición 3. Abierto: c) Secante d) Newton-Raphson e) Punto Fijo

3. RAÍCES DE ECUACIONES DEFINICIÓN El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple: f ( x ) = 0 Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc...

4. RAÍCES DE ECUACIONES Para resolver ecuaciones no lineales existen varios métodos numéricos que los podemos clasificar así: Método grafico Cerrado o acotado: (requiere de dos valores de x que encierren la raíz) Bisección Falsa posición Abierto: ( requiere de uno o dos valores de x, pero no necesariamente encierran la raíz) Punto fijo Newton-Raphson Secante

5. RAÍCES DE ECUACIONES La mayoría de los métodos utilizados para el cálculo de las raíces de una ecuación son iterativos y se basan en modelos de aproximaciones sucesivas. Estos métodos trabajan del siguiente modo: a partir de una primera aproximación al valor de la raíz, determinamos una aproximación mejor aplicando una determinada regla de cálculo y así sucesivamente hasta que se determine el valor de la raíz con el grado de aproximación deseado.

6. MÉTODO GRAFICO Consiste en graficar una función y determinar visualmente donde corta el eje x. En y= f(x), establece el valor de x para el cual f(x)=0. x 1. Si en un intervalo {a,b} cerrado se cumple que : no existen raíces reales en el intervalo, pues y=f(x) no toca el eje x, por el contrario pueden encontrarse una o más raíces imaginarias. f(a).f(b)>0 f(x) a b

7. MÉTODO GRAFICO 2. Si en un intervalo {a,b} cerrado se cumple que : Entonces existen dos raíces reales f(a).f(b)>0 f(x) a b x

8. MÉTODO GRAFICO 3. Si en un intervalo {a,b} cerrado se cumple que : da la certeza de encontrar una sola raíz real en el intervalo. f(a).f(b)<0 x f(x) a b

9. MÉTODO GRAFICO 4. Si en un intervalo {a,b} cerrado se cumple que : hay más de dos raíces. f(a).f(b)<0 f(x) a b x

10. MÉTODO GRAFICO 5. También puede existir una función , para la que existe una raíz real doble en x=0 , que no es apreciable por el método gráfico, pues la ecuación es tangente al eje x . f(x) a b x

11. MÉTODO DE BISECCIÓN Este método, también conocido como método de partición del intervalo, parte de una ecuación algebraica o trascendental f ( x ) y un intervalo [ x i, x s], tal que f ( x i) y f ( x s) tienen signos contrarios, es decir, tal que existe por lo menos una raíz en ese intervalo.

12. MÉTODO DE BISECCIÓN El método consiste en considerar un intervalo (xi,xs) en el que se garantice que la función tiene raíz. El segmento se bisecta, tomando el punto de bisección xr como aproximación de la raíz. se identifica luego en cual de los dos intervalos esta la raíz. Si: f(xi).f(xr)<0 la raiz esta en el intervalo {xi,xr} y xs=xr Si: f(xr).f(xs)<0 la raiz esta en el intervalo {xr,xs} y xi=xr el proceso se repite n veces, hasta que el punto de bisección xr coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

13. MÉTODO DE BISECCIÓN f(x) f(xi) f(xr) f(xs) xi xr xs xi=xr x

14. MÉTODO DE BISECCIÓN El método de bisección se puede frenar: con el numero máximo de iteraciones cuando se alcanza el % de error xi xs Para estimar el numero máximo de iteraciones tenemos Donde: ∆x = longitud del intervalo n= numero de iteraciones error

15. MÉTODO DE BISECCIÓN Cuando se alcanza el %E Alcanza la tolerancia exigida. Alcanza el error relativo porcentual verdadero.

16. MÉTODO DE BISECCIÓN Ventajas: Siempre converge. Útil como aproximación inicial de otros métodos. Desventajas: No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la función en las aproximaciones calculadas xn , solo tiene en cuenta el signo de f ( x ), lo que hace que una aproximación intermedia, mejor que la respuesta final, pase desapercibida. Convergencia lenta.

