Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos. Explica que los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos complejos mediante cálculos aproximados usando operaciones aritméticas simples. También describe algunos tipos de métodos numéricos como cálculo de derivadas e integrales y resalta la importancia de los métodos numéricos para resolver problemas de ingeniería, ciencias y administración usando computadoras.
Los métodos numéricos son herramientas poderosas para resolver problemas complejos en ingeniería mediante el uso de sistemas de ecuaciones grandes y geometrías no lineales. Aunque existe software comercial con métodos numéricos, entender la teoría subyacente permite diseñar programas propios para problemas específicos y controlar mejor los errores de aproximación inherentes a los cálculos numéricos a gran escala.
Este documento describe el método de bisección para encontrar raíces de una función. Explica que el método de bisección itera entre un intervalo inicial [a,b] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos, calcula un punto medio x=(a+b)/2, y reemplaza el límite superior o inferior dependiendo del signo de f(x). El proceso se repite hasta que el error relativo aproximado caiga por debajo de un umbral predeterminado. El método converge lentamente pero de manera segura a una raíz.
Este documento describe y compara dos métodos para encontrar las raíces de una ecuación: el método del punto fijo y el método de la regla falsa. Explica cómo funciona cada método a través de fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos. Señala que el método del punto fijo converge cuando la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de la regla falsa puede converger más rápido al localizar la raíz en un intervalo más pequeño entre iteraciones.
La teoría de grafos tiene sus orígenes en el trabajo de Leonard Euler en el siglo 18 para resolver el problema de los puentes de Konigsberg. Fue en 1936 cuando se publicó el primer texto que desarrolló la teoría de grafos como una teoría madura. Un grafo se define como euleriano si contiene un circuito euleriano, es decir, un camino euleriano cerrado que incluye todas las aristas.
Los métodos iterativos se utilizan para resolver problemas que involucran un gran número de variables mediante aproximaciones sucesivas a la solución. Para sistemas lineales, los principales métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los métodos del subespacio de Krylov como el método del gradiente conjugado. Estos métodos forman una base ortogonal y convergen en un número finito de iteraciones, aunque en la práctica suelen alcanzar precisión suficiente antes debido a errores numéricos.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
Los métodos numéricos son herramientas poderosas para resolver problemas complejos en ingeniería mediante el uso de sistemas de ecuaciones grandes y geometrías no lineales. Aunque existe software comercial con métodos numéricos, entender la teoría subyacente permite diseñar programas propios para problemas específicos y controlar mejor los errores de aproximación inherentes a los cálculos numéricos a gran escala.
Este documento describe el método de bisección para encontrar raíces de una función. Explica que el método de bisección itera entre un intervalo inicial [a,b] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos, calcula un punto medio x=(a+b)/2, y reemplaza el límite superior o inferior dependiendo del signo de f(x). El proceso se repite hasta que el error relativo aproximado caiga por debajo de un umbral predeterminado. El método converge lentamente pero de manera segura a una raíz.
Este documento describe y compara dos métodos para encontrar las raíces de una ecuación: el método del punto fijo y el método de la regla falsa. Explica cómo funciona cada método a través de fórmulas matemáticas y ejemplos numéricos. Señala que el método del punto fijo converge cuando la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de la regla falsa puede converger más rápido al localizar la raíz en un intervalo más pequeño entre iteraciones.
La teoría de grafos tiene sus orígenes en el trabajo de Leonard Euler en el siglo 18 para resolver el problema de los puentes de Konigsberg. Fue en 1936 cuando se publicó el primer texto que desarrolló la teoría de grafos como una teoría madura. Un grafo se define como euleriano si contiene un circuito euleriano, es decir, un camino euleriano cerrado que incluye todas las aristas.
