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Ondas electromagnéticas
- 1. Ondas Electromagnéticas Profe: Miguel MolinaRivera Profesor del Área de Física de Preparatoria Agrícola de la UACh. Las presentes son notas elaboradas con el fin de dar un acercamiento al estudio de las ondas electromagnéticas
- 2. CONTENIDO Pág. I. INTRODUCCIÓN. II. ECUACIONESDE MAXWELL. III. CONDICIONES DE FRONTERA. IV. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. V. DENSIDAD DE POTENCIA. VI. REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN. VII. BIBLIOGRAFÍA 1 28 34 43 70 77 79
- 3. 1 I. INTRODUCCIÓN 1. FUNDAMENTOSDE ANÁLISIS VECTORIAL 1.1 Suma y productos vectoriales. )1(...ABBA )2(...BaC )6(... )6(.... )5(...)()()( )4(... )3(... a EzDzCzBzAz EyDyCyByAy ExDxCxBxAx EDCBA ZBzAzYByAyXBxAxBA BzZByYBxXAzZAyYAxXBA AzZAyYAxXA
- 4. 2 9... 8... 7...cos DFTRABAJO ABBA BABA )11(... 0 1 )10()...()( )()( )()( yxyzxyxzzyyx zzyyxx zzBzAzyzByAzxzBxAz zyBzAyyyByAyxyBxAy zxBzAxyxByAxxxBxAxBA BzZByYBxXB AzZAyYAxXA (11) en (10) )15()...()( )()( )()( )14(... )13(... )12(... zzBzAzyzByAzxzBxAz zyBzAyyyByAyxyBxAy zxBzAxyxByAxxxBxAxBA ABBA senABBA zxBzAzByAyBxAxBA
- 5. 3 De (13) y(14) y la figura )16(... zzyyxx zxyxz yzxzy xyzyx (16) en (15) ´)17(... )17(... BzByBx AzAyAx zyx BA zAyBxAxByyAxBzAzBxxAzByAyBzBA 1.2 OPERADOR NABLA 18...z z y y x x Gradiente 20... 19... VgradV z z V y y V x x V V Diferencia
- 6. 4 22... 21... AdivA z Az y Ay x Ax A Rotacional 24... ´23... 23... ArotA AzAyAx zyx zyx A z y Ax x Ay y x Az z Ax x z Ay y Az A Identidades ´27... 27... 26...0 25...0 2 2 2 2 2 2 2 2 z z y y x x V VVVgraddiv VVgradrot AArotdiv 2. FORMA PUNTUAL DE LA LEY DE GAUSS a) Ley de Coulomb 122 21 12 r r QQ kF 12F Fuerza de 1 sobre 2 12r Vector de 1 a 2
- 7. 5 o kcon 4 1 Permitividad delmedio o Permitividad del vacio m F12 1085.8 Faraday / metro m F 122 21 4 1 r r QQ F o F Newton = N Q Coulomb = C r Metro =m El signo de F es positive si la fuerza es repulsiva. El signo de F es negativo si la fuerza es atractiva. b) Campo eléctrico. C NE r r Q E r r Q E si Q F E o o o 2 2 1 122 1 1 2 12 1 4 1 4 1
- 8. 6 c) Potencial eléctrico. Vvolt C mN V r Q rV sidrEdVrV drEdVV drEdrVdVV VE o r o r r r 4 1 2 1 12 2 1 d) Densidad de Carga Densidad de carga lineal dL dQ L Q
- 9. 7 Densidad de cargasuperficial dA dQ A Q Densidad de carga volumétrica dV dQ V Q e) Desplazamiento eléctrico. 2 2 4 1 m CD r r Q D ED f) Flujo C ndada daD A
- 10. 8 g) Forma puntualde la ley de Gauss para una esfera. ddsenrdaademásdarr r Q nrperodanr r Q daD A 2 2 2 1 4 4 1 V QdV Q Q ddsenr Q ddsenr r Q 4 4 4 1 4 2 0 0 2 2 2 3. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Si S es una superficie cerrada que radia al volumen V, entonces para cualquier vector A 46... VSC dVAdaA En donde danda , con da un elemento de área sobre S y n, el unitario en la normal saliente a ds .
