Este documento presenta un resumen del curso de Investigación de Operaciones. El curso aplicará modelos cuantitativos como Programación Lineal, problemas de transporte y asignación, y simulación para resolver problemas de administración y optimizar soluciones. Los objetivos incluyen aplicar modelos cuantitativos, optimizar soluciones mediante Investigación de Operaciones, y conocer el potencial de la simulación y los sistemas de manejo de inventarios.
Las cartas de control son herramientas estadísticas que permiten analizar la variación en procesos. Muestran la diferencia entre causas comunes y especiales de variación, enfocando la atención en estas últimas para tomar acciones de mejora. Existen cartas de control por variables, para características cuantificables, y por atributos, para características cualitativas. El documento explica los pasos para construir una carta de control X-R por variables, incluyendo el cálculo de límites de control, y provee un ejemplo numéric
Este documento describe la programación lineal, incluidas sus aplicaciones, definición, pasos para la solución de problemas, y un ejemplo de modelo con dos variables. La programación lineal es una técnica matemática que permite optimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y se aplica a problemas de agricultura, industria, transporte y más.
1) El documento describe un modelo de transporte matemático para optimizar el transporte de mercancías desde orígenes a destinos. 2) Incluye ejemplos de cómo aplicar el modelo de transporte no solo al transporte físico sino también a problemas de planificación de producción e inventarios y mantenimiento. 3) El modelo busca minimizar los costos totales de transporte sujeto a restricciones de oferta y demanda en los orígenes y destinos.
El método simplex es un procedimiento algebraico para resolver problemas de programación lineal mediante una serie de pasos. Transforma la función objetivo y las restricciones a igualdades e introduce variables holgura o exceso. Construye una tabla inicial y luego identifica la variable que entra y sale en cada iteración usando criterios de optimalidad y factibilidad hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento resume los conceptos clave de las cadenas de Markov. Explica que las cadenas de Markov estudian el comportamiento de sistemas a través del tiempo mediante estados discretos y probabilidades de transición entre estados. También describe cómo calcular las probabilidades de transición estacionarias a largo plazo, determinar el estado estable de un sistema, y definir estados absorbentes.
Este documento presenta 6 problemas de métodos de transporte resueltos. El primer problema involucra elegir una ubicación para un proyecto basado en costos y factores como energía eléctrica, agua y disponibilidad de mano de obra. El segundo problema involucra localizar un proyecto en las ubicaciones A o B considerando el rendimiento de capital. El tercer problema involucra elegir una ubicación para una planta procesadora de queso considerando el costo del transporte de la leche.
Solución de problemas en programación linealARLO SOLIS
El documento presenta dos ejercicios de programación lineal que deben resolverse utilizando los métodos de la gran M y de las dos fases. Se pide aplicar ambos métodos paso a paso para cada ejercicio, comparar los resultados y utilizar software de programación lineal. Finalmente, se solicita guardar los ejercicios resueltos y enviarlos para recibir retroalimentación.
El documento resume los principales conceptos y pasos del método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo se formula el modelo matemático incluyendo variables, restricciones y función objetivo, y cómo el método simplex itera entre soluciones básicas factibles hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
Las cartas de control son herramientas estadísticas que permiten analizar la variación en procesos. Muestran la diferencia entre causas comunes y especiales de variación, enfocando la atención en estas últimas para tomar acciones de mejora. Existen cartas de control por variables, para características cuantificables, y por atributos, para características cualitativas. El documento explica los pasos para construir una carta de control X-R por variables, incluyendo el cálculo de límites de control, y provee un ejemplo numéric
Este documento describe la programación lineal, incluidas sus aplicaciones, definición, pasos para la solución de problemas, y un ejemplo de modelo con dos variables. La programación lineal es una técnica matemática que permite optimizar una función objetivo sujeta a restricciones lineales, y se aplica a problemas de agricultura, industria, transporte y más.
1) El documento describe un modelo de transporte matemático para optimizar el transporte de mercancías desde orígenes a destinos. 2) Incluye ejemplos de cómo aplicar el modelo de transporte no solo al transporte físico sino también a problemas de planificación de producción e inventarios y mantenimiento. 3) El modelo busca minimizar los costos totales de transporte sujeto a restricciones de oferta y demanda en los orígenes y destinos.
El método simplex es un procedimiento algebraico para resolver problemas de programación lineal mediante una serie de pasos. Transforma la función objetivo y las restricciones a igualdades e introduce variables holgura o exceso. Construye una tabla inicial y luego identifica la variable que entra y sale en cada iteración usando criterios de optimalidad y factibilidad hasta alcanzar la solución óptima.
Este documento resume los conceptos clave de las cadenas de Markov. Explica que las cadenas de Markov estudian el comportamiento de sistemas a través del tiempo mediante estados discretos y probabilidades de transición entre estados. También describe cómo calcular las probabilidades de transición estacionarias a largo plazo, determinar el estado estable de un sistema, y definir estados absorbentes.
Este documento presenta 6 problemas de métodos de transporte resueltos. El primer problema involucra elegir una ubicación para un proyecto basado en costos y factores como energía eléctrica, agua y disponibilidad de mano de obra. El segundo problema involucra localizar un proyecto en las ubicaciones A o B considerando el rendimiento de capital. El tercer problema involucra elegir una ubicación para una planta procesadora de queso considerando el costo del transporte de la leche.
Solución de problemas en programación linealARLO SOLIS
El documento presenta dos ejercicios de programación lineal que deben resolverse utilizando los métodos de la gran M y de las dos fases. Se pide aplicar ambos métodos paso a paso para cada ejercicio, comparar los resultados y utilizar software de programación lineal. Finalmente, se solicita guardar los ejercicios resueltos y enviarlos para recibir retroalimentación.
El documento resume los principales conceptos y pasos del método simplex para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo se formula el modelo matemático incluyendo variables, restricciones y función objetivo, y cómo el método simplex itera entre soluciones básicas factibles hasta encontrar la solución óptima maximizando o minimizando la función objetivo.
Los 10 problemas presentados tratan sobre la distribución óptima de recursos entre varias entidades para minimizar costos, utilizando el método SIMPLEX analítico. Los problemas involucran la distribución de carne, fruta, jamones, piedra molida, computadoras, electricidad, agua, productos, vacunas y otros recursos entre mataderos, almacenes, tiendas, plantas, ciudades y clientes considerando las capacidades, demandas y costos de transporte entre cada origen y destino.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos relacionados con modelos de regresión lineal múltiple. En el primer ejercicio, se estima un modelo de regresión utilizando datos sobre consumo nacional y renta nacional en España entre 1995-2005. En el segundo ejercicio, se ajusta otro modelo de regresión y se realizan pruebas de significancia. En el tercer ejercicio, se estima un modelo con datos sobre inversión, tipo de interés y variación del PIB, y se contrastan hipótesis sobre los coeficientes.
