Clase 11 ecuaciones de maxwell TE

1. Ecuaciones de Maxwell
Clase 11
11/Noviembre/2014

2.  Las cargas eléctricas inducen campos eléctricos y las corrientes eléctricas inducen
campos magnéticos. Mientras la carga y distribuciones de corriente permanezcan
constantes en el tiempo, también lo harán los campos que inducen.
 Sin embargo, si la carga y las fuentes de corriente tuvieran que variar con el tiempo 푡, no
sólo los campos también variarán con el tiempo, sino que suceden muchas cosas más.
Los campos eléctricos y magnéticos se interconectan y el acoplamiento entre ellos
produce ondas electromagnéticas capaces de viajar a través del espacio libre y en
medios materiales. Las ondas electromagnéticas, que incluyen ondas luminosas, rayos X,
ondas infrarrojas, rayos gamma y ondas de radio [véase la figura], son una parte
importante del mundo físico y sus usos se manifiestan en muchos campos de la ciencia y
la tecnología.

4. Ley de Faraday
 Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un
campo magnético, entonces un campo magnético debería ser capaz de
producir una corriente.
 El concepto de “campo” no existía en ese entonces y el éxito de Faraday
consistió en demostrar que una corriente podía producirse por
“magnetismo”
 En términos del campo, ahora se puede decir que un campo magnético
que varía con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de
producir una corriente en un circuito cerrado adecuado.

5. Ley de Faraday
 Una fuerza electromotriz no es otra cosa que un voltaje procedente de los
conductores que se mueven en un campo magnético o de campos
magnéticos variantes, que serán definidos mas adelante. Se acostumbra
expresar la ley de Faraday como
푓푒푚 =
푑∅
푑푡
푉표푙푡푠 (푉)
 La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no
necesariamente conductora; la trayectoria cerrada, por ejemplo puede
incluir un capacitor o ser solamente una línea imaginaria en el espacio.

6. Ley de Faraday
 El flujo magnético es el flujo que cruza a través de cualquier superficie cuyo
perímetro sea una trayectoria cerrada y 푑∅/푑푡 es la razón de cambio de dicho
flujo con respecto al tiempo.
푓푒푚 =
푑∅
푑푡
푉표푙푡푠 (푉)
 Un valor diferente de cero de 푑∅/푑푡 puede ser el resultado de cualquiera de las
siguientes situaciones
1. Un flujo que cambia con el tiempo circundando una trayectoria cerrada fija.
2. El movimiento relativo entre un flujo estable y una trayectoria cerrada.
3. Una combinación de las dos.

7. Ley de Faraday
 El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una
corriente, cuyo flujo si se suma al flujo original, reducirá la magnitud de la
fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para
producir un flujo opuesto se conoce como la ley de Lenz.
 Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas,
por lo general es suficientemente preciso considerar las vueltas como
coincidentes y hacer
푓푒푚 = −푁
 Donde ∅ se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las
N trayectorias coincidentes.
푑∅
푑푡
푉표푙푡푠 (푉)

8. Ley de Faraday
 Además también la podemos definir de la siguientes manera a través de
una trayectoria cerrada especifica
푓푒푚 = 퐸 ∙ 푑퐿 = −
푓푒푚 = −푁
푑∅
푑푡
푑
푑푡
푆
푉표푙푡푠 (푉)
퐵 ∙ 푑푆

9. Ley de Faraday
 Ademas consideraremos el concepto de fem de movimiento. La fuerza
sobre una carga 푄 que se mueve a la velocidad 푣 en el campo
magnético 퐵 es
퐹 = 푄푣 × 퐵
 Y la fuerza por unidad de carga, se llama intensidad del campo eléctrico
móvil 퐸푚
퐸푚 = 푣 × 퐵

10. Problema
 Problema 0
 Dado 퐻 = 300푎푧푐표푠 3 × 108푡 − 푦 퐴/푚 en el espacio libre, encontrar la fem
desarrollada en la dirección 푎∅ alrededor de la trayectoria cerrada que
tiene sus esquinas en:
 푎) 0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 푦 0,1,0 ; 푏) 0,0,0 , 2휋, 0,0 , 2휋, 2휋, 0 , (0,2휋, 0)

