Este documento presenta una introducción a la modelación matemática de acertijos y problemas. Explica que la modelación implica cuatro etapas: identificación del problema, formulación matemática, resolución y verificación. Luego presenta varios ejemplos de acertijos y sus correspondientes modelos matemáticos, incluyendo acertijos sobre velocidad, probabilidad, geometría y dinero. Finalmente, discute las conexiones entre las matemáticas y el origami.

1. Aplicaciones de la Matemática

2. Modelación de Acertijos Matemáticos
Modelo: Esquema teórico, generalmente en forma
matemática, de un sistema o de una realidad compleja,
que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio
de su comportamiento. (Diccionario de la Lengua
Española. Real Académica Española)

3. Etapas de la modelación
 Identificación del problema: Consiste en la recolección y análisis de la
información relevante para el problema. Los problemas reales suelen estar
definidos en términos vagos e imprecisos, para esto debe interpretar las
frases precisas para convertirlos en ecuaciones matemáticas.
 Especificación matemática y formulación: Escritura matemática del
problema, definiendo sus variables, sus ecuaciones, sus parámetros, etc. en
esta etapa se analiza el tamaño del problema.
 Resolución: se trata de implantar un algoritmo de obtención de la solución
numérica, puede haber diferentes métodos de solución de un problema. El
tiempo de resolución de un problema también puede depender
drásticamente de cómo esté formulado.
 Verificación y validación: Comparar los datos obtenidos como
predicciones con datos reales.

4. Acertijo de Velocidad
“Vivimos en un mundo en el que todo está en
permanente cambio, aunque de diez mil maneras
diferentes y a diferentes velocidades. El cielo puede
oscurecerse en unas pocas horas, una banana sé
oscurece en unos días. Los colores del empapelado se
destiñen tan lentamente que pueden pasar años antes
de que advirtamos el cambio”

5. Las bicicletas y la mosca
Dos muchachos en bicicleta, a 20 kilómetros de distancia entre sí,
empiezan a andar para reunirse. En el momento en que parten,
una mosca que está en el volante de una de las bicicletas empieza
a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro
volante, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca voló
ida y vuelta de volante a volante hasta que las dos bicicletas se
reunieron.
Si cada bicicleta marchó a una velocidad constante de 10 kms. por
hora, y la mosca voló a una velocidad constante de 151uns. por
hora, ¿qué distancia voló la mosca?

6. Modelo Matemático
Cada bicicleta marcha a 10 km por hora, por lo que se reunirán, en
la mitad de la distancia de veinte kilómetros que las separa, en
una hora. La mosca vuela a 15 km por hora, de modo que después
de una hora habrá recorrido 15 kilómetros.
Muchas personas tratan de resolver el problema de la manera más
difícil. Calculan la longitud del primer recorrido de la mosca entre
ambos volantes, después la longitud del recorrido de regreso y así
sucesivamente para recorridos cada vez más cortos. Pero ese
procedimiento involucra lo que se llama la suma de una serie
infinita, y es matemática muy compleja y avanzada.

7. Acertijos Engañosos
“Los veintisiete acertijos de esta sección son cortos y
fáciles, pero cada uno de ellos implica alguna clase de
truco que da a la respuesta un giro inesperado. De
alguna manera, podríamos llamarlos problemas
humorísticos o graciosos, pero he preferido terminar el
libro con ellos por una razón muy especial”

8. Cuando el joven pagó su desayuno a la cajera, ella
advirtió que él había dibujado un triángulo en el reverso
de la cuenta. Debajo del triángulo había anotado:
13 x 2 = 26. La cajera sonrió: "Veo que eres marinero",
dijo. ¿Cómo supo la cajera que el joven era marinero?

9. Acertijos de Probabilidad
“…todo lo que hacemos, todo lo que ocurre a nuestro
alrededor, obedece a las leyes de las probabilidades. No
podemos escaparnos de ellas, de la misma manera que no
podemos escaparnos de la ley de gravedad.”

10. Apostando a los Reyes
Hay seis naipes boca abajo en la mesa. Te han dicho que dos
y solo dos entre ellos son reyes, pero no sabes en que posición
están.
Eliges dos cartas al azar y las pones boca arriba ¿Qué es mas
probable?
(A) Que haya al menos un rey entre las dos cartas
(B) Que no haya ningún rey entre las dos cartas.

11. Modelo Matemático
Análisis: Vamos enumerar las seis cartas del 1 al 6,
suponiendo que las cartas 5 y 6 son los reyes.
Ahora veamos las combinaciones de dos cartas que pueden
resultar a elección.
1,2 2,3 3,4 4,5 5,6
1,3 2,4 3,5 4,6
1,4 2,5 3,6
1,5 2,6
1,6
Hay 15 combinaciones posibles.

12. Aplicamos definición de Probabilidad (Laplace), para decir
cual de los casos es mas probable.
(A)Que haya al menos un rey entre las dos cartas:
P(A) = 9/15 = 3/5
(B) Que no haya ningún rey entre las dos cartas:
P(B)= 6/15 = 2/5

13. Acertijos de Geometría Plana
“… la geometría plana es la rama más elemental de la
geometría, en donde ocupamos propiedades
matemáticas de las figuras planas, que pueden
dibujarse en una hoja de papel con ayuda de regla y
compás.”

