Clase 11 EDM

Ecuaciones de Maxwell
Clase 11
11/JULIO/2014

Ley de Faraday
 Faraday manifestó su creencia de que si una corriente podía producir un
campo magnético, entonces un campo magnético debería ser capaz de
producir una corriente.
 El concepto de “campo” no existía en ese entonces y el éxito de Faraday
consistió en demostrar que una corriente podía producirse por
“magnetismo”
 En términos del campo, ahora se puede decir que un campo magnético
que varía con el tiempo produce una fuerza electromotriz (fem) capaz de
producir una corriente en un circuito cerrado adecuado.

Ley de Faraday
 Una fuerza electromotriz no es otra cosa que un voltaje procedente de los
conductores que se mueven en un campo magnético o de campos
magnéticos variantes, que serán definidos mas adelante. Se acostumbra
expresar la ley de Faraday como
 La ecuación anterior implica una trayectoria cerrada, aunque no
necesariamente conductora; la trayectoria cerrada, por ejemplo puede
incluir un capacitor o ser solamente una línea imaginaria en el espacio.
𝑓𝑒𝑚 =
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 (𝑉)

Ley de Faraday
 El flujo magnético es el flujo que cruza a través de cualquier superficie cuyo
perímetro sea una trayectoria cerrada y 𝑑∅/𝑑𝑡 es la razón de cambio de dicho
flujo con respecto al tiempo.
 Un valor diferente de cero de 𝑑∅/𝑑𝑡 puede ser el resultado de cualquiera de las
siguientes situaciones
1. Un flujo que cambia con el tiempo circundando una trayectoria cerrada fija.
2. El movimiento relativo entre un flujo estable y una trayectoria cerrada.
3. Una combinación de las dos.
𝑓𝑒𝑚 =
𝑑∅
𝑑𝑡

Ley de Faraday
 El signo menos indica que la fem tiene una dirección tal que produce una
corriente, cuyo flujo si se suma al flujo original, reducirá la magnitud de la
fem. Este enunciado que establece que el voltaje inducido actúa para
producir un flujo opuesto se conoce como la ley de Lenz.
 Si la trayectoria cerrada es un filamento conductor enrollado de N vueltas,
por lo general es suficientemente preciso considerar las vueltas como
coincidentes y hacer
 Donde ∅ se interpreta como el flujo que pasa a través de cualquiera de las
N trayectorias coincidentes.
𝑓𝑒𝑚 = −𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡

Ley de Faraday
 Además también la podemos definir de la siguientes manera a través de
una trayectoria cerrada especifica
𝑓𝑒𝑚 = −𝑁
𝑑∅
𝑑𝑡
𝑓𝑒𝑚 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐿 = −
𝑑
𝑑𝑡
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆

Ley de Faraday
 Ademas consideraremos el concepto de fem de movimiento. La fuerza
sobre una carga 𝑄 que se mueve a la velocidad 𝑣 en el campo
magnético 𝐵 es
 Y la fuerza por unidad de carga, se llama intensidad del campo eléctrico
móvil 𝐸 𝑚
𝐸 𝑚 = 𝑣 × 𝐵
𝐹 = 𝑄𝑣 × 𝐵

Problema
 Problema 0
 Dado 𝐻 = 300𝑎 𝑧 𝑐𝑜𝑠 3 × 108 𝑡 − 𝑦 𝐴/𝑚 en el espacio libre, encontrar la fem
desarrollada en la dirección 𝑎∅ alrededor de la trayectoria cerrada que
tiene sus esquinas en:
 𝑎) 0,0,0 , 1,0,0 , 1,1,0 𝑦 0,1,0 ; 𝑏) 0,0,0 , 2𝜋, 0,0 , 2𝜋, 2𝜋, 0 , (0,2𝜋, 0)

Problema
 Solución Inciso a
 El flujo del campo magnético ∅ 𝑚 a través de una superficie se define:
 Pero sabemos que la cantidad de flujo magnético es 𝐵 = 𝜇𝐻
∅ 𝑚 =
𝑆
𝐻𝑑𝑠
∅ 𝑚 =
0
1
0
1
300𝜇0 𝑐𝑜𝑠 3 × 108 𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108 𝑡 − 𝑦
1
0
∅ 𝑚 = 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108 𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108 𝑡 𝑊𝑏