17. MÉTODO DE BISECCIÓN Ejemplo: Calcule la raíz de: 3X 0,00125541 1,7252E-07 -1,1992E-07 -0,00106276 -0,00016234 0,0007387 0,35048828 0,35004883 0,34960938 11 0,00250766 3,0414E-06 -7,8506E-07 -0,00286179 -0,00106276 0,0007387 0,35136719 0,35048828 0,34960938 10 0,00500278 1,8466E-05 -2,114E-06 -0,00645259 -0,00286179 0,0007387 0,353125 0,35136719 0,34960938 9 0,01005587 -4,7665E-06 5,8866E-06 -0,00645259 0,0007387 0,00796895 0,353125 0,34960938 0,34609375 8 0,02031603 -5,142E-05 0,00017968 -0,00645259 0,00796895 0,02254804 0,353125 0,34609375 0,3390625 7 0,04147465 -0,00014549 0,00117684 -0,00645259 0,02254804 0,05219235 0,353125 0,3390625 0,325 6 0,07964602 0,00040411 -0,00033678 -0,06262805 -0,00645259 0,05219235 0,38125 0,353125 0,325 5 0,14754098 0,01054366 -0,00326871 -0,16835365 -0,06262805 0,05219235 0,4375 0,38125 0,325 4 0,25714286 0,0602622 -0,00878677 -0,35795009 -0,16835365 0,05219235 0,55 0,4375 0,325 3 0,69230769 -0,01868226 0,03344581 -0,35795009 0,05219235 0,64081822 0,55 0,325 0,1 2 0,34012881 -0,22938094 -0,95021293 -0,35795009 0,64081822 1 0,55 0,1 1 error f(xr)f(xs) f(xi)f(xr) f(xs) f(xr) f(xi) xs xr xi iter

18. FALSA POSICIÓN Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f ( x ) = 0, es decir, dos puntos x i y x s tales que f ( x i) f ( x s) < 0. La siguiente aproximación, x r, se calcula como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos empleando la ecuación La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [ x i, x r] y [ x r, x s], se toma aquel que cumpla f ( xi ) f ( x r) < 0 ; f ( xr ) f ( x s) < 0.

19. FALSA POSICIÓN Raíz falsa Raíz verdadera xi xr xs f(x)

20. FALSA POSICIÓN Ejemplo: Calcule la raíz de: 0,00813106 1,0663E-09 -9,3671E-06 -7,2949E-05 -1,4617E-05 0,64081822 0,35000522 0,34997676 0,1 7 0,04057728 2,6556E-08 -4,6747E-05 -0,00036404 -7,2949E-05 0,64081822 0,35014724 0,35000522 0,1 6 0,20245435 6,6109E-07 -0,00023328 -0,001816 -0,00036404 0,64081822 0,35085613 0,35014724 0,1 5 1,00905905 1,6424E-05 -0,00116373 -0,0090439 -0,001816 0,64081822 0,35439648 0,35085613 0,1 4 5,00381971 0,00040399 -0,0057955 -0,04466988 -0,0090439 0,64081822 0,37212984 0,35439648 0,1 3 24,2824855 0,0095052 -0,02862527 -0,2127876 -0,04466988 0,64081822 0,46249221 0,37212984 0,1 2 0,20219353 -0,13635817 -0,95021293 -0,2127876 0,64081822 1 0,46249221 0,1 1 error f(xs).f(xr) f(xi).f(xr) f(xs) f(xr) f(xi) xs xr xi iter 3X

21. MÉTODO DE PUNTO FIJO Usando el concepto de replantear la forma original del problema: Si Tal que Tal que

22. MÉTODO DE PUNTO FIJO Se pueden presentar cuatro situaciones al momento de buscar la raíz. 1. Que y solución monotónicamente convergente (mayor acercamiento a la raíz) f2(x) f1(x) f(x) x RAIZ xi

23. MÉTODO DE PUNTO FIJO 2. Que y solución oscilatoriamente convergente (mayor acercamiento de manera oscilatoria a la raíz) f2(x) f1(x) f(x) x RAIZ xi

24. MÉTODO DE PUNTO FIJO 3. Que y solución monotónicamente divergente (mayor alejamiento de la raíz) f2(x) f1(x) f(x) x RAIZ xi

25. MÉTODO DE PUNTO FIJO 4. Que y solución oscilatoriamente divergente (mayor alejamiento de manera oscilatoria de la raíz) f2(x) f1(x) f(x) x RAIZ xi

