1. Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal, Estado Táchira
TRANSFORMADA DE FOURIER
Profesor: Lda. Yony Hernández
Asignatura: Matemática IV
Alumnos: Sección “D”
Período 2013-2
Enero de 2014

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Introducción
“No tengo buen fundamento” es uno de los argumentos típicos de
algunos alumnos en asignaturas como inglés o matemáticas, para “justificar”
la poca comprensión de contenidos nuevos. La verdad es que tal afirmación
carece de sustento. ¿Por qué? Porque con las posibilidades actuales de
acceso a la información, cualquier persona puede despejar sus dudas,
incluso en temas tan complejos como la transformada de Fourier.
Lo importante tal vez es autoexaminarse, determinando cuáles son
los puntos débiles, antes de sumergirse en las aguas del análisis de Fourier,
que además de las habilidades matemáticas, requiere de mucho “oxígeno”,
voluntad y, a pesar que suena raro, imaginación.
Es que el análisis de Fourier exige un alto grado de uso del hemisferio
derecho del cerebro, además del izquierdo, donde yace el razonamiento
lógico, claro está. Debido a que “graficar” mentalmente o comprender de
dónde viene todo y hacia dónde va en dicho análisis requiere más que
destrezas mecánicas en la aplicación de herramientas matemáticas.
Se puede llegar a ser muy pesimista cuando se tiene en frente un
problema que requiere el análisis de Fourier. Y la realidad es que no es jugar
a los carritos. No obstante, no tiene por qué ser insalvable. Este trabajo no
pretende ser un tratado profundo de Fourier, pero sí acercar a ese análisis
sin tantos miedos, con optimismo, aunque sin exceso de entusiasmo porque
todo lo que vale la pena en la vida requiere esfuerzo.

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Contenido
¿Quién fue Fourier?................................................................................ 4
¿Cómo llegó Fourier a desarrollar su transformada?......................... 5
Serie de Fourier……………………………………………………………… 6
Relaciones de ortogonalidad……………………………………………… 7
Periodicidad de funciones…………………………………………………. 8
Serie de Fourier para períodos diferentes a 2π………………………… 11
Transformadas de Fourier de coseno y seno….…………….………….. 14
Transformada de Fourier……………………………………………………. 17
Interpretación y aplicaciones de la transformada de Fourier………… 18
Ejercicios..……….…………………………………………………………….. 23
Conclusiones………………………………………………………………….. 27
Bibliografía consultada………………………………………………………. 28
Anexo. Tablas de transformadas de Fourier…………………………… 29
Demostración de función gaussiana (Romer)…………………………. 33
Ejercicio aplicando transformada de Fourier (Pedro)……………….. 38

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¿Quién fue Fourier?
Jean Baptiste Fourier fue un científico
francés que vivió de 1768 a 1830. Sus
disciplinas principales eran la física y la
matemática, pero era un apasionado por el
conocimiento. De hecho, fue el primero en
describir el efecto invernadero. Trabajó
principalmente en el estudio de la
transferencia de calor y las vibraciones.
Propuso la aplicación de ecuaciones diferenciales parciales en el
cálculo de la difusión conductiva del calor. También desarrolló las series y la
transformada que llevan su nombre. Es fácil decirlo en pocas líneas, pero en
los siglos XVIII y XIX, había que echarle un camión, aunque claro está,
quienes se dedicaban a las ciencias solían tener recursos económicos para
no cumplir horarios de empleo o cuidar negocios. Hoy, los científicos e
ingenieros no necesariamente tienen esas condiciones, pero sí acceso a
mucha información y a compartirlo con colegas de cualquier parte del mundo
prácticamente en tiempo real. Ah, por cierto, el análisis de Fourier tiene
mucho que ver con las comunicaciones, como se verá más adelante.
A continuación un bosquejo de cómo llegó Fourier a su transformada.

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¿Cómo llegó Fourier a desarrollar su transformada?
Estudios de transferencia
de calor y vibraciones
Serie de
Fourier
Para
períodos
diferentes
a 2 π
De una
constante
De la función
impulso
Transformada
de Fourier
Para senos
Para
cosenos
De una función
periódica
Del escalón
unitario
Teoría de comunicaciones:
modulación, sinusoidales, otros.
Sistemas lineales: circuitos,
mecánica, otros.
Aplicaciones
de la
transformada
Problemas de valor en la frontera:
vibración, conducción de calor,
potenciales, otros.
Aplicación de ecuaciones diferenciales
Aplicación de sucesiones a los datos
lados

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Serie de Fourier
Si ƒ(t) es una función periódica, que se puede representar por la serie
trigonométrica,
donde ωo= 2π/T, siendo T el período, y a y b las variables; la serie también
puede representarse así, y es llamada serie trigonométrica de Fourier:
Por esta expresión se deduce que la gráfica en series de Fourier,
representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales
que tienen diferentes frecuencias; las componentes sinusoidales de
frecuencia ωn= n ωo, se denomina la enésima armónica de la función
periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente
fundamental, porque tiene el mismo periodo de la función y ωo= 2π ƒo =
2π/T, se conoce como la frecuencia angular fundamental, los
coeficientes Cn y los ángulos Θn se conocen como amplitudes
armónicos y ángulos de fase, respectivamente.

