Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE DISEÑO GRAFICO
MATEMATICA I
Alumno: Yicel Abella
C.I: 24.201.822
Profesor: Domingo Méndez

2. • Aplicar derivada en el cálculo de velocidad y aceleración.
Las derivadas pueden usarse para calcular las razones de cambio instantáneo. La
razón de cambio de la posición respecto al tiempo es la velocidad y la razón de cambio
de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración. Usando estas ideas, nosotros
podremos analizar el movimiento unidimensional de una partícula dada su posición en
función del tiempo.
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto
(a, b) (o [a, ∞) o (-∞,a), (-∞,∞)) si es derivable en todo número del intervalo.
Entonces:
1. Velocidad:
Sea s =f (t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta
numérica. La velocidad (instantánea) del objeto en el instante t está dada por:
V (t)= = f ´(t)
La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido
positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo.
a. Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación
s= 3t2
-8t+7 donde s se mide en centímetros y t en segundos. Hallar la
velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5.
Solución:
Si la posición está dada por la función s= 3t2
-8t+7 , debemos derivar esta para
encontrar la velocidad en los tiempos indicados. Derivando:
S´= 6t-8
Ahora evaluamos en la ecuación de velocidad para t=1 y para t=5.
S´= 6(1)-8= -2 cm/seg.
S´= 6(5)-8= 22 cm/seg.
2. Aceleración: Sea s= f (t) la función posición de un objeto que se mueve a lo
largo de una recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el
instante t, está dada por:
a(t)= = f"
(t)

3. b. Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación
s= t3
-3t+1 Donde s se mide en metros y t en segundos. ¿En qué instante la
aceleración es cero? Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad
es cero.
Solución:
Si la posición está dada por la función s= t3
-3t+1 , debemos derivar esta para encontrar
la velocidad. Derivando:
S´=3 - 3.
Ahora derivamos la velocidad para encontrar la aceleración.
S´´=6t.
Teniendo ya las derivadas podemos responder, la aceleración es 0 si S´´=0, entonces la
aceleración es 0 si 6t=0, entonces t=0.
La velocidad será 0 si S´=0, entonces:
3 – 3=0, dividendo entre 3 obtenemos – 1=0, despejando t tenemos t= ±1.
• Funciones implícitas:
Una función está definida en forma implícita cuando no aparece
despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación
de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
• Derivadas de funciones implícitas:
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y.
Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y
teniendo presente que:
x'=1. En general y'≠1. Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para
facilitar el cálculo:

4. a. Ejemplo: encontrar la derivada implícita de:
Solución: Aplicando obtenemos:
• Derivadas de orden superior
La derivada de orden superior se conoce como la segunda derivada de la función,
es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x).
Es importante tener en cuenta:
De manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es
necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las características de la
función y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no
para todos los órdenes pese a que se puedan calcular con las formulas.
Las notaciones usuales utilizadas con mayor frecuencia para derivadas de
segundo orden son:
El orden de las derivadas, se pueden expresar de la siguiente manera:

5. a. Ejemplo: hallar la segunda y cuarta derivada de f (x)= sen (x).
Solución:
La primera derivada será: f´(x)= cos (x).
La segunda derivada será f (2)
(x)= -sen (x).
La tercera derivada será f (3)
(x)= -cos (x).
La cuarta derivada será f (4)
(x)= sen (x).
• Función creciente y decreciente.
Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar
en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no
resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la
gráfica de la función.
El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es
creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema
y la definición a continuación para resolver los ejercicios.
Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a, b). Luego,
i) Si f’(x) >0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), f es creciente en (a, b).
ii) Si f’(x) <0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), f es decreciente en (a, b).

6. iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a, b), f es constante en (a, b).
a. Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función f(x) = x3
− 3x + 2.
Solución:
Derivamos la función f(x) = x3
− 3x + 2. Entonces:
f´(x)= 3x2
−3.
Calculamos las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
f´(x)= 0= 3x2
−3=0, esto se cumple si x= ±1.
Se forman intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y
los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
Se toma un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la
derivada primera. Del teorema sabemos que:
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2
−3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2
−3 < 0
Del intervalo (1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f ' (2) = 3(2)2
−3 > 0.
Crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞) Decrecimiento: (−1,1).

7. • Criterio de la primera derivada para determinar los
máximos y los mínimos de una función:
En el siguiente teorema se establece cómo determinar los valores máximos y los valores
mínimos de una función, al estudiar los intervalos en que crece o decrece la función.
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que es derivable en
todo punto del intervalo abierto (a, b).
Sea c en (a, b) tal que f´(c) = 0 o f´(c) no existe.
Si f´(x) es positiva para todo x c˂ , y negativa para todo x c˃ , entonces f (c) es
un valor máximo relativo de f (x).
Si f´(x) es negativa para toda x c˂ , y positiva para toda x c˃ , entonces f (c) es
un mínimo relativo de f (x).
Si f´(x) es positiva para todo x c˂ y también lo es para todo x c˃ ; o si f´(x) es
negativa para todo x c˂ y a su vez para todo x c˃ , entonces f (c) no es un valor
máximo relativo ni un valor mínimo relativo de f (x).
Las situaciones enunciadas en a, b y c. pueden representarse gráficamente como sigue:
Máximo relativo en

8. Mínimo relativo en
En no hay ni máximo ni mínimo relativo.
a. Ejemplos determinaremos los valores extremos de una función cuya
ecuación se da.
Solución: Para ello, se calcula la primera derivada de la función, luego se determinan
los valores críticos y por último se aplica el teorema anterior.
F (x) = 4x - Note que f está definida para x € R.

9. Como f´(x) = 4- x2
entonces f´(x) = 0 si y solo si x=2, ó X= -2. Por lo tanto estos serán
los valores críticos de la función dada.
Determinemos ahora cuándo f´(x) 0˃ y cuándo f´(x) 0˂ .
Como f´(x) = 4- x2
= (2 – x) (2 + x), se deben resolver las desigualdades
(2 – x) (2+ x) 0 y (2 – x) (2+ x) 0˃ ˂
Nos ayudamos con la tabla siguiente:
Como f´(x) 0˂ para x € (-α; 2 ) y f´(x) 0˃ para x € (-2; 2) entonces f (-2) es un valor
mínimo.
Como f´(x) 0˃ para x € (-2; 2) y f´(x) 0˂ para x € (2; +α ) entonces f (2) es un valor
máximo.
La representación gráfica de la función es la siguiente:

10. Note que es un mínimo relativo y que es un máximo
relativo, en el dominio de la función.
• Criterio de concavidad y convexidad (Criterio de la segunda
derivada)
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña
forma cóncava.
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une
los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que
une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
Expliquemos los Intervalos de concavidad y convexidad detalladamente con un
ejemplo, Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:

11. f(x) = x3
− 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1) Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x entonces 6x = 0 si x = 0.
2) Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada
segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3) Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la
derivada segunda.
Si f''(x) > 0 es convexa.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava.
Del intervalo (0, ∞) tomamos x = 1, por ejemplo.
f''(1) = 6 (1) > 0 Convexa.
4) Escribimos los intervalos:

12. Convexidad: (0, ∞)
Concavidad: (−∞, 0).
• Regla de L'Hôpital.
Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a y
existe , entonces este límite coincide con .
Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma
Donde a puede ser un número o infinito, y aparecer las indeterminaciones:
a) Indeterminación infinito menos infinito
En la indeterminación infinito menos infinito, si son fracciones, se ponen a común
denominador.

13. b) Indeterminación cero por infinito
La indeterminación cero por infinito, se transforma del siguiente modo:
Indeterminaciones
En las indeterminaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a
infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones: