Este documento trata sobre operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación, división y productos notables. Explica cómo realizar estas operaciones con expresiones algebraicas utilizando propiedades de los números reales. También cubre conceptos como valor numérico, suma y resta de expresiones, multiplicación aplicando la propiedad distributiva, división larga de polinomios, y factorización de expresiones utilizando productos notables.

1. Operaciones Algebraicas
Suma – Resta – Multiplicación – División – Producto Notable – Factorización
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Ciencias y Tecnologías
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Edo. Lara
Matemática Trayecto Inicial
Autores:
Kenner Cadenas. C.I: V-26.370.818
David Di Bacco. C.I:V-24.164.862
Sección IN0405

2. Los números han ido utilizándose cada vez más y con mayor utilidad a lo largo de la
historia. Pero su uso no era suficiente para poder establecer cálculos generales basados en
los posibles valores que pudiesen tomar las cantidades que aparecían en diversos problemas
de la vida real, fundamentalmente de tipo geométrico y muchos de ellos relacionados con la
astronomía. Fueron los árabes los que primero introdujeron de forma sistemática el uso de
letras y otros símbolos para confeccionar expresiones matemáticas, dando lugar a la parte
de las matemáticas llamada Álgebra (al-jabr), siendo el primer matemático, Al-Khuwarizmi,
el que escribió el primer tratado algebraico.
Una expresión algebraica es una de serie de combinaciones de letras y números o
ambos, unidos por operaciones, suma, resta, producto y división potenciación desde su
expresión finita. Por lo general se suelen las letras de nuestro alfabeto, a, b, c que por
lo general de finen parámetros dentro de una operación y las letras x, y, z se usan para
definir variables.
Ejemplo.- son expresiones algebraicas , 3 naranjas + 4 papas.
Son expresiones algebraicas, pero no enteras y
Algebra

3. Cuando en una expresión algebraica sustituimos las letras por los
valores que nos dan y luego resolvemos las operaciones, el resultado que
se obtiene se llama valor numérico de una expresión algebraica.
Valor numérico de expresiones algebraicas

4. Como las variables representan número reales, las propiedades de
los números reales pueden ser usadas para operar expresiones algebraicas
con la idea de ir obteniendo expresiones equivalentes pero más
sencillas. A continuación indicaremos como proceder con sumas, restas,
multiplicaciones y divisiones.
¿Que podemos hacer con las expresiones algebraicas?
SUMA
RESTA
DIVISIÓN
MULTIPLICACÍON

5. Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas. Para resolverla, se suman todos los
números positivos y se le resta la suma de los números negativos.
Debemos entender que la resta la forma opuesta de la suma, por lo que cuando estamos
realizando una operación de adictiva podemos estar sumando la diferencia de numero negativos. Para
poder sumar expresiones algebraicas, debemos tener conocimiento de los números que estamos
manejando y las expresiones en ejecución, puesto que no podemos sumar manzanas con papas.
Ejemplo.-
a) 2x+5x -> es una expresión algebraica y se puede sumar.
b) 7y-4y -> es una expresión algebraica y se puede restar.
c) 10x+5y -> es una expresión algebraica pero no se puede sumar porque son términos diferentes.
Una clave en este tipo de manipulación es la suma de los términos semejantes. Se dice que
dos términos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente numérico.
Ejemplo.- la expresión: 2x+1+x+1 tiene dos términos semejantes. En esta otra ecuación:
22x+2x+3xx+3x , sólo 22x, 2x, 3x son términos semejante a diferencia de 3xx, pues difieren en
algo más que su parte numérica.
Adición y sustracción de expresiones algebraicas

6. Para multiplicar expresiones algebraicas podemos proceder usando la propiedad distributiva
o bien si es el caso aplicando un producto notable de uso frecuente, los cuales se aprenden de
memoria.
Ejemplo.- Realizar los siguientes productos:
a) x (x³-3x+1);
b) (3y-1)(y²+2y-4);
Solución.- Usamos en ambos casos la propiedad distributiva.
a) X (x³-3x+1) = x.(x³) - x.(3x) + x.(1) = x⁴-3x²+x.
b) En este caso interpretaremos (3y-1) como el factor que se distribuye en (y²+2y-4).
(3y-1)(y²+2y-4) = (3y-1)y²+(3y-1)2y-(3y-1).4 = (3y³-y²)+(6y²-2y)-(12y-4)
= 3y³-y²+6y²-2y-12y+4 = 3y³+5y²-14y+4
Cuando examinamos la primera línea de ejemplo b), vemos que en realidad cada término de
cada factor se multiplica con cada término del segundo factor.
Multiplicación de expresiones algebraicas
(3y-1)(y²+2y-4)