Los métodos iterativos se utilizan para resolver problemas que involucran un gran número de variables mediante aproximaciones sucesivas a la solución. Para sistemas lineales, los principales métodos iterativos son los métodos iterativos estacionarios y los métodos del subespacio de Krylov como el método del gradiente conjugado. Estos métodos forman una base ortogonal y convergen en un número finito de iteraciones, aunque en la práctica suelen alcanzar precisión suficiente antes debido a errores numéricos.
Método numéricos para diferenciación e integración.Javier Maita
Este documento resume diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas y integrales, incluyendo diferenciación numérica, integración numérica, y métodos como diferencias divididas finitas, regla del trapecio y regla de Simpson. Explica cómo estas técnicas usan valores discretos de una función para estimar su comportamiento continuo y derivadas.
1.1 medición aproximada de figuras amorfasmoises1014
Este documento describe cómo aproximar el área de figuras amorfas o irregulares dividiéndolas en franjas rectangulares. Explica que cuanto más se divida la figura en franjas, más precisa será la aproximación del área total. Luego, usa como ejemplo estimar el área bajo la parábola y=x2 entre 0 y 1 dividiéndola en 4 franjas iguales y sumando el área de cada rectángulo para obtener un valor aproximado entre 0.21875 y 0.46875 unidades cuadradas.
Este documento describe los diferentes tipos de errores numéricos, incluyendo errores inherentes, de redondeo y por truncamiento. Define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado, y el error relativo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero. Explica cómo estimar los errores cuando no se conoce el valor verdadero.
El documento describe el problema de la ruta más corta, el cual busca determinar el camino entre un nodo origen y uno destino que minimice la distancia total. Explica que se resuelve usando el algoritmo de etiquetado y provee ejemplos para ilustrar cómo encontrar la ruta mínima en una red entre dos puntos. También discute la importancia de este problema y sus múltiples aplicaciones prácticas, como determinar la ruta más eficiente entre dos lugares en un mapa.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Métodos de resolución metodo de gauss jordanalgebra
El método de Gauss-Jordan es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida o una matriz identidad a través de operaciones elementales de filas y columnas. Esto permite encontrar directamente las soluciones de cada incógnita sin necesidad de sustitución hacia atrás. El método se aplica realizando operaciones que generan un patrón de unos con ceros debajo y a la izquierda para cada fila.
Este documento presenta la historia y los métodos para calcular la longitud de un arco de curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares de curvas, aunque se usaron métodos aproximados. Luego introduce la fórmula general para calcular la longitud de arco, la cual involucra derivar la función de la curva e integrar entre los límites del intervalo. Finalmente, muestra un ejemplo de aplicar esta fórmula para hallar la longitud de arco de una curva dada.
El documento describe diferentes tipos de grafos y sus características. Explica que un grafo es una estructura de datos que almacena vértices y aristas, y que los grafos pueden ser dirigidos o no dirigidos. También define términos como grafo completo, grafo con aristas múltiples, matriz de adyacencia, lista de adyacencia, y algoritmos como el recorrido en profundidad y anchura para explorar grafos.
Este documento describe varios métodos para calcular derivadas e integrales numéricamente. Explica brevemente los conceptos de derivadas, integrales y métodos como la integración de Romberg, la regla de Simpson y la cuadratura de Gauss-Legendre. Luego presenta ejercicios resueltos aplicando estos métodos a problemas matemáticos.
Este documento introduce la programación no lineal, que busca puntos óptimos para funciones objetivo y restricciones no lineales. Explica que la programación no lineal incluye problemas con funciones objetivo cóncavas o convexas, y diferentes tipos como programación cuadrática, convexa, no convexa, fraccional y de complementariedad. Además, señala que para problemas no lineales no existe un solo algoritmo de resolución como el método simplex en programación lineal.
Este documento introduce los métodos numéricos y explica su objetivo de encontrar soluciones aproximadas a problemas matemáticos complejos mediante cálculos aritméticos. Define un método numérico como un algoritmo que especifica operaciones para aproximar soluciones. Además, describe métodos numéricos comunes como interpolación, resolución de ecuaciones y diferenciación/integración numérica, los cuales son útiles en diversas áreas de ingeniería.
El documento describe la historia de la demostración del Último Teorema de Fermat, que establece que no existen números enteros positivos x, y, z que satisfagan la ecuación x^n + y^n = z^n para cualquier número entero n mayor que 2. Explica que Fermat afirmó el teorema pero no lo probó, y que fue demostrado gradualmente para casos particulares por matemáticos como Euler, Germain y Dirichlet, hasta que finalmente Wiles lo probó completamente en 1995.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que representan la relación entre ellos. Da ejemplos de cómo los grafos pueden modelar sistemas como redes de aeropuertos o carreteras. Describe que los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices. También cubre conceptos como grafos dirigidos y multigrafos.
Este documento presenta información sobre integración. Explica conceptos como la integral de línea, integrales iteradas dobles y triples, y aplicaciones como el cálculo de áreas y volúmenes. También cubre temas como la descomposición y composición de vectores, y el uso de coordenadas polares para calcular integrales dobles.
Este documento describe el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. El método aproxima las derivadas parciales con expresiones algebraicas en puntos seleccionados de una retícula, reemplazando la ecuación diferencial con un sistema de ecuaciones algebraicas. Se usa para modelar flujo estable subterráneo, aproximando la ecuación de Laplace en nodos y satisfaciendo condiciones de frontera. El ejemplo muestra iteraciones para converger a la solución correcta.
El origen de los números imaginarios surge de la necesidad de resolver ecuaciones como x^2 = -1, que no tienen solución en los números reales. Los matemáticos crearon los números imaginarios, definidos como raíces cuadradas de números negativos, permitiendo resolver dichas ecuaciones. Los números imaginarios son fundamentales en física y matemáticas y tienen muchas aplicaciones importantes, especialmente en electrónica y electricidad.
Este informe presenta el concepto de gradiente y sus propiedades. El gradiente es un vector que indica la dirección de máxima variación para una propiedad escalar en un punto dado. El documento incluye ejemplos de cálculo del gradiente y su uso para determinar la ecuación de un plano tangente.
El documento explica los errores de truncamiento y la serie de Taylor. La serie de Taylor proporciona una forma de aproximar funciones mediante polinomios. Expresando una función como una serie de potencias de la distancia desde un punto, cada término adicional mejora la aproximación. El error de truncamiento depende del orden del último término y disminuye al agregar más términos, siempre que el incremento entre puntos sea pequeño.
Este documento proporciona una introducción a los métodos numéricos y la instalación de Python con Anaconda. Explica brevemente los métodos numéricos, diagramas de flujo y pseudocódigo. Luego detalla la instalación de Anaconda, el uso de Jupyter Notebook y las características de Python. El objetivo general es familiarizar a los estudiantes con los conceptos básicos necesarios para resolver problemas matemáticos numéricamente usando Python.
El documento presenta una introducción al análisis numérico y manejo de errores. Explica que el análisis numérico estudia algoritmos para resolver problemas matemáticos de forma aproximada usando computadoras. También describe los diferentes tipos de errores que surgen en cálculos numéricos y métodos para medir la precisión de resultados, como el error absoluto y relativo. Finalmente, provee ejemplos del cálculo de errores absolutos y relativos.
1.1 medición aproximada de figuras amorfasmoises1014
Este documento describe cómo aproximar el área de figuras amorfas o irregulares dividiéndolas en franjas rectangulares. Explica que cuanto más se divida la figura en franjas, más precisa será la aproximación del área total. Luego, usa como ejemplo estimar el área bajo la parábola y=x2 entre 0 y 1 dividiéndola en 4 franjas iguales y sumando el área de cada rectángulo para obtener un valor aproximado entre 0.21875 y 0.46875 unidades cuadradas.