Este documento presenta un problema de programación lineal para una empresa pequeña de fabricación de bolsas de golf. La empresa puede producir dos modelos de bolsas y tiene restricciones de tiempo en cuatro operaciones de producción. El objetivo es maximizar la contribución total a la utilidad determinando la cantidad óptima de cada modelo a producir. Se formula un modelo matemático y se resuelve usando el método gráfico y el software Solver para encontrar la solución óptima.
Este documento presenta dos problemas sobre sistemas de cola M/M/K. El primer problema describe un sistema con dos canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Se piden calcular varias métricas del sistema. El segundo problema expande el sistema a tres canales y pide calcular las nuevas métricas y determinar cuál sistema cumple mejor con un objetivo de servicio.
Este documento presenta el análisis de sensibilidad de un problema de maximización de ingresos por la venta de cuatro tipos de licor. Se describe el modelo matemático, incluyendo la función objetivo y restricciones de recursos y demanda. Luego, se resuelve el problema usando el software WinQSB, mostrando la solución óptima que maximiza los ingresos en $8,500 produciendo 50 unidades del licor 2, 150 unidades del licor 3 y 550 unidades del licor 4.
Este documento presenta 14 problemas de programación lineal relacionados con la toma de decisiones sobre producción, mezclas, inversiones y asignación de recursos. Cada problema describe las variables, restricciones y función objetivo de un modelo de programación lineal, y pide determinar la solución óptima que maximice las utilidades o minimice los costos.
Este documento presenta una introducción a la optimización de redes. Define la terminología básica de redes como nodos, arcos, trayectorias y ciclos. Explica problemas comunes de optimización de redes como encontrar la ruta más corta, el árbol de expansión mínimo, el flujo máximo y el flujo de costo mínimo. Describe algoritmos para resolver cada uno de estos problemas de optimización de redes.
Es un curso autoinstructivo dirigido a estudiantes y profesionales que necesitan ayuda para lograr competencias en un determinado curso o asignatura.
Mas información sobre el curso en: www.anival.net
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento describe el método de la esquina, un método manual para encontrar una solución inicial factible para problemas de programación lineal como el transporte o la asignación. Aunque no es el método más probable para encontrar la solución óptima debido a que ignora los costos relativos, es el método más fácil para determinar una solución básica inicial. El método implica seleccionar la celda de la esquina noroeste y asignar la mayor cantidad posible, actualizar los suministros y requerimientos restantes, y repetir el proceso
El documento describe el problema de transbordo, donde se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envío de recursos entre fuentes y destinos. Se construye una malla con nodos de oferta, demanda y transbordo, unidos por arcos que representan flujos. El problema se resuelve como un modelo de transporte usando amortiguadores en los nodos transitorios, o directamente mediante programación lineal usando restricciones de balance en los nodos.
Este documento describe los modelos de transporte y varios métodos para resolver problemas de transporte, incluidos los métodos de la esquina noroeste, el costo mínimo y Vogel. Explica que los modelos de transporte buscan minimizar el costo total de transportar productos desde los orígenes hasta los destinos, sujeto a restricciones de capacidad y demanda. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar los diferentes métodos.
Maestría en Proyectos de Inversión (2010)
EPG UNPRG
marzo del 2011
Curso: Métodos cuantitativos II
Docente: Ing. Gonzalo Cuadros Herrera
Integrantes:
Eitam Aguirre Gonzalez
Hector Barba Nanfuñay
Marcos Nanfuñay Minguillo
Emilio Rodriguez Carlos
Consultas: hector_abn@msn.com
Lambayeque - Peru
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con conceptos estadísticos como tendencia central, variabilidad, capacidad de proceso, límites de especificación y control estadístico de procesos. Se definen conceptos como media, moda y mediana y se ilustran diferentes tipos de procesos a través de gráficas. Los ejercicios abordan temas como el efecto de datos raros en la media, cálculo de límites reales de procesos, y análisis de procesos para determinar si cumplen
El documento presenta información sobre pronósticos de negocios. Explica que la elaboración de pronósticos incluye la recopilación y reducción de datos, la construcción de un modelo y la extrapolación del modelo. También cubre temas como la relación entre datos y series de tiempo, y cómo los datos pueden presentar patrones de tendencia, estacionalidad y ciclos. Finalmente, describe métodos para medir el error en los pronósticos y aplicar técnicas como la desestacionalización de datos.
El documento explica conceptos clave de programación lineal como precio dual, costo reducido, análisis de sensibilidad y sus interpretaciones. El precio dual mide la mejora en el valor óptimo al aumentar una unidad en una restricción activa. El costo reducido mide el cambio necesario en un coeficiente para que una variable de decisión sea positiva. El análisis de sensibilidad estudia cómo cambios en los coeficientes y restricciones afectan la solución óptima.
El documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo graficar las restricciones y función objetivo, y encontrar la solución óptima evaluando la función objetivo en las esquinas del área factible o usando la función objetivo para determinar la esquina que la optimiza. Presenta ejemplos de problemas con una solución única, múltiples soluciones, soluciones indeterminadas y sin solución.
Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento proporciona una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Luego describe las características de los problemas de programación dinámica y proporciona un ejemplo detallado llamado "el problema de la diligencia" para ilustrar cómo funciona la técnica.
Este documento presenta el programa de un curso de Investigación de Operaciones. El curso cubre temas como programación lineal, problemas de transporte y asignación, simulación y teoría de inventarios. El objetivo es aplicar modelos cuantitativos para optimizar soluciones a problemas de administración mediante el uso de técnicas de Investigación de Operaciones. El curso incluye clases expositivas y prácticas de laboratorio con software.
Los 10 problemas presentados tratan sobre la distribución óptima de recursos entre varias entidades para minimizar costos, utilizando el método SIMPLEX analítico. Los problemas involucran la distribución de carne, fruta, jamones, piedra molida, computadoras, electricidad, agua, productos, vacunas y otros recursos entre mataderos, almacenes, tiendas, plantas, ciudades y clientes considerando las capacidades, demandas y costos de transporte entre cada origen y destino.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos relacionados con modelos de regresión lineal múltiple. En el primer ejercicio, se estima un modelo de regresión utilizando datos sobre consumo nacional y renta nacional en España entre 1995-2005. En el segundo ejercicio, se ajusta otro modelo de regresión y se realizan pruebas de significancia. En el tercer ejercicio, se estima un modelo con datos sobre inversión, tipo de interés y variación del PIB, y se contrastan hipótesis sobre los coeficientes.
