OCHOA_C, El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar mortalidad, Una aplicacion para Colombia 2015

El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar
mortalidad: Una aplicación para Colombia
Carlos Andrés Ochoa
caochoam@unal.edu.co
Universidad Nacional de Colombia
Sede Medell´ın
14 de julio de 2015
Carlos Andrés Ochoa (UNAL) Maestr´ıa en Ciencias-Estad´ıstica 14 de julio de 2015 1 / 62

Contenido
Contenido I
1 Introducción
Planteamiento del problema
2 Modelo Lee-Carter
Las funciones de la tabla de vida
El modelo
Matriz de descomposición singular
Modelos lineales generalizados
3 Herramientas para la estimación del modelo Lee-Carter
Librer´ıa gnm
4 Estimación de la mortalidad en Colombia
Comparación entre modelos
Modelo LC ajustado a datos de hombres
Estimación del modelo a través de gnm
Proyección de mortalidad
5 Estimación de la población universitaria
Estimación del modelo a través de gnm
Proyección de mortalidad
6 Conclusiones y recomendaciones
Conclusiones
Recomendaciones

Contenido
Contenido II
7 Agradecimientos

Introducción Planteamiento del problema
Porqué es importante analizar la dinámica de mortalidad?
Pasivos pensionales
Impacto de eventos sociales y/o demográficos
Evolución de poblaciones
Motivación:
Revisión del modelo LC realizada por Betzuen 1
en la que ajusta los datos
poblacionales españoles y concluye acerca de la esperanza de vida.
Estudio sobre la población Mexicana 2
enfocada en proyección de mortalidad a
través del modelo LC en la que se concluye objetivamente sobre la dinámica
de la mortalidad en hombres y mujeres.
1Betzuen, A. (2010). Un análisis sobre las posibilidades de predicción de la mortalidad futura
aplicando el modelo lee-carter. Anales
2Garc´ıa, G. & Ordorica, M. (2012). Proyección estocástica de la mortalidad mexicana por
medio del método de Lee-Carter. Estudios Demográficos y Urbanos, vol. 27, pp. 409-448

Introducción Planteamiento del problema
Objetivos de la investigación
Objetivo general:
Analizar las diferentes metodolog´ıas y herramientas de estimación del modelo
Lee-Carter aplicado a datos de mortalidad poblacional tanto en datos
demográficos Colombianos, como en datos de población estudiantil en la
Universidad Nacional Sede Medell´ın. Además realizar la correspondiente
proyección bajo un ajuste de series de tiempo de manera que permita concluir
constructivamente acerca de la dinámica poblacional.
Objetivos espec´ıficos:
Realizar una revisión del modelo LC y de las metodolog´ıas apropiadas para
hacer su estimación (Matriz de descomposición singular y modelos lineales
generalizados).
Concluir acerca de las librer´ıas de R; demography(), ilc() y gnm() sobre la
estimación de los parámetros del modelo LC ajustados a datos poblacionales
de Colombia y de la población estudiantil de la Universidad Nacional de
Colombia Sede Medell´ın.
Realizar una modelación apropiada mediante metodolog´ıas de series de
tiempo del indice calculado de mortalidad la cual sea válida para generar
proyecciones de dicho ´ındice.

Modelo Lee-Carter Las funciones de la tabla de vida
Las funciones de la tabla de vida (I)
Función de supervivencia:
S(x) : = 1 − F(x); (1)
T(x) : = X − x|X > x; ∀x ≥ 0 (2)
G(t) : = P(T(x) ≤ t) (3)
La función G(t) se interpreta como la probabilidad de muerte antes de t años
habiendo llegado a x años de edad
La notación actuarial para esta función es tqx , as´ı mismo tpx := 1 −t qx

Las funciones de la tabla de vida (II)
Fuerza de mortalidad:
µx :=
1
S(x)
dF(x)
dx
(3
) (4)
tpx = e(− t
0
µx+s ds) (5)
3Px (∆x) = P (x < X < x + ∆x|X > x) =
FX (x+∆x)−FX (x)
1−FX (x)

Las funciones de la tabla de vida (III)
Se define como lx la población que llega con vida a una población x:
lx := E(L(x)) = l0S(x); L(x) ∼ Bin(l0, S(x)) (6)
El número de personas que mueren entre la edad x y x + 1 es una variable
aleatoria binomial:
D(x) ∼ Bin(l0, S(x) − S(x + 1)) (7)
dx = E [D(x)] = l0(S(x) − S(x + 1)) = lx − lx+1 (8)
dx /lx = (S(x) − S(x + 1))/S(x) = qx (9)
Por lo tanto, tomando (5) podemos reescribir la ecuación as´ı:
lx+1 = lx e(− 1
0
µx+s ds) (10)

Las funciones de la tabla de vida (IV)
El supuesto de fuerza de mortalidad constante por tramos establece:
µx+s = µx ; 0 ≤ s < 1. (11)
Por lo tanto:
lx+1 = lx e−µx
; qx = 1 − e−µx
(12)
Se introduce una nueva variable Lx , también denominada Ex :
Lx ≈ lx − dx /2 (13)
La cual representa el número de personas que llegaron a la edad x y que murieron
antes de cumplir años.

