Este documento resume los conceptos básicos de álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, sumas y restas de monomios y polinomios, multiplicación y división de expresiones algebraicas, y productos notables. Explica cómo realizar operaciones como sumar, restar, multiplicar y dividir términos algebraicos, así como cómo factorizar expresiones utilizando productos notables.

1. Producción Escrita
Matemática Unidad I
Integrante:
Beatriz
García
CI:
12698410
Profe María
Ramirez
PNF DL-0300

2. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro
monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los
coeficientes.
ejemplo 2x + 3x = (2+3)x = 5x
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
Resta de monomios
La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números
del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma.
Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) =
a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico.
(8x) + (-6x) =
b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma.
(8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3+5x-3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
1.-Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 - 3x2 + 4x)
2.- Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3x2 + 5x + 4x - 3
3.-Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3 - 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x)−Q(x) =(2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x)−Q(x) = 2x3 + 5x -3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x)−Q(x) =2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x)−Q(x) = 3x2 + x - 3
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor,
es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y
realizar las operaciones indicadas.
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al
sustituir la variable x por un número cualquiera.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la
variable x por un número cualquiera.
1.- P(x) =2x3+5x-3 ; x=1 P(1)=2.13+5.1-3= 2+5-3= 4
2.- L(r) = 2 r = 5 cm. L (5)= 2··5 = 10 cm S(l) = l2
l = 5 cm A(5) =52 =25 cm2 V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante
cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

3. Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando entre
sí las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias.
1.-
2.-
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 ·( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x 2 + 12x - 6
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que
forman el polinomio.
3 x 2 · (2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Producto de polinomios
P(x) = 2x 2 - 3 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3 2 + 4x) = = 4x5 − 6x 4 + 8x
3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los
polinomios que se multiplican.
División de Expresiones algebraicas
El división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo entre sí las
partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias
Ejercicio división de monomios
División de polinomios
Resolver el cociente:
P(x) = 2x5 + 2x3−x - 8 Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo.
Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
División de un polinomio por un polinomio
Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico con los
polinomios:

4. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo
dejamos huecos en los lugares que correspondan, es decir, en esta
caso dejamos el espacio para el elemento de cuarto grado y otro
espacio para el elemento de segundo grado.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio
del divisor
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Es decir :
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos
colocarlo con signo opuesto:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al
dividendo.
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo
opuesto:
Procedemos igual que antes.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
Recordemos que se va a restar al polinomio, así que debemos colocarlo con signo
opuesto:

5. Volvemos a hacer las mismas operaciones.
Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y
lo restamos al dividendo.
Recordemos que se va a restar al polinomio,
así que debemos colocarlo con signo opuesto:
La división concluye aquí, ya
que tiene menor grado que el
divisor.
Cociente o resultado de la división:
Resto o residuo:
Productos Notables
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es
preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados
en los ejercicios.
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la
primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab
+ b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Otros casos de productos notable (o especiales):
Producto de dos binomios con un término común, de la forma:
x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

6. Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con
una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato
y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la
expresión algebraica que lo representa
Producto notable Expresión algebraica Nombre
(
a + b)
2
= a2
+ 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(
a + b)
3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
Binomio al cubo
a2
- b2
= (
a + b)(
a - b) Diferencia de cuadrados
a3
- b3
= (
a - b)(
a2
+ b2
+ ab) Diferencia de cubos
a3
+ b3
= (
a + b)(
a2
+ b2
- ab) Suma de cubos
a4
- b4
= (
a + b)(
a - b)(
a2
+ b2
) Diferencia cuarta
(
a + b + c)
2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac
+ 2bc
Trinomio al cuadrado
FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Se establecen los principales productos notables cuyos desarrollos se
suelen identificar con la expresión a factorizar. Particularmente se
trabaja con el trinomio que puede ser identificado con el desarrollo del
producto (x + a )(x + b ) con a y b números enteros
¿Cuáles de estos polinomios puede ser factorizado identificando con el
desarrollo del producto(x + a )(x + b ) con a y b números
enteros?Factorice los polinomios en que se pueda identificar con el
desarrollo del producto (x + a )(x + b )
1) x2 + 2x – 15;
se busca un numero dos numero u multiplicado m d menos 15 y
sumado o restado me de 2 entonce da (x-5)(x-3)
2) x2 – 4x + 3; (x-3)(x-1)