Este documento presenta un problema de programación lineal para una empresa pequeña de fabricación de bolsas de golf. La empresa puede producir dos modelos de bolsas y tiene restricciones de tiempo en cuatro operaciones de producción. El objetivo es maximizar la contribución total a la utilidad determinando la cantidad óptima de cada modelo a producir. Se formula un modelo matemático y se resuelve usando el método gráfico y el software Solver para encontrar la solución óptima.
Este documento presenta dos problemas sobre sistemas de cola M/M/K. El primer problema describe un sistema con dos canales con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Se piden calcular varias métricas del sistema. El segundo problema expande el sistema a tres canales y pide calcular las nuevas métricas y determinar cuál sistema cumple mejor con un objetivo de servicio.
Este documento presenta el análisis de sensibilidad de un problema de maximización de ingresos por la venta de cuatro tipos de licor. Se describe el modelo matemático, incluyendo la función objetivo y restricciones de recursos y demanda. Luego, se resuelve el problema usando el software WinQSB, mostrando la solución óptima que maximiza los ingresos en $8,500 produciendo 50 unidades del licor 2, 150 unidades del licor 3 y 550 unidades del licor 4.
Este documento presenta 14 problemas de programación lineal relacionados con la toma de decisiones sobre producción, mezclas, inversiones y asignación de recursos. Cada problema describe las variables, restricciones y función objetivo de un modelo de programación lineal, y pide determinar la solución óptima que maximice las utilidades o minimice los costos.
Este documento presenta una introducción a la optimización de redes. Define la terminología básica de redes como nodos, arcos, trayectorias y ciclos. Explica problemas comunes de optimización de redes como encontrar la ruta más corta, el árbol de expansión mínimo, el flujo máximo y el flujo de costo mínimo. Describe algoritmos para resolver cada uno de estos problemas de optimización de redes.
Es un curso autoinstructivo dirigido a estudiantes y profesionales que necesitan ayuda para lograr competencias en un determinado curso o asignatura.
Mas información sobre el curso en: www.anival.net
El documento describe un problema de programación lineal de dos fases para minimizar una función objetivo sujeto a restricciones. En la primera fase, se minimizan las variables holguras para convertir las restricciones en igualdades. En la segunda fase, se resuelve el problema original eliminando las variables holguras y artificiales. La solución óptima encontrada es X1=2/5, X2=9/5, Z=17/5.
El documento describe el método de la esquina, un método manual para encontrar una solución inicial factible para problemas de programación lineal como el transporte o la asignación. Aunque no es el método más probable para encontrar la solución óptima debido a que ignora los costos relativos, es el método más fácil para determinar una solución básica inicial. El método implica seleccionar la celda de la esquina noroeste y asignar la mayor cantidad posible, actualizar los suministros y requerimientos restantes, y repetir el proceso
El documento describe el problema de transbordo, donde se reconoce mediante el uso de nodos intermedios o transitorios para el envío de recursos entre fuentes y destinos. Se construye una malla con nodos de oferta, demanda y transbordo, unidos por arcos que representan flujos. El problema se resuelve como un modelo de transporte usando amortiguadores en los nodos transitorios, o directamente mediante programación lineal usando restricciones de balance en los nodos.
Este documento describe los modelos de transporte y varios métodos para resolver problemas de transporte, incluidos los métodos de la esquina noroeste, el costo mínimo y Vogel. Explica que los modelos de transporte buscan minimizar el costo total de transportar productos desde los orígenes hasta los destinos, sujeto a restricciones de capacidad y demanda. También proporciona un ejemplo numérico para ilustrar los diferentes métodos.
Maestría en Proyectos de Inversión (2010)
EPG UNPRG
marzo del 2011
Curso: Métodos cuantitativos II
Docente: Ing. Gonzalo Cuadros Herrera
Integrantes:
Eitam Aguirre Gonzalez
Hector Barba Nanfuñay
Marcos Nanfuñay Minguillo
Emilio Rodriguez Carlos
Consultas: hector_abn@msn.com
Lambayeque - Peru
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con conceptos estadísticos como tendencia central, variabilidad, capacidad de proceso, límites de especificación y control estadístico de procesos. Se definen conceptos como media, moda y mediana y se ilustran diferentes tipos de procesos a través de gráficas. Los ejercicios abordan temas como el efecto de datos raros en la media, cálculo de límites reales de procesos, y análisis de procesos para determinar si cumplen
El documento presenta información sobre pronósticos de negocios. Explica que la elaboración de pronósticos incluye la recopilación y reducción de datos, la construcción de un modelo y la extrapolación del modelo. También cubre temas como la relación entre datos y series de tiempo, y cómo los datos pueden presentar patrones de tendencia, estacionalidad y ciclos. Finalmente, describe métodos para medir el error en los pronósticos y aplicar técnicas como la desestacionalización de datos.
El documento explica conceptos clave de programación lineal como precio dual, costo reducido, análisis de sensibilidad y sus interpretaciones. El precio dual mide la mejora en el valor óptimo al aumentar una unidad en una restricción activa. El costo reducido mide el cambio necesario en un coeficiente para que una variable de decisión sea positiva. El análisis de sensibilidad estudia cómo cambios en los coeficientes y restricciones afectan la solución óptima.
El documento presenta el método gráfico para resolver problemas de programación lineal con dos variables. Explica cómo graficar las restricciones y función objetivo, y encontrar la solución óptima evaluando la función objetivo en las esquinas del área factible o usando la función objetivo para determinar la esquina que la optimiza. Presenta ejemplos de problemas con una solución única, múltiples soluciones, soluciones indeterminadas y sin solución.
Este documento presenta dos problemas resueltos sobre cadenas de Markov. En el primer problema, se modela una situación en la que se pintan bolas de una urna aleatoriamente como una cadena de Markov de 6 estados. Se encuentra la matriz de probabilidades de transición y se calculan dos probabilidades después de pintar bolas. En el segundo problema, se modela el pago de primas de seguro de una compañía en función de los accidentes pasados de un cliente como una cadena de Markov de 3 o 4 estados. Se calcula la prima promedio pagada por un cliente en un año.