11. Problema
 Solución Inciso a
 El flujo del campo magnético ∅푚 a través de una superficie se define:
∅푚 =
푆
퐻푑푠
 Pero sabemos que la cantidad de flujo magnético es 퐵 = 휇퐻
∅푚 =
1
0
1
300휇0푐표푠 3 × 108푡 − 푦 푑푥푑푦 = 300휇표 푠푒푛 3 × 108푡 − 푦
0
1
0
∅푚 = 300휇표 푠푒푛 3 × 108푡 − 1 − 푠푒푛 3 × 108푡 푊푏

12. Problema
 Solución
 Entonces la fem es la siguiente
푓푒푚 = −
푑∅
푑푡
= 300 3 × 108 4휋 × 10−7 푠푒푛 3 × 108푡 − 1 − 푠푒푛 3 × 108푡
푓푒푚 = −1.13 × 105 푐표푠 3 × 108푡 − 1 − 푐표푠 3 × 108푡 푉표푙푡푠

13. Problema
 Solución Inciso b
∅푚 =
2휋
0
2휋
300휇0푐표푠 3 × 108푡 − 푦 푑푥푑푦 = 2휋 × 300휇표푠푒푛 3 × 108푡 − 푦
0
 Por lo tanto la fem es 0
2휋
0
∅푚 = 0 푊푏

14. Problema
 Problema 0a
 Un inductor se forma enrollando 푁 vueltas de un hilo conductor delgado en
una espira circular de radio 푎. La espira se encuentra en el plano 푥– 푦 con su
centro en el origen y está conectada a un resistor 푅, como se ilustra en la
figura. En la presencia de un campo magnético dado por 퐵 = 퐵표(푦 2 +

15. Problema
 Problema 0a
푡푟 푐표푛 푡 = 0 y
c. La polaridad de 푉푓푒푚
d. La corriente inducida en el circuito con 푅 = 1푘Ω (suponga la resistencia del
hilo conductor insignificante)

16. Problema
 Solución
 Inciso a
 El flujo magnético que enlaza cada vuelta del inductor es
 Φ = 푆 퐵 ∙ 푑푠 = 푆 퐵표 푦 2 + 푧 3 푠푒푛 휔푡 ∙ 푧 푑푠 = 3휋푎2퐵표푠푒푛 휔푡
 Inciso b
푡푟 se aplica lo siguiente
 Para determinar 푉푓푒푚
=푡푟 − 푁
 푉푓푒푚
푑Φ
푑푡
= −
푑
푑푡
3휋푁푎2퐵표푠푒푛 휔푡 = −3휋푁휔푎2퐵표푐표푠 휔푡

17. Problema
 Solución
 Con 푁 = 0, 푎 = 0.1푚, 휔 =
103푟푎푑
푠
푡푟 = −188.5푐표푠103푡 (푉)
푦 퐵표 = 0.2푇, 푉푓푒푚
 Inciso c
 Con 푡 = 0,
푑Φ
푑푡
푡푟 = −188.5푉. Como el flujo se incrementa, la corriente 퐼
> 0 푦 푉푓푒푚
debe tener la dirección mostrada en la figura para satisfacer la Ley de Lenz.
Por consiguiente, el punto 2 está a un potencial mas alto que el punto 1 y
푡푟 = 푉1 − 푉2 = −188.5 (푉)
 푉푓푒푚

18. Problema

19. Problema
 Solución
 Inciso d
 La corriente 퐼 se determina de la siguiente forma:
 퐼 =
푉2−푉1
푅
=
188.5
103 푐표푠103푡 = 0.19푐표푠103푡 (퐴)

20. Ecuaciones de Maxwell
 El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico 퐸 y de la
densidad de flujo eléctrico 퐷 a través de dos materiales se examino que los
campos eran estáticos. Un tratamiento similar se dará ahora a la
intensidad del campo magnético 퐻 y a la densidad de flujo magnético 퐵,
de nuevo con campos estáticos.
 También se trato el concepto de densidad de corriente de
desplazamiento 퐽퐷 y se examino la ley de Faraday. Esas mismas
ecuaciones y otras desarrolladas antes se agrupan para formar un
conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.
 Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos
electromagnéticos.