Este documento describe los diferentes tipos de errores numéricos, incluyendo errores inherentes, de redondeo y por truncamiento. Define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado, y el error relativo como el error absoluto dividido entre el valor verdadero. Explica cómo estimar los errores cuando no se conoce el valor verdadero.
El documento describe el problema de la ruta más corta, el cual busca determinar el camino entre un nodo origen y uno destino que minimice la distancia total. Explica que se resuelve usando el algoritmo de etiquetado y provee ejemplos para ilustrar cómo encontrar la ruta mínima en una red entre dos puntos. También discute la importancia de este problema y sus múltiples aplicaciones prácticas, como determinar la ruta más eficiente entre dos lugares en un mapa.
Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.
Métodos de resolución metodo de gauss jordanalgebra
El método de Gauss-Jordan es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz aumentada en una matriz escalonada reducida o una matriz identidad a través de operaciones elementales de filas y columnas. Esto permite encontrar directamente las soluciones de cada incógnita sin necesidad de sustitución hacia atrás. El método se aplica realizando operaciones que generan un patrón de unos con ceros debajo y a la izquierda para cada fila.
Este documento presenta la historia y los métodos para calcular la longitud de un arco de curva. Explica que históricamente ha sido difícil determinar la longitud de segmentos irregulares de curvas, aunque se usaron métodos aproximados. Luego introduce la fórmula general para calcular la longitud de arco, la cual involucra derivar la función de la curva e integrar entre los límites del intervalo. Finalmente, muestra un ejemplo de aplicar esta fórmula para hallar la longitud de arco de una curva dada.
El documento describe diferentes tipos de grafos y sus características. Explica que un grafo es una estructura de datos que almacena vértices y aristas, y que los grafos pueden ser dirigidos o no dirigidos. También define términos como grafo completo, grafo con aristas múltiples, matriz de adyacencia, lista de adyacencia, y algoritmos como el recorrido en profundidad y anchura para explorar grafos.
Este documento describe varios métodos para calcular derivadas e integrales numéricamente. Explica brevemente los conceptos de derivadas, integrales y métodos como la integración de Romberg, la regla de Simpson y la cuadratura de Gauss-Legendre. Luego presenta ejercicios resueltos aplicando estos métodos a problemas matemáticos.
Este documento introduce la programación no lineal, que busca puntos óptimos para funciones objetivo y restricciones no lineales. Explica que la programación no lineal incluye problemas con funciones objetivo cóncavas o convexas, y diferentes tipos como programación cuadrática, convexa, no convexa, fraccional y de complementariedad. Además, señala que para problemas no lineales no existe un solo algoritmo de resolución como el método simplex en programación lineal.
Este documento introduce los métodos numéricos y explica su objetivo de encontrar soluciones aproximadas a problemas matemáticos complejos mediante cálculos aritméticos. Define un método numérico como un algoritmo que especifica operaciones para aproximar soluciones. Además, describe métodos numéricos comunes como interpolación, resolución de ecuaciones y diferenciación/integración numérica, los cuales son útiles en diversas áreas de ingeniería.
El documento describe la historia de la demostración del Último Teorema de Fermat, que establece que no existen números enteros positivos x, y, z que satisfagan la ecuación x^n + y^n = z^n para cualquier número entero n mayor que 2. Explica que Fermat afirmó el teorema pero no lo probó, y que fue demostrado gradualmente para casos particulares por matemáticos como Euler, Germain y Dirichlet, hasta que finalmente Wiles lo probó completamente en 1995.
Este documento introduce la teoría de grafos. Explica que un grafo consiste en un conjunto de vértices y aristas que representan la relación entre ellos. Da ejemplos de cómo los grafos pueden modelar sistemas como redes de aeropuertos o carreteras. Describe que los vértices se representan como puntos y las aristas como líneas entre vértices. También cubre conceptos como grafos dirigidos y multigrafos.
Este documento presenta información sobre integración. Explica conceptos como la integral de línea, integrales iteradas dobles y triples, y aplicaciones como el cálculo de áreas y volúmenes. También cubre temas como la descomposición y composición de vectores, y el uso de coordenadas polares para calcular integrales dobles.