Este documento proporciona una introducción a la programación dinámica. Explica que la programación dinámica es una técnica matemática útil para resolver una serie de decisiones secuenciales donde cada decisión afecta las futuras. Luego describe las características de los problemas de programación dinámica y proporciona un ejemplo detallado llamado "el problema de la diligencia" para ilustrar cómo funciona la técnica.
Este documento presenta el programa de un curso de Investigación de Operaciones. El curso cubre temas como programación lineal, problemas de transporte y asignación, simulación y teoría de inventarios. El objetivo es aplicar modelos cuantitativos para optimizar soluciones a problemas de administración mediante el uso de técnicas de Investigación de Operaciones. El curso incluye clases expositivas y prácticas de laboratorio con software.
Este documento presenta la materia de Investigación de Operaciones I impartida por el Dr. Carlos Pérez Méndez. Describe su objetivo de comprender los procesos y decisiones de una empresa, así como los requisitos para tareas y prácticas como entregar trabajos de manera individual, en formato adecuado y con documentación. También incluye el temario de la asignatura y conceptos clave de la investigación de operaciones.
Este documento describe la optimización en ingeniería y la aplicación de la investigación de operaciones. Define la optimización como el uso de técnicas matemáticas y estadísticas para mejorar diversos sistemas mediante la modelización matemática de problemas. Explica conceptos clave como procesos, sistemas y modelos, y clasifica diferentes tipos de modelos. También cubre temas como la programación lineal, métodos de resolución como el método gráfico y el método simplex, y las etapas para aplicar la investigación de operaciones
Este documento presenta conceptos básicos sobre simulación de negocios. Explica que la simulación permite representar y analizar el comportamiento de sistemas complejos mediante la creación de modelos. Define los conceptos de sistema, modelo, simulación y tipos de modelos como modelos matemáticos. También describe ventajas y desventajas de la simulación y áreas donde se aplica como manufactura, logística y salud.
Este documento presenta información sobre modelos matemáticos y simulación. Define qué es un modelo, sistema y simulación. Explica que un modelo es una representación simplificada de un sistema que permite estudiar su comportamiento. También clasifica los diferentes tipos de modelos matemáticos y sus usos. Finalmente, detalla qué es la simulación y su importancia para experimentar con modelos de sistemas complejos.
La Investigación Operativa (IO) estudia la toma de decisiones cuantitativas para resolver problemas mediante modelos matemáticos. Se originó para optimizar recursos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se aplica en diversas industrias y sectores. El método de la IO incluye definir el problema, construir un modelo, deducir soluciones óptimas, probar el modelo, y ejecutar y controlar las soluciones.
El documento presenta los conceptos básicos y la historia de la Investigación de Operaciones. Explica que la IO es un enfoque científico para la toma de decisiones que involucra modelar situaciones complejas, desarrollar técnicas de solución y comunicar resultados de manera efectiva. También describe las fases del proceso de IO, incluyendo la formulación del problema, construcción del modelo, obtención de soluciones y validación de resultados.
Este documento presenta una simulación realizada por un grupo de estudiantes sobre el tema de simulación. Explica que la simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema para entender su comportamiento y evaluar estrategias. También describe las ventajas y desventajas de la simulación, los métodos de simulación como Monte Carlo, y presenta un ejemplo práctico de simulación de fabricación de un nuevo artículo durante 4 años.
Este documento trata sobre la modelación y simulación de sistemas. Explica los conceptos básicos de modelo, simulación y tipos de modelos. Define qué es un sistema y sus propiedades. Describe los diferentes tipos de modelos como modelos mentales, formales, icónicos, abstractos, matemáticos, entre otros. Finalmente, analiza cuándo es apropiado utilizar la simulación para estudiar un sistema.
Investigación de Operaciones an intro.pptxJuankZBk
Este documento presenta una introducción general a la investigación de operaciones. Explica que surgió durante la Segunda Guerra Mundial para optimizar las operaciones logísticas y desde entonces se ha aplicado a problemas de planificación y administración en diversas industrias. Define la investigación de operaciones como la aplicación del método científico para formular y resolver problemas de decisión mediante la construcción de modelos matemáticos. Finalmente, ofrece algunos ejemplos de problemas de optimización que se pueden abordar con programación lineal.
Este documento describe conceptos clave relacionados con la simulación de sistemas y los modelos matemáticos. Explica que la simulación implica crear modelos matemáticos que describan sistemas empresariales. Luego define términos como sistema, modelo, tipos de modelos (estático, dinámico, determinístico, estocástico, discretos, continuos), y describe la estructura básica de los modelos de simulación incluyendo entidades, atributos, actividades, eventos y variables de estado.
Este documento introduce los conceptos de sistemas, modelos y simulación. Define un sistema como un conjunto de partes interrelacionadas y un modelo como una representación abstracta de un sistema. Explica que existen diferentes tipos de modelos como modelos matemáticos, físicos y analógicos. Finalmente, define la simulación como la construcción de modelos informáticos para experimentar con sistemas y extraer conclusiones que apoyen la toma de decisiones.
Tema 1: Introducción a la Investigación de Operaciones y ModelaciónSistemadeEstudiosMed
Este documento presenta una introducción a la Investigación de Operaciones (IO). Explica que la IO surgió durante la Segunda Guerra Mundial para administrar recursos escasos y resolver problemas tácticos y estratégicos. Luego, cubre las características, orígenes, campos de aplicación, metodología, modelos y programación lineal de la IO. Finalmente, incluye un ejemplo de un modelo de programación lineal para la producción de mesas y sillas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre modelación matemática de sistemas. Explica que un modelo es una representación abstracta de un sistema real que puede ser estática o dinámica, determinística o estocástica, discreta o continua. Además, introduce los tipos de modelos como físicos, matemáticos y de simulación, y explica que los modelos sirven para comprender y predecir sistemas a través de la experimentación.
1) La simulación es una técnica útil para realizar estudios piloto de procesos y sistemas de manera rápida y económica. 2) Existen diferentes tipos de modelos de simulación como modelos físicos, matemáticos discretos y continuos, y dinámicos y estáticos. 3) La simulación implica la construcción de un modelo, ejecución de experimentos y análisis de resultados.
Este documento describe diferentes tipos de modelos matemáticos que se pueden usar para resolver problemas empresariales. Explica que la investigación de operaciones utiliza modelos matemáticos para representar relaciones cuantitativas y proporcionar una base para la toma de decisiones. Luego resume los diferentes tipos de modelos, incluidos cualitativos vs. cuantitativos, estándar vs. hechos a la medida, descriptivos vs. de optimización, probabilísticos vs. determinísticos, estáticos vs. dinámicos y de simulación
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. INVESTIGACION DE
OPERACIONES
PROF.: FELIPE LILLO V.