Las funciones de la tabla de vida (V)
Tasa de mortalidad:
qx = dx /lx (14)
Tasa central de mortalidad
mx = dx /Lx (15)

Cohorte (I)
Una cohorte da una especificación a un grupo en la población, y lo caracteriza de
la siguiente manera:
1 El grupo consta de una población inicial de l0.
2 Cada miembro del grupo tiene una probabilidad qx de muerte al iniciar la
edad x.
3 Al grupo no ingresan otras personas fuera de los l0 iniciales.
4 Los tiempos de supervivencia en cada grupo de análisis se asumen variables
aleatorias independientes, lo que sugiere que no hay relación entre las causas
de mortalidad entre las diferentes cohortes.

Cohorte (II)
lx,t será el total de personas que llega a la edad x correspondientes a la
cohorte t
nc será el número total de cohortes observadas de tal manera que
t = t1, . . . , tnc
ωt corresponde a la última edad a la que llegó la cohorte t entonces
x = 1, . . . , ωt
Incorporando el concepto de cohorte podemos escribir (10) de la siguiente manera:
lx+1,t = lx,te(− 1
0
µx+s,t ds)
(16)

Modelo Lee-Carter El modelo
El modelo (I)
El modelo Lee-Carter (LC) se plantea como la relaci´on lineal entre el logaritmo de
la tasa central de mortalidad y las variables explicativas del fen´omeno tales como
edad y tiempo.
mx,t = eαx +βx κt + x,t
; ln (mx,t) = αx + βx κt + x,t (17)
donde x = 1, . . . , ωt, t = t1, . . . , tnc
y x,t ∼ i.i.dN(0, σ2
). αx , βx y κt son los
parametros a estimar

El modelo (II)
En donde las variables se definen de la siguiente manera:
µx : Fuerza de la mortalidad.
mx,t : Tasa de mortalidad central para la edad x en el tiempo t (Hazard rate).
Número de muertes de edad x a x + 1 con respecto los que ten´ıa x en la mitad del
año t.
dx,t : Muertes registradas para la edad x en el periodo t.
Ex,t : Expuestos al riesgo en la edad x correspondientes al periodo o cohorte t.
αx : Logaritmo del comportamiento medio de µx (Fuerza de la mortalidad).
βx : Descripción del patron de desviación del perfil de edad x a medida que k var´ıa.
Medida de variación de mx,t a medida que κt cambia.

El modelo (III)
κt : Índice de mortalidad o tendencia en el tiempo de la fuerza de mortalidad. Este
parámetro define la dirección de la esperanza de vida, ante una reducción en el
´ındice de mortalidad habrá una mayor esperanza de vida. Este ´ındice podrá ser
negativo para as´ı reflejar cambios en la dinámica de la tasa de mortalidad central.
x,t : Término de error.

El modelo (IV)
Debido al término bilineal βx κt estos parámetros del modelo no serán
identificables (no podrán ser estimados) debido a que el modelo es invariante a
transformaciones lineales, por ejemplo si αx , βx y κτ son una solución, entonces
∀c = 0, αx − βx c, βx y κτ + c también serán soluciones y de la misma manera,
αx , βx c y κτ /c serán soluciones; pero con las restricciones
τ
κτ = 0;
x
βx = 1 (18)
el modelo queda identificable

El modelo (V)
Bajo el supuesto de mortalidad constante 4
:
µx+s,τ = µx,τ , 0 ≤ s < 1. (19)
por tanto
lx+1,τ = lx,τ e(−µx,τ )
= lx,τ e−eαx +βx κτ
(20)
tambi´en se cumple
qx,τ = 1 − e−eαx +βx κτ
(21)
4Este supuesto nos permite calcular la probabilidad P (T (x) ≤ 1) = qx como
s qx = 1 − es log(1−qx ); ver: Bowers, N., Gerber, H., Hickman, J., Jones, D., & Nesbitt, C. J.
(1986). Actuarial Mathematics. Ithasca, Il.: The Society of Actuaries.

Matriz de descomposición singular (SVD) (I)
La estrategia original de estimación del modelo de LC 5
se basa en la minimización de la
función
D(α, β, κ) =
x,t
(log(mx,t ) − (αx + βx κt ))2
(22)
con respecto a (α, β, κ), α, β ∈ Rna
, κ ∈ Rnc
. En forma matricial, si
M = [log(mx,t )] ∈ Rna×nc
, 1nc
= (1, . . . , 1) ∈ Rnc
D(α, β, κ) = ||M − α1nc
− βκ ||2
2. (23)
Donde ||A||2 = i j |Ai,j |2 es la norma Frobenius para matrices. A partir de la
ecuación ∂D/∂α = 0 las restricciones (18) permiten obtener como solución el vector
dado por los promedios de las filas de M, α = 1
nc
M1nc
. Reemplazando esta solución en
(23), el problema ahora consiste en minimizar con respecto a (β, κ) la función
D(β, κ) = ||M − α1nc
− βκ ||2
2. (24)
5Lee, R. & Carter, L. R. (1992). Modelling and Forecasting U.S.Mortality. Journal of the
American Statistical Association, 87, 659 − 671.

Matriz de descomposición singular (SVD) (II)
La minimización en (24) es un caso particular del problema general de aproximar
una matriz dada H por otra matriz de rango igual o menor, X, es decir, se trata
de encontrar X tal que
X = argmin
rank(X)≤r
||H − X||2, (25)
donde r = rank(H). La solución X se puede encontrar mediante la
descomposición singular de la matriz H.