Este documento describe el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. El método aproxima las derivadas parciales con expresiones algebraicas en puntos seleccionados de una retícula, reemplazando la ecuación diferencial con un sistema de ecuaciones algebraicas. Se usa para modelar flujo estable subterráneo, aproximando la ecuación de Laplace en nodos y satisfaciendo condiciones de frontera. El ejemplo muestra iteraciones para converger a la solución correcta.
El origen de los números imaginarios surge de la necesidad de resolver ecuaciones como x^2 = -1, que no tienen solución en los números reales. Los matemáticos crearon los números imaginarios, definidos como raíces cuadradas de números negativos, permitiendo resolver dichas ecuaciones. Los números imaginarios son fundamentales en física y matemáticas y tienen muchas aplicaciones importantes, especialmente en electrónica y electricidad.
Este informe presenta el concepto de gradiente y sus propiedades. El gradiente es un vector que indica la dirección de máxima variación para una propiedad escalar en un punto dado. El documento incluye ejemplos de cálculo del gradiente y su uso para determinar la ecuación de un plano tangente.
El documento explica los errores de truncamiento y la serie de Taylor. La serie de Taylor proporciona una forma de aproximar funciones mediante polinomios. Expresando una función como una serie de potencias de la distancia desde un punto, cada término adicional mejora la aproximación. El error de truncamiento depende del orden del último término y disminuye al agregar más términos, siempre que el incremento entre puntos sea pequeño.
Este documento proporciona una introducción a los métodos numéricos y la instalación de Python con Anaconda. Explica brevemente los métodos numéricos, diagramas de flujo y pseudocódigo. Luego detalla la instalación de Anaconda, el uso de Jupyter Notebook y las características de Python. El objetivo general es familiarizar a los estudiantes con los conceptos básicos necesarios para resolver problemas matemáticos numéricamente usando Python.
El documento presenta una introducción al análisis numérico y manejo de errores. Explica que el análisis numérico estudia algoritmos para resolver problemas matemáticos de forma aproximada usando computadoras. También describe los diferentes tipos de errores que surgen en cálculos numéricos y métodos para medir la precisión de resultados, como el error absoluto y relativo. Finalmente, provee ejemplos del cálculo de errores absolutos y relativos.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos del análisis numérico, incluyendo la definición de análisis numérico, la importancia de los métodos numéricos, los diferentes tipos de errores como el error absoluto y el error relativo, y las fuentes comunes de errores como el error de redondeo y truncamiento. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con estas ideas fundamentales para comprender mejor los cálculos numéricos y la solución de problemas de ingeniería.
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos y el análisis numérico. Define los métodos numéricos como técnicas que permiten formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas. Explica que el análisis numérico estudia los errores en los cálculos numéricos y cómo diseñar algoritmos para aproximar funciones y valores. Además, destaca la importancia de los métodos numéricos para resolver problemas de ingeniería y ciencias usando computadoras.
Este documento presenta información sobre análisis numérico y métodos numéricos. Explica que el análisis numérico estudia los errores en cálculos y la aproximación de funciones y valores. También describe que los métodos numéricos son técnicas para resolver problemas matemáticos usando operaciones aritméticas. Finalmente, discute conceptos como cifras significativas, exactitud, precisión y errores que son importantes para entender en el estudio de métodos numéricos.
Las ecuaciones de diferencias son fundamentales en el análisis y la resolución de problemas en ingeniería, ya que permiten modelar situaciones en las que el cambio es discreto en lugar de continuo, lo cual es común en sistemas computacionales donde se manipulan datos de forma discreta. En el contexto de análisis numérico, estas ecuaciones son esenciales para la aproximación y la resolución de problemas prácticos, como la simulación de sistemas dinámicos y la optimización de algoritmos.