ING. CIVIL INDUSTRIAL
flillo@hualo.ucm.cl
2. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Programa del Curso
DESCRIPCION
El curso trata principalmente sobre la aplicación de los modelos usuales de Investigación de
Operaciones en la solución de problemas reales, tales como modelos de Programación Lineal,
Problemas de Transporte y Asignación, Simulación y Teoría de Inventarios.
OBJETIVOS
•Aplicar modelos cuantitativos en la resolución de problemas de administración.
•Optimizar soluciones usando la Investigación de Operaciones.
•Conocer el potencial que presenta la simulación en el diseño de procesos.
•Conocer los sistemas de manejo de inventarios basados en demanda conocida.
METODOLOGÍA
•Clases expositivas para conceptos teóricos con discusiones sobre cada tema.
•Practicas en laboratorio , donde se conocerán diversos software de apoyo a la I.O.
3. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Programa del Curso
CONTENIDOS •Softwares de Simulación
.Introducción a la Investigación de Operaciones
•Definición de I.O. 5.Teoría de Inventarios
•Historia de la I.O. •Modelos con demanda real conocida:
•Campos de aplicación. •Modelo General.
•Sistema de revisión continua.
2.Formulación matemática •Sistemas de revisión periódica.
•Metodología para la generación de modelos.
•Formulaciones matemáticas típicas presentes en la P.L. •Nota Final = 0.25*P1+25*P2+0.2T+0.30*PG
P1 / P2: Notas pruebas parciales
3.Programación Lineal T: Promedio trabajos practicos.
•Definición de P.L.
PG: Prueba global
•Métodos de Resolución:
•Método gráfico
FECHAS
•Método algebraico (simplex) •Prueba 1: 02 de Octubre del 2003
•Análisis de sensibilidad. •Prueba 2: 27 de Noviembre del 2003
•Problemas especiales de P.L: •P. Global: 04 de Diciembre del 2003
•Problemas de transporte
•Problemas de asignación BIBLIOGRAFIA
Titulo: “Investigación de Operaciones”
4. Introducción a la Simulación Autor: Hamdy Taha
•Definición de la simulación Editorial: Prentice Hall / sexta edición.
•Guìa para proyectos de simulacìón. Año: 1998
•Simulacìón de Monte Carlo Titulo: “Administración de Operaciones”
•Modelos con incrementos de tiempo discretos Autor: Roger Schroeder
•Modelos con incrementos de tiempo variable. Editorial: Mc Graw Hill. / 3ª edición / Año: 1999
4. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Definición:
Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas aplicable a diversos
sistemas con el fin de mejorarlos, buscando las mejores alternativas de
acción; esto mediante el modelamiento matemático de los problemas en
estudio.
5. Sistemas v/s Procesos
• Proceso: Conjunto de Actividades que crean una Salida
o Resultado a partir de una o más Entradas o Insumos.
• Sistema: Un Conjunto de Elementos interconectados
utilizados para realizar el Proceso. Incluye subprocesos
pero también incluye los Recursos y Controles para llevar
a cabo estos procesos.
• En el diseño de Procesos nos enfocamos en QUÉ se
ejecuta.
• En el diseño del Sistemas el énfasis está en los detalles
de CÓMO, DÓNDE Y CUÁNDO.
6. Sistemas v/s Procesos
Reglas de
Operación
(Controles)
Sistema
Entidades Entidades
que Entran Actividades
que Salen
Recursos
7. Modelos
• Con el propósito de estudiar científicamente un sistema
del mundo real debemos hacer un conjunto de
supuestos de cómo trabaja.
• Estos supuestos, que por lo general toman la forma de
relaciones matemáticas o relaciones lógicas, constituye
un Modelo que es usado para tratar de ganar cierta
comprensión de cómo el sistema se comporta.
9. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
Existen múltiples tipos de modelos para representar la realidad. Algunos son:
• Dinámicos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado varía con el
tiempo.
• Estáticos: Utilizados para representar sistemas cuyo estado es invariable a
través del tiempo.
• Matemáticos: Representan la realidad en forma abstracta de muy diversas
maneras.
• Físicos: Son aquellos en que la realidad es representada por algo tangible,
construido en escala o que por lo menos se comporta en forma análoga a esa
realidad (maquetas, prototipos, modelos analógicos, etc.).
• Analíticos: La realidad se representa por fórmulas matemáticas. Estudiar el
sistema consiste en operar con esas fórmulas matemáticas (resolución de
ecuaciones).
• Numéricos: Se tiene el comportamiento numérico de las variables intervinientes.
No se obtiene ninguna solución analítica.
10. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
• Continuos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son graduales. Las
variables intervinientes son continuas.
• Discretos: Representan sistemas cuyos cambios de estado son de a saltos. Las
variables varían en forma discontinua.
• Determinísticos: Son modelos cuya solución para determinadas condiciones es
única y siempre la misma.
• Estocásticos: Representan sistemas donde los hechos suceden al azar, lo cual
no es repetitivo. No se puede asegurar cuáles acciones ocurren en un
determinado instante. Se conoce la probabilidad de ocurrencia y su distribución
probabilística. (Por ejemplo, llega una persona cada 20 ± 10 segundos, con una
distribución equiprobable dentro del intervalo).
11. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
• Es interesante destacar que algunas veces los modelos y los sistemas no
pertenecen al mismo tipo.
Por ejemplo:
• El estudio del movimiento del fluido por una cañería (Fluidodinámica)
corresponde a sistemas continuos. Sin embargo si el fluido se lo discretiza
dividiéndolo en gotas y se construye un modelo discreto por el cual circulan
gotas de agua (una, dos, diez, cien, mil) se está representando un sistema
continuo por un modelo discreto.
Gotas
12. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
• La obtención del área bajo la curva representada por f(x,y)=0 para el rango 0 <=
x <= 1 con 0 <= y <= 1 en todo el intervalo, es un problema determinístico. Sin
embargo, para un número N, suficientemente grande de puntos, de coordenadas
x,y generadas al azar (0 <= x <= 1; 0 <= y <= 1) el área de la curva, aplicando el
método de Monte Carlo, es igual a:
• En este caso, mediante un modelo estocástico se resuelve un sistema
determinístico.
13. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos
El azar en computadora es pseudo azar:
• Mediante un algoritmo matemático se generan números al azar con una
distribución aleatoria similar a la real. Se los puede utilizar en los modelos
estocásticos obteniendo similares resultados a los que se obtienen en el sistema
real. Sin embargo, este azar es repetitivo (cualquiera que conoce el algoritmo
puede predecirlo) lo cual contradice a lo que sucede en un proceso aleatorio.
• En este caso, un sistema estocástico es representado por un modelo
pseudoazar (determinístico).
14. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Clasificación de los modelos según la I.O.
Modelo Matemático
Es aquel modelo que describe el comportamiento de un sistema a través de
relaciones matemáticas y supone que todas las variables relevantes son
cuantificables. Por ende tiene una solución optima.
Modelo de Simulación
Es un modelo que imita el comportamiento de un sistema sobre un periodo de
tiempo dado, esta basado en observaciones estadísticas. Este tipo de modelo
entrega soluciones aproximadas.
Modelo Heurístico
Es una regla intuitiva que nos permite la determinación de una solución mejorada,
dada una solución actual del modelo, generalmente son procedimientos de
búsqueda. Este tipo de modelo también entrega soluciones aproximadas.
15. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Tópicos relacionados
•Análisis Estadístico
•Simulación
•Programación Lineal
•Sistema de Redes
•Líneas de Espera
•Problemas de Inventario
•Programación No - Lineal
•Programación Dinámica
•Programación Entera
•Teoría de Decisiones
•Teoría de Juegos
16. INVESTIGACION DE OPERACIONES
El Arte del Modelado
La I.O debe ser considerada como una ciencia y la vez como un arte.
• Una ciencia por el uso de técnicas matemáticas para la resolución de los
problemas.
• Un arte ya que la formulación del modelo depende en gran parte de la
creatividad y la experiencia delas operaciones del equipo investigador.
17. INVESTIGACION DE OPERACIONES
Etapas para puesta en práctica
1. Definición del problema:
• Alternativas de decisión (vars. de decisión).
• El objetivo de estudio (Función Objetivo).
• Identificación de las restricciones del sistema que se modela.
2. Construcción del modelo:
• Traducir el problema a relaciones matemáticas que incluyan las vars. decisión,
la Función Objetivo y las restricciones.
3. Solución del modelo:
• Uso de algoritmos de optimización.
• Se encuentran los valores de las vars. decisión.
4. Validación del modelo:
• ¿El modelo entrega una predicción razonable del comportamiento del sistema
estudiado?
5. Puesta en práctica:
• Traducir los resultados del modelo en instrucciones de operación.
18. PROGRAMACIÓN LINEAL
P R O G R A M A C IO N L IN E A L
F O R M U L A C IO N M A T E M A T IC A
PROBLEM A GENERAL P R O B L E M A S E S P E C IA L E S
M E T O D O G R A F IC O M E T O D O A L G E B R A IC O PRO BLEM AS DE TRANSPO RTE P R O B L E M A S D E A S IG N A C IÓ N
( S IM P L E X )
19. PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un método matemático que se emplea para resolver problemas de
optimización. En palabras simples la P.L. busca asignar recursos limitados, entre
actividades que compiten, de la forma mas optima posible.
Supuestos de la P.L.
•Proporcionalidad
•Aditividad
•Divisibilidad
•Certidumbre
•Objetivo único
•No negatividad
20. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA MEZCLA DE PRODUCTOS
Una compañía fabrica dos tipos de componentes electrónicos: transistores y
bobinas.
Cada transistor requiere un minuto de tiempo en el departamento de ensamble,
dos minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto de
tiempo en empaque.
Cada bobina requiere dos minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo
en Control de Calidad y dos minutos en empaque.
Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en C. Calidad y 400
minutos en Empaque disponibles cada día.
Tanto los transistores como las bobinas contribuyen en un dólar a la utilidad.
La compañía desea determinar la mezcla de productos optima que maximice la
utilidad total.
21. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Maximizar las utilidades de la compañía (U).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de transistores a fabricar por día {unds./día}
Y….Cantidad de bobinas a fabricar por día {unds./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Tiempo disponible en el depto. de Ensamble por día 300 min.
R2) Tiempo disponible en el depto. de C. Calidad por día de 400 min.
R3) Tiempo disponible en el depto. de Empaque por día de 400 min.
R4) No Negatividad.
22. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
MAX { U = X + Y }
Sujeto a :
R1) X + 2Y ≤ 300
R2) 2X + Y ≤ 400
R3) X + 2Y ≤ 400
R4) X , Y ≥ 0
23. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
EJERCICIO PROPUESTO
El departamento de rayos X de un hospital tiene dos máquinas, A y B, que
pueden utilizarse para revelar radiografías. La capacidad de procesamiento diaria
de estas máquinas es A=80 y B=100 radiografías. El departamento debe planear
procesar al menos 150 radiografías por día. Los costos de operación por
radiografía son $4 para la máquina A y $3 para la máquina B. ¿Cuántas
radiografías por día debe procesar cada máquina para minimizar costos?
Se pide:
Formular como un problema de P.L. identificando claramente la función objetivo y
las variables de decisión.
24. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar los costos de procesamiento (C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….Cantidad de radiografías a procesar en máquina A al día {rad./día}
Y…. Cantidad de radiografías a procesar en máquina B al día {rad./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina A de 80.
R2) Capacidad de procesamiento de rad. en la maquina B de 100.
R3) Capacidad mínima del departamento de 150 rad. por día.
R4) No Negatividad.
25. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 4X + 3Y }
Sujeto a :
R1) X ≤ 80
R2) Y ≤ 100
R3) X + Y ≥ 150
R4) X , Y ≥ 0
26. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE LA DIETA
La compañía OF utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial.
El alimento especial es una mezcla de maíz y semilla de soya, con las siguientes
composiciones.
libra componente por libra de alimento ganado
Costo
A. ganado Proteinas Fibra
US$/lb
Maíz 0.09 0.02 0.30
Similla Soya 0.60 0.06 0.90
27. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Los requerimientos dietéticos diarios de alimento especial estipulan por lo menos
un 30% de proteínas y cuando mucho un 5% de fibra. OF desea determinar el
costo mínimo diario de la mezcla de alimento.
¿….?
28. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo diario total de la mezcla de alimento(C).{dólares/día}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
X….libras de maiz en la mezcla diaria {lb./día}
Y…. Libras de semilla de soya en la mezcla diaria {lb./día}
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Requerimientos de alimentos de por lo menos 800 lbs.al día
R2) Requerimiento de proteínas de por lo menos un 30%
R3) Requerimientos de fibra de cuando mucho un 5%.