- 11. 9 Por lo tanto(46) en (45) )47...( VVSD dVdVDdaD Como lo anterior es válido para cualquier volumen esto se reduce a: )48...( D Para todo punto de un medio de la divergencia de la densidad de desplazamiento eléctrico es igual a la densidad de carga o bien el flujo neto saliente del desplazamiento eléctrico por unidad de volumen es igual a la carga por unidad de volumen. 4. FORMA PUNTUAL DE LA LEY DE OHM. Electrodinámica RIV
- 12. 10 dadconductivi RA conE R AJ IEVAJIcomoVGV R I 1 1 1 , 1 EJ Es entonces para un material homogéneo e isotópico. Observaciones: G A 1 mhoG mU m 11 EVdJ AJAVdI Vd Velocidad de arrastre o de deriva aVd q m con a q m Vd a q m q F EperoEVd movilidadconEVd
- 13. 11 5. CONSERVACION DELCAMPO ELÉCTRICO Sabemos daJdaJ ndada ndardada daJdaJ daJ dt dq I A 2 1 21 daJI Pero VV dV t dV dt dq I
- 14. 12 Por el teoremade la Divergencia VA dVJdaJ Sustituyendo t J dVJdV t VV 054321 IIIII Ley de las corrientes de Kirchchoff nodo I 0 6. LEY DE BIOT-SAVART
- 15. 13 Fuerza Motriz BILF Donde: LLongitud del alambre en el campo magnético (m). I Corriente en el alambre A B Densidad de flujo magnético NA-1 m-1 = Tesla S M daB M Flujo magnético NA-1 m ó Weber wb. dIsenIBdF Permeabilidad del medio para el vacio
- 16. 14 dl r senI B m Ampere WebermHenry 2 17 4 104 Donde BDensidad del flujo, NA-1 m-1 I Corriente en el conductor, A dl Longitud del elemento, m r Distancia desde el elemento a P, m Ángulo medio en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj desde la dire4ccion positiva de la corriente a lo largo de dl hacia la dirección del vector r 7. LEY CIRCUITAL DE AMPERE r I B Constante de proporcionalidad 2 1 r I B 2 Si tenemos: r I H 2 Campo magnético Am-1
- 17. 15 B H HB No depende delmedio IdlH r r I dl r I dlH 2 22 Donde dl Longitud infinitesimal de trayectoria, m I Corriente encerrada 8. FORMA PUNTUAL DE LA LEY CIRCUITAL DE AMPERE 1.... A daJIdlH Teorema de Stokes JH daJdaH daHdlH AS S 3.... 2....
- 18.
- 19. 17 EJERCICIOS: 1. Una cargapuntual negativa de C1 esta situada en el aire en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Una segunda carga puntual negativa de C100 esta situada en el eje X positivo a una distancia de 500mm del origen ¿Cuál es la fuerza sobre la segunda carga? Solución: r r QQ F o 2 21 4 1 112 1085.8 Fmo NxF x mFm C F mFm CC F 6.3 5.01085.84 100 5.01085.84 1010010 2112 212 2112 66
- 20. 18 2. Una cargapuntual negativa de C10 esta situada en el aire en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. ¿Cuál es la intensidad de un campo eléctrico en un punto situado sobre el eje X positivo a 3m del origen? r r Q E o 2 1 4 1 229 10 36 1 CmNo XCNE X mCmN C E 1 2229 9 10 310 36 1 4 1010
- 21. 19 3. Una carga1Q de C1 esta situada en el origen y una carga 2Q de C2 se sitúa sobre el eje Y a 1m del origen. Encuentre la intensidad del campo eléctrico en un punto sobre el eje X a 2m del origen. 1 9 2 9 2 2 2 1 22222 229 2 1 21 6.195.0 24.2 1 24.2 2 5 102 4 1 24 10 21424 , 10 36 1 4 1 CNyxE yx m E r m Q x m Q E yxryxr CmN r r Q E EEE oo oo o o
- 22. 20 4. Sea lacarga Q igual a pC223 encuentre el potencial V a una distancia de a = 400mm, si el medio es aire. Si b = 100mm encuentre Vb y Vab voltsVVV volts mFm C V volts mFm C V VVV r Q V bab o b o a abab o 15 20 1.04 10233 5 4.04 10233 4 1 1 12 1 12 5. Dibuje las líneas de campo para una carga positiva y una negativa.
