Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. Explica brevemente el origen y definición de cada conjunto numérico, así como algunas de sus propiedades básicas como la suma, resta, multiplicación y división de números racionales. También cubre temas como paridad, divisores, múltiplos, potenciación y radicación.

1. 1
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS
Ing. Alejandro Gonzáles
Números

2. 2
Todos ellos surgieron, estrictamente
hablando, por la necesidad del hombre de
resolver problemas aritméticos (que tienen
que ver con los números), que bien pueden
verse como problemas algebraicos.
 Los romanos usaron un sistema de
numeración decimal (contaban de diez en
diez). Para cada número asignaron un
número. El número 1 estaba representado
por I, el cinco por V, el diez por X, 50 por L,
100 por C, 500 por D y al 1000 por M.
 Los mayas, a diferencia de los griegos,
usaron un sistema vigesimal, ellos
contaban de veinte en veinte (diez en las
manos y otros diez en los pies).
Los números

3. Números Naturales (ℕ)
3
Podemos empezar diciendo que los números naturales tienen su nombre gracias al
hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la
noción de cantidad.
Definición:
Se define al conjunto de los números naturales como todos aquellos
números que usamos para contar. De manera natural, el hombre los
acogió para poder tener control sobre las cosas que posea. Nótese
que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando
un hombre no posee ningún objeto, no siente la necesidad de contar.
Por tanto, los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los
puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente.
Números Cardinales (ℕ0)
Conjunto de la forma: ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

4. Números Primos
4
Son aquellos números Naturales que son sólo
divisibles por 1 y por sí mismos:
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…}
Nota: El 1 no es primo.
Números Compuestos
Son aquellos números Naturales que son
divisibles por 1, por sí mismos y por uno o
más números distintos:
{ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}

5. Números Enteros (ℤ ”Zahlen”)
5
Considere ahora la pregunta: ¿Qué número debemos sumar al número 7
para obtener 2?
Evidentemente la respuesta a esta
pregunta no es un número natural,
porque cuando sumamos dos
números naturales la suma es
siempre mayor a cualquiera de los
sumandos.

6. 6
¿De dónde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver
preguntas como la mencionada anteriormente. Parece ser mas claro el
concepto si colocamos los números enteros sobre una línea recta, a la cual
llamaremos recta numérica.

7. 7
La lista de los números enteros es infinita tanto a la derecha como a la
izquierda del origen.
De aquí se deduce que el conjunto de los números naturales esta incluido en el
conjunto de los números enteros.
Sin embargo lo opuesto no es cierto.
Es decir, no todos los números
enteros son números naturales.

8. Números Racionales (ℚ)
8
Un problema mas formal será el de encontrar un numero tal que al ser
multiplicado por un numero entero (digamos, el numero 2) resulte el numero 1.
La respuesta a esta incógnita se obtuvo gracias a la creación de otro tipo de
números que, en este capítulo vamos a estudiar.
Los números racionales surgieron, como todos los demás tipos de números de
la necesidad de los hombres de responder a preguntas de tipo aritmético-
algebraico y resolver problemas conforme iban surgiendo.
La primer idea que se viene a la mente sobre el origen
de estos problemas es la repartición de un terreno
entre varias personas.

9. 9
Aquí es importante reconocer que es necesario conocer cada una de las
palabras involucradas en la definición para poder entenderlas. Cociente es el
resultado que se obtiene al hacer una división. Entonces, los números enteros
son aquellos que se pueden poner como una fracción.
En notación de conjuntos, la definición se escribe como sigue:
Al número p lo llamaremos numerador y al número q denominador.
15,
0
NO es racional, de hecho no es un numero
definido y se lo denomina como indefinido.

10. 10

11. Números Irracionales (ℚ´)
11
En notación de conjuntos esto lo
escribiremos de la siguiente manera:
y se lee: el conjunto de los números
irracionales esta formado por todos
aquellos números que NO puedan ser
expresados como el cociente de dos
números enteros, y además, el
denominador de ese cociente debe ser
distinto de cero.