21. Ecuaciones de Maxwell
 Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético
퐻. Un condensador con carga estática 푄 constituye un ejemplo. De la
misma manera, un conductor con una corriente constante 퐼 tiene un
campo magnético 퐻 sin que haya un campo 퐸. Sin embargo, cuando los
campos son variables con el tiempo 퐻 no puede existir sin 퐸 ni 퐸 puede
existir sin 퐻.
 En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de
campos estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos
solo puede ser demostrada con campos variables en el tiempo.
 Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell
involucran todos los campos variables en el tiempo.

22. Ecuaciones de Maxwell
 Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se
presenta la forma mas general donde tanto cargas como corriente de
conducción pueden estar presentes en la región.

23. Ecuaciones de Maxwell
Forma Puntual Forma Integral
훻 × 퐻 =
휕퐷
휕푡 퐻 ∙ 푑퐼 =
푆
휕퐷
휕푡
∙ 푑푆
훻 × 퐸 = −
휕퐵
휕푡 퐸 ∙ 푑퐼 =
푆
−
휕퐵
휕푡
∙ 푑푆)
훻 ∙ 퐷 = 0
푆
퐷 ∙ 푑푆 = 0
훻 ∙ 퐵 = 0
푆
퐵 ∙ 푑푆 = 0

24. Ecuaciones de Maxwell
 Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos
ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la
forma mas puntual e integral de las ultimas dos ecuaciones son
equivalentes bajo el teorema de divergencia.
 Para espacio vacío, donde no hay cargas (휌 = 0) y no hay corrientes
퐽푐 = 0 , las ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

25. Ecuaciones de Maxwell
Forma Puntual Forma Integral (sobre una superficie y
aplicando el Teorema de Stoke
훻 × 퐻 = 퐽푐 +
휕퐷
휕푡
A través de la ley de ampere
퐻 ∙ 푑퐼 =
푆
퐽푐 +
휕퐷
휕푡
∙ 푑푆 (푙푒푦 푑푒 퐴푚푝푒푟푒)
훻 × 퐸 = −
휕퐵
휕푡
A través de la ley de Faraday, esta
ecuación muestra que un campo
variante en el tiempo produce un campo
eléctrico.
퐸 ∙ 푑퐼
=
푆
−
휕퐵
휕푡
∙ 푑푆 (푙푒푦 푑푒 푓푎푟푎푑푎푦; 푆 푓푖푗표)
훻 ∙ 퐷 = 휌
Establece que la densidad de carga es
una fuente (o sumidero) de líneas de flujo
eléctrico.
푆
퐷 ∙ 푑푆 =
푣
휌푑푣 (푙푒푦 푑푒 퐺푎푢푠푠)
훻 ∙ 퐵 = 0
Reconoce el hecho de que se
desconoce la existencia de “cargas
magnéticas” o polos.
푆
퐵 ∙ 푑푆 = 0 (푛표 푒푥푖푠푡푒푛푐푖푎 푑푒 푚표푛표푝표푙표)
Ecuaciones de Maxwell, conjunto de espacio libre

26. Ecuaciones de Maxwell
 La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden
usarse para mostrar que los campos 퐸 y 퐻 variables con el tiempo no
pueden existir independientemente.
 La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas
frecuentemente en los problemas. Sin embargo la forma integral es
importante porque despliega las leyes físicas básicas.

27. Ecuaciones de Maxwell
 Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en
la frontera de 퐵, 퐷, 퐻 푦 퐸 , las cuales son necesarias para evaluar las
constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de
ecuaciones diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no
cambian en general la forma que tienen para los campos estáticos o
estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlas.