Problema
 Solución
 Entonces la fem es la siguiente
𝑓𝑒𝑚 = −
𝑑∅
𝑑𝑡
= 300 3 × 108
4𝜋 × 10−7
𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡
𝑓𝑒𝑚 = −1.13 × 105
𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

Problema
 Solución Inciso b
 Por lo tanto la fem es 0
∅ 𝑚 =
0
2𝜋
0
2𝜋
300𝜇0 𝑐𝑜𝑠 3 × 108
𝑡 − 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 2𝜋 × 300𝜇 𝑜 𝑠𝑒𝑛 3 × 108
𝑡 − 𝑦
2𝜋
0
∅ 𝑚 = 0 𝑊𝑏

 El comportamiento de la intensidad del campo eléctrico 𝐸 y de la
densidad de flujo eléctrico 𝐷 a través de dos materiales se examino que los
campos eran estáticos. Un tratamiento similar se dará ahora a la
intensidad del campo magnético 𝐻 y a la densidad de flujo magnético 𝐵,
de nuevo con campos estáticos.
 También se trato el concepto de densidad de corriente de
desplazamiento 𝐽 𝐷 y se examino la ley de Faraday. Esas mismas
ecuaciones y otras desarrolladas antes se agrupan para formar un
conjunto conocido como las ecuaciones de Maxwell.
 Estas ecuaciones son le fundamento de toda teoría de los campos
electromagnéticos.

 Un campo estático E puede existir en ausencia de un campo magnético
𝐻. Un condensador con carga estática 𝑄 constituye un ejemplo. De la
misma manera, un conductor con una corriente constante 𝐼 tiene un
campo magnético 𝐻 sin que haya un campo 𝐸. Sin embargo, cuando los
campos son variables con el tiempo 𝐻 no puede existir sin 𝐸 ni 𝐸 puede
existir sin 𝐻.
 En tanto que mucha valiosa información puede derivarse de la teoría de
campos estáticos, la teoría completa de los campos electromagnéticos
solo puede ser demostrada con campos variables en el tiempo.
 Los experimentos de Faraday y Hertz y los análisis teóricos de Maxwell
involucran todos los campos variables en el tiempo.

 Las ecuaciones agrupadas abajo, llamadas ecuaciones de Maxwell, se
presenta la forma mas general donde tanto cargas como corriente de
conducción pueden estar presentes en la región.

Forma Puntual Forma Integral
𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡 𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
𝜕𝐷
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡 𝐸 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆)
𝛻 ∙ 𝐷 = 0
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 = 0
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0

 Obsérvese que las formas puntual e integral de las primeras dos
ecuaciones son equivalentes bajo el teorema de Stokes, mientras que la
forma mas puntual e integral de las ultimas dos ecuaciones son
equivalentes bajo el teorema de divergencia.
 Para espacio vacío, donde no hay cargas (𝜌 = 0) y no hay corrientes
𝐽𝑐 = 0 , las ecuaciones de Maxwell toman la forma siguiente:

Forma Puntual Forma Integral (sobre una superficie y
aplicando el Teorema de Stoke
𝛻 × 𝐻 = 𝐽𝑐 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
A través de la ley de ampere
𝐻 ∙ 𝑑𝐼 =
𝑆
𝐽𝑐 +
𝜕𝐷
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒)
𝛻 × 𝐸 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
A través de la ley de Faraday, esta
ecuación muestra que un campo
variante en el tiempo produce un campo
eléctrico.
𝐸 ∙ 𝑑𝐼
=
𝑆
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝑆 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦; 𝑆 𝑓𝑖𝑗𝑜)
𝛻 ∙ 𝐷 = 𝜌
Establece que la densidad de carga es
una fuente (o sumidero) de líneas de flujo
eléctrico.
𝑆
𝐷 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑣
𝜌𝑑𝑣 (𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠)
𝛻 ∙ 𝐵 = 0
Reconoce el hecho de que se
desconoce la existencia de “cargas
magnéticas” o polos.
𝑆
𝐵 ∙ 𝑑𝑆 = 0 (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜)
Ecuaciones de Maxwell, conjunto de espacio libre