Las ecuaciones de diferencias son una herramienta poderosa en la modelización de fenómenos discretos, y su aplicación en la ingeniería en sistemas computacionales es diversa y trascendental. Desde la predicción del comportamiento de sistemas hasta la optimización de algoritmos, el entendimiento y la aplicación de las ecuaciones de diferencias son esenciales para el desarrollo y la mejora de sistemas computacionales en un amplio rango de aplicaciones.
El análisis numérico es una disciplina que se ocupa de los métodos para realizar cálculos numéricos. A medida que la computación se vuelve ubicua en diversas áreas, es crucial comprender los errores que pueden surgir al realizar cálculos numéricos. Estos errores pueden tener un impacto significativo en los resultados de los cálculos y, por lo tanto, es fundamental estudiarlos y minimizar su efecto.
Computación ubicua término creado por Mark Weiser a finales de la década de los 80, afirmando que la tecnología se debe adaptar a los humanos y no vernos obligados a adaptarnos a esta; para ello se usan los sistemas de información como base, logrando el acceso a la información las 24/7 por medio de diversos dispositivos intuitivos que ofrecen a los usuarios confiabilidad y tranquilidad.
La computación ubicua se soporta en sistemas operativos, protocolos de comunicación, interfaces de usuarios, redes, microprocesadores, sensores, internet, entre otros; en la actualidad contamos con entornos cada vez más inteligentes, siempre conectados a sistemas con la capacidad de interactuar de forma natural con los humanos, generando a su vez un aprendizaje con el cual podrán mejorar su capacidad de adaptarse al entorno, con el fin de no ser percibidos como objetos diferenciados.
El documento trata sobre el análisis numérico y los métodos numéricos. Explica que el análisis numérico involucra procedimientos aritméticos para resolver problemas tomando en cuenta las limitaciones de los instrumentos de cálculo como calculadoras y computadoras. También describe algunas aplicaciones comunes de los métodos numéricos como la resolución de ecuaciones, interpolación de funciones y obtención de integrales. Finalmente, explica que los métodos numéricos siempre producen aproximaciones debido a errores inevitables en los cálculos.
Este documento describe los métodos numéricos y su importancia. Explica que los métodos numéricos permiten encontrar soluciones aproximadas a problemas matemáticos que no pueden resolverse de forma analítica o cuyas soluciones analíticas son demasiado complejas. También señala que los métodos numéricos usan algoritmos y cálculos aritméticos para aproximar soluciones y que son ampliamente utilizados en ingeniería, ciencias y otras áreas.
Este documento presenta información sobre varios temas relacionados con métodos numéricos en la unidad 5 y 6 de una clase de ingeniería mecánica. Explica conceptos como derivación numérica, integración numérica, errores numéricos, ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones de métodos numéricos. Además, describe brevemente algunos métodos específicos como el método del trapecio, métodos de Simpson y métodos para resolver ecuaciones diferenciales.
Este documento trata sobre análisis numéricos y métodos numéricos. Brevemente discute que el análisis numérico estudia los errores en cálculos y cómo aproximar valores mediante algoritmos. Luego describe que los métodos numéricos permiten resolver problemas matemáticos usando operaciones aritméticas y que hay diferentes tipos de métodos. Finalmente, explica que los métodos numéricos son útiles para resolver sistemas de ecuaciones complejos comunes en ingeniería.
Este documento define los métodos numéricos como técnicas que permiten formular problemas matemáticos de manera que puedan resolverse mediante cálculos aritméticos, dando soluciones aproximadas. Explica que los métodos numéricos son importantes porque buscan soluciones aproximadas con la precisión requerida, y no soluciones exactas. También señala que el desarrollo de la computación ha permitido reducir el tiempo para obtener soluciones, aunque los métodos numéricos existían desde hace miles de años.