28. Ecuaciones de Maxwell
 Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética.
Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo
magnético el campo eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes,
cargas y densidades de corriente.
 Las ecuaciones auxiliares que relacionan 퐷 푦 퐸
 퐵 푐표푛 퐻
퐷 = 휖퐸 퐷푒푛푠푖푑푎푑 푑푒푙 퐹푙푢푗표 퐸푙푒푐푡푟푖푐표
퐵 = 휇퐻 퐷푒푛푠푖푑푎푑 푑푒푙 퐹푙푢푗표 푀푎푔푛푒푡푖푐표 표 퐼푛푑푢푐푐푖ó푛 푀푎푔푛푒푡푖푐푎

29. Ecuaciones de Maxwell
 Que define la densidad de corriente de conducción
퐽 = 휎퐸
 Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la
densidad de carga volumétrica 휌푣
퐽 = 휌푉푉
 Son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en
las ecuaciones de Maxwell

30. Ecuaciones de Maxwell
 Problema 1
 Dado 퐸 = 퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦 en el espacio vacío, halle 퐷, 퐵 푦 퐻. Dibuje 퐸 y 퐻
en 푡 = 0.

31. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 퐷(푑푒푛푠푖푑푎푑 푑푒푙 푓푙푢푗표 푒푙푒푐푡푟푖푐표) = 휖표퐸 = 휖표퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦
 La ecuación de Maxwell 훻 × 퐸 = −휕퐵/휕푡 da
푎푥 푎푦 푎푧
휕
휕
휕푥
휕푦
휕
휕푧
0 퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 0
= −
휕퐵
휕푡

32. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 푎푥
휕/휕푦 휕/휕푧
퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 0
+ 푎푧
휕/휕푥 휕/휕푦
0 퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧
= −
휕퐵
휕푡
 푎푥 −
휕
휕푧
퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 + 푎푧
휕
휕푥
퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 = −
휕퐵
휕푡
 훽퐸푚푐표푠 휔푡 − 훽푧 푎푥 = −
휕퐵
휕푡

33. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 퐼푛푡푒푔푟푎푛푑표
−
휕퐵
휕푡
= 훽퐸푚푐표푠 휔푡 − 훽푧 푎푥 ⟹
 Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido
despreciada. Entonces
휕퐵
휕푡
= − 훽퐸푚푐표푠 휔푡 − 훽푧 푎푥푑푥
퐵 = −
훽퐸푚
휔
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푥 Densidad de flujo Magnético
퐻(퐶푎푚푝표 푀푎푔푛푒푡푖푐표) = −
훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푥

34. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 Obsérvese que 퐸 푦 퐻 son mutuamente perpendiculares.
 En 푡 = 0, 푠푒푛 휔푡 − 훽푧 = −푠푒푛훽푧. La figura muestra que los dos campos a lo
largo del eje 푧, suponiendo que 퐸푚 푦 훽 son positivos.

35. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 2
 Demuestre que los campos 퐸 푦 퐻 del problema anterior constituyen una
onda que viaja en dirección 푧. Verifique que la velocidad de la onda y
퐸/퐻 dependen sólo de las propiedades del espacio vacío.
 퐻 = −
훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푥
 퐸 = 퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦

36. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 퐸 푦 퐻 varían ambos como 푠푒푛 휔푡 − 훽푧 . Un estado dado de 퐸 푦 퐻 se
caracteriza entonces por
휔푡 − 훽푧 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒 = 휔푡 ó 푧 =
휔
훽
푡 − 푡표
 Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad
푐 =
휔
훽

37. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 En la dirección de su normal, 푎푧. Se supone que tanto 훽, como 휔, son
positivos. Para 훽 negativo, la dirección del movimiento seria −푎푧). De esta
manera el patrón completo de la figura anterior se mueve por el eje 푧 con
velocidad 푐.
 La ecuación de maxwell 훻 × 퐻 = 휕퐷/휕푡 da
푎푥 푎푦 푎푧
휕
휕
휕푥
휕푦
휕
휕푧
−훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 0 0
=
휕
휕푡
휖표퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦

38. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 La ecuación de maxwell 훻 × 퐻 = 휕퐷/휕푡 da
−푎푦
휕
휕푦
휕
휕푧
−훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 0
+ 푎푧
휕
휕푥
휕
휕푧
−훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡 − 훽푧 0
=
휕
휕푡
휖표퐸푚푠푒푛 휔푡 − 훽푧 푎푦

39. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 훽2퐸푚
휔휇표
푐표푠 휔푡 − 퐵푧 푎푦 = 휖표퐸푚휔푐표푠 휔푡 − 훽푧 푎푦
 1
휖표휇표
=
휔2
훽2
 Por lo tanto
 푐 =
1
휖표휇표
=
1
8.8541878176×10−12 4휋×10−7 = 3 × 108푚/푠
 Mas aún
 퐸
퐻
=
퐸푚푠푒푛 휔푡−훽푧
훽퐸푚
휔휇표
푠푒푛 휔푡−훽푧
=
휔휇표
훽
= 푐휇0 =
1
휖표휇표
휇0 =
휇표
휖표
= 120휋
푉
퐴
= 120휋Ω

40. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 3
 Sean 퐻 = 퐻푚푒푗(휔푡+퐵푧)푎푥 en el espacio vacío. Halle 퐸.

41. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 훻 × 퐻 =
휕퐷
휕푡
 휕
휕푧
퐻푚푒푗 휔푡+훽푧 푎푦 =
휕퐷
휕푡
푎푥 푎푦 푎푧
휕
휕
휕푥
휕푦
휕
휕푧
퐻푚푒푗(휔푡+퐵푧) 0 0
=
휕퐷
휕푡
⟹ −푎푥
휕
휕푥
휕
휕푧
퐻푚푒푗(휔푡+퐵푧) 0
+ 푎푦
휕
휕푥
휕
휕푦
퐻푚푒푗(휔푡+퐵푧) 0

42. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 훻 × 퐻 =
휕퐷
휕푡
 휕
휕푧
퐻푚푒푗 휔푡+훽푧 푎푦 =
휕퐷
휕푡
⟹ 푗훽퐻푚푒푗 휔푡+훽푧 푎푦 =
휕퐷
휕푡
푎푥 푎푦 푎푧
휕
휕
휕푥
휕푦
휕
휕푧
퐻푚푒푗(휔푡+퐵푧) 0 0
=
휕퐷
휕푡

43. Ecuaciones de Maxwell
 Solución
 Integramos
 푗훽퐻푚푎푦 푒푗 휔푡+훽푧 푑푡 =
휕퐷
휕푡
⟹
 퐷 =
훽퐻푚
휔
푒푗 휔푡+훽푧 푎푦
 Y por lo tanto
 퐸 =
퐷
휖표
⇒ 퐸 =
훽퐻푚
휔
푒푗 휔푡+훽푧 푎푦
휖0

44. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 4
 Dado
 E = 30π푒푗 108푡+훽푧
푎푥 푉/푚 퐻 = 퐻푚푒푗(108푡+퐵푧)푎푦 퐴/푚
 en el espacio vacío. Halle 퐻푚 푦 퐵 훽 > 0 .

45. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 4
 Solución
 Esta es una onda plana, esencialmente la misma del problema 1 (excepto
que allí 퐸 estaba en la dirección de 퐻 en la dirección de 푥). El resultado del
problema 2 para cualquier onda como esa en el espacio vacío fue:
 휔
훽
=
1
휖0휇0
= 3 × 108 푚
푠
퐸
퐻
=
휇0
휖0
= 120휋
 Por lo tanto dela primera ecuación despejamos 훽
 훽 =
휔
3×108 =
108
3×108 =
1
3
푟푎푑/푚 퐻푚 = ±
퐸푚
120휋
= ±
1
4
퐴/푚

46. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 4
 Solución
 Para fijar el signo de 퐻푚, aplicamos 훻 × 퐸 = −휕퐵/휕푡:

푖 푗 푘
휕/휕푥 휕/휕푦 휕/휕푧
30휋푒푗 108푡+훽푧 0 0
= −휕/휕푡
1
4
푒푗 108푡+훽푧
 −푗
휕
휕푥
휕
휕푧
30휋푒푗 108푡+훽푧 0
+ 푘
휕
휕푥
휕
휕푦
30휋푒푗 108푡+훽푧 0
= −
108
4
푒푗 108푡+훽푧
 푗 30휋훽푒푗 108푡+훽푧 = −
108
4
푒푗 108푡+훽푧