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Relaciones de ortogonalidad
Un conjunto de funciones φ k(t) es ortogonal en un intervalo a <t <b
si para dos funciones cualesquiera φm(t) y φn(t) pertenecientes al
conjunto φk(t), cumple:
Como ejemplo, considere un conjunto de funciones sinusoidales que
mediante el cálculo elemental se puede demostrar que

8. 8
donde ω o= 2π/T.
Estas relaciones demuestran que las funciones 1, cos ω0t, cos
2ω0t,…, cos nω0t,…, sen ω0t, sen 2ω0t,…, sen nω0t, forman un
conjunto de funciones ortogonales en el intervalo –T/2 <t <T/2.
Periodicidad de funciones
Si se observa la gráfica de la función ƒ(x) = sen x , se nota que cada
vez que se aumenta o disminuye la abscisa x en 2π entonces las
correspondientes ordenadas son las mismas, esto es, si P(x,y) es un
punto de la gráfica de ƒ entonces los puntos M(x-2π, y) y S(x+2π, y)
también pertenecen a dicha gráfica, lo que significa en términos de la
función seno que sen (x-2π) = sen (x+2π) = sen x.

9. 9
Esta propiedad de la función seno se denomina periodicidad de
la función y ella facilita el trabajo cuando se desea representar
gráficamente pues es suficiente graficarla en el intervalo de longitud
2π. Por ejemplo, en el intervalo [0, 2π] y se repite la forma en cada
uno de los intervalos… [-4π, -2π], [-2π, 0], [2π, 4π], [4π, 6π], …
cuyas longitudes son iguales a 2π. Este número 2π se dice que es el
período de la función seno. Precisamente de la expresión “seno” viene
el vocablo ya mencionado de “sinusoidal”, que se define como
“relativo a la curva u onda que representa gráficamente a la función
seno.”
Una función ƒ se dice que es periódica de período un número
real no nulo T si verifica la siguiente propiedad:
Para cada x que pertenece al Dominio de ƒ, entonces x+T pertenece
al Dominio de ƒ y además ƒ(x+T) = ƒ(x).
Se observa que si T es un período de ƒ, entonces cualquier múltiplo de
T es otro período.

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Por ejemplo, T= 2π es un período de la función sen x, y también son
períodos los números (-2)2π = -4π, (-1)2π = -2π, (2)2π = 4π, (3)2π =
6π,… En la práctica, cuando se habla del período de una función se
entiende que es el menor período positivo. Así, ya se vio que la
función seno tiene T= 2π.
Observa que la función g(x) = cos x es periódica T= 2π y la
función tangente h(x) = tg x es periódica con período T = π, por lo
tanto cos (x+2π) = cos x, tg(x+π) = tg x.
En general, las funciones periódicas están presentas en muchos
fenómenos de tipo “oscilatorio”: a) la oscilación de un peso suspendido
de un muelle o resorte; b) la oscilación de un péndulo simple; c) las
variaciones de temperatura; d) la transmisión de datos por ondas
electromagnéticas; entre otras.

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Serie de Fourier para períodos diferentes a 2π
Se dice que la sucesión de una función generalizada ƒn(t), para 1,2,…,
converge a la función generalizada ƒ(t), si y sólo si
Para toda funcion de prueba φ (t). Análogamente, una serie
De funciones generalizadas que converge a la función generalizada
ƒ(t) se puede diferencias por términos; así,

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En este caso se dice que la serie converge en el sentido de las
funciones generalizadas, aunque no en el sentido ordinario, la derivada
de una serie convergente de funciones diferenciables puede, en
general, no converger. Si ƒ(t) es una función periódica y contínua y
está dada por
Entonces ƒ’(t) también es periódica y se puede obtener diferenciando
término por término, es decir,
Con el concepto de la función δ y las derivadas generalizadas,
se puede ahora investigar las series de Fourier para las derivadas de
onda con un número finito de discontinuidades en un período.
Si se busca la serie de Fourier para la derivada de la forma de
onda de la figura adjunta, se obtienen la expresión

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Diferenciando término por término se tiene,
Igualando las dos expresiones anteriores se obtiene un resultado
interesante, a saber, la expresión en serie de Fourier de un tren
periódico de impulsos unitarios, es decir,
Por consiguiente,
donde ω o= 2π/T.
Ésta última ecuación muestra que el tren periódico de impulsos
unitarios consiste de un término constante 1/T y una suma de
armónicos todos con la misma amplitud de 2/T. El tren periódico de

