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Regla de l'Hôpital
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o
regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar
límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume
François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en
su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el
primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que
la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.1

Enunciado
La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy

que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo   ó   .2 3 4

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c
perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el
límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,




Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de
L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de
argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como
g son diferenciables en c.

       Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la
       siguiente manera:
Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición
       de derivada:




Ejemplos
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar
el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el
numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales
f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla




Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:




Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de
indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo     se pueden transformar mediante la doble inversión de
los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se
pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin
aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden
ser hallados con esta regla.

       Tipo




Ejercicios de la regla de L'Hôpital
1
2




Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior
al denominador, por tanto el límite es 0.




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Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:




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  • 1. Regla de l'Hôpital En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada. Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.1 Enunciado La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó .2 3 4 Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c . Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto, Demostración El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c. Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
  • 2. Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada: Ejemplos La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x). Aplicación sencilla Aplicación consecutiva Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces: Adaptaciones algebraicas Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas: Cocientes incompatibles Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
  • 3. De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión. Indeterminaciones no cocientes A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla. Tipo Ejercicios de la regla de L'Hôpital 1
  • 4. 2 Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0. 3
  • 5. 4 5
  • 6. 6 7
  • 10. 15 Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos: 16