26. MÉTODO DE PUNTO FIJO 0,02098221 -2,5837E-09 3,8279E-05 -6,7496E-05 0,56711886 0,56718636 14 0,03700515 -8,0326E-09 -6,7496E-05 0,00011901 0,56718636 0,56706735 13 0,06522085 -2,4973E-08 0,00011901 -0,00020984 0,56706735 0,5672772 12 0,11508432 -7,7639E-08 -0,00020984 0,00036998 0,5672772 0,56690721 11 0,20265386 -2,4138E-07 0,00036998 -0,00065242 0,56690721 0,56755963 10 0,35814989 -7,504E-07 -0,00065242 0,00115018 0,56755963 0,56640945 9 0,62893408 -2,3333E-06 0,00115018 -0,00202859 0,56640945 0,56843805 8 1,11694386 -7,2524E-06 -0,00202859 0,0035751 0,56843805 0,56486295 7 1,94468884 -2,2556E-05 0,0035751 -0,0063092 0,56486295 0,57117215 6 3,50646443 -7,008E-05 -0,0063092 0,01110752 0,57117215 0,56006463 5 5,94509212 -0,00021813 0,01110752 -0,01963847 0,56006463 0,57970309 4 11,2412032 -0,00067682 -0,01963847 0,03446388 0,57970309 0,54523921 3 17,5639365 -0,00211234 0,03446388 -0,06129145 0,54523921 0,60653066 2 -0,00652942 -0,06129145 0,10653066 0,60653066 0,5 1 error f(xi).f(x(i+1) f(x(i+1) f(xi) x(i+1) xi iter Ejemplo: Calcule la raíz de:

27. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON Es uno de los métodos mas usados en la ingeniería, por llegar al resultado del problema de forma mas rápida. Se basa en trazar rectas tangentes que “toman la forma” de la función por medio de su primera derivada. Se usa la proyección de la recta tangente para encontrar el valor aproximado de la raíz.

28. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON f(x) f(xi) f(xi+1) Xi+1 xi RAIZ

29. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON Desventajas: Lenta convergencia debida a la naturaleza de una función en particular. Cuando un punto de inflexión, f’’ ( x ) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz. No existe un criterio general de convergencia. Tener un valor suficientemente cercano a la raíz. Apoyarse de herramientas gráficas. Conocimiento del problema físico. Evaluación de la derivada.

30. MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON Ejemplo: Calcule la raíz de: 3X 0,01570641 -1,9947E-05 0,34997936 -1,349989337 3,8473E-05 0,34995086 13 0,03028815 3,8473E-05 0,34995086 -1,34993163 -7,4199E-05 0,35000583 12 0,0584342 -7,4199E-05 0,35000583 -1,350042937 0,00014312 0,34989982 11 0,11263635 0,00014312 0,34989982 -1,349828292 -0,00027599 0,35010428 10 0,21748478 -0,00027599 0,35010428 -1,350242396 0,00053246 0,34970993 9 0,41855733 0,00053246 0,34970993 -1,34944416 -0,00102634 0,3504705 8 0,81064494 -0,00102634 0,3504705 -1,350985368 0,00198179 0,34900358 7 1,55100642 0,00198179 0,34900358 -1,348018973 -0,00381379 0,35183276 6 3,03839078 -0,00381379 0,35183276 -1,353763228 0,00738742 0,34637581 5 5,68922458 0,00738742 0,34637581 -1,342768431 -0,01413163 0,35690006 4 11,6372509 -0,01413163 0,35690006 -1,364297058 0,02770184 0,33659522 3 20,1630051 0,02770184 0,33659522 -1,323907616 -0,05185803 0,37576565 2 -0,05185803 0,37576565 -1,40656966 0,10656966 0,3 1 error f(xi+1) x(i+1) f``(xi) f(xi) xi iter

31. MÉTODO DE SECANTE Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

32. MÉTODO DE SECANTE El método se define por: Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

33. MÉTODO DE SECANTE X i-1 x i X i+1 f(xi-1) f(xi) A E B D C x

34. MÉTODO DE SECANTE 0,86518885 7,4283E-07 -1,0173E-05 -0,00777908 -9,5491E-05 0,10653066 0,57211161 0,56720422 0,5 3 74,7910687 7,4283E-07 -0,00082871 -9,5491E-05 -0,00777908 0,10653066 0,56720422 0,57211161 0,5 2 0,00491732 -0,06734022 -0,00777908 -0,63212056 0,10653066 0,57211161 1 0,5 1 error f(xi+1).f(xi) f(xi-1).f(xi) f(xi+1) f(xi) f(xi-1) x(i+1) xi x(i-1) iter Ejemplo: Calcule la raíz de:

35. BIBLIOGRAFÍA http://www.uv.es/diaz/mn/node17.html http://www.scribd.com/doc/15638680/Metodo-de-NewtonRaphson http://www.virtualum.edu.co/antiguo/metnum/raices/metgraf.htm http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=229 http://www.mitecnologico.com/Main/MetodoDeLaSecante SANTAFE, Elkin R. “Elementos básicos de modelamiento matemático”. Clases-Universidad Industrial de Santander Año-2009.

36. F i n