12. Números Reales (ℝ)

Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números
irracionales.
R
Q Q´
Z
N

13. 13

14. Números Complejos (ℂ)
14
14
Plano de los Complejos
i´
Q´

15. 15

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Ejercicios
Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas
F
F
V
V

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Velocidad teórica de un coche
Indica en a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso.
Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que
mejor menciona otro de los conjuntos, salvo que pueda tomar cualquier valor posible.
Volumen medido en mililitros en un vaso graduado ℚ
Área de un círculo de radio 1. ℚ´
Peso de una bolsa de frijol en gramos ℕ o ℚ
Número total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora ℕ
Número total de hojas impresas en una fotocopiadora ℕ
Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso ℚ
Saldo de una cuenta bancaria, con precisión de miles de pesos ℤ
ℝ

18. 18
Paridad e imparidad
2n - 2 2n + 2
2n
Antecesor par Sucesor par
2n - 1 2n + 3
2n +1
Antecesor impar Sucesor impar

19. 19
Múltiplos y Divisores
• Múltiplos
Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene
al multiplicar dicho número por otro cualquiera.
Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.
• Divisores
Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide
exactamente.
(Está contenido en él, una cantidad exacta de veces)
Por ejemplo:
Los divisores de 24 son los números que lo dividen
exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24}
Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir
24 por 5 resulta 4,8.

20. • Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más
números, corresponde al menor de los múltiplos
que tienen en común.
Ejemplo:
-Algunos múltiplos de 3 son:
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60}
-Algunos múltiplos de 6 son:
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60}
-Algunos múltiplos de 15 son:
{15, 30, 45, 60, 75,…}

21. m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30.
(Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es
el menor).
El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través
del siguiente método:
3 6 15 3
1 2 5 2
1 5 5
1
Se divide por números primos hasta que en cada
columna quede 1, y el producto de ellos
corresponde al m.c.m.

22. • Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más
números, corresponde al mayor número que los
divide simultáneamente.
Ejemplo:
-Los divisores de 36 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
-Los divisores de 18 son:
{1, 2, 3, 6, 9, 18}
-Los divisores de 24 son:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

23. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6.
(Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el
mayor).
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a
través del siguiente método:
36 18 24 2
18 9 12 3
6 3 4
Se divide por números primos que sean divisores
de cada número, hasta que ya no se pueda dividir
a todos en forma simultánea.
M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

24. Valor absoluto
El valor absoluto de un número representa la distancia
del punto al origen (cero de la recta numérica).
Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco
unidades, igual que la distancia del -5 al origen.
La notación es: |+5| = 5 y |-5| = 5
-5 +5
0
5 unidades 5 unidades
Luego,
|-20| = 20 |+34| = 34 |-12| = 12…

25. Propiedades de los racionales
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙
3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como denominador por un mismo
número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:
2
3
=
12
18

26. Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como denominador por un mismo número
(generalmente se simplifica hasta la mínima
expresión).
Al simplificar la fracción resulta:
27
45
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
Ejemplo:
3
3
=
9 :
15 :
27 :
45 :
3
3
3
5
=

27. Operatoria en los racionales
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6 + 7
45
=
13
45
4
15
-
7
15
=
-3
15
y

28. 3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36
= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40
= =
67
40
Este último método se lo conoce como el
Mínimo Común Denominador (M.C.D.)
m.c.m.(12,18) = 36
=
29
36

29. -4
5
∙
8
7
=
-32
35
=
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
7
8
=
∙
-28
40
=
28
40
-
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
32
35
-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5 =
8∙5 + 3
5
=
43
5

30. Transformación de números racionales
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide numerador por denominador.
7
4
= 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin coma, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
100
175 =
1,75 = 7
4
25∙7
25∙4
=

31. • De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233
99 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376
999 999

32. 3,21 = 321-32 = 289
90
90
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma; y la
parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros
(0), como cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay
entre la coma, y el período.
Ejemplo:

33. 33
Potenciación y Radicación
 

34. 34
Demuestra lo que sabes del tema.
Aplica las propiedades
 

35. 35
Racionalización del denominador
de una fracción

36. 36

37. 37

38. 38

Racionaliza las siguientes fracciones

39. 39