Matriz de descomposición singular (SVD) (III)
H ∈ Rm×n
→ H = UΣV ; U ∈ Rm×m
; V ∈ Rn×n
(26)
Σ = diag(σ1, . . . , σp); σ1 ≥ . . . ≥ σp ≥ 0 (27)
p = min(m, n) (28)
H =
r
j=1
σj uj vj (29)
Si la matriz original es real, no se generarán números complejos ya que los valores
singulares σj son reales no negativos y los vectores uj , vj son reales. (ver shores6
,
sec. 5.6)
6Shores, T. (2004). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Heildelberg: Springer Verlag.

Matriz de descomposición singular (SVD) (IV)
Aplicando este resultado a la matriz H = M − α 1nc
, asumiendo na = m < n = nc ,
con r = na,
M − α1nc
=
h
j=1
σj uj vj . (30)
En el trabajo original de Lee y Carter (1992) utilizan una aproximación de rango
h = 1 y por tanto, se estiman β =
√
σ1u1 y κ =
√
σ1v1, respectivamente. Este
resultado se puede poner de manera informal como
M ≈ α 1nc
+ β κ . (31)
En Shapiro & Koissi7
y Brouhns8
se analiza con detalle esta metodolog´ıa.
7Koissi, M.−C. & Shapiro, A. (2008). The Lee-Carter model under the condition of variables
age-specific parameters. 43rd Actuarial Research Conference, Regina, Canada
8Brouhns, N., Denuit, M., & Vermunt, J. (2002). A Poisson log-bilinear regression approach
to the construction of projected lifetables. Insurance: Mathematics and Economics, 31, 373 −
393

Modelos lineales generalizados (I)
Dado que el supuesto de homocedasticidad no se cumple para datos de tablas de
vida se realiza una corrección planteada por Brouhns9
, asumiendo
D(x, t) ∼ Poisson(Ex,tmx,t) en lugar de D(x) ∼ Bin(l0, S(x) − S(x + 1)), tal que
log(mx,t) = αx + βx κt. (32)
donde dx,t/Ex,t = mx,t; siendo dx,t las muertes de edad x para la cohorte t. Una
expresión equivalente del modelo es
log(dx,t) = log(Ex,t) + αx + βx κt. (33)
El término log(Ex,t) se denomina offset. Esta diferenciación se hace ya que el
término observado es dx,t (muertes) y Ex,t (expuestos al riesgo)
9Brouhns, N., Denuit, M., & Vermunt, J. (2002). A Poisson log-bilinear regression approach
to the construction of projected lifetables. Insurance: Mathematics and Economics, 31, 373 −
393

Modelos lineales generalizados (II)
Dado D(x, t) ∼ Poisson(Ex,tmx,t) se construye la m´axima verosimilitud basado en
las variables observadas dxt, Ex,t y haciendo λx,t = Ex,tmx,t:
l(d, λ) =
x,t
dx,t ln(λx,t) − λx,t − ln(dx,t!). (34)
o de otra forma:
l(α, β κ) =
x,t
dx,t ln(Ex,teαx +βx κt
) − Ex,teαx +βx κt
(35)
con respecto a αx , βx , κt, x = 1, . . . , na, t = t, . . . , tnc
y teniendo en cuenta que
λx,t = Ex,tmx,t = Ex,teαx +βx κt

Modelos lineales generalizados (III)
El estimador de máxima verosimilitud en el contexto de modelos lineales
generalizados se obtiene minimizando la función deviance. Si dx,t es el conteo de
bajas observado y dx,t = Ex,teα+βκ
, la función deviance se define como
D(dx,t, dx,t) = 2
x,t
ωx,t dx,t log
dx,t
dx,t
− (dx,τ − dx,t) , (36)
donde ωx,t = 0 si dx,t = 0 y ωx,t = 1 si dx,t > 0. La minimización de la función de
deviance se hace mediante el método de Newton-Raphson unidimensional,
aplicado a cada parámetro θ = αx , βx , κt, el cual actualiza el valor de θ según la
expresión
θj+1 = θj −
∂D
∂θ
∂2D
∂θ2
(37)

Herramientas para la estimación del modelo Lee-Carter
Librer´ıas para la estimación del modelo LC
La librer´ıa Demography creada por Rob J Hyndman (2014), ver 10
, permite
realizar análisis de datos demográficos que incluyen el análisis de tablas de
vida. El análisis generado por esta herramienta es basado en la metodolog´ıa
original planteada por Lee y Carter 11
de descomposición en valores singulares.
La estimación a través de máxima verosimilitud sobre el modelo lineal
generalizado se realiza con la librer´ıa Ilc creada por Butt, Z. & Haberman12
El modelo log-bilineal Poisson (log(dx,t) = log(Ex,t) + αx + βx κt) se puede
definir como un ejemplo de la clase de modelos no-lineales generalizados el
cual puede ser estimado a través de la librer´ıa gnm de Turner, H. & Firth,
D.13
10Hyndman, R. J. (2015). Demography: Forecasting mortality, fertility, mi- gration and
population data. http://robjhyndman.com/software/demography/
11Lee, R. & Carter, L. R. (1992). Modelling and Forecasting U.S.Mortality. Journal of the
American Statistical Association, 87, 659 − 671.
12Butt, Z. & Haberman, S. (2009). Ilc: A Collection of R Functions for Fitting a Class of
Lee-Carter Mortality Models using Iterative Fitting Algorithms. Ac- tuarial Research Paper No.
190,Faculty of Actuarial Science and Insurance, Cass Business School, (pp. 1−37)
13Turner, H. & Firth, D. (2015). Generalized nonlinear models in r: An overview of the gnm
package. v1.0-8. http://CRAN.R-project.org/package=gnm