14. Cortando el pastel
Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos
pedazos. Un segundo corte que atraviese el primero
producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte
puede llegar a producir 7 cortes.
¿Cuál es el mayor número de partes que puedes lograr con 6
cortes rectos?

15. Modelo Matemático
Análisis: El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que
cuando se hace el corte n°1 , se le suma una parte mas
quedando dos partes.
El corte n°2, se le suma una parte mas, quedando 4 partes.
El corte n°3, se le suma una parte mas, quedando 7 partes.
Parece que cada corte suma un número de partes que es
Igual al número de cortes.

16. Número de Cortes Número de Partes
0 1
1 2
2 4
3 7
4 11
5 16
6 ?

17. Regularidades Numéricas:
Formando un sistema de ecuaciones (3x3)
Encontrando un patrón que nos da la fórmula de recurrencia.

18. Acertijos con dinero
“Si me das tu pistola de agua- dice el pequeño Tommy a
su compañerito de juegos-, yo te daré mi camión”. Esta
clase de comercio es llamada trueque. En las
sociedades primitivas es la única manera en que las
cosas pueden “comprarse” y “venderse”.

19. Elige tu paga
 Supongamos que tienes un nuevo empleo, y el jefe te ofrece
elegir entre:
a) $4000 por tu primer año de trabajo, y un aumento de
$800 por cada año subsiguiente.
b) $2000 por los primeros 6 meses y un aumento de $200
cada seis meses subsiguientes.
¿Cuál oferta aceptarías, y porqué?

20. Solución
 Por sorprendente que
parezca, la segunda oferta es
mucho mejor que la primera.
Si la aceptas, ganarás $200
más por año de lo que
ganarías si aceptaras la otra.
La siguiente tabla muestra
tus ganancias totales, sobre la
base de ambas ofertas, para
los primeros seis años de
trabajo:

21. Análisis
En este problema la complejidad está en analizar profundamente el
enunciado, en especial la segunda oferta.
Es posible hacer un algoritmo para cada una de las ofertas.
Algoritmo oferta 1:
S=4000
t=0
Repetir{
si (t==12)
t=0
t++
si (t==12)
s+=800
}
Hasta que (s<= (valor))

22. Algoritmo Oferta 2
base=0, t=0,sueldo=1800,sueldof=0
Repita{
si(t==12)
{mostrar : “el sueldo anual es de (sueldof)”
t=0, sueldof=0
}
t++
si ((t==6) || (t==12))
{ sueldo=sueldo+base
sueldof=sueldof+sueldo
}
} hasta que (sueldo<=(valor))

23. Acertijos misceláneos
“…No correspónden muy bien a ninguna de las secciones
previas, pero se incluyen aquí porque son
especialmente interesantes y porque introducen
importantes ideas matemáticas…”

24. Tiempo de Tostadas
Los Smith tienen una anticuada tostadora que sólo admite 2 rebanadas de
pan por vez y que tuesta sólo un lado de la rebanada por vez. Para tostar el
otro lado, hay que sacar las rebanadas, darles vuelta y volver a ponerlas en
la tostadora. La tostadora demora exactamente 1 minuto para tostar un
lado de cada rebanada de pan que contenga.
Una mañana, la señora Smith deseaba tostar ambas caras de 3
rebanadas. El señor Smith la observaba por encima de su periódico y
sonrió al ver el procedimiento de su esposa. Demoró 4 minutos.
“Podrías haber tostado esas 3 rebanadas en menos tiempo querida”, dijo,
“y hubieras gastado menos electricidad”
¿Tenía razón el señor Smith, y si así fuera, cómo podría haber tostado su
esposa esas 3 rebanadas en menos de 4 minutos?

25. Modelo Matemático
Se resuelve mediante el análisis de posibilidades.
Llamemos A, B, C a las 3 rebanadas. Cada una de ellas tiene la cara
1 y la cara 2. El procedimiento es éste:
Primer minuto: Tostar caras A1 Y B1. Quitar las rebanadas, dar
vuelta B y volverla a poner en la tostadora. Poner A aparte y
colocar C.
Segundo minuto: Tostar B2 y C1. Quitar las rebanadas, dar vuelta a
C y volverla a poner en la tostadora. Sacar B (está tostada por
ambas caras ya) y poner a A otra vez en la tostadora.
Tercer minuto: Tostar las caras A2 Y C2.
¡¡Listo!!

26. Acertijos Aritméticos
La aritmética es el estudio de los enteros con respecto a lo
que se conoce como las cuatro operaciones fundamentales:
adición, sustracción, multiplicación y división (también
incluye la operación potencia pues, es una multiplicación
iterada, y la radicación)

27. La barra de plata
Un buscador de plata no podía pagar la renta del mes de
marzo se su habitación por adelantado. Tenía una barra de
plata pura de 31 centímetros de largo, de modo que hizo con
su casera el siguiente arreglo: él cortaría la barra en trozos
más pequeños; el primer día de marzo le daría a la casera un
centímetro de la barra, y cada día subsiguiente le agregaría
otro centímetro más, esperando tener el dinero necesario a
fin de mes y recuperar los trozos se barra.