 La primera y segunda ecuación de forma puntual en espacio pueden
usarse para mostrar que los campos 𝐸 y 𝐻 variables con el tiempo no
pueden existir independientemente.
 La forma puntual de las ecuaciones de Maxwell se usa mas
frecuentemente en los problemas. Sin embargo la forma integral es
importante porque despliega las leyes físicas básicas.

 Estas cuatro ecuaciones integrales permiten encontrar las condiciones en
la frontera de 𝐵, 𝐷, 𝐻 𝑦 𝐸 , las cuales son necesarias para evaluar las
constantes obtenidas al resolver las ecuaciones de Maxwell en forma de
ecuaciones diferenciales parciales. Estas condiciones de frontera no
cambian en general la forma que tienen para los campos estáticos o
estables y se pueden utilizar los mismos métodos para obtenerlas.

 Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética.
Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo
magnético el campo eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes,
cargas y densidades de corriente.
 Las ecuaciones auxiliares que relacionan 𝐷 𝑦 𝐸
 𝐵 𝑐𝑜𝑛 𝐻
𝐷 = 𝜖𝐸 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜
𝐵 = 𝜇𝐻 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑜 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎

 Que define la densidad de corriente de conducción
 Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la
densidad de carga volumétrica 𝜌 𝑣
 Son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en
las ecuaciones de Maxwell
𝐽 = 𝜌 𝑉 𝑉
𝐽 = 𝜎𝐸

 Problema 1
 Dado 𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 en el espacio vacío, halle 𝐷, 𝐵 𝑦 𝐻. Dibuje 𝐸 y 𝐻
en 𝑡 = 0.

 Solución
 𝐷(𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜) = 𝜖 𝑜 𝐸 = 𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦
 La ecuación de Maxwell 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡 da
𝑎 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
0 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
= −
𝜕𝐵
𝜕𝑡

 Solución
 𝑎 𝑥
𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
+ 𝑎 𝑧
𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦
0 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧
= −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 𝑎 𝑥 −
𝜕
𝜕𝑧
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡

 Solución
 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜
 Donde la constante de integración, que es un campo estático, ha sido
despreciada. Entonces
−
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 ⟹
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= − 𝛽𝐸 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝑑𝑥
𝐵 = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 Densidad de flujo Magnético
𝐻(𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑜) = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥

 Solución
 Obsérvese que 𝐸 𝑦 𝐻 son mutuamente perpendiculares.
 En 𝑡 = 0, 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = −𝑠𝑒𝑛𝛽𝑧. La figura muestra que los dos campos a lo
largo del eje 𝑧, suponiendo que 𝐸 𝑚 𝑦 𝛽 son positivos.

 Problemas 2
 Demuestre que los campos 𝐸 𝑦 𝐻 del problema anterior constituyen una
onda que viaja en dirección 𝑧. Verifique que la velocidad de la onda y
𝐸/𝐻 dependen sólo de las propiedades del espacio vacío.
 𝐻 = −
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥
 𝐸 = 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución
 𝐸 𝑦 𝐻 varían ambos como 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 . Un estado dado de 𝐸 𝑦 𝐻 se
caracteriza entonces por
 Pero ésta es la ecuación de un plano que se mueve con velocidad
𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝜔𝑡 ó 𝑧 =
𝜔
𝛽
𝑡 − 𝑡 𝑜
𝑐 =
𝜔
𝛽

 Solución
 En la dirección de su normal, 𝑎 𝑧. Se supone que tanto 𝛽, como 𝜔, son
positivos. Para 𝛽 negativo, la dirección del movimiento seria −𝑎 𝑧). De esta
manera el patrón completo de la figura anterior se mueve por el eje 𝑧 con
velocidad 𝑐.
 La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0 0
=
𝜕
𝜕𝑡
𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución
 La ecuación de maxwell 𝛻 × 𝐻 = 𝜕𝐷/𝜕𝑡 da
−𝑎 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
+ 𝑎 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
−𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 0
=
𝜕
𝜕𝑡
𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