Herramientas para la estimación del modelo Lee-Carter
Librer´ıa gnm
La sintaxis para estimar el modelo consiste en definir las variables t,x,dx (dx,t ),Ex (Ex,t ),
contenidas en un data.frame, por ejemplo, D, con la instrucción
m1 = gnm(dx ~ x + Mult(x, t), offset = log(Ex),
family = "poisson", data = D)
formula (Ej. dx~x+Mult(x, t)): Fórmula en la cual se indica la relación entre los
parámetros a estimar y el dato observado. En este caso será dx (Muertes) se regresará
contra un término multiplicativo en t, x
offset: Este parámetro indica que hay información adicional que debe incluirse en el
análisis. En este caso serán los expuestos al riesgo
family: Especifica la función link del modelo

Estimación de la mortalidad en Colombia
Estimación de la mortalidad en Colombia - Datos
Los datos para realizar este análisis fueron tomados del texto Colombia,
Tablas Abreviadas de Mortalidad por Sexo Para Fechas Censales y
Estimaciones Quinquenales 1995 - 2025 14
elaborado por el Dane bajo el
marco de los estudios censales desarrollados luego del censo de 1993
Los registros de mortalidad no hacen ningún tipo de exclusión referente a
enfermedades o causas de muerte particulares, por lo que se considera
exhaustivo en todas las posibles causas registrables de mortalidad
El estudio agrupa la información de los mayores de 80 años en el último
grupo de edad (80+) el cual se presenta aqu´ı como un único grupo, lo que
puede afectar la varianza del modelo en este rango
14Gómez, C. L. M. (1998). Colombia. tablas abreviadas de mortalidad por sexo para fechas
censales y estimaciones quinquenales 1995 − 2025. Estudios Censales

Estimaci´on de la mortalidad en Colombia
Datos
x t Ex,t (Hombres) dx,t (Hombres) Ex,t (Mujeres) dx,t (Mujeres)
1993 0 100,000.00 3,870.00 100,000.00 2,977.00
1993 1-4 96,130.00 1,279.00 97,023.00 1,098.00
1993 5-9 94,851.00 273.00 95,925.00 199.00
1993 10-14 94,578.00 326.00 95,726.00 189.00
1993 15-19 94,252.00 1,687.00 95,538.00 394.00
1993 20-24 92,565.00 2,812.00 95,144.00 465.00
1993 25-29 89,753.00 2,708.00 94,679.00 518.00
1993 30-34 87,045.00 2,439.00 94,161.00 613.00
1993 35-39 84,606.00 2,500.00 93,548.00 817.00
1993 40-44 82,106.00 2,407.00 92,731.00 1,111.00
1993 45-49 79,698.00 2,530.00 91,620.00 1,634.00
1993 50-54 77,168.00 3,334.00 89,986.00 2,521.00
1993 55-59 73,834.00 4,824.00 87,465.00 3,960.00
1993 60-64 69,010.00 6,323.00 83,505.00 5,618.00
1993 65-69 62,687.00 9,123.00 77,887.00 8,411.00
1993 70-74 53,564.00 11,119.00 69,476.00 11,532.00
1993 75-79 42,445.00 12,862.00 57,944.00 14,682.00
1993 80+ 29,583.00 23,583.00 43,262.00 43,262.00
Cuadro: Datos de expuestos al riesgo y muertes referentes al a˜no 1993 para ambos
generos (Ex,t y dx,t )

Estimación de la mortalidad en Colombia Comparación entre modelos
Modelo LC ajustado a datos de hombres (I.a)
Las librer´ıas Demography e ilc ajustan a valores muy similares, en estricto sentido
solo se observa alguna diferencia relevante para los datos pertenecientes a las
edades mayores
La librer´ıa gnm tiende a desviarse hacia una menor fuerza de mortalidad media
ln (αx ) en las edades entre 0 − 40 y a tener una mayor magnitud en las edades de
40 − 80 años, lo que en primera instancia nos indica que la librer´ıa gnm logra
representar una mayor variabilidad en estos rangos extremos de edades
Para el caso de βx , observamos una diferencia significativa entre los ajustes
presentados por las dos primeras librer´ıas en el sentido que para la edad x = 80 la
librer´ıa Demography continua una tendencia decreciente, sin embargo la librer´ıa ilc
cambia de tendencia presentando un incremento en la sensibilidad
En el caso de la librer´ıa gnm se nota un cambio menor para βx en los años menores
de 20 y una dinámica diferente a las demás librer´ıas para los mayores de 55 años
Es importante anotar que las tres librer´ıas coinciden en poca variabilidad de este
parámetro entre las edades de 20 a 60 años, los que sugiere que el valor de la tasa
de mortalidad para estas edades es invariante ante cambios en el tiempo medidos a
través de κt (recordemos la ecuación LC, mx,t = eαx +βx κt + x,t
)