R4) No Negatividad.
29. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4: Construcción del modelo matemático
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y ≥ 800
R2) 0.09X + 0.6Y ≥ 0.3(X + Y)
R3)0.02 X + 0.06Y ≤ 0.05(X + Y)
R4) X , Y ≥ 0
30. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Paso 4.1: Construcción del modelo matemático (ORDENADO)
F.Objetivo
M IN { C = 0.3X + 0.9Y }
Sujeto a :
R1) X + Y ≥ 800
R2) 0.21X - 0.30Y ≤ 0
R3)0.03 X - 0.01Y ≥ 0
R4) X , Y ≥ 0
31. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
PROBLEMA DE TRANSPORTE
Considere el problema que enfrenta el departamento de planificación de la
compañía DALLAS S.A. ,que tiene tres plantas y cuatro almacenes regionales.
Cada mes se requiere de una lista de requerimientos de cada almacén y se
conocen, tambien las capacidacdes de producción de las plantas. Ademas se
conoce el costo de transporte de cada planta a cada almacén. El problema es
determinar qué plantas deben abastecer a que almacenes de manera que
minimicen los costos totales de transporte. Consideremos que los costos de
transporte entre dos ciudades cualquiera, son proporcionales a las cantidades
embarcadas. Supongase que las capacidades mensuales de cada planta son 70,
90 y 180 respectivamente. Los requerimientos de cada almacén para el mes de
Marzo son: 50, 80, 70 y 140. Los costos unitarios de transporte son los que se
muestran en la tabla siguiente:
32. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Planta Almacén
1 2 3 4
1 19 30 50 10
2 70 30 40 60
3 40 8 70 20
Se pide:
Formular como un PPL.
34. Modelo General de PL
Definición de variables:
Sea xj = #.... ; j = 1, 2, 3....n
Función objetivo:
Max. o Min. z = C1X1 + C2X2 + ... + CjXj + ... + CnXn
Sujeto a restricciones: i = 1, 2, 3, ... , m
a11X1 + a12X2 + ... + a1jXj + ... + a1nXn ≤ =≥ b1
a21X1 + a22X2 + ... + a2jXj + ... + a2nXn ≤ =≥ b2
· .
· .
ai1X1 + ai2X2 + ... + aijXj + ... + ainXn ≤ =≥ bi
· .
· .
am1X1 + am2X2 + ... + amjXj + ... + amnXn ≤ =≥ bm
Condiciones de signo para variables: toda xj ≥ 0
m = # total de restricciones,
n = # de variables de decisión (originales)
Cj, aij y bi son constantes (o parámetros) dados.
8
35. Métodos de Resolución
Método Gráfico
Empleado principalmente para PPL con dos variables de decisión. Este método
se basa en la idea de obtener regiones de soluciones factibles (RSF), en las
cuales se encontraría la combinación de variables de decisión que optimizan el
modelo.
Método Algebraico (SIMPLEX)
Empleado principalmente para PPL con más de dos variables de decisión. Este
método se desarrollo con base en el método gráfico y corresponde a un sistema
heurístico, por lo cual requiere de una solución inicial factible para empezar a
funcionar.
8
37. Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
X2 3,000
R1Fab
X1 X2
0 1,000
2,000 1,666.7 0
Assy
R2
X1 X2
0 750
1,000 3,000 0
A B
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1 10
38. PROGRAMACIÓN LINEAL
Construcción de modelos
Solución:
Formulación
Paso 1: Identificar el objetivo (meta) a optimizar
Minimizar el costo total de transporte (C).{u.m/mes}
Paso 2: Identificar las variables de decisión que deseamos determinar
Xij….Cantidad a enviar de la planta “i” al almacén “j” mensualmente {uds/mes}
i = 1,2,3 / j = 1,2,3,4
Paso 3: Identificar las restricciones del modelo
R1) Capacidad mensual de producción planta 1 de 70
R2) Capacidad mensual de producción planta 2 de 90
R3) Capacidad mensual de producción planta 3 de 180
R4) Requerimientos del almacén 1 para Marzo de 50
R5) Requerimientos del almacén 2 para Marzo de 80
R6) Requerimientos del almacén 3 para Marzo de 70
R7) Requerimientos del almacén 4 para Marzo de 140
R8) No Negatividad.
39. Método de Resolución: Paso 1
Gráficar las restricciones
X2 3,000
R1Fab
X1 X2
0 1,000
2,000 1,666.7 0
Assy
R2
X1 X2
0 750
1,000 3,000 0
A B
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1 11
40. Método de Resolución: Paso 2
Obtener la RSF
X2 3,000
R1Fab
X1 X2
0 1,000
2,000 1,666.7 0
Assy
R2
X1 X2
0 750
1,000 3,000 0
A B
RSF
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1 11
41. Método de Resolución:
X2 3,000
Premisa: el punto
2,000 optimo siempre se
encuentra en uno de
los vértices de la
RSF.
1,000
A B
RSF
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1 11
42. Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo: Alternativas
Alternativa 1
Encontrar todas las combinaciones de X1 y X2 que determinan los vértices de la
RSF, luego se evalúan en la función objetivo y se elige la combinación que
maximice (o minimice) dicha función.
Alternativa 2
Gráficar la F.O. dandose en valor arbitrario de Z (depende de la escala del
gráfico), luego la recta se desplaza en forma paralela en el sentido estricto de la
optimización. El ultimo punto que “tope” la F.O al salir de la RSF corresponderá a
la solución optima.
13
43. Método de Resolución: Paso3
Encontrar el Punto Optimo(1)
X2 3,000
2,000
1,000
Z=320.000 A B
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1
13
44. Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (2)
X2 3,000
2,000
Optimal Point
Optimal Point
1,000
A B
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1
14
45. Método de Resolución: Paso 3
Encontrar el Punto Optimo (3)
X2 3,000
El punto optimo (B) se encuentra
2,000 en la intersección de las dos rectas
1,000
A B
C
0,0 1,000 2,000 3,000 X1 3X1 + 12X 2 = 9,000 Assy
3X1 + 5X 2 = 5,000 Fab
7X 2 = 4,000
X 2 = 571.43, or 571 Multimax
5000 - 5(571)
X1 = = 715 Max
3
15
46. RESULTADOS
Max Z = 400X1 + 800 X 2
Z = 400(715) + 800 (571)
Z = $286,000 + $456,800 = $742,800
X1=715
X1=715
X2=571
X2=571
Z =742,800.