28. Marzo tiene 31 días, de modo que una manera de cortar la
barra de plata era dividirla en 31 partes, cada una de un
centímetro de largo. Pero como era bastante laborioso
cortarla. El buscador pretendía cumplir el acuerdo
dividiéndola en el menor número posible de partes
¿Puedes determinar el menor numero de partes en las que el
buscador debe dividir la barra?

29. Se puede cumplir el trato dividiendo la barra en 5 partes de
1,2,4,8 y16 cm, lo cual puede expresarse muy simplemente con
el sistema de numeración binario

30. Matemática y Origami
Origami significa: ori = plegar, gami = papel, origami = arte del
papel plegado, tambiém llamado papiroflexia
Actualmente se ha comenzado a estudiar más sistemáticamente
como medio de representación de objetos matemáticos,
particularmente, objetos geométricos.
Por ejemplo:
Se han formulado listas de axiomas para la papiroflexia;
El físico Jun Maekawa ha descubierto teoremas relacionados con
la papiroflexia, usándolos para diseñar modelos;
El matemático Toshikazu Kawasaki ha estudiado teoremas de la
papiroflexia en cuatro dimensiones;

31. Robert Lang de California ha desarrollado una manera de
algoritmizar el proceso de diseño para usar una computadora en la
invención de modelos complejos;
El educador Shuzo Fujimoto y el artista Chris Palmer han
descubierto paralelismo entre la papiroflexia y los teselados;
Peter Engel ha relacionado la papiroflexia, incluso en lo
artístico, y la teoría del caos (en particular con los fractales);
Se ha estudiado la relación entre la papiroflexia y la topología;
la relación entre los poliedros hechos con origami y las
geodésicas (estructuras basadas en los diseños de Buckminster
Fuller);
El matemático Roger Alperin ha establecido una relación entre
las construcciones de la apiroflexia y los números (llamados
"números construibles").

32. Triángulos y cuadrados
 Obtener un cuadrado de una hoja irregular
 Medida de ángulos y triangulo equilátero

33. Dividiendo entre tres.
Teorema de Haga.
El primer teorema de Haga puede enunciarse en los siguientes
términos:
Sea un cuadrado de vértices A, B, C, D. Si se pliega el cuadrado
sobre sí mismo llevando el vértice A al punto medio del lado BC
entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G tal que la
distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del
cuadrado.

34. Demostremos el primer teorema.
Como paso previo, observemos que
los triángulos BEA, CAG y DFG son
semejantes.
En efecto, los tres son triángulos
rectángulos en B, C y D
respectivamente, por ser esos tres
puntos vértices del cuadrado.CAG y
DFG son semejantes por ser ambos
rectángulos y tener el mismo
ángulo en el vértice común G. BEA
y CAG son semejantes por ser
rectángulos y tener ángulos
complementarios en el vértice
común A.

35. Comprobemos que no sólo son semejantes
sino, además, notables y entrañables. Se trata
de triángulos rectángulos con lados de
longitudes relativas 3, 4 y 5, que los egipcios
usaban en la antigüedad para construir
pirámides y los profesores de secundaria usan
en la actualidad para construir problemas de
gratificante solución.
En efecto,si hacemos unitario al lado
para simplificar los cálculos sin perder
generalidad, observamos que BA=1/2
(la mitad de un lado) y que BE+EA=1
(un lado). El teorema de Pitágoras nos
permite calcular las longitudes de los
tres lados del triángulo BEA:
(BE)² + (1/2)² = (1 – BE)², de donde BE=3/8,
BA=4/8 y EA=5/8.

36. Por tanto, los lados del triángulo
BEA son proporcionales a 3, 4 y 5
respectivamente. Lo mismo puede
afirmarse de CAG y DFG por su
semejanza con BEA.
La demostración del primer teorema
de Haga es ahora inmediata, si
observamos la semejanza del
triángulo BEA, las longitudes de
cuyos lados acabamos de calcular,
con el triángulo CAG: CG es a BA
como AC es a EB. En otros términos,
CG/(1/2) =(1/2)/(3/8), de donde
CG = 2/3, como se quería demostrar.

37. Construyendo una pequeña caja

39. Serie

42.  Al juntar y suma estas
descomposiciones obtenemos
0.984 aproximadamente 1
 Si pudiésemos seguir el
proceso de descomposición
hasta el infinito veríamos una
serie geométrica de
convergencia 1

44. “Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino
cierta belleza suprema.
Una belleza fría y austera, como la de una escultura.”
Bertrand Russell (1872-1970)
Filósofo, matemático y escritor inglés.

45.  http://www.yalosabes.com/origami-que-se-pliega-y-
arma-solo.html
 http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papirofle
xia/TeoremasHaga.asp