Modelo LC ajustado a datos de hombres (I.b)
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
0 20 40 60 80
−2−10123
edad
ln(a_x)−mean(ln(a_x))
q
q
q
q
q
q q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Demography
ilc
gnm
I
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
0 20 40 60 80
−0.050.000.050.100.150.20
edad
ln(b_x)−mean(ln(b_x))
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q q
q q q
q q q q
q
q
Demography
ilc
gnm
II
Figura: Comparación entre parámetros αx y βx para los modelos Demography, ilc y gnm
para hombres. Para los parámetros αx y βx se presenta normalizado restando su
respectiva media en aras de poder hacer comparaciones ya que los valores generados con
la librer´ıa gnm presentan diferencias debido a su algoritmo de estimación

Modelo LC ajustado a datos de hombres (II.a)
κt presenta una pendiente mayor para la librer´ıa gnm, nótese el cambio de
pendiente entre los años 1993 y 1999, a diferencia de las librer´ıas
Demography e ilc las cuales se muestran con una pendiente constante
Dado que los parámetros estimados no son observables, no hay forma de
comparar con la realidad, sin embargo, realizando una revisión bibliográfica,
podemos corroborar que los parámetros estimados a través de gnm son los
que más se asimilan en tendencia a los datos presentados por el DANE 15
15Gómez, C. L. M. (1998). Colombia. tablas abreviadas de mortalidad por sexo para fechas
censales y estimaciones quinquenales 1995 - 2025. Estudios Censales.

Modelo LC ajustado a datos de hombres (II.b)
q
q
q
q
q
q
1950 1960 1970 1980 1990 2000
−505
ln(k_t)−mean(ln(k_t))
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Demography
ilc
gnm
Figura: Comparación del parámetro κt para los modelos Demography, ilc y gnm para
hombres. El parámetro se presenta normalizado restando su respectiva media en aras de
poder hacer comparaciones ya que los valores generados con la librer´ıa gnm presentan
diferencias debido a su algoritmo de estimación

Modelo LC ajustado a datos de hombres (III.a)
Se observa una tendencia decreciente en la mortalidad a medida que pasa el
tiempo
El punto común entre las librer´ıas se encuentra en las edades entre 0 y 20
años, para lo cual se presenta una ca´ıda con curvatura y evolución (en
magnitud) similar
A partir del punto de inflexión común que se presenta en los 20 años, se
presentan diferencias entre las librer´ıas usadas para la estimación
Luego de una revisión numérica, las mayores diferencias se presentan en la
estimación de µx,t para x ≥ 70
La librer´ıa Demography presenta una evolución creciente del parámetro para
esta edad, lo cual se opone a la sugerencias observadas en la librer´ıa gnm en
la que la mortalidad es decreciente a medida que el tiempo avanza. En
contraste, la librer´ıa ilc no captura el cambio en la mortalidad en este punto

Modelo LC ajustado a datos de hombres (III.b)
0 20 40 60 80
678910
edad
ln(mu_x,t)
1951
1964
1973
1985
1993
1999
mu estimado, Hombres en t (Demog)
Figura: µx,t estimado para hombres con librer´ıa Demography

Modelo LC ajustado a datos de hombres (III.c)
0 20 40 60 80
678910
edad
ln(mu_x,t)
1951
1964
1973
1985
1993
1999
mu estimado, Hombres en t (ilc)
Figura: µx,t estimado para hombres con librer´ıa ilc

Modelo LC ajustado a datos de hombres (III.d)
0 20 40 60 80
−6−5−4−3−2−10
edad
ln(mu_x,t)
1951
1964
1973
1985
1993
1999
mu estimado, Hombres en t (gnm)
Figura: µx,t estimado para hombres con librer´ıa gnm

Modelo LC (I)
Se presentan los residuales tipo Deviance y tipo Pearson de la estimación de dx,t
(Varianza del error residual para dx,t = Ex,t eα+βκ
)
Género SVD GLM GNM
Hombres 13,881.7 14,748.9 8,540.7
Mujeres 23,454.2 17,999.7 10,733.0
Cuadro: Residuales tipo Deviance de la estimación de dx,t discriminados por género
Género SVD GLM GNM
Hombres 1.218 -0.076 0.806
Mujeres 0.843 0.311 0.836
Cuadro: Residuales tipo Pearson de la estimación de dx,t discriminados por género
Con base principalmente en los residuales tipo Deviance, en los que se observa menor
variación del error entre dx,t y dx,t para ambos géneros, se concluye que la mejor
estimación es la realizada por el modelo log-bilineal de Poisson a través del uso de la
herramienta gnm

Modelo LC (II)
q
q
q
q
q
0 5 20 35 50 65 80
020040060080010001200
(I) Residuales por edad − Hombres
edad
residuosDeviance
q
q
q
q
q
1951 1973 1993
020040060080010001200
(II) Residuales por año − Hombres
residuosDeviance
Figura: Residuales Deviance para el modelo gnm por edad y año en hombres
En la edad de 80 años, se evidencia heterocedasticidad debida a la baja calidad en
los datos ya que esta edad representa el rango de edad de 80 años en adelante, la
cual representa un número mayor de muertes que sus intervalos previos

Estimación de la mortalidad en Colombia Estimación del modelo a través de gnm
Modelo LC (III)
## Modelo LC
LCgnm <- gnm(mDeaths ~ -1+ Age + Mult(Age, Year),
offset = log(mExposure), family = poisson(link="log"), data = dane)
coeff=LCgnm$coefficients
## Ajuste parametros Currie 2014
alfa=coeff[1:nx]
beta=coeff[(nx+1):(2*nx)]
k=coeff[(2*nx+1):(2*nx+nt)]
kR = sum(k)/nt
betaR = sum(beta)/nx
| alfa.est = alfa +kR*beta.h
| k.est = nx*betaR*(k-kR)
| beta.est = beta/(nx*betaR)
|
|
|