 Solución

𝛽2 𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝐵𝑧 𝑎 𝑦 = 𝜖 𝑜 𝐸 𝑚 𝜔𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦

1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
=
𝜔2
𝛽2
 Por lo tanto
 𝑐 =
1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
=
1
8.8541878176×10−12 4𝜋×10−7 = 3 × 108 𝑚/𝑠
 Mas aún

𝐸
𝐻
=
𝐸 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧
𝛽𝐸 𝑚
𝜔𝜇 𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡−𝛽𝑧
=
𝜔𝜇 𝑜
𝛽
= 𝑐𝜇0 =
1
𝜖 𝑜 𝜇 𝑜
𝜇0 =
𝜇 𝑜
𝜖 𝑜
= 120𝜋
𝑉
𝐴
= 120𝜋Ω

 Problemas 3
 Sean 𝐻 = 𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 𝑎 𝑥 en el espacio vacío. Halle 𝐸.

 Solución
 𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡

𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0
=
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹ −𝑎 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0
+ 𝑎 𝑦
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧)
0

 Solución
 𝛻 × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡

𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹ 𝑗𝛽𝐻 𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑦 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝐵𝑧) 0 0
=
𝜕𝐷
𝜕𝑡

 Solución
 Integramos
 𝑗𝛽𝐻 𝑚 𝑎 𝑦 𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑑𝑡 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
⟹
 𝐷 =
𝛽𝐻 𝑚
𝜔
𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎 𝑦
 Y por lo tanto
 𝐸 =
𝐷
𝜖 𝑜
⇒ 𝐸 =
𝛽𝐻 𝑚
𝜔
𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧 𝑎 𝑦
𝜖0

 Problemas 4
 Dado
 E = 30π𝑒 𝑗 108𝑡+𝛽𝑧
𝑎 𝑥 𝑉/𝑚 𝐻 = 𝐻 𝑚 𝑒 𝑗(108 𝑡+𝐵𝑧)
𝑎 𝑦 𝐴/𝑚
 en el espacio vacío. Halle 𝐻 𝑚 𝑦 𝐵 𝛽 > 0 .

 Problemas 4
 Solución
 Esta es una onda plana, esencialmente la misma del problema 1 (excepto
que allí 𝐸 estaba en la dirección de 𝐻 en la dirección de 𝑥). El resultado del
problema 2 para cualquier onda como esa en el espacio vacío fue:

𝜔
𝛽
=
1
𝜖0 𝜇0
= 3 × 108 𝑚
𝑠
𝐸
𝐻
=
𝜇0
𝜖0
= 120𝜋
 Por lo tanto dela primera ecuación despejamos 𝛽
 𝛽 =
𝜔
3×108 =
108
3×108 =
1
3
𝑟𝑎𝑑/𝑚 𝐻 𝑚 = ±
𝐸 𝑚
120𝜋
= ±
1
4
𝐴/𝑚

 Problemas 4
 Solución
 Para fijar el signo de 𝐻 𝑚, aplicamos 𝛻 × 𝐸 = −𝜕𝐵/𝜕𝑡:

𝑖 𝑗 𝑘
𝜕/𝜕𝑥 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑧
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧 0 0
= −𝜕/𝜕𝑡
1
4
𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
 −𝑗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑧
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧 0
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
30𝜋𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
0
= −
108
4
 𝑗 30𝜋𝛽𝑒 𝑗 108 𝑡+𝛽𝑧
= −
108
4

 Problemas 4
 Lo que demuestra que 𝐻 𝑚 debe ser negativo.