El documento habla sobre la importancia de utilizar métodos numéricos en ingeniería. Explica conceptos como precisión, exactitud e incertidumbre relacionados a los métodos numéricos. También describe algunos métodos numéricos como cálculo de derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales y operaciones con matrices. Finalmente, destaca que los métodos numéricos permiten resolver problemas complejos en ingeniería utilizando solo operaciones aritméticas básicas.
Este documento resume conceptos clave del análisis numérico y tratamiento de errores. Define el análisis numérico como el uso de algoritmos iterativos para obtener soluciones numéricas a problemas matemáticos. Explica que los errores surgen de la diferencia entre resultados experimentales y de modelos matemáticos. Clasifica los errores en inherentes al modelo o del método, y describe cómo se cuantifican y propagan los errores.
El documento trata sobre el análisis numérico y el manejo del error. Explica que el análisis numérico consiste en procedimientos para resolver problemas utilizando cálculos aritméticos con ayuda de computadoras. Es importante porque permite resolver problemas del mundo real que de otra forma no tendrían solución analítica. El análisis numérico siempre produce soluciones numéricas aproximadas que pueden hacerse tan exactas como se desee mediante más operaciones. El documento también discute los diferentes tipos de errores que surgen en los cálculos
Investigación Análisis Numérico - Alex PérezAlex Perez
Este documento resume los conceptos fundamentales del análisis numérico, incluyendo la definición de cálculos numéricos, su importancia con la llegada de las computadoras, los objetivos de aproximar soluciones a problemas matemáticos complejos usando operaciones simples, y las fuentes básicas de errores como el truncamiento y redondeo.
El documento trata sobre el análisis numérico y los errores en los cálculos numéricos. Explica que el análisis numérico diseña algoritmos para simular procesos matemáticos complejos usando números y operaciones simples. También describe dos tipos principales de errores en los cálculos numéricos: el error de truncamiento debido a los métodos numéricos aproximados, y el error de redondeo causado por la imprecisión en la representación de números en computadoras. Finalmente, enfatiza la importancia de entender cómo se produ
Este documento trata sobre el análisis numérico y el manejo de errores. Explica que el análisis numérico permite simular procesos matemáticos complejos mediante algoritmos y números simples. También describe diferentes tipos de errores como el error absoluto, el error relativo y el error de redondeo, y cómo estos errores se generan y propagan durante los cálculos numéricos.
El documento contiene información sobre varios temas relacionados con el análisis numérico y los métodos numéricos, incluyendo la definición de análisis numérico, los tipos de errores que ocurren en cálculos numéricos como el error absoluto y el error relativo, y conceptos como la estabilidad e inestabilidad de problemas matemáticos.
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “RÓMULO GALLEGOS”
ÁREA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
SAN JUAN DE LOS MORROS
MÉTODOS NUMÉRICOS
FACILITADOR:
BACHILLERES:
Eduard del Corral
Adriana Roa. C.I. 17.063.477
Alexander Celas. C.I. 17.578.932
Octubre, 2013
2. Métodos numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten
una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de
tediosos cálculos aritméticos.
El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas
complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se
requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la
aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales,
Operaciones con matrices.
Por su parte, STEVEN (1987) señala que los métodos numéricos son
técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean
resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos
numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen
número de tediosos cálculos aritméticos.
Sin embargo, NAKAMURA (1992) los métodos numéricos nos vuelven
aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas
matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas
numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar
correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta
nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia
matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.
3. Los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas
comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras
electrónicas.
En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se
requieren los pasos siguientes.
Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar
perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen
y los resultados deseados.
Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también
algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el
problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora.
Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o
algoritmo de solución expresándole como una serie detallada de
operaciones.
Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los
errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de
prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos.
Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de
manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa.
Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de
entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes.
Importancia de los métodos numéricos
La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante
modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más
profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada
es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas
4. más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente,
no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:
No se adecúan al modelo concreto.
Su aplicación resulta excesivamente compleja.
La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier
interpretación posterior.
Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar
soluciones al problema.