Estimación de la mortalidad en Colombia Estimación del modelo a través de gnm
Modelo LC (IV)
Edad αx βx Edad αx βx
0 -2.99 0.07 40 -3.93 0.05
1 -3.83 0.10 45 -3.63 0.04
5 -5.25 0.11 50 -3.24 0.03
10 -5.58 0.10 55 -2.83 0.02
15 -5.05 0.09 60 -2.42 0.02
20 -4.83 0.09 65 -1.98 0.02
25 -4.69 0.08 70 -1.57 0.02
30 -4.48 0.07 75 -1.14 0.02
35 -4.22 0.06 80+ -0.08 0.02
Cuadro: Valores de αx y βx para hombres a través de la librer´ıa gnm
t 1951 1964 1973 1985 1993 1999
κt 12.25 6.64 3.19 -4.06 -6.63 -11.40
Cuadro: Valores de κt para hombres a través de la librer´ıa gnm

Estimación de la mortalidad en Colombia Proyección de mortalidad
Proyección de mortalidad (I)
#Análisis pronósticos con Loess span=0.75, Hombres
kt.h=ts(k.h.est,frequency=1)
m.lo.gnm.h=loess(kt.h ~ t,
control =
loess.control(surface = "direct"))
| tt = seq(1999,by=4,length.out=6)
|
| pr.lo.gnm.h =
| predict(m.lo.gnm.h,
| data.frame(t = tt))

Proyección de mortalidad (II.a)
Se sugiere una disminución en el ´ındice de mortalidad para ambos géneros,
siendo más marcada esta disminución para el género masculino, es decir, los
hombres presentan una mortalidad menor que las mujeres para los periodos
mayores al año 2000
Esta evidencia sugiere un argumento que se busca evidenciar con este texto;
la esperanza de vida en la población analizada esta incrementando con
el tiempo, o de otra manera, la dinámica demográfica de Colombia
está cambiando hacia una mayor longevidad en ambos géneros

Proyecci´on de mortalidad (II.b)
q
q
q
q
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
−60−50−40−30−20−10010
k_t
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
Estimado Hombres
Proyectado Hombres
Estimado Mujeres
Proyectado Mujeres
Figura: kt estimado (1951-1999) y proyectado (2003-2011)

Proyección de mortalidad (III.a)
Llama la atención la forma marcada en la que evoluciona la mortalidad para
las edades entre los 0 y 20 años, evidenciando el carácter exponencial del
modelo llevando la mortalidad a unos niveles m´ınimos alejados de lo que
sucede en los periodos siguientes
Lo anterior es seguido de una evolución mas constante a partir de los 40 años
Además, el modelo logra capturar un cambio importante para una edad de
aproximadamente 70 años en donde se presenta un punto de inflexión para la
estimación del 2011
Se sabe a partir del análisis de residuales que, los datos para las edades de 80
años y más presentan sobredispersión, la cual puede ser la causante de la
mayor variación en la mortalidad para este rango, como fue anotado
anteriormente esto es causado por la agrupación que tienen los datos para el
rango de 80 años y más

Proyecci´on de mortalidad (III.b)
0 20 40 60 80
−10−8−6−4−20
edad
log(mu_x,t)
1951
1964
1973
1985
1993
1999
2003
2007
2011
Figura: log (µx,t ) estimado (1951-1999) y proyectado (2003-2011) - Hombres

Estimación de la población universitaria
Estimación de la población universitaria
0 5 10 15 20 25 30 35
050010001500
semestres cursados
poblacion
Figura: Evolución de las cohortes: 1989/02 - 2006/01
Se consideraron datos de pregrado para las cohortes entre 02/1989 y 01/2006, para la
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medell´ın, proporcionados por el Sr. Fabio Rico
de la Oficina de Planeación Académica de la Sede

Estimación de la población universitaria Estimación del modelo a través de gnm
Estimación del modelo a través de gnm (I.a)
Se realiza la estimación de los parámetros αx , βx , κτ , y µx,τ
(x = 1, 2, 3, . . . , 17 y
t = 1989 − 02, 1999 − 01, 1999 − 02, . . . , 2005 − 02, 2006 − 01)
La salida de alumnos se evidencia en el panel I.a con el parámetro αx , para lo
cual se observa una menor deserción en los semestres 6, 7 y 8 para luego
tomar una inclinación positiva y llegar a un equilibro luego del semestre
número 13, en donde se presenta la mayor relación con la fuerza de
mortalidad
En (c) se observa la evolución de κt cuya dinámica muestra una reversión a
mediados del 2005 al nivel de inicios de la década de 1990. µx,τ , quien
determina la tasa central de mortalidad es mostrada en el panel II.c para los
datos correspondientes a 1989 − 02 y 2006 − 01

Estimación del modelo a través de gnm (I.b)
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q q
q q
5 10 15
−3.5−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0
semestres cursados
log(a_x)
I
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
5 10 15−0.050.000.050.100.150.20
semestres cursados
log(b_x)
II
Figura: Modelo LC para mortalidad académica, parámetros logαx y logβx estimados