- 23. 21 6. Un cuadrode 1m por lado y en el aire tiene una carga puntual Q1 = 1pC en el vértice superior derecho, una carga puntual de Q2 = -10pC en el vértice inferior derecho y una distribución lineal de carga de densidad uniforme 1 10 pCmL a lo largo de la arista izquierda. Encuentre el potencial en el punto P en el centro del cuadrado. mVVLVQV VVQ VQ V ym dYL VL dv r v ds r s dl r L r Q V o o o S Vn n o 43 115.0 707.0 10 707.0 10 4 1 5.05.0 1010 5.05.0 10 4 1 158.0 5.04 4 1 1112 22 12 22 12 22
- 24. 22 7. Consideremos unaesfera de radio b y otra concéntrica de radio a. farads ab ab ba V Q C si ba Q V r drQ drEV o o o ab b ao ab 4 11 4 : 11 4 4 2
- 25. 23 8. Verifique quedentro de un conductor que lleva una corriente I, el campo magnético a una distancia r del centro del alambre esta dado por: 2 2 r Ir H donde r es el radio del alambre. La densidad de corriente es contante a través de la sección transversal del conductor. Rn rI H en nR I JInRJIdsJ rJ HrJrH IdsJdlH 2 12 2...., 1.... 2 2 2 2 2
- 26. 24 9. Muestre quela capacitancia de una esfera de radio R es: faradsRo4 V Q C , drEV , QdsD , ED o R R Q Q C R Q r drQ drEdrEV Rrpara r Q E Rrpara R Q E QRE QdsE o o R oo R o o o o 4 4 44 4 4 4 2 2 2 2
- 27. 25 10. Si 22 7 CmzzyyyxD encuentre D Solución: zzD z z z y y y x x y D zzyyyxz z y y x x D z z y y x x 27270 7 7 2 2
- 28. 26 11. A unaesfera de radio R se le descarga, si la densidad de carga que se mide viene dada por 3 re t encuentre la densidad de corriente. VS dV t daJ , dddrsenrdV 2 24 2 0 2 00 52 232 32 3 2 22 6 64 64 64 64 4 mAReJ R eRJ ddsendrreRJ dddrsenrreRJ dVreRJ dV dt re RJ t t R t t V V t V t
- 29. 27 12. Encuentre ladensidad de flujo magnético B a una distancia R de un conductor lineal delgado de longitud infinita que lleva una corriente I. R II dsen I B sen sen I B dR R senI B dR sen R sen I B dRdlR RR sen R r r R sen dl r senI B 2 cos 44 1 csc,csc 4 csc 4 csc 4 csccot tan 1 1 tan 4 0 23 2 2 3 2 2 2 2 2
- 30. 28 II. ECUACIONES DEMAXWELL Teorema de la Divergencia: dVAdsA Teorema de Stokes: dsHdlH Desplazamiento eléctrico: ED o Densidad de corriente: EJ Densidad de flujo magnético: HB Primera Ecuación de Maxwell (Ley de Faraday) 2.... 1... dsB dt d dlEV dt d V M Por teorema de Stokes 3....ds t B dsE Por (2) y (3)
- 31. 29 4.... ds t B dlEV Forma integral Ahora (3) y (4) 5.... t B E Forma puntual Segunda Ecuación de Maxwell 1..... dsJIdlH 3´.....0 2..... AparadlH AparaIdlH En este caso por (1) dsJI
- 32. 30 Como dt dA dt dQ I donde Adensidad superficial de carga de polarización. 4.....´ dt d J dt d A Pero: D , dt dD dt d , 5..... dt dD AI Por (4) y (5) dt dD J´ Corriente de desplazamiento 6.....dsJ dt dD dlH Forma integral Por teorema de Stokes: 8..... 7..... J dt dD H J dt dD dsHdlH Tercera ecuación de Maxwell (Ley de Gauss)
- 33. 31 3..... 2..... 1..... dVqdsD EDcomo q dsE o o Forma integral Por teorema de la Divergencia 4..... D dVdVD Forma puntual Cuarta Ecuación de Maxwell (Ley de Gauss del magnetismo)
- 34. 32 2.....0 1.....0 dsB M Forma integral Por teorema de la Divergencia 3.....0 0 B dVB Forma puntual Conservación del campo eléctrico: Forma puntual: t J dV t dVJ Forma integral: dV t dsJI SIGNIFICADO FÍSICO DE LAS LEYES DE MAXWELL 1. La fuerza electromotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la derivada respecto al tiempo del desplazamiento magnético a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria.
