Este documento describe el concepto de métricas sucesivamente variables, donde los cambios de métrica a lo largo de una obra musical son determinados por una sucesión matemática. Se define una sucesión que asigna valores racionales a números naturales para especificar las métricas. Se provee un ejemplo donde la sucesión Xn = n+1 genera las métricas 1/2, 2/3, 3/4, etc. Adicionalmente, se introduce el concepto de transformación métrica para poder tocar en una métrica equivalente mediante cambios en el tempo o agó
Este documento explica la transformada discreta de Fourier (DFT), que permite representar señales de tiempo discreto como combinaciones lineales de exponenciales complejas. Describe cómo calcular los coeficientes de la serie de Fourier para señales periódicas y aperiódicas. También analiza ejemplos como ondas cuadradas y senos, y cómo reconstruir parcialmente las señales originales a partir de un número limitado de términos de la serie.
Este documento presenta una introducción a las series de Fourier. Explica que las funciones periódicas pueden expresarse como una suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias a través de una serie trigonométrica. Define los conceptos de componente fundamental, armónicas y componente de corriente directa. También describe la ortogonalidad de las funciones seno y coseno que permite descomponer funciones periódicas en sus componentes sinusoidales.
1) El documento describe la serie de Fourier, una representación de funciones periódicas como suma de funciones seno y coseno.
2) Explica conceptos como ortogonalidad, funciones pares e impares y cómo calcular los coeficientes de la serie.
3) Proporciona un ejemplo numérico de la serie de Fourier para una función de onda cuadrada.
Este documento explica los conceptos básicos de la transformada de Fourier discreta (DFT), incluyendo cómo representa una señal en el dominio de la frecuencia en lugar del tiempo, cómo calcular la DFT de manera directa y por correlación, y cómo representar la salida en notación polar. También describe cómo la DFT se puede usar para analizar espectralmente una señal y caracterizar sistemas a través de su respuesta en frecuencia.
Este documento presenta los conceptos básicos de las series de Fourier, incluyendo definiciones, teoremas de convergencia y desarrollos de medio intervalo. Explica cómo aproximar numéricamente los coeficientes de Fourier de funciones periódicas mediante integración numérica en Matlab. También describe el fenómeno de Gibbs que ocurre cerca de los puntos de discontinuidad y la igualdad de Parseval. Finalmente, propone una serie de ejercicios resueltos para practicar el cálculo de coeficientes de Fourier y la aproximación de
Este documento describe los métodos de análisis frecuencial de señales continuas y discretas a través de la serie y transformada de Fourier. Explica cómo la serie de Fourier puede usarse para descomponer señales periódicas en componentes de diferentes frecuencias. También describe la transformada de Fourier y cómo puede aplicarse a señales aperiódicas. Finalmente, cubre el análisis frecuencial de señales discretas a través de la serie de Fourier discreta.
1) El documento describe funciones vectoriales y sus propiedades como la derivación y la integración. También introduce curvas parametrizadas y conceptos como velocidad, aceleración y curvatura.
2) Luego explica funciones de varias variables reales, incluyendo derivadas parciales y el gradiente.
3) Finalmente, cubre cálculo de extremos para funciones de varias variables y las condiciones para puntos de máximo y mínimo.
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El documento describe la relación Q entre funciones f y g donde f está en O(g). Explica que Q es reflexiva y transitiva pero no es un orden parcial ni una relación de equivalencia. También presenta 8 funciones {f1, f2, ..., f8} y pide dibujar el diagrama de la relación Q sobre estas funciones según la definición dada.
Este documento trata sobre el crecimiento y decrecimiento de funciones. Explica que una función es creciente si al aumentar la variable independiente x también aumenta la variable dependiente y, y es decreciente si al aumentar x disminuye y. También resuelve un problema sobre el crecimiento exponencial de bacterias en un cultivo para determinar el tiempo necesario para que su número se triplique.
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Este documento introduce las funciones exponenciales y logarítmicas. Primero analiza las funciones exponenciales mediante el ejemplo de crecimiento poblacional. Luego introduce las ecuaciones exponenciales y la función logarítmica como la función inversa de la exponencial. Finalmente, presenta ejemplos y actividades para practicar el uso de estas funciones.