Estimación del modelo a través de gnm (I.c)
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
−4−2024
cohortes
log(k_t)
1989 1993 1997 2001 2005
I
5 10 150.050.100.150.200.250.300.35
semestres cursados
log(mu_x,t)
2006−01
1989−02
II
Figura: Modelo LC para mortalidad académica, parámetros κτ y log(µx,τ ) estimados

Estimación del modelo a través de gnm (II.a)
En el semestre 1, el cual representa los estudiantes que ingresaron a la
universidad y permanecieron en ella solo un semestre, evoluciona de manera
creciente a través de las diferentes cohortes, esto es, en una cohorte del 2004,
un estudiante tiene más probabilidades de salir en el primer semestre que
para una cohorte del 1990
También se puede evidenciar, que los estudiantes que permanecen entre 3 y 9
semestres son los más constantes entre las cohortes
Como punto relevante se evidencia que los alumnos que están 10 o mas
semestres presentan un cambio notorio entre las cohortes de 1993 y 1998,
con un incremento en variabilidad hasta las últimas cohortes revisadas
Respecto a la reforma mencionada, la cual inició en el semestre 2008 − 01, se
considera que puede afectar a alumnos que ingresaron alrededor del año
2001, quienes para el año 2008 llevaban aproximadamente 14 semestres en la
universidad
Se evidencia a partir del año 2001 una disminución en variabilidad para los
estudiantes que permanecen entre 8 y 16 semestres en la universidad y una
tendencia de disminución en el logaritmo del parámetro µx,τ , lo cual podr´ıa
se un efecto de la reforma

Estimación del modelo a través de gnm (II.b)
0.00.10.20.30.4
Semestre de ingreso (cohorte)
ln(mu_x,t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1989 1992 1995 1998 2001 2004
Figura: log(µx,t ) para los 17 semestres a través de las 34 cohortes analizadas

Estimación del modelo a través de gnm (III)
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
1 3 5 7 9 12 15
0102030405060
(I) Residuales por semestre cursado
semestre
residuosDeviance
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
0102030405060
(II) Residuales por cohorte
cohorte
residuosDeviance
89 92 95 98 01 04
Figura: Residuos (deviation) del Modelo LC
Se grafican diagramas box-plot para Dx,τ para cada x = 1, . . . , na, y para cada cohorte,
τ = 98/01, . . . , 06/01. Inicialmente se observa que hay varianza constante a pesar de que
los primeros semestres 1,2,3 presentan mayor dispersión. En el panel II se observa una
posible heterocedasticidad, debido a que los semestres del año 2000 en adelante
muestran mayor dispersión.

Estimación del modelo a través de gnm (IV)
Se muestra la siguiente tabla en la que se comparan los residuales de la estimación
por descomposicón singular vs. la estimación por minimización del estad´ıstico
deviance equivalente a la máxima verosimilitud en el modelo log-bilineal de
Poisson, mediante el valor del estad´ıstico chi-cuadrado Deviance y el estad´ıstico
chi-cuadrado Pearson
SVD Max.Ver
Deviance 2090.93 1699.17
Pearson 2188.70 1645.29
Cuadro: Comparación de residuales Deviance y Pearson
Como se puede observar el ajuste mediante máxima verosimilitud con el modelo
log-bilineal de Poisson resulta mejor ya que la varianza del error cuadrático es
menor bajo ambas medidas (Deviance y Pearson).

Estimación de la población universitaria Proyección de mortalidad
Proyección de mortalidad (I.a)
Se ajustó un ARIMA(1,1,0) con parámetro autoregresivo ϕ = −0,3419 y
error estándar 0.1666 determinado a través de la función auto.arima de la
librer´ıa forecast 16
para R
Se realizó una regresión local Loess con la función loess() con un ancho de
ventana spam=0.42 (no se utilizó el valor por defecto de 0.75).
Para un pronóstico de 10 semestres entre 2006 − 02 y 2011 − 01 la tendencia
generada por el modelo ARIMA(1,1,0) es constante, a diferencia de la
tendencia generada por el modelo Loess, la cual es decreciente
16Hyndman, R., Athanasopoulos, G., Razbash, S., Schmidt, D., Zhou, Z., Khan, Y., Bergmeir,
C., & Wang, E. (2014). forecast: Forecasting functions for time series and linear models. R
package version 5.5

Proyecci´on de mortalidad (I.b)
−6−4−20246
cohorte
kt
1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007 2010
lc.poisson
loess−poisson
arima(1,1,0) con tendencia
Figura: Ajuste de κt con ARIMA y Loess, y pron´ostico a 10 semestres

Proyección de mortalidad (II.a)
Dado que al momento del estudio se cuenta con la información hasta el
octavo semestre de la cohorte del 2011-01 (κ34+10) se puede establecer cual
genera un mejor pronóstico de la mortalidad académica. A partir de esta
información se reconstruye la tasa central de mortalidad mx,2011−01 y los
valores lx+1 = lx e−µx,2011−01
, para los semestres x = 1, . . . , 17
Para 2014-02 se conoc´ıan los valores de 8 de estos 17 semestres; son:
1465,1124,1107,1007,961, 908, 878 y 851. Utilizando l1 = 1465 los valores
obtenidos a partir de la estimación de µx,2011−01 por Loess y ARIMA(1,1,0)
están en (II.b) y en (III). En ambas se observa que, excepto los 4 primeros
semestres, los pronósticos con Loess sobre-estiman mientras que con
ARIMA(1,1,0) se sub-estiman los valores observados en 2014 para los
primeros 8 periodos del semestre 2011-01.
Mediante una revisión del error cuadrático de la estimación se concluye que el
mejor ajuste, y por ende la mejor proyección, es la presentada por el modelo
ARIMA(1,1,0)