- 35. 33 2. La fuerzamagnétomotriz alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la densidad de corriente más la derivada respecto al tiempo del desplazamiento eléctrico a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria. 3. El desplazamiento eléctrico total a través de una superficie que encierra a un volumen es igual a la carga total del volumen. 4. El flujo magnético total de una superficie cerrada es cero.
- 36. 34 III. CONDICIONES DEFRONTERA 1. COMPONENTES TANGENCIALES Y NORMALES DE B Ó H Y DE E Ó D a) La componente tangencial de E es continua en la superficie. esto es justamente la máxima afuera de la superficie que dentro de la superficie. b) La componente tangencial de H es continua a través de una superficie excepto en la superficie de un conductor perfecto. En la superficie de un conductor perfecto la componente tangencial por unidad de anchura. c) La componente normal de B es continua en la superficie de discontinuidad. d) La componente normal de D es continua si no hay densidad de carga superficial. De otro modo D es discontinuo por una cantidad igual a la densidad de carga superficial. Condiciones de frontera para componente tangenciales del campo eléctrico: yxzByEy x Ex x ExyEy x Ex x Ex ds t B dsE 1 2 1 2 22 2 2 2 1
- 37. 35 Simplificando: 12 012 012 12 12 EyEy EyEy xperoxzBEyEy yxzByEyEy yxzByEyyEy Esto esla componente tangencial de E es continua. Similarmente: yxzDyxJzyHy x Hx x HyyHy x Hx x Hx daJDdlH S 1 2 1 2 22 2 2 2 1 Simplificando: 12 012 012 12 12 HyHy HyHy xperoxDzJzHyHy yxzDJzyHyHy yxzDyxJzyHyyHy
- 38. 36 Esto es elcomponente tangencial de H es continuo (para densidades de corrientes finitas) hojadeCorrientemAJsxJLim JszHyHy yJszyHyyHy 21 12 Componentes normales de D: De la tercera ecuación de Maxwell 0 21 21 xLim xDn da Dn dVdsDndsDn dVdsD
- 39. 37 En el casode que no se altere la frontera, o sea que no genere una carga superficial. 21 DnDn En el caso de que si se genere una carga superficial. sxLim Densidad superficial de la carga sDnDn 21 En el caso de que el segundo medio es un metal. sDn 1 Componentes normales de B. 21 00 021 BnBn x Bn da Bn
- 40.