47. Ecuaciones de Maxwell
 Problemas 4
 Lo que demuestra que 퐻푚 debe ser negativo.

48. Potencia y Vector Poyting
 Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de
conductividad 휎 y luego se toma el producto escalar de 퐸 con cada
término:
 Donde, como es usual, 퐸2 = 퐸 ∙ 퐸. E utiliza la identidad vectorial
 훻 ∙ 퐴 × 퐵 = 퐵 ∙ 훻 × 퐴 − 퐴 ∙ 훻 × 퐵 para cambiar el lado izquierdo de la
ecuación.
훻 × 퐻 = 휎퐸 + 휖
휕퐸
휕푡
퐸 ∙ 훻 × 퐻 = 휎퐸2 + 퐸 ∙ 휖
휕퐸
휕푡

49. Potencia y Vector Poyting
 Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos
 Similarmente,
퐻 ∙ 훻 × 퐸 − 훻 ∙ 퐸 × 퐻 = 휎퐸2 + 퐸 ∙ 휖
휕퐸
휕푡
퐻 ∙ 훻 × 퐸 = 퐻 ∙ −휇
휕퐸
휕푡
= −
휇
2
휕퐻2
휕푡
퐸 ∙ 휖
휕퐸
휕푡
=
휖
2
휕퐸2
휕푡

50. Potencia y Vector Poyting
 Sustituyendo y reordenando términos,
휎퐸2 = −
휖휕퐸2
휕푡
−
휇
2
휕퐻2
휕푡
− 훻 ∙ 퐸 × 퐻
 Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un
volumen general 푣 debe ser valida también
푣
휎퐸2 = −
푣
휖휕퐸2
휕푡
−
휇
2
휕퐻2
휕푡
−
푆
 Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la
superficie de 푣 mediante el teorema de divergencia.
퐸 × 퐻 ∙ 푑푆

51. Potencia y Vector Poyting
 La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico
conocido para representar la energía disipada en calor por unidad de
tiempo. Esta energía disipada tiene su fuente en las integrales de la
derecha. Como
ϵ퐸2
2
푦
휇퐻2
2
son las densidades de energía almacenadas
en los campos eléctrico y magnético respectivamente, las derivadas
negativas respecto del tiempo pueden considerarse como una
disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral final
(incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el
volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de
energía que abandona el volumen:
푃 푡 =
푆
퐸 × 퐻 ∙ 푑푆 =
푆
℘ ∙ 푑푆

52. Potencia y Vector Poyting
 Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de
propagación. De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una
forma útil y libre del sistema de coordenadas de hallar la dirección de
propagación es conocida. Esto puede tener mucho valor cuando se
examinan ondas incidentes, transmitidas y reflejadas.
℘푝푟표푚 =
1
2
푅푒 퐸 × 퐻∗

53. Potencia y Vector Poyting
 Donde ℘ = 퐸 × 퐻 es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo de
energía por unidad de área en un punto.
 En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos se
suponen reales. Pero si, 퐸 푦 퐻 se expresan en forman compleja y dependen
en común del tiempo, 푒푗푤푡, entonces el promedio de tiempo de ℘ esta
dado por
 Donde 퐻∗ es la conjugada compleja de H.
 De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, 푆 =
1
2
푉퐼∗, de
la que la potencia es la parte real, 푃 =
1
2
푅푒푉퐼∗
℘푝푟표푚 =
1
2
푅푒 퐸 × 퐻∗

54. Potencia y Vector Poyting
 Problema 5
 Una onda viajera está descrita por 푦 = 10푠푒푛 훽푧 − 휔푡 . Dibuje la onda en
푡 = 0 y en 푡 = 푡1, cuando ha avanzado 휆/8, si la velocidad es de 3 × 108푚/푠
y si la frecuencia angular 휔 = 2 × 106 푟푎푑/푠 y el mismo tiempo 푡1.

55. Potencia y Vector Poyting
 Solución
 La onda avanza 휆 en un periodo, 푇 = 2휋/휔. Por tanto
 푡1 =
푇
8
=
휋
4휔
 휆
8
= 푐푡1 = 3 × 108 휋
4 106 = 236푚

56. Potencia y Vector Poyting
 Solución
 La onda se muestra en 푡 = 0 푦 푡 = 푡1 en la figura a. A una distancia de dos
veces la frecuencia, la longitud de onda 휆 es la mitad y la constante de
de fase 훽 es dos veces el valor anterior. En la figura b, en toda 푡1 la onda
avanzo también 236 m pero esta distancia es ahora
휆
4