El documento proporciona una introducción a las series de Fourier, explicando que cualquier señal periódica puede expresarse como una suma de exponenciales complejas. Describe el método para calcular los coeficientes de Fourier de una señal y representar su espectro de amplitud y fase. También presenta un ejemplo detallado de obtener la serie de Fourier de una onda cuadrada periódica.
Este documento introduce las cadenas de Markov, procesos estocásticos en los que el valor en el paso n depende solo del valor en el paso n-1. Explica que una cadena de Markov se caracteriza por su matriz de transición, la cual describe las probabilidades de transición entre estados. También describe cómo la evolución a largo plazo de una cadena de Markov viene dada por las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov y cómo la distribución de probabilidad en el paso n se obtiene aplicando la matriz de transición P n veces a la distribución inicial.
Este documento presenta el Teorema Fundamental del Cálculo. Primero introduce algunas fórmulas generales para calcular áreas e integrales y establece que la integral puede considerarse como una función del límite superior. Luego, enuncia el Teorema Fundamental del Cálculo, el cual establece que la derivada de la integral de una función es igual a la función. Finalmente, muestra un ejemplo de cómo calcular una integral definida usando este teorema.
Este documento presenta conceptos básicos sobre cadenas de Markov de estados finitos. Explica que una cadena de Markov es un proceso estocástico donde el estado futuro depende solo del estado presente. También describe la matriz de transición de probabilidades y cómo se puede usar para calcular la probabilidad de transición entre estados a lo largo del tiempo. Además, introduce la teoría de Perron-Frobenius sobre eigenvalores y eigenvectores de matrices estocásticas asociadas a cadenas de Markov.
Este documento presenta 6 ejercicios de física relacionados con ondas y oscilaciones. El primer ejercicio involucra calcular la longitud original de un tubo de cartón basado en las frecuencias de resonancia de sus pedazos. El segundo ejercicio determina la constante de fuerza de un oscilador armónico. El tercer ejercicio calcula la frecuencia angular de oscilaciones de una barra pivotada. El cuarto ejercicio determina la potencia transmitida por una onda. El quinto ejercicio calcula la velocidad relativa entre un mur
Este documento describe los procesos de renovación, que son procesos estocásticos donde los tiempos entre eventos sucesivos son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Explica conceptos clave como las distribuciones de tiempo entre llegadas, la suma de tiempos hasta un punto dado, y cómo el teorema del límite central puede usarse para aproximar la distribución de dicha suma como una normal. También introduce procesos de renovación-recompensa, donde se recibe una ganancia en cada renovación.
Este documento describe los procesos de renovación, que son procesos estocásticos donde los tiempos entre eventos son independientes e idénticamente distribuidos. Explica conceptos como las variables aleatorias que representan los tiempos entre eventos, la suma de estas variables y su relación con la ley fuerte de los grandes números. También cubre temas como procesos de renovación-recompensa, vida residual y tiempos de parada.
Para que el cilindro ruede y el bloque deslice al mismo tiempo, las aceleraciones deben ser iguales. Esto ocurre para un intervalo de ángulos entre 3.8° y 31°. La fuerza de rozamiento requerida es de 30senα - 2cosα newtones. Al mezclar 300 cm3 de tolueno a 0°C y 110 cm3 a 100°C, el volumen total es de 410 cm3 a una temperatura de equilibrio de 25°C. Los valores extremos del ángulo φ para que haya rayos emergentes después de la cara curva de
El documento contiene la resolución de 7 ejercicios sobre ondas. El primer ejercicio calcula la longitud de onda de una nota musical en el aire y el agua. El segundo ejercicio caracteriza una onda que se propaga por una cuerda y calcula las magnitudes de un punto. Los ejercicios restantes resuelven problemas similares sobre ondas transversales en cuerdas y medios elásticos.
Este documento presenta varios ejemplos y problemas relacionados con el cálculo de derivadas y su aplicación para resolver problemas de razón de cambio, máximos y mínimos. En particular, se resuelven problemas que involucran el cálculo de la velocidad a la que cambia el nivel del agua en depósitos y piscinas de diferentes formas geométricas cuando se bombea o sale agua a tasas constantes. También se presentan ejemplos sobre cómo calcular la velocidad a la que se separan aviones que se mueven en diferentes direcciones a
El documento habla sobre ecuaciones diferenciales aplicadas a transitorios de circuitos eléctricos. Explica diferentes tipos de circuitos RC y RL con varios tipos de excitación, como escalón y senoidal. Analiza las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de la corriente y tensión en cada circuito y cómo varían con el tiempo.