Proyección de mortalidad (II.b)
observada pron.Loess pron.Arima
1 1465 1465 1465
2 1124 1291 1269
3 1107 1151 1115
4 1007 1043 1004
5 961 972 942
6 908 924 896
7 878 894 864
8 851 869 836
9 849 807
10 823 758
11 774 663
12 690 530
13 570 388
14 437 276
15 320 198
16 231 144
17 161 104
Cuadro: Semestre
2011-01, pronosticada con
Loess y Arima; Fuente de
datos observados: Oficina
de planeación académica,
Universidad Nacional Sede
Medell´ın

Proyección de mortalidad (III)
200400600800100012001400
cohorte
kt
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Loess
ARIMA(1,1,0)
Observado cohorte 2011−01
Figura: Pronósticos de 17 semestres a partir del 2011-01 con modelo LC usando Loess y
ARIMA, datos observados para 8 semestres (Fuente: Oficina de Planeación, Universidad
Nacional de Colombia Sede Medell´ın

Conclusiones y recomendaciones Conclusiones
Conclusiones
El modelo LC sugiere que la mortalidad en Colombia ha venido decreciendo
en las últimas 5 décadas y, a través de los resultados de pronósticos Loess, se
puede afirmar que este factor poblacional seguirá disminuyendo a través del
tiempo.
A partir de la información analizada se puede sugerir que la mortalidad
masculina es menos cambiante que la mortalidad femenina, especialmente
para edades entre los 20 y los 60 años, lo que por ende permite concluir que
en el futuro la esperanza de vida para las mujeres será mejor que la de las
hombres.
Es valido afirmar que la implementación de un modelo como el LC para la
información demográfica de un pa´ıs puede sugerir dinámicas poblacionales
que permitan revisar las formulaciones que basan los modelos previsionales de
fondos de pensiones y seguros. Es evidente que la disminución en la tasa de
la mortalidad llevará a un costo más alto de rentas vitalicias, lo que pone en
riesgo el modelo previsional dado las cifras en las que está basado por ley.

Conclusiones y recomendaciones Conclusiones
Conclusiones
Con base en los resultados obtenidos se puede conclu´ır que la evolución de la
población universitaria muestra un incremento en la deserción en los primeros
semestres, 1 a 4, a partir de 2001, y al mismo tiempo, una disminución del
tiempo requerido para graduarse en 10 semestres.
La utilidad de esta metodolog´ıa puede verse desde la planeación académica
ya que ser´ıa posible analizar indicadores tales como número de estudiantes
por docente, deserción estudiantil, permanencia promedio en la universidad,
entre otros.
La metodolog´ıa original de LC con base en la descomposición en valores
singulares no parece fácil de implementar en modelos alternos de LC como los
propuestos en Cairns et al., 2009 17
, por lo que la implementación en R de
la estimación con base en modelos no lineales generalizados resulta de suma
utilidad y permite la extensión de otros modelos, por ejemplo, incorporando
decrementos múltiples (riesgos competitivos)
17Cairns, A. J. G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G. D., Epstein, D., Ong, A., & Balevich, I.
(2009). A Quantitative Comparison of Stochastic Mortality Models Using Data from England
and Wales and the United States. North American Actuarial Journal, 13(1), 1−35

Conclusiones y recomendaciones Recomendaciones
Recomendaciones
Bajo el supuesto de que las empresas de seguros y pensiones están
concentradas regionalmente, se sugiere realizar un estudio de la dinámica
poblacional que diferencie la tasa de mortalidad por regiones. Lo anterior
podrá sugerir un riesgo diferencial por region y por ende a costos
previsionales más altos o más bajos para diferentes participantes en sector.
De manera similar, un estudio de mortalidad académica por sede podrá
sugerir en qué lugares se están evidenciando con mayor fuerza las pol´ıticas
implementadas en términos académicos y de regulación para determinar qué
condiciones particulares afectan a las diferentes poblaciones. As´ı mismo se
pueden generar estudios adicionales que incorporen variables como estado
civil, ocupación laboral, estrato, género, etc. de forma que identifiquen
factores externos que afecten la mortalidad académica.

Agradecimientos
Agradecimientos
A la Universidad Nacional de Colombia y a la Escuela de Estad´ıstica de la
Facultad de Ciencias por contribuir al fortalecimiento de mi perfil académico y
profesional. Especiales agradecimientos al Profesor Norman Giraldo por su apoyo y
contribución al presente trabajo. Además, se agradece a la Oficina de Planeación
Académica de la Universidad Nacional de Colombia, sede Medell´ın por
proporcionar los datos para la estimación de la población universitaria.

OCHOA_C, El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar mortalidad, Una aplicacion para Colombia 2015

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a OCHOA_C, El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar mortalidad, Una aplicacion para Colombia 2015

Similar a OCHOA_C, El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar mortalidad, Una aplicacion para Colombia 2015 (20)

OCHOA_C, El modelo Lee-Carter para estimar y pronosticar mortalidad, Una aplicacion para Colombia 2015