Este documento describe el método simplex, un algoritmo para resolver problemas de programación lineal. Explica que el método simplex permite encontrar la solución óptima de un problema de maximización o minimización iterativamente buscando en los vértices de un polígono definido por las restricciones lineales. También presenta un ejemplo de cómo aplicar el método simplex para resolver un problema real de un agricultor que busca maximizar sus beneficios al distribuir su terreno, agua y tiempo de trabajo entre diferentes cultivos.

1. El método simplex Eileen RodríguezHernández Prof. BalbinoGarcía Mathematical methods research MATH 6350

2. ¿Quées un simplex? En geometría, un simplex o n-simplex es el análogo en n dimensiones de un triángulo. Es la envoltura convexa de un conjunto de (n + 1) puntos independientes afines en un espacio euclídeo de dimensión n o mayor, es decir, el conjunto de puntos tal que ningún m-plano contiene más que (m + 1) de ellos. Se dice de estos puntos que están en posición general. Un 0-símplex es un punto; un 1-símplex un segmento de una línea; un 2-símplex un triángulo; un 3-símplex es un tetraedro; y un 4-símplex es un pentácoron (en cada caso, con su interior).

3. El metodo simplex es un metodoquesirvepara resolver problemas de programacion lineal. Este metodofueinventadopor George Dantzig en el 1947. La primera formulación del método simplex fue en el verano de 1947. El primer problema práctico que se resolvió con este método fue uno de nutrición.

4. ¿Quées el método simplex? Es una técnica popular para dar soluciones numéricas del problema de la programación lineal. Es un método numérico para optimización de problemas libres multidimensionales perteneciente a la clase más general de algoritmos de búsqueda. Permite encontrar una solución óptima en un problema de maximización o minimización, buscando en los vértices del polígono. Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. Se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

5. El método simplex es muy eficiente en la práctica, en general, teniendo 2m a 3m iteraciones en la mayor parte (donde m es el número de restricciones de igualdad), y que convergen en la hora prevista para el polinomio de ciertas distribuciones de insumos al azar.

6. La aplicación del método del Simplex, se utiliza cuando el problema es de un tamaño suficientemente grande. Está diseñado para problemas de programación lineal cuya matriz tiene la propiedad de diseminación (el número de no-cero es pequeño). Hay implementaciones del método simple para la solución de problemas de programación lineal con las matrices de restricción escasa. Se han desarrollado diversas variantes del método simplex que tienen en cuenta las particularidades de las diversas clases especiales de problemas de programación lineal (problemas de bloque, los problemas de transporte y otros).

7. Condiciones El objetivo es de la forma de maximización o de minimización. Todas las restricciones son de igualdad. Todas las variables son no negativas. Las constantes a la derecha de las restricciones son no negativas.

8. Proceso El sistema es típicamente no determinado (el número de variables excede el número de ecuaciones) La diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema. Cualquier solución, óptima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario. El algoritmo símplex usa cero como valor arbitrario, y el número de variables con valor cero es igual a los grados de libertad. Valores diferentes de cero son llamados variables básicas, y valores de cero son llamadas variables no básicas en el algoritmo símplex. Esta forma simplifica encontrar la solución factible básica inicial, dado que todas las variables de la forma estándar pueden ser elegidas para ser no básicas (cero), mientras que todas las nuevas variables introducidas en la forma aumentada, son básicas (diferentes de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente ( para ellas, dado que la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho) En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemático de programación lineal, se plantean desigualdades de <, >, <=, >=, o = Estas desigualdades se convierten en igualdades completando con variables de holgura si se trata de <, > , en el caso de que sea <=, >=, se completa con variables de excedente , estas con signo negativo ya que como su nombre lo indica, es una cantidad que esta de excedente y hay que quitar para convertirla en igualdad, en caso se maneje el =, se manejan las variables artificiales.

9. Ejemplo Un agricultor tiene una parcela de 640m² para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qué forma debería repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que: cada naranjo necesita un mínimo de 16m², cada peral 4m², cada manzano 8m² y cada limonero 12m². dispone de 900 horas de trabajo al año, necesitando cada naranjo 30 horas al año, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas. a causa de la sequía, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han asignado 200m³ de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m³ por cada naranjo, 1m³ por cada peral, 1m³ por cada manzano, y 2m³ por cada limonero. los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 € por cada naranjo, peral, manzano y limonero respectivamente.

10. Se determinan las variables de decisión y se representan algebraicamente. En este caso: X1: número de naranjos X2: número de perales X3: número de manzanos X4: número de limoneros

11. Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen de las necesidades de cada árbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego: Necesidades de terreno: 16·X1 + 4·X2 + 8·X3 + 12·X4 ≤ 640 Necesidades de horas anuales: 30·X1 + 5·X2 + 10·X3 + 20·X4 ≤ 900 Necesidades de riego: 2·X1 + X2 + X3 + 2·X4 ≤ 200

12. Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores. En este caso las restricciones son que el número de árboles no puede ser negativo y además debe ser un número entero: Xi ≥ 0 Xi son enteros Se determina la función objetivo: Maximizar Z = 50·X1 + 25·X2 + 20·X3 + 30·X4

13. Software utilespara la solucion del problema del agricultor Implementacion con el uso de Excel http://trucosexcel.blogspot.com/search/label/Excel Implementacion con Java http://neos.mcs.anl.gov/CaseStudies/simplex/applet/SimplexTool.htm Implementacion con Mathematica http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/linearprogramming/LinearProgrammingMod/Links/LinearProgrammingMod_lnk_2.html

14. Ejemplo de casosreales http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm

15. Otrossoftware útiles en la implementación del Método Simplex WinQSB- Creado por el del Dr. Yih-Long Chang. Consta de una serie de módulos o aplicaciones individuales que nos ayudarán en temas de investigación de operaciones, métodos de trabajo, planteamiento de la producción, evaluación de proyectos, control de calidad, simulación, estadística, etc., y son en total 19 módulos. LINDO - Se especializa en software de Optimización Lineal, No Lineal, y Entera ofreciendo una línea completa de productos, con un total soporte de estos. Los que vienen de acuerdo al tamaño de matriz de sus modelos (número de variables y restricciones),y además están disponibles en todas las plataformas conocidas

16. Bibliografía Libro: http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex http://mathworld.wolfram.com/SimplexMethod.html http://eom.springer.de/S/s085340.htm http://wapedia.mobi/en/Simplex_algorithm http://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_algorithm http://neos.mcs.anl.gov/CaseStudies/simplex/index.html http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/LinearProgrammingMod.html http://glossary.computing.society.informs.org http://www.me.utexas.edu/~jensen/ORMM/frontpage/jensen.lib/index.html

17. Gracias porsuatención

18. Variables de decisión y parámetros Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidas del sistema o bien que se pueden controlar. Restricciones Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles. Por ejemplo si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativa. Función Objetivo La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión. La solución OPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2, ..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2, ..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2, ..., xn) b. Donde x1, x2, ..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una función matemática.