Este documento describe la optimización en ingeniería y la aplicación de la investigación de operaciones. Define la optimización como el uso de técnicas matemáticas y estadísticas para mejorar diversos sistemas mediante la modelización matemática de problemas. Explica conceptos clave como procesos, sistemas y modelos, y clasifica diferentes tipos de modelos. También cubre temas como la programación lineal, métodos de resolución como el método gráfico y el método simplex, y las etapas para aplicar la investigación de operaciones

1. OPTIMIZACION EN
INGENIERÍA

2. APLICACIÓN DE LA INVESTIGACION DE
OPERACIONES
Definición:
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de
acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en
estudio.

3. • Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida o
Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados utilizados
para realizar el Proceso. Incluye subprocesos pero también
incluye los Recursos y Controles para llevar a cabo estos
procesos.
• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se ejecuta.
• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles de
CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
Sistemas v/s ProcesosSistemas v/s Procesos

4. Entidades
que Entran
Entidades
que Salen
Reglas de
Operación
(Controles)
Sistema
Recursos
Actividades
Sistemas v/s ProcesosSistemas v/s Procesos

5. • Con el propósito de estudiar científicamente un sistema del
mundo real debemos hacer un conjunto de supuestos de cómo
trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de
relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye un
Modelo que es usado para tratar de ganar cierta comprensión
de cómo el sistema se comporta.
ModelosModelos

6. INVESTIGACION DE OPERACIONES

7. Clasificación de los modelos
Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:
•Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el
tiempo.
•Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a
través del tiempo.
•Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas
maneras.
•Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible,
construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa
realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).
•Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el
sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de
ecuaciones).
•Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes.
No se obtiene ninguna solución analítica.

8. Clasificación de los modelos
•Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las
variables intervinientes son continuas.
•Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las
variables varían en forma discontinua.
•Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es
única y siempre la misma.
•Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual
no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un
determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución
probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una
distribución equiprobable dentro del intervalo).

9. Clasificación de los modelos
•Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no
pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo:
•El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza
dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan
gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema
continuo por un modelo discreto.
Gotas

10. Clasificación de los modelos
•La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <=
x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin
embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas
x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el
método de Monte Carlo, es igual a:
•En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema
determinístico.

11. Clasificación de los modelos
El azar en computadora es pseudo azar:
•Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una
distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos
estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema
real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
•En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo
pseudoazar (determinístico).

12. Clasificación de los modelos según la I.O.
Modelo Matemático
Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de
relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son
cuantificables. Por ende tiene una solución optima.
Modelo de Simulación
Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de
tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo
entrega soluciones aproximadas.
Modelo Heurístico
Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada,
dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de
búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.

13. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Tópicos relacionados
•Análisis Estadístico
•Simulación
•Programación Lineal
•Sistema de Redes
•Líneas de Espera
•Problemas de Inventario
•Programación No - Lineal
•Programación Dinámica
•Programación Entera
•Teoría de Decisiones
•Teoría de Juegos

14. INVESTIGACION DE OPERACIONES
El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.
•Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los
problemas.
•Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la
creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.

15. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Etapas para puesta en práctica
1. Definición del problema:
• Alternativas de decisión (vars. de decisión).
• El objetivo de estudio (Función Objetivo).
• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo:
• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión,
la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo:
• Uso de algoritmos de optimización.
• Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo:
• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema
estudiado?
5. Puesta en práctica:
• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.

16. PROGRAMACIÓN LINEAL
F O R M U L A C IO N M A T E M A T IC A
M E T O D O G R A F IC O M E T O D O A L G E B R A IC O
(S IM P L E X )
P R O B L E M A G E N E R A L
P R O B L E M A S D E T R A N S P O R T E P R O B L E M A S D E A S IG N A C IÓ N
P R O B L E M A S E S P E C IA L E S
P R O G R A M A C IO N L IN E A L

17. PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de
optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre
actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L.
•Proporcionalidad
•Aditividad
•Divisibilidad
•Certidumbre
•Objetivo único
•No negatividad

18. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA DIETA
La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.
El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones.
Costo
US$/lb
Maíz 0.09 0.02 0.30
Similla Soya 0.60 0.06 0.90
A. ganado FibraProteinas
libra componente por libra de alimento ganado

19. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos
un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el
costo mínimo diario de la mezcla de alimento.

20. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}
Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día
R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%
R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.
R4) No Negatividad.

21. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y ≥ 800
R2) 0.09X + 0.6Y ≥ 0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y ≤ 0.05(X + Y)
R4) X , Y ≥ 0

22. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y ≥ 800
R2) 0.21X - 0.30Y ≤ 0
R3)0.03 X - 0.01Y ≥ 0
R4) X , Y ≥ 0

23. 8
Métodos de Resolución
Método Gráfico
Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método
se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las
cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el
modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)
Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este
método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema
heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a
funcionar.

24. 8
Métodos de Resolución
GRAFICO
Sujeto a:
R1)
R2)
R3)

25. 10
Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
A B
C
0,0
Fab
X1 X2
0 1,000
1,666.7 0
Assy
X1 X2
0 750
3,000 0
X1
R1
R2

26. 13
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo: Alternativas
Alternativa 1
Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la
RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que
maximice (o minimice) dicha función.
Alternativa 2
Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del
gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la
optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a
la solución optima.

27. 13
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo(1)
Z=320.000

28. 14
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
Optimal PointOptimal Point
Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (2)

29. 15
1,000
2,000
3,000
1,000 2,000 3,000
X2
X1
A B
C
0,0
El punto optimo (B) se encuentra
en la intersección de las dos rectas
3X +12X 9,000 Assy
3X + 5X 5,000 Fab
7X 4,000
X = 571.43, or 571 Multimax
X =
5000 - 5(571)
3
715 Max
1 2
1 2
2
2
1
=
=
=
=
Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (3)

30. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.

31. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar
su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del
recurso que excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0

32. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de
especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa
el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho
( cuanto falta para cumplir con lo pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)

33. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera
al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de
maximizar es ‘­ M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.

34. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]

35. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 15X1 + 10X2 – 20X3)
S/A
R1) X1+2X2+4X3 ≥ 30
R2) 5X1+5X2+3X3 = 40
R3) X1 + X2 + X3 ≤ 70
R4) X1 s.r.s; X2≤0; X3≥0
Cambios de variable:
Z* = -Z X1=U1-V1 X2=-Y2

36. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar
Z* + 15 U1 - 15 V1 - 10 Y2 - 20 X3 + M t1 + M t2 = 0
U1 - V1 - 2 Y2 + 4 X3 - r1 + t1 = 30
5 U1 - 5 V1 - 25 Y2 + 3 X3 + t2 = 40
U1 - V1 - Y2 + X3 + h1 = 70

37. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular
BASE Z U1 V1 Y2 X3 r1 t1º t2 h1
SOLUCION
z 1 15 -15 -10 -20 0 M M 0 0
t1 0 1 -1 -2 4 -1 1 0 0 30
t2 0 5 -5 -25 3 0 0 1 0 40
h1 0 1 -1 -1 1 0 0 0 1 70

38. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá
encontrar la (s) solución (es) del PPL.
Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas
entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen
como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no
básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen
arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la
F.O. de las variables básicas son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable
de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los
“lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.

39. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Pasos del Simplex:
Paso 0 : determinar la solución factible inicial.
Paso 1 : seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.
Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2 : seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3 : determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de
Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.

40. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
EJEMPLO
Max Z = 7x1 + 4x2 + 5x3
S/A
2x1 + x2 ≤ 30
3x1 + 2x2 + x3 ≤ 25
x2 + 2x3 ≤ 20
x1 , x2 , x3 ≥ 0

41. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0
h1 2 1 0 1 0 0 30
h2 3 2 1 0 1 0 25
h3 0 1 2 0 0 1 20

42. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0
h1 2 1 0 1 0 0 30
h2 3 2 1 0 1 0 25
h3 0 1 2 0 0 1 20

43. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___

44. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___

45. 8
Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Tabular Especial
BASE X1 X2 X3 h1 h2 h3
SOLUCION
z -7 -4 -5 0 0 0 0 Razón
h1 2 1 0 1 0 0 30 30 / 2
h2 3 2 1 0 1 0 25 25 / 3
h3 0 1 2 0 0 1 20 ___