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impulsos unitarios es una función muy útil y por consiguiente es
conveniente denotar esta función mediante un símbolo especial δT(t).
De este modo,
Transformadas de Fourier de coseno y seno
Una transformada integral es una transformación que a partir de
funciones dadas produce nuevas funciones que dependen de una variable
diferente y aparecen en la forma de una integral. Estas transformaciones son
de interés principalmente como herramientas para resolver ecuaciones
diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones
integrales y con frecuencia también son de ayuda en el manejo y aplicación
de funciones especiales. La transformada de Laplace (estudiada en el
programa de Matemática IV) es de esta clase y es con mucho la
transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista
de las aplicaciones, las siguientes en importancia serían quizás las
transformadas de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tan lo más difícil
que la transformada de Laplace. Dichas transformadas pueden obtenerse a
partir de representaciones en integrales de Fourier. A continuación se
consideran las llamadas transformadas de Fourier de coseno y de seno, las
cuales son reales.

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Transformadas de Fourier de coseno. Para cualquier función ƒ(x)
par, la integral de Fourier es la del coseno,
(1)
Se hace ahora A(w) = √(2/π) . Fc(w), donde c sugiere “coseno”.
Entonces (1b) al escribir v=x, se tiene
(2)
(3)
Importante: En (2) se integra con respecto a x y en (3) con respecto a
w. A partir de ƒ(x), la fórmula (2) da una nueva función Fc(w), llamada la
transformada de Fourier de coseno ƒ(x). La fórmula (3) permite regresar
ƒ(x) a partir de Fc(w) y, por lo tanto, a ƒ(x) se le llama la transformada de
coseno inversa de Fourier de Fc(w).

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El proceso para obtener la transformada F, a partir de una ƒ dada
también se llama transformación de Fourier de coseno o método de la
transformación de Fourier de coseno.
Transformadas de Fourier de seno. De manera similar, para una
función ƒ(x) impar, la integral de Fourier es la integral de Fourier de seno
(4)
Se hace ahora B(w) = √(2/π) . Fc(w), donde s sugiere "seno".
Entonces por (4b), al escribir v = x, se tiene
(5)
llamada la transformada de Fourier de seno de ƒ(x), y por (4a)

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(6)
.'
llamada la transformada de seno inversa de Fourier de Fs(w). Al proceso
de obtener Fs(w) a partir de ƒ(x) también se le llama la transformación de
Fourier de seno o el método de la Transformación de Fourier de seno.
Transformada de Fourier
La función F(ω) se conoce como la integral de Fourier o
Transformada de Fourier de ƒ(t), y la operación de integración se
simboliza frecuentemente por F; esto es:
Análogamente F -1
es el símbolo que se utiliza para indicar la operación
inversa, es decir, obtener ƒ(t) cuando F(ω) está dado, así pues:

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y ƒ(t) se denomina transformada inversa de Fourier de F(ω). Las
ecuaciones anteriores se conocen comúnmente como par de
transformadas de Fourier.
La condición para que exista F(ω) generalmente está dada por:
Dicho de otro modo, la integral del valor absoluto de ƒ(t) debe ser finita.

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Interpretación y aplicaciones de la transformada de Fourier
Si se supone que es periódica con período T, entonces se puede
expresar como
donde
Si ahora se considera que a medida que T→∞, Δω=2πΔƒ, Δƒ=1/T,
entonces las ecuaciones anteriores se convierten, respectivamente, es

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Siguiendo un argumento similar al utilizado en la derivación, se
observa que si Δω→0, n→∞ tal que nΔω→ω. En otros términos, en el
límite, en vez de tener armónicos discretos correspondientes a nω0 , todo
valor de ω es permitido. De esta manera, en vez de Cn se tiene C(ω), y por la
ecuación anterior se tiene que
Según se observa que
Y, puesto que ω=2πƒ , se tiene
Entonces la ecuación de ƒ(t) se convierte en

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Esta ecuación demuestra que ½π|F(ω)| dω representa la magnitud
infinitesimal de un armónico a la frecuencia angular ω. Estos armónicos
tienen frecuencia fundamental cero (ω0→dω) y están separados por
infinitésimos. Aunque |F(ω)| dω es infinitesimal, F(ω) es finito; por esta razón
a la gráfica |F(ω)| vs ω se le denomina espectro contínuo de ω y a |F(ω)|
se le llama generalmente espectro de magnitud de ƒ(t).
La representación anterior de una función no periódica como suma de
exponenciales con la frecuencia fundamental tendiendo a cero, no es un
concepto fácil de aceptar. A veces la interpretación que se sigue del par de
transformadas de Fourier será más directa y de mayor significado:
Es decir, se supone que cualquier función dada tiene dos modos
equivalentes de representación: uno con el dominio del tiempo, ƒ(t), y el otro
con el dominio de la frecuencia, F(ω). La primera ecuación transforma la
función ƒ(t), en el dominio del tiempo, a su función equivalente F(ω), en el