Este documento introduce el concepto de cadenas de Markov, que son procesos estocásticos donde la probabilidad del estado futuro depende únicamente del estado actual y no de los estados previos. Se define la matriz de transición que describe las probabilidades de pasar de un estado a otro. Finalmente, se presenta un ejemplo de cadena de Markov finita para modelar el número de líneas ocupadas en un locutorio telefónico a lo largo del tiempo.
Este documento introduce la transformada de Fourier. Explica que Jean Baptiste Fourier desarrolló la serie y transformada de Fourier mientras estudiaba la transferencia de calor y vibraciones. Describe cómo Fourier llegó a su transformada a través de la serie de Fourier, relaciones de ortogonalidad, y transformadas de Fourier para funciones periódicas como coseno y seno. El documento provee una introducción a la transformada de Fourier y sus interpretaciones y aplicaciones.
Este documento analiza la vibración de una cuerda tensada anclada en sus extremos. Explica que la cuerda puede vibrar en diferentes modos, cada uno con su propia frecuencia. La vibración total de la cuerda es la suma de todos sus modos de vibración. Cada modo tiene una forma de onda característica y oscila de forma armónica. La combinación de modos activados depende de las condiciones iniciales que pongan a vibrar a la cuerda.
1) El documento presenta 8 ejercicios de física resueltos sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Los ejercicios involucran conceptos como periodo, constante elástica, resortes en serie y paralelo, y péndulos simples.
2) Se calcula el peso de un ómnibus considerando la masa de los pasajeros y el periodo de oscilación.
3) Se determina el desplazamiento total de un sistema de dos resortes en serie colgando un peso.
Este documento describe el movimiento armónico simple y osciladores forzados y amortiguados. Explica que el movimiento armónico simple puede describirse mediante funciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También describe las ondas mecánicas, incluidas ondas transversales y longitudinales, y ondas senoidales periódicas descritas por funciones del tipo sen(x-vt).
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Este documento introduce la transformada de Fourier. Explica que Jean Baptiste Fourier desarrolló la serie y transformada de Fourier mientras estudiaba la transferencia de calor y vibraciones. Describe cómo Fourier llegó a su transformada a través de la serie de Fourier, relaciones de ortogonalidad, y transformadas de Fourier para funciones periódicas como coseno y seno. El documento provee una introducción a la transformada de Fourier y sus interpretaciones y aplicaciones.
Este documento analiza la vibración de una cuerda tensada anclada en sus extremos. Explica que la cuerda puede vibrar en diferentes modos, cada uno con su propia frecuencia. La vibración total de la cuerda es la suma de todos sus modos de vibración. Cada modo tiene una forma de onda característica y oscila de forma armónica. La combinación de modos activados depende de las condiciones iniciales que pongan a vibrar a la cuerda.
1) El documento presenta 8 ejercicios de física resueltos sobre oscilaciones y movimiento armónico simple. Los ejercicios involucran conceptos como periodo, constante elástica, resortes en serie y paralelo, y péndulos simples.
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3) Se determina el desplazamiento total de un sistema de dos resortes en serie colgando un peso.
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1. Métricas sucesivamente variables y transformación métrica.
El concepto de “métricas sucesivamente variables” consiste en que los cambios de métrica, a lo
largo del desarrollo de una obra, son determinados por una sucesión matemática.
Una sucesión matemática, es una función, que toma a los números naturales como entradas para
arrojar resultados que pueden estar en los enteros, los racionales, los naturales o los reales. Una
sucesión se denota
{Xn}
Para fines musicales, nos limitaremos por ahora a las sucesiones que van de los naturales a los
racionales, i.e. Xn: N Q
Para regir la métrica total o parcial de una obra definimos que Xn será el cambio n-ésimo de métrica:
término de la sucesión métrica número
X1 1
X2 2
... ...
Xn n
n
Tomemos como ejemplo la sucesión Xn =
n +1
conforme vamos ingresando números naturales en la sucesión, obtenemos las siguientes métricas:
1 2 3 4
Xn = , , , ,...