7. La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el
mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún
término del divisor.
Hay 3 método para dividir dos polinomios, una de ellas es la división clásica que es la
forma generalizada de la división larga de la aritmética, luego el método de Horner y un caso
particular llamada método de Ruffini.
Antes de contemplar estos métodos, es necesario saber cómo se realiza una división entre
dos monomios y es lo que explicaremos a continuación:
División larga de polinomio

8. Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:
 Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de
exponentes.
 Una forma generalizada de la división de monomios de una sola variable es:
Tenga en cuenta que m – n es mayor e igual a cero, ya que estamos considerando que la división
entre dos monomios es otro monomio.
Ejemplo.-
a) b)
Solución.-
a) b)
División entre monomios

9. Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un producto que
conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es
decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de
efectuar la multiplicación correspondiente.
Productos notables
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b,
cuya suma está elevada al cuadrado, lo que
realmente se pide es que se multiplique la
suma por si misma: Esta multiplicación se
efectúa de la siguiente forma:
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está
elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que
se multiplique la resta por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente
forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se
multiplican, el signo resultante es positivo:

10. Productos notables
3. Producto de la suma por la diferencia
de dos cantidades (binomios conjugados)
En este caso, la multiplicación se
realiza de la siguiente forma;
4. Caso especial multiplicación de trinomios
(a+b+c)(a+b-c)
Este producto lo podemos transformar en la
suma de dos cantidades multiplicada por su
diferencia:
Regla del caso especial de la multiplicación de
trinomios
La multiplicación de dos trinomios con dos
términos positivos iguales, y un tercer término cuyo
signo difiere en cada trinomio es el cuadrado del
primer término, mas dos veces el primero por el
segundo, más el cuadrado del segundo término, menos
el cuadrado del tercero.

11. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos
notables y la expresión algebraica que lo representa:
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
Binomio al cuadrado
(a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
Binomio al cubo
a
2
- b
2
= (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados
a
3
- b
3
= (a - b) (a
2
+ b
2
+ ab) Diferencia de cubos
a
3
+ b
3
= (a + b) (a
2
+ b
2
- ab) Suma de cubos
a
4
- b
4
= (a + b) (a - b) (a
2
+ b
2
) Diferencia cuarta
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado

12. Factorización de productos notables
Para resolver problemas en la vida cotidiana, una buena estrategia es
dividir el problema en secciones más sencillas de resolver y juntar los
resultados para encontrar la solución completa. Esta estrategia aplicada a la
multiplicación de números o polinomios le llamamos factorización y consiste en
encontrar números o polinomios que multiplicados nos dan el número o polinomio
original, respectivamente. A estos números o polinomios se les llama factores.
Esta estrategia de dividir en partes más sencillas también aplica a la
suma de números o polinomios. En este caso a las partes se les llama términos.

13. Ejemplos de ejercicios
Suma de polinomios:
P(x)= 2𝑥3
+ 5𝑥 − 3
Q(x)=4𝑋 − 3𝑥2 + 2𝑥3
*)ordenamos los polinomios
P(x)= 2𝑥3
+ 5𝑥 − 3
Q(x)= 2𝑥3
− 3𝑥2
+ 4𝑋
*)Agrupamos los monomios del mismo grado
= 2𝑥3
+ 2𝑥3
+ −3𝑥2
+ 5𝑥 + 4𝑥 + (−3)
*)Sumamos los monomios semejantes
P(x)+Q(x)=4𝑥3
− 3𝑥2
+ 9𝑥 − 3
Factorizar:
Q=𝑎2
𝑏7
+ 𝑎5
𝑏4
El factor común son las letras comunes con el
menor exponente 𝑎2
𝑏7
+ 𝑎5
𝑏4
Q= 𝑎2
𝑏7
+ 𝑎5
𝑏4
Q= 𝑎2𝑏4. 𝑏3 + 𝑎2. 𝑎3 . 𝑏4
Se extrae el fator común 𝑎2𝑏4
Q= 𝑎2𝑏4(𝑏3 + 𝑎3)

14. Bibliografía
1)https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/Expr
esiones/Cap2/
2)http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/primeras/tema3.pdf
3)https://ele.chaco.gob.ar/mod/book/view.php?id=79471&chapterid=2497#:~:text=Una%20suma%20algebra
ica%20es%20una,suma%20de%20los%20n%C3%BAmeros%20negativos.
4)https://www.todamateria.com/productos-notables/
5)https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/productos-notables-1