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dominio de la frecuencia, mientras que la segunda ecuación invierte el
proceso. La primera ecuación analiza la función del tiempo en un espectro de
frecuencia y la segunda sintetiza el espectro de frecuencia para obtener
nuevamente la función en términos de tiempo.
Algunos docentes del área de ingeniería de sistemas y
comunicaciones, comparan la transformada de Fourier a ver un fenómeno
desde dos perspectivas distintas, como si la transformada fuese decir lo
mismo en dos idiomas distintos. Por su parte, los estudiantes de física
consideran que la aplicación de la transformada de Fourier tiene hasta
razones estéticas. Por ejemplo, un grupo de la Universidad de Illinois
estudiaba el comportamiento de una pelota de beisbol al ser arrojada,
tomaron datos de simulaciones y graficaron. Ellos se dieron cuenta que
aplicando los principios de Fourier podían interpretar mejor los resultados
sinusoidales.
Hoy, el análisis de Fourier se emplea en áreas tan diversas como la
astronomía, las comunicaciones, la generación de energía, los colisionadores
de partículas subatómicas y hasta las ciencias sociales.
Es interesante la serie de videos (en inglés) del canal
http://www.youtube.com/user/ControlLectures de Brian Douglas:
http://www.youtube.com/watch?v=1JnayXHhjlg
http://www.youtube.com/watch?v=kKu6JDqNma8 , pues explica, enfocado en
los sistemas de control, de dónde surgen las transformadas de Fourier, el por
qué del uso de número complejos (parte real y parte imaginaria) y
gráficamente cómo se ven las funciones periódicas transformadas.

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Ejercicio

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25. 25

26. 26

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Conclusiones
La transformada de Fourier evidentemente no es jugar carritos. No
obstante, no escapa de la comprensión poniendo atención y empeño.
Básicamente la transformada de Fourier es un mapeo en el cual una función
puede verse desde dos perspectivas diferentes siendo, en el fondo, la misma
cosa. Hay ciertos detalles que son necesarios conocer para mejorar la
interpretación de la transformada de Fourier. Por ejemplo, el empleo de
números complejos. ¿Por qué? Porque usualmente se mueve del dominio
del tiempo al dominio de la frecuencia y cuando se grafica, parte del
resultado sinusoidal está en los cuadrantes III y IV, donde el eje “y” es
negativo. De modo que es más práctico hablar de “i” como parte imaginaria,
o “j” para algunos si se toman en cuenta los cosenos directores “î, ĵ, ќ”.
Además, la frecuencia angular (ω) es la frecuencia (dependiendo del autor “f”
o “v”) por 2π (éste último, dicho en criollo, no es otra cosa que “una vuelta”,
“un giro”, o “una revolución”). También se tiene el concepto de período (T),
que es el inverso de la frecuencia.
Cualquiera pensaría, si ya se tiene la gráfica de una función, ¿para
qué transformarla cambiando de dominio? Pues, para fines prácticos, es
necesario. Por ejemplo, quienes trabajan con electricidad saben que el
comportamiento del flujo de electrones es sinusoidal, y es de esa manera
como mejor se entiende el fenómeno en un osciloscopio. Los astrónomos
observan mejor las estrellas púlsares y sus destellos en una representación
sinusoidal. Eso sin tocar aspectos como los de la transferencia de calor y las
vibraciones. Justamente estos asuntos físicos llevaron a Fourier a desarrollar
su transformada. Hoy, aunque las computadoras dominan el cálculo, los
ingenieros deben conocer los principios de la transformada de Fourier,
porque al final, las máquinas realizan operaciones matemáticas, pero es el
humano quien tiene el poder de decisión y el libre albedrío.

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Bibliografía consultada
Hwei H. (1987) Análisis de Fourier. Addison-Wesley Iberoamericana.
Estados Unidos. (Versión PDF)
Kreyszig, E. (2000) Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 2. 3era
Edición. Editorial Limusa S.A. De C.V. México (Versión PDF)
Orellana, M. y Marqués, L. (1998) Matemática I, Vol. 2: Funciones y
representaciones gráficas. Universidad Nacional Abierta. Venezuela.
http://mathworld.wolfram.com/e.html (en inglés)

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Anexo. Tablas de transformadas de Fourier

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Demostración de función gaussiana (Romer

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Ejercicio aplicando transformada de Fourier (Pedro)