Potencia y Vector Poyting
 Se escribe la primera ecuación de Maxwell para una región de
conductividad 𝜎 y luego se toma el producto escalar de 𝐸 con cada
término:
 Donde, como es usual, 𝐸2 = 𝐸 ∙ 𝐸. E utiliza la identidad vectorial
 𝛻 ∙ 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝛻 × 𝐴 − 𝐴 ∙ 𝛻 × 𝐵 para cambiar el lado izquierdo de la
ecuación.
𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸 + 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
𝐸 ∙ 𝛻 × 𝐻 = 𝜎𝐸2
+ 𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡

 Por la segunda ecuación de Maxwell, tenemos
 Similarmente,
𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 − 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻 = 𝜎𝐸2 + 𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
𝐻 ∙ 𝛻 × 𝐸 = 𝐻 ∙ −𝜇
𝜕𝐸
𝜕𝑡
= −
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
𝐸 ∙ 𝜖
𝜕𝐸
𝜕𝑡
=
𝜖
2
𝜕𝐸2
𝜕𝑡

 Sustituyendo y reordenando términos,
 Si esta igualdad es valida, entonces la integración de sus términos sobre un
volumen general 𝑣 debe ser valida también
 Donde el ultimo término ha sido convertido a una integral sobre la
superficie de 𝑣 mediante el teorema de divergencia.
𝜎𝐸2
= −
𝜖𝜕𝐸2
𝜕𝑡
−
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
− 𝛻 ∙ 𝐸 × 𝐻
𝑣
𝜎𝐸2 = −
𝑣
𝜖𝜕𝐸2
𝜕𝑡
−
𝜇
2
𝜕𝐻2
𝜕𝑡
−
𝑆
𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆

 La integral de la izquierda tiene unidades watts y es el termino óhmico
conocido para representar la energía disipada en calor por unidad de
tiempo. Esta energía disipada tiene su fuente en las integrales de la
derecha. Como
ϵ𝐸2
2
𝑦
𝜇𝐻2
2
son las densidades de energía almacenadas
en los campos eléctrico y magnético respectivamente, las derivadas
negativas respecto del tiempo pueden considerarse como una
disminución en esta energía almacenada. Por consiguiente, la integral final
(incluyendo el signo menos) debe ser la tasa de energía que penetra el
volumen desde fuera. Un cambio de signo produce el valor instantáneo de
energía que abandona el volumen:
𝑃 𝑡 =
𝑆
𝐸 × 𝐻 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑆
℘ ∙ 𝑑𝑆

 Para ondas planas, la dirección del flujo de energía es la dirección de
propagación. De esta manera, el vector Poynting ofrece una forma una
forma útil y libre del sistema de coordenadas de hallar la dirección de
propagación es conocida. Esto puede tener mucho valor cuando se
examinan ondas incidentes, transmitidas y reflejadas.
℘ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
2
𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗

 Donde ℘ = 𝐸 × 𝐻 es el vector de Poyting, tasa instantánea de flujo de
energía por unidad de área en un punto.
 En el producto vectorial que define el vector de Poyting, los campos se
suponen reales. Pero si, 𝐸 𝑦 𝐻 se expresan en forman compleja y dependen
en común del tiempo, 𝑒 𝑗𝑤𝑡
, entonces el promedio de tiempo de ℘ esta
dado por
 Donde 𝐻∗
es la conjugada compleja de H.
 De esto se sigue la potencia compleja del análisis de circuitos, 𝑆 =
1
2
𝑉𝐼∗, de
la que la potencia es la parte real, 𝑃 =
1
2
𝑅𝑒𝑉𝐼∗
℘ 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
1
2
𝑅𝑒 𝐸 × 𝐻∗

 Problema 5
 Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje la onda en
𝑡 = 0 y en 𝑡 = 𝑡1, cuando ha avanzado 𝜆/8, si la velocidad es de 3 × 108
𝑚/𝑠
y si la frecuencia angular 𝜔 = 2 × 106
𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo tiempo 𝑡1.

 Solución
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto
 𝑡1 =
𝑇
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 106 = 236𝑚

 Solución
 La onda se muestra en 𝑡 = 0 𝑦 𝑡 = 𝑡1 en la figura a. A una distancia de dos
veces la frecuencia, la longitud de onda 𝜆 es la mitad y la constante de
de fase 𝛽 es dos veces el valor anterior. En la figura b, en toda 𝑡1 la onda
avanzo también 236 m pero esta distancia es ahora
𝜆
4

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