- 41. 39 EJERCICIOS: 1. Muestre quela densidad de corriente de desplazamiento es igual a la corriente de conducción. Y ejemplifique para wtsenVmV wtwVm ddt wtsend Vm ddt wtsenVmd dA I dt dD entodesplazamideCorriente A I I dA d I d d A I Cddt dQ Cddt C Q d ddt dV ddt d V d dt dE dt Ed dt dD A I dt dD cos
- 42. 40 2. Una líneade transmisión consiste de 2 planos conductores perfectos de gran extensión separados una distancia y guiando entre ellos una onda plana uniforme. Los planos conductores llevan una densidad de corriente lineal alterna m AJs en la dirección de Y, dada por: C Y twJoJs cos Obtenga E y V entre las placas. C Y senw C Y tsenw w Jod V EdV C Y senw C Y twsen w Jo E dtw C Y twJo w E dt C Y twJoE dtJsE dt dD Js o o t o t o t o 0 0 0 cos 1 cos 1 1
- 43. 41 3. El vectorE de una onda electromagnética en el espacio libre está dada por: C Z twAEyEzEx cos,0 Encuentre el vector magnético H. X C Z tw C Z w C A H C Z tww C Z C Ax H C Z tw C xA H xdtw C Z tsenw wC wA H x C Z tsenw C Aw x C w CV Z tsenwAx C Y twA z E C Z twA zyx zyx E dtEH dtEB t B E t t t coscos coscoscos cos 0cos0 1 0 0 0
- 44. 42 4. Una espirade alambre de 20cm por 20cm tiene un voltímetro (de impedancia infinita) conectado en serie con uno de sus lados. Determine el voltaje que indica por el medidor cuando la espira se coloca en un campo magnético alterno. La máxima intensidad es de 2T. El plano de la espira es perpendicular al campo magnético, la frecuencia es 10MHz. 7 102cos12coscos m AmftBmwtBmB Por la segunda ecuación de Maxwell: tsen tsenmm senwtBAw ds t B t Vporqueds t B V S 77 77 10210502.0 10221022.02.0
- 45. 43 IV.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 1. ENEL ESPACIO LIBRE. En el espacio libre 00 Jy En general: En el espacio libre: EJ HB ED B D BE JDH 2..... 0 0 1.....0 B D BE DH Ahora: 4..... 3..... HE DHH t Sabemos que: 5.....2 AAA Entonces: EEE 2 Por las ecuaciones (2), (3), (4) y (5): EEE Por la ecuación (1): 0 1 DE
- 46. 44 EE 2 Ecuación de ondapara el campo eléctrico en el vacío. EE 2 Ecuación de onda para el campo magnético en el vacío. 2. PROPAGACIÓN DE UNA ONDA PLANA UNIFORME planaondaunadeEcuación t E x E EE 2 2 2 2 2 seg mV ysiV oo oo 8 2 103 1 1 Se deduce que la luz es una onda y puede ser polarizable. 3. SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN DE ONDA mtxsenEy 2 mtxsen V m mtxm Vt Ey V mtxsenmtx x Ey t Ey Vx Ey 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 cos 11 ´cos 1
- 47. 45 Entonces: mtxsen V m mtxsen 2 2 2 2 wffBV f T V mtxsenmtxsenEy Vmsi V m 2 2 12 2 Izquierda: Derecha: V dt dx V dt dx ctemtx ctemtx 0 . . V dt dx V dt dx ctemtx ctemtx 0 . . En forma general: wtxiwtxi wtxi wtxi eeEyEyET ewtxsenmtxsenEy ewtxsenmtxsenEy ImIm21 Im2 Im1
- 48. 46 4. RELACION ENTREHyE PARA UNA ONDA PLANA UNIFORME HzHyH EzEyE ,,0 ,,0 DHx CzByAx 0 BE zyfHE ,, Ahora: HzHy zyx kji H 0 ˆˆˆ Pero Hy, Hz = fw
- 49. 47 vtx vtxf t vtx vtx vtxf t Ey vtx vtxf V t vtx vtx vtxf t Ey vtxfEy x Ey x Hz k t Ey j t Ez k x Hy j x Hz k x Ey j x Ez E k x Hy j x Hz H 1..... ˆˆˆˆ ˆˆ ˆˆ Entonces: 2..... x Ey V t Ey Sustituyendo (2) en (1) dx x Ey vdx x Hz x Ey v x Hz
- 50. 48 Por lo tanto: A V m A A V H E H E EzEy EzEy H E EzEy EzEy HzHy EzEy H E EyHy EyHz EyEyHz cEyvHz 22 22 22 22 22 22 1 Impedancia intrínseca o característica del medio. o o o Impedancia característica del vacío.