2 3 4 5
La primer métrica a utilizar es 1/2, es decir 2/4, con lo que la obra comienza con
e = λ b /m (donde λ representa el valor metronómico)
2
4
Después de algunos compases el cambio de métrica será a 2/3 de unidad, es decir
2/3 de q = 2/3 de w p w w , de manera que el cambio de métrica aparecería como:
2. -w- - - pw - - -w- -w- - - pw - - -w-
*
2 2
4 3
* O su equivalencia rítmica
Debido a los inconvenientes de esta notación, vamos a introducir el concepto de transformación
métrica.
Vamos a buscar un valor metronómico tal, que nos permita tocar y escribir en 4/4 exactamente lo
mismo que en el pulso original se escribiría en 2/3.
La transformación métrica nos permite, así, tocar en una métrica equivalente, por medio de un cambio
de agógica y del desplazamiento de acentos consecuente, lo mismo; es decir que
T1 = λ e m
p r
con un TEMPO (o pulso) tocar en es lo mismo que tocar en a un tempo
q s
T2 = αλ e ′ m
e ´ representa la duración de 1/4 en el nuevo tiempo T2, así mismo, α es la proporción que T2 es en
relación con T1, para lo cual definimos, por supuesto, que α es un número racional positivo.
Para transformar 2/3, procedemos como sigue:
4
4
q = 3
3
q = 3
3
w pw w
w pw w epzz epzz epzz epzz
pero 3 = 3
3 3
I_____ _____I
q,
3
Como necesitamos 2/3 de ajustemos T 2 de tal manera que la acentuación sea
epzz epzz epzz epzz
cada 2/8 de tresillo.
3
3 > > > > > >
I_____ _____I
3
Como 2/8 son 1/4 = e, vemos que 4/4 con T 2 es equivalente a 2/3 con T 1
3. si T1 = λ e m = λ epzz m
1 min x min
=
λ epzz epzz
entonces
donde X min es el número de minutos que ocupa epzz
de epzz
1 2 1 2
por lo tanto x min = min Ahora, min es el tiempo que dura
λ 3 λ 3
2 1 2 60 seg 40
min = = seg
3 λ 3 λ λ
60 veces 2/3 de epzz, es decir, que en un minuto epzz caben λ
40 −1 2 3
En 60 segundos caben
veces, λ 3 2
∴T2 = λ e ′ min
2
3
2
e ′= epzz= e
2
3
donde
3
De este resultado concluimos que, con un pulso T1 = λ e m tocar en
p
es lo mismo que tocar en
e
q
a un pulso T2 = λ q min , que haciendo p/q e = e ´ nos queda:
p
r q
s p
λ e ′ min
q
T2 =
p
q p
que es evidente, ya que =1
p q
El siguiente cambio de métrica, según la sucesión que tomamos como ejemplo, es 3/4, la cual es
fácilmente manejable en T1 . Posteriormente, la sucesión nos lleva a la métrica 4/5 en T1 , pero
q e e e e e
sabemos que
5 5
=
5 5
5
4. exxxx exxxx exxxx exxxx
5 5 5 5
que es lo mismo que
5
5
I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ I
5
exxxx exxxx exxxx exxxx
5 5 5 5
Necesitamos T3 , tal que 5
5 > > > >
I _ _> _ _ _ _ _ _ _ _ I
5
epzz = exxxx
5
1
con lo que 4/5 con T1 equivalga a 4/4 con T3 . Sabemos que dura
min.
λ
exxxx
48 −1
seg. Por lo que en 60 segundos caben 60 veces exxxx
4 5 41 48 4 5
Entonces duran min =
5 5 λ λ λ 5
es decir: 5 λ 4 exxxx , si hacemos e ´´ = exxxx = e , podemos escribir, como esperabamos:
5 4 5 4
4 5 5 5
5 e′′
T3 = λ min
4
n
La métrica sucesivamente variable Xn = queda definida como
n +1
1 2 3 4 2 4 3 4
, , , , ... = , , , , ...
2 3 4 5 4 (T1 ) 4 (T2 ) 4 (T1 ) 4 (T3 )
en este caso, los subíndices nos indican el pulso al que debemos tocar cada métrica para que la
igualdad exista.
n n 4
El ejemplo Xn = es interesante auditivamente, ya que lim = 1 = , creando de esta
n +1 n →∞ n + 1 4
manera, una métrica cada vez más parecida auditivamente a 4/4 a medida que la sucesión se
desarrolla..