Z =742,800.
16
47. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
El método símplex fue desarrollado en 1947 por el Dr. George Dantzig y conjuntamente con el
desarrollo de la computadora hizo posible la solución de problemas grandes planteados con la
técnica matemática de programación lineal.
El algoritmo denominado símplex es la parte medular de este método; el cual se basa en la
solución de un sistema de ecuaciones lineales con el conocido procedimiento de Gauss-Jordan y
apoyado con criterios para el cambio de la solución básica que se resuelve en forma iterativa
hasta que la solución obtenida converge a lo que se conoce como óptimo..
•El conjunto de soluciones factibles para un problema de P.L. es un conjunto convexo.
•La solución óptima del problema de programación lineal , si existe, es un punto extremo
(vértice) del conjunto de soluciones factibles.
•El número máximo de puntos extremos (vértices) por revisar en la búsqueda de la solución
óptima del problema es finito.
8
48. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
Forma Estándar de un PPL
La forma estándar pasa por realizar los siguientes cambios:
1º Conversión de desigualdades en igualdades (ecuaciones)
a.- Restricción menor o igual (≤)
Para transformar este tipo de restricción a una ecuación de tipo igualdad se debe aumentar
su lado izquierdo con una variable de “holgura”. Esta representa la cantidad disponible del
recurso que excede al empleo que le dan las actividades.
Ej.
6X1 + 4X2 ≤ 24
F.e
6X1 + 4X2 + h1 = 24 (h1… cantidad no utilizada de recurso)
h1 ≥ 0
8
49. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Restricción mayor o igual (≥)
Las restricciones de este tipo comúnmente determinan requerimientos mínimos de
especificaciones. En este caso se debe incorporar una variable de superávit que representa
el requerimiento mínimo del lado izquierdo, sobre el requerimiento mínimo del derecho
( cuanto falta para cumplir con lo pedido).
Ej.
X1 + X2 ≥ 800
X1 + X2 - r1 = 800
r1 ≥ 0
Sin embargo la F.E pasa por hacer un ajuste más:
F.E
X1 + X2 - r1 + t1 = 800
r1, t1 ≥ 0
t1 = variable artificial (se necesita para generar la solución inicial del simplex)
8
50. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
d.- Restricción de igualdad (=)
Aquí la estandarización pasa sólo por incorporar una variable artificial.
Ej.
X1 + X2 = 800
X1 + X2 + t1 = 800
t1 ≥ 0
Como las variables artificiales no tienen sentido, es importante que el simplex las deje fuera
al comienzo del procedimiento y esto se logra al penalizar la inclusión de las variables
artificiales en la función objetivo con un coeficiente ‘M’ muy grande que para el caso de
maximizar es ‘ M’ y para el caso de minimizar es ‘+ M’.
8
51. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
2º Cambios de variables
a.- Variables no restringidas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar cualquier valor real.
Xi s.r.s
Cambio de variable
Xi = Ui – Vi
Ui …. Parte positiva de Xi
Vi …. Parte negativa de Xi
Ej.
X1 + X2 ≤ 24
X1 ≥ 0, X2 s.r.s
Luego X2 = U2 – V2
F.E.
X1 + U2 – V2 + h1 = 24
8
52. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
b.- Variables negativas
Algunas veces las variables de decisión pueden tomar negativos.
Xi ≤ 0
Cambio de variable
Yi = – Xi Donde Yi ≥ 0
Ej.
X1 + X2 ≤ 40
X1 ≥ 0, X2 ≤ 0
Luego Y2 = – X2, o bien X2 = - Y2
F.E.
X1 - Y2 + h1 = 40
8
53. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO SIMPLEX
3º Cambio en criterio de optimización
Muchas veces el objetivo no es maximizar.
MIN (Z)
Cambio de variable: Z* = -Z
MIN Z = MAX ( Z*)
Ej.
MIN [ Z = X1 + X2 ]
Z* = -Z
F.E
MAX [ Z* = -X1 – X2]
8
58. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Se una vez obtenida la F.E se esta en condiciones de iniciar el Simplex que nos permitirá
encontrar la (s) solución (es) del PPL.
Como el algoritmo se mueve de punto en punto extremo requiere que variables basicas
entren y salgan. Las reglas para seleccionar las variables de entrada y salida se conocen
como condiciones de optimalidad y factibilidad. Resumiendo:
C. Optimalidad: la variable de entrada en un problema de maximización es la variable no
básica que tiene el coeficiente mas negativo en el reglon de la F.O. los empates se rompen
arbritariamente. Se llega al optimo en la iteración donde todos coeficientes del reglon de la
F.O. de las variables básicas son positivos.
C. Factibilidad: tanto para los problemas de maximización como minimización, la variable
de salida es la variable básica asociada con la razón no negativa más pequeña entre los
“lados derecho” y los coeficientes de la columna entrante.
8
59. Métodos de Resolución
ALGEBRAICO
Pasos del Simplex:
Paso 0 : determinar la solución factible inicial.
Paso 1 : seleccione la variable de entrada empleando la condición de optimalidad.
Deténgase si no hay variable de entrada.
Paso 2 : seleccione una variable de salida utilizando la condición de factibilidad.
Paso 3 : determine las nuevas soluciones básicas empleando los calculos apropiados de
Gauss – Jordan, luego vuelva al paso 1.
8
69. Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
Se basa en la idea que todo PPL tiene un problema “espejo”, llamado DUAL. Esto provoca
que se genere un segundo algoritmo de resolucion conocido como “Metodo Dual Simplex”,
el cual funciona de la siguiente manera:
Condicion de Factibilidad:
La variable que sale es la variable basica que tiene el valor mas negativo, si
todas las variables basicas son no negativas el proceso termina y se alcanza la solucion
factible - optima.
Condicion de Optimalidad:
La variable entrante se escoge de la manera siguiente:
Calcule la razon entre los coeficientes del reglon “cero” y los coeficientes de la
fila asociada a la variable que sale, ignore coeficientes positivos o ceros. La variable
que entra es la que posee la razon mas pequeña si el problema es de minimizacion. Si
todos los denominadores son cero o positivos el problema no tiene solucion
factible.
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70. Métodos de Resolución
DUAL SIMPLEX
EJEMPLO
MIN (Z = 2X1 + X2)
S/A
R1) 3X1+X2 ≥3
R2) 4X1+3X2 ≥6
R3) X1 + 2X2 ≤3
R4) X1 ≥0 ; X2 ≥ 0
Forma Estándar:
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