- 51. 49 0 HE HzHyHyHzHzEzHyEyHE Entonces: º90 22ˆˆ ˆ 0 0 ˆˆˆ HzHyiHyHyHzHziHE HyEzHzEyi HzHy EzEy kji HE 2 ˆ HiHE Es un vector que sale del eje X, la onda viaja en la dirección positiva de X 5. ECUACIÓN DE ONDA PARA UN MEDIO CONDUCTOR. Tenemos que 00 yJ Escribiendo las ecuaciones de Maxwell para un medio conductor:
- 52. 50 0 0 B D BE JDH EJ HB ED Obtenemos una ecuaciónde onda para un medio conductor: EEE DE EEE HE HE EEJDH HH t 2 0 1 02 EEE Ecuación de E para un medio conductor 02 HHH Ecuación de H para un medio conductor 6. VARIACIONES EN EL TIEMPO. Definimos el fasor del vector H como: tj erHErH Re, ~
- 53. 51 7. ECUACIONES DEMAXWELL UTILIZANDO LA ROTACIÓN FASORIAL. J t D H En forma tensorial J t D H ~ ~ ~ tjtjtj tjtjtj tjtjtj eJeDjeH eJeD t eH eJeD t eH ReReRe ReReRe ReReRe Entonces: 0 Re ReReRe JDjH eJDjH eJeDjeH tj tjtjtj JjH
- 54. 52 Por lo tanto: BjE JDjH 0 B D Ecuacionesde Maxwell en términos de j y w 0sdB dvjsdD sdBjldE sdJDjldH Las ecuaciones de onda en términos de j y ω quedarían así: 0 0 22 22 22 EE EjEE EE Ecuación de Helmholtz 8. PROPAGACION DE ONDA PLANA EN ESPACIO LIBRE EE 22 Ecuaciones de Maxwell en forma integral en términos de j y ω
- 55. 53 Ey x Ey 2 2 2 Si 22 xtixtiti xixi ececeEytxyE ececEy Ey x Ey 21 21 2 2 2 ReRe, ~ Si c1 y c2 pertenecen a los reales. txctxctxyE ecectxyE xtixti coscos, ~ ReRe, ~ 21 21 Número de onda o constante de traslación de fase T f 2 2 V Velocidad de fase 9. PROPAGACIÓN DE ONDA EN UN MEDIO CONDUCTOR. 1 0 0 0 22 2 22 EE EiiE EiE iiSi 2 Constante de propagación
- 56. 54 * Solución dela ecuación de onda en un medio conductor en una onda plana. iiii iiii iytiiAhora ecetxyE Entoncescxsi eceecetxyE eeceectxyE eEytxyE ececEy Ey x Ey xtix xtixtxix xtixtxix ti xx 2222 2 1 21 21 21 2 2 2 2 Im,Re : Re, ~ 0 ReRe, ~ Re, ~ Re, ~ Entonces: 222 , 2 2 Sustituyendo:
- 57. 55 42 222 2 2 11 2 11 2 2 2 0 4 22 2 22 2 2222242 2222242 2 222 224 10.CONDUCTORES YDIELÉCTRICOS. Para buenos conductores 1 Para buenos dieléctricos y aisladores 1 D Factor de disipación del dieléctrico senFP .. Dtg 1 DtgsenFP 1 .
- 58. 56 11.PROPAGACIÓN EN BUENOSDIELÉCTRICOS nxx n 11 1x 1 122 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 22 2 8 1 8 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 11 VoV * Impedancia característica de un medio por conductividad finita. o i i i i i i 2 1 1
- 59. 57 12.PROPAGACIÓN DE ONDADE UN BUEN CONDUCTOR. ii 2 1 1 8 10 010 8 2 1 2 1 22 cos 1 4 2 1 2 2 2 ieei senie i iii ii i Multiplicando por γ: º45/ 1 2 2 i i i i i V V Fasor 45º
- 60. 58 13.PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN. txix eyEetxyE Re, ~ 2 2 1 11 2 1 1 1 1 22 2 1 e e e 14.TIEMPO DE RELAJACIÓN. Supongamos que se coloca una carga de densidad o sobre un medio conductor infinito, determine cuanto tiempo le toma a la carga disminuir en un 37% su valor inicial.