En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor
de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son
siempre numéricos. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de
estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de
computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la
informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las
técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos
Cifras significativas
Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que
pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos
implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se
debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los
resultados obtenidos.
2. Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden
expresar exactamente con un número finito de cifras.
5. Exactitud y Precisión
La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido
del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como
un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se
refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos
deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos
de un problema particular de ingeniería.
¿Cuántas cifras significativas (que tan preciso debe ser) son necesarias?
1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto
decimal.
Ejemplo:
El medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm =
167 cm, (teniéndose 3 cifras significativas).
6. 2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras
significativas.
Ejemplo:
Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km (2 cifras
significativas).
3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos:
Ejemplo:
40072 (5 c.s.)
3.001 (4 c.s.)
0.000203 (3. c.s.)
Incertidumbre y Sesgo
Sesgo
Es un alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular. Así como el
error, de acuerdo con las formas por las cuales se produce, puede minimizarse, la
ocurrencia de sesgo también puede ser neutralizada o controlada. En ocasiones
sin embargo, es imposible controlar el sesgo y por cierto el error. En tales
circunstancias conviene al menos estar en antecedente y tener conciencia de su
existencia.
Incertidumbre
Se refiere al grado de alejamiento entre sí, a las diversas aproximaciones a
un valor verdadero. La incertidumbre puede derivarse de una falta de información
o incluso por que exista desacuerdo sobre lo que se sabe o lo que podría saberse.
Puede tener varios tipos de origen, desde errores cuantificables en los datos hasta
terminología
definida
de
forma
ambigua
o
previsiones
inciertas
del
comportamiento humano. La incertidumbre puede, por lo tanto, ser representada
por medidas cuantitativas (por ejemplo, un rango de valores calculados según
7. distintos modelos) o por afirmaciones cualitativas (por ejemplo, al reflejar el juicio
de un grupo de expertos).
Errores
El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los
problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de
poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.
Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes
factores:
Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.
Los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución
del problema.
Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la
definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física
real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete
al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica
clásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables,
nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada
para encontrar las soluciones numéricas.
Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los
datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la
medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente
aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible
para contrastar el resultado obtenido computacional-mente.
En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son
sus fuentes principales:
8. 1. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta
fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos
manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores
ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se
produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el
programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el
resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el
compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta
posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la
probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser
ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a
preocupar.
2. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino
mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la
sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal
(diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son:
El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando
sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie
de Taylor.
Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los
valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.
Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas
por una aproximación (diferencias finitas).
Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson:
proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número
de iteraciones tiende a infinito.
Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por
truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un
9. proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos
acotar, este error en cualquier procedimiento numérico.
3. Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su
origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con
precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser
representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es
necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda
representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar
lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que
deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los
que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un
número se denomina error de redondeo.
Errores de redondeo
Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un
número finito de cifras significativas durante un cálculo. Por ejemplo: si solo se
guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar
como = 3.141 592 ygenerando un error de redondeo.
Esta técnica de retener solo los primeros números se le llamo
"Truncamiento" en el ambiente de computación de preferencia se le llamara de
corte para distinguirlo de los errores de truncamiento discutidos. Un corte ignora
los términos restantes de la representación decimal completa. Por ejemplo: el
octavo número significativo en este caso es 6. Por lo tanto se representa de
manera exacta como 3.141593 que como 3.141592 obtenido mediante un corte,
ya que el valor estamás cercano del valor verdadero. Esto se puede visualizar de
la siguiente forma: si se aproxima por = 3.141593, el error de redondeo se
reduce a; Eu = 0.000 000 035........
10. Errores de truncamiento
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una
aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.
dv = u = u(t 1) – v(t)
dt t t 1 - t
Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la
ecuación de diferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada.
Error numérico total
El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de
truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme elnúmero de
cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de
disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).
Errores por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos
En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos
fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma.
Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las
equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.