- 61. 59 t e e et e tt DJ EDEJ EJ t J o o o t o t %37 0 0 TrTiempo de Relajación TrSi seg seg C C Vm mC m Vm C Tr 0 1 En los dieléctricos
- 62. 60 15.POLARIZACIÓN. Polarización Lineal. zti tizizi eiEirEtzEiEirEoE eeoEtzEeoEzE Re, ~ Re, ~ tsenEitErtoE cos, ~ Ecuación de la recta en coordenadas polares. Polarización Circular. tsenEtEtzE eEiEtzEiEoE zti cos, ~ Re, ~ Polarización Elíptica
- 63. 61 tsenBtAtoE cos, ~
- 64. 62 EJERCICIOS: 1. Muestre quela función vtxV seneF z satisface la ecuación de onda: 2 2 2 2 1 t F C F donde la velocidad de onda 2 1 2 22 1 C CV Solución: vtx v sene ct F c vtx v sene x F vtx v sene zzz F vtx v sen v e x F vtx v sene xxx F z F x F F z z z z z 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 Entonces: 0 1 2 22 2 2 2 2 2 2 cv vtx v sene vtx v sene c vtx v senevtx z sen z e z zzz
- 65.
- 66. 64 2. La tierrase considera buen conductor cuando 1 determine la frecuencia más alta para la cual la tierra puede ser considerada un buen conductor si mucho menor que uno significa menor de 0.1, suponga las siguientes constantes: oy m 10105 3 Solución: f m o 2 10 105 1.0 3 Sustituyendo: kHzf m f 1.899 1.0 105 1085.8102 3 12
- 67. 65 3. Obtenga laprofundidad de penetración de una onda de 1MHz dentro de cobre, el cual tiene una conductividad de m 7 108.5 y una permeabilidad aproximada igual a la del vacío. Solución: 7 7 104 21 108.5 2 MHz m Sustituyendo: m MHz m 5 77 106.6 21104108.5 2
- 68. 66 4. En elvacio 0 obtenga el valor de para una frecuencia de 95.5MHz. Solución: 1 1 12 7 2 2 2 2 0 2 : 1085.8 104 5.95 0 0 mi mi doSustituyen m F m Hy MHzf si i o o
- 69. 67 5. Determine laconstante de propagación para un material con m yoo 25.08, , si la frecuencia de la onda es 3.2MHz. Observación: Vea que el material es un buen dieléctrico o un buen conductor. Solución: MHzf m m F m Hy o o 2.3 25.0 1008.78 104 11 7 Sabemos que para un buen conductor: 1 Sustituimos: 1107.1 10 Es un buen conductor Entonces: i 2 Sustituyendo valores: 11 1066.1 189.0 189.01066.1 11 i
- 70. 68 6. Demuestre que Hy Ez parauna onda plana uniforme que viaja en la dirección de x. k x Ey j x Hz H k x Ey j z Ez EzEy zyH kji E HzHyH EzEyE ˆˆ 0 ˆˆˆ ,,0 ,,0 Por la primera ley de Maxwell: x Ez v t Ez vtx f t vtx vtx vtxf x Ez v vtx f t vtx vtx vtxf x Ez t Ez x Hy k z Ey j x Hz t Ez j t Ey H t E t D H ˆˆˆ
- 71. 69 Hy Ez EzEz Hy vComo CEzvHy x Ez v x Hy 1 1 : 7. Si elcampo eléctrico m vjiiE 73ˆ obtenga la ecuación que satisfacen la componente x fasorial y la componente y fasorial y diga de que tipo es la polarización de onda: 1 49 ~ 9 ~ 7 ~ cos3 ~ ˆ7ˆcos3 ~ cos7ˆ3ˆReRe ~ 22 yExE tsenyE txE jtsenitE tsenitjiieEE ti Polarización elíptica
- 72. 70 V. DENSIDAD DEPOTENCIA 1. TEOREMA DE POYTING HEEHHE HEEHHE BAAHHA EEHEJE EHJEJH Por lo tanto: V dvHEdvEH t dvJE t E EE t H HH HEEEHHJE HE EEHEEHJE 22 2 2 22 2 1 2 1 Por teorema de la Divergencia:
- 73. 71 V V S adHEdvEH t dvJE 22 22 Teorema de Poyting JE A I E v dvJE Potencia disipada en el volumen. 2 2 H Densidad de energía almacenada en el campo magnético. 2 2 E Densidad de energía almacenada en el campo eléctrico. adHE Potencia entrante a través de la superficie cerrada. HEP Vector de Poynting (Energía entrante a una superficie cerrada). 2. POTENCIAS. a) Potencia instantánea. IVW ~~~ Donde: I tiviti tII tvVeeVeVV cos ~ cosReRe ~
- 74. 72 IVt IV W IVSi IVtIV IV W VtVtIVW 2coscos 2 ~ : 2coscos 2 ~ coscos ~ b) Potencia promedio. cos 2 IV WPROM c) Potencia reactiva. sen IV WREAC 2 d) Potencia compleja. IVWW IVWW WWW sen IV i IV W e IV WeIeVVIW REAC PROM REACPROM ivivi Im 2 1Im Re 2 1Re 2 cos 2 22 1 2 1
- 75. 73 El flujo depotencia instantánea por metro cuadrado lo definimos como: HEP ~~~ El vector complejo de Poyting: * 2 1 HEP 3. TEOREMA DE POYTING EN FORMA COMPLEJA. V V dVJEEEHHiadHE JEEEiHHiHE JEiEHHiHE HEEHHE HiE JEiH JDiH ** **** **** *** 4. PERDIDA DE POTENCIA EN UN PLANO CONDUCTOR. 2 2 2 2 12 2 1 º45 2 1*Re 2 1 Etg HtgrealP senHtgEtgtgHEtgrealP Htg Etg
- 76. 74 EJERCICIOS: 1. Encuentre elflujo de potencia para una onda plana (en términos del vector Poyting). Solución: EHHE H E oVHEPoytingdeVector Vo HEenergiadeDensidad 22 22 2 1 1 2 1 Sustituyendo en el vector de Poyting: HEPoytingdeVector uHE oVVo HEoVHEPoytingdeVector ˆ 1
- 77. 75 2. Considere entredos cables concéntricos la potencia se transfiere por una resistencia R, el voltaje V entre los conductores se mantiene por una corriente directa I que fluye por el conductor interno y externo se supone que los conductores tienen una resistencia despreciable, el radio del conductor interno es a y el del exterior es b, obtenga el flujo total de potencia a lo largo del cable. b a b a o r lr q V r dr lr q V rd lr q VdrEV r q V lr qE qlrE qdaE lrÁrea qdaEGaussPor adHEW ln 22 24 1 2 2 2 2
- 78.
- 79. 77 VI. REFLEXIÓN YTRASMISIÓN 1. REFLEXIÓN EN UN CONDUCTOR PERFECTO (INCIDENCIA NORMAL) La componente tangencial de e debe ser continua a través de la frontera, pero e es cero dentro del conductor. La suma del campo incidente más el campo reflejada desde cero. tsenxsenEixsenEijE xsenEijeEreEiE eErE eEiE EtErErEi total xjxj total xj reflejada xj incidente 22Re ~ 2 0 xHieHreHiH HiHr xjxj total cos2
- 80. 78 txHiexHiHtj coscos2cos2Re ~ 2. REFLEXIÓN POR UN CONDUCTOR PERFECTO (INCIDENCIA OBLICUA). sen y sen V By Vy BsenByBBz V donde eezsenEijE EEE eEiE CA kjn eErE CBA reErE kzjyixr CkBjAin ri yyj total reflejadaincidentetotal zysenj incidente zysenj reflejada xj reflejada cos 2 2 2 cosˆ 2 cosˆˆ 22 ˆˆˆˆ cosˆcosˆcosˆ´ˆ cos cos
- 81. 79 VII. BIBLIOGRAFIA Jackson, J.A.,Electrodinámica Clásica, Segunda Edición, Editorial Alhambra, México, 1980.